人教新课标版数学高一-必修2 单元质量评估(二)

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单元质量评估(二)

(第二章)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列叙述中,正确的是( )

A.四边形是平面图形

B.有三个公共点的两个平面重合

C.两两相交的三条直线必在同一个平面内

D.三角形必是平面图形

【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形;B中两个相交平面的交线上有无数个公共点;C中若三条直线有一个公共点,可得三条直线不一定在一个平面内,故A,B,C不正确,D正确.

2.(2015·台州高二检测)给出四个说法:

(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等;

(2)α,β为两个不同平面,直线a?α,直线b?α,且a∥β,b∥β,则α∥β;

(3)α,β为两个不同平面,直线m⊥α,m⊥β,则α∥β;

(4)α,β为两个不同平面,直线m∥α,m∥β,则α∥β.

其中正确的是( )

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)

【解析】选C.(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补,故错误.

(2)当α∥β,b∥β,不能判定α∥β,α,β还有可能相交,故错误.(3)正确;(4)直线m∥α,m∥β,不能判定α∥β,α,β还有可能相交,故错误.

3.(2015·邯郸高一检测)如图,在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面AC,且PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为( )

A. B. C. D.

【解析】选A.设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为α,则由等体积可得××a·a·h=×a·a·a,

所以h=a,又因为PB=a,所以sinα=.

【补偿训练】(2014·瑞安高二检测)如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1ACC1所成的角为( )

A. B. C. D.

【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接C1O,则∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角,BO=BC1,故∠BC1O=.

4.(2015·日照高一检测)已知平面α,β,直线l,m,且有l⊥α,m?β,则下列四个命题正确的个数为( )

①若α∥β,则l⊥m; ②若l∥m,则l∥β;

③若α⊥β,则l∥m; ④若l⊥m,则l⊥β.

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选A.正确的命题只有①,当α∥β时,由l⊥α可知,l⊥β,而m ?β,所以l⊥m,故①为真命题;对于②,当l∥m且m?β时,l有可能在平面β内,故②不正确;对于③,当l⊥α,m?β且α⊥β时,l与m可能平行,也可能相交,还有可能异面,故③不正确;对于④,当l⊥α,m?β且l⊥m 时,l与β可能平行,可能垂直,也可能既不平行也不垂直,故④错误;综上可知,选A.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论不正确的是( )

A.C1D1⊥B1C

B.BD1⊥AC

C.BD1∥B1C

D.∠ACB1=60°

【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C,B1C?平面B1C,

所以C1D1⊥B1C,

所以A选项正确;

由于AC⊥平面BDD1,

所以BD1⊥AC,B选项正确;

因为三角形AB1C为等边三角形,

所以∠ACB1=60°,即D选项正确.

由于BD1与B1C是异面直线,C错.

6.(2015·台州高二检测)如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,

①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM 与BN是异面直线,以上四个结论中,正确的是( )

A.①②③

B.②④

C.③④

D.②③④【解析】选C.由题可知,将正方体的平面展开图还原,①BM与

ED是异面直线,故错误;②CN与BE平行,故错误;③因为三角形BEM是等边三角形,BM与BE成60°角,又因为BE∥CN,所以

CN与BM成60°角,故正确;④从图中显然得到DM与BN是异

面直线,故正确.

7.(2015·厦门高二检测)已知l,m表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是( )

A.若l⊥α,m∥l,则m⊥α

B.若l⊥m,m?α,则l⊥α

C.若l∥α,m?α,则l∥m

D.若l∥α,m?α,则l⊥m

【解析】选A.对于A,若l⊥α,m∥l,则根据直线与平面垂直的性质定理知:m⊥α,故A正确;对于B,若l⊥m,m?α,则根据直线与平面垂直的判定定理知l⊥α不正确,故B不正确;对于C,因为l∥α,m?α,所以由直线与平面平行的性质定理知:l与m平行或异面,故C不正确;对于D,若l∥α,m∥α,则l与m平行或异面,故D不正确.

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )

A.AC⊥BE

B.EF∥平面ABCD

C.三棱锥A-BEF的体积为定值

D.△AEF的面积与△BEF的面积相等

【解析】选D.A.由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,此命题正确,不是正确选项;

B.EF∥平面ABCD,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,

故有EF∥平面ABCD,此命题正确,不是正确选项;

C.三棱锥A-BEF的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF 的面积是定值,A点到面DD1B1B的距离是定值,故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值,此命题正确,不是正确选项;

D.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确,故D是错误的.

9.(2015·吉林高一检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

【解析】选D.连接GB1,B1F,EG,

因为E,G分别是DD1,CC1的中点,

所以EG∥A1B1且EG=A1B1,

所以四边形A1B1GE为平行四边形,

所以A1E∥B1G,所以∠FGB1或其补角为异面直线A1E与GF所成的角. 由已知可得B1G=,FB1=,FG=,

所以B 1G2+FG2=F,

所以△FGB1为直角三角形且∠FGB1=90°.

即A1E与GF所成的角是90°.

10.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为,其余各棱长都为1,则二面角A-CD-B的余弦值为( )

A. B. C. D.

【解析】选C.因为AC=,其余各棱长均为1,故AB⊥BC,AD

⊥DC,取CD,AC的中点分别为E,F,连接EF,BF,BE,则EF∥AD,

所以EF⊥CD.且EF=AD=,BF=AC=,BE⊥CD,且BE=,所以∠

FEB为二面角A-CD-B的平面角,在△BEF中,BE2=BF2+EF2,所以

△BEF为直角三角形,所以cos∠FEB===.

11.如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′DE是△ADE绕边DE旋转过程中的一个图形.现给出下列命题:①恒有直线BC∥平面A′DE;②恒有直线DE⊥平面A′FG,③恒有平面A′FG ⊥平面A′DE.其中正确命题的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】选D.①根据BC∥DE知,恒有直线BC∥平面A′DE;②根据DE ⊥A′G,DE⊥FG知,恒有直线DE⊥平面A′FG;③根据直线DE⊥平面A′FG,DE?平面A′DE知,恒有平面A′FG⊥平面A′DE.

12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图,M,N分别为A1B,B1C1的中点.

下列结论中正确的个数有( )

①直线MN与A1C相交.

②MN⊥BC.

③MN∥平面ACC1A1.

④三棱锥N-A 1BC的体积为=a3.

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【解析】选B.由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角

形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E,连ME,NE,则ME

∥A1C,NE∥C1C,故平面MNE∥平面ACC1A1,故MN∥平面ACC1A1,所以直线MN与A1C相交错误,故③正确,①错误.因为

三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面,故BC⊥平面MNE,所以MN⊥BC,②正确.==×a××a×a=a3,故④正确.所以②③④正确.

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为.

【解题指南】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的

锐角

∠A1BC1,就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.

【解析】如图,连接BC 1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所

成的角,设AB=a,AA 1=2a,所以A1B=C1B=a,A1C1=a,∠

A1BC1的余弦值为.

答案:

14.(2015·泉州高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E 为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.

【解析】因为EF∥平面AB1C,EF?平面AC,平面AB1C∩平面AC=AC, 所以EF∥AC,又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,

所以EF=AC=.

答案:

15.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC ⊥平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列四个结论:

①△DBC是等边三角形;

②AC⊥BD;

③三棱锥D-ABC的体积是;

④AB与CD所成的角是60°.

其中正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)

【解析】取AC中点,连接DO,BO,

①根据题干图可知BD=DO=×=1,

再由BC=DC=1,可知△DBC是等边三角形;

②由AC⊥DO,AC⊥BO,可得AC⊥平面DOB,

从而有AC⊥BD;

③三棱锥D-ABC的体积=S△ABC·OD=××1×1×=;

④过O作OE∥AB,OF∥CD,则∠EOF(或补角)为所求角,在△OEF中可解得

∠EOF=120°,故AB与CD所成的角为60°.

答案:①②④

16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,点M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).

【解题指南】可以证明BD⊥PC,因此只需确定M的位置,使BM⊥PC 即可.(DM⊥PC也可).

【解析】因为四边形ABCD的边长相等,所以四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.

若PC⊥平面BMD,即PC垂直于平面BMD中两条相交直线,所以当BM⊥PC时,PC⊥平面BMD,所以平面PCD⊥平面BMD.

答案:BM⊥PC(其他合理即可)

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:

(1)D,B,E,F四点共面.

(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线.

【证明】(1)连接B1D1.因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点,所以EF∥B1D1,又因为B1D1∥BD,

所以EF∥BD,所以EF与BD共面,

所以E,F,B,D四点共面.

(2)因为AC∩BD=P,所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.

同理,Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF,

因为A1C∩平面DBFE=R,

所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF,

所以P,Q,R三点共线.

18.(12分)(2015·扬州高二检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.

(1)求证:OE∥平面BCC1B1.

(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.

【解析】(1)连接BC1,因为侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C

交于点O,所以O为AC1的中点,因为E是AB的中点,因为OE

∥BC1,因为OE?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.

(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C?平面A1BC,A1B?平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因为BC?平面A1BC,所以AC1⊥BC.

【补偿训练】(2015·淮安高二检测)如图,在等腰梯形ABEF中,AB∥EF,AB=2,AD=AF=1,AF⊥BF,O为AB的中点,矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直.

(1)求证:AF⊥平面CBF.

(2)在棱FC上是否存在点M,使得OM∥平面DAF?

【解题指南】(1)依题意CB⊥平面ABEF,故CB⊥AF,而AF⊥BF,由判定定理知AF⊥平面CBF;(2)取CF的中点M,BF的中点N,易得平面OMN∥平面ADF,从而OM∥平面DAF.

【解析】(1)平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,CB ⊥AB,CB?平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,AF?平面ABEF,所以CB ⊥AF,AF⊥BF,CB∩BF=B,CB,BF?平面CBF,所以AF⊥平面CBF. (2)存在.取CF的中点M.BF的中点N,连OM,ON,MN,则MN∥BC∥

AD,所以MN∥平面ADF,又因为ON∥AF,所以ON∥平面ADF,因为MN∩ON=N,所以平面OMN∥平面ADF,所以OM∥平面AFD. 19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

(1)求四面体ABCD的体积.

(2)证明:四边形EFGH是矩形.

【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD⊥平面BDC,确定四面体的高后再求其体积.

(2)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.

【解析】(1)由该四面体的三视图可知,

BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,

又BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.

所以四面体ABCD的体积

V=××2×2×1=.

(2)因为BC∥平面EFGH,

平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,

所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.

同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,

所以四边形EFGH是平行四边形.

又因为AD⊥平面BDC,

所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,

所以四边形EFGH是矩形.

20.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O,E分别为B1D,AB的中点.

(1)求证:OE∥平面BCC1B1.

(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.

【证明】(1)连接BC1,设BC1∩B1C=F,连接OF,

因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形

OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE?面BCC1B1,BF?面BCC1B1,所以OE∥面BCC1B1.

(2)因为DC⊥平面BCC 1B1,BC1?平面BCC1B1,所以BC1⊥DC,

又BC1⊥B1C,且DC,B1C?平面B1DC,DC∩B1C=C,所以BC1⊥平

面B1DC,而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE?平面B1DE,

所以平面B1DC⊥平面B1DE.

【延伸探究】(1)线线垂直的证明方法:

①定义:若两条直线的夹角为90°,则两条直线垂直.

②勾股定理逆定理:在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则∠A=90°,即AB ⊥AC.

③若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直这个平面里的所有直线.

④若直线垂直两平行直线中的一条,则也垂直另一条.

(2)线面垂直的证明方法:

①若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

②若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.

③若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则该直线也垂直于另一个平面.

④若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

(3)面面垂直的证明方法:

①定义:若二面角α-l-β的平面角为90°,则α⊥β.

②若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

21.(12分)(2015·北京高考)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面MOC.

(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.

(3)求三棱锥V-ABC的体积.

【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.

又因为OM?平面MOC,VB?平面MOC,

所以VB∥平面MOC.

(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OC⊥AB.

因为平面VAB⊥平面ABC,

交线AB,OC?平面ABC,

所以OC⊥平面VAB.

因为OC?平面MOC,

所以平面MOC⊥平面VAB.

(3)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,

因为AC⊥BC且AC=BC=,所以OC=1,AB=2.

因为△VAB为等边三角形,

所以S△VAB=×2×=.

V V-ABC=V C-VAB=××1=.

22.(12分)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=

∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.

(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论.

(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.

【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.

证明如下:

取AB的中点F,连接DP,PF,EF,

则FP∥AC,FP=AC,

取AC的中点M,连接EM,EC,

因为AE=AC且∠EAC=60°,

所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC.

所以四边形EMCD为矩形,

所以ED=MC=AC.

又因为ED∥AC,

所以ED∥FP且ED=FP,

所以四边形EFPD是平行四边形,所以DP∥EF,

而EF?平面EAB,DP?平面EAB,

所以DP∥平面EAB.

(2)过C作CG∥AB,过B作BG∥AC,CG∩BG=G,连接GD.

因为ED∥AC,所以ED∥BG,

所以B,E,D,G四点共面,

所以平面EBD与平面ABC相交于BG,

因为CD⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC,

所以CD⊥平面ABGC,

又因为BG?平面ABGC,

所以BG⊥CD,又BG⊥GC,CD∩GC=C,

所以BG⊥平面CDG,

所以BG⊥DG,

所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ,设AB=AC=AE=a,

则GC=AB=a,DC=EM=a,

所以GD==a,