高三阶段性检测含答案
山东省名校考试联盟2023-2024学年高三上学期12月阶段性检测数学答案及评分细则
山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．35； 14．3281； 15．6−； 16．2a ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）方法一：因为等差数列{}n a 中，2616a a +=，所以48a =， …………………………………2分 又因为15355()5(2)3022a a a S +===，所以36a =， …………………………………4分 所以122a d ==，，2n a n =. …………………………………5分 方法二：由，，得 …………………………………2分 解得 …………………………………4分 所以 ………………………………5分 （2）由（1）得2n S n n =+， ………………………………7分所以ABC △. ……………………… 12分 【评分说明】 1.方法一中没有标注t 的取值范围，不扣分；2.方法二中没有指出等号成立的条件扣一分.20．【解析】（1）连接1AB ，设11A B AB M =，则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥，………………1分 因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC平面111ABB A A B =，AM ⊂平面11ABB A ，所以AM ⊥平面1A BC ，因为BC ⊂平面1A BC ，AM BC ⊥，…………………2分又在直三棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BC ⊥， …………………………………3分因为11AM BB B =，AM ，1BB ⊂平面11ABB A ， 所以BC ⊥平面11ABB A ，………………………………4分又因为AB ⊂平面11ABB A ，所以AB BC ⊥； …………………………………5分（2）由（1）得AM ⊥平面1A BC ，则直线AC 与平面1A BC 所成的角为6ACM π∠=，在正方形11ABB A 中，2,2AB AM AC BC =====，…………… 7分建立以B 为原点的空间直角坐标系B xyz −，如图所示：(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，(0,1,1)M ， ………………………8分 设11(2,2,2)A E A C λλλλ==−−，[0,1]λ∈，则11(2,22,22)BE BA A E λλλ=+=−−，又(0,2,0)BA =设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z =，则20(1)(1)0n BA y n BE x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+−+−=⎪⎩，取1x =，则0y =，1z λλ=−，故曲线()n y f x =在2x =−处的切线斜率为12n −．………………………………………2分（2）因为()22e −x f x k 对任意x ∈R 恒成立，则()22122e e −−+−=x x x x f x k对任意x ∈R 恒成立． ……………………………………3分 令212()e −−+=x x x g x ，则()()42e −'=xx x g x ， 故()g x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,4)上单调递增，在[4,)+∞上单调递减 …………4分 又(0)1g =−，且当4x >时， ()0g x >， ………………………………………5分 故()g x 的最小值为(0)1g =−，故1k −，即k 的取值范围是(,1]−∞−． ………………………………………6分(3) ()1111n f n '−=−−−−=−．当1x ≠−时，()()()()()211111.11n n n n n x x f x x x x x x −−−−−'=−+−++−=−=−−+………………7分因此当n 为奇数时，()2311231n n n x x x x f x x n n −=−+−++−−．此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧+−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩ 则()0n f x '<，所以()n f x 单调递减． 此时(0)10n f =>．1()1f x x =− 显然有唯一零点，无最小值．当2n 时，()2312222212231−=−+−++−−n nn f n n()2123212220.321−⎛⎫⎛⎫=−+−++−< ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭n n n n 且当2x >时，()()()231211231311,321n n n n x x x x f x x n n x x n x x x x n n −−⎛⎫⎛⎫=−+−++− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=−+−++−<− ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭由此可知此时()n f x 不存在最小值．从而当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值．………………………………… 8分当2()n k k *=∈N 为偶数时，()2311231n nn x x x x f x x n n−=−+−+−+−， 此时1,1,()1, 1.n n x x f x x n x ⎧−≠−⎪'=+⎨⎪−=−⎩则()n f x 在(,1]−∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()n f x 的最小值为()()111111110,2321n f n n n⎛⎫⎛⎫=−+−++−+> ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ 即()(1)0n n f x f >，当n 为偶数时，()n f x 没有零点．………………………………… 9分在不等式()ln 1(0)1x x x x +>>+中令1x n =可得11ln 1n n n +>+， 分别取,1,,21n k k k =+−可知 ()2111111112342121111111223224211111112322111122−=−+−++−−⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++++−+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++k f k kk k k k k k k……………………………10分 1222ln ln ln ln ln 2,121++<+++==+−k k k k k k k k…………………………11分 即()211ln 2k m f =>−．从而当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−． ……………… 12分综上所述，当n 为奇数时，()n f x 有唯一零点，无最小值；当n 为偶数时，()n f x 没有零点，存在最小值m ，且1ln 2m >−．。
高三阶段性测试题及答案
高三阶段性测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于细胞分裂的描述，不正确的是：A. 细胞分裂是细胞生命周期的必经阶段B. 有丝分裂过程中染色体数量会加倍C. 细胞分裂可以增加细胞数量D. 细胞分裂是细胞生长的唯一方式答案：D2. 以下哪项不是光合作用的产物？A. 氧气B. 葡萄糖C. 二氧化碳D. 水答案：C3. 以下关于遗传物质DNA的描述，正确的是：A. DNA是蛋白质的一种B. DNA分子由核糖核酸组成C. DNA分子具有双螺旋结构D. DNA分子在细胞质中复制答案：C4. 下列关于生态系统的描述，错误的是：A. 生态系统由生物群落和非生物环境组成B. 生态系统具有自我调节能力C. 生态系统中能量只能单向流动D. 生态系统中的物质可以循环利用答案：C5. 以下关于牛顿第二定律的描述，正确的是：A. 力是改变物体速度的原因B. 物体的质量越大，加速度越小C. 力和加速度方向相反D. 力和速度方向相反答案：A6. 以下关于电磁波的描述，错误的是：A. 电磁波可以在真空中传播B. 电磁波的传播速度是光速C. 电磁波是横波D. 电磁波是纵波答案：D7. 下列关于化学反应的描述，不正确的是：A. 化学反应中原子不会消失B. 化学反应中元素的种类不会改变C. 化学反应中分子的种类会改变D. 化学反应中原子的种类会改变答案：D8. 以下关于基因突变的描述，正确的是：A. 基因突变是遗传物质的永久性改变B. 基因突变只发生在生殖细胞中C. 基因突变是生物进化的原动力D. 基因突变是生物进化的唯一方式答案：A9. 下列关于热力学第一定律的描述，正确的是：A. 能量不能被创造或消灭B. 能量可以无限制地转换C. 能量守恒定律不适用于化学反应D. 能量守恒定律只适用于物理变化答案：A10. 以下关于相对论的描述，错误的是：A. 相对论由爱因斯坦提出B. 相对论认为时间和空间是相对的C. 相对论认为光速是宇宙中最快的速度D. 相对论认为质量与速度无关答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 在化学反应中，反应物的总能量与生成物的总能量之间的关系可以用______定律来描述。
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题(含解析)
注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题符合题目要求的．1. 已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （ ）A. ()4,3-B. ()0,3C. ()3,0-D. ()4,0-【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A B ，，再进行集合的交集运算【详解】由12816x <<解得43x -<<，∴{}43A x x =-<<，由250x x +>解得0x >或5x <-，所以{0B x =>或5}x <-，所以A B = (0,3)故选：B.2. 已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因为()()()1,2,1,4,,1A B C x -，所以()()2,2,1,1AB AC x =-=--，因为A ，B ，C 三点共线，则,AB AC共线，则()212(1)x -⨯-=⨯-，解得2x =.故选：B.3. “1x >”是“11x-<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将11x -<化简，再根据充分必要条件关系判断.【详解】()1110101x x x x x x+-<⇔>⇔+>⇔<-或0x >，由1x >成立可以推出1x <-或0x >，但1x <-或0x >成立不能推出1x >，所以1x >是11x-<的充分不必要条件.故选：A.4. 若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b << B. c a b<< C. b c a<< D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】首先化解,a b ，再根据中间值1，以及幂函数的单调性比较大小，即可判断.【详解】00.1.11331a -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝，01.10.51225b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，()35log 0,12c =∈，0.1y x =在()0,∞+上单调递增，532>，所以a b >，所以a b c >>.故选：D5. 设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B. 若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C. 若,,//,//m n m n ααββÌÌ，则//αβ．D. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，故错误；对于B ，//m β或m β⊂，故错误；对于C ，平面α与平面β平行或相交，故错误；对于D ，//,,m n m α⊥则n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，D 正确；故选：D ．6. 若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（ ）A. 1712-B. 56-C. 175-D. 【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义先求出函数()f x 在2x =处的导数值，即可得到在2x =处切线的斜率，进而得到倾斜角α的正切值，再根据tan α求出题中式子的值.【详解】由题意得，211()f x x x'=-，所以411(2)241f '=-=，于是()f x 在2x =处切线的斜率为14，即1tan 4α=.又()22sin cos sin cos cos 1sin2cos (sin 2sin cos cos )ααααααααααα--=--+2sin cos 1cos (sin cos )cos (sin cos )αααααααα-==--222sin cos sin cos cos ααααα+=-，将原式分子分母同时除以2cos α得，2222sin cos tan 1sin cos cos tan 1ααααααα++=--，代入1tan 4α=可得最终答案为1712-.故选：A.7. 已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（ ）A.12025B.12024C.11012D.11013【答案】C 【解析】【分析】根据2n n S n a =得到211(1)n n S n a --=-，两式相减得到221(1)n n n a n a n a -=--，求出n a 即可求解.【详解】因为2n n S n a =，所以211(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减得221(1)n n n a n a n a -=--，所以11(2)1n n a n n a n --=≥+，所以1321221123121213121(1)n n n n a a a n n a a a n a n a n n -------⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=++++L L ，所以12(2)(1)n a n a n n =≥+，所以4050(2)(1)n a n n n =≥+，所以202411012a =.故选：C.8. 已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,-+∞B. 253,8⎫-⎪⎭C. 7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D. 7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数()f x 存在唯一零点，即12x =，可得()g x 在511,44⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，利用参变分离可求解.【详解】由()()2ln 1f x x x =---，1x >，可得()12111x x f x x --=-'-=，当12x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()1,2单调递减；当2x >时，()0f x '>，此时()f x 在()2,+∞单调递增；又因为()20f =，所以函数()f x 存在唯一的零点，即12x =.因为122324x x x -=-<，解得2511,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.即()2266g x x ax a =+--在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，故方程2623x a x -=-在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有解，而263336(3)333x x x x x x -⎡⎤=---=-+-+⎢⎥---⎣⎦，因为511,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故713,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故349(3)34x x ≤-+<-，所以25624a ≤<2538a -≤<故选：B.【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间(),m n 上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),f m f n 的符号）的方法解答.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（ ）A. ()cos f x x= B. ()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()22cos sin f x x x=- D. ()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可.【详解】对于A ，()cos f x x =的最小正周期为π，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()cos cos f x x x ==，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A 正确；对于B ，()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2πT=4π12=，故B 不正确；对于C ，()22cos sin f x x x =-cos 2x =，所以最小正周期2πT=π2=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C 正确；对于D ，最小正周期πT=π1=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由复合函数单调性判断方法可知，此时()πtan 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故D 正确.故选：ACD.10. ABC V中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A. 4AB AC +=B. AB AC ⋅为定值C. 2220AC AB +=D.BAD ∠的最大值为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A 选项；由中线的性质和向量数量积的运算有22AB AC AD DB ⋅=- ，求值判断B 选项；C 选项，由πADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理求22AC AB +的值；D 选项，ABD △中，余弦定理得22cos 4AB BAD AB+∠= ，结合均值不等式求解.【详解】A ．24AB AC AD +==，故A 正确；的B ．22()()()()422AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，故B 正确；C ．πADB ADC ∠+∠= ，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=，由余弦定理知，222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅0=，化简得2212AC AB +=，故C 错误；D ．22cos 4AB BAD AB +∠==≥=AB =时等号成立，由于090BAD <∠< ，所以BAD ∠的最大值为45 ，故D 正确；故选：ABD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 过点,,B P Q的截面周长为+D. 当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A 正确；由11A D B C 转化异面直线所成的角，在等边1AB C △中分析可知选项B 错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C 正确；确定三棱锥体积最大时点N 的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D 正确.【详解】A.∵11111111111,,AC B D AC B B B D B B B ⊥⊥= ，11B D ⊂平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，∴11A C ⊥平面11BDD B ，∵1BD ⊂平面11BDD B ，∴111A C BD ⊥，同理可证，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，11AC ⊂平面11AC D ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，选项A 正确.B. 如图，连接1,AB AC ，由题意得，11A D B C ，11AB AC B C ===直线AM 与1A D 所成的角等于直线AM 与1B C 所成的角，在等边1AB C △中，当点M 与1,B C 两点重合时，直线AM 与1B C 所成的角为3π，当点M 与1B C 中点重合时，1AM BC ⊥，此时直线AM 与1B C 所成的角为2π，故直线AM 与1A D 所成角的取值范围是[,]32ππ，选项B 错误.C. 如图，作直线PQ 分别与直线1,CC CD 交于点,S T ，连接BS 与11B C 交于点E ，连接BT 与AD 交于点F ，则五边形BEPQF 即是截面.由题意得，1SPC △为等腰直角三角形，113PC SC ==，由1BB CS ∥得，1112BB B EC S CE==，∴114,2B E C E ==，∴BE =PE =，同理可得，BF QF ==，∵,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，∴PQ =，∴截面周长为+C 正确.D.当AN BN ⊥时，点N 的轨迹为以AB 为直径的球，球心为AB 中点，半径为3，三棱锥A NBC -的体积即为三棱锥N ABC -的体积，点N 到平面ABC 距离的最大值为球的半径，此时点N 在正方形11ABB A 的中心处，三棱锥A NBC -体积有最大值.由题意得，平面NAB ^平面ABC ，NAB △，ABC V 均为等腰直角三角形，NAB △的外接圆半径为132AB r ==，ABC V 的外接圆半径为22ACr ==，∴三棱锥A NBC -的外接球半径R ==，∴外接球体积为3344ππ33R =´=，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为：（1）在三棱锥A BCD -中若有AB ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2224h R r =+，其中r为底面BCD △的外接圆半径，h 为三棱锥的高即AB 的长.（2）在三棱锥A BCD -中若有平面ABC ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2222124l R r r =+-，其中12,r r 分别为,ABC BCD 的外接圆半径，l 为,ABC BCD 公共边BC 的长.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．【解析】【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】()()()()21i 22221i 1i 1i 1i 1i z +=-=-=-+=---+，z ∴==.13. 在数列{a n }中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.【答案】427【解析】【分析】利用构造法分析得数列{}2n a +是等比数列，进而求得2n a +，从而将问题转化为353nn k -≥恒成立，令()()*253nn f n n -=∈N ，分析数列(){}f n 的最值，从而得解.【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=，故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列，所以12333n n n a -+=⨯=，则不等式()235n k a n +≥-可化为353nn k -≥，令()()*353n n f n n -=∈N ，当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >；又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++---+-=-=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ⨯-≤==，则427k ≥，即实数k的最小值为427.故答案为：427.14. 若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．【答案】612【解析】【分析】由条件等式变形为()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，再构造函数()()23g x f x x =-，得到()()()g x y g x g y +=+，并迭代得到()()13g n n f =-⎡⎤⎣⎦，由此得到()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，，并求和，利用放缩法，即可求解最小值.【详解】因为()()()6f x y f x f y xy +=++，所以()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，设()()23g x f x x =-，则()()()g x y g x g y +=+，因此()()()()()()()()11211221g n g n g g n g g g n g =-+=-++=-+()()()()()211321g n g ng n f ==+-==-⎡⎤⎣⎦ ，所以()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，取1n =，得()13f ≥，所以()8111188822()3133612i i i i f i ii i f =====+-≥=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑，所以81()i f i =∑的最小值为612.故答案：612.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面四边形ABCD中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．【答案】（1（2）60︒【解析】【分析】（1）由已知，设BC x =，则4AB x =，由余弦定理，可得1x =，利用三角形的面积公式即可求得ABC V 的面积；（2）在ABC V中，由正弦定理，可求得sin ACB ∠=，进而求得cos ACB ∠=，进而求得sin ACD ∠=ACD中，由正弦定理，求得sin ADC ∠=ADC ∠的大小．【小问1详解】由已知，设BC x =，则4AB x =，在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，为因为120,ABC AC ∠=︒=，所以22222116421x x x x =++=，解得1x =，所以1BC =，4AB =，所以11sin 4122ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯= .【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理，sin sin ACB ABCAB AC ∠∠=，因为120,ABC AC ∠=︒=，4AB =，所以sin sin 4ABC ACB AB AC ∠∠=⋅==，又在ABC V 中，120ABC ∠=︒，则060ACB ︒<∠<︒，所以cos ACB ∠==，因为150BCD ∠=︒，所以()sin sin 150ACD ACB ∠=︒-∠sin150cos cos150sin ACB ACB=︒∠-︒∠12⎛== ⎝，在ACD 中，由正弦定理，sin sin ADC ACDAC AD∠∠=，又AD ==解得sin ADC ∠=>，所以60ACD ∠>︒，因为0180ADC ︒<∠<︒，则60ADC ∠=︒.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明1,,,M N C A 四点共面，再证明1MA BP ，由线面平行的判定定理可证；（2）以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可.【小问1详解】证明：连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，则MN AC ∥，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACA C ，则11MN A C ∥，则11,,,M N A C 四点共面，11AB A B = ，且11AB AB ∥，,M P 分别为11,AB A B 的中点，则1BM PA 且1BM PA =，则四边形1BMA P 为平行四边形，则1MA BP ，BP ⊄ 平面1C MN ，1MA ⊂平面1C MN ，则//BP 平面1C MN .【小问2详解】在直棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AA AC AB AC ⊥⊥⊥，则以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则有13(0,0,0),(4,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(2,,0),(2,0,4),(0,3,4)2A B C M N P C ，13(2,3,4),(0,,0),(0,0,4)2MC MN MP =-== ，设平面1MPC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，平面1MNC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则1234040m MC x y z m MP z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩及12340302n MC a b c n MN b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3,1x c ==，则有(3,2,0),(2,0,1)m n ==，则cos ,m n m n m n ⋅===，因为二面角1P MC N --为钝角，则所求二面角的余弦值为.17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y -=； （2）存在，29(,0)8Q -，58564.【解析】【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到ba的值，再根据(4,3)P 在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得,a b 的值.（2）设出直线l 方程与M ，N 点坐标1122(,),(,)x y x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出12x x +、21x x 、12y y +、12y y ，再设出Q 坐标(,0)t ，则可以表示出,QM QN 坐标，即可用坐标表示出QM QN⋅的值，再结合具体代数式分析当QM QN ⋅为常数时t 的值.【小问1详解】由题意得，因为双曲线渐近线方程为y x =，所以b b a =⇒=，又点(4,3)P 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：221691a b-=，联立两式解得21612a a -=⇒=，b =，所以双曲线的标准方程为：22143x y -=.【小问2详解】如图所示，点(1,0)E -,直线l 与双曲线交于,M N 两点，由题意得，设直线l 的方程为1x my =-，Q 点坐标为(,0)t ，联立221431x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，22(34)690m y my ---=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634m y y m +=-，122934y y m -=-，21212122268(1)(1)()223434m x x my my m y y m m +=-+-=+-=-=--，22121212122124(1)(1)()134m x x my my m y y m y y m --=--=-++=-，11)(,t y QM x =- ，22,)(Q x t y N =-，所以21212121212()()()Q t x t y y x x t x x t y M N y Q x +⋅--=-++=+2222212489343434m t t m m m ---=-⋅++---222222121384(34)8293434m t m t t tm m -------=+=+--22829434t t m +=--+-，所以若要使得上式为常数，则8290t +=，即298t =-，此时58564QM QN ⋅= ，所以存在定点29(,0)8Q -，使得QM QN ⋅ 为常数58564.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l 的方程，当已知直线过x 轴上的定点(,0)n 时，可设直线方程为x my n =+，这样可简化运算，其次在于化简QM QN ⋅时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m ”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m.18. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.【答案】（1）220x y π+-= （2）证明见解析 （3）1πa <-【解析】分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可.【小问1详解】()2sin cos f x x x x x =--，当πx =时，()π2sin ππcos ππ0f =--=，所以切点为()π,0，因为()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x =-+-=+-'，【所以斜线方程的斜率()πcos ππsin π12k f ==+-=-'，根据点斜式可得()02πy x -=--可得220x y π+-=，所以()f x 在πx =处的切线方程为220x y π+-=；【小问2详解】由（1）可得()cos sin 1f x x x x =+-'，令()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，所以()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0g x '<，()g x 单调递减；()πππππ0cos00sin010,cos sin 11022222g g ⎛⎫=+⨯-==+⨯-=-> ⎪⎝⎭，()πcos ππsin π1=2<0g =+--，3π3π3π3π3πcos cos 11022222g ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()2πcos 2π2πsin 2π10g =+-=，存在0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得g (x 0)=0，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,2πx 单调递减，又()()02sin 00cos 00,π2sin ππcos ππ0f f =-⨯==-⨯-=，()2π2sin 2π2πcos 2π2π=4πf =---，所以()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；【小问3详解】因为()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，即2sin x ax x >+恒成立，等价于2sin x xa x -<恒成立，当πx =时，有2sin 1ππa ππ-<=-，下证：2sin 1πx x x -≥-即证21sin πx x x -≥-，()0,x ∞∈+恒成立，令()21sin πs x x x x =-+，当2πx ≥时，2sin 2π4π>01sin πx x x x --++>，当()0,2πx ∈时，()2cos 1πs x x x -+'=，设()2cos 1πt x x x =-+，则()2sin πt x x -'=+，此时()0t x '=在()0,2π有两个不同解1212π,,0π2x x x x <<<<，且当10x x <<或22πx x <<时，()0t x '>，当12x x x <<时，()0t x '<，故()t x 在()12,x x 上为减函数，在()10,x ，()2,2πx 上为增函数，而()()()π0π0,2π402t t t t ⎛⎫====> ⎪⎝⎭，故当π02x <<时，()0t x >，当ππ2x <<时，()0t x <，当π2πx <<时，()0t x >，故()s x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在()π,2π为增函数，而()()0π0s s ==，故()0,2πx ∈时，()0s x ≥恒成立，综上1πa <-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数y =g (x )的图象的交点问题.19. 数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足的的1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N*∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前n 项和的关系求出12n n b -=，然后得到12n n b -=为等差数列，求得n T ，再求得14,a a ，计算数列{a n }的通项公式即可；（2）先求出区间()21,1m m T T ++的端点值，然后明确{a n }的项为奇数，得到()21,1m m T T ++中奇数的个数，得到()m c m N*∈通项公式，然后求和即可；（3）先假设存在，由（1）求得2n S n =，21nn T =-，令3m m m mS T L S T ++=+，然后判断L 的取值，最后验证，不同取值时，m 的值即可.【小问1详解】由题可知，当1n =时，11b =；当2n ≥时，得3121221222n n b b b b n --++++=- 因为32121222n n b b b b n -++++= 两式相减得11122n n n n bb --=⇒=经检验，当*N n ∈时，12n n b -=显然，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122112nn n T -==--所以1143,17a b a T ====等差数列{a n }的公差71241d -==-所以21n a n =-【小问2详解】由（1）可知，2212,12m m m m T T +=+=因为21n a n =-，所以21n a n =-为奇数；故()m c m N *∈为区间()21,1m m TT ++的奇数个数显然2212,12m m m m T T +=+=为偶数所以21224222m m mm m c --==-所以()2121444412222m mm m m H ---++++=-++++ ()214141122122141233m mm m +--=⨯-=-+--【小问3详解】由（1）可知2n S n =，21nn T =-所以23322121m m m m m m S T m S T m ++++-=++-若3m m m mS T S T +++是{a n }或{b n }中的项不妨令3m m m mS T L S T ++=+，则L *∈N 则有()()()232221118221m m m m L L m L m ++-=⇒--=-+-因为210,20m m -≥>所以18L ≤≤因为L 为数列{a n }或{b n }中的项所以L 的所有可能取值为1,2,3,4,5,7,8当1L =时，得20m =无解，所以不存在；当18L <≤时得28112m L m L --=-令()2*1,2m m g m m -=∈N 得()22ln 2ln 22mm m g m +='-令()22ln 2ln 2h m m m =-+显然()22ln 2ln 2h m m m =-+为二次函数，开口向下，对称轴为()11,2ln 2m =∈()()()120,368ln 20,4815ln 20h h h =>=->=-<所以当3m ≤时，()0g m '>，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递增；当3m ≥时，()0g m '<，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递减得()()1531,416g g ==因为28112m L m L --=-所以89112L L L -≤⇒≥-所以L 的可能取值有5,7,8我们来验证，当5L =时，得21324m m -=，可得存在正整数解2m =或5m =，故5L =满足；当7L =时，得21126m m -=，当m 为整数时，212m m -分子为整数，分母不能被3整除；所以21126m m -=无正整数解，故7L =不满足；当8L =时，得2102m m -=，得存在正整数解1m =，故8L =满足；综上所诉，1m =，2m =或5m =.【点睛】关键点点睛：（1）需要构造数列，然后合理利用数列通项与前n 项和的关系求解即可；（2）需要明确两个数之间奇数的个数即可；（3）先假设存在，然后确定数列{a n }或{b n }中的项是哪些，最后再反过来求m 的值即可.。
河南省天一大联考2024-2025学年高三上学期阶段性检测(二)生物试题(含答案)
大联考2024—2025学年高中毕业班阶段性测试（二）生物学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共13小题，每小题2分，共26分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．机体中的生物大分子不能及时被正常降解而贮积，会引起细胞、组织及器官功能的障碍，这主要与下列哪种细胞器的功能障碍有关（）A．内质网B．高尔基体C．溶酶体D．核糖体2．奶茶作为年轻人喜爱的新式茶饮，由茶、奶和糖等原材料制成，含有多种多样的化学物质。
下列有关奶茶中的物质检测的说法，错误的是（）A．若奶茶和斐林试剂水浴加热后不出现砖红色，则说明奶茶中不含糖类B．奶茶中的蛋白质加热变性后，仍可以与双缩脲试剂产生紫色反应C．向奶茶中加入适量的苏丹Ⅲ染液后，奶茶中的脂肪被染成橘黄色D．向奶茶中加入适量的碘液，通过显色反应检测奶茶中是否含有淀粉3．腺苷是一种神经递质，在海马结构中的作用最强。
腺苷激酶（ADK）通过使腺苷磷酸化转变为AMP来降低组织中腺苷的水平，控制中枢神经系统中腺苷的代谢，调节细胞外腺苷的水平。
目前已证实腺苷具有抗癫痫作用，下列有关说法错误的是（）A．组成腺苷的化学元素有C、H、O、NB．腺苷分子彻底水解能获得两种不同的产物C．腺苷磷酸化的产物AMP可作为合成DNA的原料D．降低体内ADK的活性对癫痫的发作有明显的抑制作用4．近年来研究发现，原核细胞也存在细胞骨架，人们已经在细菌中发现了FtsZ、MreB和CreS这3种重要的细胞骨架蛋白。
下列有关说法错误的是（）A．细菌合成FtsZ、MreB和CreS时直接在细胞质基质中对蛋白质进行加工B．FtsZ、MreB和CreS等蛋白锚定并支撑着线粒体、核糖体等多种细胞器C．高温破坏FtsZ、MreB和CreS的空间结构，从而使其功能不可逆地丧失D．细胞骨架与物质运输、能量转化、信息传递、细胞分裂等生命活动密切相关5．低温处理下，植物细胞能通过改变细胞液渗透压增强其抗寒性。
山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。
湖南省长沙市2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题含答案
长沙市2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷（答案在最后）时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B = （）A.()1,1- B.()0,1 C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥，故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=.故选：C .2.已知复数z 满足i 12i =-+z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i 12i =-+z 212i (12i)i2i i iz -+-+⋅⇒===+2i z ⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】依题意计算可得()12P A =，()13P B =，()23P A B +=，再由概率的加法公式计算即可得1()6P AB =.【详解】根据概率公式计算可得()61122P A ==，()41123P B ==，()82123P A B +==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-，代入计算可得1()6P AB =故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{a n }的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到5151035S a d =+=，511413a a d a =+=，解得答案.【详解】5151035S a d =+=；511413a a d a =+=，解得3d =，11a =.故选：D5.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A.2- B.2C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+-⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅，令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=，解得2m =-.故选：A.6.如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是直线BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>，则11x y+的最小值为（）A. B. C.43+ D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定图形，用,AB AE 表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD 中，2DE EC =，则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ，而AP xAB y AD =+ ，则(22)()33A B x AE A x P AB y AB y E y A --=++=，又点,,B P E 共线，于是2()13x y y -+=，即13y x +=，而0,0x y >>，因此313111)(444()333x y x x y y x y x y ++=+=+++≥+，当且仅当3x y y x =，即3332y -==时取等号，所以当33,22x y ==时，11x y +取得最小值43+.故选：C 7.设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案.【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C8.已知()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，tan tan 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭παβ，则()cos 44+=αβ（）A.7981-B.7981C.4981-D.4981【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫ ⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，222612tan 2tan 21tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫ ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭-.()()2221tan 2tan 2cos 2261n2si ta n αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()221tan 2cos 21s 6ta i 2n n αβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()()2cos 16c sin os αβαβαβ-⨯=--，()1sin 3αβ-=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，又因为tan tan 32⎛⎫-=⎪⎝⎭παβ，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=()()241cos 12sin 129922αβαβ=-=-⨯=++.()()2179cos 442cos 221218181αβαβ+=+-=⨯-=-.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1)6.31.511010n n n a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{a n }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠；④点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD 【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率.【详解】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12F QF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；故选：AD11.如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转()0θθπ≤≤到111OO D A ，则（）A.圆柱1OO 的侧面积为4πB.当0θπ<<时，11DD AC ⊥C.当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD.1A CD 【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由圆柱的侧面积公式可得；对于B ，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C ，由题知，11DO D 为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D ，作1D E DC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=【详解】对于A ，圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B ，因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥，又111DD A D ⊥，所以1DD ⊥平面11A D C ，所以11DD AC ⊥，B 正确；对于C ，因为111//A D OO ，所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D 为正三角形，所以1111DD A D ==，因为111A D DD ⊥，所以114DA D π∠=，C 正确；对于D ，作1D E DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，所以DC ⊥平面11A D E ，所以1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯= ，所以()1maxA CD S = ，D 错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可.①走BA 路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6种；②走BC 路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE 路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序.故答案为：3213.已知函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为______.【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2π42n T ω==+，由函数在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数可得12ω≤，然后对ω的取值逐一验证，然后可得π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭取值.【详解】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，3πππ2442T nT +=-=，得π,21T n n =∈+Z ，所以2π42n Tω==+，又函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7πππ212212T ≥-=，即6πT ≥，所以12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±.当0ω>时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2,6,10ω=时不满足题意；当0ω<时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω+≤≤-+∈Z ，经检验，2,6ω=--时满足题意.所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为ππ1ππsin ,sin 11262122f f ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定ω的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）交于两点,A B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC BC ⊥，OAC 和OBC △的重心分别为,P Q ，ABC V 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为1k ，2k ，3k ，若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为______.【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22b a ，取,AC BC 的中点,M N ，得到2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，再由AC BC ⊥，22OR b k a=，结合所以1238k k k =-，求得b a =c e a ==.【详解】若直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=有两个交点,G H ，设,G H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x a kmx a m a b ----=，可得22222G H a km x x b a k +=-，则22222G H K x x a kmx b a k+==-，又由(,)K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a km b my m b a k b a k=+=--，所以22K OKK y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a，如图所示，取,AC BC 的中点,M N ，因为OAC 的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以1OP OM k k k ==，2OQ ON k k k ==，可得22OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=，即2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=，又由AC BC ⊥，可得1AC BCk k ⋅=-，可得22122()b k k a⋅=-因为AC BC ⊥，且ABC V 的外心为点R ，则R 为线段AB 的中点，可得22OR ABb k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a=，所以2321238()b k ak k =-=-，所以b a =，所以c e a ===.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2ln f x x ax x a =-++∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）e11,e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得ln x a x x =-，构造函数()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为最值问题，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()2ln ,f x x x x f x =-++的定义域为()0,∞+，()212121x x f x x x x-++=-++='，令()0f x '>，则2210x x --<，解得01x <<，令()0f x '<，则2210x x -->，解得1x >.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.【小问2详解】令()2ln 0f x x ax x =-++=，则ln xa x x=-.令()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='.令()0g x '>，解得1e x <≤，令()0g x '<，解得11ex ≤<.()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,e ，()min ()11g x g ∴==.又()111e ,e e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是e 11,e ⎛⎤-⎥⎝⎦.16.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =.（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ；（2）若4,2AB AD ==，直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1D B BC ⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CC D D ⊥平面ABCD 得到1AD D D ⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DD t t =>，利用已知条件和线面角的坐标公式求出t ，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD 中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =，所以1D E CE BE ==，所以112BE CD =，1BCD 为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥，因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥，所以1AD D B ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥，因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ，平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ，所以1D D ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以1AD D D ⊥，因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ，所以AD ⊥平面11BB D D .【小问2详解】因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ，所以AD BD ⊥，由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1D D BD ⊥，所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==，所以DB ==，设()10DD t t =>，则()()()()10,0,0,2,0,0,2,0,,,0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，易知平面11BB D D 的一个法向量为D =2,0,0，设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ，则111sin cos ,5A E DAA E DA A E DAθ⋅====，解得t =，所以((110,0,,2,0,D AD =-，设平面1ABD 的法向量为 =s s ，则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =)m = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，则cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1D AB D--是锐角，故二面角1D AB D--的余弦值为5.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a≤.认真完成不认真完成总计男生5a a女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++++++.α0.100.050.01xα2.7063.841 6.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85E X=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出a 的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得()()2244802060555516 2.7066020801580a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >.易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =，所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C 1510C 21014P X ====，()3164410C C 8081C 21021P X ====，()2264410C C 9032C 2107P X ====，()1364410C C 2443C 21035P X ====，()44410C 14C 210P X ===.X 的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()12,,2,3F F A 为椭圆C 上一点，且到1F ，2F 的距离之和为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ，与椭圆C 相交于点,M N ，若2MNAQ BQ⋅为常数，求AQM V 与AQN △面积的比值.【答案】（1）2211612x y +=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN 的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.【小问1详解】由椭圆的定义得1228AF AF a +==，所以4a =.又()2,3A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.【小问2详解】因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --，直线AB 的方程为32y x =.设()()2,311Q t t t -<<，则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-，联立得()221161232x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()()()222243832432480k x kt k x t k ++-+--=，由点Q 在椭圆内，易知Δ0>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ，则()12282343kt k x x k -+=+，()221224324843t k x x k --⋅=+，所以()()()()()()()2222222221212122248116123211443k k t k MNkx x k x x x x k ⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+.又()()()()()2222222332233131AQ BQ t t t t t ⋅=-+-+++=-，所以()()()()2222222248116123213431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足()22221612321k t k t+---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232k k +=-，解得12k =-.将12k =-代入()12282343kt k x x k -+=+，可得124x x t +=，得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以1AQM AQNS MQ S NQ== .【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项na （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k-=--（2）()()*1,211n na n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101kk a q a a a q-++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
天津市第二十中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段性检测数学试题(含解析)
2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.1.已知集合，集合，则集合为（ ）A. B. C. D.2.在中，若是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（）A.相关系数变大B.相关指数变大C.残差平方和变大D.解释变量与预报变量的相关性变强4.已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）A. B.C. D.5.已知，则（ ）A.B.C. D.6.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回.在第一次抽到{}2540A xx x =-+≥∣{}12B x x =∈-≤Z ∣()R A B ⋂ð()1,3{}2,3(]1,3{}1,2,3ABC V :60,:sin p A q A ==p q (),x y ()3,10D r 2R x y ()f x ()f x ()e e x x f x x --=()221sin2ln x f x x x +=⋅()e e x x f x x -+=()221cos2ln x f x x x +=⋅2log 0.40.40.312,log 2,log 0.4a b c ===a b c >>b a c >>c a b >>a c b>>牌的条件下，第二次抽到牌的概率为（ ）A. B. C. D.7.定义运算､若，则等于（ ）A. B. C. D.8.在锐角中，，则的周长的取值范围是（）A. B.C. D.9.已知函数，有下列命题：①为函数图象的一条对称轴②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为③在上有3个零点，则实数的取值范围是④函数在上单调递增其中错误的命题个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二､填空题：本题共6小题，共29分.10.是虚数单位，则复数__________.11.在的展开式中，的系数是__________.12.已知随机变量，且，则__________.13.从六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数.其中偶数的个数为__________.K K 14113126117a b ad bc c d =-sin sin 1πcos ,cos cos 72αβαβααβ==<<<βπ12π6π4π3ABC V 222(),2S a b c a =--=ABC V (]4,6(4,2⎤⎦(6,2⎤+⎦(2⎤+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-5π8x =()f x ()f x π4()g x ()g x []0,t ()0g t 3π4()f x []0,a a 9π13π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦i 34i 1i +=+522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x ()6,B p ξ~()2E ξ=()32D ξ+=0,1,2,3,4,514.已知，且，则的最小值为__________.15.设，函数，若在区间内恰有4个零点，则的取值范围是__________.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，.（1）求；（2）求；（3）求.17.（本小题12分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式及对称中心坐标；（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.18.（本小题12分）如图，在四棱台中，，四边形和都是正方形，平面，点为棱的中点0,0a b >>111a b +=1411a b +--a ∈R ()2sin2π,0474,0x x f x x x a x <⎧=⎨-+->⎩()f x (),a ∞-+a ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===a sin A ()cos 2B A -()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><()f x ()f x 12π12()g x ()y g x =π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1111ABCD A B C D -1111,2A A A B AB ===ABCD 1111A B C D 1AA ⊥ABCD E BC（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求点到平面的距离.19.（本小题12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围；（3）若存在不相等的实数，使得，证明：.20.（本小题16分）已知函数.（1）求曲线在处的切线斜率；（2）当时，求证：；（3）证明：.1ED ∥11AA B B 1A DE ABCD B 1C DC ()()ln f x x m x m =-∈R ()f x 0m >()f x x m 12,x x ()()12f x f x =120m x x <<+()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =2x =0x >()1f x >()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭2024—2025第一学期高三数学学科第一次阶段性检测一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】解：集合或，则，集合，故.故选：B.先求出集合，再结合补集､交集的定义，即可求解.本题主要考查集合的混合运算，属于基础题.2.【答案】A【解析】略3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系，相关系数和相关指数，属于简单题.由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项.【解答】解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，所以变大，变大，残差平方和变小.故选C.4.【答案】B 【解析】解：根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，在区间上，函数图象与轴存在交点，由此分析选项：对于A ，，其定义域为，有为偶函数，不符合题意；对于B ，，其定义域为，有{}2540{4A x x x x x =-+≥=≥∣∣1}x ≤R {14}A xx =<<∣ð{}{}121,0,1,2,3B x x =∈-≤=-Z∣(){}R 2,3A B ⋂=ð,A B ()3,10D y x r 2R ()3,10D y x r 2R ()f x {}0x x ≠∣()0,∞+x ()e e x x f x x --={}0x x ≠∣()()()e e e e ,x x x x f x f x f x x x-----===-()221sin2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣为奇函数，其图象关于原点对称，当时，函数图象与轴存在交点，符合题意；对于C ，，当时，，必有恒成立，该函数图象在区间上与轴不存在交点，不符合题意；对D ，于，其定义域为，有为偶函数，不符合题意.故选：B.根据题意，由函数的图象分析的性质，由此分析选项，综合可得答案.本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题.5.【答案】C【解析】解：，，则，故.故选：C.根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解.本题主要考查数值大小的比较，属于基础题.6.【答案】D【解析】解：由题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，故第二次抽到牌的概率为.故选：D.根据题意，第一次抽到牌后剩余51张扑克牌，剩余牌3张，进而求解即可.本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】此题要求学生会根据新定义化简求值，灵活运用角度的变换解决数学问题.掌握两角和与差的正弦函数公式的运用.()()()()222211sin 2ln sin2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=-⋅=-ππ2x k =+()(),sin20,0k x f x ∈==Z x ()e e x xf x x-+=0x >e e 0,0x x x +->>()0f x >()0,∞+x ()221cos2ln x f x x x+=⋅{}0x x ≠∣()()()()222211cos 2ln cos2ln ,x x f x x x f x f x x x++-=-⋅=⋅=()f x 2log 0.40.40.420.4,log 2log 10a b ===<=0.30.30.30log 1log 0.4log 0.31=<<=1c >c a b >>K K K 315117=K K根据新定义化简原式，然后根据两角差的正弦函数公式变形得到的值，根据，利用同角三角函数间的基本关系求出，再根据求出，利用两边取正切即可得到的值，根据特殊角的三角函数值即可求出.【解答】解：依题设得：..又，.故选D.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，及三角形面积公式，结合二倍角公式及和差化积公式化简，属于难题.根据结合三角形面积公式，得到和，再由正弦定理得到的周长可表示为，再根据和差化积和二倍角公式进行化简，最后结合角的范围求得答案.【解答】解：根据，得到，化简得，根据()sin αβ-π02βα<<<()cos αβ-cos αsin α()βααβ⎡⎤=--⎣⎦tan ββ()sin cos cos sin sin αβαβαβ⋅-⋅=-=()π130,cos 214βααβ<<<∴-= 1cos ,sin 7αα=∴= ()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=⋅--⋅-⎣⎦131147=-=π3β∴=222()S a b c =--3cos 5A =4sin 5A =ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++222()S a b c =--()12sin 21cos 2b c A b c A ⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⨯-()sin 21cos A A =-，化简得，解得（舍）.又因为为锐角三角形，故.再由正弦定理，，则的周长可表示为，再根据和差化积公式得到：，再根据二倍角公式得到，下面讨论，根据题意得到，则，得到，故，故，故.9.【答案】B【解析】解：由，可得，对于①，当时，对于②，，当，则，()21cos A =-25cos 8cos 30A A -+=3cos,cos 15A A ==ABC V 4sin 5A =254sin sin sin 24b c a B C A ====ABC V ()52sin sin 2l a b c B C =++=++25sincos 22B C B C l +-=+⨯π25sin cos 22A B C --=+⨯π2252cos 22B C A C l ---=+=+π2cos 2A C --π02A <<π0π2A C <--<πππ,2222A A A A C A C --<<--<-<π2cos cos 122A A C --<…π2cos 12A C --<…(6,2l ⎤∈+⎦()44cos 2sin cos sin f x x x x x =+-()()()2222πcos sin cos sin 2sin cos cos2sin224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=-++=+=+ ⎪⎝⎭5π8x =5π5ππ2884f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()ππππ224244g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[]0,x t ∈πππ2,2444x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦由于在上的最大值为，所以，故，故的最大值为，故②正确；对于③，令，则，可得，故的正零点有，要使在上有3个零点，则，故③错误，对于④，当，则，故在上单调递减，故④错误.故选：B.根据三角恒等变化化简，根据对称轴处取得最值判断①，根据平移判断②，根据零点求值判断③，根据正弦函数的单调区间判断④.本题考查三角函数的性质，属中档题.二､填空题：本题共6小题，共29分.10.【答案】【解析】解：.故答案为：.根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.11.【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得.所以的系数为.故答案为：10.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.()g x []0,t ()0g π7π244t +≤3π4t ≤t 3π4()π204f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭π2π,4x k k +=∈Z ππ,82k x k =-+∈Z ()f x 3π7π11π15π,,,,8888r = ()f x []0,a 11π15π88a ≤<ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π3π5ππ3π2,,44422x ⎡⎤⎡⎤+∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭71i 22+()()()()34i 1i 34i 71i 1i 1i 1i 22+-+==++-+71i 22+x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()55315522C C 20,1,2,3,4,5rr r r r r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭532r -=1r =2x 15C 210⨯=12.【答案】12【解析】【分析】本题考查二项分布的期望和方差，考查推理能力和计算能力，属于基础题.先求出和，再利用即可求解.【解答】解：因为随机变量，所以，又因为，所以.故答案为12.13.【答案】52【解析】【分析】本题考查排列的应用，考查分类､分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质.分2种情况讨论：①､若0在个位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②､若0不在个位，且由于0不能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①､若0在个位，此时只须在中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有个没有重复数字的三位偶数；②､若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有个没有重复数字的三位偶数；综合可得，共有个没有重复数字的三位偶数.故答案为52.13p =()()413D n p p ξ=⋅⋅-=()()329D D ξξ+=()6,B p ξ~()62E np p ξ===13p =()()12416333D n p p ξ=⋅⋅-=⨯⨯=()()32912D D ξξ+==1,2,3,4,525A 20=24432⨯⨯=203252+=14.【答案】4【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正数满足，可得，所以结合基本不等式即可求解.【解答】解：正数满足，，解得同理则，当且仅当时取等号（此时.的最小值为4.故答案为：4.15.【答案】【解析】解：①当在区间有4个零点且在区间没有零点时，满足，无解；②当在区间有3个零点且在区间有1个零点时，满足，或,a b 111a b +=01a b a =>-()1414141111111a a ab a a a +=+=+-------,a b 111a b+=01ab a ∴=>-1,a >1,b >141411111a ab a a +=+-----()14141a a =+-=- (3)2a =3)b =1411a b ∴+--371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()Δ164740522a a ⎧=--<⎪⎨-≤-<-⎪⎩()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000322a f a ⎧⎪=-->⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩者解得③当在区间有2个零点且在区间有2个零点时，满足，解得，综上所述，的取值范围是.分类讨论，分在区间有4个零点且在区间没有零点，在区间有3个零点且在区间有1个零点和在区间有2个零点且在区间有2个零点三种情况求解即可.本题考查了分段函数，函数的零点与方程根的关系，属于难题.三､解答题：本题共5小题，共67分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】解：（1）在中，，设，则，，解得，；（2）由（1）得，由正弦定理得，即解得.（3）是锐角，且，()Δ164740322a a ⎧--=⎪⎨-≤-<-⎪⎩72;4a <≤()f x (),0a -[)0,∞+()()Δ16474000312a f a ⎧⎪=-->⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩312a <≤a 371,,224⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+()f x (),0a -[)0,∞+ABC V 92cos ,5,163a Bbc ===2a k =3,0c k k =>2294259cos 23216k k B k k +-∴==⨯⨯2k =24a k ∴==4,6,sin a c B ====sin sin a bA B=4sin A =sin A =π,sin sin ,4a b A A <=<=∴ π4A <，.17.【答案】解：（1）根据函数的部分图象，可得，.再由图象知：，又，故有.令，解得，故函数的对称中心为.（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得的图象，再向右平移个单位，得到的图象，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象.令，求得，sin22sin cos 2A A A ∴===1cos28A ==()cos 2cos cos2sin sin2B A B A B A∴-=+91168=⨯5764=()()cos (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><πϕ<32π5ππ2,4123A ω=⋅=+2ω∴=5π22π,12k k ϕ⨯+=∈Z 5ππ,6ϕϕ<∴=-()5π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5ππ2π62x k -=+2ππ,32k x k =+∈Z 2ππ,0,32k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ()f x 125πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π12()cos 2πcos2y x x =-=-()cos21g x x =-+2ππ22π,k x k k -≤≤∈Z πππ,2k x k k -≤≤∈Z可得的减区间为，结合，可得的单调减区间为.，故当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为.【解析】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题.（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由图象过点求出的值，可得的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，得出结论；（2）由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性､余弦函数的定义域和值域，得出结论.18.【答案】（1）证明：连接，在四棱台中，且，又四边形是正方形，故，点为棱的中点，则，故，即四边形为平行四边形，则平面平面，故平面；（2）由于平面，四边形是正方形，以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，()g x ππ,π,2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π2,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2πx =()g x ()112--+=π26x =()gx 1+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ω5π,212⎛⎫⎪⎝⎭ϕ()f x ()sin y A x ωϕ=+()g x 1A B 1111ABCD A B C D -11A D ∥AD 1112A D AD =ABCD BC ∥,AD BC AD =E BC BE ∥1,2AD BE AD =11A D ∥11,BE A D BE =11A D EB 1D E∥11,A B D E ⊄111,AA B B A B ⊂11AA B B 1ED ∥11AA B B 1AA ⊥ABCD ABCD A 1,,AB AD AA ,,x y z由于，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，故由图知平面与平面所成角为锐角，故平面与平面（3）由（2）可知，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设点到平面的距离为，则.【解析】1）连接，先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；1111,2A A A B AB ===()()()10,0,1,0,2,0,2,1,0A D E ()()10,2,1,2,1,0DA ED =-=-1A DE (),,m x y z = 100m DA m ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020yz x y -+=⎧⎨-+=⎩1x =()1,2,4m =ABCD ()0,0,1n =cos ,m n m n m n ⋅<>===1A DE ABCD 1A DE ABCD ()()()()11,1,1,0,2,0,2,2,0,2,0,0C D C B ()()()10,2,0,1,1,1,2,0,0BC DC DC ==-=1C DC (),,u s t g = 100u DC u DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020s t g s -+=⎧⎨=⎩1t =()0,1,1u =B 1C DC d BC u d u ⋅=== 1A B 1D E∥1A B 1A DE ABCD（3）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.19.【答案】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，所以在上是增函数；②当时，由得，所以在上是增函数，由得，所以在上是减函数；故时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由的图象恒在轴上方，可得，因为且，不等式两边同时除以，可得，设可得令，解得，令，解得所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为，所以，即，所以的范围是；（3）证明：，1C DC ()f x ()0,∞+()1m x m f x x x-=-='0m ≤()0f x '>()f x ()0,∞+0m >()0f x '>x m >()f x (),m ∞+()0f x '<0x m <<()f x ()0,m 0m ≤()f x ()0,∞+0m >()f x (),m ∞+()0,m ()f x x ()ln 0f x x m x =->0x >0m >mx 1ln xm x>()ln ,x h x x =()21ln ,xh x x-='()0h x '>0e x <<()0h x '<e,x >()h x ()0,e ()e,∞+e x =()h x ()1e eh =max 1()h x m>11em >m ()0,e ()ln ,0f x x m x x =->则，由（1）可知，当时，在上是增函数，故不存在不相等的实数，使得，所以，由，得，即，不妨设，则，要证，只需证，即证，只需证令只需证，即证令，则，所以在上是增函数，所以，即成立，故成立.【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间（含参）､利用导数研究恒成立与存在性问题､利用导数求函数的最值（含参）､利用导数解（证明）不等式，属于较难题.()1m x m f x x x-=-='0m ≤()f x ()0,∞+12,x x ()()12f x f x =0m >()()12f x f x =1122ln ln x m x x m x -=-()2121ln ln m x x x x -=-120x x <<21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-212112ln ln x x x x x x -<-+2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 0,1t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()2221210(1)(1)t g t t t t t +=-=>++'()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 01t t t -->+120m x x <<+（1）求出函数的导数，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；（2）问题转化为，设，利用导数求出，即可求出结果；（3）易得，由得，要证，只需证，只需证，令，只需证，即证，令，利用导数研究单调性即可得证.20.【答案】解：（1）对函数求导，可得，则曲线在处的切线斜率为；（2）证明：当时，，即，即，而在上单调递增，因此原不等式得证；（3）证明：设数列的前项和，则；当时，，由（2），，故，不等式右边得证；要证，只需证：对任意的，()f x m ()f x 1ln x m x >()ln x h x x=max ()h x 0m >()()12f x f x =21210ln ln x x m x x -=>-12m x x <+211221ln ln x x x x x x -<+-2122111ln 1x x x x x x -<+211x t x =>1ln 1t t t -<+1ln 01t t t -->+()()1ln 11t g t t t t -=->+()f x ()()()221ln 121x f x x x x x+=-++'()y f x =2x =()1ln3234f =-'0x >()1f x >()2ln 112x x x ++>()()2ln 102xg x x x =+->+()()()220,1(2)x g x g x x x =>++'()0,∞+()()00,g x g >={}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭111a S ==2n ≥11111111ln 1ln 11122111n n n n a S S n f n n n n -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭()02n a n <≥11n S S ≤=56n S ≤()22112,116n n k k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑令，则，当时，，函数在上单调递减，则，即，则，因此当时，，当时，累加得，又，故，即得证.【解析】（1）对函数求导，求出的值即可得解；（2）令，先利用导数求出的单调性，由此容易得证；（3）设数列的前项和，可得当时，，由此可知，证得不等式右边；再证明对任意的，令，利用导数可知，由此可得.再求得，由此可得证不等式左边，进而得证.本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.()()()()2ln 121x x h x x x +=+-+()222(1)x h x x '=-+0x >()0h x '<()h x ()0,∞+()0h x <()()()2ln 121x x x x ++<+()()()()222211221414x x x x x f x x x x ++-<⋅-=<++2k ≥22111111114(1)4(1)122321f k k k k k ⎛⎫⎛⎫-<<=- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭4n ≥()441111111111111,1257792321252110n nk k k a f k n n n ==⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ ()()233353511ln210.69410.041,ln 1 1.10.69310.017522222a f a -=-=-<⨯-=-=-<--=()()2324110.0410.01750.1585106nnkk k k a aa a ==-=--+-=++=<∑∑()f x ()2f '()()1g x f x =-()g x {}n a n ()1ln !ln 2n S n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭2n ≥10n n n a S S -=-<11n S S ≤=()22112,116nnk k k n a f k ==⎛⎫⎛⎫≥-=-≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑()(2)()ln 12(1)x x h x x x +=+-+()()()2ln 121x x x x ++<+()4110n k k a =-<∑23,a a --。
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测语文试题及参考答案
山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测语文试题一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分) 阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：《红楼梦》中有一个聚讼纷纭的案例，学界产生了多篇专论之文，但仍有可深入探讨之处。
在第四十回中，贾母带领众人去蘅芜苑，从荇叶渚上船。
宝玉道：“这些破荷叶可恨，怎么还不叫人来拔去。
”宝钗笑道：“今年这几日，何曾饶了这园子闲了，天天逛，那里还有叫人来收拾的工夫。
”林黛玉道：“我最不喜欢李义山的诗，只喜他这一句：‘留得残荷听雨声’。
偏你们不留着残荷了。
”宝玉道：“果然好句，以后咱们就别叫人拔去了。
”首先，探讨一下林黛玉引用时的改字问题。
其实，这是一种“随文立训”式的改动。
据文本内容来推，本回故事当发生在八月二十五日。
因为巧姐发热，彩明念《玉匣记》云“八月二十五日，病者在东南方得遇花神”,此时之荷尚未枯，用“残”字更贴切。
关于此，《红楼梦》中恰有可以援证之文，第六十七回袭人“刚来到沁芳桥畔，那时正是夏末秋初，池中莲藕新残相间，红绿离披”,这个夏末秋初大概是何时，书中并未明言，但亦可推知，第六十六回中柳湘莲对贾琏说“不过月中就进京的”,后又说“八月内湘莲方进了京”,然后是尤三姐自刎、柳湘莲出家等，则应该是八月下旬。
黛玉为了加强说服力，把形容此时秋景本不特别贴切的诗句改了一个字，这一改动在她引用之后的语言中也有非常清楚的显示。
事实上，这种引用时的随文改动正是古人常有之例。
因此，虽然可以确定李商隐的原文与曹雪芹的引文有一字之不同，但这却绝非一个校勘学上的“他校”问题。
接下来，我们从情节前后的脉络出发，来讨论黛玉引此诗的背后逻辑。
理解这一段对话的关键就藏在上引的原文之中，或者说，存在于作者对宝、黛、钗三人关系的设定之中。
在这三人的关系中，黛玉一直是最为警惕的那一个，面对来自宝钗的威胁，她总是下意识地防范，甚至会主动出击。
仔细看一下原文。
先是宝玉说“这些破荷叶可恨，怎么还不叫人来拔去”,这时，如果宝钗未接话，黛玉或许也可能赞同宝玉的意见，然而心思细密又喜欢给人讲道理的宝姐姐这时肯定会有所表现，所以她立刻就接着说：“今年这几日，何曾饶了这园子闲了，天天逛，那里还有叫人来收拾的工夫。
安徽省2024届高三下学期春季阶段性检测地理试卷(含答案)
安徽省2024届高三下学期春季阶段性检测地理试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题川藏铁路东起四川成都，西至西藏拉萨，其中，成都—雅安段、拉萨—林芝段现已通车，康定一林芝段预计2026年建成通车。
川藏铁路是我国第二条进藏铁路，也是西南地区的干线铁路之一，其开通有效提升了沿线区域的可达性，下图示意川藏铁路建成前后拉萨市的可达性变化，据此完成下面小题。
1．川藏铁路开通后，拉萨至我国中东部大部分地区可达性提升至24小时内，这主要是受其( )A.线路走向的影响B.列车数量的影响C.对接路网的影响D.运载能力的影响2．相比青藏铁路（西宁一拉萨），川藏铁路在带动西藏经济发展方面的主要优势有( )①途经省区更多②覆盖人口更多③经济腹地更广阔④沿线地质灾害更少A.②③B.①③C.②④D.①④新茶饮是指以原叶茶、水果、果汁和乳制品等为原料，现场制售的各类饮品的统称。
近年来，新茶饮行业快速发展，截至2020年底全国新茶饮门店数已达37.8万家，新茶饮成为餐饮业规模扩大和空间增长的重要引擎。
下表示意不同类型新茶饮品牌代表的发展历程，据此完成下面小题。
A.低端品牌、中端品牌、高端品牌B.低端品牌、高端品牌、中端品牌C.中端品牌、低端品牌、高端品牌D.中端品牌、高端品牌、低端品牌4．在初创期三类新茶饮品牌均在发源地所在省域发展，主要是为了( )A.享受地区优惠政策B.缩短原料运输距离C.解决本地就业问题D.积累资金，降低风险5．三类新茶饮品牌门店在我国东北地区分布均较少，主要原因是东北地区( )①距离原料地较远②高等级城市较少③交通可达性较差④消费淡季时间长A.①②B.③④C.①④D.②③多样的山地微气候、生物资源、地形地貌使得山东泰山植被垂直方向上呈现出明显的演替规律，以泰山南坡最为明显。
但目前泰山植被多为人工种植后经自然演替形成，其垂直分布现状与所在区域理想状态下的垂直带谱不符：落叶阔叶林主要分布在海拔550～1000米地区，温性针叶林主要分布在海拔1000米以上地区，针阔叶混交林在海拔200～1500米地区均有分布。
山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测语文答案
山东名校考试联盟2023年12月高三年级阶段性检测语文试题参考答案及评分标准一、(35分）（一）1.C 2.D 3.B4.①富有线条艺术美；①崇尚传神写意（主张神重于形）;①采用散点透视法；①平衡诗书画印要素。
（每条1分）来源：高三答案公众号5.我认为增添了整幅画的意趣。
①乾隆题诗并不突兀，很自然地和王冕诗一起与枝权相对应，更有助于完善构图的视觉效果。
①乾隆诗后所用钤章颜色偏淡偏小，王冕诗后所用钤章偏大偏浓，二者错落有致，稳正平衡，相映成趣。
①乾隆的诗不仅解释了王冕绘画技法，且对梅花的冰心清骨持赞赏态度，符合王冕的诗画旨意。
①乾隆作为一代明君，给渴望得遇明君一展怀抱的王冕题诗，是一种美好回应。
（每点2分，任意2点即可）我认为破坏了画面的和谐。
①从构图的整体视觉效果看，乾隆题诗改变了原画的构图，导致上密下疏.打破了原画面的平衡。
①画面上已经有了钤章，再加上乾隆诗后所用钤章，造成重复.破坏了艺术家的匠心追求。
①王冕的诗句抒发了绝意功名利禄的、保持清高品格的意图，乾隆作为一代君主，在上面题诗，和画作展现的清高品格不符。
（每点2分，任意2点即可）8.①金龄子的回忆，引出交亲和陈捷的故事。
①父亲淮生的回忆，重点写无名高地那个生死之夜，表现志愿军战士视死如归的精神。
①伯格上校的回忆，从另一个角度表现志愿军战士顽强战斗、不怕牺牲的精神。
①多角度回忆和感受，增加了战争的残酷性和真实性，丰富读者战争感受，避免叙述单调。
（①①①点，每点2分：第①点3分，增强、丰富、避免，各1分；意思对即可）9.①代表时间推进，结构小说情节。
小说把战争时间浓缩在一个晚上，用小时、用分钟展开，现场感强，使叙事具有张力。
①传达心理期望，丰富志愿军战士的群体形象，在死神随时可能降临的每时每刻，战士们的挣扎、幻想、绝望不断呈现，最终壮烈牺牲。
（或者：希望这个夜晚快点过去，希望这场战争早点结束。
）①是战争的节点，渲染出悲壮的场景。
伯格上校听到怀表的声音，暗示了志愿军战士的牺牲，战士们用生命完成任务，战争格局开始转折，细节真实，让人震撼。
陕西省咸阳市乾县第一中学2024-2025学年高三上学期第二次阶段性检测试题语文试题(含答案)
2024-2025学年乾县第一中学高三语文第二次阶段性检测试题本试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面文字，完成下面小题。
材料一：加快形成新质生产力，是我国把握新一轮科技革命机遇、建设现代化产业体系，进而全面塑造发展新优势的关键之举。
我们要充分发挥产业体系完备、超大规模市场等优势，加快培育新质生产力。
新质生产力是先进生产力的具体体现，可从“新”和“质”两个方面理解。
从“新”的角度看，新质生产力的内在要求是创新，不仅包括技术和业态模式层面的创新，还包括管理和制度层面的创新，从而提供有利于其蓬勃发展的环境。
“质”是一事物成为其自身并区别于其他事物的规定性，新质生产力不是传统生产力的局部优化与简单迭代，而是由技术革命性突破、生产要素创新性配置、产业深度转型升级而催生的当代先进生产力。
智能化、数控化、复杂化、精细化的生产工具可以作为新质生产力的重要标志。
（节选自《理解新质生产力的内涵》）材料二：新质生产力是一个内涵丰富、意蕴深厚的经济范畴，代表着一种生产力的跃迁，是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，尤其是关键性颠覆性技术实现突破的生产力，具备高效能，体现高质量，区别于依靠大量资源投入、高度消耗资源能源的生产力发展方式，是摆脱了传统增长路径、符合高质量发展要求的生产力，是数字时代更具融合性、更体现新内涵的生产力。
准确理解新质生产力的内涵特征，需要从“新”和“质”两个方面进行把握。
所谓“新”，是指新质生产力不同于一般意义上的传统生产力，是实现关键性颠覆性技术突破而产生的生产力，是以新技术、新经济、新业态为主要内涵的生产力。
重庆市2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测数学试题含答案
高2025届高三上11月阶段性检测数学试题（答案在最后）（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （）A.()4,3- B.()0,3 C.()3,0- D.()4,0-2.已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（）A.1B.2C.3D.43.“1x >”是“11x-<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b<< B.c a b << C.b c a<< D.c b a <<5.设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（）A.若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B.若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C.若,,//,//m n m n ααββ烫，则//αβ．D .若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．6.若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（）A.1712-B.56-C.175-D.17-7.已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（）A.12025B.12024C.11012D.110138.已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（）A.)3,-+∞ B.253,8⎫-⎪⎭C.7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D.7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（）A.()cos f x x =B.()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.()22cos sin f x x x=- D.()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭10.ABC V 中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（）A.4AB AC +=B.AB AC ⋅为定值C.2220AC AB += D.BAD ∠的最大值为45︒11.在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A.直线1BD ⊥平面11A C DB.异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.过点,,B P Q 的截面周长为+D.当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．13.在数列 中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.14.若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.平面四边形ABCD 中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．17.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅ 为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．18.已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.19.数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 的前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N *∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．高2025届高三上11月阶段性检测数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】 【13题答案】【答案】427【14题答案】【答案】612四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1（2）60︒【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）65-.【17题答案】【答案】（1）22143x y -=；（2）存在，29(,0)8Q -，58564.【18题答案】【答案】（1）220x y π+-=（2）证明见解析（3）1πa <-【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期阶段性检测(一)化学试题含答案
长沙市2024－2025学年度高三阶段性检测（一）化学试卷（答案在最后）时量：75分钟总分：100分可能用到的相对原子质量：H 1C 12N 14O 16Cl 35.5Fe 56一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列文物的主要成分不同于其他三种的是（）A ．双面神人青铜面具B ．元代青花带盖瓷梅瓶C ．元代“阳平治都功印”铭玉印D ．屈蹲羽人活环玉佩饰2．下列有关化学用语的叙述错误的是（）A ．3NH 的结构式为B ．2CS 的电子式为C ．简单硫离子的结构示意图为D ．基态N 原子的价层电子排布图为3．设A N 为阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是（）A ．1mol 金属钠生成22Na O ，转移的电子数为A 2NB ．60g 二氧化硅晶体中含有A N 个2SiO 分子C ．乙烯和丙烯的混合物共28g ，含有的氢原子数为A4N D ．由31molCH COONa 和少量3CH COOH 形成的中性溶液中，3CH COO -数目小于AN 4．利用下列试剂和如图所示装置制备气体并除去其中的非水杂质，能达到目的的是（必要时可加热，加热及夹持装置已略去）（）选项气体试剂Ⅰ试剂Ⅱ试剂ⅢA 2Cl 浓盐酸2MnO NaOH 溶液B 2CO 稀盐酸3CaCO 饱和3NaHCO 溶液C 2SO 浓硝酸()23Na SO s 饱和3NaHSO 溶液D24C H 浓硫酸()25C H OH 14KMnO 酸性溶液5．常温下，通过下列实验探究3NaHCO 的性质。
实验实验操作和现象1用pH 试纸测定130.1mol L NaHCO -⋅溶液的pH ，测得pH 约为82向135mL0.5mol L NaHCO -⋅溶液中加入125mL1mol L CaCl -⋅溶液，产生白色沉淀和气体3向135mL0.5mol L NaHCO -⋅溶液中加入()125mL0.1mol L Ba OH -⋅溶液，产生白色沉淀4向135mL0.5mol L NaHCO -⋅溶液中加入1245mL0.1mol L H SO -⋅溶液，有无色气体逸出下列有关说法错误的是（）A ．130.1mol L NaHCO -⋅溶液中存在()()()()2323OHCO H H CO c c c c --++=+B ．实验2发生反应的离子方程式为233222HCO CaCaCO H O CO -++=↓++↑C ．实验3发生反应的离子方程式为2332HCO BaOH BaCO H O-+-++=↓+D ．实验4发生反应的离子方程式为322HCO H H O CO -++=+↑6．苯乙烯是一种重要的化工原料，在2CO 气氛下乙苯催化脱氢生成苯乙烯的一种反应历程如图所示，下列说法错误的是（）A ．由原料到状态1产生了活性氢原子B ．由状态1到状态2有极性键的断裂和形成C ．催化剂可提高苯乙烯选择性，增大苯乙烯的产率D ．由状态2到生成物只有2种元素的化合价发生了变化7．实验是科学探究的重要手段，下列实验操作或方案正确且能达到预期目的的是（）选项ABCD实验操作或方案实验目的石油分馏时接收馏出酸式滴定管排气操制取氨气证明温度对平衡的影物作响8．常温下，下列各组粒子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A ．澄清透明溶液：K +、Na +、24SO -、4MnO -B ．遇KSCN 变红色的溶液：Na +、2Mg +、I -、Cl-C ．pH 0=的溶液：4NH +、2Fe +、223S O -、ClO-D ．通入足量3NH 的溶液：K +、2Cu+、24SO -、Cl-9．科学家合成了一种高温超导材料，其晶胞结构如图所示。
湖南省长沙市一中2024-2025学年高三上学期阶段性检测(一)地理试题及答案
长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测(一)地理试卷时量:75分钟总分:100分得分:一、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)20世纪80年代以来，全球范围内逐步形成了几个相对独立、分工明确的区域性半导体产业集团。
1999年美国成为全球第一大半导体制成品贸易国，2019年被中国取代。
近年来，部分国家和地区通过设置贸易壁垒和技术垄断来控制半导体关键设备的贸易。
下图示意全球半导体产业的分工模式。
据此完成1—3题。
1.半导体关键设备的贸易发生在少数国家之间，主要是因为半导体关键设备A.生产速度慢B.运输规模大C.技术要求高D.市场需求少2.中国取代美国成为全球最大的半导体制成品贸易国，主要原因是中国A.市场规模大B.技术水平高C.人员素质高D.基础设施完善3.面对贸易壁垒和技术垄断，某个国家或地区若要进人半导体产业高附加值领域，重点需要A.快速调整产业结构B.积极参与贸易协作C.扩大对外贸易范围D.加强自主技术创新关隘地势险要，是古代军事防御工程的重要组成部分。
图1为我国某跨河关隘所在地等高线(单位：m)地形图，图2为某登山爱好者在该地拍摄的实景图，图中近处草木枯黄，半山腰处冷杉集中分布，远处山顶灌木广布，鲜有乔木。
据此完成4—6题。
4.该区域最可能位于A.四川盆地B.辽西丘陵C.武夷山区D.青藏高原5.该登山爱好者拍摄图片时最可能位于图2中的A.①地B.②地C.③地D.④地6.影响该区域植被分布的直接因素为A.人类活动B.光照C.气温D.土壤育龄妇女广义上指具有生育能力的女性，一般将育龄妇女的年龄界定为15—49周岁。
下图为2011—2025年我国育龄妇女规模统计图(含预测)。
据此完成7—8题。
7.该时段我国育龄妇女人口变化短时间内可能产生的影响是A.劳动力人口数量急剧下降B.孕产相关产业面临困境C.城镇化推进速度减慢D.教育与医疗压力减小8.为了更好地应对我国育龄妇女人口变化可能产生的问题，可以采取的最有效措施是A.提供良好的医疗服务B.吸引外国居民移民C.提升教育配套服务D.降低居民的生活成本水库工程为满足不同时段的用水要求，需要通过蓄水或放水，以达到合适水位。
2024山西天一大联考 高三阶段性测试(定位)语文试题+答案
2023—2024学年高三年级阶段性测试（定位）语文考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：①20世纪初，鲁迅先生撰《中国小说史略》，小说学正式进入主流研究领域，形成自己的学科范畴，而《中国小说史略》也成为迄今为止小说学研究，特别是小说史书写的纲领性范式。
但不可否认的是，鲁迅先生对中国古代小说史的解读与构建，根植于西学东渐直至新文化运动的大背景下，深受西方叙事文学影响，先入为主地以西方叙事小说标准来衡量和评判中国小说，忽视与摒弃了古代小说长期以来非叙事性的主要特点，形成了一些如唐代“始有意为小说”的片面观点，造成了对古代小说实际发展研究的偏差与背离。
②自鲁迅以降，近百年来对中国古代小说的研究成果丰硕，但除对作品的文献考据研究外，凡从小说发展角度论述，仍然受制于《中国小说史略》的固有思路与评价标准，未能如实反映古代小说的历史发展原貌，以及异于西方叙事小说的独特属性。
更为突出的是，以叙事小说的叙事手法成熟与否作为评判标准，已然成为研究者对古代小说默认与唯一的研究方法，大量小说研究实际上处于一种惯性的模式化书写，未能有效突破鲁迅先生因身处特定历史条件造成的视角和方法桎梏，从而使得这一类研究仅能作为《中国小说史略》的补充与延伸，事实上仍是以西方学术标准评价中国古代小说，而非从古代小说的特性出发来考察其独特价值，寻找符合古代小说实际发展的研究标准，并形成一套行之有效的研究体系。
③因此，当下中国古代小说研究亟于突破的瓶颈，就在于回归中国语境，还原小说原貌。
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2
高三数学测试题
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60 分） 1、若全集U 0,1,2,3且C U A
2 ,则集合A 的真子集共有（C ） A 、3个
B 、5个
C 、7个
D 、8个
2、 若点p 在务的终边上，且|OP | 2（0为坐标原点），则点P 的坐标 （D ）
A 、（1, ,3）
B 、（。
1）
C 、（ 1， .3） D 、（ 1, (3)
1
3、 已知 sin cos -,且 （0,—）,则 sin cos （ D ）
4
4
4、给出下面4个函数，其中既是区间（0-）上的增函数又是以
为周
2
期的偶函数的函数是（B ）
A 、y tan x
B 、y |sinx|
C 、y cos2x
D 、y | cosx |
5、 在 ABC 中，若（a b c ）（a b c ） 3ab,且 sin C 2sinAcosB,贝卩 ABC 是
（A ）
A 、等边三角形
B 、等腰三角形但不是等边三角形
C 、等腰直角三角形
D 、直角三角形
6、 有以下四种变换方式：
① 向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
4
的1倍（纵坐标不变）
2
② 向左平移-个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
8
的1
倍（纵坐标不变）
A 、1
B 、
③把各点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，再向左平移—个单位长度
4
④把各点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，再向左
2
平移—个单位长度
8
其中能将函数y sin x的图象变为函数sin(2x -)的图象的是(A)
4
A、①和④
B、①和③
C、②和④
D、②和③
9
、
在ABC中，a,b,c分别为代B, C的对边，若m (a b,1)和n (b c,1)平行，且sin B彳，当ABC的面积为3时，则b ( B)
5 2
A、—
B、2
C、4
D、2 ■ 3
2
10、 f (x) 2 cos2x 3s in2x a( a为实常数)在区间［0,?］上的最小值为
-4，那么a的值等于(C)
A、4
B、6
C、4
D、3
11、已知y f(x)是周期为2的函数，当x ［0,2 )时，f(x) sin；,则
A、一
B、2
C、4
D、5
33 3 3
&函数y x
,x sin x
(,0) (0,)的图象可能是下列图象中的 C
7、使函数f(x) sin(2x ) .3cos(2x
数的的一个值是(B )
)是奇函数，且在［0,-］上是减函
4
f(x )2的解集为(C )
A 、 x|x 2k ,k Z
3 C 、 x|x 2k -,k Z 3
12、定义在R 上的偶函数f (x)满足f (x) f(x 2),当x [3,5]时,
f(x) 2 |x 4|，则下列错误的是(B )
A 、f (sin 百)f (cos 石)
B 、f (sin 1) f (cosl)
2 2
C 、f (cos2) f (sin 2)
D 、f (cos ) f (sin )
3
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13、若方程sin x cosx k 在0 x
上有两解，则k 的取值范围是
1 k
2 .
(1) 若 a b,则 _____ £
(2) |a b |的最大值为1 . 2 .
15、 已知函数f (x) sin( x ) (
0,-
-)的图象上的两个相邻的
1
最高点和最低点的距离为2 2，且过点(2, 2),则函数f(x) si
%x
16、 下面有五个命题：
① 函数 y sin 4x cos 4x 的最小正周期为 ② 终边在y 轴上的角的集合是
|
-,k Z
2
③ 同一坐标系中，函数y sin x 的图象和y x 的图象有三个公共点 ④ 函数f(x) sin(— 2x)在区间［0, —］上单调递增
3
4
B 、 x|x 2k
D 、x|x 2k
14、已知向量 a (sin ,1),b (1,cos ),—
⑤函数f (x) sin 2x cos2x向右平移—个单位后得到的函数为偶函数
4
其中正确命题的序号是①④.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17、已知函数f(x) cos4x 2sin xcosx sin4x(x R)
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y f (x)在区间［-,］上的图
2 2
象.
(1) T (2)略
18、 (理科)已知A、B、C三点的坐标分别是A(3,0), B(0,3),C(sin ,cos ), 其中—.
2 2
(1)若|AC | |BC|,求角的值；
・ 2 ・
(2)若AC BC 1,求空巴竺乙的值.
1 tan
(1) (2)
18、(文科)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
bcosC 3a cosB ccosB.
(1)求cosB的值；
(2)已知BA BC 2,b 2、2,求a、c 的值.
(1) 1 (2)
3
19、已知函数f(x) 2cosxsin(x —) 3sin2x sinxcosx.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f (x)的图象向右平移m(m 0)个单位，使得平移之后的函
(1)
(2)
数图象关于直线X 2对称，求m
的最小值.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若直线y 2x 和此函数的图象相切，求a 的值;
(3)若当x [1,3]时，f (x) a 2 -恒成立，求a 的取值范围.
3
(1) (
,1)和(2,
)
( 2)a 9
或a 0
( 3)0 a 1
2
21、在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,tanC (1) 若 sin(B A) cosC,求 A 、C ；
(2) 若c , 7,且
■
ABC 的面积为
3 3, 求a b 的值;
2
(3) 判断当sin A sin B 取最大值时，
ABC 的形
状
(1) A
,C -
4 3
(2)
(3)
22、已知函数 f (x) 2asin xcos x b(2cos 2 x 1)(
0)在 x —时取得
12
最大值2，X 1,X 2是集合M x R| f(x) 0中的任意两个元素，|捲X 2 |的 最小值为-.
2
(1) 求a 、b 的值； (2) 若 f ()求sin(J 4 )的值. ⑴【12 k
7 12
(2)
20、已知函数f(x)】x 3 3
bx 2 2x a,x 2是f (x)的一个极值点.
sin A sin B cosA cosB
3 6
(1)
(2)。