差分方程基本知识
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
10.1差分方程的基本概念 共21页
例3 设差分 yn1 方 3yn程 3n,验证 ynC3nn 33n 是否为差分 ,并 方 求 程 满 的 y0足 5 通 的 条 解 特 件 . 解 将ynC3nn 33n代入方程
2yn(yn) 2 ( n 1 ) 2 ( 2 n 2 ) 2.
例2 设ynf(n)表示某辆汽n车 小外 时出 汽 车里程表显示的公里数, 且6前 个读出 {f(数 n)}为 { 1 4 ,1 4 2 ,1 5 5 ,1 5 1 5 ,1 5 0 ,1 6 9 4 } ,其 3 5 中 f0 (1)表示 开车时里程表的读数, f(2)表示行1小 驶时后里程 的读数, 以此类推, 可将 yn,yn,2yn各值列,表 并称为 yn的 函差 数.分表
k 阶差分方程的一般形式 为 F ( n , y n , y n , , k y n ) 0 ( 1 5 ) 0
其 F (n 中 ,yn , yn, , kyn )为 n ,yn , yn, , kyn的已 知,函 且至数 少 kyn要在式中 . 出现
定义10.2 含有自变 n和量两个或两个值 以yn上 , yn1,的函数,方 称程 为 (常)差分方.出 程现在差 方程中的未知的 函最 数大 下 ,称 差 标为差分方.程
方 n n 3 程 y 3 y n 1 n 2 1 是二阶非齐次线性差方分程,
方 n n 3 程 y 3 y n 1 0 是对应的齐次方程.
三、差分方程的解
定义10.3 如果将y已 n(知 n)代 函 入 数 (1方 06)程 使其 n0 对 ,1,2, 成为恒 ,则等 y称 n式 (n)为方
差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
3.4.差分方程简介
故原方程的通解为
（2）方程对应的特征方程为 λ 1= 0 ，其特征根为 λ =1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi = C 。设方程的特解为： yi = Acos π i + Bsin π i 2 2
将其代入原方程可解得 A = B = 1 2 故原方程的通解为
yi = C 1 (cos π i + sin π i) 2 2 2
λn + Pλn1 ++ P 1λ + P = 0 1 n n
（3.4.3）
方程（3.4.3）称为（3.4.2）的特征方程。若 λ1, λ2 ,, λn 是（3.4.3）的 n 个不同的根，则 Y (i) = λ1 ,Y2 (i) = λ2 ,,Yn (i) = λn 就是（3.4.2）的 n 个 1
r 1+ P ++ P 1 n
是稳定的条件与对应的齐次方程（3.4.2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n× m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi +1 + Ayi = 0
其 平 衡点 稳 定的 条 件是 矩阵 A 的特 征 根
λi ( i =1,2,, n) 均有 λi <1 。 即均在复平面上的
（3）
若 Y1 (i) ，…，Yn (i) 是方程（3.4.2） n 个线性
无关的解，则它们的线性组合 C1Y (i) ++ CnYn (i) 1 就是 （3.4.2）的通解。 Y1 (i) ，…， Yn (i) 称为（3.4.2） 的一组基本解。 （4） 若 C1Y (i) ++ CnYn (i) 是 （3.4.2） 的通解， y *(i) 是 1 非齐次方程（3.4.1）的一个特解，则
第十三章 差分方程
△2yx
△3yx
2
0
2
0
2
0
2
0
2
例2 : 设 x 求 x
（n）
＝x（x－ ） 1 .......( x n 1)
x
( 0)
1
（n）
解： y
x
y
x
x y
（n）
x（x－ ） 1 .......( n 1) x
x 1
y
x
( x 1) x( x 1) ( x 1 n 1) x( x 1)....(x n 1) x（x－ ） x n 2)[(x 1) ( x n 1)] 1 ....( x（x－ ） x n 2) n 1 .....( nx
－y
x
（ y ）＝ y
x
x＋1
－y ＝（y
x x 1
x＋2
－y ） (y
x 1
x＋1
－y )
x
y 记为2 y ，即
x
x＋2
－ 2y
y
x
2 y ＝（ y ）＝y
x x x
x＋2
－2y
x 1
y
x
称为函数 y 的二阶差分 同样定义三阶差分，四 阶差分 3 y ）＝（2 y ），4 y ）＝（3 y ） （ （ ........
第十三章 差分方程
第一节 差分方程的一般概念
(一)差分
x
定义1：设函数y＝f（x），记为y 当x取遍非负整数时， 函数值可以排成一个数 列。 y0 , y1.......y x ........ 则差为y
x＋1
－ y 称为函数 y 的差分。
差分方程pdf
差分方程pdf差分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。
本文将从引言概述、正文内容和总结三个部分来详细阐述差分方程的相关知识。
引言概述：差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了变量之间的差异或变化率。
与微分方程相比，差分方程更适用于描述离散的变化过程。
差分方程通常以递推关系的形式表示，其中每个变量的值都依赖于前面的一个或多个变量的值。
差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。
正文内容：1. 概念与分类1.1 差分方程的概念差分方程是一种数学方程，它描述了变量之间的离散关系。
差分方程通常用于描述离散的时间或空间中的变化过程，而微分方程则用于描述连续的变化过程。
1.2 差分方程的分类差分方程可以分为线性差分方程和非线性差分方程两类。
线性差分方程中的未知函数及其导数或高阶导数之间的关系是线性的，而非线性差分方程则不满足这一条件。
2. 解法与性质2.1 差分方程的解法差分方程的解可以通过递推关系逐步计算得到。
常见的解法包括特征根法、变量分离法、Z变换法等。
其中，特征根法适用于线性差分方程，而变量分离法和Z 变换法适用于一般的差分方程。
2.2 差分方程的稳定性差分方程的稳定性是指解的性质是否随着时间的推移而趋于稳定。
稳定性分为有界稳定和渐近稳定两种情况，其中有界稳定是指解的值在某个有界区间内波动，而渐近稳定是指解的值随着时间的推移趋于某个固定值。
2.3 差分方程的周期性差分方程的周期性是指解在某个时间间隔内重复出现相同的模式。
周期性可以通过解的性质和递推关系的周期性来判断。
3. 应用领域3.1 物理学中的应用差分方程在物理学中广泛应用于描述离散的物理过程，如粒子运动、电路分析等。
通过建立差分方程模型，可以对物理系统的变化进行预测和分析。
3.2 经济学中的应用差分方程在经济学中常用于描述经济系统的变化过程，如经济增长、通货膨胀等。
通过差分方程模型，可以对经济系统的发展趋势和影响因素进行研究。
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程基础知识
yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解 由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
[(t 1) (t n 1)]t (t 1) (t n 2) nt
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .
t y P y0 为方程的解.容易验证，对任意常数 A 则 t
yt APt
都是方程的解，故方程的通解为
yt APt
例4 求差分方程
yt 1 3 yt 0 的通解.
解 利用公式得，题设方程的通解为 yt A3 t.
yt zt yt yt zt （ ) ( zt 0) （4） zt zt 1 zt
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
差分方程基本知识
差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量 的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散 变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方 程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或 过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性 质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关 系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析 方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质 （平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性 等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
差分方程_基础知识
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同的解的结构. 故先求齐次方程(11)的通解.
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系, 所以可设 yx = x为方程(11)的解.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
差 分 方 程(1) ——基础知识
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
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二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
差分方程
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)
i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1( ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f (t )