第二章 Matlab软件的数值计算方法2
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
第二讲MATLAB的数值计算
ans =
3.14159265358979 >>format long e;pi ans = 3.141592653589793e+000 >>format long g;pi ans = 3.14159265358979
字符串 1、字符串的约定
字符串用单引号输入或赋值； 字符串的每个字符都是都是字符数组的一个元素； 字符串和字符数组基本上等价。
常用的特殊矩阵
单位矩阵：eye(m,n); eye(m) 零 矩 阵：zeros(m,n); zeros(m) 一 矩 阵：ones(m,n); ones(m) 对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an] A=diag(V) 随机矩阵：rand(m,n)产生一个m×n的均匀分别的随机 矩阵
>>1/0 Warning: Divide by zero. ans = Inf >>0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN
定义变量时应避免与常量名相同，如果改变了某个常量 的值，可以用clear命令来恢复。
>>pi=1
pi =
1 >>clear pi >>pi ans = 3.1416
>> rand('seed',12); >> tic;x1=b'/a;t1=toc >> a=rand(100)+1.e8; t1 = 0.0773 >> x=ones(100,1); >> er1=norm(x-x1') >> b=a*x; er1 = >> cond(a) 139.8328 ans = 5.0482e+011
第二章 MATLAB数值计算
{矩阵（Matrix）：是一个矩形的数组，即二维 数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩 阵为空矩阵([])。
{数组（Array）：是指n维的数组，为矩阵的延 伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
复数（Complex）
以m×n的矩阵a为例，若元素a(i,j)则 对应的“单下标”为s= (j-1)×m＋i。
a(1,2) a(4)
a(2,3) a(8)
2. 子矩阵块的产生
子矩阵是从对应矩阵中取出一部 分元素构成的。 （1）全下标方式
例 设矩阵A是已知的66矩阵
A(1:3,2:5) A的前3行，及第2到5列元素构成的子矩阵
数值采用十进制表示，可以用带小 数点的形式直接表示，也可以用科学计 数法，数值的表示范围是10-309～10309 。 例如：
-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、 4.68e204(表示4.68×10204)
矩阵和数组的概念
{标量（Scalar）：是指1×1的矩阵，即只含一个 数的矩阵。
表示数组A和B中的对应元素相乘。A和B数组必 须大小相同，除非其中有一个是标量。
(3) 矩阵和数组的除法(division) 矩阵的除法运算表达式有两种：“A\B”和“A/B”， 运算符为“\”和“/”分别表示左除和右除。 X=B/A是X*A=B的解，B/A=B*A-1。 X=A\B是方程A*X=B的解， A\B=A-1*B。 数组的除法运算表达式有两种：“A.\B”和“A./B”， 表示数组相应元素左除和右除。 A和B数组必须大小相同，除非其中有一个是标量。
产生均匀分布的随机矩阵，元素取值 范围0.0～1.0。 产生正态分布的随机矩阵
第2章-MATLAB数值计算.
%提取a(3,3)的值 %给a(3,3) 赋值
（2）单下标方式。矩阵元素也可以用“单下标”标志，就是先把矩阵的所有 列按先左后右的次序连接成“一维长列”，然后对元素位置进行编号。以mn的矩 阵A为例，若元素A(i,j)则对应的“单下标”为s=(j1) mi。矩阵A的元素下标如 图2.2所示。
2．子矩阵块的产生方式 MATLAB利用矩阵下标可以产生子矩阵。对于a(i,j)，如果i和j是向量而不是标 量，则将获得指定矩阵的子矩阵块。子矩阵是从对应矩阵中取出一部分元素构成 的，如图2.3所示，分别用全下标和单下标方式取子矩阵。
（1）用全下标方式。矩阵A如图2.3所示，使用以下几种方式都可以构成子矩 阵。 ① a([1 3],[2 3])：取行数为1、3，列数为2、3的元素构成子矩阵。 ans = 2 0 6 9 ② a(1:3,2:3)：取行数为1～3，列数为2～3的元素构成子矩阵，“1:3”表示1、 2、3行下标。 ans = 2 0 4 0 6 9
3.5000
4.0000
%空矩阵
%两行向量构成矩阵
（2）使用linspace和logspace函数生成向量。 ① linspace用来生成线性等分向量。与“from:step:to”方式不同的是，它直接 给出元素的个数从而得出各个元素的值。 语法： linspace(a,b,n) 说明：a、b、n 3个参数分别表示开始值、结束值和元素个数。生成从a到b之 间线性分布的n个元素的行向量，n如果省略则默认值为100。 ② logspace用来生成对数等分向量，它和linspace一样直接给出元素的个数从 而得出各个元素的值。在画Bode图等应用中，需要使用logspace命令生成对数等间 隔的数据。 语法： logspace (a,b,n) 说明：a、b、n 3个参数分别表示开始值、结束值和数据个数，n如果省略则默 认值为50。生成从10a到10b之间按对数等分的n个元素的行向量。
MATLAB的数值运算
05
线性代数运算
向量和矩阵的运算
向量减法
向量减法是指将一个向量的对 应元素减去另一个向量的对应 元素，得到一个新的向量。
向量点乘
向量点乘是指将两个向量的对 应元素相乘，并求和，得到一 个标量。
向量加法
向量加法是指将两个向量的对 应元素相加，得到一个新的向 量。
标量乘法
标量乘法是指将一个标量与一 个向量的每个元素相乘，得到 一个新的向量。
数据可视化
MATLAB内置绘图函数，支持多种图形类型， 包括散点图、线图、曲面图等。
算法开发
MATLAB支持脚本编程和函数封装，方便用户实 现自定义算法。
数据分析
MATLAB提供了数据导入、清洗、处理和统计分析 等功能。
机器学习
MATLAB集成了机器学习工具箱，支持多种机器 学习算法和模型训练。
信号处理
1980年代中
MATLAB正式发布，成为工程计算领 域的标准工具。
1990年代
MATLAB不断扩展，增加了更多功能 和工具箱，成为多学科领域的计算平 台。
21世纪
MATLAB持续发展，支持更多算法和 编程语言，广泛应用于科研、工程和 商业领域。
MATLAB的主要功能和特点
数值计算
MATLAB提供了丰富的数值计算函数，支持 矩阵运算、线性代数、数值积分、微分等。
向量叉乘
向量叉乘是指将两个向量的对 应元素相乘，并按照一定规则 排列，得到一个新的向量。
特征值和特征向量
特征值
特征值是指一个矩阵所对应的一元二次方程的根，也是该矩阵对一个非零向量的缩放因 子。
特征向量
特征向量是指一个矩阵所对应的特征值对应的非零向量。
线性方程组的求解
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。
在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。
1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。
起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。
随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。
如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。
1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。
安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。
工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。
1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。
它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。
例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。
此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。
1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。
脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。
函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。
通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。
第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。
在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。
2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算在科学计算领域，MATLAB被广泛应用于数值计算，它提供了强大而简便的工具和函数，可以帮助科学家们进行复杂的数学计算和数据分析。
本文将介绍如何在MATLAB中进行数值计算，并探讨一些常用的技巧和技术。
MATLAB中的数值计算是通过矩阵和向量运算来实现的，因此熟悉矩阵运算和向量操作是使用MATLAB进行数值计算的关键。
首先，让我们来看看如何定义和操作矩阵和向量。
在MATLAB中，可以使用矩阵和向量来存储和操作多个数值。
矩阵是一个二维数组，而向量是一个一维数组。
通过使用方括号和逗号来定义矩阵和向量。
例如，以下是一个3x3的矩阵的定义：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];可以通过使用A(i, j)的形式来访问矩阵中的元素，其中i和j分别表示行和列的索引。
例如，要访问第二行第三列的元素，可以使用A(2, 3)。
向量可以通过类似的方式定义，只需要使用一个维度。
例如，以下是一个包含5个元素的行向量的定义：v = [1, 2, 3, 4, 5];可以使用v(i)的形式来访问向量中的元素，其中i表示索引。
例如，要访问第四个元素，可以使用v(4)。
在进行数值计算时，通常需要进行一些基本的运算，如加法、减法、乘法和除法。
在MATLAB中，这些运算可以直接应用于矩阵和向量。
加法运算可以使用加号来实现。
例如，要将两个矩阵A和B相加，可以使用以下代码：C = A + B;减法运算可以使用减号来实现。
例如，要将矩阵A减去矩阵B，可以使用以下代码：D = A - B;乘法运算可以使用乘号来实现。
例如，要将矩阵A乘以矩阵B，可以使用以下代码：E = A * B;除法运算可以使用除号来实现。
例如，要将矩阵A除以矩阵B，可以使用以下代码：F = A / B;除了基本的运算，MATLAB还提供了很多其他的函数和工具箱，可以帮助进行更复杂的数值计算和数据分析。
例如，MATLAB提供了一些常用的数学函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
第2章-MATLAB的数值计算
2.5.1 多项式的定义
1．直接定义 令a(x) 代表一个如下的多项式
a ( x ) = a 1 x n + a 2 x n 1 + K + a n x + a n +1
在MATLAB中，这个多项式可以用它的系数向量 A=[a(1)，a(2)，…，a(n)，a(n+1)]来表示。 2 ．用命令poly创建 如果A是矩阵，则poly(A)将创建A矩阵的特征多项式； 如果A是向量，则poly(A)将创建以A中各元素为根的 多项式。
创建特殊矩阵的函数
zeros() 矩阵元素都是零 ones() 矩阵元素都是1 – 注意： () 中的数字用于定义矩阵维数， ()内 不是数字的情况参看Help。 rand() 矩阵元素是0到1之间均匀分布的随机数 randn() 矩阵元素是正态分布的随机数
2.2.2 矩阵运算
MATLAB提供矩阵算术运算有： 加 (+)、减 (-)、乘 (*)、除 (/)、幂次方 (^)、转置 、 、 、 、 、转置(') 注意，对于矩阵来说，乘法有左乘右乘之分，A *B时 要求A的列数等于B的行数，即满足矩阵相乘的条件。 MATLAB中，为求解线性方程组，引入了矩阵除法。 MATLAB中的矩阵除法有左除(\)和右除(/)两种。 以下是矩阵运算的合法命令形式： A+B 、A-B、A*B、A/B、A\B、A^p（此处p只能是标 量，A必须为方阵）、A'
2.5.2 多项式的四则运算
函数 roots poly
功能 多项式求根 由根创建多项式
函数 polyfit
功能 多项式曲线拟合
polyder 多项式求导 conv deconv 多项式相乘（卷积） 多项式相除（反卷 积）
MATLAB课件第二章 MATLAB语言的数值计算
2.1.3 变量精度
在matlab中,变量的精度问题不需要设 定,一律使用双精度,但是我们可以通过 format命令或者更改preferences中的 Numericformat项来更改数据的显示格式. 命令格式为:format short
2.1.4 永久变量
Matlab语言设置了一些永久变量 eps,pi,Inf,NaN,i,j,nargin,nargout, realmax,realmin (1)这些变量不能被clear清除; (2)这些变量不响应who和whos; (3)nargin,nargout为函数变量; (4)pi,i,j,realmax,realmin为机器常数变 量; (5)Inf 为无穷变量,NaN为非数变量.
2、矩阵乘（）运算规则：
A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数；
标量可与任何矩阵相乘。
除算） .^ 点乘方（用于矩阵点运算） ./ 点除（用于矩阵点运算） kron 张量积 ‘ 矩阵转置 inv 矩阵求逆 fliplr 矩阵左右翻转 flipud 矩阵上下翻转 rot90 矩阵逆时针方向旋转90度
线性代数方程组的表达式为AX = B或者 XA = B，由于矩阵维数的不同，方程组解 的形式也不同，设解向量X为n×1维的，系 数矩阵A的维数为m×n维的，系数矩阵B 的维数为n×1维的；那么方程组的解可以 分为以下三类： m=n，为恰定方程，可求得唯一解； m>n，为超定方程，求最小二乘解，多 于一组解； m<n，为欠定方程，解无实际意义，解 中至多有m个非零元素。
例2.27 已知矩阵a，求特征多项式与特征根。
3、多项式计算 我们可以利用polyval函数来计算出多项 式在指定点处的值，例如：
4、卷积和反卷积（多项式乘法与除法） 例如：求a(x)=x^3+2x^2+3x+4和 b(x)=x^3+4x^2+9x+16的乘积c(x);
matlab的数值运算
matlab的数值运算Matlab是一种强大的数值计算和科学计算软件，它提供了丰富的数值运算功能，包括基本的数学运算、矩阵运算、符号计算以及常见的数值方法等。
在本文中，我们将讨论一些常见的数值运算方法和函数，并介绍它们的使用方法。
1. 基本的数学运算在Matlab中，可以使用基本的算术运算符进行数学运算，例如加法（+）、减法（-）、乘法（*）、除法（/）等。
例如，可以使用以下代码计算两个数的和：```a = 3;b = 4;c = a + b;disp(c);```这将输出结果为7。
此外，Matlab还提供了许多数学函数，可以进行各种复杂的数学运算。
例如，可以使用`sin`函数计算一个角度的正弦值，如下所示：```angle = pi/6;sin_value = sin(angle);disp(sin_value);```这将输出结果为0.5，表示30度的正弦值为0.5。
2. 矩阵运算Matlab中的矩阵运算非常方便，可以对矩阵进行加法、减法、乘法、转置等操作。
例如，可以使用以下代码计算两个矩阵的乘法：```A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A * B;disp(C);```这将输出结果为：```19 2243 50```表示两个2x2矩阵的乘积。
此外，Matlab还提供了许多专门用于矩阵运算的函数，例如`inv`函数可以计算一个矩阵的逆矩阵，`eig`函数可以计算一个矩阵的特征值和特征向量等。
3. 符号计算Matlab还提供了符号计算的功能，可以进行代数运算、求解方程、微积分等。
通过使用符号变量，并调用Matlab中的符号计算函数，可以进行复杂的数值计算。
例如，以下代码演示了如何计算方程的解：```syms x;eqn = x^2 - 3*x + 2 == 0;sol = solve(eqn, x);disp(sol);```这将输出结果为2和1，表示方程的两个解分别为2和1。
第2讲：MATLAB数值计算
下次运行matlab时即可用load指令调用已 生成的mat文件。
load ——
load data —— load data a b ——
即可恢复 保存过的 所有变量
mat文件是标准的二进制文件，还可以 ASCII码形式保存。
27
2.3 MATLAB运算
2.3.1算术运算 1．基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、 *(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。 (1) 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实 现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的 维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩 阵的相应元素相加减。否则给出错误信息，提示 用户两个矩阵的维数不匹配。
1.41421356237310e+000
3ff6a09e667f3bed 1.41 1395/985
最优化长格式，15位加指数
十六进制 货币银行格式，小数点后两 位 有理格式
format +
+
紧密格式，显示数据+，-，0
10
2.2 MATLAB矩阵
2.2.1 矩阵的建立 建立矩阵可以用：直接输入法、利用函数 建立矩阵和利用M文件建立矩阵。 1. 直接输入法 将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行 的顺序输入各元素， 同一行的各元素之间用 空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号 分隔 (也可以用回车键代替分号) 。
13
4．利用冒号表达式建立一个向量
格式是：e1:e2:e3,
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 还可用linspace函数产生行向量。其调用格式 为： linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素， n是元素总数。 显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。 5．建立大矩阵 大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。
MATLAB数值计算实践指南
MATLAB数值计算实践指南第一章：MATLAB数值计算基础MATLAB是一种强大的数值计算软件，广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
本章将介绍MATLAB数值计算的基础知识，包括MATLAB的安装与启动、变量的定义与操作、矩阵与数组的运算等。
第一节：MATLAB的安装与启动要使用MATLAB进行数值计算，首先需要将其安装在计算机上。
MATLAB的安装非常简单，只需要按照安装向导的提示进行操作即可。
安装完成后，双击桌面上的MATLAB图标即可启动MATLAB。
第二节：变量的定义与操作在MATLAB中，可以通过赋值操作为变量赋值，并进行各种操作。
赋值操作使用等号进行，例如：x = 5。
可以使用变量进行数值计算，如：y = x^2。
MATLAB支持基本的数学运算，包括加减乘除、指数和对数运算等。
第三节：矩阵与数组的运算MATLAB中的矩阵与数组是进行数值计算的重要数据结构。
可以使用方括号来定义矩阵，例如：A = [1 2; 3 4]。
可以对矩阵进行各种运算，包括加减乘除、转置、求逆等。
还可以使用特殊的函数来创建矩阵，如：zeros、ones、eye等。
第二章：MATLAB数值计算函数本章将介绍MATLAB中常用的数值计算函数，包括数值积分、数值微分、方程求解、线性代数运算等。
第一节：数值积分MATLAB提供了多种数值积分函数，用于对函数进行数值积分。
常用的数值积分函数包括：trapz、quad等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值积分，可以指定积分区间和积分精度。
第二节：数值微分MATLAB提供了多种数值微分函数，用于对函数进行数值微分。
常用的数值微分函数包括：diff、gradient等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值微分，可以指定微分点和微分精度。
第三节：方程求解MATLAB提供了多种方程求解函数，用于求解线性方程组、非线性方程和常微分方程等。
常用的方程求解函数包括：solve、fsolve、ode45等。
第二章_Matlab软件的数值计算方法
§2-1-1数值
• 在Matlab中，数值多采用十进制表示法， 如数值3，-99，0.01，在Matlab的命令 窗口中或者编辑器窗口中可以直接输入它 们，这与其它高级软件没有两样，在 Matlab的命令窗口中或者编辑器窗口中需 要按照以下形式进行输入或者录入：1.9e-6、5.41e13。
§2-1-2语句与变量
§2-2-2逻辑运算介绍
• • • • A & B表示逻辑与运算； A | B表示逻辑或运算； ~A 表示逻辑非运算。 xor(A,B)表示逻辑异或运算。
在处理逻辑运算时，运算元只有两个值即0和1，所以 如果指定的数为0，MATLAB认为其为0，而任何数不等于 0，则认为
• 多项式插值所用命令有一维的interp1、二 维的interp2、三维的interp3。这些命令 分别有不同的方法（method），设计者可 以根据需要选择适当的方法，以满足系统 不同属性的要求。如需得到有关多项式插 值命令的更详细的帮助信息，请读者在 Matlab命令窗口中键入以下命令： • >> help interp1或者>> help interp2或 者>> help interp3
§2-2变量的运算
• • • • • • • • • • a+b a-b a/b a\b a*b a.*b a^3 a.^3 a./b a.\b %求取a和b之和 %求取a和b之差 %求取矩阵a除以矩阵b %求取矩阵b除以矩阵a %求取矩阵a和矩阵b之积 %求取矩阵a和矩阵b之点乘 %求取矩阵a的三次方 %求取矩阵a中各个元素的三次方 %求取矩阵a中各个元素除以矩阵b各个元素 %求取矩阵b中各个元素除以矩阵a各个元素
• 最常用的格式为：变量=表达式; • 或直接简化为：表达式; • 通过等于符号“=”将表达式的值赋予变量。 当键入回车键时，该语句被执行。语句执 行之后，窗口自动显示出语句执行的结果。 如果希望结果不被显示，则只要在语句之 后加上一个分号（;）即可。此时尽管结果 没有显示，但它依然被赋值并在Matlab工 作空间中分配了内存。
MATLAB数值计算入门教程
MATLAB数值计算入门教程第一章：MATLAB基础知识1.1 MATLAB简介MATLAB是一种用于解决科学与工程问题的高级技术计算环境。
它结合了数值分析、可视化和编程，提供了强大而灵活的工具来处理各种计算任务。
本章将介绍MATLAB的基本操作和界面。
1.2 MATLAB的安装和配置首先，我们需要下载和安装MATLAB软件。
在安装过程中，可以选择安装附带的工具箱，如统计工具箱和优化工具箱，以扩展MATLAB的功能。
安装完成后，还需进行基本配置，如设置工作目录和界面外观。
1.3 MATLAB的基本语法MATLAB使用面向向量和矩阵的语言，具有简洁而强大的语法。
本节将介绍MATLAB的基本数据类型、运算符、控制结构等。
例如，MATLAB中的向量和矩阵可以通过简单的行列运算实现。
第二章：MATLAB数值计算2.1 常用数值计算函数MATLAB提供了许多常用的数值计算函数，如求解线性方程组、插值、数值积分和微分等。
本章将介绍这些函数的使用方法，并给出实例演示。
2.2 数值计算方法数值计算方法是解决数值计算问题的核心。
本节将介绍常用的数值计算方法，如迭代法、数值求解微分方程和数值优化等。
同时，我们还会介绍MATLAB中对应的函数和工具箱。
第三章：MATLAB数据可视化3.1 绘图函数数据可视化是MATLAB的一个重要功能。
MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以绘制二维曲线、三维曲面、散点图等。
本节将介绍这些绘图函数的使用方法，并给出实例演示。
3.2 图形操作与修改除了绘制基本图形外，MATLAB还提供了对图形进行操作与修改的函数。
例如，我们可以修改坐标轴范围、添加图例和标签，以便更好地展示和解读数据。
本节将详细介绍这些图形操作的方法。
第四章：MATLAB编程与应用4.1 MATLAB脚本和函数编写MATLAB不仅是一个交互式环境，还可以编写脚本和函数来实现更复杂的计算任务。
本节将介绍MATLAB脚本和函数的编写方法，并给出实例演示。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算MATLAB是一种用于数值计算和科学计算的程序设计语言和环境。
它提供了各种函数和工具箱，用于处理数值计算问题，包括线性代数、数值积分、数值微分、常微分方程求解、优化、插值等。
下面将介绍如何在MATLAB中进行数值计算的基本步骤和常用函数。
首先，启动MATLAB软件，创建一个新的脚本文件（.m文件），用于编写和保存MATLAB代码。
1.数值计算基础在MATLAB中进行数值计算的基本单位是矩阵和向量。
可以使用MATLAB提供的各种函数来创建和操作矩阵和向量。
例如，可以使用"zeros"函数创建一个全零的矩阵，使用"ones"函数创建一个全一的矩阵，使用"rand"函数生成一个随机矩阵。
2.线性代数计算MATLAB提供了丰富的线性代数函数，用于处理线性方程组、矩阵运算和特征值计算等问题。
例如，可以使用"inv"函数计算矩阵的逆，使用"det"函数计算矩阵的行列式，使用"eig"函数计算矩阵的特征值和特征向量。
3.数值积分MATLAB提供了多种数值积分方法，用于计算函数的定积分。
可以使用"quad"函数进行一维数值积分，使用"quad2d"函数进行二维数值积分，使用"quad3d"函数进行三维数值积分。
4.数值微分MATLAB提供了多种数值微分方法，用于计算函数的导数和偏导数。
可以使用"diff"函数计算函数的导数，使用"gradient"函数计算函数的梯度，使用"hessian"函数计算函数的Hessian矩阵。
5.常微分方程求解MATLAB提供了多种数值方法，用于求解常微分方程组。
可以使用"ode45"函数求解一阶常微分方程，使用"ode15s"函数求解刚性常微分方程。
【推荐】第二章 MATLAB的数值计算PPT资料
a*b
ans =
25
37
46
55
85 109
85 133 172
a./b=b.\a
—— 给出a,b对应元素间的商.
a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元
素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元
素除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a
3. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a
a ^ p —— a 自乘p次幂
方阵 >1的整数
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42
matlab定义的除运算可以很方便地解上 述三种方程
方程ax+b(a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆
两种解: x=inv(a)b — 采用求逆运算解方程 x=a\b — 采用左除运算解方程
例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13
方程ax=b
1 2
2 3
x1 = 8
x 2 13
a x=b
a=[1 2;2 3];b=[8;13]; x=inv(a)*b
conv,convs多项式乘运算
例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6])
第二章 Matlab软件的数值计算方法2
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
【例2】把字符表达式转换为符号变量 】 y=sym('2*sin(x)*cos(x)') y=simple(y) y= 2*sin(x)*cos(x) y= sin(2*x) 说明：符号运算中， 说明：符号运算中，如事先没对表达式中的独立符号变量进 行定义，软件会自动检查哪些字符是软件的符号函数， 行定义，软件会自动检查哪些字符是软件的符号函数，哪些 是变量符号，且总把在英文字母表中离x最近的字母认为独 是变量符号，且总把在英文字母表中离 最近的字母认为独 立符号变量。 立符号变量。
运算中， 运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍生对 象也都是符号对象。 象也都是符号对象。 定义基本符号对象的指令有两个： 定义基本符号对象的指令有两个：sym, syms。 。 f = sym( arg ) f = sym( argn,flagn) argv =sym(‘argv’,flagv) syms(‘argv1’,’argv2’,’argvk’) syms argv1 argv2 argvk 【例1】符号常数形成中的差异 】
a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') a23=a2-a3 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a23 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi5^(1/2)]
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3）三角函数、双曲函数及它们的反函数 ）三角函数、 只用于数值计算外， 除atan2只用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、 只用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 双曲函数（ 双曲函数（如cosh）以及它们的反函数（如asin, acosh） ）以及它们的反函数（ ） 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 4）指数、对数函数 ）指数、 数值、符号计算中，函数sqrt, exp, expm的使用方法 数值、符号计算中，函数 的使用方法 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 而没有数值计算中的log2, log10。 而没有数值计算中的 。 5） 复数函数 ） conj, real, imag, abs相同，但无求相角的指令。 相同， 相同 但无求相角的指令。 6） 矩阵代数指令 ） diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, poly, expm, eig基本与数值计算相同，只有 基本与数值计算相同， 稍微不同。 基本与数值计算相同 只有svd稍微不同。 稍微不同
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
2.2 置换操作 一、子表达式置换操作 [RS,ssub]=subexpr(S,ssub) 【例10】把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符 】 号代替，使表达简洁。 号代替，使表达简洁。 clear all syms a b c d W [V,D]=eig([a b;c d]); [RVD,W]=subexpr([V;D],W) RVD = [ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c] [ 1, 1] [ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0] [ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W] W= (d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
！2 符号对象的操作和转换 2.1 符号表达式的操作 collect expand factor horner numden simplify pretty 最常用的式simple(expr) 最常用的式
【例9】简化 】
f =
3
1 6 12 + 2 + +8 3 x x x
syms x f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); g1=simple(f) g2=simple(g1) g1 = (2*x+1)/x g2 = 2+1/x
二、通用置换指令 RES=subs(ES,old,new) RES=subs(ES,new) 的置换规则。 【例11】用简单算例演示 】用简单算例演示subs的置换规则。 的置换规则 syms a x;f=a*sin(x)+5; f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) f1 = a*y+5 f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) f2 = 3^(1/2)+5 f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) f3 = 6.7321
6.0000
8.4641
7.5000
2.3 符号数值精度控制和任意精度计算 数值计算受字长的限制，每次数值操作都带截断误差， 数值计算受字长的限制，每次数值操作都带截断误差， 任何数值计算不管什么算法都将产生积累误差。 任何数值计算不管什么算法都将产生积累误差。Matlab中每 中每 个算术操作结果的相对精度约为16位数字 位数字。 个算术操作结果的相对精度约为 位数字。但符号计算的结 果是绝对准确的，不包含任何计算误差。 果是绝对准确的，不包含任何计算误差。 double(x) digits(n) xs=vpa(x) xs=vpa(x,n)
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) f4 = 5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 5.0000 f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) f5 = 5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 5.0000Leabharlann 6.7321二、函数求极值
1.fmin的命令格式 的命令格式 X=fmin(‘Fun’,x1,x2) 举例35 举例 2.fmins的命令格式 的命令格式 X=fmins(‘Fun’,x0) 举例36 举例
三、函数求零点 命令格式： 命令格式： X=fzero(‘Fun’,x0) 举例37 举例 举例39 举例
[t,y]=ode23(‘fname’,to,tf,yo) 用2阶/3阶龙格 库塔算法解微分方程组 阶龙格-库塔算法解微分方程组 阶 阶龙格
补充： 补充：符号计算
！1、符号对象和符号表达式 、 在MATLAB中，数值和数值变量用于数值的存储和各种 中 数值计算。而符号常数、符号变量、符号函数、 数值计算。而符号常数、符号变量、符号函数、符号操作等 则是用来形成符号表达式，严格按照代数、 则是用来形成符号表达式，严格按照代数、微积分等课程中 的规则公式进行运算，并尽可能给出解析表达结果。 的规则公式进行运算，并尽可能给出解析表达结果。 1.1 符号对象的生成和使用 数值计算中，数值表达式所用的变量必须事先被赋过值， 数值计算中，数值表达式所用的变量必须事先被赋过值， 否则无法计算。 否则无法计算。Symbolic Math Toolbox 2.1版沿用这种模 版沿用这种模 规定：在进行符号运算时， 式，规定：在进行符号运算时， 首先要定义基本的符号对象（可以是常数、变量、 首先要定义基本的符号对象（可以是常数、变量、表达 ），然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式 然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式， 式），然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而 从事所需的符号运算。 从事所需的符号运算。
1.2 符号计算中的算符和基本函数 由于matlab中采用了重载技术，使得用来构成符号计算 中采用了重载技术， 由于 中采用了重载技术 表达式的算符和基本函数，无论在形状、名称上， 表达式的算符和基本函数，无论在形状、名称上，还是在使 用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同。 用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同。 1）基本运算符 ） +-*\/ 矩阵 .* ./ .\ 元素对元素 ‘ .’ 矩阵 2）关系运算符 ） 符号对象中没有大于、大于等于、小于、 符号对象中没有大于、大于等于、小于、小于等于的概 而只有是否等于的概念。 念，而只有是否等于的概念。 算符＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等、 ＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等 算符＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等、不等 的比较。当事实为真时，比较结果用1表示 假用0表示 表示， 表示。 的比较。当事实为真时，比较结果用 表示，假用 表示。
【例3】用符号计算验证三角等式。 】用符号计算验证三角等式。 syms fai1 fai2 y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y= sin(fai1-fai2)
【例4】求矩阵的行列式值、逆和特征根 】求矩阵的行列式值、 syms a11 a12 a21 a22 A=[a11,a12;a21,a22] DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) A= [ a11, a12] [ a21, a22] DA = a11*a22-a12*a21 IA = [ a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)] [ -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)] EA = [ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)] [ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
表2－6 数值分析的部分 － 数值分析的部分MATLAB命令函数 命令函数
数值分析的M|ATLAB命令函数 命令函数 数值分析的 命令函数的格式 fplot(‘fname’,[lb ub]) fmin(‘fname’,[lb ub]) fmins(‘fname’,xo) fminbnd fminsearch fzero(‘fname’,xo) frapz(x,y) diff(x) [t,y]=ode45(‘fname’,to,tf,yo) 描述 绘出上下限之间的函数 寻找上下限内的标量最小值 寻找xo附近的向量最小值 寻找 附近的向量最小值 由一有范围限制的变量找出函数的最小值 由几个变量找出函数的最小值 寻找xo附近的标量函数的零点 解 寻找 附近的标量函数的零点(解) 附近的标量函数的零点 给定数据点x和 计算 计算y=f(x)下的梯形面积 给定数据点 和y,计算 下的梯形面积 积分 数组元素间的差分
a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') a23=a2-a3 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a23 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi5^(1/2)]