2021届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析人教版.doc

第3讲圆锥曲线的综合应用

JIE TI CE LUE MING FANG XIANG

解题策略·明方向

⊙︱考情分析︱

1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．

2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱

(理科)

年份卷别题号考查角度分值

2020Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12 Ⅱ卷19

椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线

和椭圆的标准方程

12 Ⅲ卷20椭圆标准方程和求三角形面积问题12

2019Ⅰ卷19直线与抛物线的性质的综合应用12 Ⅱ卷21

求曲线的方程、直线与椭圆的位置关系、最值问

题

12 Ⅲ卷21

直线过定点问题、直线与抛物线的相交弦问题、

点到直线的距离及四边形的面积

12

2018Ⅰ卷19直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题12 Ⅱ卷20点的轨迹问题、椭圆的方程、向量的数量积12 Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明12

年份卷别题号考查角度分值

2020Ⅰ卷21圆锥曲线的顶点问题12 Ⅱ卷19椭圆和抛物线的标准方程及其应用12

Ⅲ卷21

椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义

和数形结合求三角形面积，

12

2019Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12 Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12 Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12

2018Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12

Ⅱ卷 20 直线的方程，直线与抛物线的位置关系、圆的方程

12 Ⅲ卷

20

直线与椭圆的位置关系、证明问题

12

KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN

考点分类·析重点

考点一 圆锥曲线中的最值、范围问题

典例悟通

典例1 (2020·青海省玉树州高三联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛

物线C ：y 2＝2px (p >0)相切．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．

【解析】 (1)将l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px 联立得：y 2－2py ＋2p ＝0， ∵l 与C 相切，∴Δ＝4p 2－8p ＝0，解得：p ＝2， ∴抛物线C 的方程为：y 2＝4x .

(2)由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：x ＝ty ＋1，

联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x

x ＝ty ＋1得：y 2－4ty －4＝0．

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝4t 2＋2， ∴线段AB 中点M (2t 2＋1,2t )．

设A ，B ，M 到直线l 距离分别为d A ，d B ，d M ， 则d A ＋d B ＝2d M

＝2·|

|2t 2

－2t ＋22

＝2

2||

t 2－t ＋1＝22⎪⎪⎪

⎪(t －12)2＋3

4， ∵(t －12)2＋34≥3

4

，

∴当t ＝12时，⎪⎪⎪⎪(t －12)2＋34min ＝3

4

， ∴A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值为：22×34＝32

2

.

方法感悟

求解范围、最值问题的五种方法

(1)利用判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；

(3)利用隐含的不等关系，求出参数的取值范围；

(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数值域的方法，确定参数的取值范围．

跟

踪训练

1．(2020·北京昌平区期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2，点M (0，2)在

椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2．

(1)求椭圆C 及圆O 的标准方程；

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S < 3.

【解析】 (1)由题意，椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)．

可得⎩⎪⎨⎪⎧

c a ＝32

，b ＝2，

a 2

＝b 2

＋c

2

，解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 2＝8，

b 2＝2，

c 2

＝6.

所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2

2＝1．

因为焦点在x 轴上，

所以椭圆C 的焦点为F 1(－6，0)，F 2(6，0)． 所以直径为F 1F 2的圆O 的方程为x 2＋y 2＝6．

(2)由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋m (k <0，m >0)． 因为直线l 与圆O 相切，