求动点轨迹方程专题解析

求动点轨迹方程专题解析

一、直接法

步骤：1、建立恰当的坐标系，设动点坐标()y x ，；

2、由已知条件列出几何等量关系式，建立关于y x ，的方程()0=y x f ，；

3、化简整理；

4、检验，检验点轨迹的纯粹性与完备性。

[例1] 已知圆O 的方程是022

2

=-+y x ，圆O '的方程是01082

2

=+-+x y x ，如图所示。由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，求动点P 的轨迹方程。

【解析】

设()y x P ，，由圆O 的方程为：22

2

=+y x ，圆O '的方程为

()6422=+-y x 。由已知得BP AP =，所以22BP AP =，

所以2222B O P O OA OP '-'=-，则622

2-'=-P O OP 。

所以()6422

2

22-+-=-+y x y x ，化简得2

3=

x 。 所以动点P 的轨迹方程为2

3=x 。

[练习1] 已知平面上两定点()20-，

M ，()20，N ，点P 满足MN PN MN MP ⋅=⋅，求点P 的轨

迹方程。

【解析】

设()y x P ，，则()2+=y x MP ，，()40，=MN ，()y x PN --=2，，因为MN PN MN MP ⋅=⋅，所以()()2

2

2424y x y -+=+，所以()2222y x y -+=

+。

两端同时平方得：2

2

2

4444y y x y y +-+=++，整理得：y x 82

=。 所以点P 的轨迹方程为y x 82

=

二、定义法

步骤：1、分析几何关系；

2、由曲线的定义直接得出轨迹方程。

[例2] 已知圆A ：()3622

2

=++y x ，()02，

B ，点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【解析】 由题可得，()02，

-A ，4=AB 。 因为Q 点在线段PB 的中垂线上，所以QB PQ =。 所以AB PA PQ QA QB QA >==+=+6，

所以Q 点的轨迹是以B A ，为焦点的椭圆。设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x 。

则⎪⎩⎪

⎨⎧+===22226

2c b a c a ，即⎪⎩

⎪⎨⎧===2

53c b a ，所以Q 点的轨迹方程为15922=+y x 。

[练习2] 已知圆1C :()1322

=++y x 和圆2C ：()932

2

=+-y x ，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求

动圆圆心M 的轨迹方程。

【解析】 设动圆M 与圆1C 和圆2C 分别相切于点A 和点B ， 所以MB MA =，所以MA AC MC =-11，MB BC MC =-22 上式相减得：2131212=-=-=-AC BC MC MC ，且621=C C 。 所以21122C C MC MC <=-，

所以动点M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线左支。 其中322==c a ，，所以1=a 。

所以动点M 的轨迹方程为()118

2

2

-≤=-x y x

三、相关点法

步骤：1、设所求轨迹的动点为()y x P ，，相关点()00y x Q ，；

2、根据点的产生过程，找到()y x ，和()00y x ，的关系，并将00y x ，用y x ，表示；

3、将()00y x ，代入相关点的曲线，化简即可得到所求轨迹方程。

[例3] 已知点P 在椭圆142

2=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足

PQ PM 3

1=，求动点M 的轨迹方程。

【解析】 设()00y x P ，，()y x M ，，则()00y Q ，

， 所以()00y y x x --=，，()00，x -=。

因为31=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0

3000y y x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧

==y y x

x 0023①。

因为点P 在椭圆1422=+y x 上，所以14

2

02

0=+y x ， 把①带入得

116922=+y x ，所以动点M 的轨迹方程为116

9

22=+y x 。 [练习3] 过双曲线12

2

=-y x 上一点Q 作直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 所形成的曲线方程。

【解析】 设动点()y x P ，，点()00y x Q ，，则()0022y y x x N --，

。 把N 带入直线2=+y x 得：22200=-+-y y x x ① 右因为PQ 垂直于直线2=+y x ，所以

10

-=--x x y y ② 由①②可得：121230-+=

y x x ，12

3

210-+=y x y 。 带入双曲线方程得：112321121232

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x y x 。

整理得：0122222

2

=-+--y x y x 。

所以动点P 的曲线方程为0122222

2

=-+--y x y x 四、参数法

步骤：1、引入参数；

2、将所求轨迹的点()y x ，用参数表示；

3、消去参数；

4、研究范围。

[例4] 过点()10，

的直线l 与椭圆14

2

2

=+y x 相交于B A ，两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 【解析】 当直线l 斜率不存在时，易知M 点即为原点O 。

当直线l 斜率存在时，设其方程为：1+=kx y ，()11y x A ，，()22y x ，，()y x M ，。

由⎪⎩

⎪⎨⎧=++=14122

y x kx y ，得()032422=-++kx x k ，显然满足判别式0>∆。 所以42221+-=

+k k x x ，()4

8

222

121+=++=+k x x k y y 。 由M 为AB 中点，所以⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=+=+-=+=44242221221k y y y k k x x x ，消去参数k 得042

2=-+y y x 。

显然原点也满足上式方程。所以M 的轨迹方程为042

2

=-+y y x