2019年重庆高考数学(理科)试题
2019年重庆高考《数学考试说明(理工类)》答案解析
2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2,3}，而U ＝{1,2,3,4}，故U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2． 答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． 3． 答案：B解析：=a ≤3，所以当32a =-92=. 方法二：∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0.而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a －6)≥，即9≥92≤，当且仅当3－a ＝a ＋6， 即32a =-时取等号． 4． 答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y ++(+)++=，可解得y ＝8.故选C ． 5． 答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C ． 6． 答案：A解析：由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ． 7． 答案：A解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．8． 答案：B 解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9． 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒ ＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝122sin40sin4022cos40︒+⨯︒-︒=︒. 10． 答案：D解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2<≤所以|OA |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名，则需选内科医生(5－x －y )人．(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法；(4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°.在Rt △BCD 中，可求得CD＝BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5. 15．答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2，∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 16．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a －6，故12a =. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝23x x x (-)(-).令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 18．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球， 则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105⋅=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105⋅=， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==， P (X ＝0)＝12461105105357---=.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)．19．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3故A (0，－3,0)，B 0,0)，C (0,1,0)，D (0,0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又AF ＝0,2,2z ⎛⎫⎪⎝⎭，PB ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－22z ＝0，z =(舍去-)，所以|PA |＝23.(2)由(1)知AD ＝(3,0)，AB ＝，3,0)，AF ＝(0,2)，设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩因此可取n 1＝(3，－2)．由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3，，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D的正弦值为8. 20．解：(1)因为a 2＋b 2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B＝5， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝2，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，sin A sin B， 解得sin A sin B=由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.理)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学 (重庆理卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A ．3 B.4 C. 5 D. 6（2）命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<x C.若1>x 或1-<x ，则12>x D.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x（3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A ．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 （4）若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A10 B.20 C.30 D.120（5）在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+（6）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）A ．41 B ．12079 C ． 43D ．2423（7）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22（8）设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a 2111lim （ ） A ．0 B ．41 C ．21D ．1 （9）已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)（10）如图，在四边形ABCD 中，→→→→→→→⋅=⋅=++DC BD BD AB DC BD AB ,4||||||=0,→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB 则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）A.2B. 22C.4D.24二、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数322ii+的虚部为________. （12）已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-1421x y x y x ，则函数z = x+3y 的最大值是________.（13）若函数f(x) =1222--+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为_______.（14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+x x 的两根，则=+20072006a a __________.（15）某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。
2019年重庆市高考理科数学试卷及答案解析
2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内表示复数z（l-2z）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［核心考点］考查复数的运算，复数的几何意义。
［解析］z（l-2z）=2+z,其在复平面上对应的点为Z（2,l）,位于第一象限。
［答案］A2.对任意等比数列{%},下列说法一定正确的是（）A.%、。
3、。
9成等比数列B.%、。
3、。
6成等比数列C.％、。
4、小成等比数列D.%、。
6、。
9成等比数列［核心考点］考查等比数列的性质应用。
［解析］根据等比数列的性质，就=%%，故向、％、％成等比数列。
［答案］D3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数1=3,亍=3.5,则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2AC.y=-2x+9.5D.y=-O.3x+4A［核心考点］考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。
［解析］由变量X与y正相关可排除选项C、D,由样本中心点（2.5,3.5）在回归直线方程上可得回归直线方程可能为y=0.4"2.3。
［答案］A题5图［解析］由题知，2a-3b=（2k-3,-6）,因为（2一万少c,所以（2a—3》）c=0,所以(2i—》c)=2(2+W)=伙-6)=4,解得k=3。
［答案］C5.执行如题5所示的程序框图，若输出R的值为6,则判断框内可填入的条件是（）1 A.s〉一23 s>—57 C.s>—10B.4 D.s>—5［核心考点］考查程序框图的相关知识。
9X777［解析］由s=l------=—,故当判断框内填入$〉一时，输入如勺值为6。
10 9810106.［答案］C已知命题p:对任意xeR，总有2’>0:q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（）L p/\q B.—p/\^qC.—p/\qD.p/\—^q［核心考点］考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充件的判定。
重庆市2019年高考理科数学试题及答案
重庆市2019年高考理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．A ．–3B ．–2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │ 10．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)-数学(理)解析版
2019普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）-数学（理）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学理一.填空题：本大题共10小题，每题5分，共计50分。
在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 那么}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.25【答案】B【解析】422514d a a d=-=-,523167a a d =+=+=,故155()5651522a a S +⨯⨯===. 【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. 2.不等式0121≤+-x x 的解集为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩【考点定位】此题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r=<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,应选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.4.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.105【答案】B【解析】841881()2r rrr r r r T C C x--+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】此题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 〔5〕设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，那么tan()αβ+的值为 （A ）-3〔B 〕-1〔C 〕1〔D 〕3 【答案】A 【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+- 考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 〔6〕设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，那么a b +=〔ABC〕D 〕10 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】此题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.〔7〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的〔A 〕既不充分也不必要的条件〔B 〕充分而不必要的条件 〔C 〕必要而不充分的条件〔D 〕充要条件 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数【考点定位】此题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答此题的关键。
2019年 数 理 (重庆)
2019年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学（理工科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A 、3B 、4C 、5D 、62、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ） A 、若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1- B 、若11<<-x ，则12<x C 、若1>x 或1-<x ，则12>xD 、若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥13、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） A 、5部分 B 、6部分 C 、7部分 D 、8部分4、若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A 、10B 、20C 、30D 、1205、在ABC ∆中， 75,45,3===C A AB ，则BC 等于（ ）A 、33-B 、2C 、2D 、33+6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A 、41 B 、12079 C 、43 D 、2423 7、若a 是b 21+与b 21-的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A 、1552 B 、42C 、55 D 、22 8、设正数b a ,满足nn n n n b a ab a 2lim 111++--+∞→等于（ ）A 、0B 、41C 、21 D 、19、已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（ ）A 、)7()6(f f >B 、)9()6(f f >C 、)9()7(f f >D 、)10()7(f f >DCBA10、如右图，在四边形ABCD 中，4||||||=++DC BD AB ，4||||||||=⋅+⋅DC BD BD AB ，0=⋅=⋅DC BD BD AB ，则AC DC AB ⋅+)(的值为（ ）A 、2B 、22C 、4D 、24二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上. 11、复数322ii+的虚部为_______________. 12、已知、y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-,1,42,1x y x y x 则函数y x z 3+=的最大值是____________.13、若函数12)(22-=-+aax xx f 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________________.14、设}{n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a _____________.15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）16、过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则||||FQ FP ⋅的值为_____________.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分） 设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角α满足323(-=αf ，求α54tan 的值.C EDA 1B 1C 1CBA18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望.19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）如右图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,1,21=∠==ABC AB AA ；点D 、E 分别在D 、A BB 11上，且D A E B 11⊥，四棱锥1ABDA C -与直三棱柱的体积之比为5:3. （Ⅰ）求异面直线DE 与11C B 的距离； （Ⅱ）若2=BC ，求二面角111B DC A --的平面角的正切值.yxlOFP 3P 2P 120（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值a --3，其中a 、b 为常数. （Ⅰ）试确定a 、b 的值； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足11>S ，且+∈++=N n a a S n n n ),2)(1(6.（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n b 满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为}{n b 的前n 项和，求证：+∈+>+N n a T n n ),3(log 132.22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321、P 、P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学参考答案（理工科）一、选择题 ADCBA CBBDC二、填空题：11、54 12、713、]0,1[-14、18 15、25 16、338 三、解答题：17、解：（Ⅰ）x xx f 2sin 322cos 16)(-+⋅=32sin 32cos 3+-=x x 3)2sin 212cos 23(32+-=x x 3)62cos(32++=πx故)(x f 的最大值为332+；最小正周期ππ==22T . （Ⅱ）由323)(-=αf 得3233)62cos(32-=++πα，故1)62cos(-=+πα.又由20πα<<得6626πππαπ+<+<，故ππα=+62，解得125πα=.从而33tan 54tan==πα.。
2019年重庆高考数学试题及答案(理科)
单项选择题1、（）与我国体育事业的发展有着密切的联系，她是我国“全民健身计划”的重要组成部分。
A．竞技体育B.群众体育C.学校体育D.社区体育答案：C分数：2分题型：单选题2、高等职业学校把加强（）与抓好校风、学风建设紧密联系起来，是有远见卓识之举。
A.课余训练B.早操C.课间操D.课后运动答案：B分数：2分题型：单选题3、国家规定体育课为高职院校的（）A.必修课B.选修课C.自愿开课D.不必开课答案：A分数：2分题型：单选题4、高职体育课外体育活动的形式不包括（）A.早操B.课余运动训练C.田径运动会D.课堂教学答案：D分数：2分题型：单选题5、《全国普通高职学院体育课程教学指导纲要》于( )年颁布A.2002年B.2003年C.2004年D.2005年分数：2分题型：单选题6、“体育”一词最初由( )于18世纪60年代启用。
A.中国B.英国C.法国D.美国答案：C分数：2分题型：单选题7、科学体育锻炼的原则不包括( )A.积极性原则B.单一性原则C.经常性原则D.循序渐进原则答案：B分数：2分题型：单选题8、校内、外一体化（）模式是当前各高职院校正在实施和不断探索完善过程中的一种新型教育模式。
A.早操B.野外活动C.体育竞赛D.俱乐部答案：D分数：2分题型：单选题9、学校体育处于（）和社会体育之间，起着承前启后的作用。
A.社区体育B.群众体育C.家庭体育D.竞技体育答案：C分数：2分题型：单选题10、体育既是教育（），又是教育内容、方法和手段。
A.目标B.目的D.定义答案：A分数：2分题型：单选题11、（）是奥林匹克运动的发祥地。
A.英国B.德国C.法国D.希腊答案：D分数：2分题型：单选题12、（）被誉为世界乒坛皇后，A.王楠B.邓亚萍C.张怡宁D.李晓霞答案：B分数：2分题型：单选题13、NBA是（）的缩写A.美国职业篮球联赛B.纽约职业篮球赛C.北部职业篮球联赛D.全国篮球联赛答案：A分数：2分题型：单选题14、2012年夏季奥运会的举办地是（）A.希腊B.巴黎C.伦敦D.北京答案：C分数：2分题型：单选题15、现任奥委会主席是（）A.萨马兰奇C.顾拜旦D.维拉凯拉答案：B分数：2分题型：单选题16、奥运历史上，第一只被称为篮球“梦之队”的国家队是（）A.西班牙队B.阿根廷对C.希腊队D.美国队答案：D分数：2分题型：单选题17、2008年第29届奥运会的举办城市是（）A.希腊B.北京C.莫斯科D.东京答案：B分数：2分题型：单选题18、田径比赛中，距离最长的径赛项目是（）A.马拉松B.10000米C.标枪D.链球答案：A分数：2分题型：单选题19、“温布尔顿”网球比赛举办国家是（）A.美国B.法国C.英国D.澳大利亚答案：C分数：2分题型：单选题20、科比.布莱恩特现效力的球队是（）B.马刺C.芝加哥公牛D.洛杉矶湖人答案：D分数：2分题型：单选题21、田径运动会中通常把以时间计测成绩的比赛项目称为（）A.田赛B.径赛C.竞赛D.全能比赛答案：B分数：2分题型：单选题22、北京奥运会举办开闭幕式的场地叫做（）A.水立方B.奥林匹克森林公园球场C.鸟巢D.五棵松球场答案：C分数：2分题型：单选题23、（）被誉为世界第一大运动A.篮球B.足球C.网球D.乒乓球答案：B分数：2分题型：单选题24、所有跨栏项目中都设置（）个栏架A.8B.9C.10D.11答案：C分数：2分题型：单选题25、足球正式比赛时间为（）A.60分钟B.80分钟C.90分钟D.100分钟答案：C分数：2分题型：单选题26、竞技排球的比赛中上场人数为（）A.5人B.6人C.7人D.11人答案：B分数：2分题型：单选题27、“发展体育运动，增强人民体质”最早是由（）提出的A.江泽民B.胡锦涛C.周恩来D.毛泽东答案：D分数：2分题型：单选题28、正常人安静状态下的心率一般大约为（）左右A.50次/分钟B. 70次/分钟C. 90次/分钟D.120次/分钟答案：B分数：2分题型：单选题29、体操比赛中平衡木项目设置在（）A.女子组B.男子组C.男女都有D.任意自选答案：A分数：2分题型：单选题30、以下哪个项目目前还没有称为奥运会正式比赛项目（）A.水球B.马术C.自行车D.武术答案：D分数：2分题型：单选题31、肺活量体重指数=A、肺活量*体重B、肺活量/体重C、体重*肺活量D体重/肺活量答案： B分数：2分题型：单选题32、国家学生体质健康标准》于2007年9月颁布了修改后的的标准，达到良好水平的得分为（）。
高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)
高考重庆理科数学试题及答案(word 解析版) 2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求． （1）【2019年重庆, 理1】已知集合{}1,2,3A =, {}2,3B =, 则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅I （C ）A B Ü （D ）B A Ü 【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠Q ，且, 故选D ．（2）【2019年重庆, 理2】在等差数列{}n a 中, 若24a =, 42a =, 则6a =（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =, 故选B ． （3）【2019年重庆, 理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右,则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=, 故选B ．（4）【2019年重庆, 理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-, 故选B ．（5）【2019年重庆, 理5】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的, 其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭, 故选A ． （6）【2019年重庆, 理6】若非零向量,a b r r满足22||||a b =r r , 且()()32a b a b -⊥+r r r r , 则a r 与b r 的夹角为（ ）（A ）4π （B ）2π （C ）34π（D ）π【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=r r r r r r r r g , 结合22||||a b =r r , 可得2||3a b b =r r rg ,2cos ,,,[0,],4||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=r rr r r r r r g r r , 故选A ．（7）【2019年重庆, 理7】执行如图所示的程序框图, 若输入k 的值为8, 则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤ 【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==Q 是，是, 114+24k s ⇒==，是, 1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否, 判断框内应该填11111++=24612s ≤, 故选C ．（8）【2019年重庆, 理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴,过点()4,A a -作圆C 的一条切线, 切点为B , 则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=, 其圆心坐标为2,1C （）, 半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线, 它过圆心2,1C（）, 所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=由几何图形可知,6AB ===,故选C ．（9）【2019年重庆, 理9】若tan 2tan 5πα=, 则3cos()10sin()5παπα--＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tan sin cos 5cos 5ππαααπ=⇒=⊗Q , 3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-, 故选C ． （10）【2019年重庆, 理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F , 右顶点为A , 过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点, 过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）（A ）()()1,00,1-U （B ）()(),11,-∞-+∞U （C）()(U （D）(),-∞+∞U【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中, 由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-, 由题意得：22()()c a c a a +-<01b a a c a=+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a=±∴∈-U , 故选A ．二、填空题：本大题共6小题, 考生作答5小题, 每小题5分, 共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2019年重庆, 理11】设复数()i ,a b a b R +∈的模为3, 则()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈的模为2222333a b a b ⇒+=⇒+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=．（12）【2019年重庆, 理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）． 【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r r r r r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=Q ．故35()2x x+的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2019年重庆, 理13】在ABC ∆中, 0120B =, 2AB =, P ABC -的角平分线3AD =, 则AC = ．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠o o o , 30C ∴∠=o , 再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题, 请从中任选两题作答, 若三题全做, 则按前两题给分． （14）【2019年重庆, 理14】如图, 圆O 的弦,AB CD 相交于点E , 过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P , 若6PA =, 9AE =, 3PC =, :2:1CE ED =, 则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2019年重庆, 理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=Q 由222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）．（16）【2019年重庆, 理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5, 则实数a = __． 【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, 所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, |1|54a a +=⇒=, 综上, 可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题, 共75分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程． （17）【2019年重庆, 理17】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗, 设一盘中装有10个粽子, 其中豆沙粽2个, 肉粽3个, 白粽5个, 这三种粽子的外观完全相同, 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数, 求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”, 则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2, 且()383107015C P X C ===, ()12283107115C C P X C ===,()21283101215C C P X C ===．故分布列见表： 且()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2019年重庆, 理18】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 故()f x 的最小正周期T π=, 最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤, 从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时, ()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时, ()f x 单调递减．因此, ()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增, 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减． （19）【2019年重庆, 理19】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问9分）如图, 三棱锥P ABC -中, PC ⊥平面ABC , 3PC =, 2ACB π∠=, ,D E 分别为线段,AB BC上的点, 且2CD DE ==, 22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值． 解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC , DE ⊂平面ABC , 故PC DE ⊥．又2CD DE ==, 2CE =, 故CDE ∆X 0 1 2 P 715 715 115为等腰直角三角形, 且CD DE ⊥．因PC CD C =I , PC ⊂平面PCD , CD ⊂平面PCD ,所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图, 取CE 的中点F , 连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形, 故DF CE ⊥,1DF CF FE ===．又2ACB π∠=, 故//DF AC , 因此23DF FB AC CB ==, 从而32AC =．以C 为原点, ,,CA CB CP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C xyz -．则()0,0,0C , 3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭, ()0,2,0E , ()1,1,0D , ()0,0,3P , 故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,()1,1,3DP =--u u u r , ()1,1,0DE =-u u u r ．设()1111,,n x y z =u u r 为平面APD 的法向量, 则1100n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩, 取11y =得()12,1,1n =u u r ．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD , 故DE u u u r 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅u u r u u u ru u r u u u r u u r u u u r , 故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2019年重庆, 理20】（本小题满分12分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e+=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值, 确定a 的值, 并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数, 求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+'==, 因()f x 在0x =处取得极值, 故()00f '=, 得0a =．因此()23x f x x e -=, ()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e=, ()31f e'=, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e -=-即30x ey -=．（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立, 故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减, 故()()max 932g x g ==-, 所以92a ≥-, 即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（21）【2019年重庆, 理21】（本题满分12分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问7分）如图, 椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F , 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点, 且1PQ PF ⊥．（Ⅰ）若1||22PF =+, 2||22PF =-, 求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =, 求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=, 故2a =．又222124||||12c PF PF =+=, 故23c =, 因此zyxF PEDCBA2221b a c =-=, 从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ,由题(1114||||||2||a F P PQ QF F P =++=,故(1||22F P a =, 从而21||2||F P a F P =-)21a =, 因此(2222124||||49c PF PF a =+=-, 所以229e =-,得e（22）【2019年重庆, 理22】（本题满分12分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中, 13a =,()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=, 2μ=-, 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥, 1μ=-, 证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=, 2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>, 故0n a >, 得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列, 从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因130a =>, 故1230n a a a =>>>>>L L ．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑,因此001212k k a a a a +>>>>>L , 从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+ ⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。
(完整)2019年重庆高考理科数学试卷及答案解析,推荐文档
2
2
一个与 ABCD 所在平面距离等于 2 的平面去截球，S 便为其中一个交点，此平 4
面的中心设为 H，则 OH
2 2
2 4
2 4
，故 S故
SG
SH 2 HG2
7 8
2 2 4
1
（10）设 m，k 为整数，方程 mx2 kx 2 0 在区间（0,1）内有两个不同的根，
故抛物线开口向上，于是 m 0 ， 0 k 2m ，令 m 1，则由 k 2 8m 0 ，得
k 3 ，则 m k 3 ，所以 m 至少为 2，但 k 2 8m 0 ，故 k 至少为 5，又 22
m k 5 ，所以 m 至少为 3，又由 m k 2 5 2 ，所以 m 至少为 4，……依 22
b a
4a b
4
1 2
5
2
b A4a ab
9 2
（8）在圆 x2 y2 2x 6 y 0 内，过点 E 0,1的最长弦和最短弦分别为 AC 和
BD，则四边形 ABCD 的面积为
（A） 5 2
（B）10 2
（C）15 2
（D） 20 2
解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为 F，则 FE BD ,圆的标准方程为
次类推，发现当 m 6, k 7 时， m, k 首次满足所有条件，故 m k 的最小值为 13
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案写在答题卡相应 位置上。
（11）在等差数列an中， a3 a7 37 ，则 a2 a4 a6 a8
解析：74. a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 ，故 a2 a4 a6 a8 2 37 74
（12）已知单位向量 ci , c j 的夹角为 60 ，则 2ci c j
2019年重庆市高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2019年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1?q2，a1?a9=?q8，（a3）2≠a1?a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1?q2）2≠a2?a6=?q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1?q3）2≠a2?a8=?q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1?q5）2=a3?a9=?q10，故D项说法正确，故选：D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“ｘ＞1”不能推出“ｘ＞2”；但是“ｘ＞2”能推出“ｘ＞1”所以：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex ﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B={7，9} ．【分析】由条件利用补集的定义求得?U A，再根据两个集合的交集的定义求得（?A）∩B．U【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（?U A）={4，6，7，9 }，∴（?U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．【解答】解：∵f（x）=log2?log（2x）∴f（x）=log（）?log（2x）=log x?log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝=．故答案为：．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ＝﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X123P所以E（X）=．【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到?=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB?cos（∠BAD）=，OB=AB?sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴?=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ＝==﹣故sinθ＝=【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a n+1=+b，可求a2，a3；证明{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+1，∴{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（a n﹣1）2=n﹣1，∴a n=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。
2019年重庆高考理科数学真题及答案
2019年重庆高考理科数学真题及答案本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅= A ．–3 B ．–2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B．5C．3D．511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)2．设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB BC=A．-3 B．-2C．2 D．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有１引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。
2019年重庆市高考数学试卷(理科)答案解析
2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的=2．（5分）不等式的解集为（）．B D．由不等式可得，解得﹣＜的解集为224．（5分）的展开式中常数项为（）．．的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=，=0=，2==6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）．．，以及|===）且⊥，∥，则有||=，7．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增8．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的））），AD=＜＜．10．（5分）设平面点集．．∵⇔或均关于故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法解：===，．本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．，cosB=，sinA==sinB==，=sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：=．故答案为：14．（5分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=+x，所以）x+，|AF|=+x故答案为：15．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为=216文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有节艺术课，则排法种数为若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，则排法种数为而所有的排法共有=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（，确定函数的单调性，即可求得函求导函数可得，∴（（舍去）17．（13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=，（（==（（（×+=（（=（=1 2×+2××=18．（13分）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．sin2）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的﹣）cos sincos x+sin2][所以，解不等式得≤[）在区间上为增函数⊆[，于是有，故．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D=．所以，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h），=，=2 =，的法向量为=，则有⊥，⊥•=0且•，即，取，则=，的法向量为⊥，⊥，即=0，得＜，==余弦值。
2019年高考数学重庆卷(理)全解全析
2019年高考（重庆卷）数学（理科）解析满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k以R 为半径的球的体积V =43πR 3.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1+32i = (A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3【标准答案】A 【试题解析】1+32i=1+33221112i i i i i +=+=+ 【高考考点】复数的概念与运算。
【易错提醒】计算失误。
【备考提示】复数的概念与计算属于简单题，只要考生细心一般不会算错。
(2) 设,m n 是整数，则“,m n 均为偶数” 是“m n +是偶数”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【标准答案】A【试题解析】,m n 均为偶数m n ⇒+是偶数 则充分； m n +是偶数则,m n 均为偶数或者,m n 均为奇数即m n +是偶数≠>,m n 均为偶数 则不必要，故选A【高考考点】利用数论知识然后根据充要条件的概念逐一判定 【易错提醒】m n +是偶数则,m n 均为偶数或者,m n 均为奇数【备考提示】,m n 均为偶数m n ⇒+是偶数，易得;否定充要时只要举例：1,3m n ==，即可。
2019年 数 学 理 (重 庆 )
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．对任意x ∈R ，都有x2＜0B ．不存在x ∈R ，使得x2＜0C ．存在x0∈R ，使得x02≥0D ．存在x0∈R ，使得x02＜03－6≤a ≤3)的最大值为( )．A ．9B ．92 C ．3 D．24．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )．A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,85．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．5603B ．5803C ．200D ．2406．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x－a )的两个零点分别位于区间( )．A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内7．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6-8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )．A ．k≤6 B．k≤7 C ．k≤8 D．k≤99．4cos 50°－tan 40°＝( )．AB． C．1-10．在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|OP |＜12，则|OA |的取值范围是( )． A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝ 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知复数5i 12iz =+(i 是虚数单位)，则|z |＝__________. 12．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S 8＝__________.13．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝__________.16．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．18．(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．19．(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB ． (1)求PA 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．20．(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝5，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．21．(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程．22．(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理）参考答案一、选择题：1．D2．D3． B4．C5．C6．A7．A8．B9．C10．D二、填空题：1112．6413．59014． 515．1616．(－∞，8]三、解答题：17．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故12a=.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x＞0)，f′(x)＝x－5＋6x＝23x xx(-)(-).令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.18．解：设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i(i＝0,1,2,3)与B j(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝123437C C18C35=.(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝3337C11C3105⋅=，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3337C22C3105⋅=，P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝213437C C1124C310535⋅==，P(X＝0)＝12461105105357 ---=.综上知X的分布列为从而有E(X)＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．。