第四次课逻函数的表示方法和最大项最小项

F ( A, B, C ) = M 0 ⋅ M 2 ⋅ M 4 ⋅ M 5 ⋅ M 7 = ( A + B + C )( A + B′ + C )( A′ + B + C )( A′ + B + C ′)( A′ + B′ + C ′)
标准或与型特点：1.式子为和项之积的形式； 2.逻辑函数不一定包含所有的最大 项， 但每一项必须为最大项
在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的 值为0； 全体最大项之积为 0； 任何两个最大项之和为 1； 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相 同变量之和。
( A + B + C) • ( A ′ + B + C) = B + C
26
四、 逻辑函数的标准或与式型－最大项 之积标准型
如
Y ( A, B ) = M 1 ⋅ M 3 = ( A + B′)( A′ + B′)
Y = AC + B′C = ( AC + B′ )( AC + C ) = ( A + B′ )( B ′ + C )C = ( A + B′ + CC ′ )( B′ + C + AA′ )(C + AA′ ) = ( A + B′ + C )( A + B′ + C ′ )( B′ + C + A) • ( B′ + C + A′ )(C + A)(C + A′ ) = M 2 M 3 M 6 ( A + C + BB′ )( A′ + C + BB′ ) = M 2 M 3 M 6 ( A + C + B )( A + C + B′ )( A′ + C + B )( A′ + C + B ′ )
8
【例】已知逻辑函数 Y = A + B ＇ C + A＇ BC ＇ 对应的真值表。 求它 求它对应的真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1
B＇C A＇ BC＇
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
Y 0 1 1 0 1 1 1 1
因子的乘积项，而且这 n个变量均以原 变量或反变量的形式在 m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
最小项 m： � m是乘积项 � 包含 n个因子 � n个变量均以原变量和反变量的形式在 m中出现一次
15
最小项举例：
�
两变量A, B的最小项
A′B ′, A′ B , A B ′, AB （2 2 = 4个 ）
18
二、 逻辑函数的标准与或式型－最小项 之和标准型
如
Y ( A, B, C ) = m0 + m1 + m3 + m5 + m6 = A′B′C ′ + A′B′C + A′BC + AB′C + ABC′
Y ( A, B, C , D) = m0 + m1 + m3 + m7 + m10 + m13 = A′B′C ′D′ + A′B′C ′D + A′B′CD + A′BCD + AB′CD′ + ABC ′D
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各种表示方法间的互相转换（总结用） 1. 从真值表写出逻辑函数式
这种方法一般分为下面三步： ，找出真值表中使逻辑函数 Y=1的输入变 首先 首先，找出真值表中使逻辑函数 量取值组合； ，每组输入变量取值的组合对应一个 乘 其次 其次，每组输入变量取值的组合对应一个 ，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项 ，其中取值为1的写成原变量，取值为0 积项，其中取值为 的写成反变量； ，将这些 乘积项相加 ，即得到Y的逻辑函 最后 最后，将这些 ，将这些乘积项相加 乘积项相加，即得到 数式。
�
三变量A,B,C的最小项
A′B ′C ′, A′B ′C , A′B C ′, A′BC A B ′C ′, AB ′C , AB C ′, ABC （2 3 = 8个 ）
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式， 因此n个变量共有
2 ？
n
个最小项。
16
2、最小项的编号：
编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量 取值组合当成二进制数，与其相应的 十进制数，就是该最小项的编号 17
【 】
内容 回顾
(1)A+ AB= A (2)A+ A＇B = A+ B (3)AB+ AB ＇ =A (4)A( A+ B) = A (5)AB+ A＇C + BC= AB+ A＇C AB+ A＇C + BCD= AB+ A＇C (6)A( AB)＇ = AB ＇ ; A＇ ( AB )＇ = A＇
6
【例】写出下列真值表对应的函数式
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
A＇BC＇
AB＇C
ABC
Y 0 0 1 0 0 1 0 1
Y = A＇BC＇ + AB＇ C + ABC
7
2. 从逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一 代入逻辑式求出函数值，列成表。
标准与或型特点：1.式子为乘积项之和的形式； 2.不一定包含所有的最小项， 但每一 项必须为最小项
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式 —— 标准与或表达式。 而且这种形式是唯一的，就是说一个逻辑函数只有 一种最小项表达式。
19
标准与或式的写法： 在n变量的逻辑函数中，若某一乘积 项由于缺少一个变量不是最小项，则在 这项中添加此变量与这个变量的反变量 之和这一项，使之化为最小项，即利用 公式A＋A′＝1
∑
m (1, 4 , 5 , 6 , 7 )
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三、最大项 在n变量逻辑函数中，若 M 为n个变量之 和，而且这 n个变量均以原变量或反变 量的形式在 M中出现一次，则称 M为该 组变量的最大项。
� � � �
M是相加项； 包含n个项。 n个变量均以原变量和反变量的形式在 M中出现一次。 如：两变量A, B的最大项
A ′ + B ′, A′ + B , A + B ′, A + B （2 2 = 4个 ）
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例如：3变量A、B、C的最大项包括
A＇ + B＇ + C＇、A＇ + B + C＇、 A＇ + B + C、A + B + C等。
？
n 思考： 2 个。 n个变量的最大项有多少个？
24
最大项的编号：
最大项 取值 ABC A′ + B′ + C 1′ 1 1 对应 十进制数 7 6 5 4 3 2 1 0 编号
13
各种表示方法间的互相转换 （总结用） 1. 从真值表写出逻辑函数式 2. 从逻辑式列出真值表 3. 从逻辑式画出逻辑图 4. 从逻辑图写出逻辑式
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2.5.3 逻辑函数的两种标准形式
之和 最大项 之积 最小项 最小项之和 之和最大项 最大项之积
一、最小项
1、概念： 在n个变量逻辑函数中，若 m为包含 n个
最小项的性质
在输入变量任意取值下，有且仅有一个最小项的 值为1。 � 全体最小项之和为 1 。 � 任何两个最小项之积为 0 。 � 两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因 子，只留下公共因子。 ------ 相邻：仅一个变量不同的最小项 如 A′B C ′与 A′BC
�
A ′B C ′ + A ′BC = A ′B ( C ′ + C ) = A ′B
数字电子技术基础
阎石主编（第五版） 信息科学与工程学院基础部
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 · A=0
11 12 13 14 15 16 17 18 19
A+1=1 A+0=A
A · 1=A
A⋅ A = A A ⋅ A＇ =0
A+ A = A
A + A＇ =1
A• B=B • A
A• (B • C)=(A • B) • C A(B+C)=A • B+A • C
对任何一个逻辑表达式 Y 作对偶变换，可得 Y的对偶 式YD。
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
3
逻辑函数的表示方法小结
：将输入变量所有的取值下对 ⑴逻辑真值表 逻辑真值表：将输入变量所有的取值下对 应的输出值找出来，列成表格。
【 】
内容 回顾
•真值表
输入变量 A B C ···· 列出所有可能的输 入变量的取值组合
A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B • C=(A+B)(A+C)
( A + B )＇ = A＇ • B＇
( A • B )＇ = A＇ + B＇ ( A＇ )＇ =A
A ⊙ B = AB + A＇B＇
1＇ = 0;0＇ =1
20 A ⊕ B = AB ＇ + A＇ B1
2.3.2 若干常用公式(P25)
2
2.4 逻辑代数的基本定理
代入定理
【 】
内容 回顾
-----在任何一个包含变量 A的逻辑等式中，若以另外 ------在任何一个包含变量 一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
反演定理
对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的 反函数 Y ′ 。这个规则叫做反演定理 。
对偶定理
( A + B )′
B′ A′
(( A + B )′ + ( A′ + B′)′)′ = ( A + B )( A′ + B′ ) = AB′ + A′B = A⊕ B
(( A + B )′ + ( A′ + B′ )′)′ ( A′ + B′)′
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分析电路 →逻辑图 →逻辑函数式 数字电路 数字电路→ 逻辑图→ →分析逻辑功能。 →真值表 真值表→ 设计电路 →真值表 →逻辑函数式 实际问题 实际问题→ 真值表→ →逻辑图 →设计完成数字电路。 逻辑图→
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【例1】 Y
= AB C ′ + BC = ABC ′ + ( A + A′ ) BC = ABC ′ + ABC + A′ BC = ∑ m(3,6,7)
【例2】 Y = A′ BC + AC + B ′C
= ABC ′ + A( B + B′ )C + ( A + A′ ) B′C = ABC ′ + ABC + AB′C + AB′C + A′B′C
9
3. 从逻辑式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号。 【例】已知逻辑函数为 Y = A ⋅ ( B + C ) 对应的逻辑图。 试画出 试画出对应的逻辑图。 解： 将式中所有的与、或、非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
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4. 从逻辑图写出逻辑式
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。 2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应 的逻辑运算式。
出按时间顺序排列起来画成时间波形。（又 称为时序图） P31图2.5.3
5
四、各种表示方法间的互相转换 1. 从真值表写出逻辑函数式
这种方法一般分为下面三步： ，找出真值表中使逻辑函数 Y=1的输入变 首先 首先，找出真值表中使逻辑函数 量取值组合； ，每组输入变量取值的组合对应一个乘积 其次 其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘积 项，其中取值为1的变量写成原变量形 式，取值为0的变量写成反变量形式； ，将这些乘积项相加，即得到 Y的逻辑函 最后 最后，将这些乘积项相加，即得到 数式。
输出 Y1 Y2 ···· 输出对应的取值
4
：把输出与输入之间的逻辑 ⑵逻辑函数式 逻辑函数式：把输出与输入之间的逻辑 关系写成与，或，非等运算的组合式。
【 】
内容 回顾
：将逻辑函数中各变量之间的与、 ⑶逻辑图 逻辑图：将逻辑函数中各变量之间的与、 或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。
(4)波形图 :将输入变量所有取值可能与对应输
= m 3 + m7 + m 5 + m 5 + m1 =
∑ m(1,3,5,7)
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注意：变量的排列顺序。
例3 、 将逻辑函数Y(A,B,C)＝A＋B ′C写成标准与或式 解：
Y = A + B ′C = A ( B ′ + B )( C ′ + C ) + ( A ′ + A ) B ′C
= A B ′C ′ + A B ′C + AB C ′ + ABC + A ′ B ′C + A B ′C = m 4 + m 5 + m 6 + m 7 + m1 =
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标准或与式的写法： 在n变量的逻辑函数中，若某一和项 由于缺少一个变量不是最大项，则在这项 中加上此变量与这个变量的反变量之积这 一项，即利用公式AA′＝0，然后利用公 式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之化为 最大项
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例4、 将逻辑函数Y（A,B,C）＝AC＋ B ′C写成标准 或与式 解：
M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0
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A′ + B′ + C 1 A′ + B + C1′ A′ + B + C1 A + B′ + C0′ A + B′ + C0 ′ A + B + C0 A + B + C0
1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
最大项的性质
�
� � �