第5章角动量
第五章 角动量 角动量守恒(2011)
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱
第5章-角动量角动量守恒定律
② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2
d12
d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；
第05章-角动量-角动量守恒定律
第5章 角动量 角动量守恒定律5.1 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 A 和 B 。
用 L 和 E k 分别表示对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有.__,__kB kA B A E E L L （填写“>” “<”或“=”）5.2 一长为 L 的轻质细杆，两端分别固定质量为 m 和 2m 的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ O 轴）转动。
开始时杆与水平成60o 角，处于静止状态。
无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕 O 轴转动。
系统绕O 轴的转动惯量 J = _____________. 释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩 M = ________________. 角加速度β = _____________5.3一圆柱体质量为M,半径为 R,可绕固定的通过其中心轴线的光滑轴转动，原来处于静止。
现有一质量为 m 、速度为v 的子弹，沿圆周切线方向射入圆柱体边缘。
子弹嵌入圆柱体后的瞬间，圆柱体与子弹一起转动的角速度ω= ______________.(已知圆柱体绕固定轴的转动惯量 J =1/2 MR 2 ）5.4由一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ωo 转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 __________m5.5 在一水平放置的质量为m、长度为l的均匀细杆上，套着一质量也为m的套管B(可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直轴OO’轴的距离为l/2，杆和套管所组成的系统以角速度ω0绕OO’轴转动，如图所示。
若在转动过程中细线被拉断，套管将沿着管滑动。
在套管滑动过程中，该系统转动的角速度ω与套管离轴的距离x的函数关系为__________。
5.6 长为L，质量为m的匀质细杆，可绕通过杆的端点O并与杆垂直的水平固定轴转动。
第五章角动量定理
p是动量， 是动量与径向夹角。
角动量定理
Mz
dJ z dt
（右手法则为正）
直角坐标系中， Jz可表示为
p py cos px sin
Mz=0,角动量守恒
J z p py cos px sin x py y px
积分形式
t2
M zdt
t2 Jzdt J z2 J z1
§5.4 有心力 掌握有心力场中运动的基本方程；利用有 效势能曲线，定性讨论运动轨道；利用基本方程，解出行 星的轨道方程。
§5.1 质点的角动量定理
一. 力矩
以二维 平面纯转动为例。
z
f
外力 f 作用于质点m，考察
其作功与角位移d的关系。
m
在极坐标系中对纯转动作功
O
x
dA f dr ( f eˆ f eˆ ) (d eˆ d eˆ )
哥白尼(N. Copernicus)日心说
Portrait, 1580, Toruń Old Town City Hall
第谷(Tycho Brahe)的观测数据，开普勒(J. Kepler)的分 析拟合。
Internet Keplaw
开普勒行星运动三定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆两焦点之 一。轨道定律
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 面积定律
各行星公转周期的平方正比于其轨道半长轴的立方。 周期定律
二. 万有引力定律 牛顿提出平方反比引力解释开普勒定律。
设行星绕日轨道近似为圆周，由面积定律，必是匀速圆
周运动，加速度 a v2 r
注意到 v 2r ，并利用开普勒第三定律 T r3/ 2
f f
f
O Larm
第5章 角动量定理
角动量定理
1
§开普勒定律
1609年，开普勒在《新天文学》中阐述第一、二定律
第一定律（轨道定律）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太 阳在椭圆的一个焦点上。
太阳
●
焦点
行星轨道
2
第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫 过相等的面积。又称掠面速度守恒。
F
F
离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢
终态角动量大小
Rm 故有 bm0 Rm
1 1 k 2 2 m 0 m 2 2 R
斥力f=k/r2为保守力，在保守场中粒子的能量守恒
解R的一元二次方程，舍去负根，得到粒子达到最近距离和速度
k k2 2 R b m 02 m 2 04
b 0 R
31
典型的有心运动
10
例
圆锥摆如图，摆锤作匀速圆周运动， 摆线长l，小球质量m， 取悬挂点O为参考点， 求摆球所受力矩和摆球角动量。
T
mg
l
v
O
摆球受张力和重力 张力对O点力矩为零 摆球所受重力矩 摆球角动量 选另一参考点
O
M mgl sin
⊙
L mvl
O
?
大小不变，方向时时在变化
圆锥摆对O’点角动量守恒（有心力)
F2
r1 F1 r2 F2 r1 F2 r2 F2 (r2 r1 ) F2 r21 F2 0
8
质点的角动量定理：
质点所受力相对某参考点的力矩等于质点相对该参考 点角动量的变化率。
M dL dt L r p 外力矩： M r F ，角动量：
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
第5章 角动量
问题2：将一绕通过质心的固定 轴转动的圆盘视为一个质点系， 系统总动量为多少？
p总 MvC 0
C M
由于该系统质心速度为零，所以，系统总 动量为零，系统有机械运动，总动量却为 零？说明不宜使用动量来量度转动物体的 机械运动量。 *引入与动量
p 对应的角量 L
——角动量（动量矩）
15
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
d (mv ) F dt
d ( mv ) r F r dt d mv dr d r mv r mv dt dt dt dr v, v v 0 dt d (mv ) d (r mv ) r dt dt
a a a2 aa 0
17
d r F rP dt
Mdt dL
t2 t1
dL M dt
Mdt L2 L1
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对该点的力矩---质点的角动量定理
或
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
dt L mr v m(a costi b sintj )
M
(a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk ) mabk (恒矢量) dL 0!
5
中学的表达式：对O点力矩M
M Fd Fr sin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
F
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
第5章角动量关于对称性
对质点，合力对某一参考点的力矩等于各分力
对同一参考点力矩的矢量和，如本题. 对O点
π M T rO FT sin （ ) 2 mg mg rO cos mgr cos M 合 rO F sinπ 0 M合 rO F M合 M重 MT
若
Mi外z 0
Lz ri mi vi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Lz ri m i v i m i ri i
2
讨论
若Lz 不变，ri ，i
ri ，i
例如茹可夫斯基凳，花样滑冰等.
实例分析
[例题]装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相
§5.1.4质点对轴的角动量定理和守恒定律
1. 质点对轴的角动量定理 质点对参考点O的角动量
dL M dt
过参考点O建立坐标轴，则上式在 z 轴上的投影为
dLz Mz dt
称质点对 z 轴的角动量定理的微分形式.
z
2. 力对轴的力矩
F
F2
F1
如图所示：作平面与z轴垂直
F F1 F2
§5.2 质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1 质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2 质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量 对参考点
L Li ri pi ri mi vi
z
F2
力矩在 z 轴上的投影为
F
F1
r2
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t gθ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k gθθ=-。
第5章角动量角动量守恒定律
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
力学答案——漆安慎,05章
5.1.3
一个具有单位质量的质点在力场
ˆ + (12t − 6) ˆ F = (3t 2 − 4t )i j 中运动，其中 t 是时间。该质点在 t=0
时位于原点，且速度为零。求 t=2 时该质点所受的对原点的力矩。 解：据质点动量定理的微分形式， Fdt = d (mv ) = dv ( m = 1)
2
(2)'
解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s
v ≈0.33 m/s
ˆ + b sin ω tˆ ˆ + bω cos ω tˆ L = r × mv = (a cos ω ti j ) × m(−aω sin ω ti j) ˆ ˆ×i ˆ= ˆ ˆ× ˆ ˆ) = k ∵i j× ˆ j = 0, i j= ˆ j × (−i ˆ + mabω sin 2 ω tk ˆ = mabω k ˆ ∴ L = mabω cos 2 ω tk
∵ τ = r × F = r × m a = r × m(−ω r ) = −mω r × r = 0 ,∴该质点 角动量守恒。 5.1.9 质量为 200g 的小球 v0 B 以弹性绳在光滑水平面上与固 A B 30º 定点 A 相连。弹性绳的劲度系数 为 8 N/m，其自由伸展长度为 600mm.最初小球的位置及速度 v0 如图所示。 当小球的速率变为 v 时，
5.1.8
一个质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动， 其位置矢量为
ˆ + b sin ω t ˆ r = a cos ω t i j ，其中 a、b 和ω是正常数，试以运动学
和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。 证明：
另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
第5章角动量
Lo r mv sin r mv
O
r
r A
p mv
9
说明： 若
M外 0
则
L 常矢量
质点角动量守恒定律
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况： ⑴ 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。 ⑵ 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总 外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。 ⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。 2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。 3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。 例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量
Fi
1.质点系的角动量定理 mi ri rj L Li ri p f ij i i f ji mj d Li ri ri ( Fi f ij ) rj dt i j Fj O dL ri ( Fi f ij ) M 外 M 内 dt i i j M M i内 = (ri f ij ) M 外 M i外 ri Fi 内
匀变速定轴转动
1 2 x x0 v0t at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
v v0 at
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
24
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.用角量描述 角坐标 (t ) 角位移
转动平面
B
vA
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rr
1 r rr sin
2
sin 2m =常量
L =常量
t 2m
t
2t
是t时间内，行星与太阳间
联线所扫过的面积，如图。
t
其中 d /dt 称为掠面速度
。
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证明了掠面速度不变。即开普 勒定律。
r d Li
d tii来自rrir (Fi
i j
r fij )
r dL
rr
r
v
mi v
fij
rvi
rvi rvj
v f ji
mj
rvj v
vO
Fj
dt v
M外
ri (Fi
fij ) M 外 M内
iv M i外
rvi
i jv Fi
v M内
v M i内 =
(rvi
v fij )
t2
r F
d
t
pr
rt1
F力
pr 动量
t2
r F
dt
合力的冲量
t1
r F 0
pr 常矢量
动量守恒
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角动量定理
v
v
M dt dL
t2
v M
dt
v L
vt1 Mr
力矩（角力）
L 角动量（动量矩）
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2
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5.1 质点的角动量 角动量定理
L
一Lr、质rv点pv的角rr 动m量vr
称为质点对参考点O的角动量或动量矩。
r
p m O
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猫尾巴的功能
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例. 发射一宇宙飞船去考察一个质量M，半径R的行星，当飞船
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旋转盘状星系结构---角动量守恒的结果
1
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角动量守恒的现象
北
北
南
南
角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产 生了季节变化。
M
Or
r
v
m F
r
三、质点的角动量定理
质点的角动量定理：
角动量的时间变化率
质点所受合力矩的冲量等于
v dL
d
(rv pv) d rv pv rv d pv
质点角动量的增量。
rv
v F
d t
v M
v
dt v
dt
dL dt
质点角动量定理
v（微分形式）
d
t2
tv M
t1
dt
v L2
v L1
质点角动量定理 （积分形式）
⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。
2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。
3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。
例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常
量
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i
i
i
i
i j
计算i , j 两个质点，内力矩之和
v M ij
v M ji
rvi
v fij
rvj
v f ji
(rvi rvj )
v fij
0
所有内力矩的矢量和为零。
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L rp mrv mr2
o
m r
3
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例：自由下落质点的角动量
（1）对A点的角动量
O
R
A
任意时刻 t
rr 1 grt2 pr mvr mgrt
说明 角动量是描述物体的转动特征的物理量
：1. 角动量是矢
大：量方小向：L右手 螺rp旋si法n则， 垂rm直vrsi和np 组成的平面
2. 角动量是相对给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考
系中必须是固定点，对不同的参考点体系的角动量是不同的。通
常例我：们质把点参作考圆点周取运为动坐标原点，通常将角L动 量Lp画在参考点上。
M dt dL
注意：力矩和角动量都是对
合力矩的冲量 角动量的增量
惯性系中同一参考点而言。 7
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动量定理
r F
dt
d
pr
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3. 行星近地（日）点速度大，在远地（日）点速度
小 在近日点和远日点
rr vr
mr1v1 mr2v2
v1 v2
C
D
v2
r2
r2
v1
B
r1
A
O r1
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v M外
v dL dt
v
v
M外 dt d L
t2 t1
v M外
dt
v L2
v L1
v L
质点系的角动量定理：质点系所受合外力的冲量矩等于质点系
角动量的增量。
2. 说明：质点系的内力矩不能改变质点系的总角动量。
3.质点系的角动量守恒定律
v M外 0
vv
L Li 常矢量
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二、力对参考点的力矩
定义：力对某一固定点O 的力矩
v M
rv
v F
大方小向：M右手螺F旋r s法in则rvFFvr的方向
t2
v M
d
t
合力矩的冲量
t1
（冲量矩）
v
r
M 0 L 常矢量
角动量守恒
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四、质点角动量守恒定律
由质点的角动量定理
v M
d
v L
r 若 M外 0 则
质点的角动量守恒定律：
d tv dL 0 dt
r 或 L 常矢量
对某一参考点，质点所受合力矩为零，则质点对该参考点的 角动量保持不变。
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例2.讨论的行星运动
有心力
v M
rv
r f
0
r L 常矢量
1.角动量方向不
变行星轨道平面方位不变
2.角动量大小不
r L
太阳
rr rr vr
行星 m
变行星矢径单位时间行扫过的面积（掠面速率）是常量。
—开普勒第二定律
行L星对r太mv阳s的in角动量rm的大rr小sin 2m r
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确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
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r
r
Fi mi g
则在质心参考系中角动量总是守恒
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第五章 角动量 角动量守恒定律
为什么银河系呈旋转盘状结构？
为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？
体操运动员的“晚旋”
芭蕾，花样滑冰，跳水…
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情 时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到 楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减 少，为什么会这样呢？