算法初步、统计与概率》试题别解与感悟

《算法初步、统计与概率》试题别解与感悟1．（广东，理6，文7）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <解答途径：身高在160～180cm 的学生人数4567S A A A A =+++，判断框内需填写循环的终止条件，下标i 为循环变量，4为i 的初始值，7为i 的终止值，执行4次循环即可得到所需结果，因此终止条件为8i <．故选C ．解题感悟：本题主要考查条形统计图和算法的程序框图．由条形统计图确定算式是基础，弄清算法流程图的逻辑结构是解题关键，本题用当型循环结构来描述算法．图1图2身高/cm2．（山东，理10，文10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ）A ．2500，2500B ．2550，2550C ．2500，2550D ．2550，2500 解答途径：第1次循环后100,99S T ==； 第2次循环后，10098,9997S T =+=+； ……，第50次循环后，1009822550S =+++= ， 999712500T =+++= ．故选D ． 解题感悟：本题主要考查得算法流程图、等差数列求和等基础知识，以及数据处理能力、语言转换能力和算法 思想．本题采用直到型循环结构描述算法．解题关键在于弄清循环体的特征，特别是明确循环一次后n 的值就减少了2．本题算法的实质是等差数列求和．顺便指出，2007年海南、宁夏卷理5（文5）采用当型循环结构描述算法，与本题同源, 都是课本例题的变式题（参见人教A 版数学3第14页例6）.算法初步是新课程高考新增内容，算法思想是新课程强调的基本数学思想之一．3．（海南、宁夏，理11，文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．231s s s >>解答途径：先计算甲、乙、丙20次测试成绩的平均数：8.5x x x ===甲乙丙；又2222215(1.50.50.5 1.5)S 20+++＝,22222216 1.540.540.56 1.520S ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦, 22222314 1.560.560.54 1.520S ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦. 由于221.50.5>，所以222213S S S >>，213S S S >>．故选B ．解题感悟：本题主要考查平均数、标准差等基础知识及运算求解能力．上述解答，利用221.50.5>进行估算，简化了运算，节省了时间．4．（安徽，理10）以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于（ ） A ．()()μσμσ∅+-∅-B ．(1)(1)∅-∅-C ．1μσ-⎛⎫∅⎪⎝⎭D ．2()μσ∅+解答途径：()||()P P ξμσμσξμσ-<=-<<+ ()()P P ξμσξμσ=<+-<-()()μσμμσμφφσσ+---⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(1)(1)φφ=--，故选B ．解题感悟：本题主要考查正态分布的基础知识．解题思路是将一般正态分布化为标准正态分布．解题依据是：对任一正态总体2(,)N μσ来说，取值小于x 的概率()()x P x F x μξφσ-⎛⎫<== ⎪⎝⎭，其中()x φ表示标准正态总体(0,1)N 在区间(,)x -∞内取值的概率．上述公式将一般正态总体化为标准正态总体，蕴涵着化归与变换的思想方法．顺便指出，本题是课本例题的变式题（详见高中数学第三册（选修Ⅱ）第34页例1）．正态分布试题是近两年出现的高考题型（2006年湖北卷理19；2007年湖南卷，理5；2007年安徽卷，理10；2007年全国卷Ⅱ，理14；2007年浙江卷，理5），三种题型都有，应引起高度关注！ 5．（福建，理12）如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A ．37 B ．47 C ．114D ．1314解答途径：（1）设“3个数位于同一行”为事件A ，“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，但这3个数不位于同一列”为事件B ，“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，且与前2个数中的1个位于同一列”为事件C ．则()1339C 1C 28P A ==，()223339A C 3C 14P B ==，()22133239A C C 3C 7P C ==，故所求概率为()()()132214P A P B P C ++=．故选D ． （2）设“至少有两个数位于同行或同列”为事件D ，则D 表示“每行或每列只有一个数”，即()11132139C C C 1C 14P D ==，故()()13114P D P D =-=．故选D ． 解题感悟：本题主要考查排列、组合与概率的有关知识．解答途径（1）根据分类讨论的思想，将问题分为两类：第一类“3个数位于同一行（或列）”，第二类“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列）”，但第二类中又有两种情形，即“2个数位于同一行（或列），第3个数位于另一行（或列），但这3个数不位于同一列（或行）”和“2个数位于同一行，第3个数位于另一行，但与前2个数中1个位于同一列”，这种分类思想需要有慎密的逻辑思维能力，否则极易出错；解答途径（2）根据题中出现了“至少”的词语，因此利用间接法，从问题的反面思考，显得简洁．6．（湖北，理9）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56解答途径：（1）由cos 0θ∙=≥a ba b，得0m n -≥，当1m =时，1n =，当2m =时，1,2n =，当3m =时，1,2,3n =，…，当6m =时，1,2,3,4,5,6n =，故所求概率为12345673612+++++=．（2）由cos 0θ∙=≥a ba b，得0m n -≥，显然当0m n -=时有6种可能，根据对称性0m n ->与0m n -<的可能性相同，即各有15种可能，故所求概率为61573612+=． 解题感悟：本题主要考查古典概型，由于把投骰子问题与平面向量知识融为一体，使问题显得新颖．解答途径（1）采用列举的方法求解，思路自然;解答途径（2）采用对称的方法求解，思路别致．7．（浙江，理15）随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 ． 解答途径：（1）由a b c ，，成等差数列，13E ξ=，得1,2,1.3a b c a c b a c ⎧⎪++=⎪+=⎨⎪⎪-+=⎩解得16a =，13b =，12c =．则22211111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）求,,a b c 同（1），则()()2222221111510163239D E E ξξξ⎛⎫=-=-⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．（3）由a b c ，，成等差数列，得1,2.a b c a c b ++=⎧⎨+=⎩解得23a c +=，则()()2222221510139D E E a b c ξξξ⎛⎫=-=-⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．解题感悟：本题主要考查随机变量期望与方差的计算．解答途径（1）、（2）根据条件求出a b c ，，后，分别利用方差的定义与性质求解，解答途径（3）则利用方差的性质与整体思想求解，显示出解题的简捷性．8．（山东，理18）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． 别解途径：（Ⅰ）(),b c 的所有可能取值有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种．要使方程20x bx c ++=有实根，必须满足240b c ∆=-≥，符合条件的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共19种．因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为1936． （Ⅱ）ξ的取值为0，1，2．由（Ⅰ）知()1917013636P ξ==-=． 当1ξ=时，符合条件的有（2，1），（4，4），共2种，即()1118P ξ==，进而()191172361836P ξ==-=． 故ξ的分布列为ξ0 1 2P17361181736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）先后两次出现的点数中有5的可能结果有（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共11种，其中使方程20x bx c ++=有实根的结果有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7种．故在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率为711． 解题感悟：本题主要考查离散型随机变量的概率分布与期望，考查条件概率的计算．本题第（Ⅲ）问中关于条件概率的计算,标准答案中采用定义，别解途径根据古典概型计算公式，采用列举法直接求解． 9．（天津，理18）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．别解途径：第（Ⅰ）小题:（1）记甲盒内红球为①号，3个黑球依次为②，③，④号，乙盒内红球为⑤，⑥号，黑球依次为⑦，⑧，⑨，⑩号，则从甲盒内取出2个球的所有结果为①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中所取2个球均为黑球的概率为3162=；从乙盒内取出2个球的所有结果为⑤⑥，⑤⑦，⑤⑧，⑤⑨，⑤⑩，⑥⑦，⑥⑧，⑥⑨，⑥⑩，⑦⑧，⑦⑨，⑦⑩，⑧⑨，⑧⑩，⑨⑩，其中所取2个球均为黑球的概率为62155=． 故取出的4个球均为黑球的概率为121255⨯=． （2）记“从甲、乙两个盒内各任取2个球，至少有1个一球”为事件M ，“从甲盒内取2个球，1个黑球”为事件1A ，“从甲盒内取2个球，均为黑球”为事件2A ，“从乙盒内取2个球，1个红球，1个黑球”为事件1B ，“从乙盒内取2个球，均为红球”为事件2B ，“从乙盒内取2个球，均为黑球”为事件3B ，则11131241()2C C P A C ==， 232241()2C P A C ==，11241268()15C C P B C ==， 222261()15C P B C ==，243266()15C P B C ==．故132111221216818112()()2151515151515P M P A B A B A B A B A B ⎛⎫=++++=++++=⎪⎝⎭， 从而取出的4个球均为黑球的概率为1211155-=． （3）记“从甲盒中取2个球，1个红球，1个黑球”为事件A ，“从乙盒内取2个球，1个红球，1个黑球”为事件B ，“从乙盒内取2球均为红球”为事件C ，则()111324C C 1C 2P A ==，()112426C C 8C 15P B ==．()2226C 1C 15P C ==． 故取出的4个球均为黑球的概率为()()()1115P P A P B P C =---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 第（Ⅱ）小题：（1）由第（Ⅰ）小题别解途径（1）可知，从甲盒内取出2个球均为黑球的概率为3162=；从甲盒内所取2个球，1个红球，1个黑球的概率为3162=；从乙盒内取出2个球均为黑球的概率为62155=；从乙盒内所取2个球，1个红球，1个黑球的概率为815．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为121872521515⨯+⨯=． （2）由第（Ⅱ）小题别解途径（2）可知12118()(),()215P A P A P B ===，36()15P B =，故取出的4个球中有1个红球的概率为132116187()()21521515P P A B P A B =+=⨯+⨯=．第（Ⅲ）小题：ξ的取值为0,1，2,3．由（Ⅰ）、（Ⅱ）得17(0),(1)515P P ξξ====，由第（Ⅰ）问别解途径（2），可知1122112218113(2)()()()()()21521510P P A B A B P A P B P A P B ξ==+=+=⨯+⨯=，从而1(3)1(0)(1)(2)P P P P ξξξξ==-=-=-==．故ξ的分布列为 ∴76E ξ=． 解题感悟：本题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查分类思想、运算求解能力及运用概率知识解决实际问题的能力．第（Ⅰ）小题,别解途径（1）采用列举法求解，别解途径（2）、（3）先求对立事件的概率，将事件分解为互斥事件的和或相互独立事件的积是关键．就本问而言，标准答案更为简捷．第（Ⅱ）小题，别解途径（1）、（2）分别与第（Ⅰ）小题别解途径(1)、（2）一脉相承，关键在于将“取出的4个球中恰有1个红球”分为两类：一类是“从甲盒内取1个红球、1个黑球，从乙盒内取2个黑球”；另一类是“从甲盒内取2个黑球，从乙盒内取1个红球、1个黑球”．第（Ⅲ）小题，别解途径以第（Ⅰ）、（Ⅱ）小题别解途径（2）为基础，先求(2)P ξ=，再由分布列性质求(3)P ξ=．10．（海南、宁夏，理20）如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mS n，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目．（I ）求X 的均值EX ；（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)-0.03，内的概率． 附表：10000100000()0.250.75ktt t t P k C -==⨯⨯∑ 别解途径：（Ⅰ）记“向正方形ABCD 中随机投掷1个点，该点落入图形M 中”为事件A ．由几何概型求概率的公式得D CBA1()4M p P A ABCD ===图形的面积正方形的面积． 依题意，可知随机变量X 的分布列为：100001000013()44k kk P X k C-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,1,,10k = ．故1000010000100001344kkkk o EX kC -=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑19999(1)100001999911000013444k k k k C ----=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑99999999999913250044kkk k C-=⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑999913250044⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2500=．（Ⅱ）M 的面积的估计值与实际值之差为141110002500X Y X =⨯-=- 因为X 为随机变量，所以Y 也是随机变量． 由0.030.03Y -<<，得24252575X <<．所以(0.030.03)(24252575)P Y P X -<<=<<2574257424252426()()()k k k oP X k P X k P X k =======-=∑∑∑(2574)(2P P =-0.95700.0423=-=．解题感悟：本题主要考查几何概型、离散型随机变量的均值（数学期望）、二项分布等基础知识，以及用随机模拟方法近似估计不规则图形的面积．本题源于课标参考案例（可参见人教A 版数学3第145页例3），将几何概型与二项分布巧妙结合，新颖突俗．第（Ⅰ）问，标准答案直接运用二项分布的均值公式，简洁明快；别解途径暴露二项分布的均值公式的形成过程，用心良苦．11．（北京，理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．别解途径：（Ⅰ）略；（Ⅱ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数不相等包括三种情况：两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动；两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动；两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动．因此，从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数不相等的概率是1111111050104050402221001001005899C C C C C C C C C ++=， 故他们两人参加活动次数恰好相等的概率为4199． （Ⅲ）ξ的取值为0,1，2．由（Ⅰ）知41(0)99P ξ==． 由于“2ξ=”表示“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”，所以11104021008(2)99C C P C ξ===． 由分布列性质，得41850(1)1999999P ξ==--=． 故ξ的分布列为4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 解题感悟：本题主要考查统计图表、离散型随机变量的分布列和均值（数学期望）等基础知识，以及运算求解能力和分类讨论思想．本题求解的关键在于计算随机事件的概率．第（Ⅱ）问别解途径中概率的计算用到了对立事件概率的计算方法；第（Ⅲ）问别解途径中应用了分布列的性质，简化了运算过程．本题的标准答案，在概率计算时采用直接思路，别解途径采用间接思路． 12．（广东，理17，文18）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y bxa =+ ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）11 别解途径：第（Ⅰ）问，略第（Ⅱ）问，（1）公式法：直接代入线性回归方程的系数公式求出b、ˆa 的值． 由平均数计算公式得 4.5, 3.5x y ==，所以414222221()()( 1.5)(1)(0.5)(0.5)0.50.5 1.510.7( 1.5)(0.5)0.5 1.5()i ii ii x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===-+-++-∑∑ ˆa = 3.50.7 4.50.35y bx -=-⨯= ， 因此，所求的线性回归方程为0.70.35y x =+．（2）配方法，设所求的线性回归方程为y bx a =+，则2222(,)(2.53)(34)(45)(4.56)f a b b a b a b a b a =--+--+--+-- 配方得227971(,)4521020b f a b a b -⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当792b a -=，且0.7b =，即0.35,0.7a b ==时，(,)f a b 取最小值． 故所求线性回归方程为0.70.35y x =+．第（Ⅲ）问．由回归方程可预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗为0.71000.3570.35y =⨯+=（吨标准煤），故技改后降低的生产能耗为90－70.35＝19.65吨标准煤．解题感悟：本题主要考查平均数、线性回归方程等基础知识，以及统计思想方法、数据处理能力、运算求解能力和应用意识．第（Ⅱ）问是本题的核心，别解途径（1）能真实反映利用公式进行运算的过程，别解途径（2）反映了最小二乘法的本质——配方法求最小值．运用概率与统计知识解决实际问题是近年高考应用题的主要特征，但考查回归直线方程及其应用还是第一次，要引起关注．本题出乎意料，与2006年湖北卷解答题引起的震动相同，高考结束后，众说纷芸．这再一次警示我们：“考纲”要求的考查内容，都可能成为以能力立意命题的载体，考纲中“了解”内容也可能以解答题形式出现；高考复习要注意防止使一些高考常年未考的知识内容或较易被忽视的考点人为地变成“真空”或“半真空”地带！。