二进制、八进制、十进制和十六进制关系

二进制、八进制、十进制和十六进制关系

为什么需要八进制和十六进制?

由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。但二进制数太长了。面对太长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。

用16进制或8进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短。不过，为什么偏偏是16或8进制，而不其它的，诸如9或20进制呢？

因为2、8、16，分别是2的1次方、3次方、4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。

1234=1*10+2*10+3*10+4*10

32=1*2+0*2+0*2+0*2+0*2+0*2可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于三个因素：进制基数、权位和权值。

如何将二、八、十六进制数转换为十进制数。

(一)二进制数转换成十进制数

由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...n位，第n位的数（0或1）乘以基数2的n次方，然后按十进制加法规则求和，得到的结果就是答案。这种做法称为"按权相加"法。

例1：(01100100)2=(100)10

计算过程：0*20+0*21+1*22+1*23+0*24+1*25+1*26+0*27=

0乘以多少都是0，所以也可直接跳过值为0的位：1*22+1*23+1*25+1*26=100

例2：(1011.01)2＝(1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2)10＝(8＋0＋2＋1＋0＋0.25)10＝(11.25)10例3：(101.101)2=(5.625)10

(二)8进制数转换为10进制数，也按"按权相加"法，只将基数换成8即可。

例：(1507)8=(839)10

计算过程：1*83+5*82+0*81+7*80=839

(三)16进制数转换成10进制数，也按"按权相加"法，只将基数换成16即可。

例：(2AF5)16=(10997)10,

计算过程：2*163+A*162+F*161+5*160=10997(A表示10，F表示15)

附表1十进制与二进制、八进制、十六进制关系表

如何将十进制数转换为二、八、十六进制数。

十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。

(一)十进制整数转换为二进制整数

十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

例一：(168)10=(10101000)2

计算过程：

2|168

2|84 0

2|42 0

2|21 0

2|10 (1)

2|5 0

2|2 (1)

2|1 0

0 (1)

例二：(89)10＝(1011001)2

2|89

2|44 (1)

2|22 0

2|11 0

2|5 (1)

2|2 (1)

2|1 0

0 (1)

(二)十进制小数转换为二进制小数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

例一：(0.125)10=(0.001)2

计算过程：

第一步：将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;

第二步：将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;

第三步：将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;

最后一步：读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例二：(0.625)10=(0.101)2

0．625×2

1．25×2

0．5×2

1．0

例三：将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）

依次乘以2，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。

最后得出结果：(0.45)10≈ (0.0111)2

(三)10进制数转换为8进制数

10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成8。

①整数部分

方法：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。

②小数部分

方法：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。

例一：(120)10=(170)8

计算过程：

8|120

8|15 0

8|1 (7)

0 (1)

例二：(5621)10=(12765)8转为八进制

计算过程：

8｜5621

8|702 (5)

8|87 (6)

8|10 (7)

8|1 (2)

0 (1)

例三：(796.703125)10=(1434.55)8

(四)10进制数转换成16进制

方法：和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成16。

例一：(120)10=(78)16

计算过程：

8|120

8|7 (8)

0 (7)

例二：(76521)10=(12AE9)16

16｜76521

16|4782 (9)

16|298 (14)

16|18 (10)

16|1 (2)

0 (1)

二进制数与八进制、十六进制数互换

首先，我们需要了解一个数学关系，即23=8，24=16，而八进制和十六进制是用这种关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。