差分方程及其应用

差分方程及其应用

在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。

本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

§1 基本概念 线性差分方程解的基本定理

一、 基本概念

1、函数的差分

对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。

设自变量t 取离散的等间隔整数值：，

，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即

)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。

由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是

)()()()1(t Q t P t R t R -+=+，

若将上式写作

)()()()1(t Q t P t R t R -=-+，

则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记

))()1()(t R t R t R -+=∆，

并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。

按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差

分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2∆，即

)()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y ---=-==++++∆∆∆∆∆

t t t y y y +-=++122。

依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为

t t t t t t t y y y y y y y ∆∆∆∆∆∆∆∆+-=-==+++12212232)(

t t t t y y y y -+-=+++12333。

一般地，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分定义为

t n t n t n t n y y y y 1111-+---==∆∆∆∆∆）（ ∑=-++---=

n k k n t k y k k n n n 0!

)1()1()1( 。 上式表明，函数)(t f y t =在t 的n 阶差分是该函数的n 个函数值，t n t n t y y y ，，

， 1-++的线性组合。

例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。

解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ∆。

t

t t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆

232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。

2、 差分方程的基本概念

先看例题。

设0A 是初始存款（0=t 时的存款），年利率)10(<

t t t rA A A +=+1，),2,1,0( =r ， （1-1）

如写作函数)(t f A t =在t 的差分t t t A A A -=+1∆的形式，则上式为

t t rA A =∆，),2,1,0( =r ， （1-2）

由（1-1）式可算出t 年末的本利和为

01A r A t t ）（+=，),2,1,0( =r 。 （1-3）

在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数)(t f A t =，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值t A 和1+t A ，在方程（1-2）中含有未知函数的差分t A ∆，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数

值)(t f A t =的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是1，即

11=-+t t ）（，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。

（1-3）式是t A 在t 之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。

由上例题分析，差分方程的基本概念如下：

含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。

由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。

例如 0332=---t y y y t t t ∆∆就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数)(t f y t =在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为0512=-+-++t y y y t t t 。正因如此，差分方程又可定义为

含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。

n 阶差分方程的一般形式可表示为

0),,,,(2=t n t t t y y y y t ∆∆∆Φ ， （1-4）

或0),,,(1=++n t t t y y y t F ， （1-5）

由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。

若把一个函数)(t y t ϕ=代入差分方程中，使其成为恒等式，则称)(t y t ϕ=为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。

一阶差分方程的初始条件为一个，一般是00a y =（0a 是常数）；二阶差分方程的初始