高一数学上学期期中试题24
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
四川省内江市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024级高一上期半期考试数学试题数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共58分)一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）.1 ．已知集合A = {x | -1 < x ≤2}, B = {x | -2 < x ≤1} ，则A U B = ( )A ．{x | -1 < x < 1}B ．{x | -1 < x ≤1}C ．{x | -2 < x < 2}D ．{x | -2 < x ≤2}2 ．函数f的定义域为 ( )D.3 ．已知集合A 满足A ≤{0, 1, 2, 3} ，则满足条件的集合A 的个数为 ( )A ．8B ．10C ．14D ．164 ．已知函数f(x) 满足f(x + 2) = 3x + 4 ，则f (2) =()A ．-2B ．1C ．4D ．75 ．下列命题为真命题的是 ( )A ．若a > b，则a2 > b2B ．若a > b，则ac2 > bc2C ．若a > b ，则D ．若a > b > 0 ，则6 ．已知x>3 ，则对于y = x +下列说法正确的是 ( )A．y 有最大值7 B．y 有最小值7 C．y 有最小值4 D．y 有最大值47 ．设x, y ∈R ，下列说法中错误的是 ()A ．“ x > 1”是“ x2> 1”的充分不必要条件B ．“ x > 1 ，y > 1 ”是“x + y > 2，xy > 1 ”的充要条件C ．“ xy = 0 ”是“ x 2 + y 2 = 0 ”的必要不充分条件D ．“ x 2 ≠ 4”是“x ≠ 2”的充分不必要条件8 ．当x ∈(一1, 1) 时，不等式2kx 2 一 kx 一 恒成立，则k 的取值范围是 ()A ．(一3, 0)B ．[一3, 0)C ．D . 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求）.9 ．已知p ：“ x ∈ R ，x 2一 (a + 1)x + 1 > 0 恒成立”为真命题，下列选项可以作为p 的 充分条件的有 ()A ．一3 < a < 0B ．a ≤ 一3或a ≥ 1C ．0 < a < 1D ．一3 < a < 110 ．下列说法正确的是 ()A ． 1+x . 1x 与y = 1x 2 表示同一个函数B ．已知函数f (x ) 的定义域为[一3, 1] ，则函数f (2x 一1) 的定义域为[一1, 1]C ．函数y = x +的值域为[0, +∞)D ．已知函数满足f = x ，则f = 一11．已知集合{x x 2 + ax +b = 0,a > 0}有且仅有两个子集，则下面正确的是 ()A ．a 2 一 b 2 ≤ 4B .C ．若不等式x 2 + ax 一 b < 0 的解集为(x 1, x 2 ) ，则x 1x 2 > 0D ．若不等式x 2 + ax + b < c 的解集为(x 1, x 2 ) ，且= 4 ，则 c = 4第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）三、填空题（本大共 3 小题 ，每小题 5 分,满分 15 分）.12 ．命题“x > 0, 2x 2 + x +1 > 0”的否定是 .13 ．设函数f (x ) ，g (x )分别由下表给出：x 1 一 x 2x1234f(x)1313g (x)3232则满足f(g(x)) = g(f(x))的x的值为.14．设函数0，若f则实数a的取值范围是.四、解答题（本题共计5 小题，共77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15 ．（13 分）已知函数(1)在如图给定的直角坐标系内画出f (x) 的图象；(2)求不等式f (x) > 1 的解集.16 ．（15 分）已知函数f (x) = x2 一2bx + 3, b ∈R.(1)若函数f (x ) 的图象经过点(4, 3) ，求实数b的值；(2)在（1）的条件下，求不等式f (x) < 0的解集；(3)解关于x 的不等式2x2 + (1一2a) x 一a > 0 .17 ．（15 分）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．2023 年，该种玻璃售价为25 欧元/平方米，销售量为80 万平方米，销售收入为2000 万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1 欧元/平方米，则销售量将减少2 万平方米；要使销售收入不低于2000 万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/ 平方米？(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2024 年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m 欧元/平方米（其中m > 25 ），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n （单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2024 年的销售收入不低于2023 年销售收入与2024 年投入之和？并求出此时的售价.18 ．（17 分）命题p :任意x ∈R, x2 一2mx 一5m > 0 成立；命题q : 3x ∈[0, 4], x2 一2x 一3 + m ≥0 成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p, q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围；19．（17 分）问题：正实数a, b 满足a + b = 1 ，求的最小值．其中一种解法是：+2 ≥3 +2当且仅当且a + b = 1 时，即a = 一1且b = 2 一时取等号．学习上述解法并解决下列问题：(1)若正实数x, y 满足x + y = 1 ，求的最小值；(2)若实数a, b, x, y 满足一试比较a2一b2 和(x 一y )2的大小，并指明等号成立的条件；(3)求代数式3m一5 一一2 的最小值，并求出使得M 最小的m的值.2024级高一上期半期考试数学参考答案单选题1～5:DDDCD 6～8:BBD多选题9:ACD 10:ABD 11:ABD填空题12 ． 3x > 0, 2x 2 + x +1≤ 0 13 ．2 或 4 14 ． (-∞, 解答题15 ．（满分 13 分）解：（1）当-1 ≤ x ≤ 2 时：x- 1012f (x )232- 1当2 < x ≤ 5 时：x25f (x )-12………………………………………………………………………………………………（1 分）图像如下：………………………………………………( 2 ) 令f (x ) > 1 则（6分）1 〔 1)当-1 ≤ x ≤2 时，f (x ) > 13 - x 2> 1，……………………………………………………（7 分）所以x 2 - 2 < 0 ，解得- 2 ≤ x≤ · 2 ，………………………………………………………（8分）所以-1≤ x < ·2 ； …………………………………………………………………………（9 分）当2 < x ≤ 5 时，f (x ) > 1 x - 3 > 1 ，……………………………………………………（10 分）解得x > 4 ，所以4 < x ≤ 5 ；………………………………………………………………（11 分）综上， -1≤ x < ·2 或4 < x ≤ 5 ……………………………………………………………（12 分）所以f (x )> 1 的解集为[-1, ) (4, 5]．…………………………………………………（13 分）16 ．(满分 15 分）解：（1）因为f (x ) = x 2 - 2bx + 3 的图象经过点(4, 3)，所以f (4) = 42 - 8b + 3 = 3 ，则b = 2 ； ……………………………………………………（2 分）（2）由（1）得f (x ) = x 2 - 4x + 3 = (x -1)(x - 3) < 0 ，…………………………………（4 分）解得1 < x < 3 ，………………………………………………………………………………（5 分）所以不等式f (x )< 0 的解集为{x 1 < x < 3 }；………………………………………………（6 分）（3）:2x 2 + (1 - 2a )x - a > 0, : (x - a )(2x +1 )> 0 ，………………………………………（8 分）当a > - 时，不等式的解集为；…………………………………… 当a < - 时，不等式的解集为；…………………………………… 当a = - 时，不等式的解集为 .……………………………………………… 综上所述：当a > - 时，不等式的解集为当a < - 时，不等式的解集为{x ∣x < a 或x > -当a = - 2 时，不等式的解集为{l x x ≠ - 2,} ………………………………………………（15 分）17 ．（满分 15 分）〔-5 < m < 0l m ≥ -5解：（1）设该种玻璃的售价提高到x (x ≥ 25) 欧元/平方米，……………………………（1 分）则有80 - 2(x - 25)x ≥ 2000 ，……………………………………………………………（3 分）解得：25 ≤ x ≤ 40 ，…………………………………………………………………………（4 分）所以该种玻璃的售价最多提高到 40 欧元/平方米. …………………………………………（5 分）（2） 由题mn ≥2000 + 500 + 2m +m 2 -600) ， ………………………………………（7 分）整理得：mn ≥1500 + 2m + m 2 ，…………………………………………………………（8 分）除以m 得：n ≥m + 2 ，………………………………………………………… 由基本不等式得：当且仅当 m ，即m = 30 > 25 时，等号成立，…………………………………（14 分）所以该种玻璃的销售量n 至少达到 102 万平方米时，才可能使2024 年的销售收入不低于2023年销售收入与2024 年投入之和，此时的售价为 30 欧元/平方米.………………………（15 分）18 ．（满分 17 分）解：（1）对于命题p : 对任意x ∈ R ，不等式x 2 - 2mx - 5m > 0恒成立，则有Δ = 4m 2 + 4× 5m = 4m ( m + 5) < 0，……………………………………………………（2 分）解的-5 < m < 0 ；……………………………………………………………………………（3 分）综上，当p 为真时，实数m 的取值范围是{m | -5 < m < 0}………… …………………（4 分）（2）对于命题q : 存在x ∈[0, 4] ，使得不等式x 2 - 2x - 3 + m ≥ 0 成立，只需(x 2 - 2x - 3 + m )max ≥ 0 ，而x 2 - 2x - 3 + m = (x -1)2 + m - 4 ，………………………（6 分）: x = 4, (x 2 - 2x - 3+ m )max = 9 + m - 4 = m + 5 ，: m + 5 ≥ 0 ，则m ≥ -5 ，………………（8 分）所以当命题q 为真时，实数m 的取值范围是m ≥ -5 ，……………………………………（9 分）从而当命题p 为假命题， q 为真命题时，m ≤ -5 或m ≥ 0 且m ≥ -5 ，则m ≥ 0 或m = -5 ；................................（11 分）当命题p 为真命题，q 为假命题时，-5 < m < 0 且m < -5 ，无解；...............（13 分）当命题p 为真命题，q 为真命题时，{ ，则-5 < m < 0 ；……………………（15 分）综上所述：m ≥ -5 .…………………………………………………………………………（16分）此时x , y 也满足 所以当命题p ，q 至少有一个为真命题时，实数m 的取值范围是{m | m ≥ 5}…………（17 分）19 ．（满分 17 分）解：（1）因为x > 0, y > 0 且x + y = 1，所以 ≥ 5 + 2 = 5 + 26 ，………………… 当且仅当 即x = - 2, y = 3 - 时取等号，…………………………………（3 分）y x 所以x + y 的最小值是5 + 2 6 ．……………………………………………………………（4 分），当且仅当 时，所以x 2 + y 2 - ≤ x 2 + y 2 -2 = 且x , y 同号时等号成立，所以a 2 -b 2 ≤ (x - y )2，2 2x a 2 - y b 2 = 1 . …………………………………………………………………（9 分）x = 3m - 5, y = m - 2 ，由 则x 2 - y 2 = (3m -5) -( m - 2) = 2m -3 > 0，………………………………………………（12 分）因为x > 0, y > 0 ，所以x > y ，构造由x 2 - 3y 2 = 1 ，可得M = ·3m - 5 - ·m - 2 = x - y3同正，………………………………………………………（15 分）．……………………………………………………（17分）3又由取等号时 x 2= 3y 2 且x , y 结合x 2 - 3y 2 = 1 ，解得 ，可得m ≥ 2 ，………………………（11 分），………………………………………（13 分）…………………………………（14 分）因此a 2 = 1, b 2 = 所以 时，…………………（16 分），…………………（8 分）等号成立， ……（7 分）( )xy x y xy x y ………（6 分）M 取得最小值≤ + - = -由（2）知当且仅当（3）令，即 2 2x 2=2。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。
泰州中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
泰州中学2024－2025学年度第一学期期中考试高一数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项将合题目要求。
1.已知集合{}2,1,0,5A =--，302B x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.{}0,5 B.{}1,0,5-C.{}5D.{}2,1--2.已知命题:p x ∀∈Q ，x ∈Z 的否定是（ ） A.x ∀∉Q ，x ∉ZB.x ∃∉Q ，x ∈ZC.x ∀∈Q ，x ∉ZD.x ∃∈Q ，x ∉Z3.已知a ，b ，()0,m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈） A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年5.已知0x >，0y >，且11132x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A.5B.6C.7D.86.若函数()f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围为（ ）A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.{}10,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则()()45f f +的值为（ ） A.－1B.0C.1D.28.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122f x f x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.()0,+∞C.()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.9.已知a ，b ，c ∈R ，则下列说法中正确的是（ ） A.22a b ac bc >⇒…B.a bc c>，0c a b <⇒< C.33a b >，110ab a b>⇒< D.22a b >，110ab a b>⇒<10.已知()()2,511,52x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则（ ）A.()()245f f =B.()()256f f =C.()25116f =D.当[)4,5x ∈，()()212x f x +=11.已知函数()()22f x x x a a =+-∈R ，下列说法正确的是（ ） A.当0a =时，()f x 为偶函数B.存在实数a ，使得()f x 为奇函数C.当11a -<<时，()f x 取得最小值2aD.当0a >时，方程()0f x m -=可能有三个实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 的图象如图所示，则()()0ff =________.13.已知25xym ==，是112x y+=，则m 的值为________. 14.()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x x =-+.若()f x 在[)4,b -上有最大值，则实数b 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）2log 3333log 2log 52log 2+-；（2）()()222164121248818x xx x x xx---⎛⎫-+-++++ ⎪+⎝⎭. 16.已知{}2650A x x x =-+…，{}10B x ax =-…. （1）若12a =，求()A B R ð；（2）从①()BA R =R ð：（2）A B A =：（3）()A B ⋂=∅R ð这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若________，求实数a 的取值范围.17.如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =米.（1）要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？ 18.设函数()()212f x ax a x a =+-+-.（1）若关于x 的不等式()2f x -…有实数解，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()2f x -…对实数[]1,1a ∈-时恒成立，求实数x 的取值范围； （3）解关于x 的不等式()1f x a <-，()a ∈R .19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,,,0,010,1p px p q q q q R x x +⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数或或内的无理数.注：如果一个分数的分子和分母的最大公约数是1，这个分数称为既约分数。
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)
一､2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题单选题1. 已知集合A ={1 ，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1 ，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B =I ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2. 函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2,)-+¥B. [2,+∞)C. (,2)-¥D. (,2]-¥【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m=-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -£，解得2m ³-.故选：A.3. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.的C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A，该函数的定义域为{}20x x-££，故A错误；对B，该函数的定义域为{}22M x x=-££，值域为{}02N y y=££，故B正确；对C，当()2,2xÎ-时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；对D，该函数的值域不是为{}02N y y=££，故D错误.故选：B.4. 已知函数()af x x=，则“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a>时，函数()af x x=在()0,¥+上单调递增，则1a>时，一定有()f x在()0,¥+上单调递增；()f x在()0,¥+上单调递增，不一定满足1a>，故“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知0,0x y>>，且121yx+=，则12xy+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故11112224448x y x xy y x y xy æöæö+=++=++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当14,121,xy xy y xì=ïïíï+=ïî即2,14x y =ìïí=ïî时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6. 已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（ ）A. ()(),0x f x f x "Î-+¹R B. ()(),0x f x f x "Î--¹R C. ()()000,0x f x f x $Î-+¹R D. ()()000,0x f x f x $Î--¹R 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x "Î--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R 的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x Û"Î--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x Û$Î--¹R ．故选：D ．7. 若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A. 23- B. 112- C. 16- D. 13-【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8. 奇函数()f x 在(),0-¥上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ）．A. ()()101,∪,-¥- B. ()()11,∪,-¥-+¥C. ()()1001,∪,- D. ()()101,∪,-+¥【答案】C【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0¥-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,¥+上单调递增，f (1)=0.得()()()01,01,f x x È¥>ÞÎ-+；()()()0,10,1f x x ¥È<ÞÎ--.则()()000x xf x f x <ì<Þí>î或()()()01,00,10x x f x È>ìÞÎ-í<î.故选：C二､多选题9. 下列关于集合的说法不正确的有（ ）A. {0}=ÆB. 任何集合都是它自身的真子集C. 若{1,}{2,}a b =（其中,a b ÎR ），则3a b +=D. 集合{}2y y x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10. 已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（ ）A. 该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B. 若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C. 当2m >，且12x ££时，y 的最大值为45m -；D. 当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<ìí=--->î，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ££时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 11. 已知幂函数()()293m f x m x =-的图象过点1,n m æö-ç÷èø，则（ ）A. 23m =-B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-¥【答案】AB【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m æö-ç÷èø，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n æö-ç÷èø，故23m ¹，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n æöç÷èø，则2332n -=，解得3232n -æö=±=ç÷èøA 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ¹，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x -=在(0,)+¥上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13f a f a +>-，所以1310a a a ì+<-ïí+¹ïî，解得1a <且1a ¹-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12. 满足关系{2}{2,4,6}A ÍÍ的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13. 已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y = 即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14. 已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-ÎR ，若[]10,1x "Î，[]20,1x $Î，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-¥【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x Î，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x Î，存在[]20,1x Î，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >Î，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2éö÷êëø递减，在,1,12æùçúèû递增，()2min 18,2g x g a æö==-ç÷èø()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-Î，对称轴4a x =，①04a £即0a £时，()f x 在[0,1]递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a <<即04a <<时，()f x 在0,4a éö÷êëø递减，在,14a æùçúèû递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a æö==-=-ç÷èø，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a ³即4a ³时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a £<，综上(),6a ¥Î-.故答案为：(),6¥-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15. 设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<£+（1）若1a =-，求集合()U P Q I ð；（2）若P Q =ÆI ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q Çð即可；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<£+=-<£；{|3U C Q x x =£-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x Ç=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，即31a a ³+，解得12a ³，此时符合P Q =ÆI ，所以12a ³；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î或3331a a a ³ìí<+î，解之得3a £-.综上所述， a 的取值范围为][1,3,.2¥¥æö--È+ç÷èø16 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++¹满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t £-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ù++++-++=û，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =ìí+=î，所以22a b =ìí=-î，即()222 1.f x x x =-+.【小问2详解】由()()2641f x t x t £-+-+，可得不等式()222440x t x t +++£，即()2220x t x t +++£，所以()()20x x t ++£，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -££-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -££-17. 已知函数()221x f x x-=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,¥+上为增函数；（2）是否存在实数l ，使得当()f x 的定义域为11,m n éùêúëû（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n l l --．若存在．求出l 的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+¥.【解析】分析】（1）设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x l -+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，【则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+æö--=---=-==ç÷èø，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n éùêúëû上单调递增，若存在l 使得()f x 的值域为[]2,2m n l l --，则22112112f m m m f n n n l l ìæö=-=-ç÷ïïèøíæöï=-=-ç÷ïèøî，即221010m m n n l l ì-+=í-+=î，因为0m >，0n >，所以210x x l -+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x l l ì=->ï=>íï+=>î，解得2l >，所以存在()2,l ¥Î+使得()f x 的定义域为11,m n éùêúëû时，值域为[]2,2m n l l --.18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ì+££ï=í<£ï+î其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？的【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î； （2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ££时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <£时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ì´+-££ì-+££ïï==íí-<£´-<£ïï+î+î.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ììæö-+££ï-+££ïç÷ïïèø==íí-<£éùïï-++<£+êúïï+ëûîî,当02x ££时，()f x 在30,10éùêúëû上单调递减，在3,210æùçúèû上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f \==；当25x <£时，16()51030(1)1f x x x éù=-++êú+ëû，16181x x ++³=+Q 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立． max ()510308270f x \=-´=.的因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19. 已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A Î，若i j a a ¹，都有i j a a B Î；②对于任意,m k b b B Î，若m k b b <，都有k mb A b Î.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ³可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B Í，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ³，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B Í.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k Î，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a Î，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a Î，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。
河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案
2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-，{}|114N x x =-<-≤，则M N = （）A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-，【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可．【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-，{}|32N x x =-≤<，所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选：B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+，则3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解得3x <且3x ≠-，所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选：B3.已知p ：223x x +=，q ：2x =，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=，得1x =-或3x =，由2x =，得3x =或0x =，因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立，反之也不成立，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.故选：D4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3xf xg x --+-=，即()()3xf xg x --=，由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由33122x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A5.函数y =）A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥，即(4)(1)0x x --≥，解得4x ≥或1x ≤，令254t x x -=+，则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=，254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增，又y =是增函数，y ∴=在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增.故选：B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件，要使函数是R 上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩，解得：1083a ≤<，故选：D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()41f =，对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当()0,1x ∈时，()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为（）A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <，对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=，∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ，3401x x ∴<<，又当()0,1x ∈时,()0f x <，()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数，令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =，则()()()644163f f f =+=，()()()3126364f x f x f ∴++-≤=，结合()f x 的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上是增函数，又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立，()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦，()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈，∴不等式的解集为(]3,5，故选：B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数x ，使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=，则下列说法不正确的是（）A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ，利用乘“1“法即可判断D ，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ，因为22x y +=，所以22x y =-，因为,x y 为正实数，所以220y ->，解得：0<<y ，2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知3x y +的无最大值，故A 错误；对于B ，22422(22x y x y ++≥⨯=，当且仅当21x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21x y ==时取等号，所以2xy 的最大值为1，故C 错误；对于D ，因为22x y +=，所以2122x y +=，222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=，当且仅当2222y xx y=，即21x y ==时取等，故D 正确.故选：AC .11.给出定义：若()1122m x m m -<≤+∈Z ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（）A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称，D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为：3.13.已知函数()1f x xx=+，计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+，得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++，所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为：2024.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若1x <-，则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时，函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得()12211y x x =+++，再利用基本不等式计算即可得；对③：由23x y xy +=可得12133y x+=，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由11a b a b+=+可得1ab =，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由1x <-，则10x -->，故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--，即2x =-时，等号成立，即11x x ++的最大值为3-，故①错误；对②：()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++，当且仅当0x =时，等号成立，故函数21244x y x x +=++的最大值为14，故②错误；对③：由23x y xy +=，故2121333x y xy y x+=+=，又,x y 为正数，故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当423x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为83，故③正确；对④：若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+由11a b a b +=+，则11a b a b b a ab--=-=，又,a b 为不相等的正实数，故1ab =，则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+，1b =-或1a =-，1b =+时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：110340.064(π)(16)--++；（2）已知()112230a aa -+=>，求值：12222a a a a --++++.【答案】（1）8π5-；（2）949【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值，再对1a a -+平方可得22a a -+的值，代入即可得出答案.【详解】（1）110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-（2）()112230a a a -+=> ，21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ，集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.（1）若2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}07A B x x ⋃=<<，(){}01U A B x x ⋂=<≤ð（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）得到集合B 后，结合并集定义即可得A B ，结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð；（2）由A B B = 可得B A ⊆，分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时，{}17B x x =<<，则{}07A B x x ⋃=<<，{1U B x x =≤ð或}7x ≥，故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，若B =∅，则231a a +≤-，即4a ≤-，若B ≠∅，则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩，无解；综上，当A B B = 时，a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<，求,a b 的值；（2）当2b =时，（i ）若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（ii ）解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩（2）（i ）6a ≤-；（ii ）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，于是得322a b a +=⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2f x x a x a =-++，（i ）函数()f x 的对称轴为22a x +=，因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，则222a +≤-，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-；（ii ）不等式为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >，当2a =时，解得2x ≠，当2a >时，解得2x <或x a >，综上可知，当2a <时，不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞，当2a =时，不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞，，当2a >时，不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞，.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩，所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩；【小问2详解】当020x <≤时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x ≤时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x =．（1）求,a b 的值;（2）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0a b ==（2）(],1-∞（3）()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
安徽省阜阳市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题
安徽省阜阳市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}(){}2,128t A xx B t t =≤=≤≤∈Z ∣∣，则A B = （）A ．[]1,3-B ．{}0,1C ．0,2D ．{}0,1,22．命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+-≤”的否定为（）A ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+->B ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+-≤C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+->D ．[]1,3x ∃∉-，2320x x -+->3．“幂函数()()211m f x m m x -=--在()0,∞+单调递减”是“1m =-”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22a b c c >，则a b >C ．若a b >，则12a b -<-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数e e ex xxy --=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．若实数a ，b ，c 满足236b c a a ==，则下列不等关系中不可能成立的是（）A ．c a b<<B ．b c a<<C ．a c b<<D ．a b c<<7．已知函数()f x 的定义域为()()()R,33,63f x f x f -=+=，且(]12,,3x x ∀∈-∞，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，则不等式()263f x x x +->的解集为（）A ．{|1x x <-或>7B ．{}17x x -<<C ．{|0x x <或}6x >D ．{}06x x <<8．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数()f x =来刻画，满足关于x 的方程()f x b =恰有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x b <<=（其中,(0,)a b ∈+∞），则b 的值为（）A ．8081-B ．169C ．8081D ．20881二、多选题9．已知函数1()13xf x =+，则（）A ．31(log 4)5f =B ．()f x 的值域为(,1)-∞C ．()f x 是R 上的减函数D ．函数()f x 图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知0a >，0b >，3a b +=，则（）A ．ab 的最大值为94BC ．3b b a b++的最小值为4D ．2211a b a b +++的最小值为9511．若()f x 定义域为I ，对任意1x I ∈，存在唯一2x I ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称()f x 在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）A ．1()f x x=是倒数函数B ．1()g x x x=+是倒数函数C ．若21()2x h x x --=+在3,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是倒数函数，则23m =-D ．若存在0m >，使得2()21(R)s x ax x a =+-∈在定义域[0,]m 上是倒数函数，则1a <-三、填空题12．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数()02y x +=-的定义域是.13．函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是.14．若函数=的表达式为()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，且存在最小值，则a 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{}24A x x =-≤≤，{}322mx B x -=<.（1）当1m =时，求A B ⋂，R ()B A ð；（2）当0m >，A B B = 时，求实数m 的取值范围.16．已知函数()()222,f x ax a x a =-++∈R .(1)对任意[]2,3a ∈，函数()10f x a >-恒成立，求实数x 的取值范围；(2)当a ∈R 时，求不等式()0f x ≥的解集.17．某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入x 万元()115x ≤≤，文创作品的销售量可增加m 千个，其中14.4,18,120.8,815,xx m x x x ⎧≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩每千个的销售价格为38m m -万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．(1)求该文旅公司在旅游季增加的利润y 与x （单位：万元）之间的函数关系；(2)当x 为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？18．已知函数21()21x x f x -=+定义域为(1,1)-，函数1()421x x g x m m +=+⋅+-．(1)解不等式(21)(32)0f x f x -+-<；(2)若存在两个不等的实数a ，b 使得()()0f a f b +=，且()()0g a g b +≥，求实数m 的取值范围．19．已知函数()y f x =与()y g x =的定义域均为D ，若对任意的()1212x x D x x ∈≠､都有()()()()1212g x g x f x f x -<-成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”.(1)若()43,()2,R f x x g x x D =+==，判断函数()y g x =是否是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，并说明理由；(2)若2()21,(),[0,)f x x g x D =-=+∞，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L函数”，求实数m 的取值范围；(3)试比较a b +和,R a b a b +∈（）的大小，并证明：若()[],0,2f x x D ==，函数()y g x =是函数()y f x =在D 上的“L 函数”，且()()02g g =，则对任意的()1212x x D x x ∈≠､都有()()121g x g x -<.。
湖北省四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（ ）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（ ）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）A .B .C .D .5下列说法正确的是（ ）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .{}0,2,3,5,7∅{}02210xx -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x=3y x =2y x =3y x=-22acbc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m+<+a b >11a b<a b >x y >ax by>22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥(,3-∞(],6-∞(,3-∞+(],7-∞8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（ ）A .B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷(含解析)
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章～第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年河南省郑州市高一上学期期中数学质量检测试卷.1. 已知(){}(){},3,,1A x y x y B x y x y =+==-=∣∣，则A B = （ ）A. 2,1x y ==B. ()2,1 C.(){}2,1 D. {}2,1【答案】C 【解析】【分析】利用交集定义即可求得A B⋂【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =⎧⎨=⎩则A B =(){}(){},3,1x y x y x y x y +=⋂-=∣∣()(){}3=,=2,11x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭∣故选：C2. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a c b d +>+ B. 若a b >，c d >，则a c b d ->-C. 若a b >，c d >，则ac bd > D. 若ac bc >，则a b>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【详解】对于A ，根据同向不等式具有可加性可知A 正确；对于B ，21a b =>=，24c d =->=-，但45a c b d -=<-=，故B 错误；对于C ，21a b =>=，24c d =->=-，但44ac bd =-==-，故C 错误；对于D ，当0c <时，由ac bc >，得a b <，故D 错误．故选：A ．3. 下列函数中，与函数2y x =+是同一函数的是（ ）A. 22y =+B. 2y =+C. 22x y x=+ D.y =【答案】B 【解析】【分析】通过两个函数三要素的对比可得答案.【详解】2y x =+的定义域为R ．对于A ，22y =+的定义域为[)0,+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，22y x =+=+定义域为R ，与2y x =+的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于D，2,2,22,2x x y x x x +≥-⎧==+=⎨--<-⎩与2y x =+对应关系不同，不是同一函数．故选：B ．4. 已知p ：0a b >> q ：2211a b<，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据0a b >>与2211a b <的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当0a b >>时，220a b >>，所以2211a b<，所以充分性满足，当2211a b<时，取2,1a b =-=，此时0a b >>不满足，所以必要性不满足，所以p 是q 的充分不必要条件，的故选：A.5. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，则()()03f f +等于（ ）A. 3- B. 1- C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据(3)f (3)f =--以及(0)0f =可求出结果.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，所以()()()33321f f =--=--+=．而()00f =，∴()()031f f +=．故选：C ．6. 若0x <，则1x x+（ ）A 有最小值―2B. 有最大值―2C. 有最小值2D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可.【详解】因为0x <，则0x ->，所以1()()2x x -+≥=-，当且仅当1x x -=-即：=1x -时取等号.所以12x x+≤-，当且仅当=1x -时取等号.故选：B.7. 已知函数()f x 的图象由如图所示的两条曲线组成，则（ ）A. ()()35ff -= B. ()f x 是单调增函数.C. ()f x 的定义域是(][],02,3∞-⋃D. ()f x 的值域是[]1,5【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数求值、函数单调性、定义域与值域，可得答案.【详解】对于选项A ，由图象可得()32f -=，所以()()()321ff f -==，A 错误；对于选项B ，()04f =，()21f =，()()02f f >，故()f x 不是单调增函数，B 错误；对于选项C ，由图象可得()f x 的定义域为[][]3,02,3-⋃，C 错误；对于选项D ，由图象可得()f x 的值域为[]1,5，D 正确．故选：D ．8. 若定义域为R 的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是（ ）A. [][)2,02,-⋃+∞ B. ][3,10,1⎡⎤--⋃⎣⎦C. [)[)2,02,-⋃+∞ D. [)(]2,00,2-U 【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，由20)(x f x x≥可得()0xf x ≥且0x ≠可得020x x <⎧⎨-≤<⎩或002x x >⎧⎨<≤⎩解得20x -≤<或02x <≤，所以满足20)(x f x x≥的x 的取值范围是[)(]2,00,2-U ，故选：D .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. y =B. 2y x =C. yD. 1y x=【答案】BC 【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐项分析判断.【详解】对A ：=y =在定义域内为奇函数，又∵y =在R 上单调递增，5u x =在R 上单调递增，则y =在R 上单调递增，A 错误；对B ：∵()22x x -=，则2y x =在定义域内为偶函数，且在()0,∞+内单调递增，B 正确；对C ：y又∵当()0,x ∈+∞，y 在()0,∞+内单调递增，C 正确；对A ：∵11=--x x ，则1y x =在定义域内为奇函数，且1y x=在()0,∞+内单调递减，D 错误；故选：BC.10. 下列关于幂函数y x α=的说法正确的是（ ）A. 幂函数的图象都过点()0,0，()1,1B. 当1,3,1α=-时，幂函数的图象都经过第一、三象限C. 当1,3,1α=-时，幂函数是增函数D. 若0α<，则幂函数的图象不过点()0,0【答案】BD 【解析】【分析】由幂函数的性质逐个判断即可.【详解】对于A ，当0α<时，幂函数的图象不通过点()0,0，A 错误；对于B ，幂指数1,3,1α=-时，幂函数分别为y x =，3y x =，1y x -=，三者皆为奇函数，图象都经过第一、三象限，故B 正确；对于C ，当1α=-时，幂函数1y x -=在(),0∞-，(0,+∞)上皆单调递减，C 错误；对于D ，若0α<，则函数图象不通过点()0,0，D 正确．故选：BD ．11. 下列结论正确的是（ ）A. 函数21x y x+=的最小值是2B. 若0ab >，则2b a a b+≥C. 若x ∈R ，则22122x x +++的最小值为2D. 若0,0a b >>22a b ++≥【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当0x <时，可得0y <，所以A 错误；对于B 中，因0ab >，则2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =时，即a b =时，等号成立，所以B 正确；对于C中，由221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+时，此时方程无解，即等号不成立，所以C 错误；对于D 中，因为0,0a b >>22a b ++≥≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以D 正确.故选BD ．12. 已知函数()f x 的定义域为A ，若对任意x A ∈，存在正数M ，使得()f x M ≤成立，则称函数为()f x 是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）A. 3()4x f x x+=- B. ()f x =C. 25()22f x x x =-+ D. ()f x 【答案】BCD 【解析】【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A ，3(4)77()1444x x f x x x x+--+===-+---，由于704x ≠-，所以()1f x ≠-，所以()[)0,f x ∈+∞，故不存在正数M ，使得()f x M ≤成立.对于B ，令21u x =-，则[]0,1u ∈，()f x =，所以()[]0,1f x ∈，故存在正数1，使得()1f x ≤成立.对于C ，令2222(1)1u x x x =-+=-+，则()5f x u=，易得1u ≥.所以()5051f x <≤=，即()(]0,5∈f x ，故存在正数5，使得()5f x ≤成立.对于D ，令t =[]0,2t ∈，24x t =-，则[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭，易得()1724f x ≤≤，所以()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故存在正数174，使得()174f x ≤成立.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：x ∀∈Q ，x N ∈，则p ⌝为______．【答案】x ∃∈Q ，x ∉N 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】因为p ：x ∀∈Q ，x ∈N ，所以p ⌝为x ∃∈Q ，x ∉N ．故答案为：x ∃∈Q ，x ∉N .14. 函数()1f x x=+的定义域为_____________.【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】由题意列不等式组即可求得.【详解】要使函数()1f x x=有意义，只需10,0,x x -≥⎧⎨≠⎩解得：1x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为()(],00,1-∞⋃.故答案为：()(],00,1-∞⋃15. 已知函数()f x 满足下列3个条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②函数()f x 在()0,∞+上单调递增；③函数()f x 无最值．请写出一个满足题意的函数()f x 的解析式：______．【答案】()21f x x=-（答案不唯一）【解析】【分析】结合函数的对称性、单调性及常见函数即可求解.【详解】由()f x 的图象关于y 轴对称知()f x 为偶函数，()f x 在(0,+∞)上单调递增，()f x 无最值，根据幂函数性质可知满足题意的一个函数为()21f x x=-.故答案为：()21f x x =-（答案不唯一）16. 已知函数()21x f x x=+，则不等式()211f x -<的解集是____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，后利用()()f x f x =可得答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.的又当0x >时，()21x f x x =+2222211x x x+-==-++单调递增.因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),1-∞单调递减，又因为()11f =，所以()211f x -<()()211f x f ⇔-<211121101x x x ⇔-<⇒-<-<⇒<<.故答案为：()0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集U =R ，集合{}2680A x x x =-+=，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭．（1）求()U A B ⋃ð；（2）设集合(){}233,C x x a a x a =+=+∈Z ，若A C 恰有2个子集，求a 的值．【答案】（1）(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x = （2）2或4．【解析】【分析】（1）解方程和不等式求出集合,A B ，再由补集、并集运算即可求解；（2）解方程求出集合C ,再通过a 的讨论即可求解.【小问1详解】2680x x -+=，解得2x =或4，则{}2,4A =；由31x<，解得0x <或3x >，则{0B x x =<或}3x >；所以{}03U B x x =≤≤ð，(){03U A B x x ⋃=≤≤ð或}4x =．【小问2详解】因为A C 恰有2个子集，所以A C 仅有一个元素．()()()23330x a a x x x a +=+⇒--=，当3a =时，{}3C =，A C ⋂=∅，不满足题意；当2a =时，{}2,3C =，{}2A C ⋂=，满足题意；当4a =时，{}4,3C =，{}4A C ⋂=，满足题意．综上，a 的值为2或4．18. 已知函数()1f x x x=+．（1）求证：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 值域．【答案】（1）证明见解析 （2）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法，可得答案；（2）根据（1）的单调性，求得给定区间上的最值，可得答案.【小问1详解】证明：()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，有()()()121221212121212121121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+-+=-+-=-+=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由()12,0,1x x ∀∈，且12x x <，得210x x ->，1210x x -<，120x x >，所以()12211210x x x x x x --⋅<，即()()21f x f x <．所以()f x 在()0,1上单调递减．同理，当()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，有()()()1221211210x x f x f x x x x x --=-⋅>．故()f x 在()1,+∞上单调递增．【小问2详解】由（1）得()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；在[]1,2上单调递增．()12f =，()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()52,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故函数()f x 的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．的19. 设函数()223y ax b x =+-+.（1）若关于x 的不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求4y ≥的解集；（2）若1x =时，2,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值.【答案】（1）{}1（2）9【解析】【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出,a b ，从而解不等式求出解集；（2）先得到1a b +=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】由题知()2230ax b x +-+=的两个根分别是1-，3，则23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩故()2223234y ax b x x x =+-+=-++≥，2210x x -+≤，解得1x =.所求解集为{}1.【小问2详解】1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有1a b +=，那么()1414a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭41459b a a b=+++≥+=，当且仅当41b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.故14a b+的最小值为9.20. 已知集合(){}40A x x x =-≥，{}121B x a x a =+<<-．（1）若x A ∀∈，均有x B ∉，求实数a 的取值范围；（2）若2a >，设p ：x B ∃∈，x A ∉，求证：p 成立的充要条件为23a <<．【答案】（1）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式，解得集合的元素，利用分类讨论思想，可得答案；（2）根据充要条件的定义，利用集合之间的包含关系，可得答案.【小问1详解】(){}(][)40,04,A x x x ∞∞=-≥=-⋃+．因为x A ∀∈，均有x B ∉，所以A B =∅ ．当2a ≤时，B =∅，满足题意；当2a >时，10214a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得512a -≤≤，所以522a <≤．综上，52a ≤，即a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】证明：若p ：x B ∃∈，x A ∉为真命题，则p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题．先求p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为真命题时a 的范围，因为2a >，所以B ≠∅，由p ⌝：x B ∀∈，x A ∈，得B A ⊆．则210a -≤或14a +≥，解得12a ≤或3a ≥，所以3a ≥．因为p ⌝：x B ∀∈，x A ∈为假命题，所以23a <<.综上，若2a >，则p 成立的充要条件为23a <<．21. 某市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数1y （单位：百万元）：12710x y x =+，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x （单位：百万元）的函数2y （单位：百万元）：20.3y x =.设分配给植绿护绿项目的资金为x （单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y （单位：百万元）.（1）将y 表示成关于x 的函数；（2）为使生态收益总和y 最大，对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1）27330(0100)1010x x y x x =-+≤≤+ （2）分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元【解析】【分析】（1）由题意列式化简即可；（2）将原式变形构造成对勾函数，利用对勾函数的性质求最值即可.【小问1详解】若分配给植绿护绿项目的资金为x 百万元，则分配给处理污染项目的资金为()100x -百万元，∴272730.3(100)30(0100)101010x x x y x x x x =+-=-+≤≤++.【小问2详解】由（1）得27(10)2703(1010)2703(10)306010101010x x x y x x +-+-+⎡⎤=-+=-+⎢⎥++⎣⎦6042≤-=（当且仅当2703(10)1010x x +=+，即20x =时取等号），∴分配给植绿护绿项目20百万元，处理污染项目80百万元，生态收益总和y 最大.22. 设函数()()2*1488,,N f x mx m mn x m m n =+-++∈ .（1）若()f x 为偶函数，求n 的值；（2）若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，求m 的最大值.【答案】（1）2. （2）2.【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数可得到14880m mn -+=，变形为714n m=+，结合*,1,N m n m ∈≥，即可确定答案.（2）根据对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，可得22(1488)40m mn m ∆=-+-≥恒成立，结合二次不等式的解法，讨论n 取值，即可确定答案.【小问1详解】根据题意，函数()()2*1488,R,,N f x mx m mn x m x m n =+-++∈∈为偶函数，即满足()()f x f x -=，即()()22()1488()1488m x m mn x m mx m mn x m -+-+-+=+-++，R x ∈，则14880m mn -+=变形可得：714n m =+ ，又由*,1,N m n m ∈≥ ，则 101m<≤ ， 故77111711,44444n m <+≤<≤∴ ，又N n *∈ ，则2n = ；【小问2详解】根据题意，若对*N n ∀∈，关于x 的不等式()0f x ≤有解，由于*,N 0m m ∈>，则22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥恒成立 ，当1n = 时，32(2)(1)0m m ∆=++≥ ，对*N m ∀∈都成立， 当2n =时，32(2)0m ∆=-+≥，解得2m ≤ ，又*N m ∈，则12m ≤≤ ，当3n ≥时，21232n n <-- ，则223m n ≤- 或 12m n ≥-,当 223m n ≤- 时，又由1m ≥，则n 只能取2，不符合题意，舍去，当 12m n ≥- 时，又由1m ≥，从3n =开始讨论:令1()2g n n =-,由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g ≥==-，此时m 的取值范围为[1,2] ；综上所述，m 的最大值为2.。
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题(含解析)
湖南省2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题（本大题共8个小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.已知集合，则A ： B. C. D.2.命题“”的否定为A. B.C. D.3.若幂函数的大致图象如图所示，则A.B.C.2D.14.下列各组函数表示同一函数的是A. B.C. D.5.已知函数，且，则A.2B.7C.25D.446.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为，乙写错了常数，得到的解集为，那么原不等式的解集为A. B.C. D.7.已知，则的取值范围为{22},{1}A x x B x x =-<=-∣∣……A B ⋂={2}xx -∣…{12}x x -<<∣{12}x x -<∣…{22}xx -<∣ (2),210x x x ∀∈++>R 2,210x x x ∃∈++R (2),210x x x ∀∉++R …2,210x x x ∃∉++>R 2,210x x x ∀∈++R …()2342m y m m x =-+m =1312()2025,()f x x g x ==()()f x g x ==22()(1),()21f s sg t t t =+=++216()4,()4x f x x g x x -=+=-(31)64f x x +=-()8f m =m =x 20x bx c ++<b {16}x x <<∣c {14}x x <<∣{16}xx -<<∣{61}xx -<<∣{32}xx -<<-∣{23}xx <<∣31,24a b a b --+…………42a b -A. B. C. D.8.函数的值域为A. B. C. D.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下表是某市公共汽车的票价（单位：元）与里程（单位：km ）之间的函数关系，如果某条线路的总里程为20km ，那么下列说法正确的是2345A. B.若，则C.函数的定义域是 D.函数的值域是10.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是A.的单调递增区间为B.C.若，则D.若，则11.若，且，则下列说法正确的是A.的最大值是 B.ab 的最小值是8C.的最小值是 D.的最小值是32三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.函数的定义域为______．13.已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围为______.14.已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为______.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[7,3]-[7,7]-[4,6]-[4,9]-9,()100,9x x f x x x x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩…37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[10,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦37,[10,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦35,[20,)8⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦y x x 05x <<510x < (1015)x < (1520)x ……()y f x =(6)3f =()3f x =6x =()f x (0,20]()f x {2,3,4,5}R ()f x ,()x f x ∀∈-=R ()f x 12,[0,)x x ∀∈+∞12x x ≠()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦(2)0f -=()f x (,0]-∞(1)(3)f f <-(1)(1)f x f ->(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃0,0a b >>121a b+=a b +3+(1)a b -3+224a b +0()(1)f x x =+-2(3)2(3)40k x k x -+--<x ∈R k [,21]a a -a15.（13分）已知1，b 为方程的两根．（1）求a ，b 的值；（2）求不等式的解集（最终结果用集合的形式表示）.16.（15分）已知集合.（1）当m =1时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）2024年10月29日，小米SU7 Ultra 量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为100台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且.（1）当产能不超过40台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大；（2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？18.（17分）已知函数.（1）判断是否有奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明；（3）若方程在上有解，求的取值范围.19.（17分）对于一个集合，如果，且，记为去掉x ，y 后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合．回答下列问题：（1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；（2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；（3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于5的奇数．2320ax x -+=321axbx +>+(){}2222210,11x A x m x m m B xx -⎧⎫=-+++<=<⎨⎬+⎩⎭()A B ⋂R ðx A ∈x B ∈m x ()S x 22140200,040()36001700,40100x x x S x x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+<⎪⎩ (2)22(),()271x f x g x x mx m x ==-+-+()f x ()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞m A ,x y A ∀∈x y ≠B A x y B +∈||x y B -∈A {2,3}n k 4n …{1,}A tkt n t =∈Z ∣……A A A2024年秋季高一期中联考数学参考答案题号1234567891011答案CAACBDBAACDADBCD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）1.C 【解析】结合数轴易知正确答案是C.2.A 【解析】根据全称量词命题的否定原则，本题答案为A.3.A 【解析】根据幂函数定义可知，，解得或，结合函数图象可知.4.C 【解析】A 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，且对应的函数解析式也不同，故A 错误；B 选项，，故定义域为：，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B 错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C 正确；D 选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D 错误；故选：C.5.B 【解析】由函数，可得，所以函数的解析式为-6，所以，解得.6.D 【解析】甲的常数正确，由韦达定理可知，故，乙的常数正确，故，故．所以原不等式为，即，解集为．7.B 【解析】设，所以解得所以，又，所以，故，故选B.8.A 【解析】根据题意当时，，可得，所以，因此可得，由二次函数性质可得当时，最大值，此时；当时，23421m m -+=13m =1m =13m =()2025f x x =,()||g x x =R [0,)+∞3030x x +⎧⎨-⎩……()f x [3,)+∞290x -…()g x (,3][3,)-∞-⋃+∞R ()f x ,()g x R (,4)(4,)-∞⋃+∞(31)64f x x +=-(31)2(31)6f x x +=+-()f x ()2f x x =()268f m m =-=7m =c 16c ⨯=6c =b 14b +=-5b =-2560x x -+<(2)(3)0x x --<{23}xx <<∣42()()()()a b m a b n a b m n a m n b -=-++=+--4,2,m n m n +=⎧⎨-=⎩3,1,m n =⎧⎨=⎩42a b -3()()a b a b =-++31,24a b a b --+…………93()3a b --……7427a b --……9x …()f x x =+t =[0,)t ∈+∞29x t =-22137()924f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭12t =()f x x =+374()f x x =+37,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9x >，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为20，因此的值域为[20，；综上可得，函数的值域为，故选A.二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 【解析】，选项A 正确；若，则，选项B 错误；函数的定义域为（0，20]，选项C 正确；函数的值域是，选项D 正确．10.AD 【解析】由条件①可知该函数为偶函数，由条件②可知该函数在）上单调递减，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递增，选项A 正确；，因为函数在上单调递减，所以，即，选项B 错误；由，有，即，选项C 错误；，当时，函数在上单调递减，，即时；当时，函数在上单调递增，，即时，所以，选项D 正确.11.BCD 【解析】选项时取等号，即的最小值是，选项A 错误；选项B，由，可得，当时等号成立，，即的最小值是8，B 选项正确；选项C ，法，由A 知的最小值是，法仅当C 正确；选项D ，法，当时取等号成立，而，也是当时取等号成立，即，当时等号成立，故的最小值是32，法2：，选项D 正确.100()20f x x x =+= (100)x x=x 10=100(),9f x x x x =+>100(),9f x x x x=+>)+∞()f x 37,[20,)4⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦(6)3f =()3f x =510x <…{2,3,4,5}[0,+∞(,0]-∞(3)(3)f f -=()f x [0,)+∞(3)(1)f f <(1)(3)f f >-(1)(1)f x f ->|1|1x -<02x <<(2)(2)0f f =-=0x >[0,)+∞()0f x >02x <<()0xf x >0x <(,0]-∞()0f x <2x <-()0xf x >(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃122A,()33a b a b a b a b b a ⎛⎫+=+⋅+=+++⎪⎝⎭…12a b =+=+a b +3+121a b+=2ab a b =+…2a b =0,0,0,ab a b ->> …8,ab ab …1:(1)2a b ab a a b a a b -=-=+-=+a b +3+12:a2(1)21,,0,0,20,(1)(2)33222b b b a a b b a b b b b b b -+=∴=>>∴->∴-==-+++--- …2b =221:422a b a b +⨯⨯…2a b =8ab …2a b =224432a b ab +……2a b =224a b +222224(2)4()4(2)432a b a b ab ab ab ab +=+-=-=--…三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.【解析】且.13.（【解析】当时，成立；当时，，解得，综上可得.14.【解析】由题意可得，且区间中有4个整数，易知任意区间的区间长度为，当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数；当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意；当时，的区间长度大于3，若的区间长度，即，若是整数，则区间中含有4个整数，根据可知，则，此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意；若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数，则必须有且，解得；若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意；若时，的区间长度，此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即，结合，得；综上所述，或或，故答案为：.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由题意得1，b 为方程的两根，且，……………………1分由韦达定理可得，……………………………………………………………………3分(,1)(1,2)-∞⋃20x ->10,(,1)(1,2)x x -≠∴∈-∞⋃1,3]-3k =40-<3k <24(3)16(3)0k k ∆=-+-<(1,3)k ∈-(1,3]k ∈-911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭1a >[,21]a a -[]a b ，b a -14a <<[,21]a a -2113a a a --=-<[,21]a a -4a =[,21][4,7]a a -=4a >[,21]a a -[,21]a a -1(3,4)a -∈45a <<21a -[,21]a a -21(7,9)a -∈218a -=92a =9[,21],82a a ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦21a -[,21]a a -45a <<8219a <-<952a <<5a =[,21][5,9]a a -=5a >[,21]a a -14a ->[,21]a a -2110a -<112a <5a >1152a <<4a =952a <…1152a <<911,55,{4}22⎡⎫⎛⎫⋃⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭2320ax x -+=0a >321,b b a a+==解得；……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得，则，………………9分等价于，解得，…………………………………………………11分故不等式的解集为.………………………………………………………………13分16.【解析】（1）当时，…………………………2分，………………………………………………………………………………5分或………………………………………………………………………………6分或.……………………………………………………………7分（2），…………………9分，…………………………………………………………………………10分是的充分不必要条件，，………………………………………………12分显然，则由解得．………………………………………15分17.【解析】（1）由题意可得当时，，……………………1分设每台的平均利润为，……………5分当且仅当时取等号……………………………………………………………………………6分故当生产10台时，每台的平均利润最大．…………………………………………………………7分（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；……………………………………………………………………………………………………9分当时，，…………………………………………12分当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为……14分故当生产该设备为35（台）时所获利润最大，最大利润为2250（万元）．…………………………15分18.【解析】（1）：由题意可得的定义域为，不关于原点对称，故无奇偶1,2a b ==1,2a b ==33132200212121x x xx x x ++->⇒->⇒>+++(13)(21)0x x -+>1123x -<<1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭1m ={}2320{12}A x x x x x =-+<=<<∣∣{13}B x x =-<< ∣{1A x x =R ∣…ð2}x …(){11A B x x ∴⋂=-<R ∣…ð23}x <…{}22(21)0{[(1)]()0}A x x m x m m x x m x m =-+++<=-+-< ∣∣{1}A x m x m ∴=<<+∣x A ∈ x B ∈A B ∴ÞA ≠∅113m A B m-⎧⇒⎨+⎩，，...Þ...12m -......040x < (2)()2140200S x x x =-+-()100()1402140100S x f x x x x ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭...10x =040x < (2)()2140200S x x x =-+-35x =()S x (35)2250S =40100x <…36003600()1700170017001580S x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭…23600x =60x =()1580S x …22501580>()f x (,1)(1,)-∞-⋃-+∞()f x性，为非奇非偶函数．………………………………………………………………………………………2分（2）在上单调递增，证明如下：任取，且……………………3分则，…………………………………………………5分故……8分所以，，故在上单调递增.………………………………………………9分（3）由方程在上有解，可转化为，在上有解．……………………………………………………………………………………………11分令，则转化为方程在上有解，设，则其图象开口向上，对称轴为，………………………………13分①若，即，所以，所以；…………………………………………………………………………………………15分②若，即，所以，所以；综上所述：的取值范围为．…………………………………………………………………17分19.【解析】（1）1或5（写出一个即给4分），给集合增加一个元素1或5得到集合或，由题意可得或均为梦想集合．…………………………………………………5分（2）不是，……………………………………………………………………………………………………6分证明如下：设，取…………………………………………………7分由于为偶数，则．……………………………………………………………………………8分记为集合去掉元素x ，y 后构成的集合，而，易得，且，…………………………………………………………………………………………10分故不是梦想集合．…………………………………………………………………………………………11分（3）利用反证法：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合，则设，且，……………………………………………………12分因为，设为集合去掉元素后构成的集合，所以只能考虑()f x [0,)+∞12,[0,)x x ∈+∞21,x x >211212120,10,10,0x x x x x x x x ->+>+>++>()()()()()()()()()()222221122112122121212121110.111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==>++++++()()21f x f x >()f x [0,)+∞1()0g g x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭[1,)+∞()222112270x m x m x x ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭[1,)+∞1[2,)t x x=+∈+∞()222280t mt m -+-=[2,)t ∈+∞22()2216h t t mt m =-+-t m =22,(2)442160m h m m =-+- (2)260m m --…11m -+…12m …()222,(2)42160m m m >∆=-- (2)16m …44m -……24m <…m [14]-{2,3}{1,2,3}{2,3,5}{1,2,3}{2,3,5}{,2,3,,}A k k k nk = ,2nx nk y k ==n 2ny k A =∈B A 32x y nk A +=∉32x y nk B +=∉||2nx y k B -=∉A A A A A {}12,,,n a a a = 120n a a a <<<< (1,2,,)n k t a a a t n +>= B A ,n k a a n k a a B -∈这个数均属于，且各不相同，均小于，所以……………………………………………………………………………………13分再考虑与，因为，所以，即，所以只能；………………………………………………………………………………14分又因为这个数均属于，且均小于，所以中与其对应，故……………………………………………………………………………16分即，而去掉后的集合为，且，故矛盾，所以不为梦想集合．……………………………………………………………………………17分【评分细则】第（3）小问若用其他方法证明只要逻辑正确均酌情给分．121,,,n n n n a a a a a a ---- 1n -A n a 112,n n n a a a a a --=-211,,n n n a a a a --=-= 1n a -12n a -5n >215122n aa a -->=11212n n n n a a a a a ---+>+>112n n a a---=12n a A -∈111212,,,n n n n a a a a a a ------- 2n -A 1n a -A {}122,,,n a a a -⋯11n k n k a a a ----=11122n n n a aa ----=A 11,2n n a a --B 112n n a a B ---∉A。
上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。
辽宁省大连市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，，B.{}1,23，C .{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤<B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A. B. C.4 D.58.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M N f x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =12.已知函数221()1x x f x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.14.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.15.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.19.已知函数()22x x m f x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，， B.{}1,23，C.{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，【答案】C【解析】【分析】确定{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}N |40,1,2,3B x x =∈<=，{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，故{}0,1,2,3A B = .故选：C.2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤ B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∀>，2320x x +->”为全称量词命题，其否定为：0x ∃>，2320x x +-≤.故选：B3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A .3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】由(32)f x +的定义域求出32x +，再令2215x <-<，解得即可.【详解】函数(32)f x +的定义域为()0,1，即01x <<，所以2325x <+<，令2215x <-<，解得332x <<，所以函数()21f x -的定义域为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤< B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】因为对x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<.因为[)0,4[]0,4，所以“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件可以是04a ≤≤.故选：B5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x x x ----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x x x x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.【详解】取()21(0)f x x x =->，则()3g x x x =-在()0,∞+不单调；取()1(0)g x x x =+>单调递增，但()11,(0)f x x x=+>单调递减，故“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A.B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由题得到13x x λ<+恒成立，求出min 13x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>，即13x x λ<+恒成立，13x x +≥=13x x =，即33x =时等号成立，故λ<对比选项知A 满足.故选：A8.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-【答案】C【解析】【分析】首先得到()g x 的解析式，再根据()g x 为奇函数求出参数a 的值，即可得到()f x 的解析式，最后代入计算可得.【详解】因为()(0)2a x f x a a x-=≠+，所以()()()()20231202322202123x g x a f a x x -=-+=--++432023204624046202322a x a x a a a x x ++-=+-=+-+-，因为()()120232g x f x =-+是奇函数，所以()()g x g x -=-，即63432240624042a a ax a x =--+-+-，又0a ≠，所以280920a -=，解得4046a =，所以4046()40462x f x x -=+，所以()40462023120234046220234f -==+⨯.故选：C二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==【答案】ACD【解析】【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于B ，因为1x ≥-时，()1f x x =+；1x <-时，()1f x x =--；所以(),()f x g x 表示同一函数；对于C ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于D ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}0x x ≥，所以不是同一函数；故选：ACD.10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质确定a<0且32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故a<0且122122b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即32b a c a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，对选项A ：a<0，正确；对选项B ：302b a =->，错误；对选项C ：0c a =->，正确；对选项D ：3522022a b c a a a a ++=--=->，错误；故选：AC11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N =+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =【答案】AB 【解析】【分析】取M N λ<<，构造函数()()g x f x λ=-，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在()01,2x ∈使得()0f x λ=，再依次判断每个选项得到答案.【详解】函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，故0M N <<，对任意值λ，M N λ<<，考虑()()g x f x λ=-，函数单调递增，则()()110g f M λλ=-=-<，()()220g f N λλ=-=->，故存在()01,2x ∈使得()()000g x f x λ=-=，即()0f x λ=，对选项A ：2M N M N +<<，存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=，正确；对选项B：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =对选项C ：211M NM N <<+，存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+，错误；对选项D：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =故选：AB.12.已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立【答案】AC 【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x+==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1()()f f x x=，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,[,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111()()111()1x x x x f f x x x x x x++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1(()f f x x=，进而得到211x x =为关键.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.【答案】0或15【解析】【分析】依题意可得B A ⊆，分B =∅和{}5B =两种情况讨论.【详解】因为{}{}505A x x =-==，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时{}10B x ax =-==∅，符合题意；当{}5B =，则510a -=，解得15a =，综上可得0a =或15a =.故答案为：0或1514.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(]0,3【解析】【分析】确定函数单调递增，得到0a >且131a +≥+，解得答案.【详解】()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，3y x =+，1x ≥为单调递增函数，故1y ax =+，1x <单调递增，0a >，且131a +≥+，即3a ≤，故03a <≤.故答案为：(]0,315.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】令23t x y =+，则0t >且23t x y -=，即可得到22294t x x=+，再利用基本不等式求出2t 的最小值，即可求出t 的最小值.【详解】因为0x >，0y >，令23t x y =+，则0t >且23t xy -=，因为2(43)3x y x y +=，所以22243333t x t x x x --⎛⎫⋅+⨯= ⎪⎝⎭，所以()()2922t x t x x -+=，即22294t x x -=，所以22294t x x =+，又2229412t x x =+≥=，当且仅当2294x x =，即2x =时取等号，所以t ≥或t ≤-，所以23x y +的最小值为2x =、3y =时取等号.故答案为：16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.【答案】()()3,22,1--⋃--【解析】【分析】构造函数()()2f xg x x=，由题意可以推出函数()()2f xg x x=的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】不妨设120x x <<，则120x x -<，由()()222121210x f x x f x x x -<-，得()()2221120x f x x f x ->，则()()122212f x f x xx>，构造函数()()2f xg x x=，则120x x <<，()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以函数()g x 为偶函数，且函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()2242(2)f x f x x --<+，得()()()()22224224f x f x x x--<--，即()()224g x g x -<-，所以22242040x x x x ⎧->-⎪⎪-≠⎨⎪-≠⎪⎩，解得31x -<<-且2x ≠-，所以不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为()()3,22,1--⋃--.故答案为：()()3,22,1--⋃--.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()2f xg x x=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）14[,0][1,]83- 【解析】【分析】（1）依题意可得{}22320A x x x =--≤，再解一元二次不等式即可；（2）依题意可得220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，即可得到Δ01221()02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，解得即可.【小问1详解】由{}2R 2320A x x x =-->ð，得{}22320A x x x =--≤，由22320x x --≤，得()1202x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得122x -≤≤，故122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，则Δ01221(02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，即2440122104440a a a a a a a ⎧-≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪++≥⎪⎪-+≥⎩，解得108a -≤≤或413a ≤≤，当18a =-时不等式220x ax a -+≤的解集为11,24C ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，符合题意；当43a =时不等式220x ax a -+≤的解集为2,23C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，符合题意；综上，实数a 的取值范围为14[,0][1,83- ．18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.【答案】（1）13a ≥-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式()210ax a x a +++≥有实数解，分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，当a<0时需0∆≥，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，再分1a =、01a <<、1a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，()0f x ≥有实数解，即不等式()210ax a x a +++≥有实数解，当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =符合题意.当0a >时，取0x =，则()210ax a x a a +++=>成立，符合题意.当a<0时，二次函数()21y ax a x a =+-+的图像开口向下，要0y ≥有解，当且仅当()22114013a a a ∆=+-≥⇔-≤≤，所以103a -≤<.综上，实数a 的取值范围是13a ≥-.【小问2详解】不等式()()21110f x a ax a x <-⇔+++<，因为0a >，所以不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，当11a -=-，即1a =时，不等式()()110x x ++<无解；当11-<-a ，即01a <<时，11x a-<<-；当11a ->-，即1a >时，11x a-<<-；综上，当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)a--，当1a =时，原不等式的解集为∅，当1a >时，原不等式的解集为1(1,)a--．19.已知函数()22x x mf x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；（2）设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），依题意只需min ()2h x m >，再分0m ≤、m 1≥、1016m <≤、1116m <<四种情况讨论，求出()h x 的最小值，从而求出m 的取值范围.【小问1详解】()g x 为奇函数，证明如下：因为()22x x m f x x -+=，所以()()2222x x m mx x xg x f x -+=+=+=+，则()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()mg x x g x x-=--=-，所以()g x 为奇函数.【小问2详解】1[,1]4x ∈ 时，不等式()22f x m >-恒成立，2mx m x ∴+>对1[,1]4x ∈恒成立.设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），则只需min ()2h x m >即可.当0m ≤时，则()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以108m -<≤；当0m >时，因为()h x 在单调递减，)+∞单调递增.1≥，即m 1≥时，()h x 在1[,1]4单调递减，所以min ()(1)12h x h m m ==+>，解得1m <，舍去；14≤，即1016m <≤时，()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以此时1016m <≤；③当114<<，即1116m <<时，min ()2h x h m ==，解得01m <<，所以此时1116m <<；综上，实数m 的取值范围为1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入数据得到2240x mx m -+-<，根据不等式与方程的关系确定3m =，代入计算得到答案.（2）题目转化为min max ()()f x g x >，根据单调性计算()min f x m =，根据二次函数性质考虑322m ≤和322m >两种情况，计算最值得到答案.【小问1详解】()212m g x <+，即()22223122m m g x x mx m =-++-<+，整理得到2240x mx m -+-<，不等式2240x mx m -+-<的解集为()1,a ，故1x =为方程2240x mx m -+-=的根，即1240m m -+-=，解得3m =，故2320x x -+<，解得12x <<，则2a =.【小问2详解】对[]10,1x ∀∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x >恒成立，只需min max ()()f x g x >.()f x x m =+在[]0,1上单调递增，因此()()min 0f x f m ==；()22232m g x x mx m =-++-的对称轴为02m x =.当322m ≤，即3m ≤时，2max ()(2)12m g x g ==+，故212m m >+，即2220m m -+<，无解，舍；当322m >，即3m >时，2max ()(1)22m g x g m ==+-，故222m m m >+-，解得22m -<<，舍.综上所述：不存在实数m 符合题意.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.【答案】（1）3b =（2）①()g x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；②10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据偶函数确定2a =且230b b b -+--=，解得答案.（2）任取12,x x 满足1211x x -<<<，计算()()12g x g x <得到函数单调递增，变换()()21g t g t <-，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.【小问1详解】()2(2)4f x x a x =--+在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，故2a =，230b b b -+--=，即()()310b b -+=，解得3b =或1b =-，由区间定义可知23b b b -<--，即23b >，1b =-不满足，所以3b =.【小问2详解】①函数()g x 在()1,1-上单调递增；证明如下：()222x g x x =+，()1,1x ∈-，任取12,x x 满足1211x x -<<<，()()()()()()122112122222121212222211x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++，由于1211x x -<<<，故121x x <，210x x ->，于是()()()()()()122112*********x x x x g x g x x x ---=<++，则()()12g x g x <，则()g x 在()1,1-上单调递增.②函数()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，()()222x g x g x x --==-+，则()g x 为奇函数，由(1)(2)0g t g t -+<，即()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则12111121t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<，所以实数t 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.【答案】（1）是，证明见解析（2）[]1,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数3y x =-，进行判定，即可求解；（2）若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆，由()22f x x x =-+，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间[],I a b =，记{()|}S f x x I =∈，根据单调性得到()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，转化为()f a a <或()f b b >，得出()f x 一定存在“美好区间”，记()()g x f x x =-，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，即可求解.【小问1详解】函数3y x =-，当[1,2]x ∈时，可得[]1,2y ∈，所以区间[]1,2是函数3y x =-的一个“美好区间”.【小问2详解】记[]0,I m =，{()|}S f x x I =∈，可得()[]000,f m =∈，故若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆；由()()22211f x x x x =-+=--+，当01m <<时，()f x 在[]0,m 上单调递增，且()()2210f m m m m m m m -=-+-=-->，即()f m m >，所以()0,S f m =⎡⎤⎣⎦不包含于[]0,I m =，不合题意；当12m ≤≤时，()()[][]0,10,10,S f f m I ==⊆=⎡⎤⎣⎦，符合题意；当m>2时，()()()220f m f f <==，所以()f m I ∉，不合题意；综上可知，12m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,2.【小问3详解】对于任意区间[](),I a b a b =<，记{()|}S f x x I =∈，由已知得()f x 在I 上单调递减，故()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，因为()()f a f b b a ->-，即S 的长度大于I 的长度，故不满足性质①，所以若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，这只需S I =∅ ，即只需()f a a <或()f b b >，由()f x x =显然不恒成立，所以存在常数c 使得()f c c ≠.如()f c c <，取a c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；如()f c c >，取b c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；综上，函数()f x 一定存在“美好区间”；记()()g x f x x =-，则()g x 图象连续不断，下证明()g x 有零点：因为()f x 在R 上是减函数，所以()g x 在R 上是减函数，记()0f t =；若0=t ，则00x =是()g x 的零点，若0t >，则()()0f t f t <=，即()00g >，()0g t <，由零点存在性定理，可知存在()00,x t ∈，使得()00g x =，若0t <，则()()0f t f t >=，即()0g t >，()00g <，由零点存在性定理，可知存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，综上，()g x 有零点0x ，即()00f x x =，因为()f x 的所有“美好区间”I 都满足性质②，故0x I ∉.（否则()00f x x I =∈，与性质②不符），即0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”，证毕.【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.。
四川省成都市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
成都市2024-2025学年上学期半期考试高一年级数学试题（答案在最后）考试时间120分钟满分150分一､单选题1.已知集合A ={1，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B = ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2.函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.[2,)-+∞B.[2,+∞)C.(,2)-∞ D.(,2]-∞【答案】A 【解析】【分析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-.故选：A.3.若函数的定义域为{}22M x x =-≤≤，值域为{}02N y y =≤≤，则函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A ，该函数的定义域为{}20x x -≤≤，故A 错误；对B ，该函数的定义域为{}22M x x =-≤≤，值域为{}02N y y =≤≤，故B 正确；对C ，当()2,2x ∈-时，每一个x 值都有两个y 值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C 错误；对D ，该函数的值域不是为{}02N y y =≤≤，故D 错误.故选：B.4.已知函数()af x x =，则“1a >”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，函数()af x x =在()0,∞+上单调递增，则1a >时，一定有()f x 在()0,∞+上单调递增；()f x 在()0,∞+上单调递增，不一定满足1a >，故“1a >”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故111122244428x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14,121,xy xyy x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6.已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（）A.()(),0x f x f x ∀∈-+≠RB.()(),0x f x f x ∀∈--≠RC.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠RD.()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x ∀∈--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x ⇔∀∈--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x ⇔∃∈--≠R ．故选：D ．7.若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（）A.23-B.112-C.16-D.13-【答案】D 【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x 的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8.奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（）．A.()()101,∪,-∞-B.()()11,∪,-∞-+∞C.()()1001,∪,- D.()()101,∪,-+∞【答案】C 【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0∞-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,∞+上单调递增，1=0.得()()()01,01,f x x ⋃∞>⇒∈-+；()()()0,10,1f x x ∞⋃<⇒∈--.则()()000x xf x f x <⎧<⇒⎨>⎩或()()()01,00,10x x f x ⋃>⎧⇒∈-⎨<⎩.故选：C二､多选题9.下列关于集合的说法不正确的有（）A.{0}=∅B.任何集合都是它自身的真子集C.若{1,}{2,}a b =（其中,a b ∈R ），则3a b +=D.集合{}2yy x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10.已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B.若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C.当2m >，且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；D.当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD 【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<⎧⎨=--->⎩，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02mx m =-<-，故函数在12x ≤≤时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD11.已知幂函数()()293mf x m x =-的图象过点1,n m ⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.23m =-B.()f x 为偶函数C.364n =D.不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-∞【答案】AB 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293mf x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故23m ≠，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2332n -=，解得3232629n -⎛⎫=±=±⎪⎝⎭，故A 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x-=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13fa f a +>-，所以1310a a a ⎧+<-⎪⎨+≠⎪⎩，解得1a <且1a ≠-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12.满足关系{2}{2,4,6}A ⊆⊆的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13.已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y =即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14.已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-∈R ，若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-∞【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x ∈，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >∈，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭递减，在,1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，()2min 18,2g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-∈，对称轴4a x =，①04a≤即0a ≤时，()f x 在0,1递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a<<即04a <<时，()f x 在0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭递减，在,14a ⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a≥即4a ≥时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a ≤<，综上(),6a ∞∈-.故答案为：(),6∞-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15.设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<≤+（1）若1a =-，求集合()U P Q ð；（2）若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q ⋂ð即可；（2）分Q =∅和Q ≠∅两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<≤+=-<≤；{|3U C Q x x =≤-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x ⋂=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =∅和Q ≠∅两种情形进行讨论：当Q =∅时，即31a a ≥+，解得12a ≥，此时符合P Q =∅ ，所以12a ≥；当Q ≠∅时，因为P Q =∅ ，所以1231a a a +≤-⎧⎨<+⎩或3331a a a ≥⎧⎨<+⎩，解之得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围为][1,3,.2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭16.已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t ≤-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ⎤++++-++=⎦，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =⎧⎨+=⎩，所以22a b =⎧⎨=-⎩，即()222 1.f x x x =-+【小问2详解】由()()2641f x t x t ≤-+-+，可得不等式()222440x t x t +++≤，即()2220x t x t +++≤，所以()()20x x t ++≤，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -≤≤-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -≤≤-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -≤≤-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -≤≤-17.已知函数()221x f x x -=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（2）是否存在实数λ，使得当()f x 的定义域为11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n λλ--．若存在．求出λ的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+∞.【解析】【分析】（1）设()12,0,x x ∞∈+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x λ-+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ∞∈+，且12x x <，则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+⎛⎫--=---=-== ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在0,+∞上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，若存在λ使得()f x 的值域为[]2,2m n λλ--，则22112112f m m m f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩，因为0m >，0n >，所以210x x λ-+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x λλ⎧=->⎪=>⎨⎪+=>⎩，解得2λ>，所以存在()2,λ∞∈+使得()f x 的定义域为11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，值域为[]2,2m n λλ--.18.习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩；（2）当投入的肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ≤≤时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <≤时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-<≤⨯-<≤⎪⎪+⎩+⎩.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎧⎛⎫-+≤≤⎪-+≤≤⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎩,当02x ≤≤时，()f x 在30,10⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,210⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f ∴==；当25x <≤时，16()51030(1)1f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，16181x x ++≥=+ 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立．max ()510308270f x ∴=-⨯=.因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19.已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有k mb A b ∈.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ≥可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ≥，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k ∈，而7411a a k >，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。
江西省部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
分不必要条件，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (2,3)
B． (2,6)
C．[2, +¥)
D．(2, +¥)
6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、
环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 N 满足关系
试卷第11 页，共33 页
N
=
1000v 0.4v2 + 0.6v
13．若关于 x 的不等式 mx2 - x + m ³ 0 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围为 .
14．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，若 "x1 ， x2 Î(0, +¥ )( x1 ¹ x2 ) ，不等式
( ) x2
f
( x1 ) - x1
x1 - x2
f
( x2
)
>
0
试卷第41 页，共33 页
(2)求
1 a
+
2 b
的最小值.
19．已知二次函数 f ( x) 的最小值为 0，且 f (-1) = 1， f (2) = 4 .
(1)求 f ( x) 的解析式；
(2)若函数 f ( x) 为偶函数，函数 g ( x) = a x -1 .
x （i）关于 的方程
f
( x) -1
h(x) =
对 D：
3x - a
=
ì ïï
3x
-
a,
x
³
a 3
í ïïî-3x
+
a,
x
<
a 3
，故
h
(
x
)的单调递增区间为源自é êëa 3,
2024-2025学年北京市东城区高一上学期期中考试数学检测试题
2024-2025学年北京市东城区高一上学期期中考试数学检测试题说明：本试卷分Ⅰ卷和II 卷，I 卷18道题，共100分；II 卷7道题，共50分．Ⅰ卷、II 卷共25题，合计150分，考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．Ⅰ卷（共18道题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.已知集合且，集合，集合，则{M x x A=∈}x B ∉{}3,4,5,6,7A ={}2,4,6,8B =（ ）M =A .B.C.D.{}4,5,6{}5,6,7{}2,8{}3,5,72. 设有下面四个命题，其中真命题为（）A .B.2,10x x ∃∈+<R ,0x x x ∀∈+>R C.D.,x x ∀∈∈Z N2,230x x x ∃∈-+=R 3. 设集合，，若函数是定义域为M ，值域为N{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤()f x 的单调函数，则的图象可能是（ ）()f xA. B. C. D.4. 函数的零点所在的区间是（ ）()324f x x x =+-A.B.C.D.()1,0-()1,2()0,1()2,35. 已知，，若，则（ ）,a b R c ∈a b >A. B. C. D. 22ac bc>22a b>33a b>>6. 已知函数是上的偶函数，若，则（ ）()2y xf x =+R ()32f -=()3f =A. B. C. 1D. 22-1-7. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）211a x a +>-[]1,2x ∈A .B. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,1-C.D.()(),21,-∞-+∞ (),1-∞8. 张老师锻炼时离家距离S 与行走时间t 之间的函数图象如图所示，若在四个选项中用黑点•表示张老师家的位置，则张老师行走的路线可能是（）A.B.C.D.9. 已知，则“”是“”的（ ）()33f x x x=-120x x +=()()120f x f x +=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 已知二次函数，对任意的，都有，()2f x ax bx c=++x ∈R ()()20242024f x f x >则（ ）A.有两个正零点 B.有一正一负两个零点()f x ()f xC.有两个负零点 D.无零点()f x ()f x 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数的定义域为______．()f x =12. 设函数，则______．()()231,4,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩()3f =13.设，是关于的方程的实数根，则实数a 的取值范围是______，1x 2x x 240x x a --=的最大值为______．()()1211x x --14. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，．若在R 上具有()f x 0x >()f x x a=-+()f x 单调性，则a 的取值范围是______．15.已知，函数．a ∈R 24,()43,x x a f x x x x a -≥⎧=⎨-+<⎩（1）当时，不等式的解集是______3a =()0f x <（2）若函数恰有2个零点，则a 的取值范围是______()f x 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知集合，．{}12A x x =-<{}22650B x xax a =-+<（1）若，求；1a =A B （2）若，求a 的取值范围．A B B = 17. 已知的定义域为，且满足，．()24bx cf x x +=+[]22-,()()0f x f x +-=()11f =（1）求的解析式；()f x （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明．()f x []22-,18. 设函数，其中．()222f x x tx =-+t ∈R（1）对于任意，都有，求t 的值；x ∈R ()()2f x f ≥（2）若存在，使得关于x 的方程有4个不同的实数根，直接写出t 的范m ∈R ()f x m=围：（3）若对于任意，都有，求实数t 的取值范围．[]12,0,4x x ∈()()128f x f x -≤Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数，则（ ）2R ,(),,x x Qf x x x Q ⎧∈=⎨∈⎩ðA. 是偶函数()f x B.的值域为R()f x C. 对于任意正有理数a ，有奇数个零点()()g x f x a=-D.在上是增函数()f x [)0,+∞20. 司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（ ）A. 甲更低 B. 乙更低C. 甲和乙一样高D. 不能判断谁更高21. 若集合表示的图形中，两点间最大距离()2,|,01,1222x x x y y t x t x ⎧⎫⎛⎫=+-≤≤≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为d ，面积为S ，则（ ）A. ，B.d =74S<d =74S <C. ，D.d =74S >d =74S >二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）22.关于的方程有两个不相等的实数根，，且x ()()22900ax a x a a +++=<1x 2x，则a 的取值范围是______．121x x <<23. 设，，若恒成立，则实数0a >(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或()()1f x f x -<的取值范围是______.a 24.小明和小强做一个数学游戏，规则如下：首先由小明和小强各出一个实数和，满足a b ，然后由裁判对和分别进行两种数学运算：1ab ≠a b （1）乘法运算：；a b ab ⨯=（2）“*”运算：．1a b a b ab +*=-若，则判定小强获胜；若，则判定小明获胜．a b a b ⨯=*a b a b ⨯≠*现有下面三个结论：①若小明和小强都出正数，则小明不可能获胜；②若小明和小强都出负数，则小强有可能获胜：③若小明出负数，则小强总能出一个正数使自己获胜；其中正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共1小题，共14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）25. 如图，A 是n 行n 列的数表，用（）表示位于第i 行第j2n ≥n ∈N ij a,1,2,,i j n = 列的数，且满足，{}0,1ij a ∈111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭给定，若数表A 满足，则称A 具有性质2p ≥1122,1,i j i j in jn p i ja a a a a a i j =⎧++⋅⋅⋅+=⎨≠⎩．(),T n p （1）直接写出数表，是否具有性质；1110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2001101011A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭()3,2T（2）判断是否存在具有性质的数表A ，并加以证明；()5,T p （3）若数表A 具有性质，求n （用p 表示）．(),T n p。
河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题
河南省南阳市六校2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题【分析】分别求出f(x )值域为[]2,18时的定义域，从而可求解.【详解】由函数()()2223122f x x x x =-+=-+³，所以当x =1时，f(x )有最小值()12f =，当()18f x =时，即22318x x -+=，解得3x =-或5x =，又因为[)3,1x Î-时，f(x )单调递减，(]1,5x Î时，f(x )单调递增，所以n 的最大值为5，m 的最小值为3-，所以n m -的最大值为538+=.故选：D.8．B【分析】根据函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，则()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，然后对x 分情况讨论，从而可求解.【详解】由函数f(x )为偶函数且在(],0-¥上单调递减，且()10f =，所以()()110f f =-=，且f(x )在()0,+¥上单调递增，当1x £-时，12x -£-，则()10f x ->，所以()10xf x -<；当10x -<£时，211x -£-£-，则()10f x -³，所以()10xf x -£；当01x <<时，110x -<-<，则()10f x -<，所以()10xf x -<；当12x ££时，011x £-£，则()10f x -£，所以()10xf x -£；当x >2时，11x ->，则()10f x ->，所以()10xf x ->.。
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山东省淄博市淄川第一中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题
一.选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2
－4＝0}，则A ∩B ＝( )
A ．{－2}
B ．{2}
C ．{－2,2}
D ．∅ 2．下列函数中与函数y ＝x 表示同一函数的是( )
A ．y ＝(x )2
B ．y ＝
x
a a
log C ．y ＝3
x 3
D ．y ＝x 2
x
3．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )
A ．[0，53
)
B ．[0，53
] C ．[1，53
)
D ．[1，53
]
4．已知f(x)＝ax 7
－bx 5
＋cx 3
＋2，且f(－5)＝m ，则f(5)＋f(－5)的值为( )
A ．4
B ．0
C ．2m
D ．－m ＋4
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，x ≥0x 2
，x ＜0
，则f (f (－2))的值是( )
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8 6．函数y ＝lo g a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(－2，1)
D ．(－1，1)
7．若a>1，则函数y ＝a x
与y ＝(1－a)x 2
的图象可能是下列四个选项中的( )
8．幂函数y ＝x m
，y ＝x n
，y ＝x p
的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A ．m ＞n ＞p
B ．m ＞p ＞n
C ．n ＞p ＞m
D ．p ＞n ＞m
9．函数f(x)＝2
x －1
＋x －5的零点所在区间为( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )
A ．每个110元
B ．每个105元
C ．每个100元
D ．每个95元
二.填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分,答案须填在答题卡题中横线上.
11．函数f(x)＝a x －1
＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．
12.
log 34
log 98
＝________. 13．若函数f (x )＝(m －2)x 2
＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________． 14．对于函数f (x )＝ln x 的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③
0)
()(2
121>--x x x f x f
上述结论中正确结论的序号是______．
15．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过______分钟，该病毒占据64 MB 内存(1 MB ＝210
KB)． 三．解答题：本大题共5小题,共60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本小题满分12分)已知全集U ＝{x ∈Z |－2＜x ＜5}， 集合A ＝{－1,0,1,2}，集合B ＝{1,2,3,4}； (1)求A ∩B ，A ∪B ；
(2)求(∁U A )∩B ，A ∪(∁U B )． 17. (1)计算：(－3)0
－12
0＋(－2)－2
－14
16
-
;
(2)计算：log 49－log 212＋5lg
2
10
-.
(3)计算27 23 －2log 23×log 21
8＋log 23×log 34；
18. (本小题满分12分)已知f (x )＝
1
x －1
，x ∈[2,6]． (1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 2x ＋1
x －1
； (1)求f (x )的定义域和值域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．
20．(本小题满分12分)某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y (件)与销售单价x (元/件)近似满足一次函数y ＝kx ＋b 的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S 元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
2016级高一第一学期学分认定考试数学答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.D
7.C
8.C
9.C 10.D
11. (1,4) 12 .4
3
13.(－∞，0] 14. ②③
15. 45
16.解：(1)∵集合A ＝{－1,0,1,2}，集合B ＝{1,2,3,4}， ∴A ∩B ＝{1,2}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}；
(6分)
(2)∵全集U ＝{x ∈Z |－2＜x ＜5}＝{－1,0,1,2,3,4}， 集合A ＝{－1,0,1,2}，集合B ＝{1,2,3,4}， ∴∁U A ＝{3,4}，∁U B ＝{－1,0}
∴(∁U A )∩B ＝{3,4}，A ∪(∁U B )＝{－1,0,1,2}．
18. (1)原式＝1－0＋
1
－2
2
－()
144
2
-＝1＋14
－2－1
＝1＋14－12＝34
.
(2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg
5
10
＝log 23－log 23－2＋25＝－8
5
.
(3) 原式=27 23 －2 log 23×log 21
8＋log 23×log 34＝9－3×(－3)＋2＝20.
19.(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1
＝
x 2－x 1
x 1－1x 2－1
，
因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以f (x )是定义域上的减函数．
(2)解：由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15
，
f (x )max ＝f (2)＝1.
解：(1)由题可得
x ＋1
x －1
>0，解得x <－1，或x >1， (2分) 所以定义域为()－∞，－1∪(1，＋∞)．
(4分)
设u ＝
x ＋1x －1＝1＋2
x －1
，
u∈(0,1)∪(1，＋∞)，(6分)
∴f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (8分) (2)f (x )的定义域关于原点对称，
(9分)
且f (x )＋f (－x )＝log 2x ＋1x －1＋log 2－x ＋1
－x －1
＝log 2
x ＋1x －1＋log 2x －1
x ＋1
＝log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x －1·x －1x ＋1＝log 2
1＝0，
∴f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
(12分)
20.解：(1)由图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，得⎩⎪⎨
⎪⎧
400＝k ×600＋b
300＝k ×700＋b ，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝－1
b ＝1 000，
所以y ＝－x ＋1 000(500≤x ≤800)．
(2)由(1)可知S ＝xy －500y ＝(－x ＋1 000)(x －500) ＝－x 2
＋1 500x －500 000
＝－(x －750)2
＋62 500(500≤x ≤800)， 故当x ＝750时，S max ＝62 500.
即销售单件为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元．
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