差分方程方法总结

yk f ( xk )
如果 lim xk x ，则称平衡点
* k
x
*
是稳定的，否则是不稳定的。
研究平衡点 x 的稳定性问题，只需要研究 xk 1 axk
*
0
的平衡点 x ＝０的稳定性问题。则 x 要条件是：
*
*
a 1。
0 是稳定的平衡点的充
2018 月 15 2018 年年 1010 月 15 日日
第四章 差分方程方法
常系数线性差分方程； 差分方程的平衡点及其稳定性；
连续模型的差分方法； 案例分析
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一 .常系数线性差分方程
1.常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk 0 (1) 其中 k 为差分方程的阶数， ai (i 1,2,, k ) 为差分方 程的系数，且 ak 0(k n) 。
对应代数方程:
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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2018年10月15日
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一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
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, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
ba h 为很小的数，则有常用的求积公式： n
(1)复化的梯形公式：
n 1

b
a
f ( x ) dx h
k 0
1 f a (k )h 2
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
（2）复化梯形公式：

b
a
n 1 h n1 h f ( x)dx f ( x k ) f ( x k 1) f (a) 2 f ( x k ) f (b) 2 k 0 2 k 1
类似地： 复化辛甫生（Simpson）公式; 复化柯特斯（Cotes）公式等。 （详见教材）
• 描述商品数量与价格的变化规律.
四、案例:市场经济中的蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数 yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
P0是稳定平衡点
y y2 f P3 P2 P0 g P4 y
P0是不稳定平衡点
P3 f g P4
曲线斜率
y0 y3 y1 0
K f Kg
P1 x1 x
y0
0
P2 x0
P0
P1
K f Kg
x
x2 x0 x3
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四、案例:市场经济中的蛛网模型
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
根据定义，则有一般的求积公式:

b
a
f ( x)dx 。

b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中 Ak 为求积系数，它与 xk 的选取方法有关。
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
一般取等距节点 xk a kh(k 0,1,, n) ，其中
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三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n 1) ，且
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
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四、案例:市场经济中的蛛网模型
蛛网模型
设x1偏离x0
yk f ( xk ) xk 1 h( yk )
yk g ( xk 1 )
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x1 y1 x2 y2 x3 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0 P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
16 2018 年 10 月 15 日 2018 年 10 月 15 日
四、案例:市场经济中的蛛网模型
供大于求
价格下降
数量与价格在振荡
减少产量
现 象
增加产量
价格上涨
供不应求
问 题 • 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?
• 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
17 2018年10月15日