微积分-求极限的方法
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
微积分中的极限运算法则及其应用
微积分中的极限运算法则及其应用微积分中的极限是一个非常基础的概念，几乎每个学习微积分的人都要学习和掌握。
在微积分中，极限运算法则是一个非常重要的概念，它不仅是解决微积分问题的基础，还能用来证明微积分中的很多定理。
一、极限运算法则极限运算法则是微积分中的一个基本概念，也是解决微积分问题的基础。
与其它数学概念一样，它有一些基本法则，如下：1、常数定理如果K是一个常数，那么：lim K = Kx→a这个定理是非常简单的，意思就是说，如果一个函数在极限运算的过程中只包含一个常数K，那么这个极限就等于这个常数K 本身。
2、幂指函数定理如果a是一个正数，并且f(x)是一个幂指函数，那么：lim f(x) = a^xx→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含一个幂指函数时，这个极限的结果就等于这个幂指函数的解。
3、和、差、积、商定理如果f(x)和g(x)是两个函数，如下：那么：lim [f(x)±g(x)] = lim f(x)±lim g(x) x→a x→alim [f(x)×g(x)] = lim f(x)×lim g(x) x→a x→alim f(x) = lim g(x) (注：lim g(x)≠0) x→a x→a那么：lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x) x→a x→a这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中不只包含一个函数时，可以通过将这些函数进行和、差、积、商运算来求出其极限。
4、复合函数定理如果f 和 g是两个函数，如下：那么：lim f(g(x)) = lim f(L)x→a x→L其中L是 g(x) 在x→a 时的极限。
这个定理表示，当一个函数在极限运算的过程中包含多个函数时，可以将其拆分为不同的函数来求解。
二、极限运算法则的应用极限运算法则可以用来解决很多微积分问题。
以下是一些常见的应用：1、求导求导是微积分的一个重要部分，其核心就是使用极限运算法则。
微积分求解技巧
微积分求解技巧在微积分学习中，求解问题是非常重要的一部分。
以下是一些常用的微积分求解技巧。
1. 极限求解：极限是微积分中最基础的概念之一。
当我们需要求解一个函数在某一点的极限时，可以尝试使用以下方法： - 代入法：将极限中的变量代入函数中，观察函数的趋势。
- 分母有理化：对于分式中的无理数，可以尝试有理化分母，使得计算更加方便。
- 夹逼准则：对于一些难以直接计算的极限，可以通过找到一个上下边界，利用夹逼准则求出极限的值。
2. 导数求解：导数是函数变化率的度量，求解导数是微积分中的核心内容。
当我们需要求解一个函数的导数时，可以尝试以下方法：- 利用导数的定义：根据导数的定义，求出导数的极限表达式，再进行相应的化简。
- 利用基本函数的导数公式：微积分中有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等，可以利用这些公式进行求解。
- 利用函数之间的关系：利用链式法则、求导法则等，将复杂的函数转化为基本函数的导数，再进行计算。
3. 积分求解：积分是导数的逆运算，求解积分是微积分中的另一个重要部分。
当我们需要求解一个函数的积分时，可以尝试以下方法：- 利用基本函数的积分公式：微积分中也有一些常见函数的积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等，可以利用这些公式进行求解。
- 利用换元法：对于一些较为复杂的积分，可以尝试进行变量替换，将原函数转化为简单的基本函数的积分。
- 利用分部积分法：对于一些复杂的积分，可以尝试使用分部积分法，将积分转化为两个函数的乘积的积分。
4. 应用题求解：微积分的理论知识不仅仅是用于解决极限、导数和积分的计算问题，还可以应用于实际问题的求解。
在应用题中，我们可以通过以下方法进行求解：- 建立数学模型：根据问题的描述，将实际问题抽象为数学模型，建立方程或不等式关系。
- 利用微积分工具解决问题：根据建立的数学模型，使用微积分的知识，如极限、导数和积分等，进行问题的求解。
- 进行结果的分析和解释：得出数值结果后，进行合理的分析和解释，回答问题。
微积分中经典求极限方法
(II) g(x) M
(M 为正整数)
则： lim g(x) f (x) 0 x x0
例: 求
lim x sin 1
x0
x
解: 由
lim x 0 而
x0
故 原式 = lim x sin 1 0
x0
x
sin 1 1 x
3
8、利用无穷小量与无穷大量的关系。
出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
例 求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】因为 x 0时，ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 x2 2
,所以
lim
x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx 1 x2
2
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x 2 3 x 2 1) lim ( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1)
x
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例1
lim
x1
3x 1 2 x 1
解：原式= lim x1
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例:求极限
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
解: sin x 2 ~ x 2 , 1 cos x 2 ~ (x 2 )2 2
(x2 )2
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
=
2 x2x2
微积分求解方法与技巧
微积分求解方法与技巧微积分是数学中非常重要的一个分支，它涉及到函数的极限、导数和积分等概念和运算，是研究变化和量的增长的工具。
微积分涉及的问题种类繁多，求解方法也各不相同。
下面将介绍一些常用的微积分求解方法与技巧。
1. 求解极限：极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的趋势。
求解极限的方法主要有代入法、夹逼法、无穷小量法和洛必达法等。
- 代入法：当函数在某一点存在有限的定义或者可以通过化简得到确定的值时，可以直接将极限点代入函数中求解。
- 夹逼法：当无法直接代入求解极限时，可以通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们在极限点周围趋近于同一个值，从而求得极限。
- 无穷小量法：利用无穷小量的性质进行运算，将极限问题转化为无穷小量之间的比较，从而求解极限。
- 洛必达法：适用于0/0或∞/∞的极限形式，利用洛必达法则将求解极限的问题转化为导数的计算。
2. 求解导数：导数描述了函数在某一点的斜率，它具有很多应用，比如求解函数的极值和函数的变化趋势等。
求解导数的方法主要有定义法、基本导数公式和导数的运算法则等。
- 定义法：导数的定义是极限的一种特殊形式，根据定义求导的方法就是计算极限。
- 基本导数公式：利用一些基本函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的导数公式，可以简化导数的计算。
- 导数的运算法则：利用导数的运算法则，如和差法、积法、商法和复合函数的求导法则等，可以通过对复杂函数的拆分和运算得到导数的结果。
3. 求解积分：积分是求解函数的面积、定积分和不定积分等概念的工具，它具有很多应用，比如求解曲线下的面积和函数的反函数等。
求解积分的方法主要有不定积分和定积分两种方法。
- 不定积分：不定积分用来求解函数的原函数，可以通过基本积分公式和积分的运算法则进行求解。
- 定积分：定积分用来求解函数在某一区间上的积分值，可以通过对积分区间进行分割，计算每个小区间上的面积，然后累加得到最终的积分值。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法【摘要】函数极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或者某个区间内的趋势和性质。
本文将从引言、正文和结论三个部分详细介绍函数极限的几种求解方法。
在将依次介绍极限的定义与性质、基本的极限求解方法、无穷小与无穷大的比较法、夹逼定理和洛必达法则。
在将讨论在不同情况下选择适合的求解方法、函数极限求解方法的实际应用以及深入学习函数极限的重要性。
通过阅读本文，读者将能够全面了解函数极限的求解方法，提升对函数极限概念的理解和运用能力。
【关键词】函数极限、极限的定义、性质、基本求解方法、无穷小、无穷大、夹逼定理、洛必达法则、求解方法选择、应用、深入学习。
1. 引言1.1 什么是函数极限函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在研究函数的性质和图像特征时起着至关重要的作用。
在数学上，函数的极限描述了当自变量趋于某个特定值时，函数的值会接近或趋于某个确定的值。
简而言之，函数极限可以帮助我们理解函数在某个特定点附近的表现，这对于分析函数的变化趋势和性质至关重要。
具体来说，当我们讨论一个函数在某个点的极限时，我们实际上是在研究当自变量趋近于这个点时，函数值的变化情况。
如果函数在这个点处存在极限，那么我们可以通过极限的存在性来推断函数在这个点的连续性、导数等性质。
而如果函数在某个点的极限不存在，那么这也能告诉我们函数在这个点附近的不连续性或者其他特殊性质。
函数极限是微积分中的基础概念，也是建立在导数和积分之上的重要内容。
通过研究函数的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和特性，为进一步的微积分学习奠定基础。
1.2 函数极限的重要性函数极限在数学中具有重要意义，是微积分学习的基础。
通过研究函数在某一点或某一区间内的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和变化规律。
函数极限的研究不仅帮助我们更好地理解数学概念，还在实际问题的建模和解决过程中发挥着重要作用。
在数学分析、物理学、工程学等领域，函数极限都是必不可少的概念。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略【摘要】微积分中函数极限是微积分学习中的重要内容，对于理解函数的性质和变化趋势具有重要意义。
本文将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，包括数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法以及利用导数的方法。
通过多种方法的结合运用，可以更准确地求解函数的极限。
我们也要注意极限存在的条件，确保计算的准确性。
提高极限求解的技巧和效率，可以帮助我们更好地掌握函数极限的求解过程，提高学习效果。
深入理解和掌握这些方法，将有助于我们更好地应用和推广到实际问题中，从而更好地理解和应用微积分知识。
【关键词】微积分、函数极限、数列极限法、无穷小量代换法、夹逼定理法、利用极限性质的方法、利用导数的方法、多种方法结合运用、注意极限存在的条件、提高极限求解的技巧和效率1. 引言1.1 微积分中函数极限的重要性微积分中函数极限是微积分学习中的重要概念之一，它能够帮助我们理解函数在某一点的变化趋势和极限取值。
函数极限的研究不仅有助于我们解决数学问题，还可以应用于物理、经济、工程等各个领域。
函数极限的重要性体现在以下几个方面：函数极限是微积分的基础，它是导数、积分等概念的前提。
只有对函数极限有深入的理解，才能更好地理解微积分中的其他内容。
函数极限在研究函数在某一点的性质时起到至关重要的作用，能够帮助我们确定函数在该点的连续性、可导性等特性。
函数极限也可以应用于求解极限值、证明极限存在等问题，是数学分析中的重要工具之一。
微积分中函数极限的重要性不言而喻。
只有深入理解函数极限的概念，掌握各种求解方法和技巧，才能在微积分学习中取得更好的成绩，并将其运用到实际问题中取得更好的效果。
强调函数极限的重要性，也有助于引起我们对微积分学习的重视和兴趣。
对函数极限的研究具有极其重要的意义。
2. 正文2.1 数列极限法数总结和统计等。
以下是关于数列极限法的内容：数列极限法是微积分中函数极限求解的一种常用方法，通过研究数列的性质和极限，可以推导出函数的极限值。
经济数学微积分极限运算法则
二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
x x0
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
x 2＋ax b 例4 设 lim 2 2, 求a、b. x 1 x 2 x 3 , 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
第四节
极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
微积分 求极限的方法
求极限方法一:直接代入法例一:=24例二:=类似这种您直接把x趋近的值代入到函数里面,就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后,分子为0,分母不为0时,函数极限等于0知识点2:当x趋近值代入后,分子不为0,分母为0时,函数极限等于方法二:因式分解法(一般就是平方差,完全平方,十字相乘)普通的就就是分子分母约去相同的项,因为x就是趋近值,所以上下就是可以约去的,不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3:=(x-y)()例三:==方法三:分母有理化(用于分母有根式,分子无根式)例四:=方法四:分子有理化(用于分子有根式,分母无根式)例五:==1方法五:分子分母同时有理化(用于分子有根式,分母有根式)例六:知识点4:(使用这个知识点时,必须注意只能在x趋近于无穷时使用,且使用时只用瞧各项的最高次数,不用管其她)例七:=(分子的最高次就是两次,大于分母最高次一次,所以直接得出极限为无穷大)例八:=0 (分子的最高次就是一次,小于分母最高次两次,所以直接得出极限为零)例九:(分子的最高次就是一次,等于分母最高次一次,所以直接得出极限为)方法六:通分法(若函数为两个分数相加减时,通常先同分再做处理,一般情况下同分后都要进行因式分解,然后分子分母约去相同的多项式)例十:-知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时,新函数的极限仍为无穷小。
(有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍就是无穷小量)例十一:=0 函数左边用知识点4得出就是无穷小,右边3+cosx就是有界函数,所以新函数极限为无穷小,即0所有求极限的题中,代入x趋近值后,若出现或,都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分求极限的方法
微积分求极限的方法微积分中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
求极限的方法有很多种，下面我将介绍几种常用的方法和技巧。
1.代入法：代入法是求解极限最常用的方法之一、它的基本思想是，将极限中的自变量替换为一个特定的值，然后计算函数在这个特定值附近的取值情况。
例如，求$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$，我们可以将 $x$ 替换为$0$，然后计算 $\frac{\sin 0}{0}$，根据 $\sin 0=0$，所以这个极限等于 $1$。
2.夹逼准则：夹逼准则也是求极限常用的方法之一、它的基本思想是，如果一个函数在一些点附近有两个函数夹住，这两个函数的极限都存在且相等，那么这个点的极限也存在且等于这个共同的极限。
例如，求极限 $\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$，我们可以使用夹逼准则，上下界函数分别是$-x$ 和 $x$，两个函数的极限都是 $0$，所以根据夹逼准则，该极限也是 $0$。
3.分子有理化和分母有理化：有时候，如果极限的表达式中有无理数或者根式，可以尝试用有理数近似代替无理数，然后对分子和分母进行有理化。
例如，求极限$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$，我们可以对分子有理化，得到 $\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$，然后化简得 $\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$，再代入$x=0$ 可以求得极限等于 $1$。
4. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解极限中常用的一个重要方法。
它适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限。
微积分中求数列极限的几种方法
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２０数学学习与研究㊀２０２１ ３０微积分中求数列极限的几种方法微积分中求数列极限的几种方法Һ卢㊀兰㊀（长春光华学院基础教研部，吉林㊀长春㊀１３００１７）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要针对求解数列极限的具体实例，对各类求解数列极限的方法进行归纳和总结，掌握了这些求数列极限的解题方法和技巧，能够大大提高解题能力和解题效率．ʌ关键词ɔ数列极限；解题方法数列极限问题是高等数学中极限问题的重要组成部分，如何求数列的极限教材一般介绍得比较简单㊁分散．本文将根据具体的数列求极限问题探讨其解题方法．一㊁先求出ｎ项和的表达式再求极限这种方法通常适用于求数列通项为ｎ项和的极限问题．求ｎ项和的表达常常需要高中阶段求数列前ｎ项和的方法，高中问题这里不再详述．例１㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷．由于ｃｎ＝２ｎ－１２ｎ－１＝ａｎｂｎ，其中ａｎ＝２ｎ－１是等差数列，ｂｎ＝１２ｎ－１是等比数列．求这样的数列｛ａｎｂｎ｝的前ｎ项和，常用 乘公比，错位减 的方法．故设Ｓｎ＝１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１，则１２Ｓｎ＝１２＋３２２＋５２３＋７２４＋ ＋２ｎ－１２ｎ，将两式相减，可得１２Ｓｎ＝２＋１２＋１２２＋１２３＋ ＋１２ｎ－２－２ｎ－１２ｎ＝３－２ｎ＋３２ｎ，故Ｓｎ＝６－４ｎ＋６２ｎ．因为ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝ｌｉｍｘңɕ４２ｘｌｎ２＝０，故ｌｉｍｎңɕ４ｎ＋６２ｎ＝ｌｉｍｘңɕ４ｘ＋６２ｘ＝０．所以ｌｉｍｎңɕ１＋３２＋５２２＋７２３＋ ＋２ｎ－１２ｎ－１æèçöø÷＝６－０＝６．二㊁利用两边夹准则求数列极限有时求数列通项为ｎ项和的极限问题先求ｎ项和的表达式是很难做到的，这时需要尝试其他的方法，两边夹准则就是常考虑的方法．利用两边夹准则求极限时一般需要放缩ｎ项和，常用的放缩技巧如下：（１）几个正数乘积中，略去大于１的因子就缩小，略去小于１的因子就放大；（２）分子㊁分母都是正数，分母缩小（放大），则分数放大（缩小），分子缩小（放大），则分数缩小（放大）；（３）ｎ个正数之和可缩小为ｎ个最小数之和（或缩小为最大数），也可放大为ｎ个最大数之和．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷．由于和式中各项的分子㊁分母都是正数，故可用放缩技巧（２），即ｉｎ２＋ｎ＋ｎɤｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｉｎ２＋ｎ＋１（ｉ＝１，２， ，ｎ），于是，有ｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎɤðｎｉ＝１ｉｎ２＋ｎ＋ｉɤｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１，又ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋ｎ＝１２，ｌｉｍｎңɕｎ（ｎ＋１）２ｎ２＋ｎ＋１＝１２，则ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋ｎ＋１＋２ｎ２＋ｎ＋２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ＋ｎæèçöø÷＝１２．例３㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ()１ｎ．由于表达式的底数部分是几个正数之和，可用放缩技巧（３），即４＝（４ｎ）１ｎɤ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎɤ４１ｎ㊃４，ｌｉｍｎңɕ４㊃４１ｎ＝４，所以ｌｉｍｎңɕ（１＋２ｎ＋３ｎ＋４ｎ）１ｎ＝４．三㊁利用定积分定义求数列极限一般求每项为无穷小的无限项的和式极限时通常要考虑利用定积分定义求极限．例４㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷．将这个和式化为某个函数在某个区间上的积分和，从而可利用定积分求和式极限．先将和式改写，㊀ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝１ｎ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú．考虑用［０，１］区间上的函数ｆ（ｘ）＝１１＋ｘ２将［０，１］区间ｎ等分，取每个小区间的右端点ξｉ，故. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２１㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３０ｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２＝ðｎｉ＝１１１＋ξ２ｉΔｘｉ＝ðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ，所以ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＋ｎｎ２＋２２＋ ＋ｎｎ２＋ｎ２æèçöø÷＝ʏ１０１１＋ｘ２ｄｘ＝π４．有的求数列极限问题表面上看不能利用定积分的定义来求，但经过适当的变形之后是可以用的，如例５．例５㊀求ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ．求解过程如下：ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍｌｎｎ！ｎ＝ｅｌｉｍ㊀１ｎ［ｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ］＝ｅｌｉｍ㊀１ｎðｎｉ＝１ｌｎｉｎ＝ｅʏ１０ｌｎｘｄｘ＝１ｅ．注意，这里的ʏ１０ｌｎｘｄｘ是瑕积分，具体求瑕积分的过程此处省略了．四㊁由单调有界原理及其递推公式求数列的极限用这种方法求极限的一般步骤如下：（１）由已知条件确定数列｛ｘｎ｝的递推公式ｘｎ＋１＝ｆ（ｘｎ）；（２）利用递推公式证明此数列是单调有界数列；（３）对递推公式两边取极限得到关于此数列极限的方程，解方程得到数列极限．例６㊀设ｘ１＝２，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()，ｎ＝１，２，３， ，证明：数列｛ｘｎ｝收敛，并求此极限ｌｉｍｎңɕｘｎ．由已知，显然有ｘｎ＞０ｎ＝１，２，３， ()，ｘｎ＋１＝１２ｘｎ＋２ｘｎ()ȡｘｎ㊃２ｘｎ＝２，ｎ＝１，２，３， ，即数列ｘｎ{}有下界，由此可知，ｘｎ＋１－ｘｎ＝１２２ｘｎ－ｘｎ()＝２－ｘ２ｎ２ｘｎɤ０．因此，数列ｘｎ{}单调递减且收敛，故ｌｉｍｎңɕｘｎ的极限存在．设ｌｉｍｎңɕｘｎ＝Ａ，对所给递推公式两边取极限，可得Ａ＝１２Ａ＋２Ａ()，解得Ａ＝２，注意Ａ＞０．五㊁利用级数收敛的必然条件求数列极限级数收敛的必要条件：若级数ðɕｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎңɕｕｎ＝０．例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ．考虑正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ．由于ｌｉｍｎңɕ（ｎ＋１）！（ｎ＋１）（ｎ＋１）ｎ！ｎｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()ｎ＝１ｅ＜１．所以正项级数ðɕｎ＝１ｎ！ｎｎ收敛．由级数收敛的必要条件，得ｌｉｍｎңɕｎ！ｎｎ＝０．六㊁利用施笃兹定理（Ｓｔｏｌｚ）求数列极限施笃兹定理一般教材都没有介绍，它可以用来计算某些难度较大的数列极限ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ（无穷比无穷型）．施笃兹定理被称为数列极限的洛必达法则，其定理内容如下：设数列ｙｎ{}严格增大，且无界，若ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１存在或为ɕ，则ｌｉｍｎңɕｘｎｙｎ＝ｌｉｍｎңɕｘｎ－ｘｎ－１ｙｎ－ｙｎ－１．下面利用施笃兹定理再求解一遍例５．ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎ＝ｌｉｍｎңɕｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍ１ｎｌｎｎ！ｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎｎ＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍｌｎ（ｎ（ｎ－１）！）－ｎｌｎｎ－ｌｎ（（ｎ－１）！）＋（ｎ－１）ｌｎ（ｎ－１）ｎ－（ｎ－１）＝ｅｌｉｍ（ｎ－１）（ｌｎ（ｎ－１）－ｌｎｎ）＝ｅｌｉｍｌｎｎ－１ｎ()＝ｌｉｍｎңɕｎ－１ｎ()ｎ－１＝ｌｉｍｎңɕ１－１ｎ()－ｎ[]ｎ－１－ｎ＝１ｅ．七㊁利用中值定理求数列极限例８㊀求ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()（ａʂ０）．由极限表达式的形式考虑用拉格朗日中值定理求解，设ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，在ａｎ与ａｎ＋１构成的区间上对ｆ（ｘ）使用拉格朗日中值定理，即存在介于ａｎ与ａｎ＋１的ξ，使得ｆａｎ()－ｆａｎ＋１()＝ｆᶄ（ξ）ａｎ－ａｎ＋１()＝１ｎ（ｎ＋１）㊃ａξ２＋１＝ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１，所以ｌｉｍｎңɕｎ２ａｒｃｔａｎａｎ－ａｒｃｔａｎａｎ＋１()＝ｌｉｍｎңɕｎ２ｎ（ｎ＋１）㊃ａ１＋ξ２＝ａ．ʌ参考文献ɔ［１］刘玉莲，杨奎元．数学分析讲义学习辅导书［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．［２］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
微积分求极限
微积分求极限在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它用来描述函数在某一点附近的行为。
我们可以通过求极限来研究函数的连续性、导数和积分等性质。
我们来介绍一下极限的定义。
对于函数f(x)，当x趋近于某一点a 时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记为lim(x→a) f(x)=L。
求解极限的方法有很多，我们这里介绍一些常用的方法。
1. 代入法：当函数在某一点a处有定义时，我们可以直接将x=a代入函数中计算出函数值作为极限值。
2. 四则运算法则：对于两个函数的和、差、积和商，我们可以利用它们的极限性质进行计算。
具体而言，如果lim(x→a) f(x)=L，lim(x→a) g(x)=M，那么有以下性质：- lim(x→a) [f(x)+g(x)] = L+M- lim(x→a) [f(x)-g(x)] = L-M- lim(x→a) [f(x)g(x)] = LM- lim(x→a) [f(x)/g(x)] = L/M (M≠0)3. 夹逼定理：当函数f(x)、g(x)、h(x)在某一点a的附近有定义，并且满足f(x)≤g(x)≤h(x)时，如果lim(x→a) f(x)=lim(x→a) h(x)=L，那么lim(x→a) g(x)=L。
4. 分段函数的极限：对于分段函数，我们可以分别求解各个分段函数的极限，然后根据定义来确定整个函数的极限。
5. 无穷大与无穷小的极限：对于函数f(x)，当x趋近于无穷大或负无穷大时，我们可以通过观察函数的表达式来判断函数的极限性质。
例如，当x趋近于无穷大时，如果函数f(x)的表达式中包含x 的最高次幂项，且系数为正，则lim(x→∞) f(x)=+∞；如果系数为负，则lim(x→∞) f(x)=-∞。
通过以上几种方法，我们可以求解各种不同类型的极限。
微积分中常用的函数极限计算方法及解析
微积分中常用的函数极限计算方法及解析
微积分中常用的函数极限计算是不可缺少的重要环节，它是研究求积无界积分的基础。
极限计算涉及到极限图像、极限非存在情况和极限的定义形式的处理，今天会给大家介绍极限计算的一些方法，包括极限兑现法、公式法和图形法。
首先，我们来讲解极限兑现法，极限兑现法包括一致极限法和极限等价法，它能够用来计算实际可以被兑换的情况下的一切极限，用辨别式来将表达式写作易于计算值，在通过一系列兑换运算之后，再将计算结果运算，最终求得极限值。
其次，使用公式法来计算极限，这种方法通常在对简单表达式进行极限计算时使用较多，通过一定的共同公式，用恰当的方式将极限图像拓展，使其极限显着，从而达到预期的极限值，并通过定义形式的处理来计算极限值。
最后，我们来看图形法，这种方式主要利用函数图形的相关规律，旨在求解某个函数在给定点处极限非存在情况，即某个函数在某处会近似产生折叠或有跳变等特性，从而找出与该点相关联的值，以完成极限的计算。
以上就是微积分中常用的极限函数计算的方法，可以从不同的角度、不同的方式构建函数中极限的研究，相信只要努力，每一个人将可以熟练的掌握极限计算的各种方法，学会选择它们其中的任何一种来解决实际问题。
微积分 求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：=24例二：=类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3：=(x-y)()例三：==方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）例四：=方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：==1方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：-知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）例十一：=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
微积分洛必达法则求极限
微积分洛必达法则求极限微积分，这个词一听就让人心里打鼓，但其实它也有很多有趣的地方，今天咱们来聊聊一个特别好用的法则——洛必达法则。
听起来有点高大上，其实它就是解决某些极限问题的“救命稻草”。
想象一下，考试前你对着题目一筹莫展，突然发现有个绝招可以派上用场，那种感觉就像是找到了一张“通行证”，瞬间无敌。
洛必达法则的核心思想就是：当你面对一个极限问题，分子和分母都无限接近零或者都趋向无穷大的时候，别慌！直接拿导数来解决。
你可能在想，什么是导数？别担心，简单来说，导数就是描述一个函数变化快慢的工具。
就像你开车，油门踩下去速度就上来了，这个速度就是导数。
运用这个法则的时候，分子和分母各自求导，再继续求极限，这样问题就简单多了，像是在化繁为简。
想象一下，咱们面对一个极限，像是一个人拼命往上爬，可不管怎么努力，都是到达不了顶峰。
这个时候，洛必达法则就像是“超级助推器”，让你一飞冲天。
你只需要轻轻松松求一下导数，就能瞬间看到极限的真面目。
哎呀，真的是太妙了。
就好比在课堂上，老师突然提问，结果你恰好记得那个知识点，心里那个乐呀，简直是天上掉馅饼的感觉。
使用洛必达法则也不是万能的，得看条件对不对。
前提就是分子和分母都得是0或者无穷大，要是其他情况，那就得另寻他法。
就像你不能在冬天穿夏装，这样可不行。
所以在使用之前，最好先确认一下条件，保证自己的“通行证”有效。
否则就像开车上路，结果车子没油，那可是要哭的。
举个简单的例子，假设我们要求一个极限，像是“当x趋向于0，sin(x)/x”这个表达式。
你可能会想，哎呀，这个0/0不是很麻烦吗？用洛必达法则就可以轻松搞定。
先求导数，sin(x)的导数是cos(x)，x的导数是1。
然后再继续求极限，cos(0)就是1。
看，这样一来，问题不就解决了吗？简直就是让人拍手叫好，太棒了！你知道吗，数学有时候真是像解谜游戏，找不到钥匙的时候可急了。
可一旦找到方法，瞬间开窍，心情那叫一个爽。
微积分中求极限的若干方法和技巧
所 以
ｎ
ｌ ｉ Ｆ ￣ ｌ ， Ｘ
ｎ
。
去 孚
２
选用恰 当的方法才能简便解决问题。
乘以ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
蓦… 锨 … 舢 ， 故 豢
为 全 面 的概 括 。
Ｉ 关键词】 微积分； 极限； 方法
极 限是 微积分 的一个 重要概念 。 是贯 穿微积分 的一条主线 ， 极 限 的计算 又是学好微积分 的重要前提条件 。此外 ， 此 问题一般 来说 比较 困难 ． 因为求极 限没有 统一 的方法 ， 只能根据具体 情况进行 具体分析
２ ０ １ ３ 年２ １ 期
科技 Ｉ向导
◇ 高教 论述◇
微积分中求极限的若干方法和技巧
刁 Ｉ 商丘学院
【 摘
林 河南
黄杰英 商丘 ４ ７ ６ ０ ０ ０ ）
要】 极限概 念微积 分中最重要 、 最基本的概念 ， 掌握求极限的方法是学好微积 分的基 础。 本文关于求函数极 限的方法和技巧作一个较
（ ３ ） ｌ 羔 』 Ｉ
舻 ０ ｇ 协）
＝ ｌ
１ ＋ ２ ｘ ） ． 例 １ 求极限矗 ｍ． １ ｎ （
．
解
４ ＂ Ａ ｔ ） ＝ Ｚ ｎ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｔ ， 当ｘ ＞ Ｏ 时 ） 在 ， ＋ １ 】 上满足拉格朗 日中值
ｎ ｒ ｃ 枷 １ ） 一 ｔ 一 １ １
毗
一
ｍ
一 卜
： ２
ｍｆ （ ｘ ） ￣＝。 ｂ （ ２ ） 若ｍ ） ＞ Ｏ ｍ ／ ＝ ｂ ＞ Ｏ ， ｌ ｉ ｍｇ （ ｘ ） ＝ ｃ ， 则 ｌ ｉ 。
＿
３ ． 利用微 分中值定理求极限
例 求Ｚ ｍ ２ ［ ｆ ｎ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ （ ｘ ＋ １ ） 一 Ｚ ｎ ０ １ ＂ ｃ ｔ ａ ｌ ｌ ￣］
微积分中常用的函数极限计算方法及解析_白杰
1
关于极限四则运算法则求极限
， 分式极限的运算通常采用通分或分子分母有理化找出“零因子 ” 消去“零因子 ” 后， 使用极限四则运算
法则和代入法直接求出函数极限值 。 x2 lim x→0 1－ 槡 1 + x2 解法： 分母有理化后消去零因子， 代入法求出极限 例1 原式 = lim 例2 lim x2 （ 1 + 槡 1 + x2 ） x2 （ 1 + 槡 1 + x2 ） = lim = lim － （ 1 + 槡 1 + x2 ） = － 2 2 2 2 x→0 x→0 x→0 － x （1－ 槡 1 +x ） （1 + 槡 1 +x ） 2 + (x1 +1 x －1)
5
关于使用“两个重要极限” 求极限
借助已知结果的两个重要极限求未知函数极限 ， 关键在于理解两个重要极限成立的结构。 重要极限 Ⅰ sin□ sinx = 1， 的结构： lim 只要函数结构满足重要极限Ⅰ的结构， 即得极限为 1 ， 而并不在乎是否一定为 lim 的 x→0 x □→0 □ 形式， 实际教 学 中 还 可 以 将 重 要 极 限 Ⅰ 推 广 出 多 种 形 式， 这 里 不 一 一 例 举。 重 要 极 限 Ⅱ 的 结 构： lim ( 1 + □ ) = e， 只要函数结构满足重要极限 Ⅱ 的结构， 即得极限为 e， 而并不在乎是否一定为 lim ( 1 + x )
解法： 分子分母同时除以 x， 分出无穷小量， 再求极限 2 sinx 1 －1 sinx2 － 1 x x 0 －1 = lim = lim =1 原式 = lim 2 x→# cos x x→# 1 x － 1 0 －1 → cosx2 － 1 －1 x x
微积分 求极限的办法
求极限方法一：直接代入法
例一：=24
例二：=
类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点2：当时，函数极限等于
普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，的问题。
类似=
=(x-y)()
例三：==
方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）
例四：=
方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）
例五：=
方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）
例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）
例七：=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）
例八：=0（分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）
例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极
限为）
例十：
知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，
（有限个无穷小仍为无穷小
例十一：
是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即
若出现或，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求极限方法一：直接代入法
例一：（）=24
例二：（）=
类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0
知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于
方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）
普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似=（）
下面讲个例
知识点3：=(x-y)()
例三：==
方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式）
例四：=
方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）
例五：==1
方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）
例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）
例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）
例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）
）
例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数
分母最高次数项系数
方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）
例十：-
知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量）
例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0
所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。