湖南省长沙市数学高三理数一模试卷

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2020届长郡中学高三第3次月考试卷-理数答案

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2024年湖南省长沙市中考数学试题(解析版)

2024年长沙市初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A 中图形轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，故选：B ．2. 我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（）A. 81.2910×B. 812.910×C. 91.2910×D. 712910×【答案】C 是【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为91.2910×，故选：C ．3. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是180−℃、最高温度是150℃，则它能够耐受的温差是（）A. 180−℃B. 150℃C. 30℃D. 330℃【答案】D【解析】【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可．【详解】解：能够耐受的温差是()150180330−−=℃，故答案为：D ．4. 下列计算正确的是（）A. 642x x x ÷=B.C. 325()x x =D. 222()x y x y +=+【答案】A【解析】【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．【详解】解：A 、 642x x x ÷=，计算正确；BC 、326()x x =，原计算错误；D 、222()2x y x xy y +=++，原计算错误；故选A ．5. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（）A. 9.2B. 9.4C. 9.5D. 9.6【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可．【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位数为：9.4，故选B ．6. 在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为（）A. ()1,5B. ()5,5C. ()3,3D. ()3,7【答案】D【解析】【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，将点()3,5P 向上平移2个单位长度后得到点P ′的坐标为()3,52+，即()3,7，故选：D ． 7. 对于一次函数21y x =−，下列结论正确的是（） A. 它的图象与y 轴交于点()0,1−B. y 随x 的增大而减小C. 当12x >时，0y <D. 它的图象经过第一、二、三象限【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：A.当0x =时，1y =−，即一次函数21y x =−的图象与y 轴交于点()0,1−，说法正确； B.一次函数21y x =−图象y 随x 增大而增大，原说法错误； C.当12x >时，0y >，原说法错误； D.一次函数21y x =−图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故选A ．的的8. 如图，在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°，AD BC ∥．则1∠的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得70C ∠=°，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在ABC 中，60BAC ∠=°，50B ∠=°， ∴18070C BAC B ∠∠−∠−=°=°,∵AD BC ∥，∴170C ∠∠==°．故选：C ．9. 如图，在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，则O 的半径长为（）A. 4B.C. 5D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离4OE =，∴OE AB ⊥，142AE AB ==，在Rt AOE △中，OA，故选：B ．10. 如图，在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，DE ，过点A 作AF DE ⊥于点P ．设DE x =，AF y =，则y 与x 之间的函数解析式为（不考虑自变量x 的取值范围）（）A. 9y x =B. 12y x =C. 18y x =D. 36y x= 【答案】C【解析】【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x 、y 的关系式是解答的关键．过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，根据菱形的性质和平行线的性质得到6CD AD AB ===，ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°，进而利用含30度角的直角三角形的性质132DH CD ==，证明AFD DHE ∽得到AF AD DH DE=，然后代值整理即可求解．【详解】解：如图，过D 作DH BC ⊥，交BC 延长线于H ，则90DHE ∠=°，∵在菱形ABCD 中，6AB =，30B ∠=°，∴AB CD ∥，AD BC ∥，6CD AD AB ===，∴ADF DEH ∠=∠，30DCH B ∠=∠=°，在Rt CDH △中，132DH CD ==， ∵AF DE ⊥， ∴90AFD DHE ∠=∠=°，又ADF DEH ∠=∠，∴AFD DHE ∽， ∴AF AD DH DE=， ∵DE x =，AF y =，∴63yx =，∴18yx =，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【解析】【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵3.610.815.8<<，∴甲种秧苗长势更整齐，故答案为：甲．12. 某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．【答案】15##0.2【解析】【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．利用概率公式直接进行计算．【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为21 2355=++，故答案为：15．13. 要使分式619x−有意义，则x需满足的条件是______．【答案】19x≠【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵分式619x −有意义， ∴190x −≠，解得19x ≠，故答案为：19x ≠．14. 半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为______（结果保留π）．【答案】4π【解析】【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式2π360n r S =（n 为圆心角的度数，r 为半径）求解即可．【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为290π44π360×=，故答案为：4π．15. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AC BC ，的中点，连接DE ．若12DE =，则AB 的长为______．【答案】24【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是ABC 的中点，∴221224AB DE ==×=，故答案为：24．16. 为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．【答案】2009【解析】【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意列二元一次方程，整理得1001109x a =+，根据a 的取值得到x 的9种可能，结合实际即可求解．【详解】解：设这位参与者的出生年份是x ，从九个数字中任取一个数字为a ，根据题意，得()10 4.6101978915a x +×+−=，整理，得100461978915a x ++−=∴1001109x a =+， ∵a 是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，∴x 的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，∴x 只能是2009，故答案为：2009．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第2425题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：()011()π 6.84−−°−．【答案】3【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．【详解】解：原式41=+3=．18. 先化简，再求值：()()()2233m m m m m −−++−，其中52m =．【答案】49m −；1【解析】【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：()()()2233m m m m m −−++−22229m m m m =−++−49m =−．当52m =时，原式54910912=×−=−=．19. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，AB =2AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 和N ，作直线MN 分别交AB BC ，于点D ，E ，连接CD AE ，．（1）求CD 的长；（2）求ACE 的周长．【答案】（1（2）6【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）由题意得MN 是线段AB 的垂直平分线，故点D 是斜边AB 的中点．据此即可求解；（2）根据EA EB =、ACE 的周长AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+即可求解；【小问1详解】解：由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，∴在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点．∴1122CD AB ==×．【小问2详解】解：在Rt ABC △中，4BC =．∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴EA EB =．∴ACE 的周长246AC CE EA AC CE EB AC BC =++=++=+=+=．20. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m 54% 混动 n %a氢燃料 3%b 油车 5 %c请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中=a ______，b =______；（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）见解析（3）108°（4）3600人【解析】【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b ，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a ；（2）先求得n ，进而可补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．【小问1详解】解：本次调查活动随机抽取人数为510%50÷=（人）， %350100%6%b =÷×=，则6b =，%154%6%10%30%a =−−−=，则30a =，故答案为：50；30，6；【小问2详解】解：∵5030%15n =×=，∴补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：扇形统计图中“混动”36030%108°×=°；【小问4详解】解：()400054%30%6%3600×++=（人）．答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．21. 如图，点C 在线段AD 上，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．（1）求证：ABC ADE △≌△；（2）若60BAC ∠=°，求ACE ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）60ACE ∠=°【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明ACE △是等边三角形是解答的关键．（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据全等三角形的性质得到AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，再证明ACE △是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【小问1详解】证明：在ABC 与ADE 中，AB AD B D BC DE = ∠=∠ =，所以()SAS ABC ADE ≌；【小问2详解】解：因为ABC ADE △≌△，60BAC ∠=°，所以AC AE =，60CAE BAC ∠=∠=°，所以ACE △是等边三角形．所以60ACE ∠=°．22. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A 、B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元．（1）求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件？【答案】（1）A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元（2）最多能购买100件A 种湘绣作品【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元，根据“购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件，总费用=单价×数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【小问1详解】设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元．根据题意，得2700231200x y x y += +=，解得300,200x y = = ．答：A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元．【小问2详解】设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a −件．根据题意，得()30020020050000a a +−≤，解得100a ≤．答：最多能购买100件A 种湘绣作品．23. 如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，90ABC ∠=°．（1）求证：AC BD =；（2）点E 在BC 边上，满足CEO COE ∠=∠．若6AB =，8BC =，求CE 的长及tan CEO ∠的值．【答案】（1）见解析（2）5CE =，tan 3CEO ∠=【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．（1）直接根据矩形的判定证明即可；（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得10AC =，OB OC =．进而可得152CO AC ==，再根据等腰三角形的判定得到5CE CO ==，过点O 作OF BC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得4CF =，1EF =，3OF =，然后利用正切定义求解即可．【小问1详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，且90ABC ∠=°，所以四边形ABCD 是矩形．所以AC BD =；【小问2详解】解：在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，所以10AC =，因为四边形ABCD 是矩形，所以152CO AC ==，OB OC =．因为CEO COE ∠=∠，所以5CE CO ==．过点O 作OF BC ⊥于点F ，则142==CF BC ，所以541EF CE CF =−=−=，在Rt COF △中，3OF，所以tan 3OF CEO EF∠==． 24. 对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有=R ．（）（2）如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，四条边长满足：AB CD BC AD +≠+．①该四边形ABCD 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，连接EF ．求证：EF 是O 的直径．（3）已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ．①如图2．连接EG FH ，交于点P ．求证：EG FH ⊥．②如图3，连接OA OB OC ，，，，若2OA =，6OB =，3OC =，求内切圆O 的半径r 及OD 的长．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型单圆；②见解析（3）r =OD = 【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③；（2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明 EBF EDF=即可证得结论；（3）①连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，根据四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出180A EOH ∠+∠=°，180FOG C ∠+∠=°，180A C∠+∠=°，进而可得EOH C ∠=∠，180FOG EOH∠+∠=°，然后利用圆周角定理可推导出90HPG ∠=°，即可证得结论；②连接OE 、OF 、OG 、OH ，根据已知条件证明OAH COG ∠=∠，进而证明AOH OCG ∽得到32CG r =，再利用勾股定理求得r =，BE =BEO OHD ∽求解OD 即可．【小问1详解】解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；②∵内角不等于90°的菱形的对角不互补，∴该菱形无外接圆，∵菱形的四条边都相等，∴该菱形的对边之和相等，∴该菱形有内切圆，∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，则OM r =，ON R =，OM MN ⊥，45ONM ∠=°，∴Rt OMN △为等腰直角三角形，∴ON =，即=R ；故③正确，故答案为：①×；②√；③√；【小问2详解】解：①∵四边形ABCD 中，AB CD BC AD +≠+，∴四边形ABCD 无内切圆，又该四边形有外接圆，∴该四边形ABCD 是“外接型单圆”四边形，故答案为：外接型单圆；的②∵BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，∴BAE DAE ∠=∠，BCF DCF ∠=∠， ∴ BEDE =， BF DF =， ∴ BEBF DE DF +=+， ∴ EBF EDF=，即 EBF 和 EDF 均为半圆， ∴EF 是O 的直径．【小问3详解】①证明：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH 、HG ，∵O 是四边形ABCD 的内切圆，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，∴90OEA OHA ∠=∠=°，在四边形AEOH 中，3609090180A ∠+∠°−°−°=°，同理可证，180FOG C ∠+∠=°，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，∴该四边形有外接圆，则180A C ∠+∠=°，∴EOH C ∠=∠，则180FOG EOH∠+∠=°， ∵12FHG FOG ∠=∠，12EGH EOH ∠=∠， ∴()1902FHG EGH FOG EOH ∠+∠=∠+∠=°， ∴()18090HPGFHG EGH ∠=°−∠+∠=°， ∴EG FH ⊥；②如图，连接OE 、OF 、OG 、OH ，∵四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ，∴∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，OH AD ⊥，OE OF OG OH ===，∴180EAH FCG ∠+∠=°，OAH OAE ∠=∠，OCG OCF ∠=∠， ∴90OAH OCG ∠+∠=°，∵90COG OCG ∠+∠=°，∴OAH COG ∠=∠，又90AHO OGC ∠=∠=°，∴AOH OCG ∽， ∴OA OH OC CG=， ∵2OA =，3OC =， ∴23r CG =，则32CG r =，在Rt OGC △中，由222OG CG OC +=得222332r r +=，解得r = 在Rt OBE 中，6OB =，∴BE 同理可证BEO OHD ∽， ∴BE OB OH OD=，6OD=，∴OD =【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战．25. 已知四个不同的点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y 都在关于x 的函数2y ax bx c ++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象上．（1）当A ，B 两点的坐标分别为()1,4−−，()3,4时，求代数式3202410127a b ++的值；（2）当A ，B 两点的坐标满足212122()40a y y a y y +++=时，请你判断此函数图象与x 轴的公共点的个数，并说明理由；（3）当0a >时，该函数图象与x 轴交于E ，F 两点，且A ，B ，C ，D 四点的坐标满足：222121222()0a y y a y y ++++=，222343422()0a y y a y y −+++=．请问是否存在实数(1)m m >，使得AB ，CD ，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3？若存在，求出m 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m EF ⋅表示一条长度等于EP 的m 倍的线段）．【答案】（1）3320241012202477a b ++= （2）此函数图象与x 轴的公共点个数为两个，理由见解析（3）存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =此时该函数的最小值为2a −【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x 轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键.（1）将A B 、代入得到关于a 、b 的关系式，再整体代入求解即可;（2）解方程212122()40a y y a y y +++=求解，再根据a 的正负分类讨论即可；（3）由内角之比可得出这是一个3060°°、的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可.【小问1详解】将()1,4A −−，()3,4B 代入2y ax bx c ++得4934a b c a b c −+=− ++=①②， ②-①得848a b +=，即22a b +=．所以333202*********(2)2024777a ba b ++=++=．【小问2详解】此函数图象与x 轴的公共点个数为两个．方法1：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=．可得12a y =−或22a y =−．当0a >时，<02a −，此抛物线开口向上，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的下方，此时该函数图象与x 轴有两个公共点；当0a <时，>02a −，此抛物线开口下，而A ，B 两点之中至少有一个点在x 轴的上方，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，此函数图象与x 轴必有两个公共点．方法2：由212122()40a y y a y y +++=，得12(2)(2)0a y a y ++=．可得12a y =−或22a y =−．所以抛物线上存在纵坐标为2a −的点，即一元二次方程22a ax bx c ++=−有解．所以该方程根的判别式24()02ab ac ∆=−+≥，即2242b ac a −≥．因为0a ≠，所以240b ac −>．所以原函数图象与x 轴必有两个公共点．方法3：由()21212240a y y a y y +++=，可得12a y =−或22a y =−．当12a y =−时，有2112a ax bx c ++=−，即2112a ax bx c ++=−，所以2222211144()2(2)02ab ac b a ax bx a ax b ∆=−=+++=++>．此时该函数图象与x 轴有两个公共点．当22a y =−时，同理可得0∆>，此时该函数图象与x 轴也有两个公共点．综上所述，该函数图象与x 轴必有两个公共点．【小问3详解】因为0a >，所以该函数图象开口向上．由222121222()0a y y a y y ++++=，得()()22120a y a y +++=，可得12y y a ==−．由222343422()0a y y a y y −+++=，得2234()()0a y a y −+−=，可得34y y a ==．所以直线AB CD ，均与x 轴平行．由（2）可知该函数图象与x 轴必有两个公共点，设()5,0E x ，()6,0F x ．由图象可知244ac b a a−−>，即2244b ac a −>．所以2ax bx c a ++=−的两根为1x ，2x，可得12AB x x =−= 同理2ax bx c a ++=的两根为3x ，4x，可得34CD x x =−= 同理20ax bx c ++=的两根为5x ，6x，可得56m EF m x x m ⋅=⋅−= 由于1m >，结合图象与计算可得AB EF m EF <<⋅，<AB CD ．若存在实数()1m m >，使得AB CD ，，m EF ⋅这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB 不可能是该直角三角形的斜边．①当以线段CD 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为m EF AB ⋅>，所以必须同时满足：222()AB m EF CD +⋅=，m EF ⋅．将上述各式代入化简可得2222288244a a m b ac a =<=−，且22223(44)4b ac a m b ac −−=−，联立解之得222043a b ac −=，22286245a m b ac ==<−，解得1m =>符合要求．所以m =，此时该函数最小值为2220453443a acb a a a −−==−． ②当以线段m EF ⋅为斜边时，必有222()AB CD m EF +=⋅，同理代入化简可得的2222(4)(4)b ac m b ac −−，解得m =为斜边，且有一个内角为60°，而CD AB >，所以tan 60CD AB =⋅°，化简得222484b ac a a −=>符合要求．所以m =2824a a a −==−．综上所述，存在两个m 的值符合题意；当m =时，此时该函数的最小值为53a −；当m =2a −．。

2023年湖南省长沙市中考数学试卷(含答案)163742

2023年湖南省长沙市中考数学试卷试卷考试总分：120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1. 下列各数中，为无理数的是 A. B. C. D.2. 下列四个图案是四届冬奥会会徽图案上的一部分，其中为轴对称图形的是 A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（）A.＝B.＝C.＝D.＝4. 下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，5. 年某市固定资产总投资计划为亿元，将亿用科学记数法表示为（）()()+m 4m 3m 7(m 4)3m 7m(m−1)−mm 22÷m 5m 3m 22242344243372020268026805. 年某市固定资产总投资计划为亿元，将亿用科学记数法表示为（）A.B.C.D.6. 如图，直线，且，，则的度数为( )A.B.C.D.7. 在演讲比赛中，位选手的成绩统计图如图所示，则这位选手成绩的众数是( )A.B. C.D.8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.9. 下列关于一次函数的说法，其中正确的是（）2020268026802.68×10112.68×10122.68×10132.68×1014AB//CD AC ⊥AD ∠ACD =58∘∠BAD 29∘42∘32∘58∘101080859095−2x+5≥3,<x−12x 3y =−2x+1A.图象经过第一、二、三象限B.图象经过点C.当时，D.随的增大而增大10. 育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的名同学（男女）组成了“关爱老人”志愿小分队.若从该小分队中任选名同学参加周末的志愿活动，则恰好是男女的概率是( )A.B.C.D.二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）11. 因式分解：＝________．12. 一组数据的平均数为________.13. 如图，四边形中，，点是对角线上一点，是等边三角形，，则的度数为 ________.14. 如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为________．15. 如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是_________．16. 已知线段，则经过，两点的最小的圆的半径为________．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 8 分，共计72分）(−2,1)x >1y <0y x 3122111323123425−20xy+4x 2y 2−2，−1，5，1，2，1ABCD ∠ABC =，BC =BD 50∘E BD △AED AE =BE ∠ADC y =(x >0)k x A AB ⊥x B OA =2S △AOB k ⊙O CD AB ∠C =25∘∠BOD AB =6cm A B sin ⋅++|1−|−217. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，＝． 19. 年月日时分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站、建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了坚实基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪测量天和核心舱的高度．如图所示，核心舱架设在米的稳固支架上，他们先在水平地面点处测得天和核心舱最高点的仰角为，然后沿水平方向前进米，到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为米．求天和核心舱的高度．（结果精确到米，参考数据：，，， 20. 月日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍．为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间（单位：分钟），把读书时间分为四组：，，，. 部分数据信息如下：．组和组的所有数据：．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上信息，回答下列问题：被调查的学生共有________人，并补全频数分布直方图；在扇形统计图中，组所对应的扇形圆心角是________：若该校八年级共有名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数．21. 如图，，，，，垂足分别为，．如图，猜想，，之间的数量关系，并证明；如图，若，，当点在内部时，则的长为________．（直接用含，的式子表示）.22. 某学校为奖励学生分两次购买，两种品牌的圆珠笔，两次的购买情况如下表：第一次第二次2sin ⋅++|1−|60∘(π−2)0()13−23–√(a −b +a(2b −3a))2a =−12b 4202142911231B A 22∘MN 24C A 45∘MB 1.60.1sin ≈0.3722∘cos ≈0.9322∘tan ≈0.4022∘≈1.41)2–√423x A(30≤x <60)B(60≤x <90)C(90≤x <120)D(120≤x <150)a B C 859060701107565781008090809590b (1)(2)C ∘(3)40090∠ACB =90∘AC =BC AD ⊥CE BE ⊥CE D E (1)1BE DE AD (2)2AD =m DE =n D △ABC BE m n A B品牌圆珠笔支品牌圆珠笔支总计采购款元问，两种品牌圆珠笔的购买单价各是多少元？由于奖励人数增加，学校决定第三次购买，且购买品牌圆珠笔支数比品牌圆珠笔支数的倍多支，在采购总价不超过元的情况下，最多能购进多少支品牌圆珠笔？23. 如图，在中，，点在边上，且若直线经过点，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点，用无刻度的直尺画出点连接，，判断四边形的形状，并说明理由．24. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点．（1）求的长；（2）试探究、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过点、，过点作轴的平行线交抛物线于另一点．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点是第一象限中上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作轴于点，交于点，在点运动的过程中，的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图，连接，在轴上取一点，使和相似，请求出符合要求的点坐标．A /2030B /3040/102144(1)A B (2)B A 1.55213A 加ABCD AD =6E AD AE =2(1)1E F F;(2)AF CE AFCE ⊙O AB 10cm AC 6cm ∠ACB ⊙O D AD CA CB CD OD P ADB P PE ⊥OD E △OPE M P B A M y =−+bx+c 12x 2A(1,3)B(0,1)A x C 1M BC MH ⊥BC H ME ⊥x E BC F M △MFH 2AB y P △ABP △ABC P参考答案与试题解析2023年湖南省长沙市中考数学试卷试卷一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】无理数的识别【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．【解答】解：、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；、属于无理数，故此选项符合题意．故选：．2.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：只有沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，其它三个不是轴对称图形.故选.3.【答案】C【考点】整式的混合运算【解析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】A =28–√32B =24–√2c 14D 10−−√D D D (4)313−m 22÷5322＝，故选项错误（1）＝，故选项正确（2）＝，故选项错误（3）故选：．4.【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】亿＝＝．6.【答案】C【考点】平行线的性质垂线【解析】先根据平行线的性质得出的度数，再由得出，进而可得出结论．【解答】解：直线，，.，，.故选．7.【答案】C(m 4)3m 13B m(m−1)−m m 2C 2÷m 5m 32m 2D C a ×10n 1≤|a |<10n n a n ≥10n <1n 2680268000000000 2.68×1011∠BAC AC ⊥AD ∠CAD =90∘∵AB//CD ∠ACD =58∘∴∠BAC =−∠ACD =−=180∘180∘58∘122∘∵AC ⊥AD ∴∠CAD =90∘∴∠BAD =∠BAC −∠CAD =−=122∘90∘32∘C折线统计图【解析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案．【解答】解：根据统计图可得：分的人数有个，人数最多，则众数是．故选．8.【答案】B【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为.【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为.故选.9.【答案】C【考点】一次函数的性质【解析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：、∵函数中，，，∴该函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；、时，，故本选项错误；、∵函数中，，则随的增大而减小，直线与轴的交点为，∴当时，，故本选项正确；、∵函数中，，，∴当值增大时，函数值减小，故本选项错误；故选．10.90590C −2x+5≥3①<②x−12x 3x ≤1x <3x ≤1 −2x+5≥3①,<②,x−12x 3x ≤1x <3x ≤1B A y =−2x+1k =−2<0b =1>0B x =−2y =−2×(−2)+1=5C y =−2x+1k =−2<0y x x (,0)12x >1y <0D y =−2x+3k =−2<0b =1>0x y C列表法与树状图法概率公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据列举法可得：（男，女1）（男，女2）（女1，女2）一共有种情况，恰好是一男一女的有种情况，所以，（恰好是一男一女）故选．二、填空题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）11.【答案】【考点】因式分解-运用公式法【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】原式＝．12.【答案】【考点】算术平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，这组数据的平均数为：.故答案为：.13.32P =.23B (5x−2y)2(5x−2y)21=1−2−1+5+1+2+161等边三角形的性质等腰三角形的性质三角形的外角性质三角形内角和定理【解析】由等边三角形的性质可得，再由等边对等角可得，利用三角形的外角性质可得的度数，再结合，可得的度数，利用，可得的度数，进而得到答案.【解答】解：是等边三角形，.，.，，.，.，，.故答案为：.14.【答案】【考点】反比例函数系数k 的几何意义【解析】根据＝利用反比例函数系数的几何意义即可求出值，再根据函数在第一象限有图象即可确定的符号，此题得解．【解答】解：∵轴于点，且，∴，∴.∵反比例函数在经过第一象限，∴．故答案为：15.【答案】【考点】∠AED =∠ADE =60∘∠BAE =∠ABE ∠ABE ∠ABC =50∘∠CBD BC =BD ∠CDB ∵△AED ∴∠AED =∠ADE =60∘∵AE =BE ∴∠BAE =∠ABE ∵∠AED =∠ABE+∠BAE ∴2∠ABE =60∘∴∠ABE =30∘∵∠ABC =50∘∴∠CBD =∠ABC −∠ABE =−=50∘30∘20∘∵BC =BD ∴∠C =∠BDC ===−∠CBD 180∘2−180∘20∘280∘∴∠ADC =∠ADE+∠BDC =+=60∘80∘140∘140∘4S △AOB 2k k k AB ⊥x B =2S △AOB =|k |=2S △AOB 12k =±4k =4 4.50∘圆周角定理垂径定理【解析】由垂径定理和“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，得到答案．【解答】解：∵在中，直径垂直于弦，∴，∴．故答案为．16.【答案】【考点】圆的有关概念【解析】经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可．【解答】解：每个圆周上点就可以有一个内部交点，所以当这些交点不重合的时候，圆内交点最多，所以，本题等价于将个点个分组共有多少组，显然应该是：．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 8 分，共计72分）17.【答案】解：原式.【考点】特殊角的三角函数值负整数指数幂零指数幂实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：原式.18.【答案】∠DOB =2∠C ⊙O CD AB =ADˆBD ˆ∠DOB =2∠C =50∘50∘3cmAB AB 464=156×5×4×34×3×2×1=2×−1×9+−1=2+73–√23–√3–√=2×−1×9+−1=2+73–√23–√3–√−2ab ++2ab −3222−2+22原式＝＝，当，＝时，原式＝．【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．【解答】原式＝＝，当，＝时，原式＝．19.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点．由题意知，四边形和四边形均为矩形．设．在中，，∴，在中，，，∵，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴ .答：天和核心舱的高度为.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点．由题意知，四边形和四边形均为矩形．设．−2ab ++2ab −3a 2b 2a 2−2+a 2b 2a =−12b 4−2×+16=14312a b −2ab ++2ab −3a 2b 2a 2−2+a 2b 2a =−12b 4−2×+16=14312A AF ⊥MN F BC E MBCN NCEF AE =xm Rt △AEC ∠AEC =90∘CE =AE =x Rt △ABE ∠AEB =90∘∠ABE =22∘tan =22∘AE BE BE =≈=x AE tan22∘x 0.4052BE−CE =BC x−x =2452x =16EF =BM =1.6AF =AE+EF =16+1.6=17.617.6−1=16.616.6m A AF ⊥MN F BC E MBCN NCEF AE =xm在中，，∴，在中，，，∵，∴，∵，∴，解得，∵，∴，∴ .答：天和核心舱的高度为.20.【答案】解：被调查的学生共有（人）.故答案为：.由数据信息可得，组有人，则组有人.补全频数分布直方图如图所示.（人）.答：八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的约有人．【考点】频数（率）分布直方图扇形统计图用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：被调查的学生共有（人）.故答案为：.由数据信息可得，组有人，则组有人.补全频数分布直方图如图所示.Rt △AEC ∠AEC =90∘CE =AE =x Rt △ABE ∠AEB =90∘∠ABE =22∘tan =22∘AE BE BE =≈=x AE tan22∘x 0.4052BE−CE =BC x−x =2452x =16EF =BM =1.6AF =AE+EF =16+1.6=17.617.6−1=16.616.6m (1)4÷20%=2020B 8D 2108(3)400×=1606+22090160(1)4÷20%=2020B 8D 2组所对应的扇形圆心角是.故答案为：.（人）.答：八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的约有人．21.【答案】解：．证明：∵，∴．∵，，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，即．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】无无【解答】解：．证明：∵，∴．∵，，∴，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴，即．同理可证，∴，，∴，∴．故答案为：．(2)C ×=620360∘108∘108(3)400×=1606+22090160(1)BE =DE+AD ∠ACB =90∘∠ACD+∠BCD =90∘AD ⊥CE BE ⊥CE ∠D =∠BEC =90∘∠CBE+∠BCD =90∘∠ACD =∠CBE △ACD △CBE ∠ACD =∠CBE,∠D =∠BEC,AC =BC,△ACD ≅△CBE(AAS)CE =AD BE =CD CD =CE+DE =AD+DEBE =DE+AD m−n(1)BE =DE+AD ∠ACB =90∘∠ACD+∠BCD =90∘AD ⊥CE BE ⊥CE ∠D =∠BEC =90∘∠CBE+∠BCD =90∘∠ACD =∠CBE △ACD △CBE ∠ACD =∠CBE,∠D =∠BEC,AC =BC,△ACD ≅△CBE(AAS)CE =AD BE =CD CD =CE+DE =AD+DE BE =DE+AD (2)△ACD ≅△CBE CE =AD BE =CD CE =CD+DE =BE+DE BE =AD−DE =m−n m−n22.【答案】解：设品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货单价是元，根据题意可得解得答：品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货价是元．设购进品牌圆珠笔支，购进品牌圆珠笔支，则，解得．经检验，不等式的解符合题意．答：最多能购进支品牌圆珠笔．【考点】二元一次方程组的应用——其他问题一元一次不等式的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货单价是元，根据题意可得解得答：品牌圆珠笔的进货单价是元，品牌圆珠笔的进货价是元．设购进品牌圆珠笔支，购进品牌圆珠笔支，则，解得．经检验，不等式的解符合题意．答：最多能购进支品牌圆珠笔．23.【答案】【考点】平行四边形的性质勾股定理列表法与树状图法反比例函数综合题二次函数的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答24.【答案】(1)A x B y {20x+30y =102,30x+40y =144,{x =2.4,y =1.8.A 2.4B 1.8(2)A n B (1.5n+5)2.4n+1.8(1.5n+5)≤213n ≤4040A (1)A x B y {20x+30y =102,30x+40y =144,{x =2.4,y =1.8.A 2.4B 1.8(2)A n B (1.5n+5)2.4n+1.8(1.5n+5)≤213n ≤4040A∵是的直径，∴＝＝，∵的平分线交于，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝＝＝；＝．证明如下：延长到，使＝，∵＝，＝，∴＝，在和中，，∴，∴＝，＝，∴＝＝，为等腰直角三角形，∴＝＝．连接，，∵，∴＝，∵点为的内心，∴＝，在和中，，∴，∴＝＝，∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）：设弧所在圆的圆心为，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴的长为＝，∴点的路径长为．【考点】圆的综合题【解析】AB ⊙O ∠ACB ∠ADB 90∘∠ACB ⊙O D ∠ACD ∠BCD 45∘AD BD A +B D 2D 2AB 4AD BD AB CA+CB CD CA F AF CB ∠CBD+∠CAD 180∘∠FAD+∠CAD 180∘∠CBD ∠FAD △ADF △BDC △ADF ≅△BDC(SAS)CD FD ∠CDB ∠FDA ∠CDF ∠ADB 90∘△CDF CA+CB CF CD OM PM PE ⊥OD ∠PEO 90∘M △OPE ∠OMP 135∘△OMD △OMP △OMD ≅△OMP(SAS)∠OMD ∠OMP 135∘M OD 135∘OD OMD O ′∠OMD 135∘∠OO D ′90∘O O ′OD πM π此题暂无解析【解答】此题暂无解答25.【答案】将，，代入，，解得，，∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，设直线的解析式为＝，则有，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴＝，∵于点，轴，∴＝，＝，∴＝，∴在和中，，∴，∴＝，∴，，∴的周长＝，当＝时，的周长最大，最大值为，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．∴＝．当＝时，，∵，，＝，∴，∴．当＝时，，A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2 −+b +c =312c =1 b =52c =1y =−+x+112x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1 k =12m=1BC y =x+112M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C ====tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√5a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC–√∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将，，代入抛物线，即可得出答案；（2）延长交轴于点，由点可求得，由＝，设，求得，则，由勾股定理得，，所以的周长可用表示，最后利用二次函数的性质解决问题；（3）由，为公共角，可得．从而＝．分当＝时，当＝时两种情况讨论即可得出答案．【解答】将，，代入，，解得，，∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，设直线的解析式为＝，则有，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴＝，∵于点，轴，∴＝，＝，∴＝，∴在和中，，∴，∴＝，∴，，∴的周长＝，=PB 25–√5–√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2CA y D C(4,3)=BD CD 12tan ∠C tan ∠M ==FH MH 12M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF =−+2a 12a 2FH =MF,MH =MF 5–√525–√5△MFH MF ==AD BD BD CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC 2∘∠PAB ∠BAC A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c12x 2 −+b +c =312c =1 b =52c =1y =−+x+112x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1 k =12m=1BC y =x+112M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C ====tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√56+10–√当＝时，的周长最大，最大值为，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．∴＝．当＝时，，∵，，＝，∴，∴．当＝时，，∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC =PB 25–√5–√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133。

2024年湖南省怀化市中考数学一模试卷+答案解析

2024年湖南省怀化市中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各数中，是无理数的是()A. B.C.…无限多个3D.2.下列算式中，正确的是()A. B.C. D.3.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的()A.方差B.中位数C.众数D.平均数5.中汽协发布数据显示，2024年月，新能源汽车产销分别完成万辆和万辆，同比分别增长和，市场占有率达到将数据万用科学记数法表示为()A. B. C. D.6.反比例函数的图象一定经过的点是()A. B. C. D.7.已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为()A.2022B.2023C.2024D.20258.如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为()A.米B.米C.米D.米9.如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边AB于点D，交斜边AC于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，用表示的面积其它同理，则()A. B. C. D.10.如图是一把椅子侧面钢架结构的几何图形.其中的交点C是可以活动的，调整它的位置可改变坐板与靠背所成的角度即的大小，但又始终保证坐板与水平面平行即如图所示，测得，，则()A.B.C.D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______.12.把点先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为______.13.因式分解：______.14.如图，在中，，若，，则______.15.如图，点A，B，C都在上，，则的度数为______.16.从5，，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是______.17.对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记如，若，，则代数式______要求答案为具体的数值18.如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么在点B运动到点的过程中，线段AB所“扫过”的面积为______结果用含的式子表示三、解答题：本题共8小题，共66分。

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)含答案解析

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣32．记集合A={x|x﹣a＞0}，B={y|y=sinx，x∈R}，若0∈A∩B，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．棱柱4．二项式（x﹣2）5展开式中x的系数为（）A．5 B．16 C．80 D．﹣805．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．a n=（﹣1）n﹣1+1 B．a n=C．a n=2sin D．a n=cos（n﹣1）π+16．考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（）A．10种B．60种C．125种D．243种7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30附表：p（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数y=sin（﹣x），x∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是（）A．[﹣，]B．[﹣2π，﹣]C．[，2π]D．[﹣2π，﹣]和[，2π]9．非负实数x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于x﹣y的最大值和最小值分别为（）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣210．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.911．已知函数f（x）=e x，g（x）=x+1，则关于f（x），g（x）的语句为假命题的是（）A．∀x∈R，f（x）＞g（x）B．∃x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．∃x0∈R，f（x0）=g（x0）D．∃x0∈R，使得∀x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）12．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C1的离心率是（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．=_______．14．△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于_______．15．M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为_______．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，令F（x）=（x﹣b）f（x﹣b）+2020，若b是a、c的等差中项，则F（a）+F（c）=_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1++…+=2n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE，CG=DE．（1）证明：面GEF⊥面AEF；（2）求二面角B﹣EG﹣C的余弦值．20．已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，1）是C1上一点．（1）求椭圆C1的方程；（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设f（x）的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

2023年湖南省长沙市长沙县中考二模数学试题(含解析)

2023年湖南省长沙市长沙县中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．主视图和左视图相同C．左视图和俯视图相同5．如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（）A．126．正六边形的半径为A．214．长沙市马栏山视频文创园滨河路与枫林塘路交会处，有一棵似于圆柱体的树木主干高________2m（结果保留16．如图，已知在ABC 中，20BC =，高16AD =，内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 边上，G 、H 分别在AC AB 、上，则内接矩形EFGH 的最大面积为_______．三、解答题(1)如图1，D是弧AC的中点，当参考答案：左视图是：俯视图是：∴主视图和左视图相同，故选：A．【点睛】本题考查了几何体的三视图，在Rt AOG△中，OA∴122AG OA==，∴22 OG OA AG=-=故选：C．9．B【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．【详解】解：将二次函数()221y x =-+的图象向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()2211y x =--+，即()231y x =-+．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．B【详解】由作图得：D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半及等边对等角求解即可．【分析】解：由作图得：D 为AB 的中点，∵90C ∠=︒，∴AD CD BD ==，∴DCB CBD ∠=∠，故A 、C 、D 正确，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图——垂直平分线是解题的关键．11．2(21)a +【分析】根据完全平方公式即可得出答案.【详解】根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，故答案为()221a +.【点睛】本题考查的是公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键.12．1【分析】把1012x =代入方程，即可得出一个关于m 的一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：把1012x =代入方程22023x m -=得：210122023m ⨯-=，为中点，∵C AB AB⊥，AC∴OC AB中，由勾股定理，在Rt OCA∴()1,H m ，由F 是DE 的中点，。

2024年湖南省长沙市雅礼实验中学中考二模数学试题(含答案)

2024年长沙市雅礼实验中学初三二模试卷数学科目考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列各数为无理数的是（）A．3 B．3.14 C．D2．为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A B．C．D．4．中科院国家天文台基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量．其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（）A．B．C．D．5．将直尺和三角板进行如图摆放，，则的度数为（）A．B．C．D．6．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）A．B．C．D．7．二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面576=437a b ab+=22(1)1x x+=+326x x x⋅=980510⨯118.510⨯108.0510⨯118.0510⨯142∠=︒2∠42︒45︒48︒52︒15112x xx+<-+⎧⎪⎨-≥⎪⎩完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取两张邮票，恰好抽到“立春”和“立夏”的概率是（）A．B ．C ．D ．8．若反比例函数的图象在第二、四象限内，则m 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知四边形ABCD 内接于，，则的度数为（）A ．B ．C ．D ．10．某校ABCDE 五名学生参加投篮比赛，其中有3人进入了决赛．A 说：“如果我进入，那么B 也进入．”B 说：“如果我进入，那么C 也进入．”C 说：“如果我进入，那么D 也进入．”D 说：“如果我进入，那么E 也进入，”大家都没有说错，则进入决赛的三个人是（）A ．A ，B ，CB ．B ，C ，DC ．C ，D ，ED ．D ，E ，A二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11有意义，则x 的取值范围是________．12．在平面直角坐标系中，点A （，3）到y 轴的距离为________．13．如图的弦，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且，则MN 的长为________．14．若a 是一元二次方程的一个根，则的值为________．15．将圆心角为，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________．16．如图，在中，，．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．则的度数为________．131416122m y x+=2m >-2m <-2m >2m <O 110BDC ∠=︒BOC ∠110︒120︒70︒140︒4-O 8AB =3OM =2230x x +-=224a a +90︒ABC △45A ∠=︒30B ∠=︒ACD ∠三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．风力发电作为一种清洁能源、可再生能源，已成为我国重要的能源结构之一．某研学小组到风力发电厂参观学习，发现一如图所示的风力发电机，在A 处测得，向前120米到达B 处，测得，其中A ，B ，C 在同一条直线上，点D 为发电机顶端处．若风轮叶片的长度为30米，则风力）20．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽取了部分学生进行调查，对他们每周的课外阅读时间x （单位：小时）进行分组整理并绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形图：（1）请补全频数分布直方图；（2）扇形图中m 的值为________；D 等级所对应的扇形圆心角度数为________；（3）若该校总共有2000名学生，每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有多少人．21．如图，D ，E 为中GF 边上两点，过D 作交CE 的延长线于点A ，．（1）求证：；（2）若，，，求CF 的长．01122024)3tan 30(3--π-+︒-2(2)4(1)(1)3m m m m m +-+-+12m =30DAC ∠=︒60DBC ∠=︒ 1.73=GCF △AB CF ∥AE CE =ADE CFE ≌△△3BG =5BC =2BD =22．2023-2024赛季欧洲冠军杯决赛于6月2日在伦敦温布利大球场拉下帷幕，赛前某体育运动专卖店决定采购某款运动T 恤，最初用6000元购进一批该款T 恤，由于市场供不应求，该专卖店又用15000元购进了第二批该款T 恤，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元．（1）该专卖店购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T 恤衫按相同的标价销售，要使两批T 恤衫全部售完后利润不低于16800元，那么每件T 恤衫的标价至少是多少元？23．如图，平行四边形ABCD 中，AE ，CF 分别是，的平分线，且E 、F 分别在边BC ，AD 上，．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若，，求平行四边形ABCD 的面积．24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果函数图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则把该函数称之为“开心函数”，其图象上纵坐标是横坐标3倍的点叫做“开心点”．（1）判断以下函数上是否是“开心函数”，若是，则打√，若不是，则打“×”；①________ ②________ ③________（2）关于x 的函数（a 为常数）是“开心函数”吗？如果是，指出有多少个“开心点”，如果不是，请说明理由；（3）若抛物线（a 、b 、c 为常数），与x 轴分别交于A （，0），B （，0）两点，其中；与y 轴交于C 点（0，c ），抛物线顶点为P 点，点M 为第三象限抛物线上一动点，且点M 的横坐标为t ，连接AC ，BM 交于N 点，连接BC ，CM ，记，，若满足：①抛物线顶点P 为“开心点”；②；③是等边三角形；若，m 的值．25．如图，点C 在AB 为直径的圆O 上，连接AC ，BC ，的角平分线交AB 于点E ，交圆O 于点P ．G是上一点，且，连接AG 并延长交CB 的延长线于点F ，连接EG ．（1）求证：；（2）若，，求的面积．BAD ∠BCD ∠AE AF =60ABC ∠=︒4AB =y x =1y x=-2y x =2(4)24ay ax a x =++++2y ax bx c =++1x 2x 12x x <1MCN S S =△2BCN S S =△20b a -=ABP △625m t m ≤≤+12S S ACB ∠ BPPG BC =AC CF =6BC =8AC =AEG △（3）设，，求y 关于x 的函数表达式．2024年长沙市雅礼实验中学初三二模数学答案一、选择题题号12345678910答案DCADCBCBDC二、填空题11． 12．413．214．615．116．三、解答题17．解：原式18．解：原式当时，原式19．解：由题意得：，在中，，，∴，在中，∴∴，∵风轮叶片的长度为30米，∴叶片顶端离地面的最小距离米，APx BE=tan AGE y ∠=1x ≥-75︒(2133=++-0=22224(1)3m m m m=+--+24m =+12m =5=DC AC ⊥Rt DBC △60DBC ∠=︒BC x =tan 60CD BC =⋅︒=Rt ACD △30DAC ∠=︒3tan 30CDAC x==︒2120AB AC BC x =-==60BC =CD =3073.8≈答：叶片顶端离地面的最小距离约为73.8米．20．解：（1）∵，∴本次调查共抽取了100名学生，，∴D 组有25人，补全频数分布直方图如下：（2）∵，∴，D 等级所对应的扇形圆心角度数为（3）人答：每周的课外阅读时间不多于4小时的学生大约有620人；21．（1）证明：∵，∴，，在和中，，∴（AAS ）．（2）解：∵，∴，∴，∵，，1010%100÷=100102140425----=4040%100=40m =2536090100⨯︒=︒10212000620100+⨯=AB CF ∥F ADE ∠=∠A ECF ∠=∠ADE △CFE △ADE CFE EAD ECF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ≌△△AB CF ∥GBD GCF ∽△△GB BDGC CF=3BG =5BC =2BD =∴，∴，∴．22．解：（1）设该店铺购进第一批T 恤衫每件的进价是x 元，则购进第二批T 恤衫每件的进价是元，依题意有，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，．该店铺购进第一批T 恤衫每件的进价是40元，购进第二批T 恤衫每件的进价是50元；（2）件，件，设每件T 恤衫的标价是a 元，依题意有：，解得．答：每件T 恤衫的标价至少是84元．23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∵AE 、CF 分别是、的平分线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形AECF 是平行四边形，∵，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，8CG =4210CF =328CF=163CF =(10)x +600015000210x x ⨯=+40x =40x =10401050x +=+=600040150÷=1500050300÷=150(40)300(50)16800a a -+-≥84a =BAD BCD ∠=∠AD BC ∥BAD ∠BCD ∠12BAE DAE BAD ∠=∠=∠12BCF DCF BCD ∠=∠=∠DAE BCF ∠=∠AD BC ∥DAE AEB ∠=∠BCF AEB ∠=∠AE FC ∥AE AF =AD BC ∥∴，∵AE 平分，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，BE 边上的高为由（1）知四边形AECF 是菱形，∴，∴平行四边形ABCD 的面积为24．解：（1）√，×，√；（2）联立，得到：，整理，得：，第一种情况：当时，，，所以函数是开心函数，有1个开心点；第二种情况：当时，，∴时，；时，；时，综上所述：当或时，函数是开心函数，有1个“开心点”；当且时，函数是开心函数，有2个“开心点”；当时，函数不是开心函数（3）∵，∴，∴抛物线的对称轴为：，∴顶点的横坐标为，∵抛物线顶点为“开心点”，∴顶点的纵坐标为：，∴二次函数的解析式为：，∵三角形ABP 是等边三角形，∴，∴，DAE AEB ∠=∠BAD ∠BAE DAE ∠=∠BAE AEB ∠=∠AB EB =60ABC ∠=︒ABE △4AB AE BE ===h =4AE CE ==8BC=8S BC h =⋅=⨯=2(4)24ay ax a x =++++3y x =23(4)24ax ax a x =++++2(1)204aax a x ++++=0a =20x +=2x =-0a ≠2(1)4(2)614aa a a ∆=+-+=-+0∆>16a <0∆=16a =0∆<16a >0a =16a =16a <0a ≠16a >20b a -=2b a =12bx a=-=-1-133-⨯=-22(1)323y a x ax ax a =+-=++-2(2)4(3)1212a a a a ∆=--==1a =∴二次函数的解析式为：，当时，；当时，，解得：∴A （，0），B （0），C （0，），设直线AC 的解析式为：（），则：，解得：，∴；过点M 作x 轴的垂线交AC 于点D ，过点B 作x 轴的垂线交AC 于点E ，∵点M （t ，），则D （t ，），E （）∴，．∴，即∴是关于t 的二次函数，且对称轴：又∵，∴随t 的增大而减小，∴当时，，解得或（舍去）．∴222y x x =+-0x =2y =-0y =2220x x +-=11x =-21x =-1-1-2-y kx b =+0k ≠0(12k b b ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩12k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(12y x =-222t t +-(12t --1-+62(1MD t t =--+6BE =-12S MN MD S BN BE ==12S S =12S S t =6225m m +≥65m ≥-12S S t m =12S S =1m =-m =1m =-25．（1）证明：∵AB 是的直径，∴，∵CP 平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①如图，连接PB ，∵AB 是的直径，∴，，∴，∵CP 平分，∴，∴∵，，∴，∴，∴连接BG ，AG 与CP 交于HO 90ACB ∠=︒ACB ∠1452PCA PCB ACB ∠=∠=∠=︒ PBPB =45PAB PAB ∠=∠=︒PG BC = PGBC =PAG BAC ∠=∠PAG BAG BAC BAG ∠+∠=∠+∠45CAG PAB ∠=∠=︒F CAG ∠=∠AC CF =O 90ACB APB ∠=∠=︒8AC =6BC =10AB =AP =ACB ∠43AE AC EB BC ==44077AE AB ==CAB PAF ∠=∠APG ABC ∠=∠PAG EAC ∽△△AG APAC AE=AG =∵AB 是的直径，∴，，，∵，，∴，∴，；（3）解：如图，连接PB ，PG ，∵CP 平分，∴，∴，∵AB 是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵CP 平分，∴，∴，O90BGF AGB ∠=∠=︒2BF CF BC =-=BG =EAH BAG ∠=∠90AHC AGB ∠=∠=︒AEH ABG ∽△△AE EH AB BG=EH =11422S EH AG =⋅==ACB ∠AP BP =AP BP =O 90APB ∠=︒AB =AP x BE=AP BE x =⋅1AE AB BE BE BE -====-AP BE x AE AB BE ⋅====-ACB ∠1AC AE CB BE==-1)AC BC =-不妨设，则，，∴，由（2）知：∴，∴，∴，∴，∴∴．2BC PG a ==PH GH==1)2AC a =-⋅1)(2AH CH AC x a ===⋅-=AEC APG ∽△△PG AP CE AE=2aCE =CE =(2EH CH CE x a =-=-=tan EH y AGE GH =∠===。

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试题及答案解析

2022年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个数中，最小的数是( )C. 2022D. −2022A. 0B. −120222. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3. 2021年9月20日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球393000米，数据393000米用科学记数法表示为( )A. 0.393×107米B. 3.93×106米C. 3.93×105米D. 39.3×104米4. 如图所示正三棱柱的主视图是( )A. B. C. D.5. 如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F(位于点D上方作FG//BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为( )A. 42°B. 48°C. 52°D. 58°6. 一次函数y=−x−2的图像经过( )A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限7. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为( )A. 7ℎ，7ℎB. 8ℎ，7.5ℎC. 7ℎ，7.5ℎD. 8ℎ，8ℎ8. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是( )A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D. 以上均不正确9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,1)，以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是( )A. (12,1) B. (−12,−1)C. (8,16)或(−16,−8)D. (8,16)或(−8,−16)10. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是( ) A. (x+2)2+(x−4)2=x2 B. (x−2)2+(x−4)2=x2C. x2+(x−4)2=(x−4)2D. (x−2)2+x2=(x+4)2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 因式分解：m2+2m=______．12. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是______．13. 已知m是方程x2−2x−1=0的一个根，则代数式2m2−4m+2020的值为______．14. 已知锐角∠AOB=40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画MN⏜，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画GH⏜，交OB于点E，连接DE.则∠CDE的度数为______．15. 一块直角边分别为6cm和8cm的三角木板，绕6cm的边旋转一周，则斜边扫过的面积是______ cm2(结果用含π的式子表示)．16. 在直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1；第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2022的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

2023年湖南省永州市冷水滩区京华中学中考一模数学试卷

2023年湖南省永州市冷水滩区京华中学中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．A．B．C．D．（）A．①②③⑤B．③④⑤C．②③④D．①②③④⑤217．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有x间客房，可列方程为：_____．A，同18．如图长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点(20)时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2023次相遇点的坐标是___________．三、解答题足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取九年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上图文信息回答下列问题：(1)此次调查共抽取了多少名学生？(2)请将此条形统计图补充完整；(3)在此扇形统计图中，项目A所对应的扇形圆心角的大小为；(4)学生小明和小强各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．23．春节期间，小明和小华同学来到某大型游乐场，他们发现有一个圆形摩天轮，如图e所示，他们想通过自己所学的数学知识测量摩天轮最高点距离地面的高度．他们中O设计的测量方案如下：首先测量出摩天轮底部离地面的高度AB为2米，其次在摩天轮所在平面内的地面上选两个测量点,C D，在C处测得摩天轮中心点O的仰角为45︒，在D处，测得摩天轮中心点O的仰角为30︒：最后测得两个测量点CD间的距离为80米以d C D三点共线．上各点均在同一平面内，,,请根据以上数据，帮助他们计算出摩天轮的最高M到地面的高度是多少米？（结果保留根号）24．为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元． (1)每件A 、B 奖品的价格各是多少元？(2)根据需要，该学校准备购买A 、B 两种奖品共80件，设购买a 件A 种奖品，所需总费用为w 元，求w 与a 的函数关系式，并直接写出a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，若要求购买的A 种奖品的数量不超过B 种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值．25．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，过点A 作AD OP ⊥于点C ，交⊙O 于点D ，连接PD 交直径AB 的延长线于点E ．(1)求证：PD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为6，4DC =，求PD 的长．26．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 、()0,3C 三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与BC 相交于点E ，与x 轴交于点H ，连接PB ．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点Q ，使QPB V与EPB △的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点G ，使45GBA PBE ︒∠+∠=，请直接写出点G 的坐标；。

湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·清远期末) 已知集合，，则A .B .C .D .2. （2分）(2017·运城模拟) 变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A . {﹣3，0}B . {3，﹣1}C . {0，1}D . {﹣3，0，1}3. （2分）(2017·丰台模拟) 在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A .B .C .D . 24. （2分） (2016高三上·清城期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“x2=1，则x≠1”B . 若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C . 命题“若x=y，则si nx=siny”的逆否命题为真命题D . “x2﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”5. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A . -3B . -C .D . 26. （2分）(2017·深圳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h）27. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知向量 =（1，2）， =（﹣2，m），若∥ ，则|2 +3 |等于（）A .B .C .D .8. （2分）在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=60°，∠C=105°，BC=1，则AB的取值范围（）A . （1，2）B . （2﹣，1）C . （2﹣，2+ ）D . （1，2+ ）二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．10. （1分）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=8an﹣1，则=________11. （1分） (2017高三上·汕头开学考) 在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是________．12. （1分） (2016高二上·南通开学考) 若将函数y=sin2x的图象向左平移θ，个单位后所得图象关于y轴对称，则θ=________．13. （1分）(2017·嘉兴模拟) 动点P从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为________（用数字作答）．14. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数，当时，，则的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)15. （5分）(2017·江门模拟) △ABC的内角A、B、C所对的边分别是，a、b、c，△ABC的面积S=• ．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若b+c=5，a= ，求△ABC的面积的大小．16. （10分） (2017高三上·山东开学考) 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．17. （10分）(2019·乌鲁木齐模拟) 如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.（1）证明：平面；（2）点在上，若，求二面角的余弦值.18. （10分） (2018高二下·张家口期末) 已知，函数（是自然对数的底数）.（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2017高二下·高青开学考) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20. （15分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知，函数 .（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。

2015年12月份高三数学试题

2015年12月份高三数学试题资源包括：河南省八市重点高中2015-2016学年高二12月联考数学（理）试题河南省八市重点高中2015-2016学年高二12月联考数学（文）试题广东省汕尾市2016届高三12月调研考试数学文试题（扫描版）江苏省江阴市青阳中学2016届高三12月联合调研测试数学（文理）试题广东省汕尾市2016届高三12月调研考试数学理试题（扫描版）四川省成都市高2016届高三第一次诊断考试数学理试题（WORD版）四川省成都市2016届高三第一次诊断性检测数学文试卷启慧·全国大联考2016届高三12月联考试题数学（文）Word版含解析启慧·全国大联考2016届高三12月联考试题数学（理）Word版含解析福建省漳州八校2016届高三12月联考理科数学试卷福建省漳州八校2016届高三12月联考文科数学试卷山东省平度市2016届高三统一抽考数学（理）试题山东省平度市2016届高三统一抽考数学（文）试题黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三12月月考文数试题解析黑龙江省哈尔滨市第六中学2016届高三12月月考理数试题解析江西省新余市第一中学2016届高三上学期第四次模拟考试文数试题解析江西省新余市第一中学2016届高三上学期第四次模拟考试理数试题解析湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2016届高三上学期第一次联考理数试题解析湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学、黄石二中、孝感高中、荆州中学等八校2016届高三上学期第一次联考理数试题解析江门市2015年普通高中高三调研测试数学（理科）试题江门市2015年普通高中高三调研测试数学（文科）试题2016届江西省南昌二中高三上学期第四次考试（数学文卷）2016届江西省南昌二中高三上学期第四次考试（数学理卷）2016届山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三上学期第二次联考（数学文）2016届山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中高三上学期第二次联考（数学理）2016届河北省邯郸市第一中学高三一轮收官考试（数学文）2016届河北省邯郸市第一中学高三一轮收官考试（数学理）数学文卷·2016届四川省成都七中高三上学期一诊模拟考试数学理卷·2016届四川省成都七中高三上学期一诊模拟考试数学理卷·2016届江西省师大附中、临川一中高三上学期第一次联考试题数学文卷·2017届湖北省荆州中学高二上学期第二次月考数学文卷·2016届内蒙古赤峰二中高三上学期第三次（12月）月考数学理卷·2016届内蒙古赤峰二中高三上学期第三次（12月）月考数学文卷·2016届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三上学期第一次联考数学理卷·2016届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三上学期第一次联考数学理卷·2016届山东省枣庄三中高三12月质量检测数学文卷·2016届山东省枣庄三中高三12月质量检测数学（文）卷·2016届吉林省东北师大附中高三上学期第二次模拟考试数学理卷·2016届河南省信阳高级中学高三上学期第八次大考数学理卷·2016届云南省玉溪一中高三第四次月考数学（文）卷·2017届江西省丰城中学高二上学期第三次月考试题数学（理）卷·2016届安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中高三第三次联考数学（文）卷·2016届安徽省马鞍山二中、安师大附中、淮北一中、铜陵一中高三第三次联考数学文卷·2016届广西桂林中学高三12月月考数学理卷·2016届广西桂林中学高三12月月考数学文卷·2016届湖北省宜昌一中高三上学期12月月考数学理卷·2016届湖北省宜昌一中高三上学期12月月考数学文卷·2016届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考数学理卷·2016届辽宁省沈阳二中高三上学期12月月考数学文卷·2016届辽宁省抚顺市第一中学高三上学期12月月考（2015.12）word 版数学理卷·2016届辽宁省抚顺市第一中学高三上学期12月月考（2015.12）word 版数学理卷·2016届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学文卷·2016届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学理卷·2016届河南省郑州一中高三联考数学文卷·2016届河南省郑州一中高三联考数学文（普通班）卷·2016届甘肃省天水一中高三上学期第三次考试数学文（辅导班）卷·2016届甘肃省天水一中高三上学期第三次考试数学理（普通班）卷·2016届甘肃省天水一中高三上学期第三次考试数学理（辅导班）卷·2016届甘肃省天水一中高三上学期第三次考试数学理卷·2016届河南省开封市高三第一次质量检测模拟考试数学文卷·2016届河南省开封市高三第一次质量检测模拟考试数学文卷·2016届湖北省鄂豫晋冀陕五省高三12月联考数学理卷·2016届湖北省鄂豫晋冀陕五省高三12月联考数学卷·2016届福建省闽粤联合体高三第三次联考数学文卷·2016届重庆市南开中学高三12月月考试题数学理卷·2016届重庆市南开中学高三12月月考试题数学理卷·2016届吉林省长春市十一中高三上学期12月月考数学文卷·2016届吉林省长春市十一中高三上学期12月月考数学理卷·2016届吉林省长春外国语学校高三上学期第二次质量检测数学文卷·2016届吉林省长春外国语学校高三上学期第二次质量检测数学文卷·2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考数学理卷·2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考海南省海南中学2016届高三第四次月考数学（文）试题海南省海南中学2016届高三第四次月考数学（理）试题天津市2016届高三“五校”联考数学（文）试题天津市2016届高三“五校”联考数学（理）试题江西省于都实验中学2016届高三上学期第三次大考数学（文）试题江西省于都实验中学2016届高三上学期第三次大考数学（理）试题广东省汕尾市2016届高三12月调研考试数学理试题福建省四地六校2016届高三第三次联考数学（文）试题福建省四地六校2016届高三第三次联考数学（理）试题上海市崇明县2016届高三第一次高考模拟考试数学试卷（WORD版）2016届广东云浮、揭阳、清远、阳江等八市联考数学理（含解析和分析）上海市崇明县2016届高三第一次高考模拟考试数学试卷（pdf版）上海市普陀区2016届高三12月教学质量调研数学理试题上海市普陀区2016届高三12月教学质量调研数学文试题山东省淄博市2016届高三12月摸底考试数学（理）试题山东省淄博市2016届高三12月摸底考试数学（文）试题[dl href=""]2015年12月份高三数学试题[/dl]提取码：u979。

高三试卷数学-湖南省长沙市长郡中学等2023届高三一模考试数学试卷及参考答案

长郡中学2023届模拟试卷（一）数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x y x =,x ∈R },{}2,B y y x x ==∈R ∣,则A B ⋂等于A.{(0,0),(1,1)}B.{0}y y ∣ C.{}x x ∈R ∣D .∅2.某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠,已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z （单位:μm ）服从正态分布N （60,4）.甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习,甲、乙对各自抽取的5个零件测量内径尺寸（单位:μm ）如下,甲同学测量数据：59,60,62,63,65;乙同学测量数据:52,53,55,57,62,则可以判断A.甲、乙两个同学测量都正确B.甲、乙两个同学测量都错误C.甲同学测量正确,乙同学测量错误D.甲同学测量错误,乙同学测量正确3.函数3sin ()xf x x x =-在[ ,0)(0,]ππ-⋃上的大致图象为A. B.C. D.4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时,平地的降雨量是A.9寸B.6寸C.4寸D.3寸5.为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为A.0.94 B.0.96 C.0.75 D.0.786.已知236m n ==,则m ,n 不可能．．．满足的关系是A.4m n +> B.4mn > C.228m n +< D.22(1)(1)2m n -+->7.已知,0,,sin(2)2sin 2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭,则tan β的最大值为A.12B.33C.22D.328.已知O 为坐标原点,双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为62,点()11,P x y 是C 的右支上异于顶点的一点,过F 2作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足是M ,||MO =若双曲线C 上一点T 满足125FT F T ⋅=,则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为A. B. C. D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z=a+bi （a,b ∈R ）,其共轴复数为z ,则下列结果为实数的是A.2z B.2z C.(1)(1)z z ++ D.2023(i z z -⋅10.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线,它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中,M （-2,0）,N （2,0）,动点P 满足||||5PM PN ⋅=,则下列结论正确的是A.点P 的横坐标的取值范围是B.|OP |的取值范围是[1,3]C.△PMN 面积的最大值为52D.||||PM PN +的取值范围是,5]11.已知函数()sin f x x x =,则下列说法正确的有A.()f x 是偶函数B.()f x 是周期函数C.在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上,()f x 有且只有一个极值点D.（0,0）作y=()f x 的切线,有无数条12.在直平行六面体1111ABCD A B C D -中,160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,P 为1CC 的中点,点Q 满足1([0,1],[0,1])DQ DC DD λμλμ=+∈∈.下列结论正确的是A.若1λμ+=,则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ ∥平面1A BP ,则AQC.若1A BQ △的外心为E ,则11A B A E ⋅为定值2D.若1A Q =,则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(1,2),(2,)a b t == ,若 ||||a b a b +=-,则t 的值为.14.已知a >0,若9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,且a 5=126,则a =.15.已知函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的一条对称轴为6x π=-,且 ()f x 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为.16.如图,椭圆()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线()222222221,0x y a b a b -=>有公共焦点1(,0)F c -,2(,0)(0)F c c >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,点P 为两曲线的一个公共点,且123F PF π∠=,则221213e e +=;若I 为12F PF △的内心,1,,F I G 三点共线,GP IP ⋅= 0,x 轴上点A ,B 满足,AI IP BG GP λμ==,则22λμ+的最小值为.四、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c =2,C =3π.(1)当2sin 2A +sin(2B +C )=sin C 时,求△ABC 的面积;(2)求△ABC 周长的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,O 为AB 的中点,平面POC ⊥平面ABCD.AD//BC,AB ⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB ⊥平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C 的余弦值.19.(12分)市教育局计划举办某知识竞赛,先在A ,B ,C ,D 四个赛区举办预赛,每位参赛选手先参加“赛区预赛”,预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛,每个赛区预赛中,成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下:每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一:每轮必答2个问题,共回答6轮,每轮答题只要不是2题都错,则该轮次中参赛选手得20分,否则得0分,各轮答题的得分之和即为预赛得分;公众号：网课来了方式二:每轮必答3个问题,共回答4轮,在每一轮答题中,若答对不少于2题,则该轮次中参赛选手得30分,如果仅答对1题,则得20分,否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为p (0<p<1).(1)若12p =,该选手选择方式二答题,求他晋级的概率;(2)证明:该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.(12分)已知数列{}n a 满足14a =,当2n 时,144(1)nn n a a n n --=--.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知数列1n n b na =-,证明：1211149n b b b +++< .21.(12分)已知抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (l,2),在E 上任取不同于C 的点A ,直线AC 与直线,y =x +3交于点P ,过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B.(1)求证:直线AB 过定点;(2)求△ABC 面积的最小值.22.(12分)已知函数11()ln ,()ln (1)f x x ax g x x x a x x x=+-=+-+.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)记()f x 的零点为x 0,()g x 的极小值点为x 1,当a ∈(1,4)时,判断x 0与x 1的大小关系,并说明理由.长郡中学2023届模拟试卷(一)数学参考答案一、二、选择题2.C 【解析】根据正态分布的3σ原则,μ=60,σ=2,合格的内径尺寸范围是(54,66),则甲同学测量正确,乙同学测量错误,故选C.3.B 【解析】[,0)(0,]x ππ∈-⋃,而33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-,且()()f x f x -≠-,即函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点、y 轴不对称,排除C 、D;而()f ππ=,排除A,故选B.4.D 【解析】由已知天池盆上底面半径是14寸,下底面半径是6寸,高为18寸,由积水深9寸知水面半径为12⨯(14+6)=10寸,则盆中水体积为()22196106105883ππ⨯⨯++⨯=(立方寸),所以平地降雨量为258814ππ=⨯3(寸),故选D.5.A 【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为:8001200988.412008001200800⨯+⨯=++(小时),该地区中学生每天睡眠时间的方差为：2280012001(98.4)0.5(88.4)0.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-++-=⎣⎦⎣⎦++.故选A.6.C 【解析】23236,log 6,log 6mnm n ==∴== ,即6611log 2log 31m n+=+=,即()m n mn m n +=≠.对于A,2,42m n m n mn m n +⎛⎫+=<∴+> ⎪⎝⎭成立.对于B,4mn m n mn =+>∴> ,成立.对于C,()222224,16()22m n m n m n mn m n +>∴<+=++<+ ,即228mn +>.对于D,222(1)(1)()22m n m n -+-=-+> 成立.故选C.7.B 【解析】,0,,sin(2)2sin 2παβαββ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭,sin[()]2sin[()],tan 0,tan 0αβααβααβ∴++=+->>,sin()cos cos()sin 2[sin()cos cos()sin ]αβααβααβααβα∴+++=+-+,即 3cos()sin sin()cos ,tan()3tan αβααβααβα+=+∴+=,即tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++,所以22tan 2tan 113tan 33tan tan αβααα==++,当且仅当13tan tan αα=,即3 tan 3α=时,等号成立,tan β取得最大值3 3.故选B.8.A 【解析】设半焦距为c ,延长2F M 交1PF 于点N,由于PM 是∠F 1PF 2的平分线,F 2M ⊥PM,所以△NPF 2是等腰三角形,所以Q|PN |=|PF 2|,且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知122PF PF a -=,即1 2NF a =,由于O 是12F F 的中点,所以MO 是△NF 1F 2的中位线,所以11||2MO NF a ===,又双曲线的离心率为 2,所以1c b ==,所以双曲线C 的方程为2212x y -=.所以12(F F ,双曲线C的渐近线方程为0x =,设(,),T u v T 到两渐近线的距离之和为S ,则S =,由22212(35FT F T u u v u v ⋅=++=+-= ,即u 2+v 2=8,又T 在22:12x C y -=上,则2212u v -=,即2222u v -=,解得226,2u v ==,由|||u v >,故S ==,即距离之和为.故选A.9.BCD 【解析】对于A ,z 2=a 2-b 2+2ab i ,不一定为实数;对于B,222z a b =+∈R ;对于C,22(1)(1)121z z z z z z a b a ++=⋅+++=+++∈R ;对于D,()506202320244(i2i2i2z z b b b -⋅===∈R .故选BCD.10.BC 【解析】设点(,)P x y ,依题意得2222(2)(2)25x y x y ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦,对于A,()2222222225(2)(2)(2)(2)4x y x y x x x ⎡⎤⎡⎤=++-++-=-⎣⎦⎣⎦,当且仅当0y =时取等号,解不等式()22425x -,得33x -,即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-,则A 错误;对于B,()()2222444425xy x x y x ⎡⎤⎡⎤+++++-=⎣⎦⎣⎦,则224x y ++=,显然209x ,因此||[1,3]OP ==,B 正确;对于C,.PMN △的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN ∠==,当且仅当90MPN ∠=︒时取等号,当90MPN ∠=︒时,点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上,由22224,4x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39,45,4x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩所以PMN △面积的最大值为52,C 正确;对于D,点(3,0)在动点P 的轨迹上,当点P 为此点时,|PM |+|PN |=5+1=6,D 错误.故选BC.11.AC 【解析】显然()()f x f x -=,A 正确;B 错误;对于C,()sin cos ,()2cos sin f x x x x f x x x x '=-'=+',当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x ''<,则()f x '单调递减,又10,()02f f πππ⎛⎫=>'=-<⎪⎝⎭',故()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个解,C 正确;对于D,设切点为(,())P t f t ,则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-,代入(0,0),有2cos 0t t =,得t =0或,2t k k ππ=+∈Z .若0t =,则切线方程为0y =;若,2t k k ππ=+∈Z ,则切线方程为y x =±,故有且仅有3条切线,D 错误.故选AC.12.ABD 【解析】对于A,因为1([0,1],[0,1]),1DQ DC D λμλμλμ=+∈∈+=,所以1,,Q C D 三点共线,即点Q 在CD 1上,因为CD 1//A 1B,CD 1∈平面A 1BP ,A 1B ⊂平面A 1BP ,所以CD 1//平面A 1BP ,所以点Q 到平面A 1BP 的距离为定值,因为△A 1BP 的面积为定值,所以四面体A 1BPQ 的体积为定值,A 正确;对于B,取DD 1,D C 的中点分别为M,N ,连接AM,MN,AN ,则AM//BP,因为AM ⊄平面A 1BP ,BP ⊂平面A 1BP ,所以AM ∥平面A 1BP ,因为MN ∥CD 1,A 1B ∥CD 1,所以MN ∥A 1B ,因为MN ⊄平面A 1BP ,1A B ⊂平面A 1BP ,所以MN ∥平面A 1BP ,因为MN ⋂AM=M,MN,AM ⊂平面AMN ,所以平面AMN ∥平面A 1BP ,因为AQ ∥平面A 1BP ,所以AQ ⊂平面AMN ,又Q 在平面CDD 1C 1上,故点Q 在线段MN 上,所以当AQ ⊥MN 时,AQ 最小,因为160,2BAD AB AD AA ∠=︒===,所以AM=,MN=,AN==,所以222AM MN AN +=,所以Q,M 重合,所以AQ正确;对于C,若1A BQ △的外心为E ,过E 作EH 1A B ⊥于H ,因为1A B ==,所以11A B A E ⋅= 21142A B = ,C 错误;对于D,过A 1作111AO C D ⊥于点O ,因为DD 1⊥平面1111A B C D ,1AO ⊂平面1111A B C D ,所以DD 1⊥1AO ,因为1111111,,C D DD D C D DD ⋂=⊂平面11,DD C C 所以1A O ⊥平面11DD C C ,111cos13OD A D π==在DD 1,D 1C 1上取点A 3,A 2,使得13121D A D A ==,则1312322A A A A OA OA =====,所以若A 1Q =,则Q 在以O 为圆心,2为半径的圆弧 23A A 上运动,因为1131,D O D A ==,所以323A OA π∠=,则圆弧 23A A 等于23π,D 正确.故选ABD.三、填空题13.-1【解析】(1,2),(2,)a b t == ,故可得(3,2),||a b t a b +=++=,(1,2),||a b t a b -=---=||||a b a b +=-,=,整理得88t =-,解得1t =-.14.2【解析】因为9290129()(1)(1)(1)x a a a x a x a x +=+++++++ ,将原式变形为9[(1)1]x a ++-,通项为919C (1)(1)r rr r T x a -+=+-,5126a =对应5(1)x +的系数,故得到95,4r r -==,系数为449C (1)1260a a -=⇒=或2.故正实数a 的值为2.15.83【解析】函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈的对称轴可以表示为(),()6k x k f x ππω=-∈Z 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则 k ∃∈Z ,使得,6 (1)4,63k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩,解得62(1)73k k ω+,由62(1)73k k +,得3k ,当3k =时,的最大值为83.16.41+32(第一空2分,第二空3分)【解析】不妨设P 在第一象限,12,PF m PF n ==,则1212122,2,,m n a m n a m a a n a a +=-=∴=+=-,在12F PF △中,()()()()22222121212124c m n mn a a a a a a a a =+-=++--+-,即2222212122221231343,4a a c a a e e c +=+∴+==.由12121121212 ,2F A F A F A F A AI c AI IP e IP F P F P F P F P a λλ+=∴======+ ,由0GP IP ⋅=,知PA PB ⊥,又PA 平分12F PF ∠,可得出PB 是12F PF ∠的外角平分线,又BG GP μ= ,121221212222BF BF BF BF BG ce GP PF PF PF PF a μ-∴======-,()2222222221121222221212311311313(414442e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=++++=+⎪ ⎝⎭⎝⎭,当且仅当2221e =取得最小值.故最小值为12+.四、解答题17.【解析】（1）由A B C π++=,得4sin cos sin()sin()A A B A A B ππ++-=--,即4sin cos sin()sin()A A A B A B +-=+,即2sin cos cos sin A A A B =,当cos 0A =时,,26A B ππ==,得4323,33a b ==;当cos 0A ≠时,sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =,联立224, 2,a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩.解得2343,33a b ==,故三角形的面积为123sin 23ABC S ab C ==△.（2）法一：由余弦定理可得:224a b ab +-=,由22()()43434a b a b ab ++=++得4a b +,当且仅当a=b 取等号.又a b c +>,即2,46a b a b c +>∴<++.即ABC △周长的取值范围是（4,6］.法二:222,,,0,3333C A B B A A ππππ⎛⎫=∴+=∴=-∈ ⎪⎝⎭,ABC △中,由正弦定理有2sin sin sin 3a b A B π===,公众号：网课来了22sin )2sin sin 3a b c A B A A π⎡⎤⎛⎫∴++=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1524sin cos 24sin ,,226666A A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++=++<+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 1,4626A a b c π⎛⎫∴<+∴<++ ⎪⎝⎭.即ABC △周长的取值范围是（4,6].说明:未分cos A=0,扣1分.18.q 【解析】（1）//,,2,3AD BC AB BC BC AB AD ⊥===,222OC OD CD OD OC DC ∴====+,由勾股定理逆定理,OC CD ∴⊥,又平面POC ⊥平面ABCD,又平面POC ⋂平面ABCD=OC ,∴CD ⊥平面POC ,又PO ⊂平面POC,,,CD PO PA PB AB O ∴⊥== 为AB 的中点,PO AB ∴⊥,又AB,CD 相交,:.PO ⊥平面ABCD,∵PO ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面ABCD .（2）如图建立空间直角坐标系O -xyz ,则P （,D （-1,3,0）,C(l,2,0),(1,3,0),(1,2,(2,1,0)OP OD CP CD ∴==-=--=-.设平面OPD 的一个法向量为()111,,m x y z = ,平面PCD 的一个法向量为()222,,n x y z =,则由0,0,OP m OD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1110,30,x y =-+=⎪⎩取11y =得113,0x z ==,即(3,1,0)m = ,由0,0,CP n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2222220,20,x y x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩取2x =,得225y z ==,即3cos ,4||||m n n n m n ⋅=∴==,显然二面角O-PD-C 为锐角,故二面角O-PD-C的余弦值为4.19.【解析】(1)该选手选择方式二答题,记每轮得分为X ,则X 可取值为0,20,30,且32013311113(0),(20)28228P X C P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅===⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2323331111(30).2222P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记预赛得分为Y ,432243244411313(100)(120)(110)(100)22828P Y P Y P Y P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+==+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭59128=.所以该选手选择方式二答题晋级的概率为59128.(2)①该选手选择方式一答题：设每轮得分为ξ,则ξ可取值为0,20,且22(0)(1),(20)1(0)2P p P P p p ξξξ==-==-==-,()20(2)E p p ξ∴=-.设预赛得分为Y 1,则()116,(6)6()120(2)Y E Y E E p p ξξξ====-.②该选手选择方式二答题：设每轮得分为ζ,则ζ可取值为0,20,30,且3223(0)(1),(20)3(1),(30)3(1)P p P p p P p p p ζζζ==-==-==-+,223()60(1)303(1)30(2)E p p p p p p p ζ⎡⎤∴=-+-+=-⎣⎦.设预赛得分为Y 2,则()224,(4)4()120(2)Y E Y E E p p ζζζ====-.因为()()12E Y E Y =,所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.20.【解析】(1)当2n 时,144(1)n n n a a n n --=--,两边同除4n 后得1111441n n n n a an n ---=--,公众号：网课来了1212114412n n n n a an n -----=---,…21211442aa-=-,上式累加得14,4nn n n a a n n =∴=,又1n =时,14a =满足该式,故4nn a n=.（2）由1111141,441344134n n n n n n n n b na b ----=-=-∴=⋅-=⋅+-⋅,11134n n b -∴⋅,当1n =时,111439b =<,当2n 时,2112111111113444n n b b b -⎛⎫+++<++++ ⎪⎝⎭ 1111414411394914n n ⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-< ⎪⎝⎭-.21.【解析】(1)法一：由抛物线E ：y 2=2px (p >0)过点C (l,2),得p =2,.∴抛物线E ：y 2=4x ,设()2000020024,2,,4214AC y y A y y k y y ⎛⎫-≠== ⎪+⎝⎭-∴直线04:2(1)2AC y x y -=-+,即0002422y y x y y =+++,与3y x =+联立解得交点00006212,22y y P y y ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭,∴()()2002006212,22y y B y y ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭,公众号：网课来了当2012y ≠时,()()220020642y y y -≠-,直线AB 的方程为2000202434y y y y x y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-,即()2000202412y y y x y y --=--,即()2000202412y y y y x y --=--过定点Q (3,2);当2012y =时,()0002123,,3,2y A y B y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,直线AB 过定点Q (3,2).即直线AB 过定点Q (3,2).法二：由抛物线2:2(0)E y px p =>过点C (1,2),得p =2,∴抛物线2:4E y x =,设直线:AB x my t =+,与抛物线方程联立得:2440,Δ0y my t --=>,设()()1122,,,A x y B x y ,则12124,4y y m y y t +==-,又()223,P y y -,∵直线AP 过定点C (l,2),212122311y y y x --∴=---,111212,(1)(24)(1)260x my t m y y m y t y t =+∴---++--= ,1(23)(246)0m t y t m ∴-+-++-=,即()1(23)20m t y -+--=对任意12y ≠都成立,230m t ∴-+-=,即23t m =-+,∴直线:32(2)3AB x my m m y =+-=-+,即直线AB 过定点Q (3,2).(2)由(l):(2)3AB x m y =-+,联立24y x =,消去x ,得244(23)0,Δ0y my m -+-=>,则12124,4(23)y y m y y m +==-,∴当m =1时,ABC △面积的最小值为.22.【解析】(1)由222111 0,()ax x x f x a x x x +++'+>==,①若a 0,则()0,()f x f x >∴'在(0,)+∞上单调递增;②若a<0,令()0f x '>,则11402x a -<<,令()0f x '<,则1142x a ->,()f x ∴在1140,2a ⎛- ⎝⎭上单调递增,在114,2a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)有01x x >，证明：由21()ln (0)g x x a x x '=-+>,设21()ln h x x a x =-+则312()0,()h x h x x x=+>∴'在(0,+∞)上单调递增,即()g x '在(0,+∞)上单调递增.又1(1)10,ln 2402g a g a ⎛''⎫=->=--+< ⎪⎝⎭,公众号：网课来了∴存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()20,()g x g x =∴'在()20,x 单调递减,在()2,x +∞上单调递增,2x ∴为()g x 的极小值点,故21x x =.由()212112211110,,ln 0,ln g x x x x a a x x x '==∴-+=∴=,()()111111112111111ln ln ln 1ln f x x ax x x x x x x x x ⎛⎫∴=+-=+--=- ⎪⎝⎭,又()()()1211101,1,1ln 02x x f x x x f x ⎛⎫=∈∴=-<= ⎪⎝⎭,由（1）知a >0时,()f x 在(0,+∞)上单调递增,01x x ∴>.。

湖南省常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考数学试卷(解析版)

常德市普通高中沅澧共同体2024届高三第一次联考（数学试题卷）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，故选：C2. 已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知等比数列中，，，则公比为（）A.B. 2C.D. 4【答案】C 【解析】【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.{}2{31}0123,4A x x B =->=∣,,,,A B = {}3,4{}2,3,4{}0,1{}0,1,22{31}A x x =->∣A x =<<A B = {}01，x ∈R 38x >2x >382x x >⇔>22x x >⇔><2x -38x >2x >{}n a 3101a a ⋅=62a =q 1214【详解】.故选：C.4. 已知，则（）A.B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.【详解】.故选：A.5. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【详解】如图，431031032266611124a a a a q q q a a a ⋅=⋅=⋅===1cos 3π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin sin 236αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10949-2365ππππππsin sin 2cos cos 2362362αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππcos cos 26αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππcos 2cos 166αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111021339⎛⎫⎛⎫=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A BCD -AB ⊥BCD AB =BC =5CD =BD =196π3244π3196π5244π5BCD △设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，中，由3，，7，得，故，设的外接圆的半径为，则，，．三棱锥外接球的表面积为．故选：B6. 已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（）A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.在BCD △M M MO 12MO BA =O BCD △BC =5CD =BD =2223571cos 2352BCD +-∠==-⨯⨯sin BCD ∠=BCD △r r ==2OM =∴22226123OB R =+==∴2612444π4ππ33R =⨯=216y x =F ()()22511x y -+-=P Q PF PQ +PF PN =PF PQ PN PQ +=+P Q N 、、Q min QN MN r =-【详解】由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，因为点在抛物线上，所以，所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，故选：C.7. 将三个分别标注有，x ，的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为.若，则在上单调递减的概率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用导数求解函数的单调性，即可由古典概型概率公式求解.【详解】若，由均为上的单调递增函数，且为正，故为上的单调递增函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，若，则时，，故为上的单调递减函数，216y x =()4,0F 4x =-P N P PF PN =PF PQ PN PQ +=+Q P Q N 、、QN Q ()()22511x y -+-=()5,1M 1r =min 8QN MN r =-=e x 1ln x()(),f x g x ()()()h x f x g x =()h x ()0,1x ∈16291323()()()e xh x f x g x x ==e ,==x y y x ()0,1()h x ()0,1()()()ln x h x f x g x x ==()0,1x ∈()2ln 10ln x h x x-'=<()h x ()0,1()()()e ln xh x f x g x x==()0,1x ∈()()221e ln e e ln 10ln ln x x x x x x x h x x x x-='-=<()h x ()0,1故在上单调递减的概率为,故选：D8. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解.【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，，因为，①所以，所以，②①②得，，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在上单调递增，又，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因为，，所以（当且仅当，即时取等号），()h x ()0,1x ∈23()f x ()g x R ()()2xf xg x +=()()0g f x a -≥a (),1-∞(],1-∞()1,+∞[)1,+∞()f x ()g x ()g x ()0f x a -≥()min f x ()f x ()g x R ()()f x f x -=()()g x g x -=-()()2x f x g x +=()()2x f x g x --+-=()()2x f x g x --=+22()2x x f x -+=22()2x x g x --=2x y =R 2xy -=R 22()2x xg x --=R (0)0g =()()0g f x a -≥()()()0g f x a g -≥()0f x a -≥()f x a ≥()min a f x ≤20x >20x ->222-+≥=x x 22-=x x 0x =所以（当且仅当时，取等号），所以，所以的取值范围为.故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知关于x 的方程的两复数根为和则（）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】【分析】在复数范围内解方程得，，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【详解】，不妨设，，，故A 正确；由韦达定理可得，故B 错误；，故C 正确；，，当时，，故，故D 错误．故选：AC ．10. 若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下()2212x xf x -+=≥0x =1a ≤a (],1-∞()²4044x tx t ++=-<<1z 2z 12z z =121z z =12||||z z =1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭1z 2z 2160t ∆=-<x ∴=12t z =-+22t z =-12z z ∴=124z z =122z z ===124z z = ∴2222111212184422z z z t t z z z ⎛⎫-===-+= ⎪ ⎪⎝⎭0t ≠12R z z ∉1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭R ()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=⋅()12f =列判断正确的有（）A. 函数的图象关于原点对称B. 在定义域上单调递增C. 当时，D.【答案】BCD 【解析】【分析】直接证明，然后逐个判断选项即可.【详解】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.()f x ()f x ()0,x ∈+∞()1f x >()()()()()()()()()()24620222024 (2024)135********f f f f f f f f f f +++++=()2xf x =()()()211f f x f x ==-()0f x ≠()20222x x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()0f x >()()2log g x f x =()()221log 1log 21g f ===()()()()()()()()()2222log log log log g x y f x y f x f y f x f y g x g y +=+==+=+()11g =()()()g x y g x g y +=+()()()()()0000020g g g g g =+=+=()00g =()()()()111g x g x g g x +=+=+()()g n n n =∈Z ()0m m ∈≠Z ()11g x g x g m m ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1n g n g n m m ⎛⎫⎛⎫=⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 1m g m g m m ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111m g g g m m m mm ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0m n m ∈≠Z 1n ng n g m m m⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()g q q q =∈Q ()()2qf q q =∈Q r {}n q n q r →()f x ()()n f q f r →()22n q r n f q =→()2r f r =这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A 错误；由于在定义域上单调递增，且当时，，故B ，C 正确；对于D ，由可得，从而，D 正确故选：BCD.【点睛】关键点点睛：值得注意的是，如果去掉是连续函数的条件，并承认选择公理，则此时不能说明对无理数，有，且不一定单调递增. 事实上，此时可以构造一个的满足的线性映射，再取，即可得到反例.11. 已知正方形边长为4，将沿向上翻折，使点与点重合，设点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列说法正确的有（）A. 无论点在何位置，总有B. 直线与平面所成角的最大值为C. 三棱锥体积的范围为D. 当平面平面时，三棱锥的内切球的半径为【答案】ACD【解析】【分析】对于A ，构造正方形的中心，然后利用线面垂直的判定定理和性质即可；对于B ，直接利用点的轨迹即可否定；对于C ，确定点到平面的距离的取值范围，再相应确定三棱锥体积的范围即可；对于D ，先说明此时点的位置，再利用等体积法求出内切球半径即可..()2xf x =()()11212f f -=≠-=-()2x f x =()2xf x =()0,x ∞∈+()0221xf x =>=()()11222x x f x f x ++==()()()()()()()()()()24620222024...213520212023f f f f f f f f f f ======()()()()()()()()()()24620222024...202413520212023f f f f f f f f f f +++++=()f x r ()2rf r =()f x →R Q ()11P =()P x ()()2P x f x =ABCD ABC AC B D S B D S AC SD ⊥SD ACD π3S ACD -⎛ ⎝SAC ⊥ACD S ACD --ABCD O S S ABCD S ACD -S【详解】对于A ，设是正方形的中心，则.过在正方形上方作直线，使得平面，，再在平面内以为圆心，，则的轨迹为圆位于正方形上方的部分（不含点）.由于平面，在平面内，故.而，和在平面内交于点，所以平面.又因为在平面内，所以，A 正确；对于B ，由于平面，平面的两直线和相交，故直线与平面所成角即为，而当在圆的上半部分（不含点）运动时，的范围是，B 错误；对于C ，由于到平面的距离的取值范围是，即，而三棱锥的体积，故其取值范围是，C OABCD OA OB OC OD ====O ABCD OP OP ⊥ABCD OP =PBD O O S O ABCD ,BD OP ⊥ABCD AC ABCD OP AC ⊥AC BD ⊥OP BD PBD O AC ⊥PBD SD PBD AC SD ⊥OP ⊥ABCD PBD OP SD SD ACD SDB ∠S O ,B D SDB ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭S ABCD d 0d OP <≤0d <≤S ACD -118363S ACD ACD dV S d AD AC d -=⋅=⋅⋅= ⎛ ⎝正确；对于D ，若平面平面，由于平面，在平面内，故.而平面平面，在平面内，，平面和平面的交线是，故平面.而平面，故位于同一直线上，而均在正方形上方，故点和点重合.设三棱锥的内切球半径为.由于，故而，，且由C 选项的计算可知.，得D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造点的轨迹，然后方可利用圆的性质求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 曲线在处的切线方程是__________________________【答案】【解析】【分析】求导可得切点处斜率，即可由点斜式求解直线方程.【详解】由可得，故处的切线斜率为，又切点为，故切线方程为，故答案为：SAC ⊥ACD AC ⊥PBD SO PBD SO AC ⊥SAC ⊥ACD SO SAC SO AC ⊥SAC ACD AC SO ⊥ACD OP ⊥ABCD ,,O P S OP OS ==,P S ABCD S P P ACD -r 4AP PD AB BC PC =====24APD CPD S S === 11822PAC S OP AC =⋅=⋅= 1144822ACD S AD CD =⋅=⋅⋅= P ACD V -=()(111633P ACD PAC ACD APD CPD V r S S S S r -==+++=+ r ==-S ln y x x =+1x =21y x =-ln y x x =+11y x'=+1x =12x y ='=()1,121y x =-21y x =-13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，且，，则双曲线的离心率为______________【解析】【分析】设，根据已知条件及双曲线的定义可得到，，然后解该齐次方程组即可得到离心率.【详解】设，则，，从而，.再由可知，.故，，整理得方程组.由有，代入第一个方程可得，所以.14. 如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】()2222:10,0x y C a b a b -=>>12,F F 2F ,A B 223AF F B = 1AB BF ⊥2F B t = ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2F B t = 23AF t = 4AB t = 132AF t a =+ 12F B t a =+1AB BF ⊥ 2221212F B F B F F += 22211F B AB AF += ()22224t a t c ++=()()22221632t a t t a ++=+2222222t at a cat t ⎧++=⎨=⎩2at t =t a =2252a c =e ===ABCD 2DE CD ＝AP AB AE λμ=+λμ+[]0,4【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：则，所以，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，当时，有，即，此时的取值范围为，综上所述，的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角的对边分别是，且.（1）判断的形状；（2）若的外接圆半径为，求周长的最大值.【答案】（1）等腰三角形（2）,,,P AB P BC P CD P DA ∈∈∈∈λμ+()()1,0,2,1B E -()2,AP AB AE λμλμμ=+=-P AB ∈021λμμ≤-≤⎧⎨=⎩01,0λμ≤≤=λμ+[]0,1P BC ∈2101λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()123134λμλμμμ≤+=-+=+≤λμ+[]1,4P CD ∈0211λμμ≤-≤⎧⎨=⎩()()323234λμλμμλμ≤+=-+=-+≤λμ+[]3,4P DA ∈2001λμμ-=⎧⎨≤≤⎩()02333λμλμμμ≤+=-+=≤λμ+[]0,3λμ+[]0,4[]0,4ABC ,,A B C ,,a b c 2cos ab C=ABC ABC ABC【解析】【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；（2）先用基本不等式证明，最后说明等号可以取到，即得结果.【小问1详解】由正弦定理并结合已知有.故，从而.由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.【小问2详解】设的外接圆半径为.一方面，我们有故；另一方面，当的等边三角形时，有，.B C =sin sin sin A B C ++≤a b c ++≤()sin 2cos sin sin cos sin cos sin sin 2sin cos a B b C BB C C B B C A B C b b+=+====sin cos sin cos B C C B =()sin sin cos sin cos 0B C B C C B -=-=(),0,πB C ∈()π,πB C -∈-()sin 0B C -=B C =ABC ABC R ()sin sin sin sin sin sin A B C B C B C++=+++sin cos sin cos sin sin B C C B B C=+++sin sin B C=++sin sin B C≤++sin sin B C=++22sin sin B B C C =+-++22sin sin B C =-+≤()2sin sin sin 2a b c R A B C R ++=++≤==ABC a b c ===π3A B C ===此时，.所以周长的最大值是.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的. 若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果. 但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.16. 已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面?【答案】（1）证明见解析；（2）存在.【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空间向量法直接求解两平面的夹角（用表示），再根据夹角条件，解关于的方程即可.【小问1详解】21cos 2a b C ===2sin a R A ===a b c ++=ABC a b c ++≤B C =sin sin sin A B C ++()2sin cos sin B B B +2sin sin sin B B B +≤+=111ABC A B C -1AB AC AA ==,M N BC 1BB P 11A C 11AN A C ⊥ANP ⊥1A MP 111A P A C λ= λ11AA B B PMN 14λ=AN⊥1A MP λλ由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即.由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故.设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故.这就得到，从而，即.111ABC A B C -1AA ⊥ABC AC ABC 1AA AC ⊥11//AC A C 11AN A C ⊥AN AC ⊥AN AC ⊥1AA AC ⊥AN 1AA 11AA B B A AC ⊥11AA B B AB 11AA B B AB AC ⊥AB R ,M R BC BA //MR AC 11//AC A C 11//MR A C 1//MR A P ,M R BC BA 1111122MR AC A C A P ===1MRPA 1//A R MP 1A R AN T 11111222BN BB AA AB AR ====1AB A A =190ABN A AR ∠=︒=∠ABN 1A AR 19090TRA A RA ANB BAN RAT ∠=∠=∠=︒-∠=︒-∠90TRA RAT ∠+∠=︒90RTA ∠=︒1AN A R ⊥而，故.由于，即，而，和在平面内交于点，故平面.由于平面，在平面内，故平面平面.【小问2详解】有，又因为平面，和在平面内，故，.由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到，，，，，，，.据题设有，显然，此时.从而有，，，.设和分别是平面和平面的法向量，则，.即，，从而可取，.此时平面与平面所成角的余弦值为，，解得，所以存在，使得平面与平面.17. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP ”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.的1A RMP AN MP ^11AN A C ⊥1AN A P ⊥AN MP ^1A P MP 1AMP P AN ⊥1A MP AN⊥1A MP AN ANP ANP ⊥1A MP AB AC ⊥1AA ⊥ABC AB AC 11AA B B 1AA AB ⊥1AA AC ⊥1,,AB AC AA A 1,,AB AC AA,,x y z 12AB AC AA ===()0,0,0A ()0,2,0B ()2,0,0C ()10,0,2A ()10,2,2B ()12,0,2C ()1,1,0M ()0,2,1N 111A P A C λ=01λ≤≤()2,0,2P λ()0,2,0AB = ()10,0,2AA = ()2,2,1NP λ=- ()1,1,1MN =-()1,,n p q r = ()2,,n u v w = 11AA B B PMN 1110n AB n AA ⋅=⋅=220n NP n MN ⋅=⋅= 220q r ==220u v w u v w λ-+=-++=()11,0,0n = ()23,21,22n λλ=+-11AA B B PMN 121212cos ,n n n n n n ⋅====22784142λλ-+=14λ=14λ=11AA B B PMN（1）现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.（2）若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n 的最小值为多少？附：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】（1）（2）① ②【解析】【分析】（1）直接使用古典概型和排列组合工具求解；（2）①直接使用正态分布数据计算出的概率，然后用概率估计实际的比例；②用正态分布数据求出的均值，再解出的最小值.【小问1详解】由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率.【小问2详解】①直接计算可得.所以故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为.②由于，故.当时，有，得.所以的最小值是.18. 已知椭圆的短轴长为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上.X ()2,N μσ10σ=μ[]50,70ξX ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈21408414750X ≥ξ0.6827n n 1237310C C 32121C 12040p ⋅⨯===354390835045827562356010μ+++++++++==()()()11500.8413522P X P X P X μσμσμσ≥=≥-=+-≤≤+≈10000.84135841⨯≈()()50700.6827P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+≈()0.6827E n ξ=()32E ξ≥0.682732n ≥46.8727n ≥n 47()2222:10x y C a b a b+=>>12,F F R的一点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得，，然后解出即可得到方程；（2）先确定，然后由已知可得的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线的斜率.【小问1详解】由已知有，即，.所以，从而.故椭圆的方程为.【小问2详解】我们有，故直线的方程为.将代入可得，解出，故，.由于，故的斜率互为相反数.12RF F △6C 2F x l ,E F E ,P Q C l QEF PEF ∠=∠PQ 22143x y +=3a c +=b =a 31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭,PE QE PQ 12PQ k =2b =1212226c a F F RF RF +=++=3a c +=b =222313a cb ac a c a c --====++3122222a c a c a +-=+=+=C 22143x y +=1c ===l 1x =1x =22143x y +=21143y +=32y =±31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭QEF PEF ∠=∠,PE QE设的斜率分别是，则由可知它们的方程分别是和.将直线与椭圆方程联立可知，即.由知此方程必有一根，故另一根是.这得到，同理有.所以直线的斜率.19. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：；（3）若函数有三个不同零点，求的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，无单调递增区间，（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出的定义域，对求导，利用导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）可得时，，从而可得，令，利用放缩法可得，利用裂项求和法即可得证；（3）对化简可得，只有一个零点，令，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，分和两种情况讨论，结合零点存在性定理即可求解．的,PE QE ,k k -31,2E ⎛⎫⎪⎝⎭32y kx k =+-32y kx k =-++32y kx k =+-22334122x kx k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭()()()2223443232120k xk kx k ++-+--=31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =()2222321241233443k k k x k k ----==++()2222412312129,43243k k k k P k k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭()2222412312129,43243k k kk Q k k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭PQ ()()222222222212129121291224324314324412341232434343PQk k k k k k k k kk k k k k k k k -++--+-+++===+----+++()12ln f x x x x=-+()f x ()2*3222211111111e N 2234n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()221ln 20g x m x x m x=--+>m ()f x (0,)+∞(1,)+∞()f x ()f x (1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2111ln(11122n n n +<--+()g x ()(ln ln g x m x m x =ln y m x =+1x =t =()g x ()h t 01m <≤1m >【小问1详解】函数定义域为，因为，所以在上单调递减，故的单调递减区间为，无单调递增区间，【小问2详解】证明：由（1）时，，所以，令，则，，故所以；【小问3详解】，因为与同号，所以，令，，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，函数定义域为，因为，()f x (0,)+∞()2222212121()10x x x f x x x x x---+-'=--=≤=()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x<-*211(N ,2)x n n n =+∈≥2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1)ln(1)ln(1)234n++++++++ 111111()()()1111112233222222n n <-+-++--+-+-+2121332n =-<+()*222211112ln 1111N 22343n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<∈≥ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2322221111(1)(1)(1(1)e 234n++++< 222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=+ln x 1x -ln y m x =+1x =t =1ln 2ln y m x m t t t =--+()10f =()g x 1()2ln (0)h x m x x m x =-+>()h x (0,)+∞2222121()1m x mx h x x x x -+-'=--=设，则，①当时，，恒成立，此时在上单调递减，显然不符合题意，②当时，，有两个零点，，所以当时，，即；当时，，即；当时，，即．故在，,上单调递减，在,上单调递增；因为，且，所以，所以，由（2）知，时，，所以，即，所以，所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，因为，因为，所以，所以时，存在三个不同的零点，1，，故实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0∆≤()0h x '≤()h x (0,)+∞1m >0∆>()k x 1x m =-2x m =10x x <<()0k x <()0h x '<12x x x <<()0k x >()0h x '>2x x >()0k x <()0h x '<()h x 1(0,)x 2(x )∞+1(x 2)x ()10h =121=x x 121x x <<()1()1h x h <=02()h x <1x >1ln 22x x x <-<-ln x <2222222211114(4)2ln(4)42(2404244m h m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<()h t 22(,4)t m 0t 000000001111()(2ln 2ln 0h t h m t t m t t t t t +=-++-+=0()0h t =01(0h t =1m >()h t 01t 0t m (1,)+∞。

高三数学试题(理科)

高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ．－124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ．直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是月日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直，则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ．（Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围；（Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。

湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)

湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．（3分）在0.2，，﹣1，四个数中属于无理数的是（）A．0.2B．C．﹣1D．2．（3分）如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算结果正确的是（）A．a+a2＝a3B．2a6÷a2＝2a3C．2a2•3a3＝6a6D．（3a3）2＝9a64．（3分）三角形的两边长分别是9、17，则此三角形第三边的长不可能是（）A．15B．21C．8D．95．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（）A．0.17×105B．1.7×105C．17×104D．1.7×1066．（3分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，∠D＝30°，则∠A的度数为（）A．30°B．120°C．150°D．40°7．（3分）立夏是二十四节气中的第七个节气，是夏季的第一个节气，如图是我省某地立夏后某一周的最高气温折线统计图则这一周每日最高气温的众数是（）A．35B．33C．30D．没有众数8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）一次函数y＝2x+3的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，AC＝5，DE＝3则EF=（）A．B．C．4D．二.填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。