高尔顿(钉)板与二项分布的关系的证明教程文件

高尔顿(钉)板与二项分布的关系的证明

高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明

“（人教版）选修2—3 57页探索与研究

高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互

相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子

数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一

排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于

两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，

由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落

下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。

有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。

1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？

2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系）

3．计算小球落入各个格子的概率。”

设（如图）高尔顿（钉）板有n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。

观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （

2

1）n (2

1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （

2

1）n —1(2

1)1。 猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为

P （i ）= C i n （2

1）n —i (2

1)i 。（i=0，1，2，…，n ）

现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （2

1）n —i (2

1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。 由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=2

1

，a 1，1=2

1

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1

n 0,n 0,1,0n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明： 1．当n=1时，已如上证。

当n=2时，a 2，0=21

a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(2

1)0 a 2，1=21 a 1，0+21 a 1，1=21 =C 12（

21）2—1(2

1)1 a 2，2=2

1 a 1，1=（21）2= C 22

(21)0（2

1）2—0 显然成立。

2．假设n=k （k ≥2）成立（即假设第n 行每一个数据都成立）。 即a k ，i = C i k （21）k —i (2

1)i

当n=k+1时，a k+1，0=21 a k ，0= 21C 0k （

21）k —0 (2

1)0 = C 01k +（

21）(k+1)－0 (2

1)0

a k+1，k+1=21 a k ，k =21 C k k （21）k —k (2

1)k = C k k （

21）（k+1）—（k+1）(2

1)k+1 = C 1

k 1k ++（

21）（k+1）—（k+1）(2

1)k+1 a k+1，i =21 a k ，i-1+2

1 a k ，i =2

1 C 1-i k （2

1）k-(i-1)(2

1)i-1+2

1 C i k （2

1）k-i (2

1)i =（ C 1-i k + C i k ）（2

1）k+1

= C i 1k +（2

1）(k+1)-i （21）i

∴在n=k 成立的条件下，n=k+1也成立。 3．由1，2得，原命题成立。

由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第i 个空的概率正好满足二项分布。

由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有人发布了试验的动画在此就不做说明）。