线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

一、行列式的计算（重点考四阶行列式）

1、利用行列式的性质化成三角行列式

行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、

交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】

2、行列式按行（列）展开定理降阶

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122...i i i i in in D a A a A a A =+++1,2,...,i n =

1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++1,2,...,i n =

例1、计算行列式

224041353123

2

5

1

-----

二、解矩阵方程

矩阵方程的标准形式：AX B =XA B =AXB C = 若系数矩阵可逆，则1X A B -=1X BA -=11X A CB --= 切记不能写成11X A B C --=或C X AB

= 求逆矩阵的方法：

1、待定系数法()AB E BA E ==或

2、伴随矩阵法11A A A

-*

=

其中A *叫做A 的伴随矩阵，它是A 的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。

1121112

22212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *

⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎝⎭

3、初等变换法()()1A E E A -−−−−→初等行变换

例2、解矩阵方程315614165278910X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

例3、解矩阵方程 X AX B =+ ，其中 010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭112053B -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

三、解齐次或非齐次线性方程组

设()ij m n A a ⨯=，n 元齐次线性方程组0AX =有非零解()r A n ⇔<

n 元齐次线性方程组0AX =只有零解()r A n ⇔=。

当m n =时，n 元齐次线性方程组0AX =只有零解0A ⇔≠。 当m n =时，n 元齐次线性方程组0AX =有非零解0A ⇔=。

当m n <时，齐次线性方程组一定有非零解。 定义：设齐次线性方程组0AX =的解1,...,t ξξ满足：

（1）

1,...,t ξξ线性无关， （2） 0AX =的每一个解都可以由1,...,t ξξ线性表示。 则1,...,t ξξ叫做0AX =的基础解系。

定理1、设m n A ⨯，齐次线性方程组0AX =，若()r A r n =<，则该方程组

的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于n r -。

齐次线性方程组的通解11...n r n r x k k ξξ--=++1,...,n r k k R -∈

设()ij m n A a ⨯=，n 元非齐次线性方程组AX B =有解()()r A r A ⇔=。

唯一解()()r A r A n ⇔==。

无数解()()r A r A n ⇔=<。 无解()()r A r A ⇔≠。

非齐次线性方程组的通解11...n r n r x k k ξξη--=+++， 1,...,n r k k R -∈

例4、求齐次线性方程组12341234123420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪

++-=⎨⎪+++=⎩的通解

例5、求非齐次线性方程组123412341

2343133445980

x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪

--+=⎨⎪+--=⎩的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论

例6、当λ为何值时，齐次线性方程组0020x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪

+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组1231232

12

32222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩，问当λ为何值时，它有唯一

解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性

12,,...,s ααα线性相关12,,...,(2)s s ααα⇔≥中至少存在一个向量能由其余

向量线性表示。

⇔存在不全为0的数12,,...,s k k k 使得1122..0s s k k k ααα+++=。 ()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭列有非零解 ()1212,,...,0...s s k k k αα

α⎛⎫

⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭

行有非零解

()12///12,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭

有非零解 ()12,,...,s r s ααα⇔<()//

/12

,,...,s r s ααα⇔< 12,,...,s ααα线性无关12,,...,(2)s s ααα⇔≥中任意一个向量都不能由其余

向量线性表示。

⇔若1122..0s s k k k ααα+++=，则12...0s k k k ====。

()12

12,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭列只有零解 ()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫

⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭行只有零解

()12,,...,s r s ααα⇔=()12///12,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫

⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭

()//

/12,,...,s r s ααα⇔=

特殊的，n 个n 维向量12,,...,n ααα线性相关⇔12,,...,0n ααα=或

1

2

0...

n

ααα=。

n 个n 维向量12,,...,n ααα线性无关⇔12,,...,0n ααα≠或

12

0...

n

ααα≠。

例8、已知向量组()1,2,1t α= ，()22,,0t α=，()31,1,1α=-，

讨论t 使该向量组 （1）线性相关 （2）线性无关 六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组

线性表示

设向量组12:,,...,s A ααα，若从A 中选出r 个向量构成向量组