解三角形应用举例

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时解三角形应用举例1. (必修5P11习题4改编)若海上有A、B、C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B、C间的距离是________海里．答案：5 6解析：由正弦定理，知BCsin60°＝ABsin（180°－60°－75°），解得BC＝56(海里)．2. (必修5P20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.答案：10 3解析：如图，OA为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝33×30＝103，由余弦定理，得MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．3. (必修5P18例1改编)如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C、D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则AB 的距离是__________ m.答案：20 6解析：由已知知△BDC为等腰直角三角形，故DB＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A、B、C、D四点共圆，所以∠BAD＝∠BCD＝45°；在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m.答案：10解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2＝h 2＋102－2h×10×cos120°，∴ h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．答案：mcos αcos β>nsin (α－β)解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝msin （α－β），解得BM ＝mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin （α－β）>n ，所以α与β满足mcos αcos β>nsin (α－β)时船没有触礁危险．1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等．(3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．[备课札记]题型1 测量距离问题例1 要测量河对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并且测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解：△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC＝30°，∴ AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴ BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos ∠ACB ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2·3·6＋22cos75°＝5，∴ AB ＝ 5 km.故A 、B 之间的距离为 5 km.变式训练 设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，求A 、B 两点的距离．解：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，得AB ＝AC·sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝50 2 m.故A 、B 两点的距离为50 2 m. 题型2 测量高度问题例2 某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m)如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？解：(1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝htan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) 由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H （H －h ）d≤h2H （H －h ），当且仅当d ＝H （H －h ）d ，即d ＝H （H －h ）＝125×（125－4）＝555时，上式取等号．所以当d ＝555时，tan (α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.备选变式（教师专享）如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB.解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s·sin βsin （α＋β）.在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝s·tan θsin βsin （α＋β）.题型3 测量角度问题例3 在海岸A 处，发现北偏西75°的方向，距离A 2海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏东45°方向，距离A (3－1)海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：由已知条件得，AB ＝2，AC ＝3－1，∠BAC ＝120°，∴ BC ＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝4＋4－23＋23－2＝ 6.在△ABC 中，AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，解得sin ∠ACB ＝22，∴ ∠ACB ＝45°， ∴ BC 为水平线，设经过时间t 小时后，缉私船追上走私船，则在△BCD 中， BD ＝10t ，CD ＝103t ，∠DBC ＝120°，sin ∠BCD ＝BDsin ∠CBDCD ＝10t ×32103t＝12，∴ ∠BCD ＝30°，∴ 缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船． 备选变式（教师专享）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．(1) 求渔船甲的速度； (2) 求sin α的值．解：(1) 依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20海里，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28海里．所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin120°.即sin α＝AB·sin120°BC ＝12×3228＝3314.1. 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是________．答案：钝角三角形解析：由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2＜c 2，cosC ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，所以三角形为钝角三角形．2. 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案：－24解析：设最小边为a ，则其他两边分别为2a ，2a.由余弦定理，得最大角的余弦值为cos α＝a 2＋（2a ）2－（2a ）22a ×（2a ）＝－24.3. (2013·上海一模)一人在海面某处测得某山顶C 的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进m m 后，测得山顶C 的仰角为90°－α，则该山的高度为________m ．(结果化简)答案：12mtan2α解析：由题意知∠CAB＝α，∠CDB ＝90°－α，∠CDA ＝90°＋α，且AD ＝m ，则∠ACD ＝90°－2α.由正弦定理得AD sin （90°－2α）＝AC sin （90°＋α），即m cos2α＝ACcos α，即AC ＝mcos αcos2α，所以山高BC ＝ACsin α＝msin αcos αcos2α＝12mtan2α.4. 已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC 的最大值为________．答案：2 2解析：AC BC ＋BC AC ＋AB 2BC ·AC ＝AC 2＋BC 2＋AB 2BC ·AC .又AC 2＋BC 2＝AB 2＋2AC·BC·cosC ， ∴ 原式＝2cosC ＋2AB 2BC ·AC ＝2cosC ＋4S △ABCBC ·AC＝2cosC ＋2BC·AC·sinCBC ·AC＝2cosC ＋2sinC＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4，∴ 当C ＝π4时，最大值为2 2.1. 某人在汽车站M 的北偏西20°的方向上的A 处(如图所示)，观察到C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶，公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 处的距离为31 km ，汽车前进20 km 后，到A 处的距离缩短了10 km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?解：设汽车前进20 km 后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21，由余弦定理，得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sinC ＝12331.所以sin ∠MAC ＝sin ()120°－C ＝sin120°cosC －cos120°sinC ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理，得MC ＝AC·sin ∠MACsin ∠AMC＝31×3536232＝35，从而有MB ＝MC －BC ＝15 km. 答：汽车还需行驶15 km ，才能到达汽车站M.2. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t·20·cos （90°－30°）＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300 . 故当t ＝13时，S min ＝10 3 海里，此时v ＝10313＝30 3 海里/时．即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． (2) 设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2.∵ 0＜v≤30，∴ 900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t≥23.又t ＝23时，v ＝30海里/时．故v ＝30海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．3. 如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°、B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ADB 中，由正弦定理得DBsin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，所以DB ＝AB·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝103海里．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD·BC·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30海里，则需要的时间t ＝3030＝1 h ．所以救援船到达D 点需要1 h.4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解：设∠AOB＝α，在△AOB 中，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα，于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋ S △ABC ＝12OA ·OBsin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cosα) ＝sinα－3cos α＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋534.因为0＜α＜π，所以当α－π3＝π2，α＝5π6，即∠AOB＝5π6时，四边形OACB面积最大．1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3) 应用题要注意作答．2. (1) 测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形中应用正、余弦定理．(3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．请使用课时训练(A)第8课时(见活页)．[备课札记]。