欧拉-麦克劳林求和公式
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有欧拉麦克劳林求和公式：
成立。
一方面，它可以给出当b 较大时级数和的渐进表达式，另一方面，可以用它来对积分进行估值。
Euler-Maclaurin 求和公式来自对积分反复应用分部积分法，并利用伯努利多项式的性质。 定义伯努利多项式为：
∑+∞
==−0!
)(1n n
n t
tx
t n x B e t e
任一阶伯努利多项式在x=0处的值记之为，称为伯努利数。
n B 除了n=1以外，有
n
n n B B B ==)0()1(
对于n=1，有：
2
1
)1()0(11−=−=B B
特别重要的是其微分递推关系： 由
∑+∞
==−0!
)(1n n
n t
tx
t n x B e t e
两边对x 求偏导数：
1
12
−=−∂∂t
tx t tx e t e e t e x
另一边有：
∑∑∞
+=∞+==∂∂0
0!)(!)(n n n n n n t n x B dx d
t n x B x
同时，由
∑+∞
==−0!
)(1n n
n t
tx
t n x B e t e
可知：
∑+∞
=+=−01
2
!
)(1n n n t
tx t n x B e t e
这样，我们就有：
∑∑∞
+=∞+=+=0
01!)(!)(n n n n n n t n x B dx d
t n x B
对比两边t 同次幂的系数相等，就有：
)()!1(1)(!11x B dx
d n x B n n n ++=
即：
)
(11)(1x B dx
d n x B n n ++=
有了以上结论，就可以导出Euler-Maclaurin 求和公式了。 考虑积分：
∫
1
)(dx
x f
对其应用分部积分法可得：
∫
∫∫
==1
110
01
)()()()()(dx
x B dx
d
x f dx x B x f dx x f ∫′−===1
11
01)()()()(dx
x B x f x B x f x x ∫′−+=101)()())1()0((2
1
dx
x B x f f f
继续应用此方法，注意到在n>1时都有关系：
n
n n B B B ==)0()1(
以及：
210n B +=
因此，便可得：
∑∫
=−−−−+≈n
f f B f f dx x f 1121221
))
0()1(()!2
(1))1()0((21
)(ννννν