第四次课逻函数的表示方法和最大项最小项
2逻辑代数公式定理+3逻辑代数的基本定理+4逻辑函数及其描述方法
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
• 各种表示方法之间可以相互转换
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表
“或”真值表 A BL 0 00 0 11 1 01 1 11
5本继页续完
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 1.常量与变量间的运算规则： 或运算一定、律逻辑代数的基本定律 A+0=A；A+1=和1恒；等式 与运算定1律.常数间的运算定律 A•0=0；A •1=A；
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和 “与”真值表可 以证明各式成立。
“与”2真.基值本表可 以证明定各律式和成立。
恒等式 表律详是2.3见根.摩1课，据例 根本基逻： 定P本辑2定加4 、 乘、非三律种基本
运算法则，推导 出的逻辑运算的 一些基本定律。
9本继页续完
逻辑代数公式定理及公式化简法
基本定律和恒等式的证明
摩根定律的证明
基本定律和恒等式的证明最 有效的方法是检验等式左边的 函数与右边函数的真值表是否 吻合。
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 4.摩根定律 例：摩根定律(反演律)
(A·B·C···)’=A’+B’+C’+···
(A+B+C+···)’=A’·B’·C’····
利用摩根定律可以把“与”运算变 换为“或”运算，也可以把“或”运 算变换为“与”运算，其逻辑结果不 变。
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和
第四章逻辑代数及其化简
AB
A B ≥1
≥1 Y
≥1
AB AB
A B
在简介逻辑函数旳原则形式之前，先简介最小项和最 大项旳概念，然后简介逻辑函数旳“最小项之和”及“最 大项之积”两种原则形式。
目旳：为图解化简法打好基础。
几种概念： 与项：逻辑变量间只进行乘运算旳体现式称为与项 。
如：AC, ABC 与－或体现式：与项和与项间只进行加运算旳体现式 称为与—或体现式。如: AC ABC
3、②逻辑按图自然二进制递增顺 多4序、种排工表列作达波（措形施既图间不旳易相漏互掉转，换 也不 一会、反从复真值）表。写出逻辑体现式
例为：1,③奇已为知n0一)个，种试输奇写偶入出鉴它变别旳函量逻数就辑旳函有真数值2式表n个。（偶
解不：同当旳A取BC值=0组11合时。，使乘积项ABC 1
当ABC=101时，使乘积项ABC 1
或项：逻辑变量间只进行或运算旳体现式称为或项。
如：B C, A B C 或－与体现式：或项和或项间只进行乘运算旳体现式称
为或－与体现式。如: B CA B C
1、最小项
(1) 定义： 最小项是一种与项。
(2) 特点： n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量旳形式
出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量 有 2n 个最小项。
A·A=A
A B AB
AB A B
非非率
AB AC BC AB AC A BA CB C A BA C
反演率
目旳：要求学会证明函数相等旳措施，利用逻辑代数旳 基本定律，得出某些常用公式。
吸收律： AB AB A B B 1 （互补率）
证：AB AB A B B A1 A
阐明：两个乘积项相加 时，若乘积项分别包括 B和/B两个因子。而其 他因子相同。则两项定
逻辑函数表达式的标准形式
逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式有标准“与-或”表达式和标准“或-与”表达式两种类型。
两种标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。
1．最小项和最大项（1）最小项定义：如果一个具有n个变量的函数的“与项”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项。
有时又将最小项称为标准“与”项。
数目：n个变量可以构成2n个最小项。
例如，3个变量A、B、C可以构成、…、ABC共8个最小项。
简写：通常用mi表示最小项。
下标i的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
例如，3变量A、B、C构成的最小项可用m5表示。
因为性质：最小项具有如下4条性质。
性质1：任意一个最小项，其相应变量有且仅有一种取值使这个最小项的值为1。
并且，最小项不同，使其值为1的变量取值不同。
性质2：相同变量构成的两个不同最小项相“与”为0。
因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最小项同时为1，故相“与”为0。
即性质3：n个变量的全部最小项相“或”为1。
通常借用数学中的累加符号“Σ”，将其记为这是因为对于n个变量的任何一种取值，都有相应的一个最小项为1，因此，全部最小项相或必为1。
性质4：n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。
相邻最小项是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。
例如，三变量最小项和ABC。
（2）最大项定义：如果一个具有n个变量的函数的“或”项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“或”项被称为最大项。
有时又将最大项称为标准“或”项。
数目：n个变量可以构成2n 个最大项。
例如，3个变量A、B、C可构成A＋B＋C、共8个最大项。
简写：通常用Mi表示最大项。
下标i的取值规则是：按照变量顺序将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
【课件】函数的极值与最大(小)值(第4课时)含参函数的最值+课件人教A版(2019)选择性必修第二册
引导探究
当1a≥e，即 0<a≤1e时，f(x)在(0，e]上单调递减，故 f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3， 解得 a＝4e(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数 a.
综上，存在实数 a＝e2，使 f(x)在区间(0，e]上的最小值是 3.
引导探究
探究 3 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0，等于 0，小于 0 三种 情况．若导函数恒大于 0 或小于 0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端 点处取得；若导函数可能等于 0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确 定最值．
引导探究
引导探究
故 f(x)的最大值为 f23＝3227a<32，即 a<27. 所以 0<a<27. 当 a<0 时，f(x)在－2，23上单调递减， 在23，1上单调递增， 又 f(－2)＝－32a>f(1)＝a， 所以 f(x)的最大值为 f(－2)＝－32a<32，即 a>－1. 所以－1<a<0. 综上可得，a 的取值范围为(－1，0)∪(0，27)．
引导探究
探究 4 恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，其中方法一是分 类讨论(求最值)法，方法二是分离参数法．在不等式或方程中，参数只出现一次， 或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参 数分离到一边去，而另一边则是 x 的表达式．
引导探究
引导探究
(2)在14，1上存在 x0，使得不等式 f(x0)－c≤0 成立，只需 c≥f(x)min，x∈14，1， 因为 f′(x)＝－23－31x2＋1x＝－2x2－3x32x＋1＝－（2x－1）3x（2 x－1）， 所以当 x∈14，12时，f′(x)<0，f(x)是减函数； 当 x∈12，1时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 所以 f12是 f(x)在14，1上的最小值． 而 f12＝13＋ln 12＝13－ln 2，所以 c≥13－ln 2.
四变量逻辑函数的最小项
四变量逻辑函数的最小项四变量逻辑函数是在研究复杂系统时用来表示该系统的输入和输出之间的关系的一种逻辑函数。
它可以用来表示多变量之间的关系。
在这里，我们将讨论关于四变量逻辑函数的最小项。
首先，要理解四变量逻辑函数的最小项，最好的方法是从它的定义开始。
四变量逻辑函数是一种多元函数，它由四个变量和一个输出组成。
这个输出是一个布尔值（真或假），它可以用来描述系统的行为。
四变量逻辑函数的最小项是指它的最小输入变量组合，这样可以获得一个特定的输出。
因此，四变量逻辑函数的最小项可以用来表示系统的行为，而不需要考虑多余的变量。
四变量逻辑函数的最小项的寻找，可以采用两种方法：第一种是枚举法，即从所有可能的输入变量组合中枚举出最小项；第二种是省略法，即从最大项开始，把不必要的变量一个个去掉，直到得到最小项为止。
枚举法是四变量逻辑函数的最小项寻找的最简单方法，但它比较耗时，而且很难处理大型四变量逻辑函数。
而省略法，则可以有效地减少计算时间，可以用来处理大型四变量逻辑函数。
此外，四变量逻辑函数的最小项可以用来表示系统的行为，而不需要考虑多余的变量。
这样可以使系统更简洁，更易于理解和控制。
同时，四变量逻辑函数的最小项也有助于改善系统性能，因为它可以减少系统中多余变量的影响。
例如，系统中有一个变量，它的影响是无关紧要的，但是它却在系统中占用了很大的资源，如果使用四变量逻辑函数的最小项，那么就可以把这个变量去掉，从而改善系统性能。
最后，四变量逻辑函数的最小项也可以用来提高系统的可靠性。
因为它可以减少多余变量的影响，这样就可以缩小系统的可能出错的范围，从而提高系统的可靠性。
总结起来，四变量逻辑函数的最小项可以用来描述系统行为，可以用来改善系统性能，也可以用来提高系统的可靠性。
因此，四变量逻辑函数的最小项是研究复杂系统时非常重要的一个概念。
逻辑函数的表示方法
《电子技术》知识点：逻辑函数的表示方法逻辑函数定义: 用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A 、B 、C 等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。
F (A ，B)=A +B F (A ，B ，C )=A +BC输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式波形图 真值表 输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。
试建立该问题的逻辑函数。
A BC F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 11 0 0 0 三个人意见分别用逻辑变量A 、B 、C 表示 表决结果用逻辑变量F 表示 同意为逻辑1，不同意为逻辑0。
表决通过为逻辑1， 不通过为逻辑0。
1.真值表F =(A ，B )=A +B F =(A ，B ，C )=A +BC 输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式 波形图 真值表 例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。
试建立该问题的逻辑函数。
A B C F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1.真值表 2.逻辑函数表达式 ∙ 找出函数值为1的项。
∙ 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。
∙ 这些乘积项作逻辑加。
F= ABC+ABC+ABC +ABC输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC 、ABC 、ABC 、ABC 。
1 0 1 1 1 1 1 03.逻辑图F= ABC+ABC+ABC +ABC 乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABF &CAB&CAB &CAB &C≥1ABCF逻辑函数的表示方法∙ 函数表达式的五种常用形式 “与―或”式 =++(A C)(A B)“或―与”式 =∙AB A C“与非―与非”式 =+++A C A B “或非―或非”式=+∙∙A C A B“与―或―非”式 ∙ 表达式形式转换 F (A ，B ，C ) = AB + AC基本 形式 例如函数 F = AB + AC=++(A C)(A B)=∙AB A C =+++A C A B= AB + AC 1.与-或表达式转换为或-与表达式 F = AB + AC = AA + AB +AC +BC= (A +C ) (A + B ) 吸收率 互补率 = A (A + B )+C (A +B )2.与-或表达式转换为与非—与非表达式 =AB + AC 还原率F = AB + AC= AB • AC反演率3.或-与表达式转换为或非—或非表达式F = (A +C ) (A + B )= (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B 反演率还原率4.或-与表达式转换为与-或-非表达式 反演率 还原率 = A C + A B F = (A +C ) (A + B ) = (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B逻辑函数的标准形式n 个变量有2n 个最小项，记作m i 。
数字电路1.2逻辑函数的表示方法
2021/8/6
( n 变量共有 2n 个最小项)
4
2021/8/6
2. 最小项的性质：
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 01
逻辑相邻：
逻逻辑辑不相相邻邻
两个最小项只有一个变量不同 BC A 00
01
1110 1110
逻辑相邻的两个最小项可以 合并成一项，并消去一个因子。
0 m0 逻m辑1 相mC A C 卡诺图的实质：
逻辑相邻
几何相邻
紧挨着 行或列的两头 对折起来位置重合
m1
m0
m8
m0
m 7 m 6 m 5 m 4 m 1 m 0 m 8
m (0 ,1 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 )
8
函数表达式的特点
2021/8/6
①书写简洁、方便 ②便于利用逻辑代数的公式、定理进行运算、变换 ③便于用逻辑图实现
不如真值表直观
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三、卡诺图
输入变量的各种组合时的输出函数值用图示方法一一表示出来
12
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3. 卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻
几何相邻：
相接 — 紧挨着 相对 — 行或列的两头
相重 — 对折起来位置重合
逻辑相邻：
两个最小项只有一个变量不同
化简方法： 逻辑相邻的两个最小项可以合并成一 项，并消去一个因子。
09-z0213-逻辑函数的最大项表达式
逻辑代数基础华中科技大学罗杰逻辑函数的最大项表达式逻辑函数表达式的形式最大项和最大项表达式•对于有n个变量的函数来说，若一个或项包含了全部的n 个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在或项中出现，且仅出现一次。
则称该或项为最大项（maxterm）。
•一般n 个变量的最大项应有2n 个。
最大项的定义•通常，用Mi 表示最大项，M表示最大项,下标i为最大项编号。
最大项的编号对于最大项：M 6A B C++ 当A =1、B =1、C =0 时，0A B C ++=而110 对应的十进制数为6，A B C∴++记作A B C++ A B C++A B C++A B C++A B C++A B C ++A B C++A B C++最大项三变量逻辑函数有八个最大项M 0M 1M 2M 3M 4M 5M 6M 7、三个变量的8个最大项的真值表M 0M 1M 2M 3M 4M 5M 6M 7ABC00001111111C B A ++C B A ++C B A ++CB A ++C B A ++CB A ++C B A ++C B A ++011111111010110111110111110111110011110111111111111110111111011111111111•对于任意一个最大项，只有一组变量取值使得它的值为0；•对于变量的任一组取值，任意两个最大项之和为1；•对于变量的任一组取值，全体最大项之积为0。
最大项的性质•两者之间为互补关系：m i = M i ，或者M i = m i 。
•例如，，则。
最小项与最大项的关系2m ABC =22m ABC A B C M ==++=最大项表达式：•由若干最大项相与构成的表达式，也称为标准或-与式。
最大项表达式为“或-与”逻辑表达式；在“或-与”式中的每个或项都是最大项。
某电路的真值表如下，试写出最小项和最大项表达式。
最小项表达式：将L ＝1的各个最小项相加 A B CL 00000010 0100 0111→m 31000 1011→m 51101→m 61110 356(,,)= (3,5,6)L A B C m m m m ++=∑A B C A B C A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 最大项表达式：将L ＝0的各个最大项相乘01247(,,) = (0,1,2,4,7)A B C L M M M M M M ⋅⋅⋅⋅=∏()()()()()A B C A B C A B C A B C A B C =++++++++⋅++⋅⋅⋅最大项和最大项表达式例解：再见！。
逻辑函数的表达式
(2) 消项法 利用消项公式 A + AB = A 或多余项公式 AB+AC+BC=AB+AC 例1： F = A B + A B C + A B D
=AB+AB(C+D) =AB 例2： F = A C + C D + A D E + A D G =AC+CD
28
(3) 消去互补因子法 利用 消去互补因子公式 A + AB = A + B 例1：F = A B + A C + B C
作业题 2.1 2.8 (1) 2.10 (1) 2.11 (1)
33
000
0
001
0
010
0
011
0
100
0
101
1
110
0
111
0
A B C A+B+C(M5)
000
1
001
1
010
1
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
17
(2)若F mj ,则F mk
（k为0 ~ (2n 1)中除了j以外的所有正整数）
证明：
因为mj mk 1
当 mj 0时， mk 1 当 mj 1时， mk 0 所以 mj mk
6
(2)最大项表达式（标准或与式） 例：F(A,B,C) = (A + B + C ) ·( A + B + C ) ·( A +
B+C) M0 M2 M4
(M0, M2, M4 ) M (0,2,4)
Digital circuit4最小项最大项
ABC ABC ABC m3 m6 m7 m(3, 6, 7)
它的真值表 怎么样？
2.最大项 Maxterm n个变量的逻辑函数中，若M为n个变量之和，而
且这n个变量必须以原变量或反变量的形式出现一次，
则称M为该组变量的最大项。
如三变量A、B、C，最大项为：
A B C
Minterm Expansion
Exercise: Determine the minterm expansion for each of the following Boolean expressions. F3 = AB + BC + A'C' F4 = A(B + C) + (A' + B)(B + C&#P是一个 含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原 变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出 现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一 个最小项。
三变量最小项真值表
（2）最小项的性质 ① 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有 一个最小项的值为1； ② 任意两个不同的最小项之积恒为0； ③ 全体最小项之和恒为1。 ④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去 一对因子。
M0
A B C
M1
A B C
M2
A B C
M3
A BC A BC
M4 M5
A B C A B C
M6 M7
最大项的性质
① 在输入变量的任何取值下必有一个最大项， 而且只有一个最大项的值为0.； ② 全部最大项之积为0； ③ 任意两个不同最大项的之和为1。 ④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于 各相同变量之和。
逻辑函数及其表示方法
逻辑函数及其表示方法一、规律函数假如以规律变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。
输出与输入之间的函数关系称为规律函数。
Y=F(A,B,C,…)任何一件详细的因果关系都可以用一个规律函数来表示。
二、规律函数表示方法1、规律真值表用来反映变量全部取值组合及对应函数值的表格。
例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出Y为1；否则，输出Y为0。
2、规律函数式把规律函数的输入、输出关系写成与、或、非等规律运算的组合式，即规律代数式，又称为规律函数式，通常采纳“与或”的形式。
3、规律图：由规律门电路符号构成，表示规律变量之间关系的图形称为规律电路图。
不同描述方法之间的转换：1、表达式→真值表首先按自然二进制码的挨次列出全部规律变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。
2、真值表→表达式将真值表中为1的项相加,写成“与或式”。
3、规律函数式→规律图方法:用图形符号代替规律式中的运算符号,就可以画出规律图。
4、规律图→表达式方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的规律式，即得到对应的规律函数式。
5、波形图→真值表三、规律函数的两种标准形式最小项:在n变量规律函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中消失，且仅消失一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准乘积项，通常称为最小项。
最小项的性质:①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1；②任意两个不同的最小项的乘积必为0；③全部最小项的和必为1；④具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。
最大项: 在n变量规律函数中，若M为包含n个因子的和项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在M 中消失，且仅消失一次，则这个和项M称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。
n个变量有2n个最大项，记作Mi。
最大项的性质：①在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；②全体最大项之积为0；③任意两个最大项之和为1；④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。
4逻辑函数及其表示方法
Y AB AB
二、逻辑函数的表示方法
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1、 A2、…、An，输出逻辑变量为F。若A1、 A2、…、An的值被确定后，F的值就唯一 地被确定下来，则F和A1、A2、…、An之 间存在的因果关系称为逻辑关系。一个确 定的逻辑关系通常可以采用以下几种表示 方法：
逻辑式
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。
例如
A
B
C
Y
0 0
0 0
0 1
1 0
逻辑式为
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
ABC
1
1
0
0
1
1
1
1
3. 逻辑图 例如
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
画
的逻辑图
反变量用非门实现
相加项用或门实现
与项用与门实现
运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
( A B)(A B)C AB
ABC ABC AB
F(A, B,C) ABC ABC AB(C C)
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
二、最大项的定义和性质
1、定义：
在逻辑函数中，如果一个或项包含该逻辑函数的全部变量 且每个变量在该或项（和项）中 (以原变量或反变量）只 出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最大项，也称 为 n 变量逻辑函数的最大项。
在同一逻辑关系的各种表示方法中，真值表、卡诺图、 时序图具有唯一性，而逻辑函数表达式和逻辑图则具有多 样性。通常检查两个逻辑关系是否“相等”的办法是看他 们的真值表是否完全相同。
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
Y AC BC B D C D A( B C ) ABC D A BDE 根据A AB A消去ABC D AC BC B D C D A BC A BDE 根据A AB A B消去A BC中BC AC BC B D C D A A BDE A BC B D C D 由AB AC BC AB AC A BC B D
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
解
Y AB AB(C C ) BC ( A A) BC AB ABC ABC BC ABC ABC ( AB ABC ) ( BC ABC ) ( ABC ABC ) AB BC AC
小结：
并项：利用 AB AB A 将两项并为一项， 且消去一个变量B。 吸收： 利用A + AB = A消去多余的项AB。
i
所以 Y
m
k i
k
m 2 m 5 ABC A BC
此即所求的函数与或非形式。
2 逻辑函数的公式化简法
一. 并项法
利用公式
AB AB A
【例3】
Y1 ABCD ABCD Y2 AB ACD A B ACD Y3 ABC AC B C Y4 BCD BC D BC D BCD
数字逻辑第4讲
卡诺图表示逻辑函数
A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
数字逻辑
F 1 0 0 1 0 1 1 0 C
AB 0 1 1 0 0 1
F = Σ(A,B,C)(0,3,5,6)
数字逻辑
College of Computer Science, SWPU
具有“无关”输入逻辑函数及其化 具有“无关” 简
约束
在分析某些具体的逻辑函数时， 在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到 这样一种情况， 这样一种情况，即输入变量的取值不是任意 约束。 对输入变量取值所加的限制称为约束 的。对输入变量取值所加的限制称为约束
卡诺图、 卡诺图、用卡诺图化简函数
Computer Science
本讲最要内容
1、卡诺图 2、几个基本概念 3、用卡诺图化简逻辑函数 4、无关项在化简中的使用 5、多输出函数的最小化问题 6、组合电路的综合 7、组合电路的竞争、冒险及解决方法 组合电路的竞争、
数字逻辑
College of Computer Science, SWPU
数字逻辑
College of Computer Science, SWPU
卡诺图表示逻辑函数
X Y 0 1 XY Z 00 01 11 10 0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5
数字逻辑
College of Computer Science, SWPU
—— 真值表的图形表示
0 1 YZ 00 0 01 1 11 3 10 2 WX 00 01 11 10
A B C = 0, ABC = 0, ABC = 0, ABC = 0, ABC = 0
逻辑函数的最小项
逻辑函数的最小项
逻辑函数是计算机科学和电路设计中的一个重要的概念，它描述
的是输入和输出之间的关系。
在逻辑函数中，最小项是一种重要的表
示方法，它能够简洁地描述逻辑函数的所有输出状态。
在逻辑函数中，最小项是指在所有可能的输入组合中，使得逻辑
函数输出为1的最小输入组合的集合。
例如，对于一个具有两个输入
和一个输出的逻辑函数，其可能的输入组合有四种情况（00、01、10、11），其中有三种输出为0，只有一种输出为1。
因此，最小项为该逻
辑函数为1的输入组合，即11。
最小项的计算方法是将逻辑函数的真
值表中所有输出为1的输入组合相加，并将它们用乘积项表示。
在实际电路设计中，最小项表示法是非常有用的。
由于最小项能
够表达所有可能的输入组合，因此它能够帮助我们更加清晰地理解逻
辑函数的行为。
最小项还可以用于简化逻辑电路的设计。
例如，如果
我们有一个逻辑函数的最小项，我们可以使用卡诺图等方法将其转换
为更简单的逻辑电路。
最小项还有一些与之相关的概念，例如最大项和基本项。
最大项是指在所有可能的输入组合中，使得逻辑函数输出为0的最小输入组合的集合。
基本项是指在逻辑函数的所有最小项中，没有任何其他项能够通过简单的布尔代数运算组合得到的项。
最小项在计算机科学和电路设计中都有广泛的应用，例如在逻辑运算、布尔代数、逻辑门电路设计和编程语言中等。
因此，理解最小项的概念和应用是非常重要的，它能够帮助我们更加准确地描述和设计逻辑电路和计算机软件。
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F ( A, B, C ) = M 0 ⋅ M 2 ⋅ M 4 ⋅ M 5 ⋅ M 7 = ( A + B + C )( A + B′ + C )( A′ + B + C )( A′ + B + C ′)( A′ + B′ + C ′)
标准或与型特点：1.式子为和项之积的形式； 2.逻辑函数不一定包含所有的最大 项， 但每一项必须为最大项
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的 值为0； 全体最大项之积为 0； 任何两个最大项之和为 1； 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相 同变量之和。
( A + B + C) • ( A ′ + B + C) = B + C
26
四、 逻辑函数的标准或与式型－最大项 之积标准型
如
Y ( A, B ) = M 1 ⋅ M 3 = ( A + B′)( A′ + B′)
Y = AC + B′C = ( AC + B′ )( AC + C ) = ( A + B′ )( B ′ + C )C = ( A + B′ + CC ′ )( B′ + C + AA′ )(C + AA′ ) = ( A + B′ + C )( A + B′ + C ′ )( B′ + C + A) • ( B′ + C + A′ )(C + A)(C + A′ ) = M 2 M 3 M 6 ( A + C + BB′ )( A′ + C + BB′ ) = M 2 M 3 M 6 ( A + C + B )( A + C + B′ )( A′ + C + B )( A′ + C + B ′ )
8
【例】已知逻辑函数 Y = A + B ＇ C + A＇ BC ＇ 对应的真值表。 求它 求它对应的真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1
B＇C A＇ BC＇
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
Y 0 1 1 0 1 1 1 1
因子的乘积项，而且这 n个变量均以原 变量或反变量的形式在 m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
最小项 m： � m是乘积项 � 包含 n个因子 � n个变量均以原变量和反变量的形式在 m中出现一次
15
最小项举例：
�
两变量A, B的最小项
A′B ′, A′ B , A B ′, AB （2 2 = 4个 ）
18
二、 逻辑函数的标准与或式型－最小项 之和标准型
如
Y ( A, B, C ) = m0 + m1 + m3 + m5 + m6 = A′B′C ′ + A′B′C + A′BC + AB′C + ABC′
Y ( A, B, C , D) = m0 + m1 + m3 + m7 + m10 + m13 = A′B′C ′D′ + A′B′C ′D + A′B′CD + A′BCD + AB′CD′ + ABC ′D
12
各种表示方法间的互相转换（总结用） 1. 从真值表写出逻辑函数式
这种方法一般分为下面三步： ，找出真值表中使逻辑函数 Y=1的输入变 首先 首先，找出真值表中使逻辑函数 量取值组合； ，每组输入变量取值的组合对应一个 乘 其次 其次，每组输入变量取值的组合对应一个 ，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项 ，其中取值为1的写成原变量，取值为0 积项，其中取值为 的写成反变量； ，将这些 乘积项相加 ，即得到Y的逻辑函 最后 最后，将这些 ，将这些乘积项相加 乘积项相加，即得到 数式。
�
三变量A,B,C的最小项
A′B ′C ′, A′B ′C , A′B C ′, A′BC A B ′C ′, AB ′C , AB C ′, ABC （2 3 = 8个 ）
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式， 因此n个变量共有
2 ？
n
个最小项。
16
2、最小项的编号：
编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量 取值组合当成二进制数，与其相应的 十进制数，就是该最小项的编号 17
【 】
内容 回顾
(1)A+ AB= A (2)A+ A＇B = A+ B (3)AB+ AB ＇ =A (4)A( A+ B) = A (5)AB+ A＇C + BC= AB+ A＇C AB+ A＇C + BCD= AB+ A＇C (6)A( AB)＇ = AB ＇ ; A＇ ( AB )＇ = A＇
6
【例】写出下列真值表对应的函数式
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
A＇BC＇
AB＇C
ABC
Y 0 0 1 0 0 1 0 1
Y = A＇BC＇ + AB＇ C + ABC
7
2. 从逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一 代入逻辑式求出函数值，列成表。
标准与或型特点：1.式子为乘积项之和的形式； 2.不一定包含所有的最小项， 但每一 项必须为最小项
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 —— 标准与或表达式。 而且这种形式是唯一的，就是说一个逻辑函数只有 一种最小项表达式。
19
标准与或式的写法： 在n变量的逻辑函数中，若某一乘积 项由于缺少一个变量不是最小项，则在 这项中添加此变量与这个变量的反变量 之和这一项，使之化为最小项，即利用 公式A＋A′＝1
∑
m (1, 4 , 5 , 6 , 7 )
22
三、最大项 在n变量逻辑函数中，若 M 为n个变量之 和，而且这 n个变量均以原变量或反变 量的形式在 M中出现一次，则称 M为该 组变量的最大项。
� � � �
M是相加项； 包含n个项。 n个变量均以原变量和反变量的形式在 M中出现一次。 如：两变量A, B的最大项
A ′ + B ′, A′ + B , A + B ′, A + B （2 2 = 4个 ）
23
例如：3变量A、B、C的最大项包括
A＇ + B＇ + C＇、A＇ + B + C＇、 A＇ + B + C、A + B + C等。
？
n 思考： 2 个。 n个变量的最大项有多少个？
24
最大项的编号：
最大项 取值 ABC A′ + B′ + C 1′ 1 1 对应 十进制数 7 6 5 4 3 2 1 0 编号
13
各种表示方法间的互相转换 （总结用） 1. 从真值表写出逻辑函数式 2. 从逻辑式列出真值表 3. 从逻辑式画出逻辑图 4. 从逻辑图写出逻辑式
14
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式
之和 最大项 之积 最小项 最小项之和 之和最大项 最大项之积
一、最小项
1、概念： 在n个变量逻辑函数中，若 m为包含 n个
最小项的性质
在输入变量任意取值下，有且仅有一个最小项的 值为1。 � 全体最小项之和为 1 。 � 任何两个最小项之积为 0 。 � 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因 子，只留下公共因子。 ------ 相邻：仅一个变量不同的最小项 如 A′B C ′与 A′BC
�
A ′B C ′ + A ′BC = A ′B ( C ′ + C ) = A ′B
数字电子技术基础
阎石主编（第五版） 信息科学与工程学院基础部
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 · A=0
11 12 13 14 15 16 17 18 19
A+1=1 A+0=A
A · 1=A
A⋅ A = A A ⋅ A＇ =0
A+ A = A
A + A＇ =1
A• B=B • A
A• (B • C)=(A • B) • C A(B+C)=A • B+A • C
对任何一个逻辑表达式 Y 作对偶变换，可得 Y的对偶 式YD。
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
3
逻辑函数的表示方法小结
：将输入变量所有的取值下对 ⑴逻辑真值表 逻辑真值表：将输入变量所有的取值下对 应的输出值找出来，列成表格。
【 】
内容 回顾
•真值表
输入变量 A B C ···· 列出所有可能的输 入变量的取值组合
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B • C=(A+B)(A+C)
( A + B )＇ = A＇ • B＇
( A • B )＇ = A＇ + B＇ ( A＇ )＇ =A
A ⊙ B = AB + A＇B＇
1＇ = 0;0＇ =1
20 A ⊕ B = AB ＇ + A＇ B1
2.3.2 若干常用公式(P25)
2
2.4 逻辑代数的基本定理
代入定理
【 】
内容 回顾
-----在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，若以另外 ------在任何一个包含变量 一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。