一类动点轨迹问题的探求---“阿波罗尼斯圆”

一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于，我们可以进一步研究：2PA PB a +=，各自的轨迹方程如何？ 2,2,2PAPA PB a PA PB a a PB-===引例：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什(,)M x y (0,0),(3,0)O A 12M 么关系？（必修2 P103 探究·拓展）探究 已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？ M A B (0)λλ>M背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1： (1994,全国卷) 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 解：如图，设MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是 P={M ||MN |=λ|MQ |}，式中常数λ>0.——2分 因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1. ——4分 设点M 的坐标为(x ，y )，则——5分()222221y x y x +-=-+λ整理得(λ2－1)(x 2+y 2 )－4λ2x +(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P .故这个方程为所求的轨迹方程. ——8分当λ=1时，方程化为x =，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直且交x 轴于点(，0)， 4545当λ≠1时，方程化为(x －)2+y 2=它表示圆， 1222-λλ()222131-+λλ该圆圆心的坐标为(，0)，半径为 ——12分1222-λλ13122-+λλ类题2：（2008，江苏）满足条件AB = 2，AC = BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 2类题3：（2002，全国）已知点到两定点、距离的比为，点到P )0,1(-M )0,1(N 2N 直线的距离为1，求直线的方程 PM PN 解：设的坐标为，由题意有，即P ),(y x 2||||=PN PM ，整理得2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++01622=+-+x y x 因为点到的距离为1，N PM 2||=MN 所以，直线的斜率为，直线的方程为 ︒=30PMN PM 33±PM )1(33+±=x y 将代入整理得 )1(33+±=x y 01622=+-+x y x 0142=+-x x 解得，32+=x 32-=x 则点坐标为或P )31,32(++)31,32(+--或，直线的方程为或．)31,32(--+(2-PN 1-=x y 1+-=x y 类题4：（2006，四川）已知两定点如果动点P 满足条件则(2,0),A -(1,0),B 2,PA PB =点P 的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q 是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且，点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判(01MPMQλλλ=>≠且）S ()S f λ=断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C 是平面内与两个定点和的距离的积等于常 1(1,0)F -2(1,0)F 数的点的轨迹.给出下列三个结论： )1(2>a a ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则的面积不大于 12F PF ∆212a 其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（Cassini Oval ），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。

他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。

为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。

卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。

探究：设两定点为，且，动点满足,取12,F F 122F F =P 212(0)PF PF a a =≥且为定值直线作为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设，则12F F x 12F F y (,)P x y2a =整理得：222222()2()1x y x y a +--=-解得：（）22(1)y x =--211a x a -≤≤+于是曲线的方程可化为（） C 22(1)y x =--211a x a -≤≤+对于常数,可讨论如下六种情况：0a ≥（1）当时，图像变为两个点；0a =12(1,0),(1,0)F F -（2）当时，图像分为两支封闭曲线，随着的减小而分别向点收缩； 01a <<a 12,F F （3）当时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线； 1a =（4）当时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；1a <<（5）当时，与前种情况一样，但曲线中部变平； a（6）当a >北京高考题的背景即为本研究的4—6里研究的结论； 学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？ 思考2：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？ 思考3：到定点的距离与到定直线的距离的倍之和为定值的定点轨迹是什么？ k 思考4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？ 思考5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1.（2009湖南）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3,0）的距离的4倍与它到直线 x=2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和（Ⅰ）求点P 的轨迹C ；（Ⅱ）设过点F 的直线I 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。

解（Ⅰ）设点P 的坐标为（x ，y ），则3︳x-2︳ d =+由题设 当x>2 16,2x =-化简得221.3627x y +=当时 2x ≤3,x =+化简得212y x =故点P 的轨迹C 是椭圆在直线x=2的右侧221:13627x y C +=部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括22:12C y x =它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A （2，），B （2，，直1C 2C -线AF ，BF 的斜率分别为==. AF k -BF k 当点P 在上时，由②知. ④ 1C 162PF x =-当点P 在上时，由③知⑤2C 3PF x =+若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为 (3)y k x =-（i ）当k ≤，或k ≥，即k ≤-2时，直线I 与轨迹C 的两个交点M （，），AF k BF k 1x 1yN （，）都在C 上，此时由④知 2x 2y 1∣MF ∣= 6 -∣NF ∣= 6 -121x 122x 从而∣MN ∣= ∣MF ∣+ ∣NF ∣= （6 -）+ （6 - ）=12 - ( +) 121x 122x 121x 2x 由 得 则，是这个方程的两根，22(3)13627y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)24361080k x k x k +-+-=1x 1y 所以+=*∣MN ∣=12 - （+）=12 - 1x 2x 222434k k+121x2x 221234k k +因为当2,24,k k ≤≥≥或k当且仅当时，等号成立。

22212121001212.134114k MN k k=-=-=++k =±（2）当时，直线L 与轨迹C 的两个交点,AE AN k k k k <<-<< 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，1122(,),(,)M x y N x y 12,C C M 1C 2C1216,32MF x NF x =-=+设直线AF 与椭圆的另一交点为E1C 00012(,),, 2.x y x x x <<则1021166,33222MF x x EF NF x AF =-<-==+<+= 所以。

而点A ，E 都在上，且MN MF NF EF AFAE =+<+=1C 有（1）知AE k =-100100,1111AE MN =<所以若直线的斜率不存在，则==3，此时 ι1x 2x 12110012()9211MN x x =-+=<综上所述，线段MN 长度的最大值为100112. （2011, 湖南文科高考试题）已知平面内一动点到点的距离与点到轴的P (1,0)F P y距离的差等于1．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；P C （Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与F 12,l l 1l C ,A B 2l 轨迹相交于点，求的最小值.C ,DE ,AD EB21．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，|| 1.x = 化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.（II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-． 设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+= 故12123434()1()1x x x x x x x x =+++++++当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙ 取最小值16．。