激波中的基本概念

1 dp 1 p 2 v p c 2 dt c t 1 p v v 1 = 2 2 v v f ' c t c t

a)对于定常流动，不可压缩判据要求对流项很小

马赫数还代表气体的动能和内能之比
V2 V2 1 2 动能 = 2 = 2 M 1 p 内能 CvT 2 -1
M数很小，说明相对于内能而言，动能很小，速度的变化不会引起显 著的温度变化。 M数很大，此时动能相对于内能来说很大，微小的速度变化都可以引 起温度、压力、密度等热力学量的显著变化。这个时候就必须考虑热 力学关系及能量方程了。 是否可以这样理解:马赫数的大小表示流体不稳定性的强度？
dJ

dx u c(沿C+上) dx
J J J J dt dx dt (u c)dt t x t x dt (u c称为特征线，J+称为黎曼不变量 它们是沿特征线物理量应满足的相容关系。扰动波是沿着特征线传播 的。
3.亚声速流中，质量通量密度随速度增加而增加 超声速流中，质量通量 密度随流速增加而减少
d u u2 1 2 du c
拉威尔喷管
一维可压缩非定常流

一维非定常等熵流的连续性方程和动量方程为：
u u 0 t x x u u c 2 u 0 t x x
1 U 2 v v 2 c L
于是：
U c
即对于气体作定常运动,当流体运动速度远小于声速时,流动的压缩性 效应可以忽略不计.

对于非定常流动,不可压缩判据还要求
1 p U c 2 t L
可以得到，
L c
（τ是固定点上速度发生显著变化的时间） 即，当非定常流动中的质点速度变化远远小于声速,并且速度发生显 著变化的时间比声速通过流场特征距离所需的时间大的多,流体的压缩 效应可以忽略不计.

一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速； 马赫数

激波的产生过程
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播； 特征线与黎曼问题

激波产生的原因
物理角度； 数学角度

激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波

激波跃变关系
从物理上考察激波的形成


气体中微弱扰动是以当地音速向四周 传播的。物体以亚音速运动时，扰动 传播速度比物体运动速度大，所以扰 动集中不起来，这时整个流场上流动 参数的分布是连续的。当物体以超音 速运动时，扰动来不及传到物体的前 面去，结果前面的气体受到运动物体 突跃式的压缩，形成集中的强扰动， 这时出现一个压缩过程的界面，称为 激波。 压缩波后面的压力、密度、流速u和 声速c等要增高，因此较晚发出的压缩 波将比它前面发出的压缩波运动速度 快，最终将导致后面的压缩波赶上前 面的波。
马赫数

Mach number是可压流体中最重要的相似参数，它控制可压缩流动的 特性，所有无量纲物理量都依赖于它。一条流线中的完全气体在等熵 运动过程中有：
T 1 2 1 M T0 2
p T p0 0 T0
dp u 0 du
2.声速随流速增加而减少，马赫数随流速增加而增加。
dc 1 dc 2 1 c 2 d u 2 p 3 2 0 du 2c du 2c s du 2c s
dM d u 1 M 2 2 p 0 du du c c 2c 3 2 s

一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速； 马赫数

激波的产生过程
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播； 特征线与黎曼问题

激波产生的原因
物理角度； 数学角度

激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波

激波跃变关系

一组概念
可压缩流动 超音速亚音速 马赫数

激波的产生
小扰动波动的传播
有限振幅波动的传播 特征线与黎曼问题

从上式中可以得到：
u c u c u c 0 t t x x

引入两个变量：
J u

c

d
c J u d

则上式可写成： u c J 0 x t 令

一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速； 马赫数

激波的产生过程
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播； 特征线与黎曼问题

激波产生的原因
物理角度； 数学角度

激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波

激波跃变关系
Open question
小扰动波与有限振幅波在介质中的传播有何 区别？

小扰动波可以忽略高次项将方程线性化，而有限振幅波不能将方程线 性化，是非线性问题 小扰动波相对于气体的传播速度是未受扰动气体中的音速c0,它是一个 常数；而有限振幅波相对于气体的传播速度是当地音速c，它是一个 变数，依赖于扰动强度。 在小扰动波的传播过程中，u,p,ρ,c都是不变的；而在有限波振幅的传 播中，u,p,ρ,c等可以改变，但必须保持黎曼不变量取常数值 小扰动传播时波形是不变的，而有限振幅简单波传播时波形是不断改 变的。



一维可压缩定常等熵流沿流线参数的变化特征
1 沿流线熵s不变： Tds dh dp 0 既 1
dh

1
dp
另一方面，沿流线的动量方程为：
udu

dp 0
从这两个方程出发可推出一些流动特征
1.流线上的速度总是因压强（密度）增加而减少，因减少而增加。
d dp u 2 0 du p s du c

初始流动参量如图1所示，图中横坐标为x 因为图1中各处密度不同，密度大处波传播速 度快，于是经过一段时间后波形如图2所示 经过一段时间，波前变得无限陡，形成图3形 状 若此过程继续，则会形成图4所示的波形，这 在物理上是不可能的




事实上，当形成图3所示的波形时，粘性和热 传导的耗散作用会阻止梯度的进一步扩大，从 而形成一个间断，即激波
什么是可压缩流动？可压缩流体?
不可压缩条件:
u v w v 0 x y z
d U v dt L
1
从近似意义上讲,这意味着
上式可作为判断流动是否为不可压缩流动的定量标准.

选取热力学压强p和比熵s作为独立的热力学变量，则有
d 1 dp 1 ds dt p s dt s p dt
Open Question


如果说激波是扰动叠加的结果，则形成激波的扰动从何而 来？ 激“波”为什么不呈现“波”的特性，而是非常陡 的间断？
从数学上考察激波的形成



在超声速流中流体是可压缩得，流动必须考虑非线性作用 激波是非线性作用与耗散作用平衡的结果 超音速流满足双曲型方程，其特点是含有间断。
Open question

特征线和黎曼不变量的意义？
一维非定常流的特征线解法




以右图为例，假设x-t平面上曲线段AB 上每一点的u和c已知 由于特征线上黎曼不变量相同，则由 AP、AB两条特征线及A、B两点的黎曼 不变量就可以确定P点的u和c. 一般事先并不知道AP、BP曲线段的形 状，此时可以先由A、D、E、B的信息 求G、F、I的信息，在继续求H、K的 信息，层层推进，最后可确定P点的u 和c。 通过p的两支特征线所含的上游区域 为P点的依赖区，下游区为P点的影响 区
超音速、亚音速



在亚声速流动中，小扰动可以达到空间中 任何一点 在超音速流动中，小扰动只能传播到马赫 锥的内部 亚音速气流对应椭圆型方程，其特点是 任何一点的影响都可以传播到空间中任何 一点上去。 超音速气流对应双曲型方程，其特点是任 何一点的影响只限制在相应的特征锥内部 双曲型方程存在特征面（二维时为特征 线），马赫锥或马赫线正是超声速流中的 两族特征面(线)


磁场在MHD激波中所扮演的角色？ 激波下游是层流还是湍流？ Mach number 的大小多物理过程的影响？ 比如磁重联？
参考书目



庄礼贤等著，《流体力学》，中国科学技 术大学出版社 吴望一著，《流体力学》，北京大学出版 社 R.Courant & K.O.Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves.

激波产生的原因
物理角度 数学角度

激波跃变关系
激波前后的相容关系

完全气体情况
1 p2 1 2 1 p1 1 1 p2 1 p1
p2 2 1 , p1 1 1

流体不可能被无限压缩，极限受热力学参数控制
Open Question
激波中的基本概念
张亮 March 13，2010

一组概念
可压缩流动； 超音速亚音速； 马赫数

激波的产生过程
小扰动波动的传播； 有限振幅波动的传播； 特征线与黎曼问题

激波产生的原因
物理角度； 数学角度

激波分类
正激波、斜激波、离体激波、圆锥激波

激波跃变关系
Open question 1

讲座预告



讲座内容：激波 讲座嘉宾：姜宗林(高温气体动力学重点实 验室 主任 ) 时间：2010年3月14日（周日） 地点：教学楼804教室
thanks


1
1
1 2 1 M 2

1
即给定初始热力学参量后，在等熵过程中，任意时刻的热力学参量完 全由马赫书确定。

对上式做展开得：
1 2 4 1 M M 0 2 8
' 1 M2 0 2
虽然展开的收敛半径为1，即只对亚音速这种近似才成立，但仍可清 楚地看到Mach Number是气体可压缩程度的标志。 M数愈小，气体运动引起的压缩也愈小，可当作不可压缩流体处理； M数愈大，压缩愈严重，应按可压缩处理。
1
/ T p ds 1 dp 1 = 2 s / T p dt c dt
1 dp Tds = 2 c dt C p dt

于是我们得到不可压缩流动的一般判别条件：
1 dp U c 2 dt L
Tds
C p dt

U L
利用流体的动量守恒方程：