湘一芙蓉中学2019-2020学年高一上学期入学考试数学试卷
【精品高一数学试卷】2019-2020学年湖南省高一(上)期中数学试卷+答案
2019-2020学年湖南省高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）设集合{|21A x x k ==+，}k Z ∈，则( ) A ．3A ∉B ．3A ∈C ．3A ⊆D ．3A Ü2．（5分）下列函数既是偶函数又有零点的是( ) A ．21y x =+B ．||2x y =C ．2y x x =+D ．1||y lg x =+3．（5分）函数()f x ，()g x 由下列表格给出，则(f g （3）)(= )A ．4B ．3C ．2D ．14．（5分）函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x …时，()4x f x m =+，则1()(2f -=) A ．1B ．2-C ．1-D ．32-5．（5分）函数()f x 与()x g x a =互为反函数，且()g x 过点(2,4)-，则f （1）f +（2）(=) A ．1-B ．0C ．1D ．146．（5分）根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)7．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱1AA 垂直于底面)ABC 中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，AC =BD 与AC 所成的角为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．（5分）我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10IlgI η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则70dB 的声音强度1I 是60dB 的声音强度2I 的( )A ．76倍B ．7610倍C ．10倍D ．76ln 倍9．（5分）下列不等式中不成立的是( ) A ．0.50.556< B ．22log 3log 5<C ．0.23log 0.83-<D ．0.30.40.10.1<10．（5分）若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π11．（5分）已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+=⎨->⎩…，若1x ∃，2x R ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a >或2a <-12．（5分）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2.3]2=，[ 1.8]2-=-，方程[1|1|]3x +-=的解集为A ，集合22{|211150}B x x kx k =-+-<，且A B R =U ，则实数k 的取值范围是()A ．6446[,)(,]5335--⋃B ．6422(,][,)5335--UC ．6422[,][,]5335--UD ．6422[,)(,]5335--⋃二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数()f x 经过点1(4,)2，则f （9）= ．14．（5分）不等式12log (1)1x ->-的解集为 ．15．（5分）碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鸟化石中碳14的残留量约为原始含量的37.5%．设这只鸟是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为 ．16．（5分）已知，若定义域为[0，1]的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …；②f （1）1=；③当10x …，20x …，121x x +…时，1212()()()f x x f x f x ++…成立，则称函数()f x 为Z 函数．以下说法： （1）若函数()f x 为Z 函数，则(0)0f =； （2）函数()21([0,1])x g x x =-∈是一个Z 函数；（3）若函数()f x 为Z 函数，则函数在区间[0，1]上单调递增；（4）若函数()f x 、()g x 均为Z 函数，则函数()()(0mf x ng x m +>，0n >，且1)n n +=必为Z 函数．正确的有 （填写序号）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17．（10分）若函数2x y +的定义域为集合A ，集合21|log ,[,4]2B y y x x ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭．（1）求R A ð，A B I ；（2）若集合{|24}x m C x -=…，且()C A B U Ü，求实数m 的取值范围． 18．（12分）如图所示的圆锥SO 中，母线长为4，且其侧面积为8π． （1）求该圆锥的体积；（2）若AB 为底面直径，点P 为SA 的中点，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离．19．（12分）如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1A B ，AC 的中点． （1）证明：//EF 平面11A C D ； （2）求三棱锥11F AC D -的体积．20．（12分）渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留也适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为(0)k k >．（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值）． （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值值时，求k 的取值范围． 21．（12分）已知二次函数2()224f x x mx m =+++．（1）若函数()f x 有两个零点，且一个小于1，一个大于4，求实数m 的取值范围； （2）若关于x 的方程(2)40x f +=有实数解，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数2()||1(af x x a x=+-为常数）． （1）当1a =-时，判断()f x 在(0,)+∞的单调性，并说明理由； （2）若存在x R ∈，使不等式(2)0x f <成立，求a 的取值范围； （3）讨论()f x 零点的个数．2019-2020学年湖南省高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 【解答】解：由213k +=，得1k Z =∈，所以3A ∈． 故选：B ．【解答】解：由偶函数定义再定义内满足()()f x f x -=，是偶函数的是A ，B ，D ； 且A ，B 没有零点；D 由零点1x e=， 故选：D ．【解答】解：由表格可知，g （3）2=， (f g ∴（3）)f =（2）4=．故选：A ．【解答】解：函数是奇函数， (0)0f ∴=，即(0)10f m =+=，得1m =-，则1211()()(41)(21)122f f -=-=--=--=-，故选：C ．【解答】解：由题意指数函数()x g x a =的图象过点(2,4)-， 故可得24a -=，解得12a =或，故函数1()()2x g x =， 故其反函数12()log f x x =，故f （1）f +（2）1122log 1log 2011=+=-=-故选：A ．【解答】解：令()2x f x e x =--，由图表知，f （1） 2.7230.280=-=-<，f （2）7.394 3.390=-=>，方程20x e x --=的一个根所在的区间为 (1,2)， 故选：C ．【解答】解：根据题意，1BB AC ⊥，111BB A B ⊥，Q 2,AB BC AC ===22()AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r， ∴20442BC BA =+-u u u r u u u rg ， ∴6BC BA =-u u u r u u u rg ，又D 为11A B 的中点，∴2111111()()32522222BD AC BB BA AC BA AC BA BC BA BA BC BA =+==-=-=--=-u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r g g g g g ， 又12BB =，∴BD =AC =∴1cos ,2||||BD AC BD AC BD AC <>===-u u u r u u u ru u u r u u u r g u u ur u u u r ，且0,180BD AC ︒<>︒u u u r u u u r 剟， ∴,120BD AC <>=︒u u u r u u u r，∴异面直线BD 与AC 所成的角为60︒．故选：C ．【解答】解：由题意，令107010I lg I =，解得，71010I I =⨯，令206010I lg I =，解得，62010I I =⨯， 所以1210I I = 故选：C ．【解答】解：A ．Q 函数0.5()f x x =在(0,)+∞上单调递增，f ∴（5）f <（6），即0.50.556<，故A 正确；B ．2()log f x x =Q 在(0,)+∞上单调递增，f ∴（3）f <（5），即22log 3log 5<，故B 正确； C ．3log 0.80<Q ，0.230->，∴0.23log 0.83-<，故C 正确；D ．Q 函数0.1x y =在R 上单调递减，(0.3)(0.4)f f ∴>，即0.30.40.10.1>，故D 错误．故选：D ． 【解答】解：如图，把三棱锥P ABC -补形为长方体，则长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径． 设三棱锥外接球的半径为R ，则2222(2)12314R =++=，∴该三棱锥外接球的表面积为2414R ππ=．故选：B ．【解答】解：若1x ∃，2x R ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则说明()f x 在R 上不单调 ①当0a =时，2,1()1,1x x f x x ⎧-=⎨->⎩…，其图象如图所示，满足题意②当0a <时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =<，其图象如图所示，满足题意③当0a >时，函数2y x ax =-+的对称轴02ax =>，其图象如图所示， 要使得()f x 在R 上不单调 则只要二次函数的对称轴12a x =< 2a ∴<综上可得，2a <故选：A ．【解答】解：由题意，31|1|4x +-<…，即2|1|3x -<…，解得21x -<-…或34x <…，即(2A =-，1][3-U ，4)，22{|211150}B x x kx k =-+>，设22()21115f x x kx k =-+，显然函数()f x 为开口向上，对称轴为114kx =且与x 轴有两个交点的二次函数， A B R =Q U ，∴函数()f x 的两个零点在区间(2-，1]-内或在区间[3，4)内，∴22(2)152280(1)15112011214f k k f k k k⎧⎪-=++>⎪-=++⎨⎪⎪-<<-⎩…或22(3)1533180(4)154432011344f k k f k k k ⎧⎪=-+⎪=-+>⎨⎪⎪<<⎩…， 解得6453k <…或2235k -<-…．故选：D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 【解答】解：设幂函数为()a f x x =， 代入点1(4,)\2，142a =，解之得12a =-， ∴121(9)93f -==． 故答案为：13【解答】解：不等式12log (1)1x ->-，即1122log (1)log 2x ->，012x ∴<-<，求得13x <<， 故答案为：(1,3)．【解答】解：根据题意可设原来量为1，则经过t 年后变成了0.375，∴573011()0.3752t ⨯=，0.50.3755730tln ln =， 即57300.3750.5ln t ln =．故答案为：57300.3750.5ln t ln =．【解答】解：若函数()f x 为Z 函数，则令10x =，20x =，得(0)(0)(0)f f f +…，即(0)0f …，又由①对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …，(0)0f ∴=，故（1）正确； 函数()21([0,1])x g x x =-∈满足()0g x …，g （1）1=， 若10x …，20x …，121x x +…， 则_1_2_1_2_1_2_1_2_1_21212()[()()]21[(21)(21)2221(21)(21)0x x x x x x x x x x g x x g x g x +++-+=---+-=--+=--…，即1212()()()g x x g x g x ++…，则函数()21([0,1])x g x x =-∈是Z 函数，故（2）正确； 设1201x x <剟，则2101x x <-<，22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+-+厖，即有12()()f x f x …，∴函数()f x 在区间[0，1]上单调递增，故（3）正确；若函数()f x 、()g x 均为Z 函数，则对任意的[0x ∈，1]，总有()0f x …，()0g x …， 又0m >，0n >，()()0mf x ng x ∴+…．f （1）1=，g （1）1=，则mf （1）ng +（1）1m n =+=．当10x …，20x …，121x x +…时，1212()()()f x x f x f x ++…成立，1212()()()g x x g x g x ++…成立， 0m >Q ，0n >，12121212()()()()()()mf x x ng x x mf x mf x ng x ng x ∴++++++…成立，∴函数()()(0mf x ng x m +>，0n >，且1)n n +=必为Z 函数，故（4）正确． ∴正确命题的序号是：（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）【解答】解：（1）{|1}A x x =>，{|1}R C A x x =…，[1B =-，2]，(1A B =I ，2]；（2）24x m -…，2x m -…，2x m +…，[1A B =-U ，)+∞； ()C A B Q U Ü，21m ∴+-…，3m -…，[3m ∴∈-，)+∞．【解答】解：（1）设底面圆半径为r ，周长为l ，2l r π=， 11424822S l r ππ=⋅=⋅⋅=侧，2r =，||SO ==211||433V r SO ππ=⨯=g g g （2）设圆锥展开为扇形时，圆心角为θ，则22224r l ππθπ⨯===， 故展开图中SP SB ⊥，则圆锥面上P 点到B =【解答】解：（1）证明：连结BD ，E Q 、F 分别为AB ，BD 的中点，1//EF A D ∴， EF ⊂/Q 面11A C D ，1A D ⊂面11A C D ，//EF ∴面11A C D ．（2）解：FD AC ⊥Q ，1FD CC ⊥，FD ∴⊥平面11ACC A ，∴三棱锥11F AC D -的体积：11111142222323F A C D D A C F V V --===g g g ．【解答】解：（1）由题意，空闲率为1x m-， (1)x y kx m ∴=-，定义域为(0,)m ； （2）由（1）得2(1)()24x k m km y kx x m m =-=--+， 因为(0,)x m ∈，0k >； 所以当2m x =时，4max km y = （3）由题意有0x y m <+< 即：024m km m <+< 因为0m >，解得22k -<<又0k >故k 的取取值范围为(0,2)．【解答】解：（1）f （1）12240m m =+++<，解得54m <-， f （4）168240m m =+++<，解得2m <-， 2m ∴<-；（2）令2x t =，(0,)t ∈+∞22(2)()22442280x f f t t mt m t mt m ==++++=+++=， ∴2281(1)2(1)919[(1)2]2222121t t t m t t t t ++-++=-=-=-++--+++g …，当且仅当911t t +=+，即2t =时等号成立，(m ∴∈-∞，2]-．【解答】解：（1）2()||1f x x x =--，0x >时，2()1f x x x=--， 令21212121220()()11x x f x f x x x x x >>-=---++ 2121212()x x x x x x -=-+ 20122()(1)0x x x x =-+>， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增．（2）由(2)0x f >，得2(2)102x xa +->， 22(2)2202(2)2x x x x a a +->>-+，令2(0,)x t =∈+∞，2y t t =-+，11244max y a =>，∴18a >． （3）2()||10a f x x x =+-=， 2||a x x x ∴=-+，0x ≠，作出||y x x x =-+，0x ≠的图象如图；ⅰ1)24a <-或124a >即18a <-或18a >时，1个零点； ⅱ1)24a =-或124a =或0a =即18a =±或0a =时，2个零点； ⅲ1)204a -<<或1024a <<， 即108a -<<或108a <<时，函数有3个零点．。
2019-2020年高一上学期新生入学考试数学试题含答案
21. 已知 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°，根据下列条件解直角三角形． （ 1）∠ B＝ 60°， a ＝4； （ 2） a ＝ － 1， b ＝3－ ； （ 3）∠ A＝ 60°， c ＝2＋ ．
22. 如图 17-2-12 ，正比例函数 y=k 1 x 的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A，B
B ： S1＜S2＜S3 D： S1＝S2＝S3
6. 函数
是反比例函数 , 则（ ）
A． m ≠0 B ． m ≠0 且 m ≠ 1 C． m =2 D． m =1 或 2
7. 某水坝的坡度 i ＝1∶ A．10 m B ．20 m
，坡长 AB＝ 20 m，则坝的高度为 ( )
C．40 m D． 2 m 8. sin30 °的值是 （ ）
A．1 B ． C． D．
9. 若点 (-2 ，y 1 ) 、 (1 ，y 2 ) 、 (3 ，y 3 ) 都在反比例函数 y= y 3 的大小关系是 ( )
的图象上，则 y 1 、y 2 、
A.y 1 3 2
B.y 2 1 3 C.y 1 2 3
D.y 2 3 1
10. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积
3. 已知反比例函数
的图象上两点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，当 x1＜0＜x2 时，
有 y1＜y2，则 m的取值范围是 A ．m＞0 B ．m＞ C．m＜0 D． m＜
4. 已知点 (1 ， a) 在反比例函数 y=
(k ≠0) 的图象上，其中 a=m2+2m+5(m为实数 ) ，
表格中空缺的数值可能是多少？请你给出合理的数值。
20. 如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形 ABCD，其中∠ BAC=4°5 ，∠
【开学考试】湖南2020年高一新生开学考试复习卷-数学 一(含答案)
2020年高一新生开学考试复习卷-数学一一、选择题1.下列说法正确的有（）①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.一根铁丝正好围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a﹣b,则长方形的周长为( )A.6aB.10a+3bC.10a+2bD.10a+6b4.下列实数中，是无理数的是（）A. B.﹣0.3 C. D.5.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C D.6.如图所示，一辆汽车，经过两次转弯后，行驶的方向与原来保持平行，如果第一次转过的角度为α，第二次转过的角度为β，则β等于（）A.αB.90°﹣αC.180°﹣αD.90°+α7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则( )A.40°B.30°C.20°D.10°8.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.40°9.如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线勻速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（）A. B. C. D.10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=4，以C点为圆心， 2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是（）A.点O在⊙C外B.点O在⊙C上C.点O在⊙C内D.不能确定11.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m.设游泳池的长为x m，则可列方程( )A.x(x－10)=375B.x(x+10)=375C.2x(2x－10)=375D.2x(2x+10)=37512.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3＋5，33=7＋9＋11，43=13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）A.9B.12C.11D.10二、填空题13.如果实数x、y满足方程组，那么x2– y2= ．14.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
湖南省湘南中学2019_2020学年高一数学入学考试试题
湖南省湘南中学2019-2020学年高一数学入学考试试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）aa可以是（中的元素，但不是集合1.若中的元素，则）是集合D.B.A. 3.14 C.，则等于（已知 2.）D. A. C. B.函数的值域是（）3.D.A. C.B.设函数4.在区间上都是增函数，则下列说法中：②是增函数；①是增函数；.④是增函数是增函数；③）所有正确说法的个数是（D. 4B. 2C. 3A. 1）下列函数在上是增函数的是（5.C.A. D.B.6.），则已知集合中（，至多有一个元素仅有一个元素 B. A.D. 可能有两个元素C. 至少有一个元素7.下列六个关系式中正确的个数是（））（3（1）（2 ） 6）5（）（（4 ）D. 4A. 1B. 2C. 3）的子集，且，，则与的关系是（8.设，，为非空集合A. D.B.C.- 1 -能表示集合到9.，那么下面的四个图形中，设集合）集合的函数关系的有（D. ② C. ②③ A. ①②③④ B. ①②③10.）成立的已知（，则使得C. A. B.D.分）5小题，共20.0二、填空题（本大题共________. 的最大值为若则11.有最小值，已知函数，135°的两面墙（如图），另两边植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为12.mm的函数解析式为关于的总长为30，则苗圃面积，设垂直于底边的腰长为__________.，则已知13.__________.xxAx，则={________|≤1或．>3}， 14.已知，15.已知集合．，且，则实数____- 2 -三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）分）用列举法表示集合.（616.，求实数的值．， 17.8（，若分）设集合，求：（8，分）设，18.）；（1）（2．.的定义域，并用区间表示（8分）求函数19.- 3 -（10分）如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者20.9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家多远？（4）11：00到12：00他骑了多少千米？（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？- 4 -答案和解析D B D A B B C B CC 5.8.6.1. 10.2.3.7.4. 9.13.11.1 )(12.)(14.15.【答案】1解：由. 16.【答案】可得满足方程的解有，故方程的解集为．，所以．因为17.【答案】解:因为，或．所以无解，此时．时，方程当时，此时，当，得．．所以，即有则或．综上，得解：由题意可知．18.【答案】）因为，（1所以;）又因为，（2所以．所以．19.【答案】解：要使函数解析式有意义，且. 需满足解得或}. 所以函数的定义域是 {(用区间表示为)[].20.【答案】解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时.(3)第一次休息时，离家17千米.(4)11:00至12:00他骑了13千米.(5)9:00～10:00的平均速度10千米/时；10:00～10:30的平均速度是14千米/时. - 5 -- 6 -。
湖南高一上学期入学摸底考试数学试题
湘南高一入学摸底考试数学试卷时间：120分钟 分值：100分一、选择题(每小题3分，共30分)每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的， 请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分.1．计算(﹣3)+(﹣9)的结果是( )A ．12-B ． 6-C ．6+D ．12 2．.函数1-=x y 中，自变量x 的取值范围是( )A ． 1>xB ．1≥xC ．1<xD ．1≤x 3． 下列各式计算不正确．．．的是( ) A ．(3)3--= B2= C ．()3339x x = D ．2121=- 4．中国的领水面积约为370000km 2，将数370000用科学记数法表示为( ) A ．37×104 B ． 3.7×104 C ． 0.37×106 D ． 3.7×105 5．点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为( )A ． (3,5)--B ． (5,3)C ．(3,5)-D ． (3,5) 6．下列事件中，必然事件是( ) A ． 掷一枚硬币，正面朝上B ． 任意三条线段可以组成一个三角形C ． 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D ． 抛出的篮球会下落7．设21,x x 是一元二次方程0322=--x x 的两根，则21x x +=( )A ．2B ． 2-C ．3-D ． 38． 如图1，已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( )A ． 24πcmB ． 26πcmC ． 29πcmD ． 212πcm图1120︒BOA6cm9. 一元二次方程2350x x --=中的一次项系数和常数项分别是( ) A 、1，-5 B 、1，5 C 、-3，-5 D 、-3，5 10．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(本题满分24分，共8小题，每小题3分)11．2015的相反数是___________． 12．因式分解：=-42m _________ 13．方程063=-x 解是_________14．如图3，在四边形ABCD 中，已知AB CD =，再添加一个条件___________(写出一个即可)，则四边形ABCD 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线)15．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是__________ 16．抛物线5)1(32+--=x y 的顶点坐标为__________．17．不透明的袋中装有2个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其它区别，搅匀后小红从中随机摸出一球，则摸出红球的概率是__________．18、下列方程：①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x ， 其中，没有实数根的方程是 。
2019-2020年高一上学期开学数学试卷含解析
2019-2020年高一上学期开学数学试卷含解析一、选择题：1．下列各式中，表达错误的是（）A．∅⊆{x|x＜4}B． C．∅∈{∅，{0}，{1}} D．2．已知集合A={x∈Z|x2﹣3x﹣18＜0}，B={x|2﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．{3，4，5}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣5，﹣4，﹣3}3．已知U=R，A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜a}，且B⊆∁R A，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞2 D．a≥24．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）A．{1，2，3}B．{1，3，5}C．{1，4，5}D．{2，3，4}5．如图中阴影部分所表示的集合是（）A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁U B）D．B∪[∁U（A∩C）]6．设U为全集，集合M、N⊊U，若M∪N=N，则（）A．∁U M⊇（∁U N）B．M⊆（∁U N）C．（∁U M）⊆（∁U N）D．M⊇（∁U N）7．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．188．设M和P是两个非空集合，定义M与P的差集为M﹣P={x|x∈M，且x∉P}，则M﹣（M ﹣P）=（）A．P B．M∩P C．M∪P D．M9．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，3）B．[0，3）C．[0，2）∪（2，3）D．[0，2）∪（2，3]10．下列各组函数表示同一函数的是（）A．与y=x+3 B．与y=x﹣1C．y=x0（x≠0）与y=1（x≠0）D．y=x+1，x∈Z与y=x﹣1，x∈Z11．已知函数f（x）=，则不等式（x+1）f（x）＞2的解集是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）二、填空题：12．设全集U={a2﹣2，2，1}，A={a，1}，则∁U A=．13．设集合M={x|x＞1，x∈R}，N={y|y=2x2，x∈R}，P={（x，y）|y=x﹣1，x∈R，y∈R}，则（∁R M）∩N=，M∩P=．14．已知集合A={y|y＞a2+1或y＜a}，B={y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知全集U=R，A={x∈R|x2﹣3x+b=0}，B={x∈R|（x﹣2）（x2+3x﹣4=0）}．（1）若b=4时，存在集合M使得A是M的真子集，M是B的真子集，求出所有这样的集合M；（2）集合A，B是否能满足（∁U B）∩A=∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．17．已知f（x）=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2在区间[0，1]内有一最大值﹣5，求a的值．2016-2017学年山东省烟台二中高一（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．下列各式中，表达错误的是（）A．∅⊆{x|x＜4}B． C．∅∈{∅，{0}，{1}} D．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】直接利用元素与集合的关系，集合与集合的包含关系判断选项即可．【解答】解：∅⊆{x|x＜4}，满足集合的包含关系，正确；∅∈{∅，{0}，{1}}满足元素与集合的关系，正确；{x|x＜4}，满足元素与集合的关系，{2}∈{x|x＜4}，不满足集合与集合的包含关系，错误．故选：D．2．已知集合A={x∈Z|x2﹣3x﹣18＜0}，B={x|2﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．{3，4，5}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣5，﹣4，﹣3}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，集合B，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x∈Z|x2﹣3x﹣18＜0}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={x|2﹣x ＞0}={x|x＜2}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0，1}．故选：B．3．已知U=R，A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜a}，且B⊆∁R A，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞2 D．a≥2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由U=R，A={x|﹣1≤x≤2}，可得∁R A={x|x＜﹣1，或x＞2}．再根据B={x|x＜a}，且B⊆∁R A，即可得出．【解答】解：∵U=R，A={x|﹣1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜﹣1，或x＞2}．又B={x|x＜a}，且B⊆∁R A，∴a≤﹣1．故选：B．4．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（）A．{1，2，3}B．{1，3，5}C．{1，4，5}D．{2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．【解答】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，∴集合M，N对应的韦恩图为所以N={1，3，5}故选B5．如图中阴影部分所表示的集合是（）A．B∩[∁U（A∪C）]B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪B）∩（∁U B）D．B∪[∁U（A∩C）]【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中且不在A、C内部分所得，即B与[C U（A∪C）]的交集组成的集合，即：B∩[C U（A∪C）]．故选A．6．设U为全集，集合M、N⊊U，若M∪N=N，则（）A．∁U M⊇（∁U N）B．M⊆（∁U N）C．（∁U M）⊆（∁U N）D．M⊇（∁U N）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合交并补的运算，结合文恩图即可【解答】解：∵M∪N=N，∴M⊆N，又∵U为全集，∴∁U M⊇∁U N．故答案选：A7．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0 B．6 C．12 D．18【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D8．设M和P是两个非空集合，定义M与P的差集为M﹣P={x|x∈M，且x∉P}，则M﹣（M ﹣P）=（）A．P B．M∩P C．M∪P D．M【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由条件中差集的定义便可表示M﹣（M﹣P）={x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，然后用venn图表示集合M，P，由图形即可得出答案．【解答】解：根据差集的定义，M﹣（M﹣P）={x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，用venn图表示集合M，P的关系如下图：阴影部分表示M﹣P；∴M﹣（M﹣P）=M∩P．故选：B．9．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，3）B．[0，3）C．[0，2）∪（2，3）D．[0，2）∪（2，3]【考点】函数的定义域及其求法；二次函数的性质．【分析】利用函数的定义域为R，推出分母不为0，求解即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为R，可得mx2+2mx+3≠0，m=0显然成立，m≠0时，判别式△=4m2﹣12m＜0解得0＜m＜3，综上：m∈[0，3）．故选：B．10．下列各组函数表示同一函数的是（）A．与y=x+3 B．与y=x﹣1C．y=x0（x≠0）与y=1（x≠0）D．y=x+1，x∈Z与y=x﹣1，x∈Z【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据函数的三要素，观察定义域和对应法则是否相同，相同者就是同一个函数．【解答】解：对于选项A，定义域为{x|x≠3}，y=x+3的定义域为R，故定义域不同，故不是同一个函数；对于选项B，函数的定义域均为R，但是对应法则不同，故不是同一个函数；对于选项C，函数的定义域相同，对应法也相同，故是同一个函数；对于选项D，函数的定义域均为R，但是对应法则不同，故不是同一个函数；故选：C11．已知函数f（x）=，则不等式（x+1）f（x）＞2的解集是（）A．（﹣3，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，求出f（x）的值，从而解关于x的不等式，取并集即可．【解答】解：x≥0时，f（x）=1，故x+1＞2，解得：x＞1，x＜0时，f（x）=﹣1，故﹣（x+1）＞2，解得：x＜﹣3，故选：C．二、填空题：12．设全集U={a2﹣2，2，1}，A={a，1}，则∁U A={2} ．【考点】补集及其运算．【分析】利用全集，求出a，然后求解补集即可．【解答】解：全集U={a2﹣2，2，1}，A={a，1}，可得a2﹣2=a，解得a=﹣1，a=2（舍去），全集U={﹣1，2，1}，A={﹣1，1}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．13．设集合M={x|x＞1，x∈R}，N={y|y=2x2，x∈R}，P={（x，y）|y=x﹣1，x∈R，y∈R}，则（∁R M）∩N={x|0≤x≤1} ，M∩P=∅．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：N={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，则∁R M={x|x≤1}，则（∁R M）∩N={x|0≤x≤1}，M∩P=∅，故答案为：{x|0≤x≤1}，∅14．已知集合A={y|y＞a2+1或y＜a}，B={y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是a或a＞2．【考点】交集及其运算．【分析】通过解不等式化简集合A，B；先算A∩B=∅，再取其补集即可求出a的范围．【解答】解：集合A={y|y＞a2+1或y＜a}，B={y|2≤y≤4}，若A∩B=∅，，可得a或，则A∩B≠∅，则实数a的取值范围是：a或a＞2．故答案为：a或a＞2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）由A与B求出A∪B，由A求出A的补集，求出（∁R A）∩B即可；（Ⅱ）根据C为B的子集，分C为空集与不为空集两种情况，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜7}，∁R A={x|x≤2或x≥7}，则（∁R A）∩B={x|7≤x＜10}；（Ⅱ）∵B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}，且C⊆B，∴当C=∅时，则有5﹣a≥a，即a≤2.5时，满足题意；当C≠∅时，5﹣a＜a，即a＞2.5，则有，解得：2.5＜a≤3，综上，a的范围为a≤3．16．已知全集U=R，A={x∈R|x2﹣3x+b=0}，B={x∈R|（x﹣2）（x2+3x﹣4=0）}．（1）若b=4时，存在集合M使得A是M的真子集，M是B的真子集，求出所有这样的集合M；（2）集合A，B是否能满足（∁U B）∩A=∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．【考点】交、并、补集的混合运算；子集与真子集．【分析】（1）由条件易知M应该是Q的一个非空子集，用列举法可得这样的M个数．（2）由（C U Q）∩P=∅可得P⊆Q，当P=∅时求出b的范围．当P≠∅时，由Q={﹣4，1，2}，分﹣4∈P、1∈P、2∈P，分别求出b的范围，再把b的范围取并集，即得所求．【解答】解：（1）由条件易知b=4时，P=∅，且Q={﹣4，1，2}，由已知P⊊M⊆Q可得，M 应该是一个非空集合，且是Q的一个子集，用列举法可得这样的M共有如下7个：{﹣4}、{1}、{2}、{﹣4，1}、{﹣4，2}、{1，2}、{﹣4，1，2}．（2）由（C U Q）∩P=∅可得P⊆Q，当P=∅时，P是Q的一个子集，此时△=9﹣4b＜0，∴b＞．当P≠∅时，∵Q={﹣4，1，2}，若﹣4∈P，解得b=﹣28，此时，P={﹣4，7}，不满足P⊆Q．若1∈P，解得b=2，此时，P={1，2}，满足P⊆Q．若2∈P，解得b=2，此时，P={1，2}，满足P⊆Q．综上可得，当P=∅或P={1，2}时，满足P⊆Q，（C U Q）∩P=∅．故实数b的取值范围为{b|b＞，或b=2 }．17．已知f（x）=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2在区间[0，1]内有一最大值﹣5，求a的值．【考点】二次函数的性质．【分析】先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用二次函数的图象与性质来解答本题．【解答】解：∵f（x）=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2=﹣4（x﹣）2﹣4a，对称轴为x=，当a＜0时，＜0，∴f（x）在区间[0，1]上是减函数，它的最大值为f（0）=﹣a2﹣4a=﹣5，∴a=﹣5，或a=1（不合题意，舍去），∴a=﹣5；当a=0时，f（x）=﹣4x2，不合题意，舍去；当0＜a＜2时，0＜＜1，f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（）=﹣4a=﹣5，∴a=；当a≥2时，≥1，f（x）在区间[0，1]上是增函数，它的最大值为f（1）=﹣4+4a﹣4a﹣a2=﹣5，∴a=±1，（不合题意，舍去）；综上，a的值是或﹣5．2016年10月29日。
2019-2020学年湖南省长沙一中高一(上)第一次段考数学试卷
（x≠0），
2
∴f（1﹣2x） =
1 ― 2
，
2
1
1
令 1﹣2x = ，得 x = ，
2
4
1 2
15
1―( )
1
4
16
= 1 = 15．
∴f（ ） =
1
2
( )2
4
16
故选：C．
12．【分析】由已知可得 f（x） +
2
1
= a 恒成立，且 f（a） = ，求出 a＝1 后，将 x＝log23
17，
则 f（7）＝a•73+7b+7＝﹣（﹣a•73﹣7b+7）+14＝17+14＝31．
故选：A．
9．【分析】对任意 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研
究函数的奇偶性，故对所给的 x1，x2∈R 有 f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1 进行赋值研究
A．{2}
B．{2，﹣2}
C．{2，0}
D．{2，﹣2，0}
5．（3 分）函数 f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．
（2，1）
D．（2，2）
6．（3 分）已知函数 f（x）＝x2﹣2x+3 在区间[0，t]上的最大值为 3，最小值为 2，则实数 t
或者直接使用子集的公式，
因为集合元素个数有 2 个，所以子集的个数为 22＝4 个．
故选：D．
2．【分析】求函数的定义域化简集合 P，求函数的值域化简集合 Q，再根据补集与交集的定
湖南省长沙市湘一芙蓉中学2018-2019学年初三第一学期入学考试数学试卷(无答案)
湖南省长沙市湘一芙蓉中学2018-2019学年初三第一学期入学考试数学试卷（无答案）湘一芙蓉中学2018 -2019学年上学期入学考试初三数学试卷时量：110 分钟总分：120 分命题人：刘舒娜审核人：文莺洁一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
请在答题卡中填涂符合题意的选项，本题共12 个小题，每小题3 分，共36 分）1.若 O 的半径为5cm，点A 到圆心O 的距离为4cm，则点A 与 O 的位置关系是（）A. 点A 在圆上B. 点A 在圆内C. 点A 在圆外D. 不能确定2.在下图中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. a2 +a2 = 2a4B.(2a)2 =4aC. 3 ⨯= 3D. ÷3= 24.小伟5 次引体向上的测试成绩（单位：个）分别为16、18、20、18、18，对此成绩描述错误的是（）A. 平均数为18B. 众数为18C. 方差为0D. 极差为45.把多项式x3 - 2x2 +x 分解因式结果正确的是（）A.x(x2 -2x)B. x2 (x - 2)C. x (x+1)(x -1)D.x(x-1)26.下列命题是真命题的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B. 平分弦的直径垂直于弦C. 长度相等的两条弧是等弧D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴x2 - 1的值为0，则x 的值为（）7.若分式x -1A. -1B. 1C. 0D. ±18.如右图，在 O 中，已知∠OAB = 22.5︒，则∠C 的度数为（）A. 135︒B. 122.5︒C. 115.5︒D. 112.5︒9.二次函数y=2x2 的图象可由y=2(x-1)2 +2的图象（）A.向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到B.向左平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到C.向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到D.向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到10.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A. x (x-1)=10B. 1 x (x-1)=102 C. x (x+1)=10 D. 1 x (x+1)=10211.连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、结十字图标）中“直径”最小的是（）A. B. C. D.12.如右图，边长为1 的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB'C'D'，图中阴影部分的面积为（）A.1 2B.3 3C. 1 -33D. 1 -34二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 3 分，共18 分）13.等边三角形至少要旋转度，才能与自身重合。
【开学考试】湖南2020年高一新生开学考试复习卷-数学 二(含答案)
2020年高一新生开学考试复习卷-数学二一、选择题1.计算(-3)×(-6)的结果等于（）A.3B.-3C.-9D.182.下列图案中，可以看做是中心对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.若A和B都是3次多项式,则A+B一定是( )A.6次多项式B.3次多项式C.次数不高于3次的多项式D.次数不低于3次的多项式4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间5.如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）6.如图所示，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，则∠BCD等于（）A.∠D+∠BB.∠B﹣∠DC.180°+∠D﹣∠BD.180°+∠B﹣∠D7.如图所示，△ABC中BC边上的高是（）A.BDB.AEC.BED.CF8.如下图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE9.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )10.如图,圆锥底面半径为rcm,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A.3B.6C.3πD.6π11.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（）A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm12.观察下列各数：1，1，57，715，931，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为( )A.15255B.13127C.11127D.1163二、填空题13.如果二元一次方程组的解是二元一次方程2x﹣3y+12=0的一个解，则a的值是．14.若一件衣服按原价的8折出售时，售价是40 元，则原价为___________元.15.点P（2，3）到x轴的距离是；点Q（5，-12）到原点的距离是 .点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则点C的坐标是 .16.分解因式：a3﹣25a= ．17.不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是61，则口袋里有蓝球 个. 18.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0；④2322=+c b .其中正确的有 ．三、解答题19.计算：20.解方程：3x(x －1)=2x －2.(因式分解法)21.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD.（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数.23.如图,已知P是平行四边形ABCD外一点,对角线AC,BC交于点O,且∠APC=∠BPD=900.求证：四边形ABCD是矩形.24.如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．2015年12月16日，南京大报恩寺遗址公园正式对外开放．某校数学兴趣小组想测量大报恩塔的高度．如图，成员小明利用测角仪在B处测得塔顶的仰角α=63.5°，然后沿着正对该塔的方向前进了13.1m到达E 处，再次测得塔顶的仰角β=71.6°．测角仪BD的高度为1.4m，那么该塔AC的高度是多少？（参考数据：sin63.5°≈0.90，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.30，tan71.6°≈3.00）26.如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）抛物线的解析式为______；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.C2.B3.C.4.B.5.B.6.C7.B8.D9.D10.A11.D12.答案为：B.试题解析：1，1，57，715，931，…整理为11，33，57，715，931，…可发现这列数的分子为奇数排列用2n-1表示，而分母恰是2n-1，当n=7时，2n-1=13，2n-1=127，所以这列数的第7个数为：13 127，故选B.13.答案为：﹣14.答案为：5015.答案为：3，13，（-3，-1）；16.答案为：a（a+5）（a﹣5）．17.答案为：9；18.答案为：②③④；19.原式=1﹣2+3﹣5﹣2=﹣620.解：方程变形得：3x(x－1)=2(x－1)，移项，因式分解得(3x－2)(x－1)=0解得x1=，x2=1 21.解：列表得：∴P（和为3）=．22.（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°.23.略24.（1）证明：如图1，连接OC，∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）得PA，PC都为圆的切线，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD•DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD为△的中位线，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S阴=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵点E是的中点，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB•cos45°=5，∴EM==4，则CE=CM+EM=7．25.解：延长DF交AC于点G，设AG=xm．由题意知：DF=13.1 m，DB=FE=GC=1.4 m．在Rt△ADG中，tan∠ADG=，∴DG==≈，在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==≈，∵DF=DG﹣FG，∴﹣=13.1，解得x=78.6，∴AG=78.6 m，∵AC=AG+GC，∴AC=78.6+1.4=80（m）．答：该塔AC的高度约80m．26.解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，∴OA=2，∴A（0，2）；过点B作BF⊥x轴，垂足为F，∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，在△AOC与△CFB中，∵，∴△AOC≌△CFB，∴CF=OA=2，BF=OC=1，∴OF=3，∴B的坐标为（﹣3，1），故答案为：（0，2），（﹣3，1）；（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：1=9a﹣3a﹣2，解得a=0.5，∴抛物线解析式为：y=0.5x2+0.5x﹣2．故答案为：y=0.5x2+0.5x﹣2；（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣0.5，﹣17、8），设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：，解得．∴BD的关系式为y=﹣1.25x﹣2.75．设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣2.2，0），CE=1.2．∴S△DBC=××（1+）=；（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，∴△MP1C≌△FBC．∴CM=CF=2，P1M=BF=1，∴P1（1，﹣1）；②若以点A为直角顶点；i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（2，1），ii）若以点P为直角顶点．过P3作P3G⊥y轴于G，同理，△AGP3≌△CAO，∴GP3=OA=2，AG=OC=1，∴P3为（﹣2，3）．经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=0.5x2+0.5x﹣2上，点P3（﹣2，3）不在抛物线上．故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．2016年9月28日。
2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一上学期第二次阶段性检测数学试题一、单选题1．若集合{}2,0,2M =-，{}2|20N x x x =+=，则M N =I （ ）A ．{}2-B ．{}0C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】C【解析】求出集合N ，进而可求出M N ⋂. 【详解】因为{}{}2|200,2N x x x +==-=，所以{}2,0M N =-I ， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2．经过点()0,1，斜率为1的直线的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．10x y -+= C ．10x y ++= D ．10x y --=【答案】B【解析】利用斜截式写出直线方程即可. 【详解】解：由直线的斜截式得1y x =+，即10x y -+=， 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜截式方程，是基础题.3．函数()27xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【解析】由函数可得f （2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间． 【详解】∵函数f （x ）＝2x +x ﹣7，∴f （2）＝﹣1＜0，f （3）＝4＞0，f （2）•f （3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间是 （2，3）， 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．4．已知函数()()3,f x ax bx a b R =+∈，()2log 310f =，则12log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．-10C ．110D ．110-【答案】B【解析】首先判断()f x 的奇偶性，利用奇偶性求解即可. 【详解】解：由已知得()()()()()()33f x a x b x f x ax bx f x -=-+-==-+=-，故函数()f x 为奇函数， 又21222log 3log 3log 3log 30+=-=，()122log 3log 310f f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查奇偶性的判断及应用，是基础题.5．已知函数()()1223,3log 1,3x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩，且()2f a =-，则()7f a -=（ ）A ．72B ．52C ．34-D ．14-【答案】A【解析】先通过分类讨论()2f a =-求出a ，再代入()7f a -可得结果. 【详解】解：当3a ≤时，()1322a f a ++=-＝，此时a 无解；当3a >时，()()2g 2lo 1f a a --==-，得5a =，()()21723272f a f -+∴-+===-，故选：A. 【点睛】本题考查分段函数求值问题，注意自变量的范围，是基础题. 6．函数()lg 10xf x x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的性质以及特殊点排除. 【详解】由已知得函数定义域为{}|0x x >，故函数()f x 的图像在y 轴的右边，故排除AB ； 又当0x >时，()lg 210xf x x x x x =⋅=⋅=，选项D 符合，故选：D. 【点睛】本题考查函数图像的识别，其中关键是利用函数性质以及特殊点排除，是基础题. 7．已知圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的表面积为（ ） A ．21π B ．24πC ．33πD ．39π【答案】B【解析】首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】3=，则底面周长是6π， 则圆锥的侧面积是：165152ππ⨯⨯=，底面积为9π， 则表面积为15924πππ+=. 故选：B. 【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长. 8．已知函数()ln f x x =，若()2a f =，()0.32b f =，()2log 5c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】先利用指数函数，对数函数的单调性比较0.322,2,log 5的大小关系，再利用()ln f x x =的单调性比较大小.【详解】解：0.31222<=，22log 5log 42>=， 可得0.3222log 5<<，()ln f x x =Q 在()0,∞+上单调递增， ()()()0.3222log 5f f f ∴<<，故选：B. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数单调性的应用，是基础题.9．已知直线l 经过两直线320x y -+=和25180x y +-=的交点，且垂直于4350x y --=，则直线l 的方程为（ ）A ．34200x y +-=B ．34200x y ++=C ．3440x y --=D ．43100x y --=【答案】A【解析】联立两直线方程求得交点，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案.【详解】 解：联立32025180x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，∴直线320x y -+=和25180x y +-=的交点为()4,2， 又直线l 和直线4350x y --=垂直， ∴直线l 的斜率为34-， 则直线l 的方程为32(4)4y x -=--，化为一般方程为34200x y +-=. 故选：A. 【点睛】本题考查直线的一般方程与直线垂直的关系，是基础的计算题.10．已知a ，b 为不同的直线，α，β为不重合的平面，则下列说法中正确的个数是（ ）①若//a b ，b α⊂，则//a α. ②若a b ⊥r r，则a ，b 相交. ③若//a α，//b α，则//a b .④若a α⊥，b β⊥，//αβ，则//a b . A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】①根据线面平行的判定来判断；②利用空间线线关系来判断； ③利用空间线线关系来判断；④利用线面垂直的性质来判断. 【详解】①根据线面平行的判定，没有强调a α⊄，故错误； ②若a b ⊥r r，则a ，b 可能相交，也可能异面；故错误；③若//a α，//b α，则a 与b 可能平行，可能相交，可能异面，故错误； ④若a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，则//a b ，故正确. 故选：B. 【点睛】本题考查空间线线，线面的关系的判断，是基础题.11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，6AB =，8BC =，10AC =.若三棱锥P ABC -的体积为16，则球O 的表面积为（ ）A ．3043π B ．3113π C ．108π D ．104π【答案】D【解析】由已知可得三棱锥P ABC -的外接球即为如图所示的长方体的外接球，求出2PA =，进而可求出外接球半径，为长方体体对角线的一半，再利用球的表面积公式计算即可. 【详解】因为6AB =，8BC =，10AC =，则ABC ∠为直角，又PA ⊥平面ABC ， 则三棱锥P ABC -的外接球即为如图所示的长方体的外接球，三棱锥P ABC -的体积11681632V PA =⨯⨯⨯⨯=，得2PA =， 球O 的半径22226826R ++==球O 的表面积24426104S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，关键是构造长方体进行计算，是基础题.12．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()(),*,C B C A C B A B C A C A C B ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若{}1,2,3A =，()(){}22|220B x x ax x ax =+++=，且*3A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2222,⎡-∞-+∞⎣U B ．((),2222,-∞-+∞UC ．22,22-⎡⎣D ．(22,22-【答案】B【解析】要使*3A B =，则()3C B …，分类讨论利用判别式来确定集合B 中方程根的情况，进而可得实数a 的取值范围. 【详解】解：要使*3A B =，则()3C B …， 所以2242004120a a ⎧-⨯⨯>⎨-⨯⨯=⎩或2242004120a a ⎧-⨯⨯=⎨-⨯⨯>⎩或2242004120a a ⎧-⨯⨯>⎨-⨯⨯>⎩，解得a -„或a …又当a =±时，()2C B =，不合题意，综上，实数a 的取值范围是((),-∞-+∞U ， 故选：B. 【点睛】本题考查集合新定义，考查学生理解能力和计算能力，是中档题.二、填空题 13．110231811lg 25lg 242732-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2【解析】利用指数，对数的运算性质计算即可. 【详解】解：()11023181113lg 25lg 21lg 5lg 224273222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--=++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2. 【点睛】本题考查指数对数的运算，是基础题.14．一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______. 【答案】1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】首先，根据光线从点()1,1A -射向x 轴，得到()1,1A -关于x 轴的对称点，然后根据反射后过点()2,5B ，列点斜式，可求得反射光线的方程，进而可得点P 的坐标. 【详解】 解：根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1--而反射光线直线又过()2,5B ∴其直线为：()512521y x +=-++ 即：21y x =+，当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线关于点，直线对称方程问题，通过光线射向x 轴并反射，以及反射后经过一个点，通过点斜式求得反射光线所在直线方程，属于基础题.15．若不等式210x x a +-+>在区间()2,2-上恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】分离参数得21a x x >---，求出右侧分段函数在()2,2-上的最大值即可得出a 的范围. 【详解】解：由210x x a +-+>恒成立得21a x x >---恒成立，令()2221,1211,21x x x f x x x x x x ⎧--+<<=---=⎨-+--<≤⎩，()f x ∴在12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，2131241122f ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+-=-⎭-，3()4f x ∴≤-，∴a 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的单调性与最值的计算，属于中档题.16．若()e e 2x x f x --=，()2x xe e g x -+=，给出如下结论：①()f x 为奇函数且在R 上单调递增；②对任意实数x ，都有()()()222g x g x f x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ③存在实数0x ，使()()22000g x f x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ④对任意实数x ，都有()()()22f x f x g x =. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④【解析】①计算()f x -以及通过2xe y =，2x e y -=的单调性，可判断；②代入条件计算22[()][()]g x f x +即可判断； ③代入条件计算()()2200g x f x -⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即可判断； ④代入条件计算()()2f x g x 即可判断. 【详解】解：对于①：()f x 的定义域为R ，且()()2x xe ef x f x ---==-，所以()f x 为奇函数，因为2xe y =在R 上单调递增，2x e y -=在R 上单调递减，所以()f x 在R 上单调递增；对于②：222222[()][()](2)222x x x x x x e e e g x f x g x e e e ---⎛⎫⎛⎫+-++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 对于③：2222222222[()][()]12244x x x x x x x x e e e e e e e e g x f x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 对于④：222()()2(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⋅⋅==，故正确的有①②④， 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，以及函数关系式的计算，考查了计算能力，是中档题.三、解答题17．已知对数函数()f x 过点()8,3.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的定义域； （2）若()()11f x f x ->+，求x 的取值范围.【答案】（1）2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）(1,0)- 【解析】（1）设()log a f x x =，代入点()8,3计算即可； （2）利用对数函数的单调性及定义域列不等式组求解即可. 【详解】解：（1）设()log a f x x =，log 83,2a a =∴=Q ，所以2()log f x x =，定义域为(0,)+∞；（2）由已知得1010,1011x x x x x ->⎧⎪+>⇒-<<⎨⎪->+⎩，所以x 的取值范围是(1,0)-. 【点睛】本题考查待定系数法求对数函数的解析式，考查对数函数单调性的应用，是基础题. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC ⊥且1AA AC =，点E ，F 分别为11B C 和BC 的中点，1B A 与1A B 相交于点G .（1）证明：平面//EFG 平面11A ACC ；（2）求异面直线GE 和AC 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45︒【解析】（1）连接11,A C AC ，通过证明//FG 平面11A ACC 与//EG 平面11A ACC ，可得平面//EFG 平面11A ACC ；（2）找到1C AC ∠为异面直线GE 和AC 所成角，求1C AC ∠即可.【详解】证明：（1）由题意可得，点,F G 分别是BC 和1BA 的中点，连接11,A C AC ，1//FG A C ∴，又FG ⊄平面111,A ACC A C ⊂平面11A ACC ，//FG ∴平面11A ACC ，同理：1//EF C C ，则 //EF 平面11A ACC ，又,FG EF F FG =⊂I 平面,EFG EF ⊂平面EFG ，∴平面//EFG 平面11A ACC ；（2）Q 点,G E 分别是1B A 和11B C 的中点，1//GE AC ∴，1C AC ∴∠为异面直线GE 和AC 所成角，由题意知，四边形11ACC A 为正方形，所以145C AC ︒∠=，即GE 和AC 所成角为45︒.【点睛】本题考查通过线面平行证明面面平行，考查异面直线所成的角，是基础题. 19．已知直线l ：()()311530m x m y m +++--=.（1）求证：无论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，点M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）(1,2)M ；（2）240x y +-=【解析】（1）将l 的方程整理为关于m 的一次方程(35)30m x y x y +-++-=，令系数为0，列方程求解即可；（2）设(,0),(0,)A a B b ，则012022a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解出,a b ，即可得直线l 的方程. 【详解】解：（1）:(31)(1)530(35)30l m x m y m m x y x y +++--=⇒+-++-=， 则3501302x y x x y y ⎧+-==⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩， 则(1,2)M ；（2）设(,0),(0,)A a B b ，因为点(1,2)M 为线段AB 的中点， 所以01220422a ab b +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩， 所以直线l 的方程为124x y +=，即240x y +-=. 【点睛】本题考查直线恒过定点的问题，考查直线方程的求解，是基础题.20．如图所示，在四棱锥A BCDE -中，//CD BE ，BE ⊥平面ABC ，1AB BC ==，2BE =，2AC =.（1）求证：AB DE ⊥；（2）当三棱锥D ACE -的体积等于16时，求二面角A DE B --的平面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】（1）通过证明AB BC ⊥以及BE AB ⊥，可得AB ⊥平面BCDE ，进而可得AB DE ⊥；（2）先利用等体积法16D ACE A DCE V V --==求得CD ，连接BD ，证明ADB ∠是二面角A DE B --的平面角，在Rt ADB V 中计算tan ADB ∠即可.【详解】解：（1）在ABC V 中，1,2AB BC AC ===222,AB BC AC AB BC ∴+=∴⊥，BE ⊥Q 平面,ABC AB Ì平面ABC ，BE AB ∴⊥，又BC BE B =I ，AB ∴⊥平面BCDE ，又DE ⊂Q 平面BCDE ，AB DE ∴⊥；（2）由（1）AB ⊥平面BCDE ，1111133266D ACE A DCE DCE V V S AB CD BC AB CD --∆⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭， 1CD ∴=，连接BD ，2222,2,,BD DE BE BD DE BE BD DE ===∴+=∴⊥Q ，又,AB DE AB BD B ∴⊥=I ，DE ∴⊥平面ABD ，DE DA ∴⊥又DE BD ⊥Q ，ADB ∴∠是二面角A DE B --的平面角，又AB ⊥平面BCDE ，2,tan 22AB AB BD ADB DB ∴⊥∴∠===， 则二面角A DE B --的平面角的平面角的正切值为22. 【点睛】本题考查线面垂直证明线线垂直，考查面面角的计算，其中作出ADB ∠是二面角A DE B --的平面角是关键，避免了空间向量法的繁琐计算，是中档题.21．某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额x 的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）11()(0),()(0)82f x x xg x x x =≥=≥；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元【解析】（1）设出两类产品的利润与投资额x 的函数关系式，代入已知求解即可； （2）设投资乙产品x 万元，则投资甲产品()100x -万元，根据（1）可得获得的利润为(100)()y f x g x =-+，利用换元法转化为二次函数求其最值.【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额x 的函数关系分别为：1()(0),()0)f x k x x g x k x =≥=≥， 结合已知得1211(1),(1)82f k g k ====，所以1()(0),()0)8f x x x g x x =≥=≥； （2）设投资乙产品x 万元，则投资甲产品()100x -万元，依题意，获得的利润为1(100)()(100)100)8y f x g x x x =-+=-≤≤，令10)t t =≤≤，则()22111100(2)13828y t t t =-+=--+， 所以当2t =，即4x =时，y 取得最大值，max 13y =，故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元.【点睛】本题考查函数模型的建立与应用，考查计算能力，是基础题.22．设D 是函数()y f x =定义域．．．内的一个子集，若存在0x D ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 是函数()y f x =的一个“不动点”，也称()f x 在区间D 上存在不动点. （1）已知()2f x x bx c =++，若对于任意实数b ，函数()f x 恒有两个不相等的不动点，求实数c 的取值范围；（2）已知()()2log 421x x g x a =+⋅-，若()g x 在区间[]1,2上存在不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),0-∞；（2）31,22⎛⎤-- ⎥⎦⎝ 【解析】（1）将()2f x x bx c =++有两个不相等的不动点，转化为方程2x bx c x++=有两个不相等的实数根，继续转化为对任意,0b ∆>恒成立，转化为最值即可；（2）由已知得()2log 421x x a x +⋅-=在[]1,2上有解，即4212x x x a +⋅-=在[]1,2上有解，令[]2,2,4xt t =∈，转化为二次函数值域问题即可；又4210x x a +⋅->在[]1,2上恒成立，也令[]2,2,4xt t =∈，转化为最值问题即可. 【详解】（1）因为()2f x x bx c =++有两个不相等的不动点， 所以方程2x bx c x ++=有两个不相等的实数根，则()2140b c ∆=-->， 因为对任意()2,140b b c -->恒成立，所以()2min 104b c ⎡⎤-<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以实数c 的取值范围是(),0-∞；（2）由已知得()2log 421x x a x +⋅-=在[]1,2上有解， 4212x x x a ∴+⋅-=在[]1,2上有解，令[]2,2,4xt t =∈， 21t at t ∴+-=在区间[]2,4上有解，11a t t∴=-+在区间[]2,4上有解， 设()11G t t t=-+， ()G t ∴在区间[]2,4上单调递减，故()111,42G t ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 11142a ∴-≤≤-， 又4210x x a +⋅->Q 在[]1,2上恒成立，122x x a ∴>-在[]1,2上恒成立， 即1a t t>-在[]2,4上恒成立， 设()1h t t t=-， ()h t ∴在区间[]2,4上单调递减，故()153, 42h t⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，32a∴>-，综上实数a的取值范围是31,22⎛⎤--⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数的有解及恒成立问题，考查学生转化问题的能力，不等式恒成立，有解问题转化为最值问题，方程有解转化为值域问题，是中档题.。
2019-2020学年湖南省湘南高一入学考试数学试题
2019-2020学年湖南省湘南中学高一入学考试数学试题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若a是集合中的元素，但不是集合中的元素，则a可以是（）A. 3.14B.C.D.2.已知，则等于（）A. B. C. D.3.函数的值域是（）A. B. C. D.4.设函数在区间上都是增函数，则下列说法中：①是增函数；②是增函数；③是增函数；④是增函数.所有正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.下列函数在上是增函数的是（）A. B. C. D.6.已知集合，，则中（）A. 仅有一个元素B. 至多有一个元素C. 至少有一个元素D. 可能有两个元素7.下列六个关系式中正确的个数是（）（1）（2）（3）（4）（5）（6）A. 1B. 2C. 3D. 48.设，，为非空集合的子集，且，，则与的关系是（）A. B. C. D.9.设集合，那么下面的四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ②10.已知，则使得成立的（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知函数，若有最小值，则的最大值为________.12.植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙（如图），另两边的总长为30m，设垂直于底边的腰长为m，则苗圃面积关于的函数解析式为__________.13.已知，则__________.14.已知A={x|x≤1或x>3}，，则________．15.已知集合，，且，则实数____．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.（6分）用列举法表示集合.17.18.19.20.21.22.23.24.（8分）设集合，，若，求实数的值．25.26.27.28.29.30.31.32.（8分）设，，，求：（1）；（2）．33.（8分）求函数的定义域，并用区间表示.34.35.36.37.38.39.（10分）如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：（1）最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息多长时间？（3）第一次休息时，离家多远？（4）11：00到12：00他骑了多少千米？（5）他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？答案和解析1. D2. B3.D4.A5.B6.B7.C8.B9. C10.C11.1 12.()()13.14.15.【答案】116.【答案】解：由.可得满足方程的解有，故方程的解集为．17.【答案】解:因为，所以．因为，所以或．当时，方程无解，此时．当时，此时，则．所以，即有，得．综上，得或．18.【答案】解：由题意可知．（1）因为，所以;（2）又因为，所以．所以．19.【答案】解：要使函数解析式有意义，需满足解得且.所以函数的定义域是{或}.用区间表示为[)(].20.【答案】解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时.(3)第一次休息时，离家17千米.(4)11:00至12:00他骑了13千米.(5)9:00～10:00的平均速度10千米/时；10:00～10:30的平均速度是14千米/时.。
2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题A卷(解析版)
2019-2020学年湖南省五市十校高一上学期第一次联考数学试题A 卷一、单选题1．设集合{}2,3,4A =，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,4,5【答案】B【解析】根据交集定义直接求解可得结果. 【详解】由交集定义可得：{}2,3,4A B =I 故选：B 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．下列四组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ） A ．()2lg f x x =，()2lg g x x =B ．()f x x =，()2x g x x=C ．()f x x =，()g x =D ．()1f x =，()0g x x =【答案】C【解析】分别判断各个选项中函数的定义域和解析式是否全相同，由此可确定结果. 【详解】A 中，()f x 定义域为{}0x x ≠，()g x 定义域为()0,∞+，不是同一函数，A 错误；B 中，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}0x x ≠，不是同一函数，B 错误；C 中，()f x 与()g x 定义域均为R ，且()()g x x f x ===，是同一函数，C 正确；D 中，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}0x x ≠，不是同一函数，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查同一函数的判断，关键是明确若两函数表示同一函数，则函数的定义域和解析式均相同，属于基础题.3．已知函数()() ()14log323xx xf xx⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则()2f f⎡⎤⎣⎦的值为（）A．-1 B．0 C．1 D．9【答案】A【解析】将2x=代入解析式求得()24f=，求解()4f即为所求结果.【详解】()2224f==Q()()1424log41f f f∴===-⎡⎤⎣⎦故选：A【点睛】本题考查根据分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.4．如图所示的正方形O A B C''''的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．16cm C．()482cm+D．()442cm+【答案】B【解析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．【详解】Q直观图正方形O A B C''''的边长为2cm，22O B cm''∴=，原图形为平行四边形OABC，其中2OA cm=，高42OB cm=，6AB CO cm ∴===，∴原图形的周长()22616L cm =⨯+=.故选：B. 【点睛】本题考查斜二测直观图的相关计算，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 5．函数()f x =的定义域为（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．()(]1,22,3⋃D ．()()1,22,3⋃【答案】C【解析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求可构造不等式求得结果. 【详解】由301011x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩得：12x <<或23x <≤ ()f x ∴定义域为()(]1,22,3⋃ 故选：C 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确偶次根式、分式和对数有意义的具体要求.6．函数221()()2x xf x -+=的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)2,+∞【答案】C【解析】将指数-x 2+2x 看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质即可得到结果． 【详解】-x 2+2x=-（x-1）2+1≤1； ∴221122x x-+⎛⎫≥⎪⎝⎭； ∴f （x ）的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查复合函数求值域，考查二次函数和指数函数图像的性质. 7．设30.3a =，3log 12b =，0.23c =，则（ ） A ．b c a >> B ．c b a >> C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 各数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】指数函数0.3xy =为R 上的减函数，则300.30.31a =<=；对数函数3log y x =为()0,+∞上的增函数，则33log 12log 92b =>=； 指数函数3x y =为R 上的增函数，则100.223332<<<，即12c <<. 因此，b c a >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8．已知函数()f x 的一个零点()02,4x ∈，用二分法求精确度为0.01的0x 的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】根据二分法的概念可知，第()n n N *∈次等分区间后，区间长度变为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可得出不等式1112100n -⎛⎫≤⎪⎝⎭，解出满足此不等式的正整数n 的最小值，即为所求. 【详解】设对区间()2,4二等分()n n N*∈次，开始时区间长为2，第1次等分后区间长为1，第2次等分区间后区间长为12，第3次等分区间后区间长为212，L ，第()n n N *∈次等分区间后区间长为112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，依题意可得1112100n -⎛⎫≤⎪⎝⎭，即12100n -≥，所以n 的最小值为8，故最多需要8次.故选：C. 【点睛】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()20f =，且在()0,∞+上单调递减，则不等式()20f x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()4,+∞C ．()(),20,4-∞-⋃D ．()(),04,-∞+∞U【答案】D【解析】由偶函数的性质可得()f x 在(),0-∞上单调递增且()20f -=；分别在20x ->和20x -<两种情况下根据单调性得到自变量的大小关系，由此得到不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为R 上的偶函数且在()0,∞+上单调递减 ()f x ∴在(),0-∞上单调递增又()20f = ()20f ∴-=当20x ->，即2x <时，22x ->，解得：0x < 当20x -<，即2x >时，22x -<-，解得：4x > 综上所述：()20f x -<的解集为()(),04,-∞+∞U 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，奇偶性的作用在于求解对称区间的解析式和函数值；单调性的作用在于将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.10．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成.一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分（看成一个简单的组合体）的体积为（ ）A ．92πB ．1216πC ．3683π D ．2723π 【答案】C【解析】画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可得：几何体是正方体挖去一个圆柱和一个半球，正方体的棱长为12，圆柱的底面半径为4，高为5，半球的半径为4，凿去部分的体积为2314368454233πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查几何体体积的求法，三视图求解几何体的体积．考查计算能力，属于基础题. 11．生活中万事万物都是有关联的，所有直线中有关联直线，所有点中也有相关点，现在定义：平面内如果两点A 、B 都在函数()f x 的图像上，而且满足A 、B 两点关于原点对称，则称点对（A 、B ）是函数()f x 的“相关对称点对”（注明：点对（A 、B ）与（B 、A ）看成同一个“相关对称点对”）.已知函数()()()2060x e x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则这个函数的“相关对称点对”有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】设00x <，将“相关对称点对”个数转化为方程()0200060x x x e x +=<根的个数上，进而将问题转化为()260y x x x =+<与()0xy ex =<图象交点个数问题，利用数形结合的方式可确定交点个数，得到“相关对称点对”个数；通过验证()0,1-关于原点的对称点不在()f x 上，可得到最终结论. 【详解】设00x <，则00x e -<，则其“相关对称点对”为()00,x x e-()0200060x x x e x ∴+=<在平面直角坐标系中画出()260y x x x =+<与()0xy ex =<如下图所示：由图象可知()260y x x x =+<与()0xy ex =<有且仅有一个交点()0200060x x x e x ∴+=<有且仅有一个解 ∴“相关对称点对”有且仅有一个又()01f =-，则()0,1-关于原点的对称点为()0,1不在()f x 上∴()f x 的“相关对称点对”有且仅有一个故选：B 【点睛】本题考查函数中的新定义问题，关键是能够通过新定义的含义将问题转化为方程根的个数的求解问题，即两函数交点个数的求解问题，进而通过数形结合的方式求得结果. 12．定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当13x -≤≤时，()21,1121,13x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩，若方程()f x mx =有9个不同的实根，则正实数m 的取值范围是（ ）A．11, 108⎛⎫⎪⎝⎭B．1,166710⎛⎫-⎪⎝⎭C．1,166710⎛⎫+⎪⎝⎭D．()0,1667-【答案】B【解析】由()()4f x f x+=知函数为以4为周期的周期函数，由此可得到()f x图象，将问题转化为()f x与y mx=有9个不同交点的问题；由数形结合可知，若要满足题意则需()f x mx=在[)7,9上有两个不等实根且()1010f m>，结合二次函数图象可得到不等式组，从而求得结果.【详解】()()4f x f x+=Q()f x∴是以4为周期的周期函数则可得()f x图象如下图所示：∴()f x mx=在[)7,9上有两个不等实根且()1010f m>当[)7,9x∈时，[)81,1x-∈-()()()2881f x f x x∴=-=--+由()f x mx=得：()216630x m x-+--=，令()2()1663g x x m x=-+--()()()2164630167927090mmgg⎧∆=--⨯>⎪-⎪<-<⎪∴⎨-⎪≤⎪<⎪⎩，解得：01667m<<-()()102110f f m==>Q110m∴>综上所述：正实数m的取值范围为1,166710⎛-⎝故选：B【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的分布求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为两函数交点个数的问题，通过数形结合的方式确定不等关系.二、填空题13．函数()12log 2f x x =-的单调减区间为______.【答案】()2,+∞【解析】根据对数真数大于零可求得函数的定义域；分别在2x <和2x >两种情况下，根据复合函数单调性可求得()f x 的单调性，进而得到所求单调减区间. 【详解】由20x ->得：2x ≠ ()f x ∴定义域为()(),22,-∞+∞U当2x <时，()()12log 2f x x =-为增函数；当2x >时，()()12log 2f x x =-为减函数()f x ∴的单调递减区间为()2,+∞故答案为：()2,+∞ 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解问题，涉及到分类讨论思想的应用；关键是能够明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.14．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之4尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长3丈5尺，圆周为4尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：1丈等于10尺） 【答案】37【解析】根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长． 【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：一条直角边（即圆木的高）长310535⨯+=尺，另一条直角边长3412⨯=尺， 22351237+=尺. 故答案为：37. 【点睛】本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.15．定义区间(),a b ，(],a b ，[),a b ，[],a b ()a b <的长度均为d b a =-，已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为1,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 的长度的最大值与最小值的和为______. 【答案】9【解析】由奇偶性定义可知函数为偶函数；当0x ≥，根据值域可确定定义域为[]0,3；利用偶函数的对称性可知当30x -≤≤时，()f x 值域为1,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦；由此可确定区间长度的最大值和最小值，进而得到结果. 【详解】()()1133xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ()f x ∴为偶函数 当0x ≥时，()1133xxf x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111273x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭Q 03x ∴≤≤ 由偶函数性质可知：当30x -≤≤时，()f x 值域为1,127⎡⎤⎢⎥⎣⎦[],m n ∴区间最长时为[]3,3-，最短时为[]3,0-或[]0,3[],m n ∴区间长度的最大值与最小值之和为639+=故答案为：9 【点睛】本题考查根据值域求解函数定义域的问题，关键是能够利用指数函数单调性确定当0x ≥时，自变量的取值范围，进而结合奇偶性确定区间最长时的情况.三、解答题16．（1）()12106330.25342019248223202039--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+⨯+⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）()21lg 4lg34lg 6lg5ln 3e e ⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3313；（2）92【解析】（1）根据指数幂的运算法则化简求解即可得到结果； （2）根据对数运算法则化简求解即可得到结果. 【详解】（1）原式212611113233442221822333⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12332322122333⎛⎫⎛⎫=++⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2124273=++⨯- 233111133=-=（2）原式()3222lg34lg32lg30ln e =-+++32lg3lg312=-+++39322=+= 【点睛】本题考查指数幂、对数运算化简求值的问题，关键是熟练掌握指数幂运算和对数运算的运算法则，属于基础题.17．下面两图为同一个健身哑铃，它是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成，中间的连杆圆柱为实心，已知大圆柱的底面半径为6cm ，高为2cm ，连杆圆柱的底面半径为2cm ，高为12cm .（1）求该健身哑铃的体积； （2）求该健身哑铃的表面积.【答案】（1）体积为3176cm π；（2）表面积为2216cm π.【解析】（1）哑铃的体积等于两个大圆柱和一个连杆圆柱（位于中间部分）的体积之和，即可得出结果；（2）哑铃的表面积等于两个大圆柱的表面积与连杆圆柱（位于中间部分）侧面积之和减去连杆圆柱两个底面积，即可得出结果. 【详解】（1）设该健身哑铃的体积为V ，2V V V =+大圆柱连杆，22622144V ππ=⋅⋅⋅=大圆柱，()2212432V ππ=⋅-=连杆，因此，该健身哑铃的体积为314432176V cm πππ=+=；（2） 设该健身哑铃的表面积为S ，22+S S S S =-大圆柱连杆底面连杆侧面积，22=64+2622S ππ⋅⋅⋅⋅⋅大圆柱，22=22S π⋅⋅连杆底面 ，()=22124S π⋅⋅-连杆侧面积，则2226422262222(124)216S cm πππππ=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅-=.【点睛】本题考查组合体表面积与体积的计算，解题关键就是要弄清组合体的构成，考查空间想象能力，属于基础题.18．已知幂函数()()2122m f x m m x-=--是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，函数()32x g x k =-.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，若A B B ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3m =；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得1m =-或3，代入验证可知1m =-不合题意，从而得到结果；（2）根据两函数单调性可求得集合,A B ，由并集结果知A B ⊆，由此可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】（1）()f x Q 为幂函数 2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m = 当1m =-时，()2f x x -=，在()0,∞+上单调递减，不合题意；当3m =时，()2f x x =，为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意综上所述：3m =（2）由（1）知：()2f x x =Q 当[]1,2x ∈时，()f x ，()g x 单调递增 []1,4A ∴=，[]32,92B k k =--A B B =Q U A B ∴⊆ 321924k k -≤⎧∴⎨-≥⎩，解得：512k ≤≤k ∴的取值范围为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查根据幂函数的定义和性质求解参数值、函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题；关键是能够根据函数的单调性准确求得函数值域，进而根据包含关系得到不等式组.19．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习.已知前三年，平台会员的个数如下表所示：（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台()*x x N ∈年后平台会员人数y （千人），并求出你选择模型的解析式； ①()0ty b t x=+>，②log r y d x s =⋅+（0r >且1r ≠），③x y m a n =⋅+（0a >且1a ≠）（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过()904xk k ⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭千人，依据（1）中你选择的函数模型求k 的最小值.【答案】（1）3822xy ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；（2）min 569k = 【解析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；（2）根据（1）中结论可将不等式整理为2222833x xk ⎛⎫⎛⎫≥⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[)1,x ∈+∞恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得2222833xx⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，进而得到k 的取值范围，从而得到结果. 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，Q 函数增长的速度越来越快 ∴选择③x y m a n =⋅+（0a >且1a ≠）代入表格中的三个点可得：23142029ma n ma n ma n=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得：8322m a n =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩3822xy ⎛⎫∴=⋅+ ⎪⎝⎭，x N *∈.（2）由（1）可知：()3822xf x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，*x ∈N 故不等式398224x xk ⎛⎫⎛⎫⋅+≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[)1,x ∈+∞恒成立 22822228333322x xxxk ⎛⎫⎛⎫∴≥+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[)1,x ∈+∞恒成立令23xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ()228g t t t ∴=+，20,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ ()g t Q 在20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，则()25639g t g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭569k ∴≥min 569k ∴= 【点睛】本题考查选择合适的函数模型解决实际问题，涉及到函数模型的求解、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系，进而结合二次函数的性质得到函数的最值. 20．已知函数()2(6)2log a x f x x a -=+,(0a >且)1a ≠.（1）若函数()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2？若存在求出a 的值，若不存在请说明理由.【答案】（1）()50,11,2⎛⎫⎪⎝⎭U ；（2）3-.【解析】（1）根据()f x 在[1,2]x ∈上恒有意义,则2260x ax -+>在[]1,2上恒成立.讨论对称轴的位置,即可求得a 的取值范围.（2）讨论01a <<与1a <两种情况,结合复函函数单调性即可判断是否符合单调递增.再根据最大值为2,代入a 的值,解方程即可求解. 【详解】（1）函数()2(6)2log a x f x x a -=+在[1,2]x ∈上恒有意义 即2260x ax -+>在[]1,2上恒成立 令()226g x x ax =-+对称轴为x a =,开口向上当01a <<时,只需()10g >,即()11260g a =-+>,解得72a <,所以01a <<当12a <≤时,只需()0g a >,即()22260g a a a =-+>,解得a <,所以12a <≤当2a <时, 只需()20g >,即()24460g a =-+>,解得52a <,所以522a << 综上可知, a 的取值范围为()50,11,2⎛⎫⎪⎝⎭U （2）函数()226g x x ax =-+对称轴为x a =由复合函数单调性的性质可知: 当01a <<时log ay x =为单调递减函数, ()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数,所以()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递减,不合题意当1a <时,log a y x =为单调递增函数, 若()2(6)2log a x f x x a -=+在[]2,3上单调递增,则()226g x x ax =-+在[]2,3上为单调递增函数.所以由对称轴在[]2,3左侧可得12a <≤ 因为最大值为2,则()32f = 即()966og 2l a a -+=即2966a a =-+,化简可得26150a a +-=解得3a =-+ 3a =-- 因为12a <≤所以3a =-+当3a =-+函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，且最大值为2 【点睛】本题考查了二次函数在区间内恒成立问题,复合函数单调性的判断与应用,函数最值的应用,属于中档题.21．已知函数()242x m m f x x =-+-，()1xg x e =-.（1）若0m =，求证：函数()()()h x f x g x =-恰有一个负零点；（用图象法证明不给分）（2）若函数()()()x fg x ϕ=恰有三个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()2,+∞【解析】（1）由单调性的性质可判断出()h x 在(),0-∞上单调递减，利用零点存在定理可知存在唯一的()02,0x ∈-使得()00h x =，由此可证得结论； （2）令()t g x =，结合函数图象可知，若()x ϕ恰有三个零点，则方程2420t mt m -+-=必有两根12,t t ，且101t <<，21t ≥或10t =，201t <<；当10t =时可求得28t =，不合题意；当101t <<，21t ≥时，根据二次函数图象可得到不等式组，由此解得结果. 【详解】（1）若0m =，则()()()22211xxx e e h x x =---=--(),0x ∈-∞Q 时，21y x =-单调递减，x y e =-单调递减∴当(),0x ∈-∞时，()h x 单调递减又()020h =-<，()2230h e--=->，则存在唯一的()02,0x ∈-使得()00h x =即函数()h x 在区间(),0-∞恰有一个零点（2）令()0x ϕ=，()t g x =，要使得函数()()()x fg x ϕ=恰有三个零点()t g x =图象如下图所示：则方程2420t mt m -+-=必有两根12,t t ，且101t <<，21t ≥或10t =，201t <<①若101t <<，21t ≥时，令()242t t mt m ϕ=-+-则()()0010ϕϕ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即20310m m ->⎧⎨--≤⎩，解得：2m >②若10t =，则20m -=，即2m = ()280,1t ∴=∉，不合题意 综上所述：实数m 的取值范围为()2,+∞ 【点睛】本题考查零点存在定理的应用、根据函数零点个数求解参数范围的问题；本题解题关键是能够通过换元法将问题转化为一元二次方程根的分布问题的求解，进而通过二次函数图象来确定不等关系.。
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湘一芙蓉中学2019-2020学年上学期高一入学考试
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．
2．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 3．参考公式：二次函数
图象的顶点坐标是（
，
）．
一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.每小题3分，共15题，共45分）
1.下列计算准确的是（ ） A. B.
C.
D.
＝
2. 函数x
x y +=的图象是（ ）
A B C
D
3. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 棱柱
4.已知点
）在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上
可表示为（阴影部分）( )
A. B.
C. D.
5.实数
在数轴上的位置如图所示，则下列结论准确的是（ ）
A. a+b ＞0
B. a ﹣b ＞0
C. a•b ＞0
D. ＞0
O y
x
O
y
x
O y
x
O
y
x
-1
1 1
-1
-1
-1
1
1
6.某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
x …－2 －1 0 1 2 …
y …－11 －2 1 －2 －5 …
因为粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是( )
A. －11
B. －2
C. 1
D. －5
7.如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度随时间变化规律的是（）
A. B. C. D.
8.如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（）
A. B. C. D.
9.若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）
A. 9
B. 12
C. 7或9
D. 9或12
10.设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中一定准确的是（）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 是奇函数
D. 是奇函数
11.如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（）．
A. B. C. D.
12.下列命题：①三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等；②如果
，那么；③若关于x的方程的解是负数，则m
的取值范围为m<-4；④相等的圆周角所对的弧相等；⑤对于反比例函数，当x﹥-1时，y随着x的增大而增大其中假命题有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.设则的最大值是（）
A. B. 18 C. 20 D. 不存有
14.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
15.出售某种文具盒，若每个可获利元，一天可售出（）个．当一天出售该种文具盒的总利润最大时，的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有6小题，计55分．）
16.（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根。
17.（8分）已知集合，，
（1）求A∪B，（2）求.
18.（9分）解关于x的方程：
19.（10分）如图所示，已知直线与双曲线交于A,B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求的值及B点坐标；（2）结合图形，直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取
值范围．
20.（10分）如图所示，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到，抛物线经过B、D两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，
求点P的坐标．
21.(10分（1）问题发现
如右图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。
填空：①∠AEB的度数为____________；
②线段AD、BE之间的数量关系是_________。
（2）拓展探究
如右图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E
在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。
请判断∠AEB的度数及
线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
（3）解决问题
如右图，在正方形ABCD中，CD=。
若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
参考答案：
一、选择题15*3=45分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C A D A A
题号9 10 11 12 13 14 15 --------- 答案 B C B D B D C
16.解：∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，
∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1，…………2分
∴＝……….4分
＝………….6分
＝＝＝……….8分
17. 解：(1)由，可得，所以，…………1分
又因为…………2分所以；…………4分
（2）由可得或，…………5分
由可得. …………6分
所以.…………8分
18.解由题意，关于的方程：+=，
则得或，…………4分，而是原方程的增根，
所以是原方程的根.…………9分
19.解（1）因为直线与双曲线交于A,B两点，且点A的横坐标为4，
将代入直线解析式得：，
所以A点的坐标为，
将代入反比例解析式得：，解得，
所以反比例函数的解析式为，并根据图像的对称性可得.…………5分
（2 ）因为，由图像可知：当-4<x<0或x>4时，
一次函数的值大于反比例函数的值.…………10分
20解（1）∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD=AB=1，OA=OC=2，则点B（2，1），D（﹣1，2），代入解析式，
得，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+.
…………5分
（2）如图：∵OA=2，AB=1，∴B（2，1）.
∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，且OB=OD，∴DQ=BQ，即点Q为BD的中点，D（﹣1，2），
∴点Q坐标为（，）.设直线OP解析式为y=kx，将点Q坐标代入，得k=，解得k=3，
∴直线OP的解析式为y=3x，代入y=﹣x2+x+，得﹣x2+x+=3x，解得x=1或x=﹣4.当x=1时，y=3；当x=﹣4时，y=﹣12.∴点P坐标为（1，3）或（﹣4，﹣12）．………10分
21.解（1）因为，所以，
在和中，，CD=CE，
所以和全等，所以AD=BE, ，所以
.…………4分
（2）(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,
即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.…………8分
（3）或.…………10分。