§平面与立体相交求截交线

线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
棱面均垂直于水平面，截平面与棱线
a
的交点均在棱面的投影上。此题还应
作出两截平面的交线AB的投影。
例题 五棱柱截切后的投影
g′
q′ e′
截交线的性质：
1)截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。(封闭性) 2)截交线的每条边是截平面与棱面的交线。（共有性） 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是 截平面与立体表面上不同平面的交线。
1、求截交线的方法
空间分析：截平面与体的相对位置，确定截 交线的形状；截平面与投影面的相对位置， 确定截交线的投影特性。
主要内容 4.4.1 圆柱截交线 4.4.2 圆锥截交线 4.4.3 圆球截交线
面与圆柱相交所得截交线形状
矩形
圆
椭圆
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
P
PH 截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
三.例题
例、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
1'•
c'(d') 3•'(4•') • a'(b')
2' •
d"
4"•• b"•
2" • • c"
•3" • 1" • a"
b• 4• •d
1•
•2
a• • • c 3
作图过程：
➢ 求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最后 点可确定出椭圆长短轴的端点。 ➢ 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别求 出水平面和侧面投影。 ➢ 光滑地连接各点。
1’
1”
(2)根据线上取点的方法，求出1、
a’
b’
c’ c” a”
2、3和1”、2”、3”
b”
3 1s
2
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
(4') 3' 2' 1'
4• 1
3 2•
3" 4"
2"
1"
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。
面上.
例.求立体切割后投影
6
（5） 4
1
2 （3）
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
1（2） 3（4）
6（5）
6 42
3
1 4
例.平面立体切口投影
2 1
4
3
6
5
Ⅱ Ⅰ
Ⅳ Ⅲ
Ⅵ Ⅴ
例.立体被截切后投影
1’ 2’
3’(4’)
4 2
1
3
1”
4”
3”
一、平面和曲面立体的截交线
截交线是截平面和回转体表面的共有线， 截交线上任意点都是它们的共有点。
圆柱截交线
1'
2'(3)'
1" 3"
4'( 5)'
5"
6(#
7" 8"
7
3
8
1
6
2
4
解题步骤
2"
1.截平面为正垂面,截交线侧面投 影圆,水平投影椭圆;
2. 求 截 交 线 上 的 特 殊 点 Ⅰ,Ⅳ,Ⅴ,
4" Ⅷ;
3.求若干个一般点Ⅱ,Ⅲ,Ⅵ,Ⅶ;
6"
4.光滑且顺次地连接各点,作出截 交线,且判别可见性;
作出各对应点的投影， 依次连接各点。
补全棱锥体的外形投影。
正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 7" 4' （5'） 5"
2' （3'）
3"
6"
分析：由图可知，截交线的
4" 正面投影积聚为一直线。水
平投影，除顶面上的截交线
外，其余各段截线都积聚在 2" 六边形上。
1'
1"
3
5
7
1 6
1.利用截平面的积聚性,找出截平面 2. 在截平面的积聚性投影上找出若干个点（最高、
最低、最前、最后、最左、最右点及一般点） 3．利用“面上找点”确定点的其他两面投影 4，连接各点
曲面立体面上找点
素线法：选取曲面上一系列素线，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。
纬圆法：选取曲面上一系列纬圆，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。
§4-2 平面与立体相交求截交线
平面截切基本形式
截断面 截交线
截平面
截交线与截断面
截切——用平面与立体相交，截去立体的一部分。
截交线 截平面
• 截平面 —— 用以截切物体的平面。 • 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 • 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形成的平面。
一、平面和平面立体的截交线
f′ f″(g″) q″
d′
e″(d″) P″
a′
c′
a″(c″)
P′ b′
b″
e q a
b
d
P c
A,B,C在棱线上
例.求四棱锥被截切后俯视图,左视图
1(2)
2●
1●
2
逐个截平面分析和绘制截交线. 当平面体只有局部被截切时,
先假想三为整面体共被点截切：,求截交
1
线后Ⅰ、再Ⅱ取两局点分部别.同时位于三个
5 整理轮廓线。
求如图所示的开槽圆柱的左视图。
5'（6'） •
•6"
1'（2'）
• • 2" •• 3'（4'） 4"
2 •
•64
•5"
•• 1" 3"
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。