高中数学必修五导学案-等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和公式导学案
《等差数列前n 项和公式》导学案【学习材料】必修五第二章第三节（第42-45页）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和的两个公式及使用条件；2.掌握等差数列前n 项和公式的推导过程；3.能够结合梯形面积推导思想来识记等差数列前n 项和的两个公式；4.能够灵活选择等差数列前n 项和公式来求解等差数列的前n 项和问题；5.会运用等差数列的前n 项和公式与通项公式来求解基本量，即“知三求二”问题。
【学习重点】1.探索并掌握等差数列前n 项和公式的推导；2.能够灵活选择等差数列前n 项和公式来求解等差数列的前n 项和问题；3.学会将一些实际问题转化为等差数列求和问题. 【学习难点】1.运用倒叙相加法推导等差数列前n 项和公式；2.应用等差数列前n 项和公式及方程 思想解决“知三求二”问题3.从实际问题中形成等差数列前n 项和模型【预习导学】 1.数列前n 项和概念一般地，我们称 为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即n S = . 2.等差数列的前n 项和公式（1）如果等差数列{}n a 的通项为n a ，首项为1a ，项数为n ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .（2）如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，项数为n ，则数列{}n a 的前n 项和n S = .3.自主探究 （1）1239899100++++++= . （2）1239899+++++= .（3）1231n n ++++-+= . （4）13521n ++++-= .【我的问题】【学习过程】 （一）引入新课1.复习旧知（1）等差数列的定义或者 （2）等差数列通项公式（3）在等差数列{}n a 中, (),,,m n p q m n p q N *+=+∈，则 2.创设情境问题1：泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？问题2：高老师按揭买房,向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。
人教版A版高二数学必修五2.3.1等差数列的前n项和导学案
2.3.1 等差数列的前n项和导学案【学习目标】1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．2．掌握等差数列前n项和公式.3．能利用等差数列前n项和公式解决实际问题．【自主预习】1．数列的前n项和(1)定义：对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋a n为数列{a n}的．(2)表示：常用符号表示，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n. 2．等差数列的前n项和公式【互动探究】1. (1)设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________；(2)已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．2.在等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；(2)已知a6＝20，求S11；(3)已知前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，求项数n．3.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【课堂练习】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18 答案：A2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B3．等差数列{a n }中，a 3＝－5，a 6＝1，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 8＝________． 答案：－164．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项公式为a n ＝________________________． 答案：2n5．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ．。
人教版高中数学必修五导学案：2.3等差数列的前n项和(2)
一、有关复习复习 1：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求 S5.复习 2：等差数列 { a n中，已知a 3511，求n8} 1 ， a a和 S .二、新课导学◆ 典型例题例 1 已知等差数列5，42，34，....的前n项和为S n，求使得S n最大的序号n的值. 77变式：等差数列 { a n } 中，a4＝－15，公差d＝3，求数列{ a n}的前n项和 S n的最小值 .例 2 数列｛ a n｝是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负 .(1)求数列的公差 .(2)求前 n 项和 S n的最大值 .(3)当 S n＞0 时，求 n 的最大值 .变式：等差数列 {a n } 中， a10, s8s12，该数列的前多少项和最小？小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法 .（ 1）利用 a n : 当 a n >0，d<0，前 n 项和有最大值，可由 a n ≥0，且 a n 1 ≤0，求得 n 的值；当 a n <0， d>0，前 n 项和有最小值，可由 a n ≤0，且 a n 1 ≥0，求得 n 的值 （ 2）利用 S n ：由 S n d n 2 (a 1d)n ，利用二次函数配方法求得最大（小）值时 n22的值 .例 3.在等差数列｛ a n ｝中，已知第１项到第 10 项的和为 310，第 11 项到第 20 项的和为 910，求第 21 项到第 30 项的和。
结论：数列 {an } 是等差数列 前 n 项和是 S n , 那么,S m , S 2m S m , , Sk 1 mS km ,kN 仍成等差数列 ,公差为 m 2d ( m 为确立的正整数 ) ◆ 着手试一试练 1 数列 a n 是等差数列， a 1 50,d0.6 .（ 1）从第几项开始有 a n 0 ；（ 2）求此数列的前 n 项和的最大值 .练 2 在等差数列 {a n } 中，已知前 4 项和是 1，前 8 项和是 4，则 a 17+a 18+a 19+a 20 等于 ______.例 4 在项数为 2n+1 的等差数列中，全部奇数项和为 165，全部偶数项和为 150，求 n 的值 .小结：等差数列奇数项与偶数项的性质以下：1°若项数为偶数 2n，则S偶－S奇＝n d ；S奇＝a n (n 2)；S偶a n 12°若项数为奇数 2n＋1，则S奇－＝an 1； S偶＝；S偶na n 1； S奇( n 1)a n 1S偶＝n .S奇n 1例 5 已知两个等差数列｛ a n｝｛、b n｝，它们的前 n 项和分别是 S n、S n′，若Sn2n3,S n'3n1求a 9 . b9例 6 已知数列 { a n} 的前 n 项和S n12n n2，求数列{| a n|}的前n项和T n.三、学习小结1.数列通项 a n和前n项和 S n关系；2.等差数列前项和最大（小）值的两种求法 .3.等差数列奇数项与偶数项的性质◆ 当堂检测1.以下数列是等差数列的是（） .A. a n n2B. S n2n1C. S n2n21D.S n2n2n2.等差数列 { a n } 中，已知S1590 ，那么 a8（）.A. 3B. 4C. 6D. 125.在等差数列｛ a n｝中，已知 a14＋a15＋a17＋ a18＝ 82，则 S31＝ __________.6. 在等差数列中，公差 d＝1，S100145 ，2则 a1 a3 a5 (99)7.已知数列｛ a n｝的前 n 项和是 S n=32n－ n2,求数列｛｜ a n｜｝的前 n 项和 S n′ .。
最新等差数列前n项和公式导学案-
§2.3 等差数列的前n 项和(1)复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？三、课前预习（自学教材4342-P ）探究：等差数列的前n 项和公式一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 由高斯算法，对于公差为d 的等差数列，我们用两种方式表示n S ①②由 ①+②).()()()()(211n a a a a S n n n n =++++++=个{}a 的前n 项的和的公式如果带人公式表示，即与公差也可以用首项d a S d n a a n n 11,)1(-+=自测（1）计算1+2+ (100)（2）计算1+2+…+ n = （用n 表示）.四、典型例题1.在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，求5S .2.在等差数列{}n a 中，31,41-=-=d a ，求10S .)()()()(21+++++=-a a a S n n n )()()()(121+++++=-n n a a a S3.在等差数列{}n a 中，的公式项和求前n S n S S ,1220,3102010==.4.等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .5.数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝10，前n 项和n S ＝22，求n 和3a .6.等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .7.等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .8.已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.9.在等差数列{}n a 中，10120S =，求110a a +=A. 12B. 24C. 36D. 4810. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．456611. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）A. 24B. 26C. 27D. 28。
人教新课标版数学高一必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(二) 教师版
2.3 等差数列的前n 项和（二）【教学目标】1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3 等差数列的前n 项和（二）》课件“复习回顾”部分，通过四个问题对上节课的内容进行简单回顾，从而引出本节课的学习内容.二、自主学习教材整理 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1.(n ≥2) 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．三、合作探究问题1已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n?提示：a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.问题2我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？ 提示：由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1＞0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．探究点1 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？提示：根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 故数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列． 变式探究例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求通项公式． 提示：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋12n ＋1)－[(n －1)2＋12(n －1)＋1]＝2n －12. ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式． ∴a n＝⎩⎨⎧ 52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.探究点2 等差数列前n 项和的最值例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 提示：方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋112556. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值． 方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57 ＝－57n ＋407. 令a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8， 且a 8＝0，a 9<0.故前n 项和是从第9项开始减小，又S 7＝S 8，所以前7项或前8项和最大．探究点3 求等差数列前n 项的绝对值之和例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 提示：∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2； 当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *. 四、当堂检测1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a n 等于( )A ．4n －2B ．n 2C ．2n ＋1D ．2n2．已知数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．13．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .提示：1．D 2.B 3.5或64．解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋2＝5.当n ≥2时，S n －1＝3＋2n －1，又S n ＝3＋2n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.又当n ＝1时，a 1＝5≠21－1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *. 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1.因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2时才有意义.所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观. (2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n取得最小值.3.求等差数列{a n}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{a n}的正负项的分界点.。
人教A版数学必修五导学案 2.3等差数列前n项和(1)
2.3 等差数列前n 项和(1)【学习目标】1.探索等差数列的前n 项和公式的推导方法；2.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题. 【重点难点】1．重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.2．难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题 【学习过程】 一、自主学习：任务1: 等差数列的通项公式 和其变形公式 . 任务2: 等差数列重要推广公式 二、合作探究归纳展示探究1：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =? 新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，. 小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件：三、讨论交流点拨提升例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：①从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.． 四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（..）. A ．5880..B ．5684..C ．4877..D ．45663.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = 五、学后反思1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.【课后作业】1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？。
人教新课标版数学高一-数学必修5导学案 2.3.2等差数列的前n项和(二)
2. 3 .2等差数列的前n 项和（二）学案编号：GYBX5T2-3-2[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 [自主学习]1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1， n ≥2.2．等差数列前n 项和公式 S n ＝ ＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项 和S n 取到最值时序号n 的规律. 序号 等差数列 基本量 前n 项和S nS n 的最值 11,3,5,7,9，…，a 1＝ ，d ＝ .S n ＝(S n )min ＝1，此时n ＝ . 2－5,－3，－1,1,3，…， a 1＝ ，d ＝ . S n ＝(S n )min ＝ ，此时n ＝ 34,2,0,－2，－4，…，a 1＝ ，d ＝ .S n ＝(S n )max ＝ ，此时n ＝4 －1,－2，－3,－4，－5，…，a 1＝ ， d ＝ .S n ＝ (S n )max ＝ ，此时n ＝通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值．(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最值；特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{S n}的最值;若a1＜0，d＜0，则S1是{S n}的最值．【典型例题】例1已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2－3n，求通项公式a n.跟踪训练1已知数列{a n}的前n项和S n＝3n，求a n.例2在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．跟踪训练2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值例3若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.跟踪训练3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n 项和T n .[达标检测]1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －12．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．13．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 练习题一、基础过关1．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－1，则a4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n3，则a5＋a6的值为( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12 4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( )A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n(n ∈N*)，则通项an ＝________.6．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求Sn 的最小值及对应的n 值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n 项和Sn 及使得Sn 最大的序号n 的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为()A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是() A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn ＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．。
人教新课标版数学高二必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(一)学生版
2.3 等差数列的前n 项和（一）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．【学习过程】一、自主学习教材整理 等差数列的前n 项和阅读教材P 42～P 44例2，完成下列问题．1．数列的前n 项和的概念一般地，称 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝2．等差数列的前n 项和公式问题1 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？问题2等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？问题3我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？问题4如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？探究点1 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？探究点2 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．三、当堂检测1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d .四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
北师大版高中数学必修五导学案：1.2.2.2等差数列前n项的和(2)
Sn
n( a1 an)
n(n 1)
na1
d
d2
d
n (a1 )n
2
An
Bn ，
2
2
2
2
__________________;
2.判断数列为等差数列的方法： (1) 定义法： an 1 an d , 或 an an 1 d (n 2), (2)
等差中项法： 2an 1 an an 2 (3)通项法： an a1 (n 1)d , (4) 前 n 项和法：
b11
变式：在等差数列 an 中， Sn 25, S2 n 100, 求 S3n .
【小结与作业】 【课堂检测】
1.已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n, 求数列 an 的通项公式。
2.已知数列 an 的前 n项和为 Sn n2 n 1,求数列 an 的通项公式。
3.首项为正数的等差数列，前 n 项和为 Sn ，且 S3＝ S8，当 n＝ ________时， Sn 取到最大值 .
§2.2.1等差数列前 n 项的和导学提纲（二）
设计人：林丽艳 审核人：高一数学备课组
班级：
姓名：
使用时间：
【学习目标】
体会等差数列前 n 项和的性质；
【重难点】
重点：通过实例了解等差数列前 n 项和的性质；难点：性质的理解和应用；
【导读流程】
复习回顾
1 等差数列数列 an 的前 n 项和的计算公式为：
Sn An 2 Bn .
【思考探究 】
思考 1 根据 等差数列 { an} 的前 n 项和的定义，能用 Sn 表示 { an} 吗？
思考 2 等差数列 { an} 的前 n 项的和可以表示为 Sn
最新高中数学必修五《等差数列的前n项和》导学案设计
高一数学必修5导学案13 编制：涂汉军审核：杨小玉高一—班第_ 组姓名等差数列的前n项和学习目标(1)探索等差数列的前n项和公式的推导方法；(2)掌握等差数列的前n项和公式；(3)能运用公式解决一些简单问题。
【课前导学】1、复习等差数列概念、通项公式a n= )2、等差数列｛a n｝中，若m • n = p q ( m, n, p,q 为常数)则有：_____________________________一般地，ai ■ Oi = _________ = _____________ ……3、阅读课本P42-43页思考完成下面问题(1 )、高斯的算法体现等差数列什么性质？他抓住了问题的什么特征?(2 )、如果换成1+2+3+…+n=?结果如何?(3 )、探究：已知等差数列｛a n｝中，首项为31;公差为d,第n项为a n，如何计算前n项和S n?S n p (c d)⑻2d) ...-⑻(n -1)d],①又S n=_____________________________________ ._________________ ②(上式倒序相加的和) b5E2RGbCAP 由① +②，得2& = (Q•a n) + ( a“ •a n) + ( @ a n) +...+ ( @ a n) = ____________________ •、Ln个新知：等差数列前n项和公式：公式一：__________________________________ ；公式二：________________________________________ 【知识应用】1.已知等差数列｛a n｝中，(1) a^75, a7 =105,则S = _______________ ；(2 ) a^ -10 , d = 4 , S n = 54 ,则n = _________ ；( 3 ) S5 = 25 , 0。
人教版高中数学必修五学案5：2.3 等差数列的前n项和
2.3 等差数列的前n 项和学习目标：1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思 学习过程： 教材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)； (4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．做一做1：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 2．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率． 做一做2：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 3．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 做一做3：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶． 当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)做一做4：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．5．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.做一做5：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________． 例题剖析：一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1：数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了． 例2：在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和) (4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3：(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ， 求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4：(1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？ (2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5：已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6：下表给出一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．课堂检测：1.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．2.一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．274．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．6635．已知两个等差数列{a n }、{b n }，它们的前n 项和分别是S n 、S ′n ，若S n S ′n ＝2n ＋33n －1，则a 9b 9＝______. 6.一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．参考答案做一做1：【解析】S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列， ∴1＋λ＝0，λ＝－1. 【答案】－1做一做2：【解析】由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n(m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －mm －n ＝－1，易得a m ＋n ＝0. 【答案】0做一做3：【解析】设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2)由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 【答案】－(p ＋q )做一做4：【解析】S 偶－S 奇＝n 2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3. 【答案】3做一做5：2 009 4 018 例题剖析：例1：解：{a n }是等差数列，证明如下： 因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0， 所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．例2：解：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5.解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2.∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎨⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51舍去.因此，a ＝2，k ＝50.例3：(1)解：由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8， ∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24. (2)证明：①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 例4：解：(1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大． (2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上． 令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0； 当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).例5：解：(1)∵a 1＝5， ∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1. 当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)]＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1)＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1]＝12n ＋1×2n ＋1＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 例6：解：(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j . 课堂检测：1.解：因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841.2.解：凸n 边形内角和为(n －2)×180°， 所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9. 3．【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45. 4．【答案】B【解析】因a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15， ∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.5．【答案】3750【解析】方法一 S n S ′n ＝n2(a 1＋a n )n 2(b 1＋b n )＝a 1＋a n b 1＋b n ＝2n ＋33n －1，∴a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝2×17＋33×17－1＝3750. 方法二 由S n S ′n ＝2n ＋33n －1，可知公差d ≠0，设S m ＝km (2m ＋3)， S ′m ＝km (3m －1) (k ∈R ，且k ≠0)，则a m b m ＝S m －S m －1S ′m －S ′m －1＝4m ＋16m －4 (m ≥2)，∴a 9b 9＝4×9＋16×9－4＝3750. 6.解：方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100， ∴S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150 ＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.方法二 设S n ＝an 2＋bn .∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧ a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. 方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ① (p ≠q )S q ＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ② ①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d ＝－(p －q )．又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1， ∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d ＝(p ＋q )(－1)，∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)＝－120.∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2. 又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.。
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》导学案
第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用1.等差数列前n 项和公式的函数特点若等差数列{a n }(d ≠0)的前n 项和表示为S n ＝pn 2＋qn ＋r 的形式，则系数p ，q ，r 的取值特点为□01p ，q ，r 均为常数且p ≠0，r ＝0. 2．等差数列前n 项和的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为□02负项(或0)，所以将这些项相加即得S n 的最□03小值； (2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为□04正项(或0)，所以将这些项相加即得S n 的最□05大值． 3．等差数列的常见性质(1)等差数列{a n }公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，(m ∈N *)是□06等差数列，其公差等于□07md . (2)等差数列的项数若为2n (n ∈N *)项，则S 2n ＝□08n (a 1＋a 2n )且S 偶－S 奇＝□09nd ，S 奇S 偶＝□10a na n ＋1. (3)等差数列的项数若为2n ＋1(n ∈N *)项，则S 2n ＋1＝□11(2n ＋1)a n ＋1且S 奇－S 偶＝□12a n ＋1，S 奇S 偶＝□13n ＋1n . (4)若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)数列{a n }为等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0则该数列S n一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围为________．(4)(教材改编P 29例1)13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 (4)215探究1 等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．解 解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝30，S2m ＝2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2， 所以S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.拓展提升等差数列前n 项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n ；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．【跟踪训练1】 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A解析 由等差数列的求和公式可得S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13，可得a 1＝2d 且d ≠0，所以S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝27d 90d ＝310.故选A.探究2 等差数列的奇(偶)项和问题例2 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项，公差，项数．解 解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝24，S 偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k (a 1＋a 2k －1)＝24，12k (a 2＋a 2k)＝30，(2k －1)d ＝212，所以⎩⎪⎨⎪⎧k [a 1＋(k －1)d ]＝24，k (a 1＋kd )＝30，(2k －1)d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4， ∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a 2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧ kd ＝6，(2k －1)d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32. ∴首项为32，公差为32，项数为8. 拓展提升等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n (S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 是数列的中间项)，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.【跟踪训练2】 (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d .解 (1)等差数列{a n }共有1006个奇数项，1005个偶数项， ∴S 奇＝1006(a 1＋a 2011)2，S 偶＝1005(a 2＋a 2010)2.∵a 1＋a 2011＝a 2＋a 2010， ∴S 奇S 偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S 奇＝13×75＝25，偶数项和S 偶＝23×75＝50， 又S 偶－S 奇＝10d ， ∴d ＝50－2510＝2.5.探究3 等差数列前n 项和的最值问题例3 等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．解 由题意可知：a 1＝25，S 17＝S 9， 则17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，d ＝－2.解法一：S n ＝25n ＋n (n －1)2(－2)＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大，最大值是169. 解法二：S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (d <0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S 13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大．最大值为169. 解法四：∵a 1＝25>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0.得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小． 拓展提升求解等差数列前n 项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．【跟踪训练3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负．∴数列前6项和最大．探究4 等差数列前n 项和的比例问题例4 (1)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n 且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项和的比为32∶27，求该数列的公差d .答案 (1)6512 (2)见解析解析 (1)解法一：a 5b 5＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)． 则a 5＝S 5－S 4＝65t ，b 5＝T 5－T 4＝12t . 故a 5b 5＝65t 12t ＝6512.(2)利用等差数列前n 项和的性质求解．⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192.S 奇＝162. 因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？答案 6516解析 S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt ，∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516. 拓展提升解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理． 【跟踪训练4】 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a n b n.解 解法一：∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝dn 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ， 又A n B n ＝7n ＋14n ＋27，∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)， b n ＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)． ∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，亦成立．[规律小结]等差数列前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数的关系来解决问题，即：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是：n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．[走出误区] 易错点⊳分析问题不严密致误[典例] 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解档案] 设公差为d ，∵S 10＝S 15， ∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， 得60d ＝－100，即d ＝－53， ∴a n ＝20－(n －1)×53， 当a n >0时，20－(n －1)×53>0， ∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大， S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[误区警示] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[规范解答] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0.∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.[名师点津] 求等差数列前n 项和最值的关键是分清正负项，找准正负项的分界点，尤其是数列中含有零项时，注意答案的全面性.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12 答案 A解析 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1.2．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 C解析 ∵S 23＝23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ＝S 10，化简得，13(a 1＋16d )＝0，∴2a 1＋32d ＝0，即a 1＋7d ＋a 1＋25d ＝0， 即a 8＋a 26＝0，∴k ＝26，故选C.3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23 答案 C解析 由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3， a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案 24解析 ∵{a n }是等差数列，由S 9＝72，得S 9＝9a 5，a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上．求数列{a n }的通项公式．解 依题意得，S nn ＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 因a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：基础巩固练一、选择题1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝9S 3，则{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝4n －1 C ．a n ＝4n ＋1 D ．a n ＝4n ＋2 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 9＝9S 3得9a 1＋36d ＝9(3a 1＋3d )，化简得d ＝2a 1，若a n ＝4n －2，则d ＝4，a 1＝2，适合题意，B ，C ，D 均不适合，故选A.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( )A ．36B ．18C ．72D ．9 答案 A解析 由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知：S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×(－6＋18)2＝36.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B ．20C ．10D ．9 答案 C解析 因为a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，所以a m －1＋a m ＋1＝a 2m .根据等差数列的性质得2a m ＝a 2m ，显然a m ≠0，所以a m ＝2.又因为S 2m －1＝38，所以S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m .将a m ＝2代入可得(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.故选C.4．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 答案 C解析 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．二、填空题5．已知四个数成等差数列，S 4＝32，a 2∶a 3＝1∶3，则公差d ＝________. 答案 8解析 设首项为a 1，公差为d ，则由a 2∶a 3＝1∶3得a 1＋da 1＋2d＝13，∴d ＝－2a 1，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，d ＝8.6．在等差数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn (n ∈N *)，其中a ，b 均为常数，则ab ＝________.答案 －1解析 ∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a n ＋1－a n ＝4.∴an 2＋bn ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－12n .∴a ＝2，b ＝－12，故ab ＝－1.7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，S n ＝155，则n＝________.答案 10解析 (a 1＋a 2＋a 3)＋(a n ＋a n －1＋a n －2) ＝3(a 1＋a n )＝15＋78，∴a 1＋a n ＝31. 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝155，∴31n2＝155⇒n ＝10. 三、解答题8．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 解 (1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18. 9．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n [5＋(8－3n )]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋(n －2)[1＋(3n －8)]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足：(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ① n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1， 而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ② 由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)，当n 为偶数时，T n ＝＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n .综上所述，T n ＝(－1)n ·n .B 级：能力提升练1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9 答案 C解析 a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180，得n <13且n ∈N *， 由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)2×5，解得n ＝16或n ＝9.∵n <13，∴n ＝9.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解 (1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列． 由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又∵b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3. ∵b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5.∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. ∵n 增大时，T n 增大，∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.若T n >k57对一切n ∈N *都成立， 只要T 1＝13>k57，∴k <19，则k max ＝18.。
高中数学《2.3等差数列的前n项和》导学案 新人教A版必修5
2．3等差数列的前n 项和【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2.会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 【研讨互动 问题生成】 1.等差数列的前n 项和公式1 2.等差数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】1.一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？2.对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式【点睛师例 巩固提高】例1． 一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
例2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。
【要点归纳 反思总结】1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++； 公差是d=2p通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=⎧=⎨-=-+≥⎩当时当时2．等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）由n )2d a (n2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1．在等差数列{a n }中，S m =S n ,则S m+n 的值为（ ） （A ）0 （B ）S m +S n （C ）2(S m +S n ) （D ）)(21n m S S +2．在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 12= 。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。
2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。
3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。
2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。
三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。
2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。
（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。
四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。
有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。
高斯很快就得出了答案 5050。
他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。
这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。
则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。
苏教版高中数学必修五《等差数列的前n项和(第1课时)》导学案
等差数列的前n 项和【学习导航】知识网络学习要求1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程；2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题。
【自学评价】1. 等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=； 公式2：1(1)2n n n S na d -=+。
2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为 等差数列 。
3.若已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n 可用S n 表示：⎩⎨⎧-=-11S S S a n n n )1()2(=≥n n 。
【精典范例】【例1】在等差数列{}n a 中，（1）已知31=a ，10150=a ，求50S ；（2）已知31=a ，21=d ，求10S 。
【解】（1）根据等差数列前ｎ项和公式，得5031015026002S +=⨯=； （2） 根据等差数列前ｎ项和公式，得101091105103222S ⨯=⨯+⨯=。
【例2】在等差数列{}n a 中，已知21=d ，23=n a ，215-=n S ，求1a 及n 。
【解】由已知，得()1131522213122a n a n ⎧+⎪⨯=-⎪⎨⎪+-⨯=⎪⎩ ，解得1310a n =-⎧⎨=⎩。
点评：在等差数列的通项公式与前n 项和公式中，含有1a ，d ，n ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量。
【例3】在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。
【解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意得102010310910S S S =⎧⎨-=⎩， 即1110910310220192012202a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得146a d =⎧⎨=⎩， 所以214206124a =+⨯=，于是21223010910124615102a a a ⨯+++=⨯+⨯=， 即第21项到第30项的和为1510。
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必修五 等差数列前n 项和的性质
【学习目标】
１、能从函数的角度理解等差数列的前n 项和公式；
２、掌握等差数列前n 项和公式的部分性质；
３、能解决与等差数列前n 项和有关的应用问题
【重点和难点】
重点：从函数的角度理解等差数列的前n 项和公式． 难点：等差数列的前n 项和公式的熟练应用．
【使用说明及学法指导】
1.先预习课本P 42—P 45内容，然后开始做导学案。
2.将预习中不能解决的问题标出来，以便课上交流讨论。
预习案
一．问题导学
2++,n S an bn c =一定表示等差数列的前n 项和吗？如果是，系数需满足什么条件？
二．知识梳理
1．数列{}n a 的前n 项和n S 与其通项公式n a 的关系是： ．
2．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和n S 是定义在 上的 函数．
（1）当100a d ⎧⎨⎩ 时，n S 有最大值；（2）当100a d ⎧⎨⎩
时，n S 有最小值． 3．若等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成 数列．
三.预习自测
1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2n S n =，则n a = ；若21n S n =-，则n a = ．
2．在等差数列{}n a 中．
（1）若首项为8-，公差为3，则当n = 时，取得()n S =最小 ；若首项为8，公差为3-，则当n =
时，取得()n S =最大 ．
（2）若224n S n n =-，则当n = 时，取得()n S =最小 ；若225n S n n =-，则当n = 时，
取得()n S =最小 ．
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2020S =，则30S = ．
4．已知数列{}n a 的通项公式()
11n a n n =
+，且前n 项和为n S ，则2012S = ．
四.我的疑问：
探究案
一． 合作探究
探究1. （n S 的最值问题）：
例1、已知等差数列245,4,3
77
，…的前n 项和为n S ，求使n S 取得最大值的项数n ．
变式：在等差数列{}n a 中，10a <，912S S =，求使n S 取得最小值的项数n ．
探究2. （n S 的部分性质）：
例2、一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
二、课堂小结：
训练案
一、课堂训练与检测
1．在等差数列{}n a 中，418a =，106a =，求使n S 取得最大值的项数n ．
2．（拓展）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是,n n A B ，且
2453n n A n B n +=+，则33
a b = ．。