小学数学竞赛十、最佳方案

十、最佳方案

上一讲我们介绍了有关“对策”的一些问题，或许能使同学们在游戏和竞赛中增加一些取胜的机会，只要同学们善于动脑筋寻找规律，就能把握住机会，出奇制胜.在我们的生活中还有一类需要我们动脑筋想办法，合理安排，统筹规划，最终得到最满意结果的事情。

例如我们家里做饭时，通常有以下步骤，择菜，洗菜，切菜，炒菜，洗米，煮饭等.如果一个人做这些事时，若能比较合理地安排前后顺序，就会在最短的时间内做好饭。

再比如同学们的父母为家人做衣服.在裁剪衣料时，如果能够精打细算，就可以在衣料一定量的前提下裁剪出更多或更好的衣服。

又比如我们上街购物时，如果事先计划好路线，就可以少走冤枉路，节省时间。

这样的事例可以举出很多.这种问题大致可以分为两类：一类是确定一项任务后，精打细算，使用最少的人力、物力去完成它；另一类是已有一定数量的人力、物力，合理调配，使之发挥最大效力，从而多、快、好省地完成任务。

本讲将一些简单的问题介绍给同学们。

例1 40名师生参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗.经过上午的劳动实践，40名师生大致可分成甲、乙、丙三类人员.每类人员的劳动效率见表.下午给他们分配的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，如何安排人员能使树苗运得最多？

分析与解这个问题是当劳动力一定的条件下如何发挥最大效力的问题.要想发挥劳动力的最大效力，首先要知道劳动人员的工作效率（已知）和“相对工作效率”（劳动人员做两项工作时的效率之比）.由相对效率可以得出劳动人员做哪项工作发挥的效力更大。

由此可知：乙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员和丙类人员都大.故应让乙类人员挖树坑，即可以挖树坑：1.2×15=18（个）。

现在离任务要求还相差“12个树坑”，需要由剩下的人员中再挑选一些人挖树坑.因为丙类人员挖树坑的相对效率比甲类人员大，故应优先选丙类人员挖树坑，可挖：0.8×10=8（个）.最后再由2名甲类人员也参加挖树坑，即可完成任务，其余的13名甲类人员运树苗，可运：20×13=260（棵）。

即最佳方案为：由13名甲类人员运树苗，其余所有人都去挖树坑。

注：同学们可以尝试其他任何分配方案，一定都会比我们上述的方案劣。

例2 现有2.8米长的方木条原料，要截成1.2米、0.9米两种长度的木条作镜框（每个镜框要用长、短木条各两根）.要做30个镜框，如何下料可以最省？

分析与解这是个节约用料的问题.如果不精打细算就会简单的用一根原料截长短木条各一根，就样就需要60根原料.而这样就会造成很大的浪费.因为每根原料剩下的残料为2.8-1.2-0.9=0.7（米）， 60根原料所剩的残料则是很大的一个数字，显然这不是最佳的方案。

如果我们考虑用一根原料分别截取长短木条，则：（1）可截1.2米木条两根，余料0.4米；（2）可截0.9米木条三根，余料0.1米。

现设取x根原料用于截法（1）：取y根原料用于截法（2）.则有

故需要原料50根即可制成30个镜框。

例3 某学校调整教室桌椅，图1中标出了教室的位置，图中“方块”表示的教室要搬出桌椅，“圆”所表示的教室要搬入桌椅，搬出、搬入桌椅的套数为图中所标数字.试作出“最佳”搬运方案。

分析与解这是一类运输问题.一般的货物运输包含两个因素，1.运输路程；2.货物重量.本例中的“货物”就是桌椅，货物重量就是桌椅的重量.我们现设一套桌椅的重量为一个重量单位，则由已知所搬桌椅共有150（80+50+20=150）个重量单位.所谓最佳运输方案就是使这150个重量单位的桌椅搬运的路程尽可能少.要做到这一点，其关键就是避免运输路线“往返重复”（我们称之为对流）.则制定最佳方案的原则是：在不产生对流的前提下就近搬运桌椅。

案.

例4 东升乡有八个行政村，如图3分布.点表示村庄，线表示道路.图中的数字表示道路的长.现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线，问怎样的架线方案能使电线最省？

分析与解要在全乡建立广播网，显然整个线路应该是连通的，并且每个村都有广播线，要使电线最省，即整个广播网络用线最短.因此架线时不能出现“环路”（闭合线路），而乡村分布图是有“环路”的，则需要将

环路“破坏”掉，使得架线方案中只有7条线将8个村庄连通，井且这7条线的总长最短。

在破坏环路时，我们将环路时较长的路线去掉，当所有的环路都不存在时，剩下来的线路必是最短的。

首先破坏环路AGEFA，因为AF最长，故去掉AF.下面依次：在AGHBA 中去掉AB；在BCHB中去掉BC；在CDHC（中去掉CD；在CEHD中去掉HD；在HEGH中去掉EG；到此为止，所有的环路都破坏掉了，剩下来的便是我们所需的架线路线图（如图4所示），即最佳架线方案.

例5 有一条可坐20人的木船要载40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟，到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟，B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少？（学生上下船的时间忽略不计）

分析与解由题设40名学生要分两批乘船，这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的，所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析，第一组学生应先去A岛参观，因为A岛比B岛近“2分钟”的路程，这样第二组学生等船的时间为20分钟（木船往返湖边与A岛所用时间），接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题，我们分两种情况讨论：

（1）第二组学生也去A岛参观。

当第二组学生到达A岛时，时间已经过去了30分钟（等船20分钟，乘船10分钟）.第二组开始参观A岛，此时第一组已经在A岛参观了20分钟，10分钟后第一组参观完A岛，乘船去B岛参观，木船将第一组送到B岛后立即返回A岛，由A岛与B岛之间乘船为6分钟，所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时，第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛，立即到B岛.第二组到达B岛时，第一组已参观了20分钟（木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和）.第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组