差分方程基本知识
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在本书中． 我们只探讨一阶常系数线性差分方程的解法．
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
差分方程
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)
i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1( ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f (t )
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
是n阶常系数齐次线性差分方程
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
4 ( yt zt ) zt1yt ytzt yt1zt ztyt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
例1 求 (t 2 ),2(t 2 ), 3(t 2 ). 解 设 yt t2 , 则
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
称 2 yt (yt ) yt1 yt ( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt2 2 yt1 yt
为函数 yt 的二阶差分. 同样，称 3 yt (2 yt )
为三阶差分.
依此类推，函数的 n 阶差分定义为：
且有
差分方程
一、差分方程的基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、差分方程的简单应用
一、 差分方程的基本概念 1. 差分的定义 定义1 设函数
yt f (t ), 我们称
t 0, 1, 2, , n, .
yt yt1 yt f (t 1) f (t )
为函数 yt 的一阶差分；
定义2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方 程就称为差分方程.
例如
F ( x, yt , yt1, , ytn ) 0,
G( x, yt , yt , , n yt ) 0. 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之 差数称为差分方程的阶.
差分方程的不同形式之间可以相互转化.
又如： 可化为
yt2 2 yt1 yt 3t , yt 2 yt1 yt2 3t2 ,
2 yt 2 yt 3t.
定义3 如果一个函数代入差分方程后，方程两边 恒等，则称此函数为差分方程的解.
例： y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的解， 其中A为任意常数.
n yt (n1 yt )
n
n yt
C
i n
(
1)
i
yt ni
.
i0
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．
性质1 当 a,b,C 是常数， yt , zt 是函数时， 有以下结论成立：
1 (C) 0;
2 (Cyt ) C( yt );
3 (ayt bzt ) a( yt ) b(zt );
我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态， 对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为 初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 如果差分 方程中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于差 分方程的阶数，则称它为差分方程的通解.
例如，y 2t 1 是差分方程 yt1 yt 2的特解， y 2t A 是差分方程 yt1 yt 2的通解， 其中A为任意常数.
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的n个线性无关的解，则方程 的通解为
Y C1 y1( ) C2 y2(t ) 其中 C1,C2 ,,Cn为任意常数．
Cn yn(t ),
定理3 n阶非齐次线性差分方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f (t )