华北电力大学大一上学期高数期末考试题和答案

华北电力大学高数期末考试
一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1.
,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞
-+++=22221L n n n n n n ππππ .
3. =-+⎰
21
212211arcsin －dx x x x .
二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
4. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. )(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若()()()02x F x t x f t dt =-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；
（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

7. )()( , )(2)( )(10
=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.
8.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177
x x x x ⎰+-求
11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，=⎰1
0()()g x f xt dt ，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y
轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1
0()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx .
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，
使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=x dx x f x F 0)()(）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D
2、A
3、C
4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6e .
6.c x x
+2)cos (21
　.7. 2π. 8.3
π
. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=
cos()
()cos()
x y x y e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：767u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++⎰⎰原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++
771
2
ln ||ln |1|77x x C
=-++
11. 解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
30()x xd e --=-+⎰⎰
02
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令
3214e π=--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===⎰⎰100
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x (0)x ≠
02()()()(0)x xf x f u du g x x x
-'=≠⎰
200
()()A (0)lim lim 22x x x f u du f x g x x →→'===⎰
2
00()()lim ()lim 22x x x xf x f u du A A g x A x →→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2ln dy y x dx x +=
22
(ln )dx dx x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰ 2
11ln 39x x x Cx -=
-+ 1(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且
02d x y y x y '=+⎰， 将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==C C 故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1ln 000x x x x y -=-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1= 则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
⎰-=1022)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)3125(6221+-=-=e e V V V π 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：10
0()()q f x d x q f x dx -⎰⎰1
00()(()())q q q f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰ 1
(1)()()q q q f x d x q f x dx =--⎰⎰ 1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥
故有： 100()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx
证毕。

17.
证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x 0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
⎰⎰⎰⋅+===ππππ0000)(sin cos )()(cos cos )(0|dx x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π00sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在 ),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。