高等激光物理-3

陈历学 2007年3月
(2). 力学量算符的平均值
力学量算符的矩阵形式为
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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(3). 密度矩阵元的物理意义
其平均值为：
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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归结上述讨论，我们可以将密度矩阵的对角元的物理意义总结 如下：
式中的各个物理量为：
3.2 光学Bloch方程
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将上述物理量代入到密度矩阵的运动方程(3.2.1)中，可以得 到各个矩阵元的运动方程为：
上式就是没有考虑原子的衰减过程的光学Bloch方程。
3.2 光学Bloch方程
一、无衰减的光学Bloch方程
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3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
(3). 密度矩阵元的物理意义
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(4). 密度矩阵的狄拉克形式
我们计算 由此可以导出密度矩阵的狄拉克形式 我们还可以导出密度矩阵元的另一个重要性质： (3.1.26)
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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五、混合系统的密度矩阵
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[实例] 计算热平衡辐射的平均光子数
光子数N 的几率由Boltziman给出：
所以密度矩阵是
(3.1.39)
(3.1.40)
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论 高等激光物理 陈历学 2007年3月
其中
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论 [实例] 计算热平衡辐射的平均光子数 高等激光物理
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3.2 光学Bloch方程
七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义
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3.2 光学Bloch方程
七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义
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3.2 光学Bloch方程
七、光学Bloch方程的定态解
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
二、考虑衰减过程的光学Bloch方程
从上式可以看到，由于原子的衰减，也会导致原子的电偶极矩 的衰减。由第二章我们知到，电偶极矩的衰减(即类似电偶极 振子衰减)必然使辐射的谱线有一定的线宽。
3.2 光学Bloch方程
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(3.2.6)
3.2 光学Bloch方程
二、考虑衰减过程的光学Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
五、光学Bloch 方程
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3.2 光学Bloch方程
五、光学Bloch 方程
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3.2 光学Bloch方程
五、光学Bloch 方程
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六、光学Bloch 方程的矢量形式
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(3.2.8)
3.2 光学Bloch方程
二、考虑衰减过程的光学Bloch方程
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(3.2.11)
3.2 光学Bloch方程
二、考虑衰减过程的光学Bloch方程
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三、旋转波近似下的Bloch方程
本节将用慢变化包络近似和旋转波近似来进一步简化前面推 导的密度矩阵元的运动方程。 (1). 旋转波近似
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3.2 光学Bloch方程
七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义
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3.2 光学Bloch方程
七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程 一、二能级原子和光场的相互作用
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一、二能级原子模型 1、原子之间没有直接作用 由于激活原子的密度比较低，在激光理论中忽略原子之间的 直接作用是较合理的近似。原子之间的碰撞相互作用归入原子 的驰豫或衰减中。但是各个原子都与同一个光场耦合，原子之 间的这种间接作用，在一定条件下会导致原子的集体效应。但 这并非原子间的直接相互作用。 2、二能级近似 虽然实际的原子、分子等都有许多能级，在激光器中，只有 与放光直接有关的上、下能级才与光发生主要作用。泵浦作用 和衰减作用，主要提供初始条件(初始的反转粒子数)。用光与 二能级原子作用作为基本模型，既简捷又能反映问题的本质。
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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Fig3-1: 光与二能级原子相互作用模型。
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩 阵理论
一、二能级原子模型
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无相互作用时原子的自由 哈密顿H0 的本征方程为
写成矩阵表示为：
原子的跃迁频率为：
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3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
一、二能级原子模型 1、原子之间没有直接作用 2、二能级近似 二、电偶极近似 三、纯系统与混合系统- (1). 纯系综(2)混合系统 四、纯系统的密度矩阵 (1). 纯系统的密度矩阵 (2). 力学量算符的平均值 (3). 密度矩阵元的物理意义 (4). 密度矩阵的狄拉克 形式 (5). 密度矩阵元的运动方程 五、混合系统的密度矩阵 [实例] 计算热平衡辐射的平均光子数
Ch3 M-B方程理论
• 3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
• • • • •
3.2 M-B方程 3.3 行波的M-B方程 3.4 驻波M-B方程 3.5 Haken方程 3.6 单模均匀加宽行M-B方程
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Ch3 M-B方程理论
本章将建立半经典激光理论的基本框架。 激光器以及激光与物质相互作用为基础的。激光理论就是讨 论激光和物质的相互作用。 半经典激光理论的基本方程就是Maxwell-Bloch方程。建立 在下述基本理论框架下： • 半经典激光理论把光场看成经典的电磁波，基本的 光场 描述就是Maxwell方程。 • 半经典激光理论把原子看成量子化的，用量子力学描述。 • 光与原子作用时，原子的量子力学行为可用密度矩阵方法 很方便地描述。由此得到的描述原子的基本方程就是光学 Bloch方程。
(1)、二能级原子和光场的相互作用
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
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(2)、原子的电偶极矩方程
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(5). 密度矩阵元的运动方程
由薛定格方程：
和密度矩阵的狄拉克形 式，可以得到密度矩阵 的运动方程：
写成泊松括号的形式为 这样，密度矩阵矩阵元的运动方程可以直接写出为：
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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五、混合系统的密度矩阵
混合系综的密度矩阵定义 例如，对于二能级系统，有N个原子，第j个原子的态矢量是
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五、混合系统的密度矩阵
将上式代入到(3.1.26)式中得到
(3.1.26) 这正是熟知的结果。 在激光全量子理论还要用到混合系综的密度矩阵。
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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3.2 光学Bloch方程
一、无衰减的光学Bloch方程 二、考虑衰减过程的光学Bloch方程 三、旋转波近似下的Bloch方程 四、慢变化振幅近似下的Bloch方程 五、光学Bloch 方程 六、光学Bloch 方程的矢量形式 七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义 将密度矩阵用于光与二能级原子的作用，可以得到光学Bloch 方程．这是研究激光理论的基本方程。本节求出光学Bloch方 程，以下二节再利用旋转波近似和慢变振幅近似简化，并给 出光学Bloch方程的矢量形式。
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
一、二能级原子模型
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二、电偶极近似
在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射等问题时，电偶极近似 是很好的近似。但要特别注意，处理多光子问题时可能出现问 题，所以最好用A(x; t) 直接计算相互作用。 光和二能级原子相互作用时的哈密顿包括自由哈密顿和相互 作用部分: 式中, V 是光场与二能级原子的电偶极矩的相互作用，表示为：
(3.2.7)
3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
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3.3 光和二能级原子相互作用系统的M-B方程
一、二能级原子和光场的相互作用
3.2 光学Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
三、旋转波近似下的Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
三、旋转波近似下的光学Bloch方程
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在光场为零的情况下，上述非对角 矩阵元的运动方程可以简化为： 上述方程的解为：
3.2 光学Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
六、光学Bloch 方程的矢量形式
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3.2 光学Bloch方程
六、光学Bloch 方程的矢量形式
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七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义
3.2 光学Bloch方程
(2). 慢变化振幅包络近似下的光学Bloch方程
3.2 光学Bloch方程
四、慢变化振幅近似下的Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
四、慢变化振幅近似下的Bloch方程
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五、光学Bloch 方程
3.2 光学Bloch方程
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则对应的密度矩阵为
用混合系综的密度矩阵 求乎均值的公式以及运 动方程，在形式上 与纯系综的情况相似
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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利用混合系综的P的定义(3.1.17)式，则 混合系综的密度矩阵的运动方程也可由薛定格方程得到 (3.1.36)
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论 高等激光物理 陈历学 2007年3月
二能级原子作用的哈密顿量是
再假定原子没有固有偶极矩(非极性的原子或分子)，必有
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
二、电偶极近似
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三、纯系统与混合系统- (1). 纯系综
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一、无衰减的光学Bloch方程
将密度矩阵用于光与二能级原子的作用，可以得到光学Bloch方 程．这是研究激光理论的基本方程。本节求出光学Bloch方程， 以下二节再利用旋转波近似和慢变振幅近似简化，并给出光学 Bloch方程的矢量形式。 对于二能级原子，根据密度矩阵元的运动方程(3.1.15)，可得到
3.2 光学Bloch方程
三、旋转波近似下的Bloch方程
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3.2 光学Bloch方程
三、旋转波近似下的Bloch方程Байду номын сангаас
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四、慢变化振幅近似下的Bloch方程
(1). 慢变化振幅近似
3.2 光学Bloch方程
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(2). 混合系综
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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四、纯系统的密度矩阵 (1). 纯系统的密度矩阵
对一个纯系统引入的密度矩阵，称为纯系综的密度矩阵。
(3.1.1)
写成矩阵形式有： 式中的矩阵元分别为
3.1 光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论
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