向量强化专题练习

向量强化

例题1．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t

，|AC →|＝t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点， 且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|

，求PB →·PC →的最大值.

例题2．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o ． 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动． 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,求x y +的最大值

例题3．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.

例题4如图所示，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三

点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，

证明：1x ＋1y

是定值．

例题5已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点．则DE →·CB →的值为____________；

DE →·DC →的最大值为____________．

练习

题组一

1．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )

A ．－8

B ．－1

C ．1

D ．8

2．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D

不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，12

B.⎝⎛⎭⎫0，13

C.⎝⎛⎭⎫－12，0

D.⎝⎛⎭

⎫－13，0 3．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝

μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ

＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )

A ．C 可能是线段A

B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点

C ．C ，

D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上

4．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的

一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．

5．若平面向量α，β满足|α|＝1， |β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12

，则α和β的夹角θ的取值范围是________．

题组二

1．已知正ABC △内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则·

PA PB 的取值范围是（ ）

A ．[]06，

B ．[]26-，

C ．[]02，

D ．[]22-，

2．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝

xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋2y 的最小值为( )

A ．2

B ．13 C.3＋223 D ．34

3．在△ABC 中，设AB=6，BC=7，AC=4，O 为△ABC 的内心，若

，则

等于（ ）A ． B. C ．2 D.3

4在ABC △中，3AB =，5AC =，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC 的值为

5．已知()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ， AP AB AC λμ=+，则下列结论错误的是( )

A ．若P 是ABC 的重心，则1λμ=

B ．若P 是AB

C 的内心，则2

λμ= C ．若P 是ABC 的垂心，则2λμ= D ．若P 是ABC 的外心，则

54λμ= 6.C B A ,,是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于D ，若OB OA OC μλ+=（R R ∈∈μλ,），则μλ+的取值范围是( )

A ．)1,0(

B ．),1(+∞

C ．]2,1(

D ．)0,1(-

7.设向量,,a b c 满足2a b ==， 2a b ⋅=-,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于

( ) A ．4 B ．2 C ．2 D ．1