维纳滤波基本概念

Wiener 滤波概述
Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波,它要求输入信号是宽平稳随机序列,本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。

由
信
号
当
前
值
与
它
的
各
阶
延
迟
({n x )n ，
§3.1从估计理论观点导出Wiener 滤波
FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示. 图4.横向Wiener 滤波器
FIR 结构的Wiener 是一个线性Beyesian 估计问题.
为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数
由输入)(n x 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方
误差定义为：
xx R 这里线性0w
或a
1) 波可能会达到更好结果。

2) 在联合高斯条件下，Wiener 滤波也是总体最优的（①从Bayesian 估计意义上讲是这样，②要满足平稳条件） 3) 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的w 时，其误差性能表示：
它是w 的二次曲面，只有一个最小点，0w w =时，m in )(J w J =
§3.2维纳滤波：从正交原理和线性滤波观点分析Wiener 滤波器 Wiener 滤波器是一个最优线性滤波器，滤波器核是IIR 或FIR 的。

导出最优滤波器的正交原理,并从正交原理出发重新导出一般
IIR 。

=
∑∞
=--0
*)
(][k k
k n x w n d
均方误差是：
{}][*][n e n e E J ={}2
|][|n e E = 设权系数:
k k k jb a w +=
定义递度算子
T
k ],,[10 ∇∇∇=∇.其中
k k k k b j
a w ∂∂
+∂∂=∂∂=∇
符号J ∇是递度算子作用于J ，其中第k 项为：k k k b J
j
a J J ∂∂+∂∂=∇
要求
由J 得
∇[n
je J k
由
[e a k
∂k 代入J k ∇表达式整理得：]][*][[2n e k n x E J k --=∇
当0=∇J
k ,1,0=k 时，J 达到最小。

设J 达最小时，用][,
00n e w 表示权系数和误差e[n]，且
min J J =
则有：
0]][][[*0
=-n e k n x E ， ,1,0=k
以上为正交性原理，达到最优滤波时，误差和输入正交。

推论：0]][][[*0
0=n e n y E
由
得
⎢⎣⎡x E ,
定：
[i r x [r xd 有=i 这就是Wiener-Hopf 方程，解此方程，可得到最优权i w 0。

对于M 阶FIR 滤波器，（横向滤波器）Wiener-Hopf 方程变为：
∑-=-=-10
0]
[][M i xd x
i k r k i r w
，
1,1,0-=M k
·矩阵形式： 令T
M n x n x n x n ]]
1[,],1[],[[][+--= x
和
R =⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫-]2]1[],1[],
0[M r r r 里
0w 在示由
],[n x 。

[0e 也可以写成：]|[][][0n X n d n e n d +=
由
]|[ˆn
X n d 和
]
[0n e 正交性得：
[
]
2
ˆ2
2
][d
o d
n e E σ
σ+=2
ˆm in d J σ+=
即：2
ˆ2
m in
d d J σσ-=
由∑-=-=1
*][]|[ˆM k k n k n x w X n d ]
[0n H x w =
得
2
ˆd
σE =则
m J 0
w H
=由
入
J =
整
理
得
：
∑∑∑∑-=-=-=-=⋅+----=10
10
10
10
**2[
)(*)(M k M k M k M i x i k
xd k xd
k d
r w w k r w k r w J σ
由上式，可以看出，J 是W k 的二次曲面，是碗状曲面，碗口向上，
J min 在碗底，其实，由上式直接对w k 求导，得到一组方程，正是
wiener-Hopf 方程。

矩阵形式w w w w R J H
H
H
d
+--=xd xd r r w 2)(σ
在
x d
r 10-=R w 时
，
达最小，
min J 性
：
(J 由
故
(w J 令v
,有：
=k k
J 1
λ这是超椭圆，
k
λ为其一个轴。

数值例子1：
有一信号][n s ，它的自相关序列为k
s k r ⎪⎭
⎫
⎝⎛=212710][，被
一白噪声所污染，噪声方差为3/2，被污染信号][n x 作为Wiener 滤波器的输入，求2阶FIR 滤波器使输出信号是][n s 的尽可能的恢复。

解：本题中，][][][n v n s n x +=，][][n s n d =。

w
min
J ＃
是白
噪声函数
为:118458.01)(-⋅+=Z
Z H ②][n d 经过了一个通信信通，信道的传输函数为)(2Z H ，并加
入了白噪声1.022
=σ即：
通道模型如图5所示:
图5.通道模型
③求解：一个二阶FIR 结构Wiener 滤波器，目的是由x[n]尽可能恢复d [n ] 解： ①][n d 是一个)1(AR 过程，27.0,1)(2
1
1
11=+=-σZ a Z A
②在
][][][n v n s n x +=][n s )2(AR ,
反解但
：
R x =1.0 ⎝⎛=1③求][k r xd {}][][][n d k n x E k r xd -=
由
：
]
[]1[9458.0][n d n s n s =--,
和
][][][2n v n s n x +=代入上式
得：]1[9458.0][][--=k r k r k r s s xd
故5272
.0])1[9458.0(]0[]0[=-⨯-+=s s xd r r r
最优系数 最小均方误差：
解
-R 02
=
·或
)()
()(z z z H x xd ΓΓ=
这里)(z H 是滤波器冲激响应（权系数）的z 变换，
)(z x Γ是][k r x 的z 变换，)(z xd Γ是][k p 的z 变换。

最小均方误差为
∑∞
-∞
=--
=l xd
ol d
l r w
J ]
[2min σ
例2．有一信号][n s ，它的自相关序列为
k
s k r ⎪
⎫ ⎛=110][3/，IIR ]。

差
245
维纳滤波器的传输函数为
上式中，)(z x
+
Γ是由)(z x Γ中位于单位圆内的极点
和零点组成；+
-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ΓΓ)()(z z x xd 是对应于)()(z z x xd -ΓΓ中的因果序列
部分的z 变换。

最小均方误差为
例3．用因果滤波器实现例2的相同问题 解:
由
11)
311)(311(116620)(1111z z z z z x --=--=Γ---- 得到(+Γz x 另
令
)(z Y
上式中的][n u 代表阶跃序列。

][n y 的因果部分为
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ΓΓΓ=+-+)()()(1)(z z z z H x xd x )311()211(1
1
----z z 12
113/1--z
＝
13
113/1--z
因果的IIRWiener 滤波器比非因果的剩余误差要略大。