北航机电控制工程基础(自动控制原理)第五章2-典型环节频率特性
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自动控制原理 第五章 频率特性法
R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
自动控制原理：第五章 频率特性法
15 5 j(1 22 )
15
5 j(1 22 )
1 52 44 1 52 44 1 52 44
• 起点
• 渐近线 G(0) 15 j
•
与实轴交点
令虚部为0： 1 22 0,
1 2
• 终点
实部为-3.33
作业
• 已知单位负反馈系统开环传递函数为
Wk
(s)
s(T1s
N 1)(T2 s
Im[Wk ( j)] Q() 0 Re[Wk ( j)] P() 0
与负实轴交点 与虚轴交点
§5-2幅相频率特性曲线
例4 解:
Wk
(s
)
绘制1 其开环幅相特性曲线.
s(Ts 1)
Wk ( j )
1
T
j ( jT 1) 1 2T 2
j
(1
1
2T
2
)
1
j ( arctanT )
e2
P()
W ( j) A()e j() 称为幅相频率特性的极坐标表达式。
§5-1 频率特性 的基本概念
4.频率特性法（频率法）：
就是以频率特性为基础对系统进行分析研究的方法 ，它在分析设计系统中的优点： ⑴频率特性可通过实验方法获得，可以方便地研究难 以建立微分方程的复杂系统或环节。 ⑵简化高阶系统的分析计算工作，可以用简单图解法 去分析设计。 ⑶通过时域与频域性能指标之间的关系、用频率分析 时域指标（δ%，ts）等。
2
§5-2幅相频率特性曲线
0
1
A() K 0
( )
2
2
2
Im Re K ω=1
ω=0
可见积分环节具有恒定相位滞后。
（三）非周期（惯性）环节
《自动控制原理》第五章 第2讲
Im K
•
Re
比例环节的对数幅相频率对数（Bode）图：
L(ω ) / dB
20 log K 20 log K 20 log K
K >1 K = 1 log ω K <1
> 0 L(ω ) = 20 lg K = 常数 = = 0 < 0
对数幅频特性：
K >1 K =1 K <1
相频特性：
1 G (s) = Ts + 1
频率特性为：
G ( jω ) =
1 Tjω + 1
A(ω ) =
1 1 + T 2ω 2
,
ϕ (ω ) = −tg −1Tω
ω = 0时：A(0) = 1，ϕ (0) = 0
Im
ω =∞
Re 0
ω=
1 T
1 1 1 1 ω = 时：A( ) = ，ϕ ( ) = −45° T T T 2
ω →∞
0
与之对称于实轴。
ω =0
实际曲线还与阻尼系数 有关
Im
-1 0 1
Re
-1
由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
-2
对数幅相频率特性： 幅频特性为：
A(ω ) = 1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2
1 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
ϕ (ω ) = −tg −1 相频特性：
2ζωT 1 − T 2ω 2
ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω = 几个特征点：
下图是当T=1时的图
(dB )
π 1 , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
•
Re
比例环节的对数幅相频率对数（Bode）图：
L(ω ) / dB
20 log K 20 log K 20 log K
K >1 K = 1 log ω K <1
> 0 L(ω ) = 20 lg K = 常数 = = 0 < 0
对数幅频特性：
K >1 K =1 K <1
相频特性：
1 G (s) = Ts + 1
频率特性为：
G ( jω ) =
1 Tjω + 1
A(ω ) =
1 1 + T 2ω 2
,
ϕ (ω ) = −tg −1Tω
ω = 0时：A(0) = 1，ϕ (0) = 0
Im
ω =∞
Re 0
ω=
1 T
1 1 1 1 ω = 时：A( ) = ，ϕ ( ) = −45° T T T 2
ω →∞
0
与之对称于实轴。
ω =0
实际曲线还与阻尼系数 有关
Im
-1 0 1
Re
-1
由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。
-2
对数幅相频率特性： 幅频特性为：
A(ω ) = 1 (1 − T 2ω 2 ) 2 + ( 2ζωT ) 2
1 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T
ϕ (ω ) = −tg −1 相频特性：
2ζωT 1 − T 2ω 2
ω = 0, ϕ (ω ) = 0; ω = 几个特征点：
下图是当T=1时的图
(dB )
π 1 , ϕ (ω ) = − ; ω = ∞, ϕ (ω ) = −π。 T 2
自动控制原理(第三版)第五章频率响应法
频段的两条直线组成的折线近似表示, 如图5-18的渐近线所
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
示。 这两条线相交处的交接频率ω=1/T, 称为振荡环节的无阻尼
自然振荡频率。在交接频率附近, 对数幅频特性与渐近线存在
一定的误差, 其值取决于阻尼比ζ的值, 阻尼比越小, 则误差越大, 如表5-4所示。当ζ＜0.707时, 在对数幅频特性上出现峰值。根
一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L, ω0为参考点, 则 当ω以ω0为起点, 在10倍频程内变化时, 坐标点相对于ω0的距离
为表5-1中的第二行数值乘以L。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-4 对数分度和线性分度
第五章 频 率 响 应 法
表 5-1 10倍频程内的对数分度
第五章 频 率 响 应 法
第五章 频 率 响 应 法
图 5-7 比例环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
2. 积分环节 积分环节的频率特性为
其幅频特性和相频特性为
(5.18)
(5.19)
由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率ω成反比, 而相频特性恒
为-90°。对数幅频特性和相频特性为
(5.20)
第五章 频 率 响 应 法
T), 则有
因此有
这表明φ(ω)是关于ω=1/T, φ(ω)=-45°这一点中心对称的。 用
MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。
第五章 频 率 响 应 法
图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
第五章 频 率 响 应 法
5. 一阶微分环节 一阶微分环节的频率特性为 幅频特性和相频特性为
即 所以, 惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5, 0), 半径为0.5的半圆 (
见图5-12)。 对数幅频特性和相频特性为
5-2 典型环节的频率特性
K T 2 s 2 + 2ξTs + 1
0
ωr
对应频率特性 G( jω) 的起点为
G( j0) = K , ∠G( j0) = 0
(ω = 0 )
振荡环节的频率响应
阻尼比较小时，会产生谐振，谐振峰值 M r ( M 幅频特性的极值方程解出。
r
> 1) 和谐振频率 ω r 由
d d 2 2 2 1 − T ω + 4ξ 2T 2ω 2 = 0 G( jω ) = dω dω
∠G( jω ) = 0
频率特性如图所示。
°
Im
由图可看出放大环节的幅频特 性为常数K，相频特性等于零度， 它们都与频率无关。理想的放大环 节能够无失真和无滞后地复现输入 信号。
0
ω =0→∞
.
K
Re
放大环节的频率响应
（二） 积分环节
积分环节的传递函数为 其对应的频率特性是
1 G (s) = s
100
90o 45o 0 -45o -90o 0.01 0.1 1 10 100
ω
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）
的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
G ( jω ) = G1 ( jω )G2 ( jω ) LGn ( jω ) G ( jω ) = G1 ( jω ) ⋅ G2 ( jω ) L Gn ( jω ) L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg G1 ( jω ) + 20 lg G2 ( jω ) + L + 20 lg Gn ( jω )
自动控制原理第五章控制系统的频率特性法讲义
假设G j A e j 则G j A e j，
则B1
R 2j
A e j ，B2
R 2j
A
e j
cs (t) R A
e jt e jt 2j
R A sint Cc ( )
频率特性的基本概念
§5-1 基本概念
pn
若rt
Rsint，则Rs
R s2 2
(s
R j )(s
j )
频率特性的基本概念
§5-1 基本概念
Cs
GsRs
s
p1 s
N s p2 s
pn
(s
R j )( s
j )
n
Ci
B1
B2
i1 s pi s j s j
n
则c t
Ci e pi t B1e jt B2e jt。
U rm T
1 s 1
(s
j)(s
j )
A B C
T
s 1 s j s j
T
其中：A
=
lim [Urm T s 1
s2
2
]
=
T
TU rm 1 2T 2
B lim [Urm
]
U rm
1 e jtg1T
s j T (s 1 )(s j )
1 2T 2 2 j
T
C lim [Urm
§5-1 基本概念
频率特性的基本概念
§5-1 基本
当U
r的较
低
时
，U
c
和U
的
r
幅
值几
乎
相
等
，
相
角迟
后
也不大。当 Uc 且c迟后 。当 时，
自动控制原理第5章频率特性
自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。
在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。
本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。
1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。
在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。
频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。
2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。
频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。
对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。
3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。
相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。
在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。
4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。
它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。
在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。
对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。
6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。
工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。
常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。
总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。
频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。
自动控制原理5-2典型环节与开环系统的频率特性资料
开环的L曲线绘制(P202)
L(ω)dB
40
[-20]
[-40]
20
0dB -20
0.1 0.2
12
[-20]
ω
10 20
100
[-40]
-40 低频段：40 0.1时为52dB， 0.5时为38dB s
转折频率：0.5 2 30 斜率： -40 -20 -40
例题(补充)
2000( s 1)2
G(j 1 ) j2 T
0
G(j) (1 T22 ) j2T
1 Re[G(jω)]
矢量的虚部始终为正
Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限 Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上
Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限
从0 ~ 时，矢量的角度从0o ~ 90o ~ 180o
振荡环节G(jω)分析 0 1
G(s)=
1 Ts+1
惯性环节
0o ~ -90o
G(s) T2s2 2Ts 1二阶微分 0o ~ 90o ~ 180o
Gs)
T2s2
1 2Ts
振荡环节
1
0o ~ -90o ~ -180o
非最小相位环节相角小结（幅频特性相同，相频特性相反）
G(s)
名称
G(s)=k (k<0)
不稳定的 比例环节
延迟环节
G(s) eTs
G(j) e jT
-1
A() 1
() T
j I m[G( j)]
0
1 Re[G(j)]
与其它环节串联时只影 响角度不影响模
开环幅相曲线的绘制例1
G(s)
60
(s 2)(s 3)
自动控制原理 第五章(第二次课)
G( j0 ) 180 G( j) 0 90
如果 arctan arctan arctan
2
3
180 () 90
如果 arctan arctan arctan
2
3
幅相曲线会与负实轴相交
18
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
解方程 arctan arctan arctan
开环传递函数：G(s) G1(s) G2(s)G3(s) G4(s) 开环频率特性：G( j) G1( j)G2( j)G3( j)G4( j)
A()e j A1()e j1 A2 ()e j2 A3 ()e j3 A4 ()e j4
4
5-4 系统开环频率特性的绘制
自动控制原理
对数幅频和相频特性
20 20dB/dec
0 0.1
1
-20
10
L() 20lg
() 900
dL() d lg
20
dB dec
( ) 90
0
90
对数频率特性曲线
27
微分环节L()
自动控制原理
① G(s)= S ② G(s)= 2S ③ G(s)= 0.1S
L()dB
②与0分贝线交点频率？斜率？
自动控制原理
（2）积分环节
传递函数： GG((Ss) K1
S
频率特性： G( j) 1
j
L( ) dB
20
-20dB/dec
0 0.1
1
-20
10
对数幅频和相频特性
L（） 20lg
() 900
斜率：
dL() d lg
20 dB dec
第五章 频率法
其中，s1 , s2 ,, sn是系统的闭环极点。要 使系统稳定， 则si 必须都具有负实部。
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第五章
频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
北京航空航天大学机械工程及自动化学院 第五章 频率法 19
对数频率特性曲线
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第五章
频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
北京航空航天大学机械工程及自动化学院 第五章 频率法 19
对数频率特性曲线
典型环节与系统频率特性
2．积分环节
<1>
G(s)= s1
A(ω )=ω1
G(ωj
)=
1 jω
φ (ω )=-90o
奈氏图
∞
Im 0
Re
<2> 伯德图 对数幅频特性：
ω=0 L(ω ) dB
20 -20dB/dec
L(ω )=20lgA(ω )=-20lgω
0 0.1 -20
1
10 ω
ω=1 L(ω )=-20lg1=0dB φ (ω )
节串联而成的：
幅频特性:
开积环分G(增环s)益节= sKυΠjΠ=ni=1υ-m1((τTjiss++11))系n时>统间m的常A阶数(ω次)=ωKυΠjΠi1=n=m-υ1
1+(ωτ i )2 1+(ω Tj )2
的个数
相频特性:
φ
(ω )=υ- 90o+
∑m tg-ω1 τ
i =1
i
∑nυ- tg-ω1
Im
1 0
L(ω ) dB
20 0
φ (ω )
0 -100 -200 -300
ω=0 Re
ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
8．非最小相位环节
最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上
的极点和零点. 非最小相位环节:
开环传递函数中含有s右半平面上 的极点或零点.
最小相位环节对数幅频特性与对数相 频特性之间存在着唯一的对应关系.对非最 小相位环节来说,不存在这种关系.
第五章 频率特性法
第二节 典型环节与系统频率特性
频率特性法是一种图解分析法,它 是通过系统的频率特性来分析系统的性 能,因而可避免繁杂的求解运算.与其他 方法比较,它具有一些明显的优点.
自动控制原理--典型环节的频率特性
j
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
自动控制原理--频率特性及其表示法 ppt课件
由复阻抗的概念求得
图5.3 RC串联电路
Uo ( j) G( j) 1 1
Ui ( j)
1 RCj 1 jT
式中: T RC
自动控制原理
ppt课件
9
1 频率特性的基本概念
RC电路的频率特性 G( j) G( j) e j()
由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅
幅值衰减。
频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去
自动控制原理
ppt课件
13
1 频率特性的基本概念
频率特性的求取
根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代
入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦 量的复数比即可得到。
根据传递函数求取 用s=j代入系统的传递函数即可得到。
通过实验的方法直接测得
幅相频率特性
幅相频率特性的图示 也称为奈奎斯特曲线（奈氏图）或极坐标图。
极点
坐标轴
(i )
A(i )
(a)
jI() R(i)
jI ( )
I (i )
(i) R()
A(i )
(2)
A(2 )
(1) A(1)
R()
G( j1)
G( j2)
(b)
(c)
图5.4 幅相频率特性表示法
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和 稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系 统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动 态模型的系统来说，很有用处。
自动控制原理
ppt课件
2
5.1 频率特性及其表示法
1 频率特性的基本概念 2 频率特性的表示
自动控制原理
自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
N(s)
例： R(s)
C(s)
- G(s)
(1).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态输出Css(t)。 先求闭环传递函数
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s) 然后列特征方程：1＋G(s)=0，劳斯判据判稳。 如果系统稳定，则稳态输出Css(t)为：
Css (t) A0 ( jw) sin(wt 0 ( jw))
(2).输入信号为正弦 r(t) A0 sin(wt 0) ,求扰动 n(t)=0时的稳态误差ess1(t)。
必须判稳，只有稳定的系统才有稳态误差。
这时，求R(s)输入下的误差传递函数 er (s) ，
E(s)=希望输出－实际输出
一.比例环节
传递函数为G(s)=k
频率特性为 G( jw) ke j 0
幅频特性为 A(w)=k
相频特性为 (w) 0
极坐标图和伯德图为：
L(w)(dB)
20lgk
(w)(度) 0.1 1 10 100
w
0
w
-30
Bode图
j
w=0
w
0k
w
极坐标图
二.积分环节和微分环节
积分环节: G(s) C(s) R(s) 1/ s
1
e jarctgTw
T 2w2 1
幅频特性: A(w) 1
T 2w2 1
将惯性环节的频率特性 G( jw)分解成实部ReG( jw)
和虚部 ImG( jw) ，并整理得：
Re G(
jw)
12 2
ImG(
jw)2
(1)2 2
Nyquist曲线:以(0.5,j0)为圆心,以0.5为半径的
2第二节典型环节的频率特性(对数坐标图及最小相位系统 )
1
高阶系统极坐标图的绘制
1.用幅频特性和相频特性计算作图
（1）求环节（或系统）的传；递函数 Gs （2）用 j 取代传递函数中的 s ，求出频率特性表达式 G j
（3）将 G j 分成实部P 和虚部 Q ，若遇到G j 的分母
为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。
（4）由所求得的实频特性 P 和虚频特性 Q 代入式(5-10) 和(5-11)，求出幅频特性 A 和相频特性 的表达式；然
对于0型系统， 0 : A0 K ,0 0;
Im
GH平面
对于I型系统， 1: A0 ,0 ;
对于II型系统， 2 : A0 ,0 22 ; 0
0 Re
对于 型系统， : A0 ,0 2; II型系统
2
所以极坐标图的低频段与系统型号有关。
2021/4/27
I型系统
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
20T 10T 5T
1
1
2
2T
T
T
5
10
20
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
振荡环节
2021/4/27
频率分析法--典型环节的频率特性
13
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
自动控制原理_第5章_2
27
30 Magnitude (dB) 25 20 15 10 5 0 90 Phase (deg)
Asymptotic Bode Diagram
一阶微分环节 的渐近Bode图 +20dB/dec
45
ω=
1
τ
102
28
0 10-1
100 Frequency (rad/sec)
101
6
二阶微分环节
29
Im
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
二阶微分环节的Nyquist图
ω → +∞
ζ
1.0 0.8 0.6 0.4
0.2
ω =0
0.5 1 1.5
30 Re
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Bode Diagram 100 80 Magnitude (dB) 60 40 20 0 -20 180 Phase (deg) 135 90 45 0 10-1
G ( jω ) =
惯性环节的相频特性
1 1+ ω T
2 2
∠G ( jω ) = arctan (ωT )
惯性环节的对数幅频特性
L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg 1 + ω 2T 2
= 10 lg (1 + ω T
2
2
)
11
0 -5 Magnitude (dB) -10 -15 -20 -25 -30 0
Bode Diagram
惯性环节的Bode图
Phase (deg)
-45
-90 -1 10
10
0
10 Frequency (rad/sec)
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北京航空航天大学
二、积分环节 Integral links 1、伯德图
机电控制工程基础
K G (s) s
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
K G ( j ) j
K A( )
K ( ) 0 arctan j 0 2
幅值
机电控制工程基础
袁松梅教授 Tel：82339630
下半个圆对应于正频率部分，而上 半个圆对应于负频率部分。
Email：yuansm@
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四、振荡环节Oscillation link 2、伯德图 讨论 0
机电控制工程基础
1 时的情况。当K=1时，频率特性为：
K Kn G( s ) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 n s n 2
G( s) K , G( j ) K
相频特性： ( )
1、伯德图
幅频特性：A( ) K ；
0
；
L( ) / dB
20log K 20log K 20log K
K 1
对数幅频特性：
K 1 lg
0 K 1
( )
180
0 L( ) 20 lg K 0 0
1.0 -45 100 -89.4
1 1 当 0时， (0) 0;当 时， ( ) ;当 时， () 。 T T 4 2
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折 频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅 频特性上下平移。
K P ( ) 1 T 2 2 KT Q ( ) 1 T 2 2 Q ( ) T P( )
Im
Re 0
1 T
0
K K P 2 2 Q 2 1 T 1 ( ) P K K 整理得： ( P )2 Q 2 ( )2 2 2
1 T
2 T
5 T
10 T
袁松梅教授
Email：yuansm@
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机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
②相频特性 ( ) arctan T Phase-frequency characteristics 作图时先计算几个特殊点：
相频特性：
K 1 K 1 0 K 1
K 0
lg
() K 0
180
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机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
Email：yuansm@
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机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
10 G ( j ) 2 s 0 .6 s 1 K 1 0 , T 1, 0 . 3
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2、极坐标图
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
A( )
K
2 2
1 T K P( ) , 2 2 1 T
K A( )
P ( ) 0
K ( ) 0 arctan j 0 2 K Q ( ) Im 0
Re
0
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0
1 T
P() 0，Q() 0
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极坐标图是一个圆，对称于实 轴。证明如下：
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
T ( ) T
( )
0.01 -0.6 2.0 -63.4
0.02 -1.1 3.0 -71.5
0.05 -2.9 4.0 -76
0.1 -5.7 5.0 -78.7
0.2 -11.3 7.0 -81.9
0.3 -16.7 10 -84.3
0.5 -26.6 20 -87.1
0.7 -35 50 -88.9
三、惯性环节 Inertia link 1、伯德图
机电控制工程基础
A( )
K G( s) K Ts 1
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
①对数幅频特性：L( ) 20lg A( ) 20lg K 20lg 采用分段直线近似表示。方法如下：
A( )
L( ) 20 lg A( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2
T 1时，L( ) 0
1 n T
T 1时，L( ) 20 lg (T 2 2 ) 2 40 lg T
称为转折频率。>n后斜率为-40dB/Dec。
2
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
G ( j )
幅频特性为： 相频特性为： 对数幅频特性为： 低频段渐近线： 高频段渐近线： 两渐近线的交点
袁松梅教授
1 (1 T 2 2 ) j 2T
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2 2T ( ) arctan 1 T 2 2
当 近线。
0 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐
T 1，n
低频高频渐近线的交点为： 20lg K
1 ， 称为转折频率[Corner(break) frequency]或交换频率(Exchange T frequency) ，交换频率，也为特征点(Feature point)。
2 0 d B / D ec
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
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当 时，误差为：
n
机电控制工程基础
Mechatronic Control Engineering
Fundamentals of 伯德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
1 20 lg 1 T 2 2 2 20 lg 1 T 2 2 20 lg T
0.5 -1 0 -1 1 -3 0 -3 2 -7 -6 -1 5 -14.2 -14 -0.2 10 -20.04 -20 -0.04 最大误差发生在
K L ( ) 20 lg A( ) 20 lg 20 lg K 20 lg , 当 K 1时， 1, L ( ) 0;
L( ) / dB 40 20
20 40
K 10
1
10 100
K 1
10， L ( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
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一、比例环节（放大环节) The ratio links (links to enlarge )
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
5.2 典型环节的频率特性The frequency characteristics of typical links
4 0 d B / D ec
n
1 T
由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
北京航空航天大学
r
机电控制工程基础
Fundamentals of Mechatronic Control Engineering
对A( )求导并令等于零，可解得 A( ) 的极值对应的频率 。
r n 1 2 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数ξ有关，当 时， r 0；当 1 时，无谐振峰值；当 1 时，有谐振峰值。 2 2
1 0.707 2
M r A(r )
1 2 1 2
由幅频特性 当
A( )
A(n )
1 (1 T 2 2 )2 (2T )2
n
，
1 ， L(n ) 20lg 2 。 2
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。
袁松梅教授 Tel：82339630 Email：yuansm@
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Im
,
( ) arctan T
Q ( ) KT 1 T 2 2
0时：A(0) K， (0) 0
P(0) K，Q(0) 0 1 1 K 1 Re 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 K 1 K 0 P ( ) ，Q ( ) T 2 T 2 时：A() 0， () 90
1 T
2