医学高等数学_总复习
医学高等数学总复习
随机变量及其分布随机变量源自概念理解随机变量的定义，掌握离散型随机 变量和连续型随机变量的概念。
连续型随机变量的概率密度
掌握均匀分布、指数分布、正态分布 等连续型随机变量的概率密度函数及
数字特征。
离散型随机变量的分布律
掌握0-1分布、二项分布、泊松分布 等离散型随机变量的分布律及数字特 征。
随机变量的函数的分布
03
函数图形的描绘
了解函数图形的描绘方法，会利用一阶、二阶导数判断函数的单调性、
极值、拐点和凹凸性等信息，从而描绘出函数的图形。
03 一元函数积分学
不定积分的概念与性质
不定积分的定义
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的 过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等。
01
通过牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，需要找到被积函数的原函
数。
定积分的近似计算
02
当被积函数难以找到原函数时，可以采用数值方法进行近似计
算，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
定积分的应用
03
定积分在几何学、物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求
曲线长度、求旋转体体积、求平均值等。
04 多元函数微积分学
药代动力学模型
通过建立数学模型，描述药物 在体内的吸收、分布、代谢和 排泄过程。
生物医学建模与仿真
利用高等数学方法建立生物医 学系统的数学模型，进行仿真
和预测。
函数、极限与连续
函数概念及性质
理解函数定义域、值域、对应法则等基本概念，掌握 函数性质如单调性、奇偶性、周期性等。
极限概念及性质
理解数列极限和函数极限的定义，掌握极限的性质和 运算法则。
医学考研知识点总结数学
医学考研知识点总结数学医学考研数学知识点主要包括数理统计、概率论、线性代数和高等数学等内容。
以下是关于医学考研数学知识点的总结。
一、数理统计1. 统计学的基本概念：总体、样本、频数、频率、概率、概率分布、随机变量等。
2. 描述统计：均值、中位数、众数、标准差、方差等常用的描述统计方法。
3. 参数估计：点估计和区间估计，最大似然估计等。
4. 假设检验：假设检验的基本步骤、t检验、F检验、卡方检验等。
5. 方差分析：单因素方差分析、双因素方差分析等。
6. 相关分析：Pearson相关系数、Spearman秩相关系数等。
7. 回归分析：线性回归、多元线性回归等。
二、概率论1. 概率论的基本概念：随机事件、样本空间、事件的概率等。
2. 随机变量及其分布：离散型随机变量、连续型随机变量、二项分布、正态分布等。
3. 多元随机变量：联合分布、边缘分布、条件分布等。
4. 大数定律和中心极限定理：切比雪夫不等式、辛钦定理、泊松极限定理等。
5. 随机过程：马尔可夫链、泊松过程等。
三、线性代数1. 线性代数的基本概念：向量、向量空间、矩阵、行列式等。
2. 线性方程组的解法：高斯消元法、克拉默法则等。
3. 矩阵的运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆等。
4. 特征值和特征向量：特征值分解、相似矩阵等。
5. 线性空间的基：线性相关和线性无关、基变换等。
四、高等数学1. 极限：函数的极限、数列的极限等。
2. 导数：导数的定义、求导法则、高阶导数等。
3. 微分方程：一阶常微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
4. 重积分：二重积分、三重积分、重积分的应用等。
5. 线性代数：曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式等。
以上就是医学考研数学知识点的总结，希望对考生有所帮助。
考生在备考过程中，可以根据以上内容制定学习计划，有针对性地提升数学水平，争取在考试中取得好成绩。
医科高等数学3.2.3
一.无穷区间上的反常积分 无穷区间上的反常积分
y=
1 1+ x2
1 dx =? ∫−∞ 1+ x2
+∞
义 函 f ) 连 , b 区 定 设 数 (x)在 间 [a, +∞ 上 续取 > a,如 果 限 极 lim ∫ f (x)dx存 ,就 此 限 函 f (x)在 穷 在 称 极 为 数 无
会计算反常积分improperintegralconvergencediverge设函数在区间上连续如果极限存在就称此极限为函数在无穷区间称反常积分存在或否则就称反常积分不存在或反常积分收敛发散ncelileibniznewton公式的记法
第二节 定积分 （Definite Integral）（三）
b a
= ∫a u′vdx + ∫a uv ′dx ,
b
b
b
∴
∫
a
udv = [uv ] − ∫ vdu.
b a a
b
例7.计算 ∫ ln( x + 1) dx.
1
e
例8 药物从患者的尿液中排出,一种典型的 r ( t ) = te − kt 其中k是常数.求 排泄速率函数是 , 在时间间隔 [0 , T ] 内,排出药物的量D
b→ +∞ a b
间 ) 的 常 分 proper integral),记 区 [a, +∞ 上 反 积 (im 作
∫
+∞
a
f (x)dx = lim ∫ f (x)dx （ 1 ）
b→ +∞ a +∞
b
称 常 分 并 反 积 ∫
a
f (x)dx存 或 敛convergence) 在 收 (
医科高等数学知识点16页word文档
1.极限存在条件A x f x f A x f x x ==⇔=+-→)()()(lim 0002. 法则1(夹逼法则) 若在同一极限过程中,三个函数)(1x f 、)(2x f 及)(x f 有如下关系:)()()(21x f x f x f ≤≤且A x f x f ==)(lim )(lim 21 则A x f =)(lim3.法则2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限4.无穷小定理0])(lim[)(lim =-⇔=A x f A x f 以~-A 为无穷小，则以A 为极限。
性质1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小 性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,,≠αβα且个无穷小是同一变化过程中的两)(,,0lim)1(αβαβαβo ==记作较高阶的无穷小是比就说如果 ;,,lim)2( 较高阶的无穷小是比或者说较低阶的无穷小是比就说如果βααβαβ∞= ;),0(lim)3(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C C C=1时，为等价无穷小。
无穷小阶的的是就说如果k k C C kαβαβ),0,0(lim )4( >≠= 6. 则有若,)(lim ,)(lim B x g A x f ==)0()(lim )(lim )()(lim)3()()(lim )]()(lim[)2()(lim )(lim )]()(lim[)1(≠==•=•=•±=±=±B BAx g x f x g x f B A x g x f x g x f B A x g x f x g x f推论 则为常数而存在若,,)(lim c x f )(lim )(lim x f c x cf =则为正整数而存在若,,)(lim n x f n n x f x f )]([lim )](lim [= 例题11lim 22--→x x x 11lim 22--→x x x 1lim 1lim lim 2222--=→→→x x x x x 31= 7. 为非负整数时有和所以当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 0110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当ΛΛ 8.例题)2(lim 2x x x x -+∞→求 )2(lim 2x x x x -+∞→xx x x x x x x ++++-+=∞→2)2)(2(lim222xx x x ++=∞→22lim21212lim2++=∞→xx =1 9.两个重要的极限例题nx mx x sin sin lim0→求 nx mx x sin sin lim 0→nx nx mx mx n m x sin sin lim 0⋅⋅=→ n m nx nx mx mx n m x x =⨯=→→sin lim sin lim 00x x x 1sin lim ∞→求 所以时则当令.0,,1→∞→=t x x t x x x 1sin lim ∞→1sin lim 0==→ttt例题x x x 3)21(lim -∞→求 xx x3)21(lim -∞→)3)(2(2])21[(lim x xxx x --∞→-=662])21[(lim ---∞→=-=e x xx 例题2 x x x x )11(lim -+∞→求 x x x x )11(lim -+∞→xx x )121(lim -+=∞→⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=-∞→)121(])121[(lim 221x x x x 221e e =•=解法2 x x x x x )11()11(lim -+=∞→211])11[(lim )11(lim e ee xx x x xx ==-+=---∞→∞→10.函数在一点连续的充分必要条件是;)()1(0处有定义在点x x f ;)(lim )2(0存在x f x x →).()(lim )3(00x f x f x x =→11..)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数x x f x x f ⇔12.满足下列三个条件之一的点0x 为函数)(x f 的间断点.;)()1(0没有定义在点x x f ;)(lim )2(0不存在x f x x →).()(lim ,)(lim )3(00x f x f x f x x x x ≠→→但存在跳跃间断点.)(),(lim )(lim ,,)(000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果x f x x f x f x x f x x x x +-→→≠可去间断点.)(,)(),()(lim ,)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果x f x x x f x f A x f x x f x x ≠=→跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为 左右极限都存在 第二类间断点 左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括 无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷） 震荡间断点（xx 1sinlim 0→） 13.例题.)1ln(lim 0xx x +→求 xx x 10)1ln(lim +=→原式e ln ==114.（最值定理）若函数)(x f y = 闭区间],[b a 上连续，则)(x f y =在闭区间],[b a 上必有最大值和最小值．（有界性定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理） 若函数)(x f y =闭区间],[b a 上连续，则对介于)(a f 和)(b f 之间的任何数C ，至少存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ 根的存在定理 两侧异号 至少有一根。
医学专题医用高数第一章函数及极限第三节函数的连续性
一、连续函数的概念(gàiniàn) 二、初等(chūděng)函数的连续 三性、闭区间(qū jiān)上连续函数的性 质
第一页，共二十六页。
如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学 范畴里，很多变量的变化都是连续不断的．函数(hánshù)的连续性 正是客观世界中事物连续变化现象的反映．
最小值．
1 [a,b], f (1) f (x)
2 [a,b], f (2 ) f (x)
a
1
2 b
推论（有界性定理） 若函数 y f (x)闭区间 [a, b] 上连续，则 y f (x) 在闭区间 [a, b] 上必有界．
第二十一页，共二十六页。
定理1-4（介值定理） 若函数 y f (闭x)区间 [a,上b连]
y
y f (x)
y
x
0
x0
x0 x x
第三页，共二十六页。
2．函数(hánshù)连续性的定义
定义1-9 设函数(hányshù) f (x)
果 x 0时,也有 y 0,即
在点x0
及其附近有定义,如
lim y
x0
lim[
x0
f
( x0
x0 )
f
(x0 )]
0
则称函数(hyánshù) f (x) 在点x0 处连续,称x0 为 f (x)的连续点.
第二十六页，共二十六页。
x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在;
x x0
(3) lim f ( x) f x x0
例1-29 讨论函数
( x0 ).
f (x)
x
sin
1 x
高等数学(同济六版)下册期末总复习
G
x − x0 y − y0 z − z0 = = m n p
⎧ x = x0 + mt ⎪ 2）参数式方程： ⎨ y = y0 + nt ； ⎪ z = z + pt 0 ⎩
Δ
( Δx ) 2 + ( Δy ) 2
⎧ x = x(t ) ⎪ a、 若曲线 Γ 的方程为参数方程： ⎨ y = y (t ) ，点 M ( x0 , y0 , z0 ) ∈ Γ ↔ t = t0 ，则 ⎪ z = z (t ) ⎩
切向量为 T = ( x′(t0 ), y′(t0 ), z ′(t0 )) ， 切线方程为
2） 求导法则：对 x 求偏导，暂时视 y 为常量；对 y 求偏导，暂时视 x 为常量 3） 复合函数的求导法则（链式法则） ：若 z = f (u , v ) 具有连续偏导数，而 u = g ( x, y ) 与 v = h( x, y ) 都具 有偏导数，则复合函数 z = f [ g ( x, y ), h ( x, y )] 的偏导数为：
by bz b G G ； a&b ⇔ x = = （对应坐标成比例） ax a y az
G G G G a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ；
G G a ⋅b G G n cos(a , b ) = G G ； | a || b |
G G G G n G b =| b | cos( a , b ) Prja
2） 方程组的情形： （隐函数求导法）
⎧ F ( x, y, z ) = 0 ⎩ z = z ( x ) dy dz 三元方程组确定两个一元隐函数： ⎨ ⇒ , ⎩G ( x, y, z ) = 0 对x求导 dx dx
第1章 医学高等数学
单调函数图像的特点是：
单调增加函数对应的曲线随自变量x 的逐渐增大而上升；单调减少函数对 应的曲线随自变量x逐渐增加而下降。
y f(x)
(D[a,b])
f (x1) f (x2)
x x 1
2
y
y f(x)
(D[a,b])
f (x1)
f (x2)
x1 x2
y
x2
二、奇偶性 设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任 意一点x(-x∈D),都满足f(x)=f(-x),则称 函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定 义域D内任意一点x，都满足f(x)=-f(x), 则称函数在D内是奇函数。
设函数y=f(u)和u=φ(x)，且u=φ(x)的值域全 部在y=f(x)的定义域内，则称y=f[φ(x)]是由 这两个函数经过中间变量u而构成x的复合函数， 其中x为自变量，简称函数y=f[φ(x)]是x的复 合函数。
例如,函数 u2 1x2, yarc2s1inx2, 可定义复
x D 合函数
[ [1,23] 23,1]yarcu,usi2nx2
x2
(4){ xn}{ (1 )n 1}
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取
2.数列是整数函数
x2
f ( x)
1 x
趋势不定
收 敛
发散
【定义5】 对于数列 ,如果当n无限增大时,数列 无
限接近某一个确定常数A,则称A为数列 的
极限,或称数列 收敛于A,记
为
,否则称数列发散。
limf(x)limf(x)A
xx0 xx0
再如，
g(x)12x ,(x)
yx 01,,((xx))
医用高等数学》考点归纳
医用高等数学》考点归纳医用高等数学》第1章介绍了函数与极限的基本概念。
其中，1.1节介绍了基本初等函数的图像和性质，而1.2节则重点讲解了极限的定义和四则运算。
该节还介绍了两种重要的极限形式，即sinx/x和(1+x)^(1/x)，以及无穷大与无穷小量的定义和基本性质。
最后，1.3节讲解了函数的连续性的定义和判定方法。
在第2章中，§2.1介绍了导数的概念。
导数的定义是指函数在某一点处的变化率，其计算方法是求函数在该点处的斜率。
该节还介绍了导数的几何意义和物理意义，以及导数的基本性质。
除了以上内容之外，本章还包括了§2.2导数的计算方法、§2.3高阶导数和§2.4微分的概念和计算方法等内容。
这些知识点对于医学专业的学生来说，具有重要的理论和实际意义。
因此，学生在研究本章内容时，应该认真对待，多做练，掌握好基本概念和计算方法。
如果在区间I上每一点都存在导数，那么我们称该函数在该区间上可导，导函数简称为导数，通常表示为y'、dy/dx或f'(x)。
判断函数在x点是否可导的方法是从导数定义出发，判断lim(Δy/Δx)是否存在，若存在，则可导；否则不可导。
函数y=f(x)在x点的导数值实际上就是曲线y=f(x)在x点处的切线斜率。
函数在某点可导和该点存在切线的关系为：可导必有切线，有切线未必可导。
函数连续与可导的关系为：函数在某点可导必连续，连续未必可导。
函数四则运算和基本初等函数的求导法则如下：u±v)'=u'±v'ku)'=ku'（k为常数）uv)'=u'v+v'u复合函数的求导法则为：设y=f(u),u=φ(x)，则(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。
隐函数求导法则的基本方法是等号两侧分别对x求导，且将y视为x的函数，利用复合函数求导法则求导。
对数求导法的基本方法是等式两侧分别取自然对数，化简后再求导。
《医用高等数学》考点归纳
《医用高等数学》主要知识点概要第1章 函数与极限§1.1 函数基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞=和0lim ()x x f x A →=2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =()lim ()im()lim ()f x f xg x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例122、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim1x xx→=，重点例题：教材第15页13-152) lim(10)e ∞+=型，两种基本形式：1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭和()10lim 1x x x e →+=重点例题：教材第16页，例16-173、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义2) 无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。
主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1xx x x x x x e +-以及：211cos ~2x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义2、 判定函数在0x 连续的方法：1)[]000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=2)0lim ()()x x f x f x →=基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。
医学高等数学_总复习
性质
性质
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
b
线性性
b
b
b
a [af (x) bg(x)]dx aa f (x)dx ba g (x)dx
[a, b] [a, c] [c, b]
可加性
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
b
b
f (x) g(x) a f (x)dx a g(x)dx
指数函数： y a x (a 0, a 1)
对数函数： y loga x (a 0, a 1)
三角函数： sin x , cos x , tan x , cot x 反三角函数： arcsin x , arccos x , arctan x
⒋了解复合函数、初等函数的概念， 会把一个复合函数分解成较简单的函数．
关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：
（1）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，
且分母不为0。 当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式（以消去
零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、或分子分母同时除以 xn（分子分母同
趋于无穷大时）等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。
______凑微分法
x (t )
f (x)dx f [(t)]d(t) f [(t)] (t)dt F[(t)] C
t 1 ( x )
F[ 1 (x)] C
______第二换元积分分法
高等数学1
四、分部积分法
u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) ______分部积分法
（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。 （5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
高等数学期末终极复习指南(复旦整理)
高等数学期末复习指南综述：以历年考题为导向，梳理高数复习脉络，总结各部分内容的方法技巧。
适用范围：高等数学期末考试的备考，包括文科高等数学。
基本内容极限与函数微分与导数一元函数积分学矩阵与线性方程组解析几何初步微分方程常用公式、技巧一、极限与函数基本概念：函数的定义域、值域，数列极限的概念、性质、运算法则、判定方法，无穷大量、无穷小量的比较，初等函数与其反函数，函数连续性备考重点：无穷小量与无穷大量，极限判定、运算法则，函数极限（尤其初等函数组合的极限）。
常见题型：对这章的直接考察，基本上是在试卷的头两道题。
方法与技巧1.熟练掌握初等函数的等价无穷大量、等价无穷小量2.熟练进行适当的变形i. 将sec(x) cot(x) 等化成 sin(x) cos(x) tan(x) 将三角函数的幂次利用降阶公式进行适当降阶对于二倍角、三倍角一般不必化简直接利用等价量进行代换 掌握三角函数和差化积ii. 考虑多项式的等价无穷大，一般只用看最高幂次考虑多项式的等价无穷小，只看最小幂次，有常数的看常数。
iii. 许多含1/x的函数，等价无穷小与等价无穷大是可以灵活转换的，如sin(1/x),e^(1/x)以x的幂次为自变量的函数，把幂次看做整体，如ln(1+x^2),sin(x^2)iv. 指数含有x的，利用对数函数把指数上的x拿下来，再利用指数函数连续性直接求指数的极限v. 对于根式，利用平方差公式寻找适当变形vi.熟练掌握与e指数定义有关的常见极限及其变形3.利用L’Hospital法则（洛必达法则）、求导公式：对于分式形式，0/0型常用洛必达法则上下同时求导，但注意前提是求导之后应有极限。
对于求导比较难算的根式、复合函数，建议先考虑其他方法。
使用洛必达法则之前，有时需要先适当变形，变成容易上下求导的形式。
对于分式形式，且已经化成了类似于求导的形式，可以变形之后利用导函数来求极限。
4.对于数列极限，还可以考虑夹逼法例如这个考题，解答如下大家注意如果把问题中的k换成k平方，就不一样了，需要用到积分的定义来理解。
医学高等数学考试知识点
《医用高等数学》考试知识点一、主要内容一元函数微积分学；空间解析䇠何；多䅃函数微积分学；无穷级数；常微分方程；二、考试基本要求1켎函数、极限与连续⑴ 理解函数的概念；会求函数的定义䟟、表达伏及函数值，了解分段函数的概念； ⑵ 理解和掌握函数的䥇偶性、䍕调性、周期性和有界性；⑶ 掌握基本初等函数的性质及䅶图形；⑷ 理解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的分解过程；了解初等䇽数的概念。
⑸ 理解极限的概念（包括,N εεδ--定义，但不做过高要求）；会求函数在一点的左、右极限；了解函数在一点极限存在的充要条件；⑹ 了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；⑺ 了解极限存在准则；掌握两个重要极限，并熟练运用重要极限求极限；⑻ 理解无穷小量的概念，了解无穷大量的概念，掌握无穷小量和无穷大量的关系和性质； ⑼ 理解函数在一点连续与间断的概念；会判断简单函数(包括分段函数)在一点的连续性，会求函数的间断点，并会判断其类型；⑽ 了解闭区间上连续函数的性质；2．导数与微分⑴ 理解导数的概念，了解导数的几何意义，会求分段函数的导数。
了解函数的连续与可导的关系，会求曲线上一点处的切线方程及法线方程；⑵ 熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则；⑶ 熟练掌握复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则；⑷ 掌握隐函数求导法、对数求导法；⑸ 理解高阶导数的概念，会求一些简单函数的n 阶导数；⑹ 理解微分的概念，了解可导与可微之间的关系；掌握微分的运算法则，会运用 此法则求函数的一阶微分；⑺ 了解罗尔（Roll ）定理、拉格朗日（Lagrange ）中值定理及其几何意义；⑻ 熟练掌握运用洛必达（L’Hospital ）法则求000,,0,,1,,00∞∞⋅∞∞-∞∞∞未定式极限的方法； ⑼ 会用导数判断函数的单调性，并证明简单的不等式；⑽ 理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值、最值的方法，并且会解简单的应用问题；⑾ 了解函数曲线的凸、凹性和拐点的概念，利用导数会判断曲线的凸凹性，会求曲线的拐点；⑿ 会求曲线的水平、垂直渐近线；3．不定积分⑴ 理解原函数与不定积分的概念及其关系。
总复习题(二) 高等数学答案详解
总复习题（二）一、填空题：1．设0000()()1lim()3x f x k x f x f x x ∆∆∆→+-'=，则k =（ 13 ）． 解：00000000()()()()11lim lim ()()33x x f x k x f x f x k x f x k kf x f x k x k x ∆∆∆∆∆∆→→+-+-''===⇒=2．曲线arctan y x x =+上平行于312y x =+的切线方程为（ 3(1)(1)42y x π-+=-或3(1)(1)42y x π++=+ ）．解：设切点为00(,)x y ，则切线斜率020131=12x x y x ='=++ 解得：0=1x ± 从而切点坐标为1,14π⎛⎫+⎪⎝⎭或1,14π⎛⎫---⎪⎝⎭故切线方程：31(1)42y x π⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即32102x y π--+= 或31(1)42y x π⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭，即32102x y π-+-= 3．设函数()f u 可导，且(e )xy f =，则d y =（ ()d x xf e e x '⋅ ）． 4．设233(1)(23)y x x x =-+，则(6)y=（ 246!⨯ ），(7)y =（ 0 ）．解析：这是一个6次多项式，对其求6阶导会等于一常数，即最高项系数乘最高项次数的阶乘 5．若函数1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处取得极值，则a =（ 2 ）．解：显然()f x 在R 上可导，若要使其在3x π=处取得极值，该点一定为驻点()c o s c o s3f x a xx '=+ 有()3f π'=coscos 023a a ππ+=⇒=二、选择题：1．()y f x =在点00(,())x f x 处切线存在是()y f x =在0x 处可导的（ B ）条件． A ．充分 B ．必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要注：由导数的几何意义，若可导，则其图形一定存在切线，且切线斜率即该点的导数； 但切线存在，可能是铅直的切线（垂直于x 轴），此时导数是不存在（导数为无穷大） 2．若(0)2f '=，则当0x →时，()(0)f x f -是关于x 的（ B ）． A ．等价无穷小 B ．同阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．低阶无穷小 解：00()(0)()(0)limlim (0)20x x f x f f x f f x x →→--'===-，故为同阶无穷小 3．函数()y f x =在点0x 的以下结论正确的是（ D ）． A ．若0()0f x '=，则0()f x 必是函数()f x 的极值 B ．若0()0f x ''=，则点00(,())x f x 必是曲线()y f x =的拐点C ．若0x x =是函数()f x 的极值点，则函数在该点一定可导，且0()0f x '=D ．若()y f x =在0x 处可微，则00lim ()()x x f x f x →=解析：A 错误，因为驻点不一定是极值点，如3y x =在0x =处B 错误，因为二阶导为零的点不一定是拐点，两边凹凸性可能一致，如4y x =在(0,0)处C 错误，因为极值点不一定是驻点，还可能是不可导的点D 正确，因为可微必可导，可导必连续，从而极限值等于函数值 三、计算下列导数或微分： 1．已知函数()f u 可导，且2d 11d f x x x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭． 解：2d 11d f x x x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23121f x x x⎛⎫⎛⎫'⇒⋅-=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221()2x f x '=-当x =112f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭注：2d 1d f x x ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦表示整个复合函数的导数2．已知函数2x y x =，求d y ．解：（对数求导）2x y x =，2ln ln y x x =，12ln y x x x y'=+，2d (2ln 1)d x y x x x x =⋅+ 或（指数求导）22ln x xxy xe == 2ln d d (2ln 1)d x xy y x ex x x '==⋅+四、设可导函数()y f x =由方程(1)e x y y x --=确定，求0()1limx f x x→-． 解：方程两边同时对x 求导： (1)1e[(1)()]x y y y x y -''-=⋅-+- 当0x =时，可解得1y =，从而0(0)1x f y =''==0()1()(0)limlim (0)10x x f x f x f f x x →→--'∴===-五、计算下列极限：1．0ln(23)ln 2lim x x x x→+-解： 002ln 23ln 3ln(23)ln 223lim lim 1x x x x x x x x x →→++-+=02ln 23ln 3ln 2ln 3ln 6lim 2322x x x x x →++===+ 2．0e e 1lim e 1x x xx x x →⎛⎫+- ⎪-⎝⎭ 解：原式22200e e e 1e e e 1lim lim (e 1)x x x x x x x x x x x x x x x →→+-++-+==-20e e 2e e e l i m2x x x x xx x x x x→+++-=03e e 3l i m 22x x x x →+== 六、证明不等式：当3x >时，33x x >．证明：原不等式等价于3ln3ln ln33ln (3)xx x x x >⇔>>令()ln33ln f x x x =-，则3()ln 30(3)f x x x'=->> 所以函数()f x 在[3,)+∞上单调递增故()(3)0f x f >=，即ln33ln (3)x x x >>，从而原不等式得证七、讨论函数ln xy x=的单调区间、极值、凹凸性与拐点． 解：定义域(0,)+∞21ln xy x-'=，令0y x e '=⇒= 当(0,)x e ∈时，0y '>，单调递增；当(,)x e ∈+∞时，0y '<，单调递减函数在x e =取得极大值1x e y e==2431(1ln )22ln 3x x x x x y x x-⋅---''==，令320y x e ''=⇒= 当32(0,)x e ∈时，0y ''<，图像是凸的；当32(,)x e ∈+∞时，0y ''>，图像是凹的曲线的拐点为33223(,)2e e -考研真题：*已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e 1y y x --=所确定．设(ln sin )z f y x =-，求d d x zx=，22d d x z x =．解：当0x =时，1y =方程1e1y y x --=两边同时对x 求导：1111e ee01ey y y y y x y y x ----'''--=⇒=-，代入后可得01x y ='= 方程11ee 0y y y x y --''--=两边同时对x 求导：11121()0y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----=，代入后可得02x y =''=0(ln sin )(cos )|0x dz y dzf y x x dx y dx =''∴=--⇒= 22222()(ln sin )(cos )(ln sin )(sin )d z y y y y f y x x f y x x dx y y ''''-'''=--+-+ 202|1x d zdx=⇒=。
医学数学高考基础知识点
医学数学高考基础知识点随着医学科学的进步以及人们对健康的日益关注，医学专业的考生人数也逐年增加。
对于准备报考医学专业的考生而言，数学作为高考的一门重要科目，也是医学专业的基础学科之一。
下面将为大家梳理医学数学高考基础知识点。
一、函数与方程医学数学中最常见的是各类函数与方程。
常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最基本的函数形式，其表达式为y=ax+b，其中a和b为常数。
二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
指数函数的表达式为y=a^x，其中a为常数。
对数函数的表达式为y=loga(x)，其中a为常数。
医学中，对数函数常见于生物学中的生长速度、药物代谢速度等方面。
方程是数学中经常遇到的问题。
一元一次方程形式为ax+b=0；一元二次方程形式为ax^2+bx+c=0；二元一次方程则是两个未知数的方程。
二、统计与概率医学中，常常需要对数据进行统计和分析，因此考生在高考数学中的统计知识也尤为重要。
统计中最基本的概念是均值、中位数和众数。
均值是指一组数据的所有数值之和再除以数据的个数。
中位数是指将一组数据按照大小排列后，位于中间位置的数值，当数据个数为奇数时，中位数即为中间的那个数；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均值。
众数是指一组数据中出现次数最多的数值。
在概率与统计中，还需要了解条件概率、独立事件和贝叶斯定理等概念。
条件概率是指在已发生某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
独立事件是指两个事件发生互不影响的情况下，它们的概率相乘的结果。
而贝叶斯定理是由英国数学家贝叶斯提出的基本定理，用于计算在某个条件下的概率。
三、微积分微积分是数学的重要分支，也是医学专业中常用的数学工具。
在医学中，微积分常用于描述变化速率、积分求和等方面。
微积分的基本内容包括导数和积分。
导数是函数变化率的度量，常用于描述曲线斜率、速度、加速度等。
积分是导数逆运算，常用于求解变化过程的总量。
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高等数学1
三、换元积分法
已知 则
f ( x)dx F ( x) C
______凑微分法
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d ( x) F [ ( x)] C
f ( x)dx f [ (t )]d (t ) f [ (t )] (t )dt F [ (t )] C
x
则
x2
1
e dt e
t2
t2 t x2
( x ) 2 xe
2
x4
微积分基本定理 设 f ( x) 在[a,b]上连续， F ( x) 是 f ( x) 的任一原函数，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) b a
牛顿---莱布尼茨公式
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n
sin x 1 1, lim(1 ) x e 要注意这两个公式自变量的 x x x
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变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：
1 lim x sin 1, lim(1 x) x e x x 0 x
1
（3）利用无穷小的性质计算： 无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、 积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。 （4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。
医学高等数学 期末复习
考试说明
本课程的考核形式为平时考核和期末考 试相结合的方式。考核成绩满分为100分， 60分为及格。其中平时考核成绩占考核成 绩的30%，期末考试成绩70%。期末考试 采用闭卷笔试形式。
考核内容和考核要求
考核内容：
一、函数极限与连续；二、一元函数；三微 分学、一元函数积分学三个部分。 包括函数极限与连续、导数与微分、导数的 应用、不定积分、定积分及其应用等方面的知 识．
高等数学期末考试
考试题型： 单选题10个（约30%）、 填空题4个（约20%），解 答题6个（约50%）。 考试时间：120分钟 命题原则： 不超过课堂练习和课后作业的难度，试题主要分布在 第二、三章，占80%以上。 考试形式： 闭卷
高等数学期末复习
内容复习
第一章：函数极限与连续
一、函数
⒈理解函数的概念；掌握函数
反三角函数： arcsin x , arccosx , arctanx ⒋了解复合函数、初等函数的概念， 会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数 y e
arctan 2 x
可以分解 y e
u
u arctan v
vw
1 2
w 2x
分解后的函数前三个都是基本初等函数， 而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积．
f ( x) 的极小值点。
极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。 ⒌了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。 若在区间 若在区间
(a , b) 上有
f ( x) 0，则 f ( x) 在区间 (a , b) 上是凹函数；
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
0
⒎熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以 几何问题为主。 求 f ( x) 在区间 [a , b] 上的最大值的方法是：找出 f ( x) 的所有驻点， 将所有这些点的函数值与两个端点的函数值 找出 f ( x) 的所有不可导点， 一起比较大小，最大者为最大值，相应的点为最大值点。 求最小值的方法类似。
换元积分法和分部积分法
1．换元积分法
x ( t ) [ , ] 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，且 [a, b]
x (t )
在 [ , ]
在区间 (a , b)上单调减少。
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⒋了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值 存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。
f ( x) 在点 x x0 满足 f ( x0 ) 0 ，那么
若 f ( x) 在点 x x0 的左右由正变负（或 f ( x0 ) 0 ），则点 x x0 是 f ( x) 的极大值点； 若 f ( x) 在点 x x0 的左右由负变正 （或 f ( x0 ) 0 ），则点 x x0 是
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第三章：一元函数积分学 一、不定积分
一、原函数与不定积分 已知函数 f ( x ) 在某区间上有定义， 如果存在函数 F ( x ) ， 使得在该区间上的任一点处， 都有关系式
F ( x) f ( x)或dF( x) f ( x)dx 成立，
则称函数 F ( x) 是函数 f ( x) 在该区间上的一个原函数。 设函数 F ( x) 是函数 f ( x) 的一个原函数， 则 (C为任意常数)， 记为： 称为
定积分的性质
性质
a b
性质
b a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
f ( x)dx f ( x)dx
b a
线性性
b a
[a, b] [a, c] [c, b]
[af ( x) bg( x)]dx a
b c a a c
f ( x)dx b g ( x)dx
可加性
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
x 2 f ( x) 0 x 2 x0 x0 x0
例2
讨论函数
在 x 0 处的连续性。
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1.导数
第二章：一元函数微分学 一、导数与微分
理解导数的概念； 了解导数的几何意义； 会求曲线的切线和法线； 会用定义计算简单函数的导数； 知道可导与连续的关系。
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（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
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2、函数连续
理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f ( x) 在 x0 的一个邻域内有定义；
② f ( x) 在 x0 处存在极限；③极限值等于 f ( x) 在 x0 处的函数值， 这三点缺一不可。 若函数 f ( x) 在 x0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的， 会求函数的间断 点。 了解函数在区间上连续的概念， 由函数在一点连续的定义， 会讨论分段函数的连续性。 知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数， 两个连续函数的复合仍为 连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。
y f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率
曲线
y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为
y f ( x0 )(x x0 ) f ( x0 )
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函数
y f ( x)
在
x0
点可导，则在
x0
点连续。反之函数 y f ( x) 在
⒋熟练掌握复合函数的求导法则。
( v 0)
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⒌掌握隐函数求导法，取对数求导法，反函数求导法。 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如
y
x 1
3
x2
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
ln y
两端求导得
1 1 ln( x 1) ln( x 2) 2 3
x0
点连续，在 x0 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。 ⒊熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(u v) du dv
d(u v) vdu udv
u vdu udv d( ) v v2
0 0
”、“
”型不定式的极限，以及简单的“
”、“0 ”型不定式的极限。
⒊掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。 若在区间 若在区间
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
f ( x) 在区间 (a , b) 上单调增加；
f ( x)
(a , b) 上有 f ( x) 0 ，则
⒊熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形．
基本初等函数指以下几种类型：
常数函数:
幂函数： 指数函数： 对数函数： 三角函数：
yc
y x
y ax
( 为实数)
(a 0 , a 1)
y loga x (a 0 , a 1)
sin x , cos x , tan x , cot x
f ( x)在点 x x0 处可导是指极限
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成
x x0
lim
f ( x) f ( x 0 ) x x0
f ( x) 在点 x x0 处的导数 f ( x0 ) 的几何意义是曲线
y 1 1 y 2( x 1) 3( x 2)
y x 8 2 x 2 6( x x 2) x 1
整理后便可得
3
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
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第二章：一元函数微分学 二、导数的应用
⒈了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式 ⒉掌握洛必塔法则，会用它求 “
f (x)
的全体原函数
F ( x) C
f ( x ) 的不定积分。
f ( x)dx F ( x) C