空间群
空间群
目录1历史2空间群的要素2.1元素，固定点2.2翻译2.3滑翔飞机2.4螺旋轴2.5一般公式3空间群的符号4空间群的分类系统5在其他维度的空间群5.1比贝尔巴赫的定理5.2在小尺寸的分类5.3双组与时间逆转6在3维空间群表7参考8外部链接历史在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。
费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Schönflies（1891年）和巴洛（1894）列举。
这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Schönflies通信过程中发现的230种空间群。
元素的空间群在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。
在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。
所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。
固定点的元素空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。
翻译翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。
有14种布拉维晶格可能。
空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。
空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。
有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。
数。
国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。
编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。
国际符号或赫尔曼Mauguin符号。
赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。
它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。
首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。
未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。
菱方相空间群
菱方相空间群一、菱方相空间群的定义与特点菱方相空间群，又称R3m空间群，是晶体学中的一种空间群。
它具有以下特点：1.晶胞类型：菱方晶胞，即晶胞参数a、b、c分别相等，且晶胞角α、β、γ分别为90°、90°、120°。
2.空间点阵：菱方相空间群的空间点阵为R3m，即晶胞内原子按三维等间距排列。
3.晶胞对称性：菱方相空间群具有三度旋转轴和对称面，其对称元素包括三个相互垂直的旋转轴和三个相互垂直的反转面。
4.晶胞内原子排列：菱方相空间群中的原子在晶胞内呈立方密堆积排列，即每个晶胞角落有一个原子，原子间距离相等。
二、菱方相空间群的应用领域菱方相空间群在材料科学、物理学、化学等领域具有广泛的应用，特别是在研究金属晶体、半导体晶体、离子晶体等方面具有重要意义。
通过研究菱方相空间群，可以了解晶体的结构、性质、稳定性等方面的信息，为材料的设计、制备和应用提供理论依据。
三、我国在菱方相空间群研究方面的进展近年来，我国在菱方相空间群的研究取得了显著成果。
不仅在理论研究方面取得了突破，如计算方法、晶体生长机制等方面，还在实验研究方面取得了丰硕成果，如新型材料的合成、晶体结构解析等。
这些研究成果为我国晶体材料科学研究和技术创新奠定了基础。
四、菱方相空间群的研究意义与前景菱方相空间群的研究具有重要的理论和实际意义。
理论上，它为晶体学提供了一个新的研究方向，有助于深入理解晶体的结构与性质关系。
实际上，通过对菱方相空间群的研究，可以为新材料的开发和应用提供指导，如高强度材料、高温超导材料等。
随着科学技术的不断发展，菱方相空间群的研究将为材料科学、物理学、化学等领域带来更多的突破性成果。
总之，菱方相空间群作为一个重要的晶体学概念，在理论研究和实际应用中具有广泛的价值。
第十一讲—空间群(3)1
种不同的滑移面：轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。
轴向滑移：平移矢量平行于反映面，大小是单胞
轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移；n滑移。
+
b
， +
a/2
+
+
b
+
b
b/2
_ ，
a/2
+
b/2
a/2
a/2
+
， +
b/2
b/2
a
a
a
n滑移 如 Pban
3
+ + + +
_ _ _ _
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
Origin on 6
+
5/6+
1/3+ 1/2+ 2/3+ 1/6+ + 5/6+ 2/3+ 1/2+
1/3+ 1/6+ + 5/6+
Origin on 61
2/3+
P65 (C6, No. 170) P62 (C6, No. 171) P64 (C6, No. 172) P63 (C6, No. 173)
空间群平移群
A8
D3
F2 D4
A6
A7
F3
F6
A1
y
D1 A4
F5
F1
F4 D2 A3
A2
x
D'1
晶体旳一切空间群操作能够表为：
r Ri i tn r
其中i=1,2,……h，h为空间群旳阶，而转动操作（真转动和非真转
动）Ri旳集合（i=1,2,…… h'）则构成一种点群，叫做空间群旳点
群。
一般用：G
{I };
{IC3
z
},{IC
1 3
z
};
{IC2 y },{IC2C },{IC2D };
4.2.5 二维空间群
三维 七个晶系 14种布拉菲格子
二维 四个晶系 5种布拉菲格子
晶系
单胞
点群 • 点群 空间群数
旳阶
斜形 • 简朴斜形
矩形 • 简朴矩形 • 有心矩形
C1
1
2
C2
2
C1h
2
4
C2v
三维晶体都有一种晶格，原子能够在格点上，也能够不在格点
上，如金刚石晶体旳原胞图如下：
z A8
z
A7
A5
A8
A5
A6
F3
F2
A7
A6
F6
y
F4
y
A4
A3
A1
A1
A2
x
其中，在A1~A8立主体构成常用元胞， 各点有一种碳原子，在六个面心位置
上：F1~F6也各有一种碳原子，在四
个对角线旳
1 4
处：D1~D4也各有一种
基矢：晶体学原胞 t1 ai t2 aj
第五章 空间群简介 2014
的一维不可约表示，不同
对
应不同表示（
数目= N）。
（平移群不可约表示的正交关系）
也有
（平移群不可约表示的完全关系；平移群特 征标的正交关系）
固体物理中两个重要关系式
6
二、空间群（Space group）
转动平移算符 ：
（R：点操作，
z
：空间中任一矢量） 所有可能的转动平移算符
组成的集合构成群，称为广
体的空间群（230 种） 。
是晶体空间群群元，有
是晶格平移群群元，有
10
对电子能带波函数
，n ：能带指标，有
则有：
晶体倒易空间中，
格点与
格点能量值相同。
11
因此，只需研究倒易空间1/4或1/8象限内的格点。
R
义空间群，是无限群。
y
广义：不针对任何实际物体。 狭义空间群特指晶体空间群。
O x
7
1. 封闭性
2. 单位元 3. 逆元 4. 结合律
8
◆ 平移群 {
证：
} 是广义空间群的正规子群。
有：左陪集 = 右陪集
9
晶体空间群（简称空间群）：
保持晶体的晶格结构（布拉菲格子）及其所占空
间位置不变的所有转动平移操作的集合，称为该晶
第五章 空间群简介
一、布洛赫（Bloch）定理与平移群
Bloch 定理：
：晶格平移矢量，
：波矢量。
• Bloch 定理可由群论导出。
1
原胞（晶格中反映周期性的体积最小的结构单元）由正
格子基矢表示 。格点表示为
原胞体积： 引入倒格子基矢：
正-倒格子基矢间关系：
数学上，正格矢与倒格矢表示的空间没有本质区别。
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
空间群k点选择
空间群k点选择全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间群是晶体学中研究的一个重要内容，它揭示了晶体结构的对称性和周期性。
在空间群的描述中，k点的选择是十分关键的，它不仅影响到晶体的简并度和性质，还可以用来计算材料的电子结构和光学性质。
空间群k点选择的问题也成为了晶体学中一个重要的研究方向。
在实际计算中，我们通常使用第一布里渊区（First Brillouin Zone）来代表晶体的全波矢空间。
在这个区域内，我们需要选择一组关键的k 点来描述晶体的能带结构和电子态密度分布。
这些k点的选择不仅要考虑到空间群的对称性，还要满足计算精度和效率的要求。
在实际计算中，选择合适的k点是至关重要的。
我们需要考虑到空间群的对称性在k点选择中的作用。
空间群包含了平移、旋转、镜面反射等一系列操作，而这些操作会对能带结构和电子性质产生影响。
在选择k点时，我们需要考虑到空间群的对称元素，并在合适的位置上选择k点来描述晶体的对称性。
我们还需要考虑到计算的精度和效率。
在实际计算中，我们通常会使用密度泛函理论来描述材料的电子结构，这就需要在k点网格中选取足够密集的点来积分波函数和能量。
如果选择的k点太稀疏，就会导致计算的误差增大；反之，选择的点太多，又会增加计算的时间和成本。
在选择k点时，需要平衡计算的精度和效率，选择一个既满足计算需求又具有代表性的k点网格。
在实际应用中，我们还需要考虑到晶体的特殊性质和应用需求。
不同的晶体结构会对k点的选择产生不同的影响，有些晶体可能需要更多的k点来描述其能带结构和性质，而有些晶体则可以通过较少的k点来近似描述。
在选择k点时，需要根据具体的晶体结构和应用需求来确定合适的数量和位置。
第二篇示例：空间群K点选择是凝聚态物理中一个非常重要的概念。
在固体中，晶体结构是由晶格和原子组成的，而晶格的对称性又决定了固体的物理性质。
空间群是描述晶体的对称性的数学理论，而K点则是描述晶体中的电子结构的关键点。
空间群
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
第十三讲—空间群(5)
正 交 222, mm2, mmm P
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
P 21 21 21
No.
19
½
+
_
P 212121 4 D2
¼ ¼ ¼
+
¼ ¼
½+
_
½+ ½
_
+
+
¼
Origin halfway between three pairs of non-intersecting screw axes
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
二次螺旋轴
平行于纸面
c/2 a/2或b/2 无
4 6
四次反演轴
六次旋转轴
三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴
c/3
2c/3 无
61 62 63 六次螺旋轴 64 65
3
6
六次反演轴
对称面符号
符号 对称面
图示符号
垂直于投影面 平行于投影面
滑移特征
没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
m a, b
反映面 (镜面)
轴滑移面
c n d
对角滑移面 (网)
230种空间群
空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。
点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。
空间群一共230个，它们分别属于32个点群。
晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。
属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。
230种晶体学空间群的记号
Ci
I
2m
2m P P P I
m 1m P
m2 m2
m
3m 3m I P
Pm Im m
1 三斜晶系
2 单斜晶系
3 斜方晶系
4 四方晶系
为2，
为⊥m，5 三方晶系
6 六方晶系
(191) P6/mmm 7 等轴晶系。
晶体内部结构的微观对称和空间群
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
bLeabharlann aPaCMonoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
➢ 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
➢ 优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 ➢ 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系： dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010
空间群
矩阵乘法
1 0 0 x x 2次旋转矩 0 1 0 y y 阵 0 z z 0 1
倒反中心(Inversion center)
倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of
0 cos sin 0 0 sin cos 0 1 0 0 1
旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对
垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， f G 有
ef fe f
d)可逆性。 对任意元素 f G ，存在逆元素 f 1 G ，使 f 1 f ff 1 e 则称集合G为一个群。
晶体学点群
晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称
作晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操
非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映。
对称操作和对称元素
对称操作：
晶体的对称群与空间群的分类与表示
晶体的对称群与空间群的分类与表示晶体是由原子、分子或离子按照一定的几何排列规律而形成的固体物质。
晶体的结构对于物质的性质和行为具有重要影响，而晶体的对称性则是晶体结构研究的核心之一。
晶体的对称群和空间群是描述晶体对称性的重要工具，本文将探讨晶体的对称群与空间群的分类与表示。
一、晶体的对称群对称群是指在某种操作下保持晶体结构不变的一组操作的集合。
晶体的对称群可以分为平移对称群和点群。
平移对称群是指晶体在平移操作下保持不变的一组操作，而点群则是指晶体在旋转、镜面反射和反演操作下保持不变的一组操作。
对于平移对称群，可以通过研究晶体的晶格来进行分类。
晶格是指晶体中原子、分子或离子排列的周期性重复结构。
根据晶格的性质，可以将晶体的平移对称群分为14种布拉菲格子。
这些布拉菲格子包括简单立方格子、体心立方格子、面心立方格子等。
每种布拉菲格子都具有特定的对称性操作，如平移、旋转和镜面反射等。
对于点群，可以通过研究晶体的晶体学元胞来进行分类。
晶体学元胞是指晶体中最小的重复单元，可以通过平移操作得到整个晶体。
根据晶体学元胞的对称性，可以将晶体的点群分为32种。
这些点群包括三角晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱面晶系和六方晶系等。
每种点群都具有特定的对称性操作，如旋转、镜面反射和反演等。
二、晶体的空间群空间群是指晶体在平移、旋转、镜面反射和反演等操作下保持不变的一组操作。
空间群是对称群的扩展，包含了更多的对称性操作。
根据晶体的对称性，可以将晶体的空间群分为230种。
空间群的表示可以通过国际晶体学表（International Tables for Crystallography）中给出的符号来进行。
这些符号包括Hermann-Mauguin符号和Schoenflies符号。
Hermann-Mauguin符号是一种简化的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群。
Schoenflies符号是一种更详细的表示方法，用来描述晶体的点群和空间群的具体对称性操作。
各个空间群晶胞与原胞的转换
各个空间群晶胞与原胞的转换
空间群与晶胞、原胞的转换是一个复杂的过程，涉及到晶体学和空间几何的知识。
以下是一些基本的概念和步骤：
1.了解空间群：空间群是描述晶体内部结构对称性的基本对称元素。
空间群可以用符号表示，例如
Pm3m、P4/mmm等。
每个空间群都有一组特定的对称元素，如镜面、旋转轴、反轴等。
2.确定晶胞参数：晶胞是晶体结构的基本单元，由三个互相垂直的向量a、b、c和一个角度θ表示。
晶胞参数包括晶格常数a、b、c和α、β、γ等角度。
3.确定原胞参数：原胞是比晶胞更小的单位，是晶胞的一部分。
原胞的参数与晶胞相同，但可以包
含更多的原子或分子。
4.空间群的转换：通过特定的变换操作可以将晶胞参数和原胞参数转换为不同的空间群。
这些变换
操作包括旋转、镜面反射、反轴等。
5.确定原胞中的原子或分子：在确定了原胞参数后，可以根据空间群的对称性确定原胞中的原子或
分子的位置。
这通常涉及到对原胞进行平移、旋转或镜面反射等操作。
需要注意的是，空间群与晶胞、原胞的转换是一个复杂的过程，需要深入了解晶体学和空间几何的知识。
在进行具体的转换操作时，建议参考相关的专业书籍或咨询专业人士的意见。
230种空间群符号及含义
空间群（Space group）是一种描述晶体结构的数学工具，它把晶体中的所有原子看作点，并使用符号（由数字和符号组成）来表示这些点的几何排列。
空间群的种类非常多，通常在几千种以上，但常用的只有几十种。
以下是一些常用的空间群符号及其含义：
1. 225型空间群（P22_1_5）：这种空间群表示具有两套相互垂直的近正方形的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。
2. 432型空间群（P4_3_2）：这种空间群表示具有四套相互垂直的矩形排列的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。
3. 62型空间群（I6_2）：这种空间群表示具有六套相互垂直的六边形排列的复杂晶体结构，每个原子都在一个平面上，通过角顶相互连接。
4. 61型空间群（P6_1）：这种空间群表示具有六套相互垂直的六边形排列的简单晶体结构，每个原子都在一个六边形的顶点上。
5. 31型空间群（P3_1）：这种空间群表示具有三套相互垂直的平面排列的简单晶体结构，每个原子都在一个平面上。
需要注意的是，空间群的种类非常多，不同文献和教科书可能会对同一晶体的空间群描述有所不同。
因此，在进行晶体结构分析时，需要参考具体的文献或教科书来确定具体的空间群符号和含义。
此外，不同的晶体结构也可能需要不同的计算参数和方法，因此在应用空间群进行晶体结构分析时需要选择适当的软件和算法。
目前常用的晶体结构分析软件如VESTA、Pymatgen等都提供了对空间群的详细解释和使用方法。
以上就是部分常见的空间群符号及含义，如果您需要了解更多空间群的符号及含义，建议您查阅相关的专业书籍或咨询专业人士。
空间群在文章中的表达形式
空间群在文章中的表达形式1.引言【1.1 概述】空间群是固体结构中的一种重要组织形式，它描述了晶体中的原子或分子在空间中的排列方式和周期性。
空间群在材料科学、化学、物理学以及生物学等领域都有广泛的应用。
在科学研究和工程实践中，了解和掌握空间群的定义、特点和表示方法对于分析和设计晶体结构至关重要。
空间群的定义与特点是我们理解和研究该概念的基础。
在晶体学中，空间群是指所有保持晶格不变的空间对称操作的集合。
这些对称操作包括平移、旋转、镜面反射等，可通过数学表达式进行描述。
每个空间群都具有一些独特的特点，如对称性的类型、晶体的点群和晶胞的形状等。
空间群的特点直接决定了晶体的物理性质和结构稳定性。
空间群的分类与表示方法是研究和表达空间群的重要手段。
根据国际晶体学联合会（International Union of Crystallography, IUCr）的分类法，空间群可以分为230个不同的类型。
这些类型根据空间群的对称性和操作方式进行划分，每个类型都有一个特定的编号和名称。
此外，空间群还可以用不同的表示方法进行描述，如赝空间群、世界坐标系下的坐标变换等。
这些表示方法方便了晶体学家和科研人员对空间群进行研究和应用。
本文将全面介绍空间群在文章中的表达形式。
首先，我们将详细探讨空间群的定义与特点，帮助读者全面了解空间群的基本概念及其作用。
然后，我们将介绍空间群的分类与表示方法，以便读者能够有效地区分和辨识不同类型的空间群。
最后，我们将讨论空间群在文章中的重要性以及不同表达形式对文章的影响。
通过本文的阅读，读者将能够更好地理解和运用空间群的概念，为相关科研和实践提供有力支持。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构是指文章的整体框架和组织方式。
一个好的文章结构可以使读者更好地理解文章的内容，帮助作者清晰地表达思想和观点。
本文的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。
空间群
国际符号international symbol 采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。
国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。
如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。
熊夫利斯（Sch öenfles ）符号C n ：字母表示旋转的意思，组标n 表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。
例如C 2代表二次旋转轴。
C nh ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。
C nv ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。
C ni ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个对称中心。
C i：表示有一个对称中心。
S4：表示有一个四次旋转倒反轴。
D n：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。
D nh：表示除了D n的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。
D nd：表示除了D n的对称性外，还包括n个T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。
T h：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。
T d：除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。
O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。
O h：除了O的对称性外，还包括T d与T h的对国际符号与熊氏符号对比国际符号熊氏符号1C 12C 23C 34C 46C 6m C sC i ，S 2S 14其它注意事项由于分子没有无限周期性的限制，所以分子点群的数目要多于晶体中的点群数目32个； 自然界对称性很多，例如：五度对称性，足球，富勒烯C 60,buckministerfullerence ，碳管小结summary密勒指数（Miller indices）对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要！ 只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。
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滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
基本对称操作
• 组成空间群的商群 • 给出了其位置 • 基本操作决定了是点式空间群还是非点式
对称操作确定空间群！！
基本对称操作决定点式与非点式空间群
生成操作的选取
• 生成单胞内所有一般点等效位置的操作， 包含平移操作
等效点系
• 晶胞中对称元素按照一定的方式排布。在晶
胞中某个坐标点有一个原子时，由于对称性 的要求，必然在另外一些坐标点也要有相同 的原子。这些由对称性联系起来，彼此对称 等效的点，称为等效点系。 • 等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置 。
确定晶体中原子的位置！！！
Wyckoff位置：表示单胞内不同类型
点的位置的一种符号，反映了其对称性
在国际表中包含的一个最有用的信息是Wyckoff位置。
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
P222
PMMM
Cmm2
出现滑移面
各晶系空间群特征概要
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素 空间群与点群的关系：
原点在4 P4mm=p4mg P4gm=p4gg 第二位的滑移面是非点式空间群特有的 原点在2
P3m1=p3g1 原点在（100）滑移面上。对称性低， 一般不这么取
p31m=p31g
三个滑移线不同点， 所以p31g中的三个 滑移线轴不共点！
P6mm=p6mg=p6gm=p6gg
六方， 三方中，每组3个滑移线不同点！ 3次，6次轴不和滑移线相交！
写出
1 m[100] | 0, , 0 r 2 的矩阵表示 1 1 m[001] | , , 0 r 2 2
金刚石滑移
空间群推导
点群 点阵
点阵对称性和点群的协调性 点式空间群 能否替换 用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群 非点操作的位置
2
由对称操作的几何符号求对称操作矩阵
x0 x0 { R | l } y0 y 0 z z 0 0 e.g .: x0 l ( I W ) y0 z 0
点式空间群
Pmm2
Pm空间群的 Wyckoff位置
多重性 Wyckoff记号 点对称 坐标
2
1
c
b
1
m
(1) x， y， z
x， ½， z
(2) x， - y， z
1
a
m
x， 0， z
在晶体结构描述中，经常把多重性和Wyckoff 记号结合在一起作为等效位置的名称。如把Pm 空间群中的等效点位置称为1a,1b,2c 等。
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群： pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
平行四边形（a≠b, ≠90°）
平面群：p1和p2
a b
平面群： p4, p4mm 和 p4gm
正方 (a = b, 90°)
平面群：p3, p31m, p3m1, p6 和 p6mm
面心矩形 (a = b)
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
32个点群
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
第三章 空间群
• • • • • • 非点式操作 平面空间群 对称操作表示方法 三维空间群 各晶系空间群特征概要 国际表简介
非点式对称操作
• 非点式对称操作：是由点式操作与平移操 作复合后形成的新的对称操作，平移和旋 转复合形成能导出螺旋旋转，平移和反映 复合能导出滑移反映。
T Groups （四面体群）
23T
m3Th 2 3
m
43mTd
+3 = 30
O Groups（八面体群）
432O
m3mOh
4 2 3 m m
+2 = 32
由极射赤平投影图判断点群
由晶体外形判断点群
正四锥具有哪些操作
四方双锥 复四方双锥
从晶系到空间群
7个晶系
一组原子（或分子）。
结构基元和不对称单位的区别：结构基元和点阵点代表的内容相应，在初基晶 胞中，整个晶胞构成一个结构基元；但结构基元（单胞）可以包含几个不对
称单位。
不对称单位经过空间群全部对称操作（平移+点对称操作）产生整个空间 结构。结构基元只需空间群的平移操作就可以产生整个空间结构。
非对称基元
商群与一般等效位置
• 空间群最小需要多少对称操作来描述—商群 • 商群特点： 商群与点群一一对应 商群不一定是点群 商群中不含整数平移操作 空间群中的任何操作都可以用h个基本操作 与平移群的操作组合而得
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系 点阵类型加一般等效点系描述空间群
平面群：cm 和c2mm
菱形 或 六边形 (a = b, 120°)
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
点对称一样， 空间群不同
滑移线位置确定！
等价群！
C2mm=c2mg=c2gg
非点式空间群中的非点式操作都是 点式操作和平移操作的组合。
点操作加平移可以导出部分滑移
为什么不能放在0.5处？？？
三方晶系 二次轴的位置不同对应不同的空间群
六角单胞与菱形单胞
R3c在六角和菱形单胞中的区别
1，六角单胞中有18个一般等效位置，但在三角中只有6个 一般等效位置 2，单胞体积比为3：1 3，坐标变换矩阵
六角晶系
立方晶系 P23
立方晶系空间群特点
• 商群的阶最高位48，对于F单胞， 有192个 一般等效位置
不对称单位（ Asymmetric Unit ）
为描述结构，只需确定晶胞中每套等效点系中的一个原子的坐标，这套等效点
系中的其它原子的位置就可以从空间群对称操作推出。
不对称单位：是当应用全部空间群的对称操作(平移+点对称操作) 后可以填充 整个空间的最小空间区域。 在结晶学里，不对称单位可以包含一个原子或
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表 提供的信息的是：
1. 空间群的国际符号
2. Schoenflies符号
3. 晶系
4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。 “+”表示 z>0， “- “表示z<0; “，”表示点“被翻转” (镜面操作或反演)。
纯旋转轴
{R | }n {R n | t} t 0, 纯旋转 {R | }r r，轴位置 t 0, 螺旋轴，螺旋分量 g t / n 平移的位置分量： l g 螺旋轴的位置{R | l }r r
旋转轴的指向：
旋转倒反
• 倒反中心： {R | }r r • 轴的位置： {R | } r r
为什么三个螺旋轴互相不相交？
24 号空间群 I 212121
• 三个螺旋轴互相不相交，而三个附件二次 轴也不相交 • I222 和I212121有相同的对称元素，但它的 轴相交 三轴相交为点式空间群，不相交为非点式空 间群—点式空间群里包含非点式操作
33号空间群：Pna21
附加二次螺旋轴
Fddd 空间群
`
6. 对称图： 单胞的对称元素
7. 点位置(首先一般等效点，然后特殊点) ：
多重性(等效点的个数)
“Wyckoff记号“
在该位置的点对称性（site symmetry） 点的坐标
8.出现衍射的条件 9-12：（略）
题头：
俯视图
方向
原点