阿波罗尼斯圆性质及其应用探究
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用
阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。
它被广泛运用于数学和工程领域,具有重要的应用价值。
本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。
一、光学系统的导向元件阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。
光学系统中的导向元件对光进行控制和调整,使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。
阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。
通过对光线的反射和折射,阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上,实现精确的光束控制。
二、天文学中的椭圆轨道描述天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。
阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。
根据开普勒定律,行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动,其轨道呈现出椭圆形状。
阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具,使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹,为天文学研究和空间探索提供了重要参考。
三、声学中的反射和聚焦阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。
声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。
阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。
通过对声波的反射和折射,阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置,实现声学上的精确控制。
四、水波和震波的传播研究阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用,还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。
水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。
阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础,推动了这一领域的发展。
综上所述,阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。
其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。
随着科学技术的发展和应用需求的增加,阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用,为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。
「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用
「高中数学」阿波罗尼斯圆在高考中的应用阿波罗尼斯圆在高考中的应用我们在学习解析几何的时候,总会碰到一些关于圆的定点和定值类的问题,我们反复的联立求解,其实这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题。
下面我们来了解一下阿波罗尼斯圆:一、我们给出阿波罗尼斯圆的定义:在平面上给定相异的两点A、B。
设p点在同一平面上且满足p点的轨迹就是个圆,这个圆我们就称作阿波罗尼斯圆。
设M,N 分别为线段AB按定比入分隔的内分点和外分点,则MN为阿波罗尼斯圆的直径,且二、我们给出阿波罗尼斯圆的证明:以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系设AB=2c 则A(-c,0),B(c,0),P(x,y)三、了解阿波罗尼斯圆的性质:定理:A,B为两已知点,M,N分别为线段AB的定比为入,(入》0,入≠1)的内,外分点,则以MN为直径的圆o上任意点到A,B两点的距离之比等于常数入证明:以入>1为例,设AB=a,过点B做圆O的直径MN垂直的弦PQ通过以上的证明,我们可以得到如下的结论:1、当入>1时,点B在圆O内,点A在圆O外. 当0<><>2、因AP^2=AM.AQ,故AP为圆O的一条切线,若已知圆O及圆O外一点A,则可做出点A对应的点B。
只要过点A做圆O两条切线切点分别为P,Q,连接PQ与AN交于点B,反之,可作出与点B对应的点A3、过点A做圆O的切线AP(P为切点)后,PM,PN分别为∠APB的内、外角平分线。
四、阿波罗尼斯圆在高考中的应用一、常见解法:二、阿波罗尼斯圆解决:例题选讲一:例题选讲二:从2018年高考大纲中提出加入数学文化,各个模拟卷中都适当的加入数学史中的一些典故。
阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻的研究,其主要的成果集中于他的代表作《圆锥曲线》一书,他与阿基米德、欧几里得成为亚历山大时期的“数学三巨匠”。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中,阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名,展现了数学的深邃与美妙。
让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。
给定平面内两个定点A、B,平面内一动点 P 满足 PA / PB =λ(λ 为非零常数且λ ≠ 1),则点 P 的轨迹是一个圆,这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。
为了更直观地理解阿波罗尼斯圆,我们可以通过一个简单的例子来感受。
假设 A、B 两点的坐标分别为(-2, 0) 和(2, 0),λ = 2。
设点P 的坐标为(x, y),根据距离公式,PA 的长度为√(x + 2)^2 + y^2,PB 的长度为√(x 2)^2 + y^2。
因为 PA / PB = 2,所以√(x + 2)^2 + y^2 /√(x 2)^2 + y^2 = 2。
对等式两边进行平方并化简,最终可以得到一个圆的方程。
那么,阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢?首先,圆心一定在线段AB 的中垂线上。
其次,当λ > 1 时,点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆;当 0 <λ < 1 时,点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。
接下来,让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。
在物理学中,阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。
例如,当两个等量同种电荷形成的电场中,一个带电粒子在其中运动,其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。
在工程设计中,阿波罗尼斯圆也有重要的作用。
比如在建筑设计中,要确定一些特定的支撑点位置,使得结构更加稳定,就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。
在计算机图形学中,阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。
通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整,可以创造出丰富多样的视觉效果。
在数学竞赛和考试中,阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。
它常常与三角形、圆的相关知识结合,考察学生对几何图形的理解和运用能力。
阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径的关系
阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径的关系阿波罗尼斯圆是一个经典的几何图形,具有许多有趣的性质和特点。
其中一个重要的关系是阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径之间的关系。
在本篇文章中,我们将探讨这个关系并详细阐述其背后的原理和数学推导。
一、阿波罗尼斯圆简介阿波罗尼斯圆是由希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在公元前3世纪提出的一类特殊椭圆。
与传统椭圆不同的是,阿波罗尼斯圆的焦点不在椭圆的焦点上,而是在附近。
二、阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆的定义可以通过以下几个步骤来获得:1. 给定一个直角坐标系,其中焦点F位于原点(0,0)上,y轴为对称轴。
2. 假设椭圆的焦半径为a,轴半径为b。
3. 焦半径定义为焦点到椭圆上任意一点的距离,以d表示。
4. 轴半径定义为焦点到椭圆短轴上的两个交点的距离的一半,即b= (d1 + d2)/2。
5. 椭圆上任意一点P到焦点的距离d和到短轴的距离d1、d2之间存在一个关系:d1/d + d2/d = 1。
三、焦半径与轴半径的关系推导现在我们将推导焦半径与轴半径之间的关系。
假设焦点F的坐标为(0,0),椭圆上任意一点P的坐标为(x,y)。
根据定义,有以下等式成立:1. 椭圆上任意一点到焦点的距离d的平方为:d^2 = x^2 + y^2。
2. 焦半径与椭圆上点P到焦点的距离d之间的关系:b^2 = d^2 - a^2 = x^2 + y^2 - a^2。
3. 椭圆上点P到短轴两个交点的距离之和:d1 + d2 = 2y。
将以上两个等式代入定义中的关系d1/d + d2/d = 1,我们可以得到:(d1 + d2)/d = (2y)/d = 12y = d2y = x^2 + y^22y - y^2 = x^2将d替换为2y后代入2y - y^2 = x^2,我们可以得到:b^2 = x^2 + y^2 - a^2 = 2y - y^2 + y^2 - a^2 = 2y - a^2综上所述,我们得到了阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径之间的关系:b^2 = 2y - a^2四、阿波罗尼斯圆的性质与应用阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径的关系式b^2 = 2y - a^2描述了该几何特征的数学本质。
关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究
!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯及其应用
一、以教材为背景,引出阿波罗尼斯圆
1、定义:
已知点M与两个定点叫,“2距离的比是一个正数机,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑机=1和〃 2 ≠ 1两种情形).
分析:当初=1时,表示线段2的垂直平分线.
下面我们只考虑机w 1时的情形
2、引例:已知点P(2,0),Q(8,0),点M与点用距离是它与点磔勺距离的(,用《几何画
板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
(1)用几何画板进行动画演示
结论1:
(2)回顾求动点轨迹方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简
(3)改变些的值进行动画演示.
MQ
结论2:
二、探究新知
1、阿波罗尼斯圆
(1)定义
(2)人物简介
(3)注意事项
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点M∣,M?距离的比是一个正数〃?,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(m≠l).
四、阿波罗尼斯圆的应用
例1(2008江苏卷13)若AB = 2,AC =√2BC,则SMBC最大值是. X
例2、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系Xeyt l ,点A (0,3),圆球半径为1,圆心C 在直
线 /: y=2x-4±,若圆C 上存在点使得MA=2MO,求圆心C 的横坐标疝勺取值范围.
例3、已知A(-2,0),P 为圆U(x + 4y +
练习:若48 = 2,8。
= 1,8 = 3,用为以瓦)为直径的圆上一点,则怨= MC
五、课堂小结
1、一个概念
2、两种思想:方程思想、转化思想
坐标为
V=16上任意一点,若点B 满足2∣ PAl = IPM ,则
5的
3、三类问题:轨迹、定点、定值。
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明【原创实用版】目录1.阿波罗尼斯圆的定义与性质2.阿波罗尼斯圆逆定理的概念3.阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法4.阿波罗尼斯圆逆定理的应用正文一、阿波罗尼斯圆的定义与性质阿波罗尼斯圆,又称为圆的阿波罗尼斯,是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一个关于圆的定理。
阿波罗尼斯圆是一个与圆相关的特殊图形,其定义为:以任意三角形的三个顶点为圆心,分别以三角形三边的长度为半径作圆,这三个圆相交于四个点,这四个点构成的图形称为阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆具有很多有趣的性质,如四个顶点共圆等。
二、阿波罗尼斯圆逆定理的概念阿波罗尼斯圆逆定理是阿波罗尼斯圆的一个推广,其概念为:若一个四边形的四个顶点在一个圆上,则这个四边形的任意一对相对角线中点也在这个圆上。
这个定理是基于阿波罗尼斯圆的性质推导出来的,具有一定的几何意义。
三、阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法为了证明阿波罗尼斯圆逆定理,我们可以采用向量法、几何法等多种方法。
以下是一种简单的向量法证明:设四边形 ABCD 的顶点 A、B、C、D 在一个圆上,E、F 分别为线段AB、CD 的中点。
我们需要证明 AE、BF 也在这个圆上。
以圆心 O 为原点,建立平面直角坐标系。
设圆的半径为 r,则 A、B、C、D 的坐标分别为(r, 0)、(-r, 0)、(0, r)和(0, -r)。
根据中点坐标公式,可得 E、F 的坐标分别为(0, 0)和(0, 0)。
设 AE 的向量为 a,BF 的向量为 b,则有:a = (r, 0) - (0, 0) = (r, 0)b = (0, r) - (0, 0) = (0, r)根据向量的数量积公式,有:a·a = ||a|| = rb·b = ||b|| = r又因为四边形 ABCD 的内角和为 360°,所以∠BAE + ∠CAF = 180°。
根据向量的数量积公式,有:a·b = ||a||·||b||·cos(∠BAE + ∠CAF) = -r由于 a·a = b·b,且 a·b < 0,所以向量 a 与向量 b 垂直。
阿波罗尼斯圆的应用及探究
阿波罗尼斯圆的应用及探究教学目标:(1)回忆求轨迹方程的一般步骤,能根据已知条件,求满足条件动点的轨迹方程及轨迹;(2)能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理、能够运用此定理来解决一些简单问题;(3)在已有经验的基础上,对阿波罗尼斯定理进一步探究得出一些特殊结论,体会探究的经历,渗透数形结合、归纳类比的数学思想.问题 在同一平面内,已知两定点()()2,0,4,0A B -,若动点P 满足12PA PB =,则点P 的轨迹方程是________.其轨迹为_________.变式 如果将题目中“12PA PB =”改为“()01PA PB λλλ=>≠且”呢?练习(2008年江苏高考题)在ABC ∆中,已知2,AB CA =,则ABC ∆面积的最大值是_______例1、已知点()2,0,A P -是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在平面上是否存在B ,使得12PA PB =?若存在,求出点B 的坐标;若不存在,请说明理由.变式 已知点P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在x 轴上是否存在两定点,A B ,使得12PA PB =?若存在,求出两定点,A B 的坐标;若不存在,请说明理由.例2、已知()()2,0,4,0A B -,P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问是否存在这样的常数λ,使得PA PBλ=?若存在,求出常数λ的值;若不存在,请说明理由对以上问题的反思:对于圆222r y x =+上任意一点P ,和定点)0,(0x A ,是否在x 轴上存在不同于A 点的点B ,使得||||PA PB 为常数λ? 变式一 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点)0,(0x A ),0(00r x x ±≠≠,在x 轴上存在唯一一点B ,使得||||PA PB 为常数λ,且)0,(02x r B ,||0x r =λ变式二 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P ,在x 轴上存在不同的两点)0,(),0,(21x B x A )0,0(21≠≠x x ,使得||||PA PB 为常数λ)1(≠λ,且1221,x x r x λλ=±=变式三 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点),0(0y A ),0(00r y y ±≠≠,在y 轴上存在唯一一点B ,使得||||PA PB 为常数λ,且),0(02y r B ,||0y r =λ 注 1. 可以由变式二类似地到什么结论,请你把它写下来,并加以证明2. 你还能得到更一般的结论吗?。
阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究
Creative Education Studies 创新教育研究, 2023, 11(3), 431-438 Published Online March 2023 in Hans. https:///journal/ces https:///10.12677/ces.2023.113071阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究方 澍1,骆晨丹1,胡 凯1,叶雨璇21绍兴文理学院数理信息学院,浙江 绍兴 2绍兴文理学院土木工程学院,浙江 绍兴收稿日期:2023年1月30日;录用日期:2023年3月6日;发布日期:2023年3月14日摘要圆在高中数学题型中广泛且内容应用灵活,而阿波罗尼斯圆作为一种特殊的圆时常伴随着解三角形、平面向量、立体几何及解析几何等内容出现,将原有常规解复杂的问题进行简化。
为避免思维固化、计算繁琐等问题,本文提供了构造阿波罗尼斯圆的两个条件及阿波罗尼斯圆相关性质,提供新型解题思路,使得解题高效化、便捷化、灵巧化。
再从不同的应用层次出发,随着层次的递增,学生对性质掌握的要求也就越高,本文设置相关题目逐级加深对性质的理解,便于学生对应不同的层次进行掌握学习。
关键词阿波罗尼斯圆,性质,动点轨迹,反演点Apollonius Circle Theorem, Properties and ApplicationsShu Fang 1, Chendan Luo 1, Kai Hu 1, Yuxuan Ye 21School of Mathematical Information, Shaoxing University, Shaoxing Zhejiang 2School of Civil Engineering, Shaoxing University, Shaoxing ZhejiangReceived: Jan. 30th , 2023; accepted: Mar. 6th , 2023; published: Mar. 14th , 2023AbstractCircles are widely used in high school mathematics problem types and flexible content, while Apollo-nian circles, as a special circle, often appear with solving triangles, plane vectors, solid geometry and analytic geometry, simplifying the original conventional solution of complex problems. In order to avoid problems such as solidification of thinking and cumbersome calculation, this paper provides two conditions for constructing Apollonius circles and the related properties of Apollonius circles, and provides new problem-solving ideas, which makes problem solving efficient, convenient and dexterous. Starting from different application levels, with the increase of levels, the higher the re-quirements of students for mastering nature, this paper sets up related topics to deepen the under-方澍 等standing of nature step by step, so that students can master and learn according to different levels.KeywordsApollonius Circle, Quality, Moving Point Trajectory, Inversion PointCopyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言高中数学在整个高中学习中是重要学科之一,在新课标的持续改革之下,学生不仅要掌握书本的基础理论知识,更重要的还是培养核心素养,强化自身数学思维,学生要敢于思考、勇于创新,发展和进步数学综合能力[1]。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用内江六中 陈廷勇【定义1】阿波罗尼斯圆:到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线,定值不是1时为圆).【定义2】已知平面上两点A、B ,则所有满足P APB =k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆. 下面证明k >1的情况.〖证明〗〔几何法〕连接PM ,PN ,在直线AP 上取点C ,D ,使PC =PD =PB (如图),连接BC ,BD .则∠PBC =∠PCB ,∠PBD =∠PDB .∵AM MB =P A PB =APPC,∴MP ∥BC ,∴∠APM =∠ACB ,∠BPM =∠PBC . ∴∠APM =∠BPM =12∠APB .同理,∠BPN =∠CPN =12∠BPC .∴∠BPM +∠BPN =12∠APB +12∠BPC =π2.∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆.证毕.AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. 设AB =2c ,P (x ,y ),则A (-c ,0),B (c ,0).由|P A ||PB |=k (k >1),得(x +c )2+y 2(x -c )2+y 2=k ⇒(k 2-1)x 2+(k 2-1)y 2-2c (k 2+1)x +c 2(k 2-1)=0⇒[x -c (k 2+1)k 2-1]2+y 2=(2kc k 2-1)2.∴点P 的轨迹是以点(c (k 2+1)k 2-1,0)为圆心,以2kck 2-1为半径的圆.【定义3】圆的反演点:已知⊙O 的半径为r ,从圆心O 出发任作一射线,在射线上任取两点A 、B ,若OA •OB =r 2,则称A ,B 是关于⊙O 的反演点.【方法1】圆的反演点的获取:①若A 在⊙O 外,过A 作⊙O 的两条切线,两切点的连线与OA 的交点B 就是点A 的反演点;②若A 在⊙O 内,连接OA ,过A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点B 即为点A 的反演点.【性质1】已知平面上两点A 、B ,则所有满足P APB =k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆.①当k >1时,点A 在圆外,点B 在圆内;②当0<k <1时,点A 在圆内,点B 在圆外.【性质2】已知⊙O 的直径为MN =2r ,在直线MN 上有两点A ,B 满足OA •OB =r 2,则⊙O 是以A ,B 为定点,MA MB 或NANB为比值的阿波罗尼斯圆,反之也成立.〖证明〗MA MB =NA NB ⇔OA -OM OM -OB =OA +ON OB +ON ⇔OA -r r -OB =OA +rOB +r⇔(OA -r )(OB +r )=(OA +r )(r -OB )⇔OA •OB =r 2.证毕.【性质3】MN 是⊙O 的一条直径,A 是直线MN 上异于O 的一定点,过A 任作一条异于MN 的直线交⊙O 于P ,Q 两点,点P 关于直线的对称点为P ′,直线P ′Q 与MN 交于B ,则A ,B 是⊙O 的一对反演点.特别地,过A 作⊙O 的两条切线,两切点分别为P ,Q ,连接PQ 与MN 相交于点B ,则A ,B 是⊙O 的一对反演点,过B 垂直于OA 的直线l 称为点A 对⊙O 的极线,A 称为l 的极点.〖证明〗连接QO 交⊙O 于R ,连接P ′R ,则∠QP ′R =90°,及P ,Q ,P ′,R 四点共圆. ∴∠QPP ′=∠QRP ′.又∠P AD +∠APD =∠P ′QR +∠QRP ′=90°, ∴∠OAQ =∠OQB ,又∠AOQ =∠BOQ ,∴ΔOAQ ∽ΔOQB .∴OA OQ =OQOBOA •OB =r 2.证毕. 【性质4】已知B ,A 是过半径为r 的⊙O 的圆心直线上一内一外两点(圆心除外),PQ 是过B 的任意一弦,且∠P AB =∠QAB ,则A ,B 是⊙O 的一对反演点.〖证明〗只考虑MN 不垂直AB 和重合的情况. 设AQ 与⊙O 的另一交点为P ′,∵∠P AB =∠QAB ,由圆的对称性知,P ,P ′关于AB 对称,∴PP ′⊥AB . 由性质2的证明方法,可得OA •OB =r 2.证毕.【性质5】MN 是以A ,B 为反演点的阿波罗尼斯圆在直线AB 上直径,P 是圆上异于M ,N 一点,则PM ,PN 分别为∠APB 内角平分线和外角平分线.〖证明〗在直线AP 上取点C ,D ,使PC =PD =PB (如图),连接BC ,BD . 则∠PBC =∠PCB ,∠PBD =∠PDB .∵MA MB =P A PB =P APC,∴MP ∥BC ,∴∠APM =∠ACB ,∠BPM =∠PBC . ∴∠APM =∠BPM .∴PM 是∠APB 的平分线. 同理,PN 是∠APB 的外角平分线.证毕.【性质6】过⊙O 外一点A 作其切线AP ,AQ ,OA 与⊙O 和PQ 分别交于I ,B ,MN 是过B 的任意弦,则I 为ΔAMN 的内心.〖证明〗连接OP ,∵AP ,AQ 是⊙O 的切线,∴PQ ⊥OA ,OP ⊥AP . ∴OA •OB =r 2,∴A ,B 是⊙O 的一对反演点.连接MI ,NI ,由性质5得,MI ,NI 分别为∠AMN , ∠ANM 的平分线.故I 为ΔAMN 的内心.【性质7】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外),MN 是过B 的任意弦,则AB 平分∠MAN .〖证明〗同性质6的证明方法.【性质8】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外),且AB =m ,⊙O 上任意一点P 到A ,B 的距离之比为λ,则m λ+1+mλ-1=2r .〖证明〗设MB =x ,NB =y ,则x +y =2r .由MA MB =NA NB =λ,得m -x x =m +y y =λ⇒x =m λ+1,y =m λ-1.∴m λ+1+mλ-1=2r . 〖注〗若A 在⊙O 内,则λm 1+λ+λm 1-λ=2r .【性质9】将通过伸缩变换为椭圆,可得如下结论:设A 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴MN 上异于中心O 的一个定点,过点A 任作一条异于MN 的直线交椭圆O 于P ,Q 两点,点P 关于直线MN 的对称点为P ′,直线P ′Q 与MN 交于B ,则OA •OB =a 2.【题型】①已知两条线段长度之比为定值;②过某动点向两定圆作切线,若切线张角相等;③向量的定比分点公式结合角平分线;④线段的倍数转化.〖注〗问题主要围绕两个反演点坐标,阿氏圆方程,阿氏圆上点到两反演点距离比四个方面设置,其中测度主要涉及两个反演点间距离,阿氏圆的半径,阿氏圆上点到两反演点距离比.1.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ,B 间的距离为2,动点P 与A ,B 距离之比满足:P A =3PB ,当P 、A 、B 三点不共线时,ΔP AB 面积的最大值是( ) A .2 2 B .2 C . 3 D . 2 〖解析〗〔法一〕设A (-1,0),B (-1,0),P (x ,y ),则由P A =3PB ,得(x +1)2+y 2=3•(x -1)2+y 2⇒(x -2)2+y 2=3. 当点P 到AB 的距离最大,即等于3时,ΔP AB 的面积取得最大. ∴(S ΔPAB )max =12×|AB |×r =3.故选C .〔法二〕设以A ,B 为反演点的阿氏圆的半径为r ,则2r =23+1+23-1=23⇒r =3.∴(S ΔPAB )max =12×|AB |×r =3.故选C .2.如图,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2.过点A 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①|NA ||NB |=|MA ||MB |;②|NB ||NA |-|MA ||MB |=2;③|NB ||NA |+|MA ||MB |=2. 其中正确结论的序号是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③〖解析〗设⊙C 的半径为r ∴⊙C :(x -1)2+(y -2)2=2. 令x =0,得A (2-1,0),B (2+1,0).∴|OA |=2-1,|OB |=2+1. ∴|OA |•|OB |=1=r O 2,∴A ,B 是⊙O 的一对反演点. ∵M ,N 是⊙O 上点,∴|NA ||NB |=|MA ||MB |.故①正确.设|NB ||NA |=k ,则由|AB |k +1+|AB |k -1=2r O ,得2k +1+2k -1=2⇒k =2+1. ∴|MB ||MA |=|NB ||NA |=2+1,|MA ||MB |=|NA ||NB |=12+1=2-1.∴|NB ||NA |-|MA ||MB |=2,|NB ||NA |+|MA ||MB |=22.故选A . 3.设A (-c ,0),B (c ,0)(c >0)为两定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值a (a >0),求点P 的轨迹.〖解析〗设P (x ,y ),由|P A ||PB |=a (a >0),得(x +c )2+y 2(x -c )2+y 2=a⇒(a 2-1)x 2+(a 2-1)y 2-2c (a 2+1)x +c 2(a 2-1)=0.当a =1时,方程化为x =0;当a ≠1时,方程化为[x -c (a 2+1)a 2-1]2+y 2=(2aca 2-1)2.∴当a =1时,点P 的轨迹为y 轴;当a ≠1时,点P 的轨迹是以点(c (a 2+1)a 2-1,0)为圆心,以2ac|a 2-1|为半径的圆.4.在平面直角坐标系xOy 中,设圆C 的半径为1,圆心在直线l :y =2x -4上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点B (2,4)作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆心C 的横坐标为a ,已知点A (0,3),若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求a 的取值范围.〖解析〗(1)解⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -4y =x -1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =2,∴⊙C 的圆心为C (3,2),半径r =1. ①当切线斜率不存在时,切线方程为x =2,满足题意.②当切线斜率存在时,设切线方程为y -4=k (x -2),即kx -y -2k +4=0, 则|3k -2-2k +4|k 2+1=1⇒k =-34.此时切线方程为3x +4y -22=0.综上,所求切线方程为x =2或3x +4y -22=0.(2)设M (x ,y ),则由MA =2MO ,得x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,即x 2+(y +1)2=4. 记⊙D :x 2+(y +1)2=4,则D (0,-1),r D =2.又M 在⊙C 上,∴|r -r D |⩽|CD |⩽ r +r D ⇔1⩽|CD |⩽3. 又C (a ,2a -4),∴1⩽a 2+(2a -3)2⩽3⇒0⩽a ⩽125.【注】∵MA =2MO ,∴点M 的轨迹是以A ,O 为反演点的圆,且圆的圆心在AO 的延长线上.其半径r 满足:2r =32+1+32-1⇒r =2.设圆的圆心为D (0,b )(b <0),则AD →=(0,b -3),OD →=(0,b ).由AD →•OD →=r 2,得b (b -3)=4⇒b =-1或b =4.∴⊙D :x 2+(y +1)2=4.5.如图,圆C :x 2+y 2-(1+a )x -ay +a =0. (1)若圆C 与x 轴相切,求圆C 的方程;(2)已知a >1,圆C 与x 轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧),过点M 任作一条直线与圆O :x 2+y 2=4相交于两点A ,B ,问:是否存在实数a ,使得∠ANM =∠BNM ?〖解析〗(1)∵⊙C :(x -a +12)2+(y -a 2)2=2a 2-2a +14,∴C (a +12,),r =2a 2-2a +12.∵⊙C 与x 轴相切,∴|a |2=2a 2-2a +12⇒a =1.∴⊙C :(x -1)2+(y -12)2=14.(2)令y =0,得x 2-(a +1)x +a =0⇒x =1或x =a (a >1).∴M (1,0),N (a ,0).假设存在实数a ,使得∠ANM =∠BNM . ①当直线AB 不重合于x 轴时,设l AB :x =ty +1,A (ty 1+1,y 1),B (ty 2+1,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +1x 2+y 2=4,得(t 2+1)y 2+2ty -3=0.∴y 1+y 2=-2t t 2+1,y 1y 2=-3t 2+1.∵∠ANM =∠BNM ,∴k NA +k NB =0⇒y 1ty 1+1-a +y 2ty 2+1-a =0⇒2ty 1y 2+(1-a )(y 1+y 2)=0⇒2t (a -4)t 2+1=0.又t ∈R ,∴a =4.②当直线AB 重合于x 轴时,恒有∠ANM =∠BNM . 综上,存在实数a =4,使得∠ANM =∠BNM .【注】令y =0,得x 2-(a +1)x +a =0⇒x =1或x =a (a >1).∴M (1,0),N (a ,0). ∵∠ANM =∠BNM ,∴M ,N 是⊙O 的一对反演点.∴OM •ON =r 2⇒a =4. 故存在实数a =4,使得∠ANM =∠BNM .6.已知圆C :x 2+(y -4)2=4,直线l :(3m +1)x +(1-m )y -4=0. (1)求直线l 所过定点A 的坐标.(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长. (3)已知点M (-3,4),在直线MC 上(C 为圆心),存在定点N (异于点M ),满足:对于圆C 上任一点P ,都有|PM ||PN |为一常数,试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.〖解析〗(1)∵l :(3m +1)x +(1-m )y -4=0⇔(3x -y )m +(x +y -4)=0, 令⎩⎪⎨⎪⎧3x -y =0x +y -4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =3.∴l 过定点A (1,3). (2)由平面几何知识知,当l ⊥AC 时,l 被⊙C 截得弦长最短.由题有C (0,4),r =2,∴k AC =-1,∴k l =1⇒3m +1m -1=1⇒m =-1.此时,C 到l 的距离为d =|AC |=2.∴最短弦长为2r 2-d 2=22. (3)由题知,l MC :y =4.假设存在定点N (t ,4)满足题意.设P (x ,y ),则|PM |2|PN |2=(x +3)2+(y -4)2(x -t )2+(y -4)2=6x +9+x 2+(y -4)2-2tx +t 2+x 2+(y -4)2.又由P 在⊙C 上,得x 2+(y -4)2=4.∴|PM |2|PN |2=6x +13-2tx +t 2+4.若|PM ||PN |为常数,则需6-2t =13t 2+4⇔t =-43或t =-3. 当t =-3时,N (-3,4)与M 重合,不符合题,舍去. 当t =-43时,N (-43,4),此时|PM ||PN |=32.综上可知,在直线MC 上存在定点N (-43,4),使得|PM ||PN |为常数32.【注】由题知,l MC :y =4.若|PM ||PN |为常数,则知N 是⊙C 的反演点中一点.设N (t ,4)(-3<t <0),则|MC |=3,|NC |=-t .∴由|MC |•|NC |=r 2,得-3t =4⇒ t =-43.∴N (-43,4),|MN |=53.设|PM ||PN |=k ,则53k +1+53k -1=4⇒k =32或k =-23(舍). 故在直线MC 上存在定点N (-43,4),使得|PM ||PN |为常数32.7.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O :x 2+y 2=4,点Q (0,1),过点P (0,4)的直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B (不在y 轴上).(1)若直线l 的斜率为3,求AB 的长度;(2)设直线QA ,QB 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1+k 2为定值,并求出该定值; (3)设AB 的中点为M ,是否存在直线l ,使得MO =62MQ ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.〖解析〗(1)由题知,l :y =3x +4.∴O 到l 的距离为d =432+12=410.∴|AB |=2r 2-d 2=22-(410)2=4155.(2)设l :y =kx +4,A (x 1,kx 1+4),B (x 2,kx 2+4), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +4x 2+y 2=4,得(k 2+1)x 2+8kx +12=0. ∴Δ=64k 2-48(k 2+1)=16(k 2-3)>0,x 1+x 2=-8k k 2+1,x 1x 2=12k 2+1.∴k 1+k 2=kx 1+3x 1+kx 2+3x 2=2k +3(x 1+x 2)x 1x 2=2k -2k =0.∴k 1+k 2为定值,定值为0.【注】由题知,l PQ :x =0,|OP |=4,|OQ |=1,r =2. ∴|OP |•|OQ |=r 2,∴P ,Q 是⊙O 的一对反演点.∴QA 与⊙O 的另交点B ′是B 关于y 轴的对称点,QB 与⊙O 的另交点A ′是A 关于y 轴的对称点. ∴QA 与QB 关于y 轴对称.∴k 1+k 2=0. (3)〔法一〕设M (x ,y ),则由MO =62MQ , 得x 2+y 2=62x 2+(y -1)2⇒x 2+y 2-6y +3=0⇒x 2+(y -3)2=6. 由(2)知,M (-4k k 2+1,4k 2+1),∴(-4k k 2+1)2+(4k 2+1)2-6×4k 2+1+3=0⇒k =±153,与k 2>3矛盾.∴满足条件的l 不存在. 〔法二〕设M (x ,y ),则由MO =62MQ , 得x 2+y 2=62x 2+(y -1)2⇒x 2+y 2-6y +3=0⇒x 2+(y -3)2=6. 又OM →=(x ,y ),PM →=(x ,y -4),OM →⊥PM →,∴OM →•PM →=x 2+y (y -4)=0⇒x 2+y 2-4y =0⇒x 2+(y -2)2=4(0⩽y <1).解⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-6y +3=0x 2+y 2-4y =0,得⎩⎨⎧x =±152y =32.又0⩽y <1,该方程组无解,即满足条件的M 不存在.∴满足条件的l 不存在.8.已知直线l :4x +3y +10=0,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在点N ,使得x 轴平分∠ANB ?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.〖解析〗(1)设C (a ,0)(a >-52),则|4a +10|5=2⇒a =0或a =-5(舍).∴⊙C :x 2+y 2=4.(2)①当l AB 的斜率为不为0时,设l AB :x =my +1,A (my 1+1,y 1),B (my 2+1,y 2),N (t ,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1x 2+y 2=4,得(m 2+1)y 2+2my -3=0.∴y 1+y 2=-2m m 2+1,y 1y 2=-3m 2+1.若x 轴平分∠ANB ,则k AN +k BN =0⇒y 1my 1+1-t +y 2my 2+1-t =0⇒2my 1y 2-(t -1)(y 1+y 2)=0⇒-6mm 2+1+2m (t -1)m 2+1=0⇒m (t -4)=0,又m ∈R ,∴t =4.②当直线AB 重合于x 轴时,恒有∠ANM =∠BNM . 综上,存在点N (4,0),使得x 轴平分∠ANB .【注】由题知,l OM :y =0.∵∠ANO =∠BNO ,∴M ,N 是⊙O 的一对反演点,且N 在OM 的延长线上. 设N (t ,0)(t >1),则OM =1,ON =t .∴OM •ON =r 2⇒t =4. 故存在点N (4,0),使得x 轴平分∠ANB .。
阿波罗尼斯圆及其应用(整理)
阿波罗尼斯圆的应用1.“阿波罗尼斯圆”:在平面上给定两点',A A ,设P 点在同一平面上且满足,'λ=PA PA当0>λ且1≠λ时,P 点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆。
(1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的相关性质性质1.当1>λ时,点'A 在圆O 内,点A 在圆O 外; 当10<<λ时,点A 在圆O 内,点'A 在圆O 外。
性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|1r λλ=-性质3:'OA rr OA ==λ λ越大,圆越小.例1:已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动,则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:22',1,2,'=∴====OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA练习1:已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动,则BP AP 2+的最小值是_______27练习2:已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动,)4,4(),0,4(B A ,求BP AP 2+的最小值例2:(06四川)已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=,则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.练习1:满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.练习2.在等腰ABC ∆中,BD AC AB ,=是腰AC 上的中线,且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.例3:已知平面ABCD ⊥平面ADEF ,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,且AB=1,AD=CD=2,ADEF 是正方形,在正方形ADEF 内部有一点M ,满足MB ,MC 与平面ADEF 所成角相等,则点M 的轨迹长度为_________94π练习:在正方体1111D C B A ABCD -中,33=AB ,点E ,F 在线段1DB 上,且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点,点P,Q 是空间两个动点,若2||||||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ,则MQ MP ⋅的最小值为____________38-练习2:已知△ABC 的面积为1,∠A 的角平分线交对边BC 于D , AB=2AC ,且AD=kAC ,则当k=________时,边BC 的长度最短.5102=k 分析:面积为定值,AB=2AC ,所以A 的轨迹为阿氏圆,设圆交BC 和延长线为D 、E ,易得AD 即为∠A 的角平分线,且当AO 垂直BC 时BC 有最小值,设圆半径为r ,OC r r OB ===2λ,r r OB OD rOC r OB =-=∴==,2,2 r AD r 2,25AC ==勾股定理得: 5102252===∴r r ACADk 3、已知向量,a b 满足:||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立,则实数λ的取值范围是_______.例4. (2015年高考数学湖北卷)如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准..方程为 ;(Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③2NB MA NAMB+=号是 .(写出所有正确结论的序号)解:(1)易知半径2r =,所以圆的方程为()(22122x y -+=;(2)易知()()21,21A B ,设(),P x y 为圆C 上任意一点,则()()()()()()()()222221422221221221422221221221x y yyPA PBy y x y +-+-----====+-++-+--,故①正确;())21212NB MANA MB-=-=,②正确;))212122NB MANA MB+=+=yxOTC NA MB5、已知点(0,2),(1,1)A B --,P 是圆C:222x y +=上的一个动点.求||||PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。
阿波罗尼斯圆的曲率与切线的性质
阿波罗尼斯圆的曲率与切线的性质阿波罗尼斯圆是由希腊数学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊的曲线。
它具有一些独特的性质,其中包括曲率和切线。
本文将详细介绍阿波罗尼斯圆的曲率与切线的性质。
一、阿波罗尼斯圆的定义与特点阿波罗尼斯圆是指在平面直角坐标系中,一个点到两个固定点的距离之比等于一个常数的轨迹。
这两个固定点被称为焦点,通常分别用F1和F2表示。
把这个常数比值表示为e,则有定义公式:PF1 / PF2 =e (P为曲线上的任意一点)。
阿波罗尼斯圆具有一些独特的特点,如下所示:1. 阿波罗尼斯圆是一个闭合曲线,且形状类似于椭圆;2. 焦点F1和F2到圆上各点的距离之和是常数;3. 中点O(F1F2的几何中点)到圆上各点的距离等于焦距的一半。
二、阿波罗尼斯圆的曲率曲线的曲率是指曲线在给定点上的切线方向变化率。
对于阿波罗尼斯圆来说,其曲率是一个常数。
使用曲线的参数方程可以求出该常数。
假设阿波罗尼斯圆的参数方程为:x = a * (e + cosθ)y = a * sinθ其中,a是常数,e是焦距比值,θ是参数角度。
通过对参数θ求导,并经过一系列的计算,可以得出阿波罗尼斯圆的曲率公式为:κ = a * e / (a^2 * (e^2 - 1) + 1)^(3/2)其中,κ表示曲率。
三、阿波罗尼斯圆的切线性质阿波罗尼斯圆在任意一点P处的切线方程可以用参数θ求得。
切线方程的斜率由参数θ的导数求得,再利用点斜式的形式可以得到切线的方程。
切线的斜率为:k = (dy / dθ) / (dx / dθ) = tanθ在点P处,该切线方程为:(y - y0) = k * (x - x0)其中,(x0, y0)为点P的坐标,k为切线的斜率。
综上所述,阿波罗尼斯圆的曲率与切线的性质为曲率为常数,可以通过参数方程和切线方程来计算。
这些性质使得阿波罗尼斯圆在几何学和物理学等领域具有广泛的应用,例如天体轨道和声学研究中的抛物面。
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用
阿波罗尼斯圆在物理学中的应用阿波罗尼斯圆是一个有着许多独特性质的几何形状,它在物理学领域中具有广泛应用。
本文将探讨阿波罗尼斯圆在物理学中的应用,并阐述其在光学、声学以及电磁学等方面的重要作用。
一. 光学中的应用阿波罗尼斯圆在光学中被广泛使用,尤其是在设计凸透镜时。
凸透镜是一种呈凸形的光学元件,能够将光线聚焦或发散。
通过研究阿波罗尼斯圆的曲率特性,可以更好地设计凸透镜的形状,以实现更高的光学性能。
例如,在望远镜的设计中,阿波罗尼斯圆被用来设计主透镜的形状。
通过精确计算曲率半径和透镜的中心位置,可以使望远镜的成像更加清晰和准确。
此外,阿波罗尼斯圆的使用还能有效地减少光学畸变,提高望远镜的分辨率和观测效果。
二. 声学中的应用除了光学,阿波罗尼斯圆在声学领域中也有重要的应用。
其中一个示例是在扩音器设计中的应用。
扩音器是一种将声音放大的装置,通过研究阿波罗尼斯圆的声学特性,可以设计出形状更加合理的扩音器。
阿波罗尼斯圆的设计可以使扩音器的声波更加均匀地传播,减少声音的衰减和畸变。
这种设计不仅能够提高扩音器的音质,还可以增加扩音器的音量和覆盖范围,满足不同环境下的音频需求。
三. 电磁学中的应用在电磁学中,阿波罗尼斯圆被广泛应用于天线的设计。
天线是一种将电磁波转换为电信号或电信号转换为电磁波的装置。
通过研究阿波罗尼斯圆的电磁波传播特性,可以更好地设计天线的形状和尺寸,以实现更好的信号接收和发送效果。
阿波罗尼斯圆的应用能够提高天线的方向性和增益,减少信号的衰减和干扰。
在通信领域,通过合理利用阿波罗尼斯圆的设计,可以提高信号传输的质量和可靠性,满足不同应用场景下的通信需求。
总结综上所述,阿波罗尼斯圆在物理学中的应用十分广泛且重要。
其在光学、声学和电磁学等领域的运用,提升了相关技术的性能和效果。
通过合理利用阿波罗尼斯圆的独特特性,可以为相关领域的研究和应用带来更多的机遇和突破。
随着科学技术的不断进步,相信阿波罗尼斯圆在物理学中的应用将会越来越深入,为人类带来更多的创新和发展。
阿波罗尼斯圆的新性质及应用
阿波罗尼斯圆的新性质及应用作者:杨炼来源:《中学数学杂志(高中版)》2016年第03期设M,N是平面上两个定点,则满足|PM|=k|PN|(k>0,k≠1)的点的轨迹是一个圆,通常称之为阿波罗尼斯圆,其中k为比例常数,此圆的圆心在直线MN上.随之产生一个问题,对于任意一个圆和常数k(k≠1),如何寻找两定点M,N,使圆上任意一点P满足阿氏圆的定义|PM|=k|PN|(k≠1),本文给出的定理解决了这一问题,利用这一定理可很快解决2015年湖北高考试题(题14)和一个自主招生试题.先引进一个概念——圆的反演点:已知圆O的半径为r,从圆心O出发任作一射线,在射线上任取两点M,N,OM=m,ON=n且|OM|·|ON|=r2,则称M,N是关于圆O的反演点,圆的反演点也可由以下几何方法获得,若M在圆外,过M作圆的两条切线,两切点的连线与OM的交点就是M的反演点N;若M在圆内,则连接OM,过点M作OM的垂线与圆交点处的两切线的交点即为M的反演点N.定理1设M,N是圆O的反演点,AB是直线MN上的直径,则圆O上的任意一点P满足PM=kPN(k≠1),其中k=AMAN.图1证明如图1,不妨设圆O的方程为x2+y2=r2(r>0),A(-r,0),M(m,0),N(n,0)(m>0,n>0),则由反演点的定义mn=r2.k=AMAN=m+rn+r,设P(x,y),则由PM=kPN得:AM2AN2=(m+r)2(n+r)2,即(x-m)2+y2(x-n)2+y2=(m+r)2(n+r)2,所以(n+r)2[(x-m)2+y2]=(m+r)2[(x-n)2+y2],展开得:[(m+r)2-(n+r)2]x2-2[m(n+r)2-n(m+r)2]x+[(m+r)2-(n+r)2]y2+n2(m+r)2-m2(n+r)2=0,即(m-n)(m+n+r)x2-2[mn(n-m)+(m-n)r2]x+(m-n)(m+n+r)y2+[2mn+(m+n)r](n-m)r=0,因为m-n≠0,mn=r2,上式可化简为x2+y2=r2,故圆x2+y2=r2上的点P均满足:PM=kPN(k≠1),其中k=AMAN.图2定理2设M,N是圆O的反演点,AB是直线MN上的直径,P为圆O上的任意一点,则直线PA,PB分别为△PMN的∠MPN的内、外角平分线.如图2,由于PMPN=BMBN,故由平面几何角平分线的性质易知(证略).下面举例说明本文定理的应用.图3例1(2015年湖北高考理14)如图3,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且AB=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①NANB=MAMB;②NBNA-MAMB=2;③NBNA+MAMB=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)解(1)略.圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)联立方程组x=0,(x-1)2+(y-2)2=2,解得x=0,y=2-1,或x=0,y=2+1,因为B在A的上方,所以A(0,2-1),B(0,2+1),因为OA·OB=1=r2,由定理1可知,点A,B是圆O:x2+y2=1的一对反演点,取圆O上一点D(0,1)计算[JB(|]DA[JB)|]DB=2-22=2-1得圆O为以A,B为反演点,比例系数为2-1的阿波罗尼斯圆.即对圆O:x2+y2=1上任意一点P,均有PAPB=2-1.故有NANB=MAMB=2-1,故①正确,又NBNA-MAMB=(2+1)-(2-1)=2,故②正确;NBNA+MAMB=(2+1)+(2-1)=22,③正确.可见,用本文定理来解决2015年湖北高考题是何等的简捷.例2已知圆C:x2+y2=16,问在x轴上是否存在点A和点B,使得对于圆C上的任意一点P,都有PAPB=13?若存在,求出A,B点的坐标;若不存在,说明理由.解设A(a,0),B(b,0)(a4-ab-4=13,得:a=43,b=12,故存在点A(43,0),B(12,0),使得圆C上任意一点P均满足PAPB=13.评析本例揭示了对于任意一个圆和给定的比例常数k,如何寻找定点A,B使圆成为阿波罗尼斯圆,即其上任意一点满足PAPB=k的方法,只要求出圆的一对反演点A,B即为所求.例3已知点A,B分别为x,y轴上的两个动点,且满足AB=10,点M为线段AB的中点,已知P(10,0),C(6,3),则12PM+CM的最小值为.图4解析如图4,点M的轨迹为圆x2+y2=25,为使圆成为比例常数为12的阿波罗尼斯圆,设点Q(m,0)与点P(10,0)为反演点,则有10m=52,所以m=52,所以Q(52,0),则圆上的点M满足:|MQ|=12|MP|,所以12|PM|+|CM|=|MQ|+|CM|≥|CQ|=852.评析本题的解法抓住点M为圆上的动点,通过确定点P的反演点Q,利用定理1把12|PM|成功转化为|MQ|,再利用几何意义解题,过程简洁明快.例4(2011年卓越联盟自主招生试题)在△ABC中,AB=2AC,AD是∠A的平分线,且AD=kAC,(1)求k的取值范围;(2)若△ABC的面积为1,求k为何值时,BC最短.先来看原解解(1)不妨设AC=1,AB=2,AD=kAC=k,由三角形内角平分线的性质可得:BD=23BC,CD=13BC,由余弦定理可得:49BC2=4+k2-4kcosA2,19BC2=1+k2-2kcosA2,所以cosA2=34k,由于0故有0(2)由已知条件和面积公式有12AB·ACsinA=1,即AC2sinA=1,所以AC2=1sinA,再由余弦定理得:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=5AC2-4AC2·cosA=5-4cosAsinA,将cosA=1-2sin2A2代入上式得BC2=1+8sin2A2sinA=9sin2A2+cos2A2sinA≥6si nA2cosA2sinA=3,当3sinA2=cosA2时等号成立,BCmin=3,此时cos2A2=9sin2A2=9-9cos2A2cosA2=310,由(1)可知k=43cosA2=43·310=2105.下面再用本文的定理来解:图5解(1)如图5,由条件AB=2AC,故构造半径为r=2t(t>0)的阿波罗尼斯圆O,其中OC=t,OB=4t,D是BC与圆的交点,则由定理2可知AD是∠A的平分线,则圆O上的点A 满足AB=2AC,设∠AOC=θ,则k2=AD2AC2=(2·2tsinθ2)2t2+4t2-2·t·2tcosθ=8(1-cosθ)5-4cosθ,令t=cosθ∈(-1,1),则k2=AD2AC2=8(1-t)5-4t=2+14t-5为减函数.故k2∈(0,169)所以k∈(0,43).事实上,几何事实一目了然,当点A在圆上运动时,点A趋近于圆直径的两端点D,E时为k取值范围的端点,容易计算得0,43;(2)S△ABC=12·BC·h=12·3t·2tsinθ=3t2sinθ=1,又BC=3t,故当sinθ=1时,tmin=33,从而BC最短为3,此时AO⊥BC,故AD=22t,AC=5t,所以k=ADAC=225=2105.评析比较两者解法可知,解法1,有一定的思维难度和较大的运算量,而解法2利用了本题的几何背景:阿波罗尼斯圆的性质,凸显了几何意义,从而大大简化了解题过程.综上所述,本文所给的两个定理在解决阿波罗尼斯圆为背景的解析几何问题和涉及定比线段的三角、几何问题时是十分有用的.。
阿氏圆的性质及其应用
阿波罗尼斯圆的性质及其应用廖波定义:平面内到两定点的距离之比为常数()10≠>λλλ且的点的轨迹是圆,简称阿氏圆。
已知:点的轨迹。
求P PB AP a AB ,,2λ==解:以AB 为垂直平分线和AB 所在直线为坐标轴,建立如图所示坐标系。
令),(y x P 。
()()[]22222y a x y a x BP AP +-=++⇒=λλ 2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇒m ma y a x λλ性质①在内。
外,在时,在外。
内,在时,A B A O B ΘO <<Θ>101λλ②APB PP BP A P PB P A ∠⇒==平分'''λ③λ==∙=⇒∆∆BPAP OB OP OA OB OP POB AOP )2(,)1(2相似与一、在解三角形中的应用例1、已知:BC AC AB 2,2==的三角形ABC ,求其面积的最大值?解:由阿氏圆的性质可得,当C 点在圆的最高点时,面积最大。
22222212max max =⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∙=r r r r r h AB S ,而22max =S 例2、在____,2,2的最大值则边中,面积c b a S ABC ==∆解:如图所示:r c c r r r r OA 232121,212=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+==r h c hc c S ==⇒=∙⨯=max h ,42h 21要最大。
最小,要使又666232232122=⇒=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=∙∙∴c c r r r 二、在两点间距离的应用例3、在坐标系中,A(4,0),B(0,3),P 为422=+y x 上一个动点,则3AP+2BP 的最小值为_____解:方案①将B 点转移到圆内D 处,DP BP r OD BP DP OD OB OD r 23342=⇒=⇒=⇒∙=()104332323min ==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴AD DP AP DP AP 方案②将A 点转移到圆内C 处,使AP=2PC,将圆外线段变到圆内,系数变大,不能达到PC 与PB 系数一致的目的,所以,点在圆外变到圆内,系数变大,反之,系数变小.例4、已知:______y 6-13253,422的最小值为则+-==+x d y x 解:如图所示()()PB y x y PC y x x =-+=-=+-=22223613,3132-53接下来和例3如法炮制,化系数相同法则得:()102)34(4232322=+≥+=∴P A PD d 例5、已知l .05:l 2221,在直线若对圆上任意一点与直线:P y x r y x =-+=+ΘO 上均存在两点E 、F ,使_____,8,2的取值范围则且r EF PF PE ==解:因为定线段EF 是直线上的动线段,所以1ΘO 是半径一定的动圆。
阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义
阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义阿波罗尼斯圆是数学中一个重要的曲线,它由一对不相交的直线段围起来,这对直线段的长度之和始终保持不变。
在这个主题中,我们将探讨阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义。
一、阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆是一个以固定点F为焦点,固定线段AB的两个端点A、B为直径的圆。
其中,焦点F位于直线AB的垂直平分线上。
在这个圆中,点M和N是圆上两个点,且满足MA + MB = NA + NB。
二、焦点的性质1. 焦点到任意点的距离之和相等:对于阿波罗尼斯圆上的任意一点P,它到焦点F的距离FP与到直线AB的距离的和等于常数。
这一性质使得焦点具有一种几何上的特殊性质,使得阿波罗尼斯圆能够在各种应用中发挥重要的作用。
2. 轨迹上的任意一点都是一对交错测量值的平均值:阿波罗尼斯圆上任意一点的坐标值可以表示为两个数的平均值,这两个数代表直线段AB两个端点的坐标值。
这种特性使得阿波罗尼斯圆可以用来表达各种测量值的平均值,如光线、能量、声波等。
三、焦点的物理意义阿波罗尼斯圆的焦点在物理学中有着重要的应用和意义。
以下是一些例子:1. 镜面的焦点:根据阿波罗尼斯圆的性质,对于镜面而言,焦点是光线反射的特殊位置。
当光线平行于镜面主轴时,反射后的光线都汇聚于焦点位置,因此可以用焦点来确定镜面成像的位置和性质。
2. 太阳能聚焦器:太阳能聚焦器利用阿波罗尼斯圆的特性,将太阳的光线集中到一个焦点上,以产生高温。
这种技术被广泛应用于太阳能发电和太阳能热水器等领域。
3. 声音聚焦:借鉴阿波罗尼斯圆的性质,可以设计出声音聚焦器,将声波聚集到一个点上,用于医学诊断、声学研究等领域。
4. 能量传输和集中:阿波罗尼斯圆的焦点还可以用于能量传输和集中。
例如,在激光技术中,利用焦点将能量集中在一个小区域内,实现高功率激光束的传输和应用。
总结:阿波罗尼斯圆的焦点及其物理意义在科学和工程中有着广泛的应用。
焦点是一种特殊的位置,它使得阿波罗尼斯圆能够在光学、声学、能源等领域发挥着重要的作用。
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明
(实用版)
目录
1.阿波罗尼斯圆的定义与性质
2.阿波罗尼斯圆逆定理的概述
3.阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法
4.阿波罗尼斯圆逆定理的应用
5.总结
正文
一、阿波罗尼斯圆的定义与性质
阿波罗尼斯圆,又称为阿波罗尼斯截圆,是由古希腊数学家阿波罗尼斯提出的一种特殊的圆。
阿波罗尼斯圆是指在平面直角坐标系中,以两个定点(称为焦点)为直径的圆。
该圆具有许多有趣的性质,如与焦点连线的长度等于到另一个焦点连线长度的和等。
二、阿波罗尼斯圆逆定理的概述
阿波罗尼斯圆逆定理是阿波罗尼斯圆的一个重要性质。
该定理表述为:若已知一个圆的两个焦点,则可以唯一确定这个圆。
换句话说,给定两个焦点,可以通过阿波罗尼斯圆逆定理确定唯一的阿波罗尼斯圆。
三、阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法
证明阿波罗尼斯圆逆定理的方法有很多,其中一种比较直观的方法是利用几何图形的性质。
首先,连接两个焦点,并延长这两条连线,使其相交于圆周上的一点。
然后,通过这个交点和两个焦点,可以构造一个直角三角形。
利用这个直角三角形,可以证明阿波罗尼斯圆的唯一性。
四、阿波罗尼斯圆逆定理的应用
阿波罗尼斯圆逆定理在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。
例如,在光学中,阿波罗尼斯圆逆定理可以用来描述光线经过透镜后的传播路径;在力学中,阿波罗尼斯圆逆定理可以用来分析两个物体之间的引力作用等。
五、总结
阿波罗尼斯圆逆定理是阿波罗尼斯圆的一个重要性质,具有广泛的应用。
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阿波罗尼斯圆的数学推导与证明
阿波罗尼斯圆的数学推导与证明阿波罗尼斯圆是指一个与一个给定圆相切于两个点,并且通过这两个切点和给定圆的另一个点的所得圆。
在本文中,我们将详细介绍阿波罗尼斯圆的数学推导和证明。
1. 引言阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在几何学中提出的一个重要概念。
它具有一些独特的性质和特点,在数学推导和证明过程中引起了人们的广泛关注。
2. 阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆可以通过以下几个步骤得出:- 给定一个圆,记为O,以及这个圆上的两个点A和B。
- 连接OA和OB,并延长线段OA和OB,使其与圆O交于C和D 两个点。
- 以C和D为中心,AC和BD的长度为半径,分别画两个圆,记为P和Q。
- 阿波罗尼斯圆即为圆P和圆Q所交的部分。
3. 阿波罗尼斯圆的性质阿波罗尼斯圆具有以下几个重要的性质:- 阿波罗尼斯圆与给定圆O的切点处呈现相切的关系。
- 阿波罗尼斯圆与给定圆O的切线相互垂直。
- 阿波罗尼斯圆的切点和给定圆O的切点在一条直线上。
4. 数学推导与证明4.1 推导过程为了推导阿波罗尼斯圆的性质,我们可以利用几何学的一些基本原理和定理进行推导,具体推导过程如下:- 利用勾股定理以及相似三角形的性质,可以得到阿波罗尼斯圆的半径与给定圆的半径之间的关系。
- 利用切线与半径垂直的性质,可以证明阿波罗尼斯圆与给定圆的切线垂直。
- 利用共线性以及圆的性质,可以证明阿波罗尼斯圆的切点和给定圆的切点在一条直线上。
4.2 证明过程为了证明阿波罗尼斯圆的性质,我们可以利用严谨的数学推导和证明方法,具体证明过程如下:- 证明阿波罗尼斯圆的半径与给定圆的半径之间的关系可以通过引入坐标系,运用几何和代数相结合的方法,利用方程和计算,从而得出两者之间的数学关系。
- 证明阿波罗尼斯圆与给定圆的切线垂直可以利用向量的性质、线段长度的计算以及三角形的性质,从而得出切线与半径垂直的结论。
- 证明阿波罗尼斯圆的切点和给定圆的切点在一条直线上可以通过运用共线性的证明方法,将几何图形转化为代数方程,并运用线性方程组求解的方法,从而得出切点在一条直线上的结论。
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阿波罗尼斯圆性质及其应用探究背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。
1.“阿波罗尼斯圆”:在平面上给定两点B A ,,设P 点在同一平面上且满足,λ=PBPA当0>λ且1≠λ时,P 点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆。
(1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明..角坐标系中点为原点建立平面直轴,所在的直线为证明:以AB x AB ()()(),不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PBλλλ⎡⎤=∴==∴++=-+⎣⎦()()()()0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ()()2222222222221211,01112⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆,2222221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心,以在以综上,动点-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质.性质1点A 、点B 在圆心C 的同侧;当1>λ时,点B 在圆C 内,点A 在圆C 外; 当10<<λ时,点A 在圆C 内,点B 在圆C 外。
().,11,012111122222的右侧当然也在点的右侧,在点点所示,时,如图证明:当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ.,1212112222222的内部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ.,12121122222222的外部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ()().,11,01211210222222的左侧当然也在点的左侧,在点点所示,时,如图当B A C a a a a a ∴-<-+∴<-=---+<<λλλλλλλ .,1212112222222的外部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ .,12121122222222的内部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ.的同侧在圆心、综上可得定点C B A当1>λ时,点B 在圆C 内,点A 在圆C 外; 当10<<λ时,点A 在圆C 内,点B 在圆C 外。
.,.2121221121P P B A AB P P B P A P B P A P AB P P x C 也调和分割、同时调和分割、此时,我们称尼斯圆的定义可得:称为外分点,由阿波罗在线段外,内,称为内分点,一点两点,一点在线段、轴交于与设圆=性质2..212121的内、外角平分线分别是、则,、、、的任意一点,连接、上不同于点是圆设点APBPP PP PP PB PP PA P P C P ∠.,111APB PP B P AP PB PA ∠∴=平分的定义可知,证明:由阿波罗尼斯圆.,222的外角平分同理可知,APB PP BP AP PB PA ∠∴=性质3 .2r BC AC =⋅.()()()()2222222222242422222422224141121211211111r PC BC AC r a a a a a a a a BC AC ==⋅=-=--+-++=--++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⋅>其几何特征如图时,证明:当λλλλλλλλλλλλλλλ性质4.21AP AP AC AB ⋅=⋅()()().3212222AP AP r AC r AC r AC AC AB r AB AC AC AB AC AC BC AC ⋅=+-=-=⋅∴=⋅-=-⋅=⋅可得,证明:由性质.B A 的对应点利用此性质可以作出点.,,,为所求则点垂足为作的切线,切点为作圆外,过点在圆若点B B AC PB P C A C A ⊥().,421212即为所求点点,证明:如图B AP AP AC AB AC AB AP AP AP ∴⋅=⋅∴⋅=⋅=性质5..,21EAF AB EF P P C B ∠平分则重合的弦不与作圆过点().,,5EAF AB FBEBFA EA FB FA EB EA ∠∴=∴=平分所示,证明:如图4.阿波罗尼斯圆的应用()()().,2010206.1 面积是的轨迹所围成的图形的则点满足,如果动点,,,已知两定点四川例P PB PA P B A =-.4,236,2,231πλ=∴====s r a P 的轨迹是阿斯圆,知,点:利用阿斯圆的性质可解法()()()()().420,2,42,04.4142,2,,222222222π轨迹所围成的面积为为半径的圆,为圆心,以的轨迹是以点:设解法∴∴=+-∴=+-+-=++∴=P y x y x x y x y x PB PA y x P().2208.2 的面积的最大值是的,满足条件江苏例ABC BC AC AB ∆==.2221,2212,12.1max 2=⋅⋅=∴=-==∴=∆r AB s ar a B A C ABC λλλ时的阿斯圆,为定点,、的轨迹是以此题点解法()()()()()().2221,83,016,21212,,,0,1,0,1..2max 22222222=⋅⋅=∴=+-∴=++-∴+-=++=-∆r AB s y x y x x y x y x CBCAy x C B A y AB ABC 得,由设则轴建立平面直角坐标系为的中点为原点,中垂线以线段解法 ()().?2116402.322明理由的坐标;若不存在,说若存在,求出点使得,面上是否存在一点上的任意一点,问在平:是圆,,已知例B PB PA B y x C P A ==++-().048163.1,,,可得,利用性质解法B BC BC AC ∴=∴=⋅().0,4,6,3,412,4211.22B AB a a r ∴=∴=∴=-∴==λλλ,可得,利用性质解法()()()().0,4,4,62,33232,0,,33,3232322.,,,7,43B b b b k b B k k P B B x PC PB CP P C x AP PB PB cp ∴=∴=+∴-=--=-=∴==∴-⊥⊥则设,,即为所求点轴与点交作所示,连接如图交于点轴,与圆,作利用解法 ()()()()()()()()()()()[]().0,4,4,016082,0,8,0168212,28,164,101616233,42421,,,0,.42222222222222B b b b x b x b x y x y x b x b y x y b x y x PB PA y x P b B ∴=∴⎩⎨⎧=-=-∴-∈=-+--=+∴=++=-++++∴+-=++=得,代入把得,由一般解法,设解法().21,16422明理由的坐标;若不存在,说、,若存在,求出点都有任意一点上,使得对于圆、轴上是否存在定点,问在:变式:已知圆B A PB PA P C B A x y x C ==++()()()()()()()().0,4,0,2,4,221282,21882112,2121,0,02,0,,0,,,B A b a a b b a DB DA a b b a OB OA b a b B a A AB D O B A D x C -∴=-=+=∴=++=-=∴=-=><<-得,由得:由得:由其中设的内外分点,分别是线段、使得点、此题就是寻找定点轴交于另一点于解:设圆()()()()()()()..21,41161644416441624221,2222222222B A PB PA x x x x x x y x y x PB PA PB PA y x P C 、存在符合条件的点,都满足上的任意一点下面证明圆∴=∴=--=+-+-+-++=+-++== .3,.4的面积的最大值,求的中点,为中,在等腰例ABC BD AC D AC AB ABC ∆==∆()所示,系,如图轴,建立平面直角坐标为的中点为原点,中垂线解:以线段9y BD ()()()()6232321,4250495,4234232,,,2023023max max max 22222222==∴=⋅⋅=∴=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴=+-+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆∆∆ABD ABC ABD S S AC D S y x x y x y x y x AD AB y x A AD AB D B 的中点,是得,由设,,,,则 ()3,2,0,25,232max =∴=⎪⎭⎫⎝⎛==∆ABD S r a D B A 圆心的阿斯圆,为定点,、的轨迹是以注释:点λ()()的最小值为上动点,则为圆,,,点已知圆例PM PB O P M B y x O +⎪⎭⎫⎝⎛-=+2,11021,1:.5226.A7.B10.C11.D()()111020,2,OP OB A PA POB AOP OA OP BOP AOP -==∠=∠∴∆∆解:如图所示,取,,连接,CAM PA PM PB PM PB AP OA OP PA BP 答案为,∴=≥+=+∴=∴==∴102,221.,,PB PM PB OBOPM B O B λλλ造可以利用相似三角形构求在圆外,当圆内,点,点阿斯圆注释:已知定点+=()()().102,0,2,2,2211,2,0,11.2111=≥+=+∴-∴-=∴=--==MA PA PM PB PM A a a B P A P P x O PBPAP O a A x 则,轴交于点与圆都满足上任一点对于圆轴上,设如图解法()()()().202,00,111:.622的最小值求上的动点,为圆,其中,,定点已知圆例PB PO C P B O y x C +=-+-()().5222212322112,2,22,12.11111=≥+=+∴⎪⎭⎫⎝⎛∴∴-=∴-====AO PA PO PB PO A BC A A P B P A P B P P BC C PA PB PAPBP C BC A BC ,,的中点,是点,,则交于点与直线设圆即,都满足上的任一点上,对于圆在直线点所示,做直线如图解 ?2,PD PO D OC OC =,满足上找一点在直线注释:此题能否连接()().2121短线段与外分点相对应段与内分点相对应,较因此,可以认为较长线在左侧,较长时,内分点在左侧,当较长时,内分点所示,当如图P PB P PA ().,214212221不符合题意都是内分点,,的延长线上,此时在线段点的内分点,是线段点所示,两点,如图、相交于与直线符合条件,设圆假设存在点P P OP D OD P PO PD P P OC C D ∴∴=()(){}22221110.2cos sin cos sin ,22,f R f mαααααααφ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈>≠已知函数若集合求实数m 的取值范围.()()()()()11111cos ,sin ,,0,0,,22=2,,0,22,11121,0,2,2,0,1217172,.22P B M P PAf PB PM A a PA PB PBPB O a A P A a PB PM PA PM AM m ααα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=∴=-+-==∴=-∴---∴-=-≤=∴<解:设则点在以原点O 为圆心的单位圆上,设满足圆O 上的任意一点P 都有,设圆与x 轴交于点P ,则()()()()()0000211.62,,,,2,,,x yBC AC AB D AD AB AC f x y AD x y x y f x y f x y f x y ===+=++≥已知,点满足设若恒成立,求的最大值.()()()()()()()()222222220max2,2,2,2,,616,,0,3,0,3,234431090,516,4AE AB AC AF AC AB AE AF ACB AEF EF AC EF x EF x y E F AE AF x y x y x y y x y AD ===∴=∆≅∆∴==-=++=+-∴+-+=∴+-=∴=以线段所在的直线为轴,线段的中点O 为原点建立平面直角坐标系,如图所示设A 由得,()()()()()()00002112,2,,222,1,,,,,+16,,,x y x y AD AB AC AB AC AB AE AC AF x y x y x y x y x yx yAD AE AF D E F AD EF D x y x y x y x yf x y f x y f x y AD A ⎛⎫=+=+== ⎪++++⎝⎭=++=∴⊥+++≥=≥解:设则三点共线,作垂足为如图所示,恒成立,()0000,.D f x y AD ∴=MAPB 15()yxO 17()yxOD C M BAyD 0F E AC16()xBO1,,22a b ca b c c b c a+-=-+-12.已知是相互垂直的单位向量,平面向量满足则的最小值为()()17,,,1,1,,,11,,221122,,22OA a OB b a b OM M OC C a b c CM CM c b BC c a AC MD MC c b c a CB CA AM D CMD AMC MC MA CMD AMC ==+==+-==-=-=∴-+-=+==∠=∠∴∆∆解.如图所示,设则依题意,所以点C 在以M 为圆心,r=的圆上,在上取点,∽满足,又12,222221224422DC MC AC CDCB CA CB CD BDCA MA MD BD CB CA c b c a ∴==∴=∴+=+≥=∴==∴+≥∴-+-,,的最小值为()111111,.36.24B C D M BC P DCC D APD MPC P BCD A B C D ∠=∠-13.在棱长为6的正方体ABCD-A 中,是的中点,点是正方形内的动点,且满足则三棱锥的体积最大值为()()()()()()0011112222229090,,,221930,30,,2,3434,1090DCC D ADP MC DCC D PCM PD ADAPD MPC APD MPC APD MPC PC MCPD PC DC DC y C x y PD PC x y x y x y x ⊥∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∠=∠∴∆∆∴==∴=-=∴++=-+∴+-+=解.AD 平面,,平面,,又如图所示,以线段的中点为原点,线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则D ,∽,,设P ()()(()22111max,51650411323,66.32P BCD x y P E r DCC D P V B --+==∴=⨯⨯⨯⨯=∴即点的轨迹是以,为圆心,的圆在正方形内的部分,,答案为18()1()14.21,3ABC AC AB mBC m ABC m π∆==>∆在中,,恰好当B=时, 的面积最大,求的值.()()()()()()22222222222222222222201010,,,11,12112,0,,,11111121,11AC y C x y BA mBC x y m x m y m m m m m x y D BD AC B m m m m m m m BA m m -=∴++=-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫∴-+=∴⊥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛+∴=--- --⎝解.如图所示,以线段的中点为原点,中垂线为轴建立平面直角坐标系,则A ,,,,设B 圆心当时,()()()22222222242222222222,1112221,,,1111844212,141,cos 1m m m m m m m BC m m m m m m m m m m BA BC BA BC m m m BA BC BA BC B BA m⎫⎛⎫--=⎪⎪--⎭⎝⎭⎛⎫+--⎛⎫=--= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭++∴⋅====-+⋅⋅=∴=⋅-,又,()()()222222228121,1241141021,2m m m m m m BCmm m m m m -===++-∴-+=∴=±∴>∴=+20()21()11 15.,62A BCD AB AC BC AD BD CD-⊥===在四面体CDABCD 中,已知AD ,BC=2,且,求V 的最大值. ()21,,1,,23122A BCD BCE BCE A BCD BCE BC BEBC B AD BCE AD CE V S AD S BA CA PA BD CD PDB C AD V S -∆∆-∆⊥⊥⊥=∴⊥∴⊥∴=⋅⋅=∴∴∴⊥∴==⨯解.如图,作BE AD,垂足为E,连接CE,AD BE,AD 平面==2,B 、C 在以A 、D 为定点,且满足=2的阿波罗尼斯球上,、在以点E为圆心,且与垂直的小圆上,BE=CE,取BC 的中点F,连接EF,则EF BC,()()()()()()()222222max max 2223,0,30,,2,3434,516,4,A BCD A BCD EF EF D x y BA BD x y x y x y BE V V --⨯⨯==-=∴++=-+-+=∴=∴=≤∴=以AD 所在的直线为x 轴,AD 的中点为原点建立平面直角坐标系,则A ,,设B 即。