公倍数和公因数的复习课
奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案
数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。
（3）a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。
（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。
六年级公因数与公倍数
学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题公因数与公倍数教学内容1．理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数的区别；2．理解公倍数、最小公倍数的意义，掌握求公倍数、最小公倍数的基本方法；3．会合理使用列举法、分解素因数法、短除法求两个数的最大公因数、最小公倍数．（此环节设计时间在40－50分钟）案例1：公因数、最大公因数操作：请分别写出6的因数，8的因数；6 的因数：1 、2 、3 、6 ；8 的因数：1 、2 、4 、8 ；问题：6与8相同的因数是什么？你能否给出几个数的公因数的定义？定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数例1：求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数。
解：8的因数有1，2，4，8；9的因数有1，3，9；8和9只有公因数1，因此8和9的最大公因数是1；结论：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．练习1．下列每组数中的两个数不是互素的是（）A、5和6；B、21和9；C、7和11；D、25和26．2．下列每组数中的两个数是互素数的是（ ）A 、35和36；B 、27和36；C 、7和21；D 、78和26．参考答案：1．B ； 2．A ；例2：求18和30的最大公因数．解法1：18的因数有1，2，3，6，9，1830的因数有1，2，3，5，6，10，15，3018和30的公因数有1，2，3，6最大的公因数是6解法2：把18和30分别分解素因数18＝2×3×330＝2×3×518和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数；结论：求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的公共素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数 解法3：为了简便，也可以用短除法计算21830(2)39153 35 用公有的素因数除（用公有的素因数除）（除到两个商互素为止）18和30的最大公因数是2×3＝6求下列各组数中的最大公因数；（1）45和75 （2）36和90 （3）48和72参考答案：（1）15； （2）18； （3）24案例2：公倍数、最小公倍数操作：请分别写出3的倍数，4的倍数；3的倍数： 3，6，9，12，15，18，21，24，27…；4 的倍数： 4，8，12，16，20，24，28，36，40…；问题：3与4相同的倍数是什么？你能否给出几个数的公倍数的定义？练习例：求18和30的最小公倍数．解法1：18的倍数有18，36，54，72，90，…；30的倍数有 30，60，90，120，160，….所以18和30的最小公倍数是90．解法2：把18和30分解素因数18＝2×3×330＝2×3×5探究：18和30的公倍数里，应当既包含18 的所有素因数，又包括30的所有素因数，但相同的素因数可以只取一个，只要取出18，30的所有公有的素因数（1个2和1个3），再取各自剩余的素因数（3和5），将这些数连乘，所得得积2×3×3×5（90）就是30和18的最小公倍数所以18和30的最小公倍数是90（2×3×3×5）结论：求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得得积就是这两个数的最小公倍数解法3：用短除法 21830(2)39153 35 用公有的素因数除（用公有的素因数除）（除到两个商互素为止）18和30的最小公倍数是2×3×3×5＝90求下列各组数中的最小公倍数；（1）36和84； （2）42和14； （3）16和24；参考答案：（1）252；（2）42；（3）48练习3 532 18的素因数30的素因数 18与30公有的素因数定义：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．（此环节设计时间在20－30分钟）例题1：（1）因为10与11 是互素数，所以10与11的公因数是；（2）17和18的最大公因数是___________；（3）两个相邻正整数的最大公因数是；参考答案：（1）1；（2）1；（3）1试一试：（1）3和11的最大公因数是；（2）8和15的最大公因数是（2）18和36的最大公因数是；（3）6和48的最大公因数是；通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。
因数和倍数复习课教案
复习目标 复习重难点
教具准备
1、使学生牢固地掌握因数和倍数的有关概念，明确概念之间的区别及联系。 2、使学生初步学会分类整理的方法，感受事物是相互联系的，掌握一定的 学习方法。 3、培养学生分析、判断、推理、概括的能力，使学生养成合作学习和勇于 探索的良好品质。
获
样，自觉地把相关联的知识系统化，并依靠一定的学习方法，才能把所学的知识融会贯通，做到既长知识，
又长智慧，一节课结束了，但是我们的学习和思考永远不会结束。运用我们学习的方法继续后面知识的整
全
理和复习。
课
2、强化提高练习。
小
结
第-6-页
1、复习整理此单元的概念，使其在学生头脑中形成网络，明确概念之间的区
别联系。
2、利用所学知识解决实际问题。
PPT
教ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学
过
程
一
1、衔接：出示课前复习整理纲要：
情
（针对本单元特点，让学生先独立构建知识结构图，教师要把整理的方法和内容定位好，提高课前整理的
景
实效性。）
(1) 复习整理本单元的几个基本概念，找出他们之间的联系。
并让学生明白：1 是一个特殊的数，1 不但是自然数的单位，而且所有的自然数都有因数 1，所以 1 是所
有自然数的公因数。1 既不是质数也不是合数。（一个数最小的因数是 1。1 是最小的奇数。）自然数可以
怎样进行分类？自然数按是否是 2 的倍数分为奇数和偶数）（自然数（0 除外）按因数的个数分为质数、
教
学
过
程
第-2-页
补充：“倍”比“倍数”概念广，如 15÷3=5 及 1.5÷0.3=5 续
部编版五年级数学下册第四单元《公倍数和最小公倍数的认识及应用》 (复习课件)
对。
（选题源于教材P71第4题）
5. 每只蝴蝶只落在自己数字的倍数的花朵上。哪朵花上 两只蝴蝶都会停留，就将这朵花涂上紫色。
24，48，72这三朵花上两只蝴蝶都会停留，涂色
略。
（选题源于教材P71第5题）
知识点 1 认识公倍数和最小公倍数
1．写出6和9的倍数、公倍数和最小公倍数。 6的倍数：_6_，__1_2_，__1_8_，__2_4_，__3_0_，__…______ 9的倍数：__9_，__1_8_，__2_7_，__3_6_，__4_5_，__…______ 6和9的公倍数：______1_8_，__3_6_，__5_4_，__…____ 6和9的最小公倍数：_________1_8____________ 我发现：两个数的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数)。
3×2×3＋3＝21(个) 答：这些苹果最少有21个。
提升点 2 三个数最小公倍数的运用
6．五年级参加植树的学生人数在50～70范围内，如 果每3人、5人、6人一组都正好分完，五年级参加 植树的有多少人？ 3，5，6的最小公倍数是30。 30×2＝60(人) 答：五年级参加植树的有60人。
7．一次聚餐共用了66个碗，每人一碗饭，两人一碗 菜，3人一碗汤，参加聚餐的有多少人？
6和18的公倍数中有36，21和14的公倍数中有84， 12和8的公倍数中有48。
（选题源于教材P71第3题）
4. 下面的说法正确吗？说一说你的理由。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
错。因为当两个数成倍数关系时，它们的最小公
倍数是它们中较大的数。
（2）两个数的积一定是这两个数的公倍数。
8和12的最小公倍数是24。 答 ： 这 些 白 菜 至 少 有 24 棵 。
苏教版五年级下册数学《公倍数和最小公倍数》公倍数和公因数说课教学复习课件
6 12 24 18 36 9 27
30 42 48 54… 45 63
…
…
6和9的公倍数
返回
因数与倍数 公倍数和最小公倍数
同步练习
课堂练习
1. 在2的倍数上画“△”，在5的倍数上画“○”。
2和5的公倍数有 10、20、30… ， 最小公倍数是 10 。
返回
因数与倍数 公倍数和最小公倍数
2.照样子画出4的倍数和6的倍数，再填空。
方法二：
方法三： 先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的因数。从中找出最大的。 27 的因数：1，3，9，27
方法四： 先写出18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 。从大到小 依次看18 的因数是不是27 的因数，9 是27 的因
练一练：找出 16 和 24 的最大公因数。
返回
因数与倍数 公倍数和最小公倍数
探究新知
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺右 边的两个正方形。
例 11
可以正好铺满哪个正方形？
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
6÷3=2 6÷2=3
8÷3=2……2 8÷2=4
可以正好铺满边 不能正好铺满边 长6厘米的正方形。 长8厘米的正方形。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
4和6的公倍数有 12、24… ， 最小公倍数是 12 。
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因数与倍数 公倍数和最小公倍数
3.先填一填，再说出6和8的最小公倍数。
50以内6的倍数 50以内8的倍数 50以内6的倍数 50以内8的倍数
6 12 18 24 30 36 42 48
8 16 24 32 40 48
6 12 18 24 8 16 30 36 42 48 32 40
公因数和公倍数的复习
公因数和公倍数的整理和复习教学目标：1、学生通过自主回顾、整理，弄清公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数等概念的区别和内在联系。
2、培养学生自主学习、自主构建、自主检验、自主分析与整理的能力。
教学重、难点：重点：自主回顾、建构知识网络。
难点：对易混淆的概念进行判断、分析。
教学程序：教师激情导入：同学们，你们喜欢挑战吗？你们愿意接受挑战吗？现在我们进入挑战第一关。
第一关回顾关教师板书8 12 。
提问：“看到8、12，你能想起哪些关于第七单元的知识？看谁说的快，说得全面。
”教师在8的后面板书24，在12后面板书5。
提问：“你们现在又能想起哪些有关第七单元的知识呢？”下面请同学们小组合作一起来交流一下。
师：哪个小组愿意展示本组交流的成果？（教师根据学生的回答，板书补充概念，并分析8与24，12与5之间有什么关系。
）师：他们的公因数和公倍数分别是多少？为什么？师：那他们的最大公因数和最小公倍数分别又是多少？为什么？师：那是不是求两个数的最小公倍数和最大公因数都可以这样做？教师引导学生得出，这是特殊的求最大公因数和最小公倍数的方法。
如果一组数不符合上述条件，我们就要用短除法来求他们的最大公因数和最小公倍数。
师：同学们，请看黑板，8、24、12、5让我们回顾起这么多知识概念。
闯关成功。
下面我们进入第二关。
第二关整理关师：同学们，我们刚才谈到了很多知识、概念，那大家能不能想办法给他们排排次序，或建立表格，或画图，使别人一看就能明白他们之间的关系呢？学生小组讨论并尝试制作。
小组成果展示，并说明理由。
教师出示准备好的网络图，阐明自己构图的理由。
同时引导学生将自己的网络图与教师的网络图进行对比。
学生进行自我评价并对网络图进行改进。
第三关明辨关1、两个数的最大公因数，是他们的最小公倍数的因数。
（）2、两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
（）3、较小数是较大数的因数，那么较小的数就这两个数的最大公因数。
如16和32的最大公因数是16。
苏教版五年级下册数学《公倍数和最小公倍数》公倍数和公因数培优说课教学复习课件
9的倍数：9，18，27，36，45，54，… 其中18，36，54，也是6的倍数。 6和9的公倍数有18，36，54，…其中最小的是18。
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
6和9的公倍数有18，36，54，…其中最小的是18，18就是 6和9的最小公倍数。
8是2和3的公倍数吗？为什么？
8是2的倍数，不是3的倍数，所以 8不是2和3的公倍数。
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
6和9的公倍数有哪些？其中最小的是几？
学习回顾
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
探究活动2
6和9的公倍数有哪些？其中最小的是几？
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
8÷3=2……2 8÷2=4
边长8厘米
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？
3厘米
2厘米
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
这样的长方形纸片还能正好铺满边长是多少厘米的正方形？
苏教版小学数学五年级下册：公倍数和最小公倍数
6，12，18，24，…既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和 3的公倍数。
【参考答案】举例研究，1次关，2次是开，依次类推，用奇偶性来判 断，奇数关，偶数开，第24后开，开关199后是关。
知识点2：最小公倍数。 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个数，是这几
个数的最小公倍数。
【例】找出8和6的最小公倍数。
知识梳理
【讲解】6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48…；8的倍数有：8、 16、24、32、40、48…；6和8的公倍数有：24、48…，最小公倍数是24。
小升初22次课程02-公因数和公倍数(教师版)
公因数和公倍数内容分析公因数和公倍数是六年级数学上学期第一章内容，是小升初考试考察内容之一.本节重点是掌握公因数和公倍数的概念，以及求最大公因数和最小公倍数的方法，难点是求2个或3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构公因数和最大公因数公因数和公倍数公倍数和最小公倍数模块一：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、求最大公因数方法（总结）（1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数（2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们共有素因数的乘积 （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数（一般用它们的公有素因数去除，为了计算更加灵活简便除数不一定非得是素数，可用较大的公因数去除）例： 2 18 24 3 9 12 3 4 所以，18和24的最大公因数为632=⨯（4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是1；如果两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的一个数注：如果两个数既不互素，也不存在倍数关系，一般可用短除法或者分解素因数法【例1】求出下列各组数的公因数．（1）14和42； （2）121和44； （3）28和56； （4）17和9．【难度】★【答案】（1）14； （2）11； （3）28； （4）1． 【解析】（1）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数；（2）两个数既不是倍数关系，也不是互素关系，用短除法； （3）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数； （4）两个数互素，最大公因数是1；【例2】指出下列哪组中的两个数互素．（1）3和5； （2）6和9； （3）14和15； （4）18和1．【难度】★【答案】（1）（3）（4）．【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【总结】互素两数的几种常见类型：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数；（3）1和其它的任意正整数．例题解析【例3】用短除法求56和36的最大公因数． 【难度】★ 【答案】4．【解析】 2 56 36 2 28 18 14 9∴56与36的最大公因数是2×2=4．【例4】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数． 【难度】★【答案】6； 360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数．【例5】已知m n p 、、都为自然数，且2n p ÷=，12m n ÷=，那么m n p 、、的最大公因数是多少？ 【难度】★★ 【答案】p【解析】m 是n 的倍数，n 是p 的倍数，因此m 是p 的倍数；所以最大公因数是p ． 【总结】若三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数．【例6】求出下列各组数的最大公因数．（1）48和60 （2）112和182 （3）410和 123 （4）96、128和160 【难度】★★ 【解析】略【答案】（1）12；（2）14；（3）41；（4）32【例7】一张长方形的纸片，长为36cm ，宽为21cm ，要把这张纸片裁成同样大小的正方形小纸片而且没有任何剩余，则裁成的正方形纸片的边长最大可以是多少厘米？至少有多少个小正方形？ 【难度】★★★【解析】没有任何纸片剩余，所以小正方形的边长一定要整除36和21，同时还要求小正方形的边长尽可能地长，因此正方形的边长就是36和21的最大公因数。
第6课 公因数与公倍数
第6课公因数与公倍数两个数的最大公因数与最小公倍数有如下关系：最大公因数×最小公倍数=两数之积，即（a、b）×[ a、b]=a×b。
例1：210与330的最小公倍数是最大公约数的多少倍？<分析与解答>1A、18与48的最小公倍数是最大公因数的（）倍。
1B、已知A=2×5×7×13，B=22×3×5×7×11，则它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。
例2：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是180，则这两个数各是多少？<分析与解答>2A、两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是（）或（）。
2B、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，则这两个数分别是（）和（）。
例3：有320个苹果，240个桔子，200个梨，用这些水果，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？<分析与解答>3A、把24个本子，36个文具盒和42支铅笔平均分给尽可能多的小朋友，最多能分给（）人。
3B、有三根钢管，分别长200厘米，240厘米和360厘米，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成（）段。
例4：某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？4A、在1991的后面补上4个数字，组成一个八位数，使它分别能被3、4、5、11整除，且使数值尽可能小，则这个最小的八位数是（）.4B、四位数8□98能同时被17和19整除，那么这个四位数是（）.例5：有一种自然数，它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，则这种自然数除1以外，最小数是多少？5A、一个数用32、36、48去除时都余15，这个数最小是（）。
五年级下册数学因数与倍数单元复习知识梳理与总结
学科教师辅导教案授课类型复习（因数和倍数）教学目标理解因数和倍数的含义，掌握与最大公倍数和最小公因数相关实际问题星级★★★★考点图解知识梳理知识点一：因数和倍数1、几个非零自然数相乘，都叫它们积的因数，积是这几个自然数的。
因数与倍数是2、一个数最小的因数是，最大的因数是，一个数因数的个数是。
（找因数的方法：成对的找。
）3、一个数最小的倍数是它本身，最大的倍数。
一个数倍数的个数是。
（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）4、一个数最大的因数等于这个数。
知识点二：质数和合数1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类①只有自己本身一个因数的②两个因数的数叫作质数（素数）。
最小的质数是。
在所有的质数中，是唯一的一个偶数。
③除了两个因数还有的数叫作合数。
（合数至少有个因数）最小的合数是。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类。
最小的偶数是 .2. ，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的3. ，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的，用符号[ ，]表示。
两个数的公倍数也是的。
8、两个素数的积一定是。
举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的。
举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（）①倍数关系的两个数，是较小的数，是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5②的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。
举例：[3，7]=21，(3，7)=1④一般关系的两个数，求最大公因数用，求最小公倍数用大数。
知识点三：质因数和分解质因数1.质因数：如果一个数的因数是，这个因数就是它的。
2. 数叫作偶数，叫作奇数。
相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点四：2 、5、3的倍数的特征2 的倍数的特征：个位是5 的倍数的特征：个位是3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的。
五年级下期数学专项复习——公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：（1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。
6、求两个数的最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
（3）如果两个数都是质数或者两个数是连续的自然数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1。
11、1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。
12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
苏教版六年级下册数学因数和倍数复习课件
利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两 个数的最大公因数。
例如：求24和36的最大公因数。 2 24 36 6 12 18 23
24和36的最大公因数是2×6 = 12。
两个数既不是互质数关系又不是倍数关系，先用这 两个数公有的因数连续去除（一般从最小的开始），一 直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘 起来。
5.质因数和分解质因数
质因数: 每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式, 这几个质数叫做这个合数的质因数。
分解质因数: 把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来. 叫做分解质因数。
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
30=2×3×5
C 把30分解质因数正确的做法是( )
A.30=1×2 ×3 ×5 1不是质数 B.2 ×3 ×5=30 书写格式不符
1既不是质数，也不是合数。
3.正确填空： （1）一个数是质数，它的因数的个数是（ 2 ）个 （2）一个数是合数，它的因数至少有（ 3 ）个 （3）20以内的质数一共有（ 8 ）个 （4）一个数既是偶数，又是质数，这个数是（ 2 ） （5）在23、43、39、31、53、57、67、87这些数中，质 数有（23、43、3）1、，合数有（39、57、8）7 。
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60， 66，72，78，84，90，96……
10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80，90…… 6和10的公倍数是:30、60、90…… 6和10的最小公倍数是:30。
两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
公倍数与公因数复习
公倍数和公因数基础知识回顾公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。
求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的，最小的公因数是1。
求两个数的最大公因数的特殊情况：当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
如果两个数都是质数或者两个数是连续的自然数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外还有另外的因数叫做合数。
公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3 ；8的质因数有：2、2、2； 6和8的最小公倍数是2*3*2*2=24 24是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1。
11、1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。
12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
练习题一、填空1、30以内3的倍数有（ ），4的倍数有（ ），3和4的公倍数有（ ），最小公倍数是（ ）。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
（2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
（3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种基本情况，区别如下：4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：（1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。
）（2）互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：（1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数：18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数：9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数：9③短除法：3 18 273 6 92 3除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18÷9就是18和27的最大公因数27（2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数：18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48 再找出两个数的最小公倍数：18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数：18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
五年级下册数学课件-第3单元3 复习公因数和公倍数
(左侧3个数与下边2个数之积)。
• 通过对短除法的复习，我们用短除法来完成练习题，帮助大家加强巩固练习。
8.有3根钢管,它们的长度分别是50厘米,75厘米和
100厘米,如果把它们截成同样长的小段,且不能有剩余,
每小段最长可以是多少厘米?可以截成几段? 50,75,100的最大公因数是25,每小段最长可以是25厘米。 50÷25=2(段) 75÷25=3(段)
);
12和8的公倍数有( 24,48,72,… );
12和8的最小公倍数是( 24 )。
求最大公因数与最小公倍数方法之短除法
• 短除符号就是除号倒过来，在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后写下 两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止。如：
(
)
• 24和36最小公倍数是2×2×3×2×3=72 • 或 [ 24 , 36 ]=72
江苏版-五年级-下
第3单元
公因数和最大公因数、公倍数和最小公 倍数
知识点1:公因数的含义
1.填一填。
14的因数有( 1,2,7,1)4,16的因数有
( 1,2,4,8,16 ),14和16的公因数有(1,2
)。
知识点2:求两个数的公因数和最大公因数的方法 2.填一填。 21的因数有( 1,3,7,21 )。 18的因数有( 1,2,3,6,9,18 )。 21和18的公因数有( 1,3 )。 20÷25=4(段) 2+3+4=9(段) 答:每小段最长可以是25厘米。可以截成9段。
6.五(2)班有不少于40名的学生,按每组4人或每组6 人都能恰好分成若干组。五(2)班至少有多少人?
4和6的最小公倍数是12 12×4=48(人) 答:五(2)班至少有48人。
五年级上册第14讲 公因数与公倍数
（377，221）= 13
（511，1314）= 1
互质
6
【典型例题】
例3：老师在阿呆班发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生， 最后还剩5个苹果，7个梨。请问班里（最多）一共有多少名学生。
苹果： 梨：
59－5=54 (个） 97－7=90 (个）
人数是54和90的公因数。
（54，90）= 18
2
互质
三个数最 大公因数 是1
两两互质
（120，264）= 2×2×2×3=24 [ 120，264] = 2×2×2×3×5×11=1320
（240，80，96）= 2×2×2×2=16 240，80, 96] = 2×2×2×2×5×3×2=480
5
【典型例题】
例2：求下列各组数的最大公因数。
13
【课堂精练】
5．用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且 最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
边长是1072和469的最大公因数。
2 1072 938 2 134 134 0 （1072，469）= 67
469 3 402 67
答：这些正方形的边长最长是67毫米。
（54，90）= 18 [ 54，90] = 18×3×5=270
4
【典型例题】
（3）120和264 2 120 2 60 2 30 3 15 5 264 132 66 33 11 （4）240、80和96 240 2 120 2 60 2 30 5 15 33 1 80 40 20 10 5 1 1 96 48 24 12 6 6 2
互质
互质
（54，90）= 2×3×3=18 [ 54，90] = 2×3×3×3×5=270
五年级期末复习方程及公倍数及公因数
2. 奇数和偶数的最小公倍数就是这两个数的积。 （ ）
3.已知两个数的最大公因数是8，这两个数所有的公因数有4个。（ ）
4.所有偶数（0除外）的最大公因数是2.
（）
5.任意两个数的乘积一定是这两个数的公倍数。 （ ）
6.大数是小数的倍数，大数就是两个数的最大公因数。（ ）
7．1和所有非0自然数都没有公因数。
）。
7. 8和12的最大公因数与最小公倍数是（ ）
8. 两个相邻偶数的和是18，它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（
）。
9. 用0，1，2三个数字组成的2，3，5的公倍数中，最小的是（ ），最大的
是（
）。
10. 两个互质数的最小公倍数是91，这两个数的和最大是（
）。
二、判断。
1. 一个数没有最大公因数，也没有最小公倍数。 （ ）
甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相 遇，那么下次相遇至少要多少天？
有两路公共汽车，3路和5路。3路每隔6分钟发一次车，5路每隔8分钟发一次 车。3路和5路的起点站都在一起，它们刚才同时发的车。这两路公共汽车同时 发车以后，至少过多少分钟两路车才第二次同时发车？
10、两个相邻自然数的和是97，这两个自然分别是多少？
11、鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只？
12、妈妈今年的年龄儿子的3倍，妈妈比儿子大24岁。儿子和妈妈今年分别是多 少岁？
13、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/ 本，两套丛书的本数相同，共花了22元。每套丛书多少本？
用某数去除218，170，290都余2，问某数最大是多少？
复习最大公因数,最小公倍数
3 3 7 21
3 7 21
71 7 7
111
三个商没有公因数为止
最后的商两两互质
6、14和42的最大公因数是2。
6、14和42的最小公倍数是2×3x7x1x1x1＝42
短除法求三个数的最大公因数和最小公倍数。
试一试
5 25 35 45
1. 25 35 45
579
25、35和45的最大公因数数是5 25、35和45的最小公倍数是5×5x7x9＝180
解决此类问题：题目读几遍，从中找关键；先看求什么，再 去找条件。
2
8=2×2×2
试一试
60=2×2×3×5 150=2×3×5×5 60和150的最小公倍数是 （ 2×3×5×2×5=24 ） 公因数
6和8的最小公倍数是2×3×2×2=24
公因数
12 24 42的最小公倍数是 （ 2×3×2×2 =168 ）
12=2×2×3 24=2×2×2×3 42=2×3×7
求最大公因数、最小公倍数 及运用
因数与倍数
6÷3=2 6是3的倍数 3是6的因数
最大公因数与最小公倍数
公因数
2 6 10
35
独有因数
没有除了1 以外的公因数
互质
6和10的最大公因数是2 6和10的最小公倍数是2×3×5=30ຫໍສະໝຸດ ①大因乘左边 ②小倍乘半圈
分解质因数法求最小公倍数
26 3
6=2×3
28 24
练一练：
思考：爸爸每工作3天休息1天，也即是4天休一次。妈 妈每工作4天休息1天，也就是5天休一次。也就是求4 和5的公倍数，最快就是要求最小公倍数。 4和5的最小公倍数是20，就是要经过20天可以一起去。 7月1日+20=7月21日
因数和倍数复习课教案
因数和倍数复习课教案第一章：因数和倍数的概念1.1 复习因数和倍数的定义讲解因数和倍数的概念，强调它们是整数的关系。
举例说明，如12的因数有1、2、3、4、6、12，而12的倍数有12、24、36等。
1.2 探讨因数和倍数的关系引导学生理解因数和倍数是相互依存的，一个数的因数是其倍数的一部分。
通过举例，让学生明白一个数的因数个数是有限的，而其倍数是无限的。
第二章：求一个数的因数2.1 复习求一个数的因数的方法讲解求一个数的因数的方法，即列举该数的所有正整数因子。
强调因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是该数本身。
2.2 练习求一个数的因数给学生发放练习题，要求他们求出给定数的因数。
引导学生通过分解质因数的方法求一个数的因数。
第三章：求一个数的倍数3.1 复习求一个数的倍数的方法讲解求一个数的倍数的方法，即用该数乘以任意正整数。
强调倍数的个数是无限的，最小的倍数是该数本身，没有最大倍数。
3.2 练习求一个数的倍数给学生发放练习题，要求他们求出给定数的倍数。
引导学生通过乘法的方法求一个数的倍数。
第四章：因数和倍数在实际问题中的应用4.1 复习因数和倍数在实际问题中的应用讲解因数和倍数在实际问题中的例子，如分配任务、计算时间等。
强调因数和倍数的关系可以帮助解决一些实际问题。
4.2 练习因数和倍数在实际问题中的应用给学生发放练习题，要求他们运用因数和倍数的关系解决实际问题。
引导学生通过分析问题，找到合适的因数和倍数关系来解决问题。
第五章：总结和复习5.1 总结因数和倍数的概念和关系回顾本节课所学的因数和倍数的概念、求因数和倍数的方法以及实际应用。
强调因数和倍数的重要性和应用价值。
5.2 复习练习题给学生发放复习练习题，要求他们巩固因数和倍数的概念和运算方法。
引导学生通过自主练习，巩固所学知识，提高解题能力。
第六章：最大公因数和最小公倍数6.1 引入最大公因数和最小公倍数的概念讲解最大公因数和最小公倍数的定义，解释它们在两个或多个整数关系中的重要性。
大公因数和最小公倍数复习
从这组题中你又发现了什么？
ห้องสมุดไป่ตู้
1. 选出正确答案的编号填在横线上。 (1) 9 和 16 的最大公因数是______。 A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 (2) 16 和 48 的最大公因数是______。 A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 (3) 甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因 数是______。 A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 甲、乙两数的积
所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
巩固练习
1．口答填空： 12的因数是( )； 18的因数是( )； 12和18的公因数是( )； 12和18的最大公因数是( ) 。
30
9
15
3
5
2
3
除到两个商最大公因数 是1为止。
……
例：求18和30的最小公倍数。
我们也可以利用短除法的方法，比较简便 地求出两个数的最小公倍数。
知道吗
求下面每组数的最小公倍数。
36
28
12和36 ( ) 12和4 ( ) 28和14 ( ) 35和5 ( )
要求： 自己独立探索研究，再在小组里交流。 思考：两个数有没有最大的公倍数？
01
03
02
6和9的公倍数
9的倍数
6的倍数
18
36
……
12
24 30
42 48
… …
9 27
45 63
……
12是6和9的公倍数吗？为什么？
27呢？
所以18和30的最小公倍数是：2×3×3×5 =90。
05
两个数的公倍数一定大于其中的任何一个数（ ）。
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三、求最大公因数和最小公倍数的 实际应用问题。
1、工地上有两根长短不一的钢筋，一根长 20米，另一根长12米。要求将两根钢筋分 别截成相等的小段且没有剩余，每段最长 多少米？ 求最大公因数 变形题：工地上有两根长短不一的钢筋， 一根长20米，另一根长12米。要求将两 根钢筋分别截成相等的小段且没有剩余， 最少可以截成几段？ 先求最大公因数，
6米 6米 6米 6米
4米
4米
4米
4米
4米
4米
求最小公倍数 17-1=16（个） 16×4=64（米） 64÷12=5（棵）……4（米） 5+1=6（棵） 答：不用移栽的树有6棵。
变形题：
a、公路一边有一排广告牌，原来每两个广告牌 之间的距离是24米，现在改为36米。如果起 点的一个广告不移动，至少每隔多少米又有 一个广告牌不需栽树共61棵，每隔4米栽 了一棵。现在要改成每隔6米栽一棵树，如果起点的 一棵树不移栽，那么不用移栽的树共有多少棵？
求最小公倍数
5、一盒铅笔，4枝一捆则少2枝，6枝一捆也少2枝。 这盒铅笔至少多少枝？
求最小公倍数 再加上2
类似题：把53块水果糖和49块巧克力分别平均分给 一个组的同学，结果水果糖剩3块，巧克力剩4块， 这个组最多有几位同学？
53-3=50（块） 49-4=45（块） 求最大公因数
求最大公因数
变形题：在一张长40厘米，宽32厘米的长方形 红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且 没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？
先求最大公因数， 再除最后乘。
3.易混淆题：
a、把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形 拼成一个正方形，正方形边长至少是多 少？至少需要多少个这样的长方形？
求最小公倍数 是正方形的边长 （正方形的边长÷宽） （正方形的边长÷长） ×
b、一块木板长20分米，宽16分米，要分成 尽可能大的相同的正方形，且木板没有剩 余，每块正方形木板的面积是多少？可以 分成多少块？ 求最大公因数 是正方形的边长
（宽÷正方形的边长） （长÷正方形的边长） ×
园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树， 一共栽了17棵。现在要改成每隔6米栽一棵树， 不用移栽的树有多少棵？
再除，最后加。
用一种长45厘米、宽30厘米的长方形地砖铺 成一个正方形，至少需要多少块？
求最小公倍数
用一张长40厘米，宽32厘米的长方形纸裁出 同样大小的正方形，且没有剩余。正方形的边长 最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正 方形？
求最大公因数
2.一块长方形铁皮的长是72厘米，宽是40 厘米，要把它剪成同样大小的正方形且 没有剩余，这种正方形的边长最大是多 少厘米？至少被剪成几块？
4、如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大 公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 6 36
二、求特殊数值的最大公因数和最 小公倍数。
求下面数字的最大公因数和最小公倍数。
38和57 34和51 52和91
(38,57)=19 (34,51)=17 (52,91)=13 ［38,57］=114 ［34,51］=102 ［52,91］=364
一、求有特殊关系的两个数的最大 公因数和最小公倍数。
1、A÷B＝8（AB均为非0的自然数），A、B的最大 公因数是（B ），最小公倍数是（ A ）。 2、A＝B+1（或A－B＝1）（AB均为非0的自然数）， A、B的最大公因数是（ 1 ），最小公倍数是 （ AB ）。 3、均是不为0的自然数，如果A ×15 = B，A和B这 两个数的最大公因数是( )，最小公倍数 A 是( )。 B