人教A版高中数学必修五高中同步测试卷(五)

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高中数学人教A版必修5同步单元双基双测“AB”卷：测试卷02(A卷)(含答案解析)

班级姓名学号分数《必修五》测试卷2（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则cos A 的值为（） A.35B.45C.0D.1【答案】B 【解析】考点：正弦定理.2.【改编题】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,2,60b c A ===︒，则ABC ∆的面积为（）A.12B.2C.1【答案】B 【解析】试题分析：根据三角形面积公式得11sin 12sin 6022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△，故选B. 考点：三角形面积公式.3.若ABC ∆中的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()224a b c +-=，且60C =︒，则ab 的值为（）A.43B.8-C.1D.23【答案】A 【解析】试题分析：由()224a b c +-=得22224a b ab c ++-=，即22242a b c ab +-=-，又60C =︒，根据余弦定理得2221cos6022a b c ab+-︒==，即42122ab ab -=，解得43ab =，故选A.考点：余弦定理的应用.4.【2015届浙江省嘉兴市场桐乡一中高三新高考单科综合调研】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若1234,2,a a a 成等差数列，则4S =（） A.7B.8C.16 D .15【答案】D考点：1.等差数列的运算性质；2.等比数列求和.5.已知等差数列{}n a 中，22013,a a 是方程2220x x --=的两根，则2014S =（）A.2014-B.1007-C.1007D.2014【答案】D考点：等差数列的性质及求和公式.6.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则4S =（） A.30 B.16 C.15 D.8【答案】A 【解析】试题分析：根据等比数列通项公式得3216q =，即2q =，所以()442123012S ⨯-==-，故选A.考点：等比数列的通项公式及求和公式.7.关于x 的不等式0ax b ->的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是（） A.()(),13,-∞-+∞ B.()1,3- C.()1,3 D.()(),13,-∞+∞【答案】A考点：不等式的解法.8. 【2015高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令y x z +-=2⇒z x y --=2，可知在图中)1,1(A 处，y x z +-=2取到最大值-1,故选A. 【考点定位】本题主要考查了简单的线性规划.【名师点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考查了考生的数形结合能力和基本运算能力.9.【2015届四川省资阳市高三第一次诊断性测试】已知,a b R ∈，下列命题正确的是（） A.若a b >，则a b >B.若a b >，则11a b< C.若a b >，则22a b > D.若a b >，则22a b >【答案】D 【解析】试题分析：当1,2a b ==-时，A 错；当1,2a b ==-时，B 错；当1,2a b ==-时，C 错；因为0a b >…，所以恒有22a b >，故选D. 考点：不等式的性质.10.【原创题】若ABC ∆为钝角三角形，三边长分别为2,3,x ，且依次成公差为正数的等差数列，则x 的取值范围是（）A.(B.)C.D.(()13,5【答案】B考点：1.等差数列；2.余弦定理的应用. 11.若函数()()122f x x x x =+>-在x n =处取得最小值，则n =（） A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：由()()1122422f x x x x x =+=-++--…，当且仅当122x x -=-即3x =时，取得等号，故选B. 考点：均值不等式.12.已知两灯塔,A B 与海洋观察战C 的距离都等于100km ，灯塔A 在C 北偏东30︒，B 在C南偏东60︒，则两灯塔,A B 之间相距约（） A. 100km B. 114kmC. 141kmD. 173km【答案】C 【解析】试题分析：由题意知三角形ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，所以22222100AB AC BC =+=⨯，即AB =，故选C.考点：解三角形在实际中的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 【改编题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC= .考点：三角形的面积公式和余弦定理.14.【2014届天津市高三第一次六校联考文科数学试卷】已知集合{}320,A x x x R =+>∈，()(){}130,B x x x x R =+->∈，则A B ⋂= .【答案】{}3x x > 【解析】试题分析：由已知得23A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}13B x x x =<->或，由交集定义可知A B ⋂={}3x x >.考点：解不等式及集合运算.15.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.16. 【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且cos A =，tan 3B =. （1）求解C 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）4π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）根据同角的平方关系可得，因为cos5A=，所以sin A==，则tan2A=，又A B Cπ++=，根据诱导公式及两角和的正切公式得()tan tantan tan11tan tanA BC A BA B+=+==--⋅，从而可求出4Cπ=；（2）由正弦定理sin sina cA C=，得4sinsina CcA⨯===，又A B Cπ++=，所以()sin sin sin cos cos sin22B A B A B A B=+=+==，再由三角形面积公式可求得11sin4622ABCS ac B==⨯=△.试题解析：（1）因为cos A=，所以sin A==则t a n2A=，…………3分又A B Cπ++=，所以()tan tantan tan11tan tanA BC A BA B+=+==--⋅，则4Cπ= (6)分（2）由正弦定理sin sina cA C=，得4sinsina CcA===8分又A B Cπ++=，所以()sin sin sin cos cos sin525210B A B A B A B=+=+=+=，由三角形面积公式得11sin462210ABCS ac B==⨯=△.…………12分考点：1.正弦定理及三角形面积公式；2.三角恒等变换.18. 【2015高考浙江，理16】在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4Aπ=，22b a-=122c.（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =，故3b =. 【考点定位】1.三角恒等变形；2.正弦定理.【名师点睛】本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，三角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变形，函数sin()y A x ωϕ=+的性质，解三角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.19.【2014高考重庆文第16题】已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】（I ）221,n n a n S n =-=；（II ）()2122,413n nn n b T -==-. 【解析】考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等比数列的通项公式与前n 项和公式.20.（本题满分12分）已知(),,0,a b c ∈+∞，求证：222a b c a b c b c a++++…. 【答案】详见解析.考点：基本不等的应用.21.【改编题】（本题满分12分）试用不等式组表示由直线20,x y++=210,x y++=210x y++=围成的三角形区域（包括边界），并求其面积.【答案】图略，面积为2 3 .【解析】试题分析：根据题意可先画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示，取原点坐标()0,0，将0,0x y==代入220x y++=>，代入2110x y++=>，代入2110x y++=>，结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20210210x yx yx y++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩.由方程组210210x yx y++=⎧⎨++=⎩，解得点11,33A⎛⎫--⎪⎝⎭，同理可得点()3,1B-，()1,3C-，则ABC△的高为6 h==底边长为BC==，所以三角形区域的面积为12263ABC S =⨯=△.考点：二元一次不等式组及其表示的区域图.22.（本题满分12分）已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或. （1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()()20ax ac b x bc c R -++<∈. 【答案】（1）1,1a b ==；（2）当1c <时，不等式的解为(),1c ，当1c =时，不等式的解为{}1，当1c >时，不等式的解为()1,c .【解析】考点：一元二次不等式的解.。

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题

人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________．解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数，则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同，即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。

优化方案·高中同步测试卷·人教B数学必修5：高中同步测试卷(五)-Word版含答案

高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f(n)}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14 3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( )A ．0 B.12 C ．2D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．285．已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ≤0时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2 013＝( )A ．2B ．4 C.12D ．146．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，问最小的一份面包的个数为( ) A ．2 B ．8 C ．14 D ．20 7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，对n ≥2且n ∈N *都有a 1a 2·…·a n ＝2n ，则a 2a 3＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21 9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)10．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知(a1 006－1)3＋2 013(a1 006－1)＝1，(a1 008－1)3＋2 013(a1 008－1)＝－1，则()A．S2 013＝2 013，a1 008＞a1 006B．S2 013＝2 013，a1 008＜a1 006C．S2 013＝－2 013，a1 008＞a1 006D．S2 013＝－2 013，a1 008＜a1 006二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知数列2，7，10，13，4，…，3n＋1，…，则210是它的第________项．12．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N*)，则a20＝________．13．已知等差数列的前三项依次是m，6m，m＋10，则这个等差数列的第10项是________．14．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想数列{a n}的一个通项公式．16．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n.(1)求a n；(2)设a n＝2λ－1，试求λ的取值范围．17.(本小题满分10分)设等差数列的前n项和为S n.已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．18．(本小题满分10分)已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(ab≠0)，f(1)＝2，且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域上任意x都成立．(1)求函数f(x)的解析式；(2)正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝14[3－2f（a n）]2，求证：数列{a n}是等差数列．附加题19．(本小题满分10分)已知数列{a n}满足：a1＝2t，t2－2a n－1t＋a n－1a n＝0，n＝2，3，4…(其中t为常数，且t≠0)．求数列{a n}的通项公式．20．(本小题满分10分)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(既无利息贷款)，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额规定不超过6 000元．某大学2013届毕业生王某在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．工作后，王某计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)用x和n表示王某第n个月的还款额a n元；(2)若王某恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值．参考答案与解析1．[导学号99450080]【解析】选B.A，D显然正确；对于B，因为数列{f(n)}是定义在正整数集N*上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数a n＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．[导学号99450081]【解析】选C.从第三项起，每一项都等于前面连续两项的和即a n＋a n ＋1＝a n＋2，所以x＝5＋8＝13.3．[导学号99450082]【解析】选B.由已知得a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2，即2a1＋10d＝a21＋4a1d＋4d2.又a1＝2，∴4d2－2d＝0，∴2d(2d－1)＝0，∴d＝0或d＝1 2.又∵{a n }中各项都不相等，∴d ＝12.4．[导学号99450083] 【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7·a 4＝7×6＝42.5．[导学号99450084] 【解析】选C.因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以f (4＋x )＝f (－x )．又因为f (x )为偶函数，所以f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )．所以a 2 013＝f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.6．[导学号99450085] 【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．[导学号99450086] 【解析】选D.∵a 1·a 2·…·a n ＝2n (n ≥2)，∴a 1·a 2＝22＝4，∴a 2＝4.又a 1·a 2·a 3＝23，∴a 3＝2，∴a 2·a 3＝8.8．[导学号99450087] 【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，∴a 1＝39，∴S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，∴当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C. 9．[导学号99450088] 【解析】选D.由a n ＋1＞a n ，得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2，所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .10．[导学号99450089] 【解析】选B.∵(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1且(a 1 008－1)3＋2 013(a 1008－1)＝－1，∴a 1 006－1与1－a 1 008是方程x 3＋2 013x －1＝0的两根．设f (x )＝x 3＋2 013x －1，则f (x )是单调递增函数，∴a 1 006－1＝1－a 1 008，即a 1 006＋a 1 008＝2， ∴S 2 013＝2 013（a 1＋a 2 013）2＝2 013（a 1 006＋a 1 008）2＝2 013.又(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝(a 1 006－1)[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1＞0，∴a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1，同理可得a 1 008＜1，即a 1 006＞a 1 008，故选B. 11．[导学号99450090] 【解析】由3n ＋1＝210，得3n ＋1＝40，所以n ＝393＝13. 【答案】1312．[导学号99450091] 【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a3＝a2－33a2＋1＝3，a4＝a3－33a3＋1＝0，…，每3项一循环，故a20＝a6×3＋2＝a2＝－ 3.【答案】－ 313．[导学号99450092]【解析】由已知得12m＝2m＋10，所以m＝1，故a1＝1，a2＝6，a3＝11，所以d＝5，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4，所以a10＝5×10－4＝46.【答案】4614．[导学号99450093]【解析】log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝10（a1＋a10）2＝10×（a5＋a6）2＝10×42＝20.【答案】2015．[导学号99450094]【解】(1)∵(a n，a n＋1)在函数f(x)＝2x1＋x的图象上，∴a n＋1＝2·a n1＋a n. ∵a1＝2，∴a2＝43，a3＝87，a4＝1615.(2)由a1＝2＝21，a2＝43，a3＝87，a4＝1615，猜想得a n＝2n2n－1.16．[导学号99450095]【解】(1)由递推关系式知a1＝1，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n，当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－1，两式相减得：3n－1a n＝n－(n－1)＝1，故a n＝13n－1，当n＝1时a1＝1也符合此式．所以a n＝13n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，数列{a n}为递减数列，0＜a n≤a1＝1，即0＜2λ－1≤1，解得12＜λ≤1，即λ的取值范围为(12，1]．17．[导学号99450096]【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a1＋12×112d＞0，S13＝13a1＋13×122d＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋11d＞0，a1＋6d＜0.①②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是(－247，－3)． (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (12－2d )＋n （n －1）2d ＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2，因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大．因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132，所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 18．[导学号99450097] 【解】(1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(ab ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. f (1)＝ba －1＝2，得2a －2＝b .① 由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域上任意x 都成立，得b a （x ＋2）－1＝－ba （2－x ）－1，解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1，∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：由(1)得f (a n )＝22－a n，又S n ＝14[3－2f （a n ）]2，∴S n ＝14(a n ＋1)2，∴a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1.当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n－a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n－1－2)＝0.∵a n ＞0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2，∴数列{a n }是等差数列． 19．[导学号99450098] 【解】∵t 2－2a n －1t ＋a n －1a n ＝0， ∴(t 2－a n －1t )－(a n －1t －a n －1a n )＝0，∴t (a n －1－t )＝a n －1(a n －t )．由a 1－t ≠0知a n －t ≠0， ∴1a n －t ＝a n －1t （a n －1－t ）＝a n －1－t ＋t t （a n －1－t ）＝1t ＋1a n －1－t，即1a n －t －1a n －1－t ＝1t ，n ＝2，3，4，…，t ≠0.∴数列{1a n －t }为等差数列，公差为1t ，∴1a n －t＝1a 1－t ＋1t(n －1)＝n t ，∴a n ＝t ＋t n ＝（n ＋1）tn .20．[导学号99450099] 【解】(1)由题意得，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧500（1≤n ≤12，n ∈N *）500＋（n －12）x （13≤n ≤36，n ∈N *）. (2)由已知，每个月的还款额为a n ，从第13个月开始，还款额构成等差数列，其中a 13＝500＋x ，公差为x .从而，到第36个月，王某共还款12×500＋24a 13＋24×（24－1）2x .令12×500＋(500＋x )×24＋24×（24－1）2x ＝24 000，解得x ＝20(元)，即要在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．。

【高中数学】新人教A版高一单元素养测评卷（五）[第十章](练习题)

新人教A 版高一单元素养测评卷（五）[第十章](2464)1.同时抛掷2枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是（）.A.“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B.“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C.“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D.“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”2. 一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.953.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，甲获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率:先利用计算器产生0到9之间的取整数值的随机数，用1,2,3,4表示甲获胜，用5,6,7,8,9,0表示乙获胜，再以每3个随机数为1组，代表3局比赛的结果.经随机模拟产生了如下30组随机数: 102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350 481 337 286 139 579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047 008 341 287 114 据此估计，这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率为（）A.13B.310C.25D.1130 4.已知集合A ={π5,4π5,6π5,9π5,11π5}，从A 中任意选两个角，其正弦值相等的概率是（） A.110 B.25 C.35 D.310 2019表所示：其中空气质量指数T ⩽50时，空气质量为优；50<T ⩽100时，空气质量为良；100<T ⩽150时，空气质量为轻度污染.该城市2019年空气质量达到良或优的概率为（）.A.35B.1180C.119D.59 6.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否被加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为一等品的概率为（）.A.12B.512C.14D.167.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,23,34，且它们正常工作与否是相互独立的.如图，将T2,T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（）.A.1124B.2324C.14D.17328.某市对创建全国文明城市工作进行验收时，有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查,6人得分分别为5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样的方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为（）A.35B.415C.715D.8159.从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是（）.A.“至少有1个红球”与“都是红球”B.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”C.“恰有1个红球”与“恰有2个红球”D.“至多有1个红球”与“恰有2个红球”10.下列各对事件中，一定是相互独立事件的有（）.A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中目标”与“乙未射中目标”11.一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是（）.A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点的总数为16C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点的总数为1612.在如图所示的电路中，A，B，C，D，E这5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被烧断的概率，下列结论正确的是（）.A.A，B所在线路畅通的概率为16B.A，B，C所在线路畅通的概率为56C.D，E所在线路畅通的概率为130D.当开关闭合时，整个电路畅通的概率为293613.若某人在打靶时连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的对立事件是.14.一个样本的容量为70，将其分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为15，则该样本第四组的频率为. 15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如若从该班随机选取1名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为.16.近两年来，以《中国诗词大会》为代表的中国文化类电视节目带动了一股中国文化热潮.某台举办闯关答题比赛，共分两轮，每轮共有4类题型，选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰，若全部回答正确，就能获得一枚复活币并进行下一轮答题，两轮都通过就可以获得最终奖金.选手在第一轮闯关获得的复活币，系统会在下一轮答题中自动使用，即下一轮进行闯关答题时，在某一类题型中回答错误，自动复活一次，视为答对该类题型.若某选手每轮的4类题型的通过率均分别为910，89，34，13，则该选手获得最终奖金的概率为.17.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000根，该公司对这些灯管的使h)所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计该种型号灯管的使用寿命不足1500h的概率. 18.如图是某行业网站统计的某一年1月到12月(共12个月)的山地自行车销售量(1k代表1000)折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：(1)在这一年中随机取一个月的销售量，估计销售量不足200k辆的概率；(2)在这一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月的销售量递增(如2月到3月的销售量是递增的)的概率；(3)根据折线图，估计这一年平均销售量在哪两条相邻水平线之间(只写出结果，不要过程).19.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长为35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位：分钟)进行调查，按平均每日参加体育锻若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.(1)将频率视为概率，估计该校7 000名学生中“锻炼达人”有多少?(2)从这100名学生中的“锻炼达人”中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.20.某套数学试卷中有12道选择题，每道选择题有四个选项，评分标准规定：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分.某考生每道选择题都选出一个答案，能确定其中有8道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题能判断出一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜.试求该考生的选择题：(1)得60分的概率.(2)得多少分的概率最大？21.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，每钟预防措施最多可以使用一次，单独采用甲、乙、丙、丁预防措需费用如下表：预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.22.甲、乙两人玩卡片游戏:他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问这个规则公平吗?为什么?参考答案1.【答案】:C【解析】:在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件.故选 C.2.【答案】:B【解析】:解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件，故其概率P=1−0.3−0.2=0.5．故选：B．由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解本题主要考查了互斥事件的概率求解，属于基础试题．3.【答案】:B【解析】:由题意知，在30组随机数中表示两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的有102,146,245,310,481,337,139,235,246,共9组，故所求概率约为930=310.故选 B.4.【答案】:B【解析】:试验“从A中任意选两个角”的样本空间Ω={(π5,4π5)，(π5,6π5)，(π5,9π5)，(π5,11π5)，(4π5,6π5)，(4π5,9π5)，(4π5,11π5)，(6π5,9π5)，(6π5,11π5)，(9π5,11π5)}，则n(Ω)=10．记事件A=“两个角的正弦值相等”，则A={(π5,4π5),(π5,11π5),(4π5,11π5),(6π5,9π5)}，所以n(A)=4，则P(A)=n(A)n(Ω)=410=25，故选B．5.【答案】:A【解析】:由题意，得P(T ⩽50)=110，P(50<T ⩽100)=16+13=12，由互斥事件的概率公式，得该城市2019年空气质量达到良或优的概率P =110+12=35．故选A ．6.【答案】:B【解析】:记“两个零件中恰好有一个被加工为一等品”为事件A ，“甲将零件加工为一等品”为事件A 1，“乙将零件加工为一等品”为事件A 2，则P(A)=P(A 1A ¯2)+P(A ¯1A 2)=23×14+13×34=512，故选B ．7.【答案】:A【解析】:记“T 1正常工作”为事件A ，“T 2正常工作”为事件B ，“T 3正常工作”为事件C ，则P(A)=12，P(B)=23，P(C)=34．电路不发生故障，则须满足T 1正常工作，T 2，T 3中至少有一个正常工作，而T 2，T 3中至少有一个正常工作的概率P 1=1−P(B ¯C ¯)=1−(1−23)×(1−34)=1112，则电路不发生故障的概率P =12×1112=1124，故选A ．8.【答案】:C【解析】:总体平均数为16×(5+6+7+8+9+10)=7.5．“抽取2名学生”的样本空间Ω=｛(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)｝，则n(Ω)=15．记事件A =“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，则A =｛(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)｝，所以n(A)=7，则P(A)=n(A)n(Ω)=715，故选C ．9.【答案】:CD【解析】:根据互斥事件与对立事件的定义判断．A 中两事件不是互斥事件,事件“都是红球”是两事件的交事件；B 中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”发生时，两事件均发生,故不是互斥事件；C 中两事件是互斥而不对立事件;“至多有1个红球”,即“有0个或1个红球”,与“恰有2个红球”互斥,除此之外事件“都是红球”也可能发生,因此它们不对立，D 符合题意．故选CD ．10.【答案】:B ；D【解析】:在A 中，甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”是互斥事件，不会同时发生，因此不是相互独立事件;在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”相互独立事件；在D中，甲、乙各射击一次，“甲射中目标”发生与否对“乙未射中目标”的概率没有影响，二者一定是相互独立事件.故选BD.11.【答案】:A；C；D【解析】:记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品. 对于A,样本空间Ω=｛(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)｝,“恰有一件次品”包含的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12，A正确；对于B,每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω=｛(1,2),(1,3)，(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1)(a,2),(a,3)｝, 因此n(Ω)= 12,B错误；对于C,“取出的2件中恰有1件次品”包含的样本点的个数为6,故其概率为12,C正确; 对于D,每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)｝,因此n(Ω)=16,D正确．故选ACD．12.【答案】:B；D【解析】:由题意知，A，B，C，D，E表示的保险闸中的保险丝被烧断的概率分别为12，13，14，15，16，所以A，B所在线路畅通的概率为12×23=13，故A错误；D，E并联后的电路畅通的概率为1−15×16=1−130=2930，故C错误；A，B，C所在线路畅通的概率为1−23×14=1−16=56，故B正确；根据上述分析可知，当开关闭合时，整个电路畅通的概率为2930×56=2936，故D正确.故选BD．13.【答案】:“2次都未中靶”【解析】:由对立事件的概念可得.14.【答案】:1135【解析】:根据题意可得第一组和第三组的频率分别为870=435,1270=635．根据各组的频率之和为1，即可求得第四组的频率为1−435−635−25=1135．15.【答案】:13【解析】:由题意得该班一共有45名学生，其中两个社团都未参加的有30人，∴从该班随机选取1名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率P=1−3045=13．16.【答案】:2571800【解析】:选手进入第二轮答题，则第一轮中答题全部正确，其概率为9 10×89×34×13=15.结束第一轮答题后，选手通过第二轮答题的概率为15+110×89×34×13+910×19×34×13+9 10×89×14×13+910×89×34×23=15+145+140+115+25=257360，故该选手获得最终奖金的概率为1 5×257360=2571800．17(2)【答案】这1000根灯管中使用寿命不足1500ℎ的频数是48+121+208+223= 600，所以其频率是6001000=0.6，由此可估计该种型号灯管的使用寿命不足1500ℎ的概率约为0.6．18(1)【答案】“随机取一个月的销售量”的样本空间的样本点有12个，记事件A=“销售量不足200k辆”，则A=｛1月，2月，6月，11月｝，所以P(A)=412=13.(2)【答案】“取连续两个月的销售量”的样本空间Ω=｛1,2月；2,3月；3,4月；4,5月；5,6月；6,7月；7,8月；8,9月；9,10月；10,11月；11,12月｝，则n(Ω)=11．记事件B=“连续两个月的销售量递增”，则B=｛2,3月，3,4月；4,5月；6,7月；7,8月；8,9月；11,12月｝，所以n(B)=7，则P(B)=n(B)n(Ω)=711.(3)【答案】由折线图知，年平均销售量在150k200k这两条水平线之间.19(1)【答案】由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”约有7000×10100=700(名).(2)①【答案】由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．②【答案】“从5人中抽取2人”的样本空间Ω=｛男1男2，男1男3，男1男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女｝，则n(Ω)=10.记事件A=“抽取的2人中男生和女生各1人”，则A=｛男1女，男2女，男3女，男4女｝，则n(A)=4，所以P(A)=n(A)n(Ω)=410=25.20(1)【答案】要得60分，必须12道选择题全答对，依题意，易知在其余4道题中，有两道题答对的概率各为12，有一道题答对的概率为13，还有一道题答对的概率为14，所以该考生的选择题得60分的概率P=12×12×13×14=148．(2)【答案】依题意，该考生选择题得分的可能取值有40，45，50，55，60，共5种．得40分的概率P1=12×12×23×34=648=18；得45分的概率P2=2×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748;得50分的概率P3=12×12×23×34+2×12×12×13×34+2×12×12×23×14+12×12×13×14=1748；得55分的概率P4=12×12×13×34+12×12×23×14+2×12×12×13×14=748；得60分的概率P5=12×12×13×14=148.所以该考生选择题得45分或50分的概率最大．21.【答案】:方案1：单独采用甲、乙、丙、丁四种预防措施中的一种，所需费用均不超过120万元．由表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9．方案2：联合采用两种预防措施，总费用不超过120万元．由表可知，联合采用甲、丙两种预防措施，可使此突发事件不发生的概率为1−(1−0.9)×(1−0.7)=0.97．联合采用甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率分别为0.96，0.94，0.92，0.88，其概率均小于0.97，所以联合采用甲、丙两种预防措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.方案3：联合采用三种预防措施，由于总费用不能超过120万元，故只能联合采用乙、丙、丁三种预防措施．此时突发事件不发生的概率为1−(1−0.8)×(1−0.7)×(1−0.6)=0.976.综上所述，在总费用不超过120万元的前提下，联合采用乙、丙、丁三种预防措施，可使突发事件不发生的概率最大．22(1)【答案】分别用x,y表示甲、乙抽出的卡片上的数字，则样本点可用(x,y)表示“两人各自从自己的卡片中随机抽出1张”的样本空间Ω1=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,｝，则n(Ω1)=36．记事件A=“甲获胜”，则A=｛(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)｝，则n(A)=15，所以P(A)=n(A)n(Ω1)=1536=512．(2)【答案】“各自从手里剩下的卡片中随机抽出1张”的样本空间 Ω2=｛(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,｝，则n(Ω2)=25．记事件B =“卡片上的数字之和为偶数”，则 B =｛(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)｝，则n(B)=13，所以P(B)=n(B)n(Ω2)=1325,所以根据规则，甲获胜的概率为1325，乙获胜的概率为1225，所以这个规则不公平．。

高中数学基本不等式同步练习(一)新人教版必修5(A)

基本不等式同步练习(一)选择题1、下列函数中，最小值为4的函数是（）A 、x x y 4+=B 、)0(sin 4sin π x xx y += C 、x x e e y -+=4 D 、81log log 3x x y +=2、已知正数y x ，满足194=+yx ，则xy 有（） A 、最小值12 B 、最大值12 C 、最小值144 D 、最大值1443、设*N n z y x ∈，，且zx n z y y x -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（）A 、2B 、3C 、4D 、54、一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地间铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车间的间距不得小于220⎪⎭⎫ ⎝⎛v km ，那么这批货物全部运到B 市最快需要（）A 、6 hB 、8 hC 、10 hD 、12 h5、若)2lg()lg (lg 21lg lg 1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=，，，，则（） A 、Q P R B 、R Q P C 、R P Q D 、Q R P6、若a ，b 是任意实数，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．1>ab C ．1<ba D ．0)(3>-ab 7、Rc b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（）A ．c b c a ->+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 8、若b a >、dc >，那么（）A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．c b d a ->-D ．cd b a > 9、给定0>>b a ，R d ∈，下列各式中不正确的是（）A ．2b ab >B ．c b c a +>+C ．b a >D ．bc ac >解答题10．已知0,0,0>>>c b a ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．11．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：)()()()(2222222b a c a c b c b a c b a +++++>++．12．已知a ，b ，c 都是正数，且1=++c b a ，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---．答案：1、C2、C3、C4、B5、B6、D7、D8、C9、D10、证明略 11、证明略 12、证明略。

2020年高中数学人教A版必修5 同步作业本《等差数列的性质》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 同步作业本《等差数列的性质》一、选择题1.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2＋b 2=100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项值为( )A ．0B ．37C ．100D ．-372.如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5B ．a 1＋a 8=a 4＋a 5C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8=a 4a 53.由公差d≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…下列说法正确的是( )A ．新数列不是等差数列B ．新数列是公差为d 的等差数列C ．新数列是公差为2d 的等差数列D ．新数列是公差为3d 的等差数列4.在数列{a n }中，a 3=2，a 7=1，如果数列是等差数列，那么a 11等于( ){1an ＋1}A. B. C. D ．11312235.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( )A ．-2B ．-3C ．-4D ．-56.若方程(x 2-2x ＋m)(x 2-2x ＋n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=( )14A ．1 B. C. D.341238二、填空题7.在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2-3x-5=0的根，则a 5＋a 8=________．8.数列{a n }满足递推关系a n =3a n-1＋3n -1(n∈N *，n ≥2)，a 1=5，则使得数列为等差数列{an ＋m 3n }的实数m 的值为________．9.已知数列{a n }满足a 1=1，若点在直线x-y ＋1=0上，则a n =___________．(an n ，an ＋1n ＋1)10.若数列{a n }为等差数列，a p =q ，a q =p(p≠q)，则a p ＋q =______________．三、解答题11.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5=30，a 6＋a 7＋…＋a 10=80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.12.已知无穷等差数列{a n }，首项a 1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？13.在数列{a n }中，a 1=1，3a n a n-1＋a n -a n-1=0(n≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列是等差数列；{1an}(2)求数列{a n }的通项公式．答案解析1.答案为：C ；解析：设c n =a n ＋b n ，则c 1=a 1＋b 1=25＋75=100，c 2=a 2＋b 2=100，故d=c 2-c 1=0，故c n =100(n∈N *)，从而c 37=100.2.答案为：B ；解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8=a 4＋a 5.3.答案为：C ；解析：因为(a n ＋1＋a n ＋3)-(a n ＋a n ＋2)=(a n ＋1＋a n )＋(a n ＋3-a n ＋2)=2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．4.答案为：B ；解析：依题意得＋=2·，所以=-=，所以a 11=.1a3＋11a11＋11a7＋11a11＋121＋112＋123125.答案为：C ；解析：设该数列的公差为d ，则由题设条件知：a 6=a 1＋5d>0，a 7=a 1＋6d<0.又因为a 1=23，所以即-<d<-，又因为d 是整数，所以d=-4.{d >－235，d <－236，)2352366.答案为：C ；解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4=a 2＋a 3=2，再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d=2，因为a 1=，所以d=，所以a 2=＋=，a 3=＋1=，a 4=＋=，14121412341454143274所以|m-n|=|a 1a 4-a 2a 3|==.|14×74－34×54|127.答案为：3；解析：由已知得a 3＋a 10=3.又数列{a n }为等差数列，所以a 5＋a 8=a 3＋a 10=3.8.答案为：- ；12解析：a 1=5，a 2=3×5＋32-1=23，a 3=3×23＋33-1=95，依题意得，，成等差数列，所以2·=＋，所以m=-.5＋m 323＋m 3295＋m 3323＋m 325＋m 395＋m 33129.答案为：n 2解析：由题设可得-＋1=0，即-=1，所以数列是以1为公差的等差数an n an ＋1n ＋1an ＋1n ＋1an n {an n}列，且首项为1，故通项公式=n ，所以a n =n 2.an n 10.答案为：0；解析：法一：因为a p =a q ＋(p-q)d ，所以q=p ＋(p-q)d ，即q-p=(p-q)d ，因为p≠q，所以d=-1.所以a p ＋q =a p ＋(p ＋q-p)d=q ＋q×(-1)=0.法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )在一条直线上．不妨设p ＜q ，记点A(p ，q)，B(q ，p)，则直线AB 的斜率k==-1，如图所示，由图知OC=p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q =0.p －q q －p11.解：法一：因为1＋11=6＋6，2＋12=7＋7，…，5＋15=10＋10，所以a 1＋a 11=2a 6，a 2＋a 12=2a 7，…，a 5＋a 15=2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．所以a 11＋a 12＋…＋a 15=2(a 6＋a 7＋…＋a 10)-(a 1＋a 2＋…＋a 5)=2×80-30=130.法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)=2×80，所以a 11＋a 12＋…＋a 15=130.12.解：(1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n =3＋(n-1)(-5)=8-5n ，设数列{b n }的第n 项是数列{a n }的第m 项，则需满足m=4n-1，n ∈N *，所以b 1=a 3=8-5×3=-7，b 2=a 7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n ＋1-b n =a 4(n ＋1)-1-a 4n-1=4d=-20，所以新数列{b n }也为等差数列，且首项为b 1=-7，公差为d′=-20，所以b n =b 1＋(n-1)d′=-7＋(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1，n ∈N *，所以当n=110时，m=4×110-1=439，所以数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第439项．13. (1)证明：由3a n a n-1＋a n -a n-1=0，得-=3(n≥2)．1an 1an －1又因为a 1=1，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．{1an}(2)解：由(1)可得=1＋3(n-1)=3n-2，所以a n =.1an 13n －2又当n=1时，a 1=1，符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n =.13n －2。

人教A版高中数学必修五必修五综合测试题 (第三套).docx

必修五综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个第2个第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为元。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评(一) Word版含解析

姓名，年级：时间：综合质量测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式错误!〈错误!的解集是( )A．（－∞，2）B．（2，＋∞）C．（0，2）D．（－∞，0）∪(2，＋∞）答案D解析错误!<错误!⇔错误!－错误!<0⇔错误!<0⇔错误!〉0⇔x〈0或x〉2．2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为( )A．钝角B．直角C．锐角D．60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2〉0，cos C>0．故角C为锐角．3．在△ABC中，a＝20,b＝10,B＝29°,则此三角形解的情况是（）A．无解B．有一解C．有两解D．有无数个解答案C解析a sin B＝a sin29°〈a sin30°＝20×错误!＝10＝b<a，所以有两解．故选C．4．设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝2x＋5y的最小值为（)A．－4 B．6 C．10 D．17答案B解析由题意知，约束条件错误!所表示的三角形区域的顶点分别为A(0，2），B(3，0），C （1，3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6，17，故z 的最小值为6．5．已知△ABC 的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的周长为( )A ．15B ．18C ．21D ．24答案 A解析根据题意，设△ABC 的三边长为a,a ＋2，a ＋4，且a ＋4所对的角为最大角α，∵sin α＝错误!，∴cos α＝错误!或－错误!，当cos α＝错误!时,α＝60°，不符合题意，舍去；当cos α＝－12时,α＝120°，由余弦定理得:cos α＝cos 120°＝错误!＝－错误!，解得a ＝3或a ＝－2(不符合题意，舍去），则这个三角形周长为a ＋a ＋2＋a ＋4＝3a ＋6＝9＋6＝15．故选A ．6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若内角A ，B,C 依次成等差数列,且不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜a ＜x ＜c}，则S △ABC ＝（ )A ． 3B ．2错误!C ．3错误!D ．4错误!答案 B解析不等式－x 2＋6x －8＞0的解集为｛x ｜2＜x ＜4｝，由此可知a ＝2,c ＝4．又由A ，B ，C 依次成等差数列，知2B ＝A ＋C ，而A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝错误!．于是S △ABC ＝错误!ac sin B ＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．故选B ．7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，则4a 5－2a 3的值为( )A ．80B ．60C ．40D ．20答案 A解析 ∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝200，∴5a7＝200，a7＝40．又4a5＝2(a3＋a7)＝2a3＋2a7，∴4a5－2a3＝2a7＝80．故选A．8．已知S n和T n分别为数列｛a n｝与数列{b n｝的前n项和，且a1＝e4，S n＝e S n＋1－e5，a n＝e b n，则当T n取得最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6答案C解析由S n＝e S n＋1－e5，得S n－1＝e S n－e5(n≥2），两式相减，得a n＝e a n＋1（n≥2），易知a2＝e3，错误!＝错误!＝错误!，所以｛a n｝是首项为e4，公比为错误!的等比数列，所以a n＝e5－n．因为a n＝e b n,所以b n＝5－n．由错误!即错误!解得4≤n≤5,所以当n＝4或n＝5时，T n取得最大值．故选C．9．已知△ABC的周长为2，角A，B，C的对边分别为a,b，c,且满足错误!＝3c,则c等于（)A．错误!B．1 C．1或错误!D．错误!答案D解析由正弦定理得:错误!＝错误!＝3c，即3c2＝b＋a，又∵a＋b＋c＝2，∴3c2＋c＝2．解得c＝错误!．故选D．10．某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费用为9千元,这种生产设备的维护费用：第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，则这套生产设备最多使用________年报废最划算( )A．3 B．5 C．7 D．10答案D解析设使用x年，年平均费用为y万元，则y＝错误!＝错误!＝1＋x10＋错误!≥3，当且仅当x＝10时等号成立．故选D．11．设{a n｝是正数等差数列，｛b n}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则（）A．a n＋1〉b n＋1B．a n＋1≥b n＋1C．a n＋1<b n＋1D．a n＋1＝b n＋1答案B解析a n＋1＝错误!≥错误!＝错误!＝b n＋1．12．如图,一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C（)A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°;10错误!D．北偏东20°;10错误!答案B解析由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°,AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°．所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°．由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×－错误!＝300，所以AC＝10 3．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c,已知a＝3，b＝4,c＝6，则bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝________．答案61 2解析由余弦定理得bc cos A＋ca cos B＋ab cos C＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!．14．已知数列｛a n}是各项为正数，首项为1的等差数列，S n为其前n项和,若数列｛错误!｝也为等差数列，则错误!的最小值是________．答案错误!解析设数列{a n}的公差为d（d＞0），即有a n＝1＋（n－1)d，S n＝n＋错误!n(n－1)d，错误!＝错误!，由于数列{错误!｝也为等差数列,可得d＝2，即有a n＝2n－1，S n＝n2，则错误!＝错误!＝错误!错误!≥错误!·2错误!＝2错误!，当且仅当n＝2错误!取得等号，由于n为正整数,即有n＝2或3取得最小值．当n＝2时，取得3；n＝3时，取得错误!,故最小值为错误!．15．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下,最少要花费________元．答案500解析设购买35 kg的x袋，24 kg的y袋,则35x＋24y≥106，x∈N＊，y∈N*，共花费z＝140x＋120y．作出由35x＋24y≥106，x∈N*，y∈N＊对应的平面区域，再作出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点（1，3）处z最小,为500元．16．如果a〉b，给出下列不等式：①1a〈错误!；②a3>b3；③错误!〉错误!;④2ac2〉2bc2；⑤错误!>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b．其中一定成立的不等式的序号是________．答案②⑥解析①若a>0，b〈0，则错误!>错误!，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a〉b．∴a3〉b3，故②成立；③取a＝0，b＝－1,知③不成立；④当c＝0时,ac2＝bc2＝0，2ac2＝2bc2，故④不成立；⑤取a＝1，b＝－1,知⑤不成立;⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b）＝错误!［（a－b)2＋（a－1）2＋(b－1）2］〉0，∴a2＋b2＋1〉ab＋a＋b，故⑥成立．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知b cos2错误!＋a cos2错误!＝错误!c．(1）求证：a，c，b成等差数列；(2)若C＝π3，△ABC的面积为2错误!,求c．解(1)证明:由正弦定理得：sin B cos2A2＋sin A cos2错误!＝错误!sin C，即sin B·错误!＋sin A·错误!＝错误!sin C,∴sin B＋sin A＋sin B cos A＋cos B sin A＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin(A＋B)＝3sin C，∴sin B＋sin A＋sin C＝3sin C，∴sin B＋sin A＝2sin C，∴a＋b＝2c，∴a，c，b成等差数列．(2）S＝错误!ab sin C＝错误!ab＝2错误!，∴ab＝8，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝4c2－24．∴c2＝8，得c＝2错误!．18．（本小题满分12分)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，｛b n}是各项都是正数的等比数列．(1）若a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，求数列{a n}的通项公式；(2)若b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，求数列{b n｝的通项公式．解（1)由题意可设公差为d,则d≠0．由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列,得错误!＝错误!，解得d＝1或d＝0（舍去)．故数列｛a n｝的通项公式为a n＝1＋(n－1）×1＝n．(2）由题意可设公比为q，则q＞0．由b1＝1，且b2,错误!b3，2b1成等差数列，得b3＝b2＋2b1，∴q2＝2＋q，解得q＝2或q＝－1(舍去）．故数列｛b n｝的通项公式为b n＝1×2n－1＝2n－1．19．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2－bx＋1．(1)是否存在实数a,b使不等式f(x)〉0的解集是｛x|3<x<4},若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数,b＝a＋2，且函数f（x)在(－2,－1)上恰有一个零点,求a的值．解（1）∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是｛x｜3<x〈4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴错误!解得a＝错误!，b＝错误!．而当a＝错误!>0时,不等式ax2－bx＋1〉0的解集不可能是{x｜3<x〈4｝，故不存在实数a，b使不等式f（x)〉0的解集是｛x|3<x<4}．（2）∵b＝a＋2，∴f(x）＝ax2－(a＋2）x＋1．∵Δ＝（a＋2）2－4a＝a2＋4>0，∴函数f(x）＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个零点．又函数f(x）在(－2,－1）上恰有一个零点，∴f（－2)·f(－1）〈0，∴（6a＋5）(2a＋3）<0，解得－错误!<a〈－错误!．∵a∈Z，∴a＝－1．20．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c,已知2c－a ＝2b cos A．（1)求角B的大小；（2)若b＝2错误!，求a＋c的最大值．解（1)∵2c－a＝2b cos A,∴根据正弦定理，得2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＝π－C,可得sin C＝sin（A＋B）＝sin B cos A＋cos B sin A，∴代入上式，得2sin B cos A＝2sin B cos A＋2cos B sin A－sin A，化简得(2cos B－1)sin A＝0，∵A是三角形的内角，可得sin A＞0,∴2cos B－1＝0，解得cos B＝错误!，∵B∈(0，π)，∴B＝错误!．(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得12＝a2＋c2－ac．∴(a＋c)2－3ac＝12，∴12≥（a＋c）2－3错误!2,即（a＋c）2≤48(当且仅当a＝c＝2错误!时等号成立），∵a＋c>0，∴a＋c≤43，∴a＋c的最大值为43．21．（本小题满分12分）因发生交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一池塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在池塘中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放a（1≤a≤4，a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x）,其中f(x)＝错误!若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升）时,它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值．(精确到0．1，参考数据：错误!取1．4)解（1）因为a＝4，所以y＝错误!①当0≤x≤4时，由648－x－4≥4,解得x≥0，所以此时0≤x≤4．②当4＜x≤10时，由20－2x≥4,解得x≤8，所以此时4＜x≤8．综合得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达8天．（2）当6≤x≤10时，y＝2·错误!＋a错误!－1＝10－x＋错误!－a＝（14－x）＋错误!－a－4，由题意知,y≥4对于x∈[6，10］恒成立．因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4错误!∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4错误!时，y有最小值为8错误!－a－4，令8错误!－a－4≥4，解得24－162≤a≤4,所以a的最小值为24－16错误!．又24－16错误!≈1．6，所以a的最小值约为1．6．22．（本小题满分12分）已知f（x)＝错误!sin x·cos x＋cos2x，锐角△ABC的三个角A，B,C所对的边分别为a，b，c．(1）求函数f(x）的最小正周期和单调递增区间；(2）若f（C)＝1，求m＝a2＋b2＋c2ab的取值范围．解（1)f(x）＝错误!sin x·cos x＋cos2x＝错误!sin2x＋错误!cos2x＋错误!＝sin错误!＋错误!．∴函数f（x）的最小正周期T＝错误!＝π．由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!，解得kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!．∴函数f(x）的单调递增区间错误!,k∈Z，最小正周期为π．(2)由(1)可得,f(C)＝sin错误!＋错误!＝1，∴sin错误!＝错误!，2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：综合质量测评（一） Word版含解析∵△ABC是锐角三角形，∴错误!〈2C＋错误!<错误!,∴2C＋错误!＝错误!，即C＝错误!．由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得c2＝a2＋b2－ab,∴m＝错误!＝错误!－1＝2错误!－1．①∵△ABC为锐角三角形，∴错误!∴错误!＜A＜错误!．由正弦正理得错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!∈错误!．②由②式设t＝错误!,则t∈错误!,那么①式化简为m＝2错误!－1．由y＝t＋错误!≥2,t＝1时取等号．∴m≥3．根据对勾函数的性质可得错误!是单调递减，（1，2)是单调递增,∴m＜4，故得m＝错误!∈［3，4）．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：周周回馈练(五) Word版含解析

姓名，年级：时间：周周回馈练（五）一、选择题1．设集合A＝｛x｜（x－1）2＜3x＋7，x∈R｝，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7答案C解析解不等式(x－1)2＜3x＋7，然后求交集．由(x－1）2＜3x＋7，得－1＜x＜6，∴集合A为{x｜－1＜x＜6}，∴A∩Z的元素有0，1，2，3，4，5，共6个元素．2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )A．错误!＞错误! B．a＋错误!＞b＋错误!C．a＋错误!＞b＋错误! D．错误!＞错误!答案C解析解法一：由a＞b＞0⇒0＜错误!＜错误!⇒a＋错误!＞b＋错误!．故选C．解法二:(特值法)令a＝2，b＝1，排除A,D，再令a＝错误!，b＝错误!，排除B．3．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为( ）A．1 B．2C．0 D．0或1或2答案B解析因为a＜b＜c且a＋b＋c＝0，所以a＜0，c＞0,所以对方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac＞0,因此二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，故选B．4．若a＜b＜c，则错误!＋错误!的值为( )A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数答案A解析错误!＋错误!＝错误!＝错误!．∵a＜b＜c，∴c－b＞0,a－c＜0，a－b＜0,∴错误!＞0．5．已知不等式x22－x＜错误!的解集为(1,2）∪（k，＋∞），则实数k的取值范围为( ）A．［2，＋∞） B．(1,2)C．（1，2)∪(3,＋∞) D．（－∞，1）∪（2,＋∞）答案A解析由错误!＜错误!，得错误!＜0，即错误!＜0，等价于(x－1)(x－2）（x－k）＞0．又原不等式的解集为（1,2)∪(k，＋∞),所以k≥2．故选A．6．已知函数f(x）＝ln 错误!＋sin x，则关于a的不等式f（a－2）＋f（a2－4）＜0的解集是（）A．（3，2） B．(－3，2） C．(1，2） D．(3，错误!）答案A解析∵f(x)的定义域为（－1，1），函数y＝ln 错误!和y＝sin x均是奇函数,且在（－1，1)上都是单调递增的,∴f（x)也是奇函数且在（－1，1)上单调递增，∴f（－x）＝－f(x)，由f（a－2)＋f（a2－4）＜0，得f(a2－4)＜－f(a－2）＝f(2－a)⇔－1＜a2－4＜2－a＜1⇔错误!解得错误!＜a＜2,故选A．二、填空题7．设a≥0，若P＝a＋1＋错误!，Q＝错误!＋错误!,则P________Q(填“＞"“＜"或“＝"）．答案＜解析由题意，知P＞0,Q＞0，则P2－Q2＝(错误!＋错误!)2－(错误!＋错误!)2＝[2a＋6＋2错误!]－[2a＋6＋2错误!]＝2（错误!－错误!）＜0，所以P＜Q．8．若全集I＝R，f（x),g（x)均为x的二次函数，P＝｛x｜f(x)＜0}，Q＝{x|g （x)≥0}，则不等式组错误!的解集可用P,Q表示为________．答案P∩∁I Q解析因为g(x)≥0的解集为Q,所以g（x)＜0的解集为∁I Q，因此错误!的解集为P∩∁I Q．9．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM 上，点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝3，AD＝2．那么要使矩形花坛AMPN 的面积大于27，则DN的取值范围为________．答案(0，1）∪(4,＋∞)解析设DN为x(x＞0），则AN＝x＋2．由错误!＝错误!，得AM＝错误!，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝错误!．由S矩形AMPN＞27,得3x＋22x＞27．又x＞0，则x2－5x＋4＞0,解得0＜x＜1或x＞4，即DN的取值范围是(0，1）∪(4,＋∞）．三、解答题10．已知x2＋px＋q〈0的解集为错误!，若f（x)＝qx2＋px＋1．(1)求不等式f（x)〉0的解集；(2）若f(x)〈错误!恒成立，求a的取值范围．解(1）因为x2＋px＋q<0的解集为错误!〈x<错误!,所以－错误!,错误!是方程x2＋px ＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系得错误!解得错误!所以不等式f(x）>0,则qx2＋px＋1>0,即－错误!x2＋错误!x＋1>0，整理得x2－x－6〈0，解得－2<x<3,所以不等式f(x)〉0的解集为｛x｜－2〈x<3}．（2）依题意f(x)<错误!，则－错误!x2＋错误!x＋1<错误!,即x2－x＋a－6〉0恒成立，因为函数g(x）＝x2－x＋a－6的图象开口向上,所以Δ＝1－4(a－6)<0，解得a〉错误!．所以a的取值范围为错误!．11．已知关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于（－2，4）之间，求t的取值范围．解令f(x)＝x2－2tx＋t2－1．∵x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4）之间，∴错误!解得错误!∴－1＜t＜3，即t的取值范围为(－1,3）．12．一服装厂生产某种风衣，月销售x(件）与售价p(元/件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元）．（1）该厂的月产量为多大时，月获得的利润不少于1300元？（2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解（1）设该厂月获利为y，则y＝(160－2x)x－(500＋30x）＝－2x2＋130x－500，由题意y≥1300，∴20≤x≤45，∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1300元．(2)由(1）知y＝－2错误!2＋1612．5．∵x为正整数，∴当x＝32或33时，y取最大值为1612．。

人教A数学必修5_高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列

高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.582．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( )A ．49B ．42C ．35D ．285．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2017为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 009＋a 2 016＝( )A ．10B ．15C ．20D ．406．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份面包的个数为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．658．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1，3) D ．(2，3) 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.10110012．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝－a n ＋a m ＋m ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝( ) A ．2 017 B.12 017 C ．－2 017 D ．－12 017二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________． 15．已知等差数列的前三项依次是m ，6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________． 16．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N *)．(1)判断数列{c n }是否为等差数列，并说明理由；(2)如果a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，试求数列{a n }的公差d 及通项公式．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝8a 2n－n ＋1，求数列{b n }的通项公式．20．(本小题满分12分)设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1，0.(1)当a 为何值时，a 4＝0?(2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．参考答案与解析1．【解析】选B.因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，所以a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12. 2．【解析】选C.因为a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)．3．【解析】选B.由已知得a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2，即2a 1＋10d ＝a 21＋4a 1d ＋4d 2.又a 1＝2，所以4d 2－2d ＝0，所以2d (2d －1)＝0，所以d ＝0或d ＝12.又因为{a n }中各项都不相等，所以d ＝12.4．【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7×a 4＝7×6＝42.5．【解析】选B.由题意知a 1＋a 2 017＝a 2＋a 2 016＝2a 1 009＝10，解得a 1 009＝5，所以a 2＋a 1 009＋a 2 016＝3a 1 009＝15，故选B.6．【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎨⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．【解析】选C.因为a n ＝2n －1，b 1＝2，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b 2＝2b 1－1＝3，b 3＝2b 2－1＝5，b 4＝2b 3－1＝9，b 5＝2b 4－1＝17，b 6＝2b 5－1＝33.8．【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，所以a 1＝39，所以S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，所以当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C.9．【解析】选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.10．【解析】选D.由a n ＋1＞a n ，得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2，所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .11．【解析】选A.由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 12．【解析】选A.令m ＝1，得a n ＋1＝－a n ＋a 1＋1，即a n ＋1＝－a n ＋1＋1，于是a n ＋1＝2－a n ，因此a 2＝2－a 1＝1，a 3＝2－a 2＝1，a 4＝2－a 3＝1，…，即a n ＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2 017，故选A. 13．【解析】因为数列从第三项开始每一项都等于它前面两项的和．所以x ＝5＋8＝13. 【答案】1314．【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，每3项一循环，故a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3. 【答案】－ 315．【解析】由已知得12m ＝2m ＋10，所以m ＝1，故a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，所以d ＝5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋5(n －1)＝5n －4，所以a 10＝5×10－4＝46. 【答案】4616．【解析】log 2(2 a 1·2 a 2·…·2 a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（a 5＋a 6）2＝10×42＝20.【答案】2017．【解】(1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.(3)令199＝12n －1，解得n ＝50，故199是这个数列的第50项．18．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，则c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1) ＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，所以数列{c n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，两式相减得13d ＝－13，所以d ＝－1，因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，所以13a 13＝130，所以a 13＝10＝a 1＋12d ＝a 1－12，所以a 1＝22，所以a n ＝22＋(n －1)×(－1)＝23－n .19．【解】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝12＋n －12＝n2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(3)因为a n ＝2n，所以S n ＝8a 2n －n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋1＝2n 2－n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2×12－1＋1＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n 2－n ＋1－[2(n －1)2－(n －1)＋1]＝4n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝14n －3，n ≥2.20．【解】(1)依题意⎩⎨⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S13＝13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝n (12－2d )＋n （n －1）2d＝d 2⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2－ d 2⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫5－24d 2，因为d ＜0，所以⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小时，S n 最大．因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎫5－24d ＜132，所以当n ＝6时，⎣⎡⎦⎤n －12⎝⎛⎭⎫5－24d 2最小，S 6最大． 21．【解】(1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3， a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.22．【解】(1)法一：因为a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1，a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1.故当a ＝－23时，a 4＝0.法二：因为a 4＝0，所以1＋1a 3＝0，得a 3＝－1.因为a 3＝1＋1a 2，所以a 2＝－12.因为a 2＝1＋1a ，所以a ＝－23.故当a ＝－23时，a 4＝0.(2)证明：因为b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，所以b n ＝1b n ＋1＋1.a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n . 因为a 1＝a ＝b n ，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n ＝b n －1，所以a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…，所以a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1.所以a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．。

（完整）新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题

（完整）新课标⼈教A版⾼中数学必修五第⼀章《解三⾓形》单元测试题解三⾓形第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题5分，只有⼀个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23，则AC ＝( ) A ．43 B ．22 C ．3 D ．32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．⾮钝⾓三⾓形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三⾓形( )A ．⽆解B ．只有⼀解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个⼩岛相距10海⾥，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视⾓，从B 岛望C 岛和A岛成75ο视⾓，则B 、C 两岛的距离是（）海⾥A. 65B. 35C. 25D. 5 5.边长为3、7、8的三⾓形中，最⼤⾓与最⼩⾓之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，⼀测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的⼀点C ，测出AC 的距离为502m ，45ACB ∠=?，105CAB ∠=?后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200mB ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的⾯积等于( )A. 3 B．5 3C．6 3 D．7 39.在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin Bsin C的值为( )A.85B.58C.53D.3510.某海上缉私⼩分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°⽅向航⾏，进⾏海⾯巡逻，当⾏驶半⼩时到达B处时，发现北偏西45°⽅向有⼀艘船C，若C船位于A处北偏东30°⽅向上，则缉私艇B与船C的距离是( )A．5(6＋2) km B．5(6－2) kmC．10(6＋2) km D．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，⾯积为A ＝60°，则BC 的长等于( ) A ．5 B.6 C ．7D ．812.在ABC △中，⾓A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=?=，则（） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的⼤⼩关系不能确定第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题5分）：13.三⾓形的两边分别是5和3，它们夹⾓的余弦值是⽅程06752=--x x 的根，则此三⾓形的⾯积是。

高中数学单元综合测试卷第三章不等式 (人教A版必修5)

第三章不等式单元综合测试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．不等式x2≥2x的解集是()A．{x|x≥2} B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2} D．{x|x≤0或x≥2}解析：原不等式化为x2－2x≥0，则x≤0或x≥2.答案：D2．若a、b、c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.1a<1bB．a2>b2C.ac2＋1>bc2＋1D．a|c|>b|c|解析：根据不等式的性质，知C正确；若a>0>b，则1a>1b，A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确，所以选C.答案：C3．若a，b，c是不全相等的正数．给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与b<a及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确判断的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：D4．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是() A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)解析：当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x＋2y＋5>0.答案：A5．已知m，n∈R＋，且m＋n＝2，则mn有()A ．最大值1B ．最大值2C ．最小值1D ．最小值2 解析：∵m ，n ∈R ＋，∴mn ≤(m ＋n 2)2＝1.答案：A6．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B7．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2，其中正确的不等式是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析：由于1a <1b <0，则b <a <0，则③不正确；又a ＋b <0<ab ，则①正确；b 2－a 2＝(b ＋a )(b－a )>0，所以b 2>a 2，则|b |>|a |，所以②不正确；b a >0，a b >0，且b a ≠a b ，则b a ＋ab>2，所以④正确．答案：C8．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y 的最小值为( )A ．2B.32 C ．1＋223D ．3＋2 2解析：1x ＋1y ＝13(3x ＋3y )＝13(x ＋2y x ＋x ＋2y y )＝13(2y x ＋x y ＋3)≥13(22＋3)＝232＋1，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝32－3，y ＝3－322时取等号．答案：C9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是( )A ．0B ．1 C. 3D ．9解析：在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域，此区域是以O (0,0)，A (0,1)，B (－12，12)为顶点的三角形内部(含边界)．当x ＝y ＝0时，x ＋2y 取最小值0，所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：B10．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，则a －b 等于( )A ．10B ．14C ．－4D ．－10解析：∵2a ＝(－12)×13＝－16，∴a ＝－12.又－b a ＝－12＋13＝－16，∴b ＝－2，∴a －b ＝－10.答案：D11．某人要买房，调查数据显示：随着楼层的升高，上下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低，当住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：只需求不满意度n ＋8n 的最小值．由均值不等式得n ＋8n ≥42，当且仅当n ＝8n ，即n ＝22≈3时，n ＋8n取得最小值．答案：C12．设函数f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，若当0≤θ<π2时，f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－∞，1)解析：∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈R 是奇函数且是增函数，∴f (m sin θ)＋f (1－m )>0恒成立，即f (m sin θ)>f (m －1)，∴m sin θ>m －1，即m <11－sin θ.∵θ∈[0，π2)，∴11－sin θ≥1，∴m <1.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．不等式x －x 2>0的解集是________．解析：原不等式等价于x 2－x <0，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．解析：图1如下图1中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB . 可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4，AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2. 答案：8＋4 215．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．那么这种汽车使用________年时，它的平均费用最少．解析：设使用x 年平均费用最少，由年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车年维修费构成首项为0.2万元，公差为0.2万元的等差数列．因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x2x 万元，设汽车的年平均费用为y 万元，则有y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x2xx ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x 10≥1＋210x ·x 10＝3.当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时，y 取最小值．答案：1016．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：设y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2·2x ＝(2x －1)2－1.由于1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，由二次函数性质，知当2x＝2，即x ＝1时y 有最小值0，所以原不等式在区间[1,2]上恒成立，只要a ≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知a >0，试比较a 与1a的大小．解：a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a.因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a ；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a. 综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a ；当0<a <1时，a <1a.18．(本小题12分)已知a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c 解：方法1：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立．方法2：∵a 、b 、c 为不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立．19．(本小题12分)已知实数x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，求(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围．解：因为x ，a 1，a 2，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a 1＋a 2. 因为x ，b 1，b 2，y 成等比数列，所以xy ＝b 1b 2，且xy ≠0. 所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy＋2.当x 、y 同号时，x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≥2xyxy ＋2＝4；当x 、y 异号时，x 2＋y 2≥2|xy |，当且仅当|x |＝|y |时，等号成立，又xy ≠0，所以上式≤2|xy |xy＋2＝0.故(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．20．(本小题12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解：由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，所以A ＝{x |x <－4或x >2}；由6＋x －x 2>0，即x 2－x －6<0，得－2<x <3，所以B ＝{x |－2<x <3}．于是A ∩B ＝{x |2<x <3}．由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0，当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2<0即为x 2<0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a |1≤a ≤2}．21．(本小题12分)某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：图2设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝2x ＋3y .作出可行域，如右图2所示的阴影部分．目标函数z ＝2x ＋3y 即直线y ＝－23x ＋z 3，其斜率为－23，在y 轴上的截距为z3，且随z 变化的一族平行线．由图知，当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)，此时z min =2×5＋3×5＝25(m 2)，即两种金属板各取5张时，用料面积最省．图322．(本小题12分)如图3所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：设AN 的长为x 米(x >2)，由|DN ||AN |＝|DC ||AM ||AM |＝3x x －2，∴S 矩形AMPN =|AN |·|AM |＝3x 2x －2.(1)由S 矩形AMPN >32，得3x 2x －2>32，又x >2，则3x 2－32x ＋64>0，解得2<x <83或x >8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋∞)．(2)y ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12 ≥23(x －2)×12x －2＋12＝24，当且仅当3(x －2)＝12x －2，即x ＝4时，取等号，∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习及答案

A．[
答案： A 解析：只需
1 2
x
)
1 ] 4 7 D．(−∞, − ) 2
B．(−∞,
f (x) min ⩾ g(x) min 即可．
4. 三位同学合作学习，对问题"已知不等式 xy ⩽ ax2 + 2y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] 恒成立，求 a 的取值范围"提出了各自的解题思路．甲说："可视 x 为变量，y 为常量来分析"．乙说："寻找 x 与 y 的关系，再作分析"．丙说："把字母 a 单独放在一边，再作分析"．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 a 的取值范围是 ( A．[1, +∞)
1. 若关于 x 的方程 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0 有解，则实数 a 的取值范围是 ( A．(−∞, −8) C．[−8, +∞)
答案： B 解析：
)Hale Waihona Puke B．(−∞, −8]D．(−∞, +∞)
由 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0，得 a = −3 x −
答案： B 解析：
)
D．[−1, 6]
B．[−1, +∞)
C．[−1, 4)
y y y 2 − 2( ) ，由 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] ，x 、 y 构成正方形区域，表示过 x x x y y 原点直线与正方形区域相交时直线的斜率的取值范围，则有 ∈ [1, 3] ，当 = 1 时， x x y y 2 − 2( ) 有最大值为 −1，则 a 的取值范围是 [−1, +∞) x x

人教A版高中数学高二必修5检测周练卷五

周练卷五(时间:45分钟满分:100分)【选题明细表】知识点、方法题号不等式的性质及应用 1一元二次不等式及其解法2、3、4、8、11 分式不等式7恒成立问题 6三个“二次”的关系5、9、12不等式的实际应用10、13一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2014珠海高二期末)设a<b<0,则下列不等式中不成立的是( B )(A)> (B)>(C)|a|>-b (D)>解析:由a<b<0得-b>0,∴a-b>a,∴<,故选B.2.设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( A )(A)[1,2) (B)[1,2](C)(2,3] (D)[2,3]解析:易知M=(-3,2),∴M∩N=[1,2).故选A.3.设0<a<1,则关于x的不等式(x-a)(x-)>0的解集是( A )(A){x︱x<a或x>} (B){x|x>a}(C){x︱x>a或x<} (D){x︱x<}解析:∵0<a<1,∴a<,则其解集为{x︱x<a或x>},故选A.4.不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为图中的( B )解析:依题意知a<0,由根与系数的关系知=-2+1=-1,-=-2,∴a=-1,c=-2,∴f(x)=-x2-x+2,∴f(-x)=-x2+x+2,故选B.5.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c 应有( D )(A)f(5)<f(2)<f(-1) (B)f(2)<f(5)<f(-1)(C)f(-1)<f(2)<f(5) (D)f(2)<f(-1)<f(5)解析:由分析可知,-2和4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a>0,所以-2+4=-,-2×4=,即-=2,=-8.对于函数f(x)=ax2+bx+c,对称轴-=-×=1,再结合图象分析可知选D.6.若函数f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R,则a的取值范围为( D )(A)(1,+∞) (B)(-∞,1)(C)(0,1) (D)[0,1)解析:f(x)=lg(ax2+2ax+1)的定义域为R等价于对于任意的实数x恒有ax2+2ax+1>0成立.令g(x)=ax2+2ax+1,当a=0时,显然1>0成立.当a≠0时,要g(x)=ax2+2ax+1>0在x∈R上恒成立,只要即解得0<a<1.综上a∈[0,1).二、填空题(每小题6分,共24分)7.函数f(x)=的定义域为.解析:要使函数有意义,则有解得-4<x<-或x>1.答案:(-4,-)∪(1,+∞)8.(2014金乡一中高三月考)对于实数x,当n≤x<n+1(n∈Z)时,规定[x]=n,则不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集是.解析:令[x]=t,则4t2-36t+45<0.解得<t<,即<[x]<.∵[x]∈Z.∴2≤[x]≤7.又当n≤x<n+1(n∈Z)时,[x]=n.∴2≤x<8.答案:{x|2≤x<8}9.(2014烟台市高三期末考试)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式+c>bx的解集为.解析:依题意,-1和2都是方程ax2+bx+c=0的根,且a<0.因此,即于是,不等式+c>bx可化为-2a>-ax.∵a<0,∴-2<-x,即<0,当x=1时,不等式不成立;当x≠1时,得x<0.所以,所求不等式的解集为{x|x<0}.答案:{x|x<0}10.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就减少20个,为获得最大利润,售价应定为每个元.解析:设销售价为x元(x>90),利润为y元则y=(x-80)×[400-20(x-90)]=20(-x2+190x-8800).∴当x==95时利润最大.答案:95三、解答题(共40分)11.(本小题满分13分)解关于x的不等式:(x-1)(x+a)>0.解:由(x-1)(x+a)=0得,x=1或x=-a,当a<-1时,不等式的解为x>-a或x<1,当a=-1时,不等式的解为x≠1,当a>-1时,不等式的解为x<-a或x>1.综上,当a<-1时,不等式的解集为{x|x>-a或x<1};当a=-1时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠1};当a>-1时,不等式的解集为{x|x<-a或x>1}.12.(本小题满分13分)已知ax2+2x+c>0的解集为试求a、c的值,并解不等式-cx2+2x-a>0.解:由ax2+2x+c>0的解集为知a<0,且方程ax2+2x+c=0的两根为x1=-,x2=.由根与系数的关系得由此得a=-12,c=2.此时-cx2+2x-a>0,可化为x2-x-6<0.解得-2<x<3.所以所求不等式的解集为{x|-2<x<3}.13.(本小题满分14分)(2014福州高二期末)某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x(百台),其总成本为g(x)万元(总成本=固定成本+生产成本),并且销售收入r(x)满足r(x)=假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求:(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?解:依题意得g(x)=x+3,设利润函数为f(x),则f(x)=r(x)-g(x),所以f(x)=(1)要使工厂有盈利,则有f(x)>0,因为f(x)>0,所以或即或得或7<x<10.5,则3<x≤7或7<x<10.5,即3<x<10.5.所以要使工厂有盈利,产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内.(2)当3<x≤7时,f(x)=-0.5(x-6)2+4.5,故当x=6时,f(x)有最大值4.5.而当x>7时,f(x)<10.5-7=3.5.所以当工厂生产600台产品时,盈利最大.。

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式(含答案)

第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n 项公式A 级基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ，所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________．答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

（2）因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4，所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法描述：高次不等式的解法解一元高次不等式一般利用数轴穿根法（或称根轴法）求解，其步骤是：（1）将 f (x) 最高次项系数化为正数；（2）将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积；（3）求出各因式的零点，并在数轴上依次标出；（4）从最右端上方起，自右至左依次通过各根画曲线，遇到奇次重根要一次穿过，遇到偶次重根要穿而不过；（5）记数轴上方为正，下方为负，根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律，写出不等式的解集．例题：解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 ．解：不等式中各因式的实数根为 −2，−1，1 ，2 ．利用根轴法，如图所示．
2 )(x − a) ⩽ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 a > √2 时，原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}． a a 2 2 ② 当 > a ，即 0 < a < √2 时，原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = √2 时，原不等式的解集为 {x|x = √2 } ． a 2 （3）当 a < 0 时，原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 ． a 2 2 ① 当 < a ，即 −√2 < a < 0 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} ． a a 2 2 ② 当 > a ，即 a < −√2 时，原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }． a a 2 ③ 当 = a ，即 a = −√2 时，原不等式的解集为 R． a

【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题05 直线的倾斜角与斜率(学生版+解析版)

专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____．四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=，又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意；过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意；过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意；即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上，故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-，所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π）故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率当倾斜角为90︒时，斜率不存在故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确．故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴；也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时；也可能不经过任何象限，如坐标轴；所以一条直线可能经过0或2或3个象限．故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____．【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53；当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α，所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=，当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+，所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =，当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ，综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。

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高中同步测试卷(五)单元检测数列的概念及表示方法和等差数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B.12C.34D.582．在数列－1，0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项3．已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝a 23，则d ＝( ) A ．0B.12C ．2D ．0或124．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7＝( ) A ．49B ．42C ．35D ．285．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2017为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1009＋a 2016＝( )A ．10B ．15C ．20D ．406．把70个面包分五份给5个人，使每人所得的面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的16是较小的两份之和，则最小的一份面包的个数为( )A ．2B ．8C ．14D ．207．由1，3，5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n－1，则b 6的值是( ) A ．9B ．17C ．33D ．658．已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．219．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3（x ≤7），a x －6（x ＞7），数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3C ．(1，3)D ．(2，3)10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.10110012．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝－a n ＋a m ＋m ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝( )A ．2017B.12 017C ．－2017D ．－12 017二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x ＝________． 14．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________． 15．已知等差数列的前三项依次是m ，6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________．16．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a1·2a2·…·2a10)＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的一项？若是，应为第几项？18．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，c n ＝a 2n －a 2n ＋1(n ∈N *)． (1)判断数列{c n }是否为等差数列，并说明理由；(2)如果a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，试求数列{a n }的公差d 及通项公式．19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和S n ＝8a 2n－n ＋1，求数列{b n }的通项公式．20．(本小题满分12分)设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．21.(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a ＝1时，得到无穷数列：1，2，32，53，…；当a ＝－12时，得到有穷数列：－12，－1，0.(1)当a 为何值时，a 4＝0? (2)设数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，求证：a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．参考答案与解析1．【解析】选B.因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，所以a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.2．【解析】选C.因为a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 3．【解析】选B.由已知得a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2，即2a 1＋10d ＝a 21＋4a 1d ＋4d 2. 又a 1＝2，所以4d 2－2d ＝0，所以2d (2d －1)＝0，所以d ＝0或d ＝12.又因为{a n }中各项都不相等，所以d ＝12.4．【解析】选B.因为数列{a n }是等差数列，所以2a 6＝a 4＋a 8＝a 8＋6，所以a 4＝6，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7×a 4＝7×6＝42.5．【解析】选B.由题意知a 1＋a 2017＝a 2＋a 2016＝2a 1009＝10，解得a 1009＝5，所以a 2＋a 1009＋a 2016＝3a 1009＝15，故选B.6．【解析】选A.设等差数列为{a n }，首项为a 1，公差为d ＞0，则有⎩⎪⎨⎪⎧16（a 3＋a 4＋a 5）＝a 1＋a 2，5a 1＋5×42×d ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝6.7．【解析】选C.因为a n ＝2n －1，b 1＝2，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，所以b 2＝2b 1－1＝3，b 3＝2b 2－1＝5，b 4＝2b 3－1＝9，b 5＝2b 4－1＝17，b 6＝2b 5－1＝33.8．【解析】选C.由a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，两式相减得3d ＝－6，即d ＝－2.又a 1＋a 3＋a 5＝105，所以a 1＝39，所以S n ＝39n －n (n －1)＝－(n －20)2＋400，所以当n ＝20时，S n 有最大值400，故选C.9．【解析】选D.因为数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f （8）＞f （7）⇒2＜a ＜3.10．【解析】选D.由a n ＋1＞a n ，得(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2＞n 2＋kn ＋2，所以k ＞－(2n ＋1)．因为当n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，只要k ＞－3，则都有a n ＋1＞a n .11．【解析】选A.由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)＝n ，所以1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 12．【解析】选A.令m ＝1，得a n ＋1＝－a n ＋a 1＋1，即a n ＋1＝－a n ＋1＋1，于是a n ＋1＝2－a n ，因此a 2＝2－a 1＝1，a 3＝2－a 2＝1，a 4＝2－a 3＝1，…，即a n ＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2017，故选A.13．【解析】因为数列从第三项开始每一项都等于它前面两项的和．所以x ＝5＋8＝13. 【答案】1314．【解析】由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)知：a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，每3项一循环，故a 20＝a 6×3＋2＝a 2＝－ 3. 【答案】－ 315．【解析】由已知得12m ＝2m ＋10，所以m ＝1，故a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，所以d ＝5，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋5(n －1)＝5n －4，所以a 10＝5×10－4＝46. 【答案】4616．【解析】log 2(2a1·2a2·…·2a10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a10＝a 1＋a 2＋…＋a10＝10（a 1＋a 10）2＝10×（a 5＋a 6）2＝10×42＝20.【答案】2017．【解】(1)由已知可得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1. (3)令199＝12n －1，解得n ＝50，故199是这个数列的第50项．18．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，则c n ＋1－c n ＝(a 2n ＋1－a 2n ＋2)－(a 2n －a 2n ＋1)＝2a 2n ＋1－(a n ＋1－d )2－(a n ＋1＋d )2＝－2d 2，所以数列{c n }是以－2d 2为公差的等差数列．(2)因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，a 2＋a 4＋…＋a 26＝117，两式相减得13d ＝－13，所以d ＝－1，因为a 1＋a 3＋…＋a 25＝130，所以13a 13＝130，所以a 13＝10＝a 1＋12d ＝a 1－12，所以a 1＝22，所以a n ＝22＋(n －1)×(－1)＝23－n .19．【解】(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝12＋n －12＝n2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.(3)因为a n ＝2n，所以S n ＝8a 2n －n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22－n ＋1＝2n 2－n ＋1.当n ＝1时，b 1＝S 1＝2×12－1＋1＝2；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n 2－n ＋1－[2(n －1)2－(n －1)＋1]＝4n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝14n －3，n ≥2.20．【解】(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧S12＝12a 1＋12×112d ＞0，S13＝13a 1＋13×122d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③把③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，解得－247＜d ＜－3，即公差d 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)法一：由d ＜0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n ＞0且a n ＋1＜0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，可得a 6＞－a 7＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．法二：S n ＝na 1＋n （n －1）2d＝n (12－2d )＋n （n －1）2d＝d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－24d 2－d 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－24d 2，因为d ＜0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎪⎫5－24d 2最小时，S n 最大．因为－247＜d ＜－3，6＜12⎝⎛⎭⎪⎫5－24d ＜132，所以当n ＝6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎪⎫5－24d 2最小，S 6最大． 21．【解】(1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.22．【解】(1)法一：因为a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋1a 2＝2a ＋1a ＋1，a 4＝1＋1a 3＝3a ＋22a ＋1.故当a ＝－23时，a 4＝0.法二：因为a 4＝0，所以1＋1a 3＝0，得a 3＝－1.因为a 3＝1＋1a 2，所以a 2＝－12.因为a 2＝1＋1a ，所以a ＝－23.故当a ＝－23时，a 4＝0.(2)证明：因为b 1＝－1，b n ＋1＝1b n －1，所以b n ＝1b n ＋1＋1.a 取数列{b n }中的任一个数，不妨设a ＝b n .因为a 1＝a ＝b n ，所以a 2＝1＋1a 1＝1＋1b n＝b n －1，所以a 3＝1＋1a 2＝1＋1b n －1＝b n －2，…，所以a n ＝1＋1a n －1＝1＋1b 2＝b 1＝－1.所以a n ＋1＝0.故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }．。