中考试卷竞赛数学试题

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四川省资阳市2024届中考数学试卷(含答案)

四川省资阳市2024届中考数学试卷全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．3的相反数为（）A．﹣3B．﹣C．D．32．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．长方体B．棱锥C．圆锥D．球体4．6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A．5，4B．6，5C．6，7D．7，75．在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A．B．C．D．6．如图，，过点作于点．若，则的度数为（）A．B．C．D．7．一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．88．若，则整数m的值为（）A．2B．3C．4D．59．第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（）A．B．C．D．10．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．若，则．12．年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为．13．一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则．14．小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有分钟．15．如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为．16．在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是．三、解答题（本大题共8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：，其中．18．我国古诗词远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：(1)本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；(2)若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；(3)学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．19．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？20．如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求一次函数的解析式；(2)若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．21．如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．22．如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．(1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）23．（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．24．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．A2．D3．A4．C5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．212．13．14．515．16．17．；118．(1)400，见解析(2)800名(3)见解析，解析：（1）解：由图可得，（名），∴D等级的人数为：（名），补全条形统计图如下所示：故答案为：400；（2）解：（名），答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．19．(1)A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元(2)至少应购买B款纪念品30个解析：（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，，解得，答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，由题意得，，解得，，答：至少应购买B款纪念品30个．20．(1)(2)，直线上y随x的增大而增大解析：（1）解：把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴，把，代入：，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：设直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，联立得：，解得：（舍去），，∴，由图可知：直线上y随x的增大而增大．21．(1)见解析(2)解析：（1）证明：连接，如图，，，，，，，又，，，，是的切线；（2）解：如（1）图，，又，，，，的半径为6，，，，即，又点为线段的中点，，，，．22．(1)B，C两处的距离为16海里(2)渔政船的航行时间为小时解析：（1）解：过点A作于点E，∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．∴，∴，∵，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴B，C两处的距离为16海里．（2）解：过点D作于点F，设海里，∵，∴，由（1）可知，海里，∴海里，∵，∴，∴，解得：，∴海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），∴渔政船的航行时间为（小时），答：渔政船的航行时间为小时．23．（1）见解析；（2）；（3）解析：解：（1）∵，，∴，∴，∴；（2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示：则，∴，∵，∴，，∵为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；（3）连接，如图所示：∵四边形为菱形，∴，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，负值舍去，∴，∴，∵，∴为直角三角形，，∴，∴在中根据勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．24．(1)(2)(3)存在，或解析：（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，把，，代入函数解析式得：∴，解得：；∴；（2）∵，，∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，∴，设，则：，∴，，，∴，∴，∴当时，的最大值为；（3）存在：令，解得：，∴，∵，点为的中点，∴，∵，，∴，∴，设，则：，在中，由勾股定理，得：，∴，∴，，∵，，∴，∴，①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，设的解析式为：，则：，解得：，∴，联立，解得：（舍去）或，∴；②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，则：，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，过点作轴，则：，，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴，联立，解得：（舍去）或，∴；综上：或．。

2024年重庆市中考真题数学试卷(A卷)含答案解析

2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个数中，最小的数是（）A．2-B．0C．3D．1 2 -2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ． 6-D ．64．如图，AB CD ∥，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．135︒【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得3165∠=∠=︒，由邻补角性质得23180∠+∠=︒，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴3165∠=∠=︒，∵23180∠+∠=︒，∴2115∠=︒，故选：B ．5．若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】B【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即2214+⨯=第2种如图②有6个氢原子，即2226+⨯=第3种如图③有8个氢原子，即2238+⨯=⋯，∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：221022+⨯=；故选：B ．7．已知m =m 的范围是（）A ．23m <<B ．34m <<C ．45m <<D ．56m <<8．如图，在矩形ABCD 中，分别以点A 和C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ，则图中阴影部分的面积为（）A ．328π-B ．4π-C ．324π-D ．8π-根据题意可得2AC AD =∵矩形ABCD ，∴AD BC =在Rt ABC △中，AB =9．如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FGC E的值为（）AB C D 由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D Ð=°，DC AB ∥，DA =∴D H ∠=∠，10．已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得04n ≤≤，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ，∴04n ≤≤，当4n =时，则2104345a a a a a +++++=，∴41a =，23100a a a a ====，满足条件的整式有4x ，当3n =时，则210335a a a a ++++=，∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =，()1,1,0,0，()1,0,1,0，()1,0,0,1，满足条件的整式有：32x ，32x x +，3x x +，31x +，当2n =时，则21025a a a +++=，∴()()210,,3,0,0a a a =，()2,1,0，()2,0,1，()1,2,0，()1,0,2，()1,1,1，满足条件的整式有：23x ，22x x +，221x +，22x x +，22x +，21x x ++；当1n =时，则1015a a ++=，∴()()10,4,0a a =，()3,1，()1,3，()2,2，满足条件的整式有：4x ，31x +，3x +，22x +；当0n =时，005a +=，满足条件的整式有：5；∴满足条件的单项式有：4x ，32x ，23x ，4x ，5，故①符合题意；不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意；故选D二、填空题11．计算：011(3)(2π--+＝．12．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是．【答案】9【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B 的概率为．由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19，故答案为：19．14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =-（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．15．如图，在ABC 中，延长AC 至点D ，使CD CA =，过点D 作DE CB ∥，且DE DC =，连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠，1CF =，则BF = ．【答案】3【分析】先根据平行线分线段成比例证AF EF =，进而得22DE CD AC CF ====，4AD =，再证明CAB DEA ≌，得4BC AD ==，从而即可得解．16．若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．17．如图，以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点D 、E 均在O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与O 交于点G ，连接DG ．若10,8AB DE ==，则AF = ．DG = ．∵以AB 为直径的O 与AC ∴AB AC ⊥，∴90CAB ∠=︒，∵四边形ACDE 为平行四边形，∴∥D E A C ，8AC DE ==，18．我们规定：若一个正整数A 能写成2m n -，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A 为“方减数”，并把A 分解成2m n -的过程，称为“方减分解”．例如：因为26022523=-，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是．把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即2A m n =-，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），则满足条件的正整数A 为．三、解答题19．计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+．20．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b 众数a 79根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？【答案】(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．【分析】（1）根据表格及题意可直接进行求解；（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．【详解】（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，八年级竞赛成绩中A 组：2010%2⨯=（人），B 组：2020%4⨯=（人），21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且⊥．求证：四边形AECF是菱形．EF AC证明：∵四边形ABCD是矩形，．∴AB CD∠=∠．∴①，OCF OAE∵点O是AC的中点，∴②．∴CFO AEO≅△△（AAS）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【答案】(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠，进而证明()AAS CFO AEO ≌，得到OF OE =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．再由EF AC ⊥，即可证明四边形AECF 是菱形．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形．22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)需要更新设备费用为1330万元23．如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）（3）解：由函数图象可知，当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24．如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港． 1.41≈ 1.73≈，2.45≈）(1)求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．∴90AEB CEB ∠=∠=︒，由题意可知：45GAB ∠=︒，∴45BAE ∠=︒，∴cos 40cos AE AB BAE =∠=⨯∴tan 202tan CE BE EBC =∠=25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-，与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点（A 在B 的左侧），连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点，MN y ⊥轴，垂足为N ，点F 为线段BC 的中点，连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时，求AM MN NF ++的最小值；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D ，且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QDK ACB ∠∠=时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．∴()4,0A -，设直线AC 的解析式为y =代入()4,0A -，得04m =-解得1m =，∴直线AC 的解析式为y =()当0y =时，046x =--，解得32x =-，∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -，()0,4C ，∴OA OC =，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，∵DR x ∥轴，26．在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG 的值．∵EFD BAC ∠∠=，BAC ∠∴60EFD ∠=︒∵1EFD BAD ∠=∠+∠=∠∴160α∠=︒-，∵,AB AC EFD BAC =∠=∠∴=45ABC ∠︒，由轴对称知EAB ∠=∠试题31设BAD BAE β∠=∠=，∴90DAC GAF ∠=∠=︒∴GAE EAF GAF ∠=∠-∠∵GE GA =，。

2024年云南省中考真题数学试卷含答案解析

2024年云南省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作（）A ．100米B ．100-米C ．200米D ．200-米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．【详解】解：若向北运动100米记作100+米，则向南运动100米可记作100-米，故选：B ．2．某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（）A ．45.7810⨯B ．357.810⨯C ．257810⨯D ．578010⨯【答案】A【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：457800 5.7810=⨯，故选：A ．3．下列计算正确的是（）A ．33456x x x +=B ．635x x x ÷=C ．()327a a =D ．()333ab a b =【答案】D【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、积的乘方运算法则进行运算，并逐项判断即可．【详解】解：A 、33356x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项计算错误，不符合题意；C 、()326a a =，选项计算错误，不符合题意；D 、()333ab a b =，选项计算正确，符合题意；故选：D ．4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤5．某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（）A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．长方体【答案】D【分析】本题考查了几何体的三视图，熟悉各类几何体的三视图是解决本题的关键．根据长方体三视图的特点确定结果．【详解】解：根据三视图的特点：几何体的三视图都是长方形，确定该几何体为长方体．故选：D ．6．一个七边形的内角和等于（）A ．540︒B ．900︒C ．980︒D ．1080︒【答案】B【分析】本题考查多边形的内角和，根据n 边形的内角和为()2180n -⋅︒求解，即可解题．【详解】解：一个七边形的内角和等于()72180900-⨯︒=︒，故选：B ．7．甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数x 环）和方差2s 如下表所示：甲乙丙丁x9.99.58.28.52s 0.090.650.162.85根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，∴中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲，故选：A ．8．已知AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，若点F 到直线AB 的距离为3，则点F 到直线AC 的距离为（）A ．32B ．2C ．3D ．72【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形“三线合一”得到AF 平分BAC ∠，再角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：如图，∵AF 是等腰ABC 底边BC 上的高，∴AF 平分BAC ∠，∴点F 到直线AB ，AC 的距离相等，∵点F 到直线AB 的距离为3，∴点F 到直线AC 的距离为3．故选：C ．9．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为x ，利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本年⨯（1-平均下降率）2，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意可得()280160x -=，故选：B ．10．按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，第n 个代数式是（）A ．2nx B ．()1nn x-C ．1n nx +D ．()1nn x+【答案】D【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键．【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：2x ，23x ，34x ，45x ，56x ，L ，∴第n 个代数式是()1nn x +，11．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A ．爱B ．国C ．敬D ．业【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，）进行逐一判断即可．【详解】解：A 、图形不是轴对称图形，不符合题意；B 、图形不是轴对称图形，不符合题意；C 、图形不是轴对称图形，不符合题意；D 、图形是轴对称图形，符合题意；故选：D ．12．在Rt ABC △中，90B Ð=°，已知34AB BC ==，，则tan A 的值为（）A ．45B ．35C ．43D ．3413．如图，CD 是O 的直径，点A 、B 在O 上．若 AC BC=，36AOC ∠= ，则D ∠=（）A ．9B ．18C ．36oD ．4514．分解因式：39a a -=（）A ．()()33a a a -+B ．()29a a +C ．()()33a a -+D ．()29a a -【答案】A【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．将39a a -先提取公因式，再运用平方差公式分解即可．【详解】解：()()()329933a a a a a a a -=-=+-，故选：A ．15．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）A ．700π平方厘米B ．900π平方厘米C ．1200π平方厘米D ．1600π平方厘米【答案】C【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公二、填空题16．若关于x 的一元二次方程220x x c -+=无实数根，则c 的取值范围是．【答案】1c >/1c<【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4c ＜0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得Δ=（-2）2-4c ＜0，解得c ＞1．故答案为：c ＞1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．17．已知点()2,P n 在反比例函数10y x=的图象上，则n =．18．如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD=．19．某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有人．【答案】120【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用1000乘以12%即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有100012%120⨯=人，故答案为：120．三、解答题20．计算：12117sin3062-⎛⎫++---⎪⎝⎭．21．如图，在ABC 和AED △中，AB AE =，BAE CAD ∠=∠，AC AD =．求证：ABC AED ≌△△．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“SAS ”证明ABC AED ≌△△，即可解决问题．【详解】证明： BAE CAD ∠=∠，∴BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，在ABC 和AED △中，AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC AED ≌．22．某旅行社组织游客从A 地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C 型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度．【答案】D 型车的平均速度为100km /h【分析】本题考查分式方程的应用，设D 型车的平均速度为km /h x ，则C 型车的平均速度23．为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(),x y所有可能出现的结果总数；(2)求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P．24．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，且AB CD ∥，AD BC ∥，四边形EFGH 是矩形．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若矩形EFGH 的周长为22，四边形ABCD 的面积为10，求AB 的长． ∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 中，点E 、25．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）A型号35aB型号42b若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．(1)求a、b的值；(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的43，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．26．已知抛物线21y x bx =+-的对称轴是直线2x =．设m 是抛物线21y x bx =+-与x 轴交点的横坐标，记533109m M -=．(1)求b 的值；(2)比较M27．如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH 的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)90︒(2)见解析(3)CE EB CB +=，理由见解析∴点O在线段AD的中垂线上，=，∵CA CD∴点C在线段AD的中垂线上，⊥，∴OC AD。

2024年吉林省中考真题数学试卷含答案解析

2024年吉林省中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出3-与四个选项中的数的乘积即可得到答案．【详解】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A ．102.0410⨯B ．92.0410⨯C ．820.410⨯D ．100.20410⨯3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．主视图、左视图与俯视图都相同【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=5．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A ．()4,2--B ．()4,2-C ．()2,4D ．()4,2【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到42OA OC ==，，再由矩形的性质可得290AB OC ABC ===︒，∠，由旋转的性质可得42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，据此可得答案．【详解】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据BE AD ∥得到50D BEC ∠=∠=︒，再由四边形ABCD 内接于O 得到180ABC D ∠+∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题7．当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为．8．因式分解：a 2﹣3a=．【答案】a （a ﹣3）【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9．不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为．【答案】23x <</32x >>【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10．如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．【答案】两点之间，线段最短【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11．正六边形的每个内角等于°．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为 2m （结果保留π）．三、解答题15．先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中a =16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率17．如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，再由线段中点的定义得到OA OB =，据此可证明()AAS AOE BOC △≌△，进而可证明AE BC =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，可得方程()1688x x ++=，再解方程即可．【详解】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．19．图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：（1）如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；（2）如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线EF，则直线EF即为所求；，的中点；易证明四边形ABCD是矩形，且E、F分别为AB CD、，作直线GH，则直线GH即为所求；（2）解：如图所示，取格点G H⊥．易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE GH20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21．中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(1)20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数．(2)直接写出20192023(3)下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，②201920232020年全国居民人均可支配收入最低．【答案】(1)8485元(2)35128元(3)①【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）根据统计图的数据即可得到答案．【详解】（1）解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．（2）解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；（3）解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）在Rt GAD 中，45EAD ∠=∴873tan DG AG DG EAD===∠在Rt GAC △中，37EAC ∠=∴tan 873CG AG EAC =⋅∠=∴873654.75CD DG CG =-=-23．综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mm x 16.519.823.126.429.7凳面的宽度/mm y 115.5132148.5165181.5【分析数据】如图③，小组根据表中x ，y 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+(2)36mm【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）用待定系数法求解即可；（2）将213y =代入函数解析式，解方程即可．【详解】（1），解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；（2）解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．25．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．∵90C ∠=︒，30B ∠=∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=∴PAQ APQ =∠∠，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =∴QE QA =，即22AE AQ t ==∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP ==∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ ===∴12S QE PG =⋅=∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而CE AE AC =-∴tan CF CE =⋅∠∴1S CE CF =⋅∵30DAC ∠=︒DCA ∠=由上知3DC =，∴23AD =，∴此时323PD t =-26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．(1)直接写出k ，a ，b 的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．则10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．【详解】（1）解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；（2）解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y 当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y ∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程2ax +Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。

上海中考数学竞赛试题及答案

上海中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础1. 已知\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个实数根，求\( a^2 + b^2 \)的值。

2. 若\( x \)满足\( |x - 3| + |x - 5| = 4 \)，求\( x \)的取值范围。

试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，若AB=13，AC=5，求BC的长度。

2. 圆O的半径为10，点P在圆上，PA=8，PA与圆O的切线垂直，求点P到圆心O的距离。

试题三：函数与方程1. 已知函数\( y = 2x^2 - 3x + 1 \)，求该函数的顶点坐标。

2. 若\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。

试题四：概率与统计1. 一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。

2. 某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

随机选择2名学生，求选出的两名学生都是女生的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5本书，其中3本数学书，2本语文书，将它们排成一排，求数学书和语文书不相邻的排列方式有多少种。

2. 一个班级有10名学生，需要选出3名学生参加数学竞赛，求选出的3名学生中至少有1名男生的选法有多少种。

答案：试题一：1. 根据韦达定理，\( a + b = 5 \)，\( ab = 6 \)，因此\( a^2 +b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 25 - 12 = 13 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( x \)的取值范围是[3,5]。

试题二：1. 根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 \)。

2. 由于PA与圆O的切线垂直，根据切线性质，PA是切线，所以点P到圆心O的距离等于半径，即10。

试题三：1. 函数的顶点坐标为\( (-\frac{-3}{2 \times 2}, \frac{4ac -b^2}{4a}) = ( \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}) \)。

中考数学试题试卷及答案

中考数学试题试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是不等式2x-3>0的解集？A. x>1B. x<1C. x>3/2D. x<3/2答案：C2. 一个圆的半径为3cm，其面积是多少平方厘米？A. 28.26B. 18.84C. 9.42D. 15.7答案：B3. 如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数可能是？A. 0B. 1C. -1D. A和B答案：D4. 计算下列哪个表达式的结果为-1？A. (-2)^3B. (-2)^2C. (-1)^3D. (-1)^2答案：C5. 以下哪个函数的图像是一条直线？A. y = 2x + 3B. y = x^2C. y = √xD. y = 3/x答案：A6. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，那么它的周长是多少？A. 20cmB. 15cmC. 25cmD. 不能构成三角形答案：D7. 计算下列哪个表达式的结果是正数？A. (-3) × (-2)B. (-3) × 2C. 3 × (-2)D. (-3) × (-2) + 1答案：A8. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A9. 下列哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：A10. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第5项是多少？A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是_________。

答案：5cm12. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是_________或_________。

答案：5或-513. 一个正数的平方根是2，那么这个数是_________。

答案：414. 一个数除以-1/2等于乘以_________。

2024年广东省深圳市中考真题数学试卷含答案解析

2024年广东省深圳市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C ．2．如图，实数a ，b ，c ，d 在数轴上表示如下，则最小的实数为（）A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】A【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．【详解】解：由数轴知，0a b c d <<<<，则最小的实数为a ，故选：A ．3．下列运算正确的是（）A ．()523m m -=-B ．23m n m m n ⋅=C ．33mn m n-=D ．()2211m m -=-【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式．根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．【详解】解：A 、()6523m m m -=≠-，故该选项不符合题意；B 、23m n m m n ⋅=，故该选项符合题意；C 、33mn m n -≠，故该选项不符合题意；D 、()2221211m m m m -=-+≠-，故该选项不符合题意；故选：B ．4．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A ．12B ．112C ．16D ．145．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，则反射光线与平面镜夹角4∠的度数为（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，根据CD AB ⊥，56∠=∠，则1250∠=∠=︒，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．【详解】解：如图：∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角150∠=︒，∴CD AB ⊥，56∠=∠，∴152690∠+∠=∠+∠=︒，则1250∠=∠=︒，∵光线是平行的，即DE GF ，∴2450∠=∠=︒，故选：B ．6．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质解决问题的关键是掌握角平分线的判定定理．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，可证明AFM AEN ≌，有AMD AND ∠=∠，可得ME NF =，进一步证明MDE NDF △≌△，得DM DN =，继而可证明ADM ADN △≌△，得MAD NAD ∠=∠，得到AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD 平分BAC ∠；在图③中，利用作法得AE AF AM AN ==，，在AFM △和AEN △中，AE AF BAC BAC AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AFM AEN ≌，∴AMD AND ∠=∠，AM AE AN AF -=- ME NF∴=在MDE 和NDF 中AMD AND MDE NDF ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS MDE NDF ≌，∴DM DN =，∵,AD AD AM AN ==，∴()SSS ADM ADN ≌，∴MAD NAD ∠=∠，∴AD 是BAC ∠的平分线；在图②中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线．则①③可得出射线AD 平分BAC ∠．故选：B ．7．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x 间，房客y 人，则可列方程组为（）A ．()7791x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．()7791x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．()7791x y x y-=⎧⎨-=⎩D ．()7791x y x y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x 间，房客y 人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可．【详解】解：设该店有客房x 间，房客y 人；根据题意得：()7791x yx y +=⎧⎨-=⎩，故选：A ．8．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒，则电子厂AB 的高度为（）（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．22.7mB ．22.4mC ．21.2mD ．23.0m【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形，与俯角有关的解直角三角形，矩形的判定与性质，先证明四边形EFDG 、EFBM 、CDBN 是矩形，再设m GM x =，表示()5m EM x =+，然后在Rt tan AMAEM AEM EM∠=，，以及Rt tan AN ACN ACN CN ∠= ，，运用线段和差关系，即∵MEF EFB CDF ∠=∠=∠∴四边形EFDG 是矩形∵90MEF EFB B ∠=∠=∠=∴四边形EFBM 是矩形同理得四边形CDBN 是矩形故选：A二、填空题9．已知一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，则m =．【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将1x =代入原方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：关于x 的一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，1x ∴=满足一元二次方程230x x m -+=，130m ∴-+=，解得，2m =．故答案为：2．10．如图所示，四边形ABCD ，DEFG ，GHIJ 均为正方形，且10ABCD S =正方形，1GHIJ S =正方形，则正方形DEFG 的边长可以是．（写出一个答案即可）∴正方形DEFG 的边长GH DE CD <<，即13DE <≤，∴正方形DEFG 的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．11．如图，在矩形ABCD 中，BC =，O 为BC 中点，4OE AB ==，则扇形EOF 的面积为．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan 3AOC ∠=，且点A 落在反比例函数3y x =上，点B 落在反比例函数()0ky k x=≠上，则k =．【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得232A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，52OA =，再求得点()42B ，，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点A B 、作x 轴的垂线，垂足分别为D E 、，如图，∵4tan 3AOC ∠=，∴43AD OD =，∴设4AD a =，则3OD a =，∴点()34A a a ，，∵点A 在反比例函数3y x=上，∴343a a ⋅=，∴12a =（负值已舍），则点232A ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2AD =，32OD =，∴2252OA OD AD =+=，∵四边形AOCB 为菱形，13．如图，在ABC 中，AB BC =，tan 12B ∠=，D 为BC 上一点，且满足5BD CD =，过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ，则CEAC=．∵85BD DC =，AB BC =，设13AB BC x ==，∴85BD x DC x ==，，∵5tan 12B ∠=，AH CB ⊥，∴cos DM CD =⋅∵DE AD ⊥,CM ∴MC DE ∥，∴CE DM ==三、解答题14．计算：()1012cos 45 3.1414π-⎛⎫-⋅︒+-+ ⎪⎝⎭．15．先化简，再求值：221111a aa a-+⎛⎫-÷⎪，其中1a=+16．据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用”．小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预约人数：学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50，50学校B：(1)学校平均数众数中位数方差A①________4883.299B 48.4②________③________354.04(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的理由．【答案】(1)①48.3；②25；③47.5(2)小明爸爸应该预约学校A ，理由见解析【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可．【详解】（1）解：①()1283040454848484848505048.310++++++++++=；②数据中出现次数最多的是25，故众数为25；③数据排序后，排在中间两位的数据为45,50，故中位数为：()1455047.52+=；填表如下：学校平均数众数中位数方差A 48.34883.299B 48.42547.5354.04（2）小明爸爸应该预约学校A ，理由如下：学校A 的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的进行锻炼．17．背景【缤纷618，优惠送大家】今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．素材如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m ，每增加一辆购物车，车身增加0.2m ．问题解决任务1若某商场采购了n 辆购物车，求车身总长L 与购物车辆数n 的表达式；任务2若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m ，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？任务3若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？18．如图，在ABD △中，AB BD =，O 为ABD △的外接圆，BE 为O 的切线，AC 为O 的直径，连接DC 并延长交BE 于点E ．(1)求证：DE BE ⊥；(2)若56AB =5BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)35【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，易证BO 垂直平分AD ，圆周角定理，切线的性质，推出四边形BHDE 为矩形，即可得证；（2）由（1）可知5DH BE ==，勾股定理求出BH 的长，设O 的半径为r ，在Rt AOH △中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：连接BO 并延长，交AD 于点H ，连接OD ，∵AB BD =，OA OD =，∴BO 垂直平分AD ，∴BH AD ⊥，AH DH =，∵BE 为O 的切线，∴HB BE ⊥，∵AC 为O 的直径，∴90ADC ∠=︒，19．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x ，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD 的读数为x ，CD 读数为y ，抛物线的顶点为C ．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y 01 2.254 6.259（Ⅱ）描点：请将表格中的(),x y 描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y 与x 的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线()2y a x h k =-+的顶点为C ，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB ，竖直跨度为CD ，且AB m =，CD n =，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数()2y a x h k =-+平移，使得顶点C 与原点O 重合，此时抛物线解析式为2y ax =．①此时点B '的坐标为________；②将点B '坐标代入2y ax =中，解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）方案二：设C 点坐标为(),h k ①此时点B 的坐标为________；②将点B 坐标代入()2y a x h k =-+中解得=a ________；（用含m ，n 的式子表示）(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy 中有A ，B 两点，4AB =，且AB x ∥轴，二次函数()211:2C y x h k =++和()222:C y a x h b =++都经过A ，B 两点，且1C 和2C 的顶点P ，Q 距线段AB 的距离之和为10，若AB x ∥轴且4AB =，求a 的值．观察图象知，函数为二次函数，20．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．(1)如图1所示，四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，AF =2CE =，则AE =________；AB =________；(2)如图2，若四边形ABCD 为“垂中平行四边形”，且AB BD =，猜想AF 与CD 的关系，并说明理由；(3)①如图3所示，在ABC 中，5BE =，212CE AE ==，BE AC ⊥交AC 于点E ，请画出以BC 为边的垂中平行四边形，要求：点A 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；②若ABC 关于直线AC 对称得到AB C 'V ，连接CB '，作射线CB '交①中所画平行四边形的边于点P ，连接PE，请直接写出PE的值．第二种情况：作ABC ∠的平分线，取CH CB =线BA 上取AF AB =，连接DF 故A 为BF 的中点；第三种情况：作AD BC ∥，交BE 的延长线于点在DA 延长线上取点F ，使则A 为DF 的中点，同理可证明12AD BC =，从而②若按照图1作图，∠=∠，由题意可知，ACB ACP四边形ABCD是平行四边形，ACB PAC∴∠=∠，∴∠=∠，PAC PCA延长CA 、DF 交于点G ，同理可得：PGC 是等腰三角形，连接PA ，GF BC ∥ ，故答案为：3414PE =或3412．【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的。

2024年山东省烟台市中考真题数学试卷含答案解析

2024年山东省烟台市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中的无理数是（）A ．23B ．3.14C D2．下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ． 12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．3．下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A 、取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A 符合题意；B 、取走②时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B 不符合题意；C 、取走③时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C 不符合题意；D 、取走④时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D 不符合题意；故选：A ．4．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A ．3b c +>B ．0a c -<C ．a c >D ．22a b-<-【答案】B5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是4A 纸厚度的六分之一，已知1毫米1=百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A ．30.1510⨯纳米B ．.41510⨯纳米C ．51510-⨯纳米D ．61.510-⨯纳米6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为2S 甲和2S 乙，则2S 甲和2S 乙的大小关系是（）A ．22S S >甲乙B ．22S S <甲乙C ．22S S =甲乙D ．无法确定【答案】A 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴22S S >甲乙；故选A ．7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP 为AOB ∠的平分线的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP 为AOB ∠的平分线；第二个图，由作图可知：,OC OD OA OB ==，∴AC BD =，∵AOD BOC ∠=∠，∴AOD BOC ≌△△，∴OAD OBC ∠=∠，∵AC BD =，BPD APC ∠=∠，∴BPD APC ≌，∴AP BP =，∵,OA OB OP OP ==，∴AOP BOP ≌△△，∴AOP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第三个图，由作图可知,ACP AOB OC CP ∠=∠=，∴CP BO ∥，COP CPO ∠=∠，∴CPO BOPÐ=Ð∴COP BOP ∠=∠，∴OP 为AOB ∠的平分线；第四个图，由作图可知：OP CD ⊥，OC OD =，∴OP 为AOB ∠的平分线；故选D ．8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α∴OD OC =，ODC ∠=∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OD ∴EOF DOC ∽△△，9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺故选：C ．10．如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．∵菱形EFGH ，60E ∠=︒，依题意，MNG 为等边三角形，运动时间为t ，则cos30NG =∴1sin 60S NG NG =⨯⨯⨯︒依题意，6EM EG t t =-=-，则EK ∴()211236223EKJ S EJ EM t =⋅=⨯- ∴EKJS S S =- 菱形当1114x <≤时，同理可得，3综上所述，当03x ≤≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当开口向下的一段抛物线，当68x <≤时，函数图象为一条线段，当开口向下的一段抛物线，当1114x <≤时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D ．二、填空题11x 的取值范围为．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．12．关于x 的不等式12x m x -≤-有正数解，m 的值可以是（写出一个即可）．13．若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF 中，以点F 为圆心，以FB 的长为半径作 BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．设圆锥的底面圆的半径为∴3r =；故答案为：3．15．如图，在ABCD Y 中，120C ∠=︒，8AB =，10BC =．E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将DEF 沿EF 翻折得D EF ' ，连接AD '，BD '，则ABD '△面积的最小值为．过C 作CN AB ⊥于N ，∵AB CD ∥，∴EM CN =，在Rt BCN 中，10BC =，CBN ∠16．已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：x4-3-1-15y59527-下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x -<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y --均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x -或3x >．其中正确结论的序号为．【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出a b c 、、的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把()4,0-，()1,9-，()1,5代入2y ax bx c =++得，164095a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得128a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴0abc >，故①正确；∵1a =-，2b =-，8c =，由2228y x y x x =-+⎧⎨=--+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =-⎧⎨=⎩，∴()2,0A ，()3,5B -，由图形可得，当3x <-或2x >时，2282x x x --+<-+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④，故答案为：①②④．三、解答题17．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：27442393mm m m m m --⎛⎫+÷⎪--+，再求值．18．“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t 表示，单位：h ）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A 组：02t ≤<；B 组：24t ≤<；C 组：46t ≤<；D 组：68t ≤<），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．(1)请补全条形统计图；(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19．根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，1429α︒≤≤︒；夏至日时，4376α︒≤≤︒．sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈sin290.48︒≈，cos290.87≈︒，tan290.55≈︒sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.01︒≈素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB 共11层，乙楼CD 共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE 为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填14︒，29︒，43︒，76︒中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，14︒；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即14α=︒，故答案为：冬至，14︒；任务二：过E 作EF AB ⊥于F ，则90AFE ∠=︒，54EF =米，BF DF =，在Rt AFE 中，tan AFEFα=，∴tan14540.2513.5AF EF =⋅︒≈⨯=（米）∵11 3.336.3AB =⨯=（米），∴36.313.5DE BF AB AF ==-=-=22.8 3.37÷≈（层），20．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21．如图，正比例函数y x =与反比例函数k y x =的图象交于点)A a ，将正比例函数图象向下平移()0n n >个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B ，C ，与x 轴，y 轴交于点D ，E ，且满足:3:2BE CE =．过点B 作BF x ⊥轴，垂足为点F ，G 为x 轴上一点，直线BC 与BG 关于直线BF 成轴对称，连接CG ．(1)求反比例函数的表达式；(2)求n 的值及BCG 的面积．22．在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为直线BC 上任意一点，连接AD ．将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90︒得线段ED ，连接BE ．【尝试发现】（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，线段BE 与CD 的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE 与CD 的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若1AC BC ==，2CD =，请直接写出sin ECD ∠的值．由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，BE 过点E 作EM BC ⊥交BC 于点由旋转得AD DE =，ADE ∠∴90ADC EDM ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴ACD DME ∠=∠，ADC ∠+∴CAD EDM ∠=∠由（2）得1DM AC ==，2EM CD ==，∴3CM CD DM =+=，∴2213CE CM EM =+=，∴2213sin 1313EM ECD CE ∠===．同理可得：ACD DME △≌△，∴1DM AC ==，2ME CD ==，∴211CM =-=，∴22215CE =+=，∴225sin 55EM ECD CE ∠===；23．如图，AB 是O 的直径，ABC 内接于O ，点I 为ABC 的内心，连接CI 并延长交O于点D ，E 是 BC上任意一点，连接AD ，BD ，BE ，CE ．(1)若25ABC ∠=︒，求CEB ∠的度数；(2)找出图中所有与DI 相等的线段，并证明；(3)若CI =DI =ABC 的周长．【答案】(1)115︒(2)DI AD BD ==，证明见解析(3)30【分析】（1）利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再根据三角形的内角和定理求65CAB ∠=︒，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接A I ，由三角形的内心性质得到内心，CAI BAI ∠=∠，ACI BCI ∠=∠，然后利用圆周角定理得到DAB DCB ACI ∠=∠=∠，AD BD =，利用三角形的外角性质证得DAI DIA ∠=∠，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I 分别作IQ AB ⊥，IF AC ⊥，IP BC ⊥，垂足分别为Q 、F 、P ，根据内切圆的性质和和切线长定理得到AQ AF =，CF CP =，BQ BP =，利用解直角三角形求得2CF CP ==， 13AB =，进而可求解．【详解】（1）解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，又25ABC ∠=︒，∴902565CAB ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABEC 是O 内接四边形，∴180CEB CAB ∠+∠=︒，∴180115CEB CAB ∠=︒-∠=︒；∵点I 为ABC 的内心，∴CAI BAI ∠=∠，ACI ∠∴ AD BD=，∴DAB DCB ACI ∠=∠=∠∵点I 为ABC 的内心，即为∴Q 、F 、P 分别为该内切圆与∴AQ AF =，CF CP =，∵22CI =，90IFC ∠=2AB AQ BQ CF=+++22AB CF=+21322=⨯+⨯30=．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24．如图，抛物线21y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OC OA =，4AB =，对称轴为直线1:1l x =-，将抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，抛物线2y 与y 轴交于点D ，顶点为E ，对称轴为直线2l ．(1)分别求抛物线1y 和2y 的表达式；(2)如图1，点F 的坐标为()6,0-，动点M 在直线1l 上，过点M 作MN x ∥轴与直线2l 交于点N ，连接FM ，DN ．求FM MN DN ++的最小值；(3)如图2，点H 的坐标为()0,2-，动点P 在抛物线2y 上，试探究是否存在点P ，使2PEH DHE ∠=∠？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由题意得2AG BG ==，∵对称轴为直线=1x -，∴()()1,0, 3.0B A -，∴3OC OA ==，∴()0,3C ，将A 、B 、C 分别代入21y ax bx c =++，得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴2123y x x =--+，∴()2212314y x x x =--+=-++，顶点为()1,4-∵抛物线1y 绕点O 旋转180︒后得到新抛物线2y ，∴抛物线2y 的1a =，顶点为()1,4-，∴2y 的表达式为：()2214y x =--，即2223y x x =--（2）解：将点F 向右平移2个单位至F '，则2F F '=，()4,0F '-，过点D 作直线2l 的对称点为D ¢，连接,,F N F D ND ''''，∴ND ND '=，∵()2214y x =--，∴直线2l 为直线1x =，∵抛物线()2214y x =--，∴()1,4E -∵2l y ∥轴，∴1DHE ∠=∠，∵2PEH DHE ∠=∠，∴2112PEH ∠=∠=∠+∠，∴12∠=∠，作H 关于直线2l 的对称点H '，则点H '在直线PE 上，∵点H 的坐标为()0,2-，直线2l ：1x =，∴()2,2H '-，设直线PE 的表达式为：()0y kx b k =+≠，代入()2,2H '-，()1,4E -,得：224k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：26k b =⎧⎨=-⎩，∴直线PE 的表达式为26y x =-，联立222623y x y x x =-⎧⎨=--⎩，得：22326x x x --=-，解得：3x =或1x =（舍），∴()3,0P ；②当点P 在直线2l 左侧抛物线上时，延长EP 交y 轴于点N ，作HN 的垂直平分线交HE 于点Q ，交y 轴于点M ，过点E 作EK y ⊥轴于点K ，则QM EK ∥，如图：。

2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析

2024年北京市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，故选：B ．3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．14共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有∴两次都取到白色小球的概率为故选：D ．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯，故选D ．7．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是边边边原理是解题的关键.【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

2024年荆州市中考数学试卷(含答案解析)

2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.doc某书签分享赚钱赏收藏原创保护版权申诉/ 16 立即下载加入VIP，备课更划算当前位置：首页> 初中 > 初中数学 > 数学中考 > 中考真题> 2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx 2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx文档编号：上传时间：2024-06-23 类型：DOCX 级别：精品资源页数：16 大小：1.82MB 价格：61.00积分（10积分=1元）《2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年荆州市中考数学试卷（含答案解析）.docx（16页珍藏版）》请在七彩学科网上搜索。

1、2024年荆州市初中学业水平考试数学(本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟)祝考试顺利注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回._一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中2、，只有一项符合题目要求)1. -15的相反数为 A. 15 B. -15 C. 5 D. -52. 据统计,2024 年国内全年出游人次为48.9亿,则数据4 890 000 000用科学记数法表示为 A.4.8910 B.48.910 C. 4.8910 D. 48.9103.某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是4.下列计算正确的是 A. 2a-a=1 B.aa=a C.a-1=a-1 D.a=a5.如图，将一块含60角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上.若1=140,则2的度数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35数学第1页(共6页)6.下列调查中，最适合3、采用全面调查(普查)方式的是A.调查某市初中学生每天课外锻炼的时间B.调查春节期间全国居民的花销情况C.调查某批次新能源汽车的续航能力D.调查乘坐飞机的乘客随身携带物品的安全性7. 如图,O是ABC的外接圆,ABC 的平分线交O于点D,连接AD,CD,若ADC=120,则tanACD= A. 33 B. 1 C. 3 D. 138.某同学在物理实验课上做“小孔成像”实验时，将一支长约3cm的蜡烛(包括火焰高度)立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy，记蜡4、烛火焰顶端A点处的坐标为(-6，3)，则A点对应的“像”的坐标为 A. (3,-1) B. (2,-1) C. (2,-2) D. (3,-2)9. 如图,在菱形ABCD中,B=60,E,F分别是边AB,BC的中点,连接EF,DF,若 EF=2,则DF 的长为A. 2 2B. 23C. 2 5D.2 710. 如图1,在矩形ABCD中(AD2AB),P,Q分别为边AB,BC上的动点,点 P 沿折线B-A-D-C以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点 B沿着 BC运动，当点Q到达点C时，点P随之停止运动.连接PQ，若BPQ的面积与运动时间t之间的函数图象如图2所示.下列结论中：AB边的长度为4；四边形ABCD的面积为20;当t=3时,点P与点D的距离为4;当t=4时,PQAB.正确的序号为 A. B. C. D. 数学第2页(共6页)二、填空题(共5题，每题3分，共15分)11. 计算: 3-8+|-3|=_.12.藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”.下表是学校藤球队中三名学生五次传踢球成绩的平均数及方差统计表，若要从这三名学生中选择一名成绩好且稳定的学生作为校藤球队的队长，则应选择学生 . 甲乙丙平均数方差1.20.50.513.端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节文档加载中……请稍候！如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

2024年湖南中考数学试卷及答案

2024年湖南中考数学试卷及答案数学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（）A ．180+元B ．300+元C ．180-元D ．480-元2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（）A ．70.401510⨯B ．64.01510⨯C ．540.1510⨯D ．34.01510⨯3．如图，该纸杯的主视图是（）A ．B ．C ．D ．4．下列计算正确的是（）A ．22321a a -=B ．32(0)a a a a ÷=≠C ．236a a a ⋅=D ．()3326a a =5 ）A ．B ．C ．14D 6．下列命题中，正确的是（）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形7．如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．135︒8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（）A ．130B ．158C ．160D ．1929．如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A ．DE BC ∥B ．ADE ABC △△∽ C ．2BC DE =D ．12ADE ABC S S =10．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（）A ．3a <-B ．若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C ．若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D ．若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．计算：()2024--= ．12．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是． 13．分式方程21x +=1的解是． 14．一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是度．15．若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为．17．如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，AD=4MD ，则AM = ．18．如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥若4BC =分米，12OB =分米60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为分米（结果用含根号的式子表示）．19．计算：01|3|cos602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭20．先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =． 21．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次被抽取的学生人数为人；(2)补全条形统计图：(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；(4)若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥点E 在边AB 上，．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE=CD ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：(1)求证：四边形BCDE 为平行四边形；(2)若AD AB ⊥，AD=8，BC=10，求线段AE 的长．23．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：(1)求线段CE 和BC 的长度：(2)求底座的底面ABCD 的面积．25．已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQA S S △△的值为定值；(3)如图2，点P 在第二象限212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26．【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ． ①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC的值．参考答案1．C【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“+”，则支出为“-”那么支出180元记作180-元．故选：C ．2．B【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3．A【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．【详解】解：该纸杯的主视图是选项A故选：A ．4．B【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、22232a a a -=故该选项不正确，不符合题意；B 、32(0)a a a a ÷=≠故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=故该选项不正确，不符合题意；D 、()3328a a =故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5．D【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．=故选：D6．A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7．C【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案．【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着BC ∴12A BOC ∠=∠ 45A ∠=︒224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8．B【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158∴中位数是158故选：B ．9．D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点∴DE BC ∥，2BC DE =故A C 、正确；∵DE BC ∥∴ADE ABC △△∽，故B 正确； ∵ADE ABC △△∽∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ ∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．10．C【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限∴24030a a -<⎧⎨+>⎩∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点” 32a -<<∴整数a 为2-，-1，0，1∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1- ()6,2- ()4,3- ()2,4- ∵1188=-- 2163=-- 3344=-- 422=-- ∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”∴点P 坐标为()2,4-∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误故选：C ．11．2024【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024--=故答案为：2024．12．14【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413．x=1【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14．100【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15．2【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=解得：2k =故答案为：216．180【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k = 解得180k =故答案为：180．17．6【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．【详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠∵AD 是边BC 上的高，MN AB ⊥，MN=2∴2MD MN ==∵4AD MD =∴8AD =∴6AM AD MD =-=故答案为：6．18．(6-##()6-【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC ，根据题意及解三角形确定BH =OH =【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中906030BOH ∠=︒-︒=︒ 12dm OB =12tan 30BH ∴=⨯︒=OH =OBH OCH OBC S S S =+△△△111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯解得：6CF =-故答案为：(6-．19．52 【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭13122=++- 52=． 20．1x x + 43【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++= 23x x x -=+ 1x x+= 当3x =时，原式31433+==． 21．(1)100(2)见解析(3)36(4)300人【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【详解】（1）解：根据题意得：3030%100÷=人故答案为：100；（2）100330421015----=补全统计图如下：（3）1036036100︒⨯=︒ 故答案为：36；（4）15101200300100+⨯=人． 22．(1)①或②，证明见解析；(2)6【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【详解】（1）解：选择①证明：∵B AED ∠=∠∴DE CB ∥∵AB CD ∥∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②证明：∵AE BE = AE CD =∴CD BE =∵AB CD ∥∴四边形BCDE 为平行四边形；（2）解：由（1）得10DE BC ==∵AD AB ⊥ 8AD =∴6AE ==．23．(1)50元、30元(2)400棵【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩解得5030x y =⎧⎨=⎩ 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；（2）解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵根据题意，得()5030100038000a a +-≤解得400a ≤答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24．(1)7米；3米(2)18平方米【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF ∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【详解】（1）解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米60.3CFG ∠=︒ ∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈ ∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒∴4BE EF ==米∴3CB CE BE =-=米；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒ ∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈ ∵4AM BE ==米∴10MF =米∴1046AB ME ==-=米∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25．(1)29y x =-+(2)为定值3，证明见解析(3)374【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+表示出()()23PD x x =+-+ 13CD x =-+代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =-代入即可求出线段MN 长度的最大值．【详解】（1）∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -∴54c =-+∴9c =∴29y x =-+；（2）当0y =时209x =-+∴123,3x x =-=∴()3,0B设直线AB 的解析式为y kx b =+∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩ ∴13k b =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++ ()11,3D x x -+ ∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+ 13CD x =-+． ∴()()()()()11111233332PDQ ADC Sx x x x S x x +-++-==-++ ∴DC PDQA S S △△的值为定值；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+设直线PQ 的解析式为y mx n =+∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩ ∴12129y x x x -=+当11x x =-时()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．26．（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析 43 12 【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒-︒=︒；（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒∵OA OE =∴OEA △是等边三角形∴60OAE ∠=︒∵直线l 是O 的切线∴90OAC ∠=︒∴906030CAE ∠=︒-︒=︒故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =∴OAE OEA ∠=∠∵AOE α∠=∴180OAE OEA α∠+∠+=︒ ∴18019022OAE αα︒-∠==︒-∵90OAC ∠=︒ ∴12DAC α∠=∵四边形ABCD 是矩形∴FA DF = 12CF DF AC r=== ∴12DAC FDA α∠=∠= ∴1122DFC ααα∠=+=∵OA OE r ==∴,OA FC OE FD ==∵AOE DFC ∠=∠∴OAE FCD △≌△∴AE CD =∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD =∵AD AE DE =+∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H在Rt AOC 中4,3OA r AC r == ∴由勾股定理得53OC r = ∵23CE OE = ∴23CE r = ∴OC OE CE =+∴点E 在线段OC 上∴在Rt ACO 4tan 3AC AO α== ∵OG AE ⊥ OA OE = ∴12EOG α∠= ∵AH OE ⊥∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒ ∴12EAH EOG α∠=∠= 在Rt OAH △中4tan 3AH OH α== ∴设4,3AH m OH m ==∴由勾股定理得5OA OE m ==∴532HE m m m =-=∴在Rt AHE △中1tan tan22HE EAH AH α∠=== ∵四边形ABCD 是矩形∴AD BC ∥ ∴12ACB DAC α∠=∠= 而12EAH α∠= ∴12ACB α∠= ∴在Rt ABC △中1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)

∴ME=MC+EC= 。
19.（1）；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了行，则共有（）行，（）列，
根据题意：，，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为，

2024年长沙中考数学试题

湖南省长沙市2024届中考数学模拟冲刺训练温馨提示：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2024年3月27日清晨，在中国太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将云海三号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．长六改火箭总长约50米，起飞重量约530000千克．其中数据530000用科学记数法表示为（）A ．45310´B ．45.310⨯C ．55.310⨯D ．50.5310´2．下列计算正确的是（）A ．325a b ab +=B ．623a a a ÷=C ．()222x y x y +=+D ．()23624x x -=3．“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，80，85，80，90，80，85．则这组数据的众数为（）A ．78B ．80C ．85D ．904．亮亮的妈妈在超市买了24个青团，其中豆沙馅的8个，芋泥馅的6个，蛋黄肉松馅的10个，它们的形状、大小和重量都是一样的，这些青团装在一个不透明的塑料袋中．小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．235．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，40BAC ∠︒=，80MAC ∠=︒，若AM BE ∥，则BCD ∠=（）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒6．如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，ADC ∠的平分线与边AB 相交于点P ，E 是PD 的中点，若4=AD ，6CD =，则EO 的长为（）A ．1B ．12C ．13D ．27．不等式组11123x x -≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在一艘小船A 上测得海岸上高为36m 的灯塔BC 的顶部C 处的仰角是30︒，则船离灯塔的水平距离AB 等于（）A ．B ．C ．18mD ．36m9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（）A ．54573y x y x =+⎧⎨=+⎩B ．54573y x y x =-⎧⎨=+⎩C ．54573y x y x =+⎧⎨=-⎩D ．54573y x y x =-⎧⎨=-⎩10．如图，二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为直线1x =，点B 坐标为()1,0-，则下面的五个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③当0y <时，1x <-或3x >；④230c b +=；⑤()a b m am b +≥+（m 为实数），其中正确的结论是（）A ．②③④⑤B ．①③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③⑤二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．因式分解：269x x -+=．12x 的取值范围是．13．如图，在ABCD Y 中，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；分别以B ，F为圆心，大于12BF 长为半径作弧，两弧交于点G ，连接AG 并延长，交BC 于点E ．若6AE =，4BF =，则AB 的长为．14．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有名．15．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，且30ODE ∠=︒，1BE =，则图中阴影部分的面积为．16．如图，点A 在反比例函数()0k y x x=<的图像上，AB x ⊥轴于点B ，C 为OB 的中点，连接AO ，若OAC 的面积为6，则k 的值为．三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．计算：()1202411tan452-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：222424436x x x x x x -+÷-+-，其中3x =-．19．解方程组：213424x y x y +⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．(1)篮球、足球的单价各是多少元？(2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．21．我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解决下列问题：(1)填空：_______a =，_________n =；(2)补全频数直方图；(3)我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？22．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上两点，EC 为O 的切线，且EC AE ⊥，垂足是E ，连接AC 交BD 于点F ．(1)求证：AC 平分EAB ∠；(2)求证：()22CD BD BD DF =-；(3)若DC DF=sin ACD ∠的值．23．如图是某款篮球架的示意图，已知底座0.60BC =米，底座BC 与支架AC 所成的角75ACB ∠=︒，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离 1.35FD =米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角60FHE ∠=︒．（参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈ 1.73≈ 1.41≈）(1)求支架AC 的顶端A 到地面的距离AB 的高度．（精确到0.01米）；(2)求篮框D 到地面的距离（精确到0.1米）．24．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形OABC 顶点A 的坐标为(．(1)求过点B 的反比例函数的解析式；(2)点D 在x 轴上，当以B 、D 、O 三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D 的坐标；(3)反向延长OB ，与反比例函数在交于点F ，点Q 在x 轴上的一点，当以F 、Q 、B 三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q 点的坐标．25．定义：对于函数，当自变量0x x =，函数值0y x =时，则0x 叫做这个函数的不动点．(1)直接写出反比例函数1y x=的不动点是______．(2)如图，若二次函数2y ax bx =+有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P 的坐标为()2,4．①求该二次函数的表达式；②连接OP ，M 是线段OP 上的动点（点M 不与点O ，P 重合），N 是该二次函数图象上的点，在x 轴正半轴上是否存在点(),0Q m 满足MOQ MPN NMQ ∠=∠=∠，若存在，求m 的最大值；若不存在，请说明理由．阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E 和点F 的坐标分别为11()x y ，和22()x y ，，则点E 和点F 的距离为EF =26．【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在Rt ABC △中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D E 、在边BC 上，45DAE =︒∠．探究图中线段,,BD DE CE 之间的数量关系．小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACF △，连接EF （如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及45DAE =︒∠，可证FAE DAE ≌，得FE DE =．即可得出,,BD DE CE 之间的数量关系．（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：在图②中，FCE ∠=______度，,,BD DE CE 之间的数量关系是______．【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：如图③，在正方形ABCD 中，点E F 、分别是边BC CD 、上的动点，连接AE AF 、交BD 于M N 、，若45EAF ∠=︒．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：①线段BM MN DN 、、的数量关系是______；②线段BE EF DF 、、的数量关系是______；请任选一个你的猜想说明理由．【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点()6,0A -，点()0,3B -，点C 位于y 轴正半轴，45BAC ∠=︒，试求出点C 的坐标．参考答案：1．C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：()10110,n a a n ⨯≤<为整数，进行表示即可．【详解】解：53000055.310=⨯；故选C ．2．D【分析】本题考查了整式的运算，涉及整式的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方等知识，解题的关键是掌握相关的计算法则．根据相关的计算法则逐一判断即可．【详解】解：A 、325a b ab +≠，故该选项错误，不符合题意；B 、62624a a a a -÷==，故该选项错误，不符合题意；C 、()2222x y x xy y +=++，该选项错误，不符合题意；D 、()()26623224x x x -==-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．3．B【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义进行求解即可．【详解】解：数据为78，80，85，80，90，80，85，数据中80这个数最多，则这组数据的众数为80，故选：B ．4．A【分析】本题主要考查了概率公式，先确定总数为24个，芋泥馅的6个，再根据概率公式计算即可．【详解】根据题意可知一共有24个青团，每种结果出现的可能性相同，芋泥馅有6个，所以小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是61244=．故选：A ．5．C【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得120MAB ∠=︒，由AM BE ∥推出60ABC ∠=︒，根据AB 、CD 都与地面l 平行，推出60BCD ABC ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解： 40BAC ∠︒=，80MAC ∠=︒，∴120MAB MAC BAC ∠=∠+∠=︒，AM BE ∥，∴180MAB ABC ∠+∠=︒，∴18060ABC MAB ∠=︒-∠=︒，AB 、CD 都与地面l 平行，∴AB CD ，∴60BCD ABC ∠=∠=︒，故选：C ．6．A【分析】首先证明APD △为等腰三角形，易得4AP AD ==，进而可得2PB AB AP =-=，再证明OE 为BDP △的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，4=AD ，6CD =，∴6AB CD ==，AB CD ∥，∴APD CDP ∠=∠，∵DP 平分ADC ∠，∴ADP CDP ∠=∠，∴ADP APD ∠=∠，∴4AP AD ==，∴2PB AB AP =-=，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OD OB =，∵E 是PD 的中点，∴112122OE PB ==⨯=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．7．C【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：11123x x -≤⎧⎨-<⎩①②由①得：2x ≤；由②得：1x >-；∴不等式组的解集为：12x -<≤故选：C8．A【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为36tan 30÷︒=，故选：A ．9．A【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．【详解】解：设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意得：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩，故选：A ．10．D【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴为12b x a=-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴为1x =，∴2x =与0x =的函数值相等，即：420a b c c ++=>，故②正确；∵点()1,0-关于1x =的对称点为()3,0，∴当0y <时，1x <-或3x >；故③正确；∵图象过点()1,0-，2b a =-，∴13022b a bc b b c c -+=--+=-+=，∴230c b -=；故④错误；∵抛物线的开口向下，∴当1x =时，函数值最大，即：2a b c am bm c ++≥++，∴()a b m am b +≥+；故⑤正确；综上，正确的结论是①②③⑤；故选：D ．11．()23x -【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可【详解】解：269x x -+22233x x =-⨯⋅+()23x =-，故答案为：()23x -12．4x ≥-【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，得到280x +≥，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：280x +≥，解得：4x ≥-，故答案为：4x ≥-．13【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，设AE 交BF 于点O ，连接EF ，根据作图可知AB AF =，AE BF ⊥，再根据平行四边形的性质及等角对对边得出AB BE AF ==，再证明四边形ABEF 是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图，设AE 交BF 于点O ，连接EF ,由作图可知：AB AF =，AE BF⊥OB OF ∴=，BAE EAF ∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EAF AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE AF \==，AF BE ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB AF = ，∴四边形ABEF 是菱形，132OA OE AE ∴===，122OB OF BF ===，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒Q ，AB ∴==14．1280【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键．先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答．【详解】解：羽毛球所占的百分比为110%20%30%40%---=，所以该学校选择羽毛球的学生有320040%1280⨯=名．故答案为：1280．15．2π3【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明COB △是等边三角形，根据1BE =求出半径，进而利用勾股定理求出CE ，再根据OBC OBC S S S =-V 阴影扇形即可求解．【详解】解：如图，连接OC ，CD AB ⊥，30ODE ∠=︒，∴ CBDB =，903060∠=︒-︒=︒DOE ，即60DOB ∠=︒，∴60COB DOB ∠=∠=︒，又 OC OB =，∴COB △是等边三角形，CE OB ⊥，1BE =，∴22OB BE ==，∴2BC OB ==，∴CE ===∴2260π160π212π2360236023OBCOBC OB S S S OB CE ⨯⋅⨯⨯=-=-⋅=-⨯= 阴影扇形故答案为：2π316．24-【分析】本题考查反比例函数k 值的几何意义（过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为k ），熟练掌握反比例函数k 值的几何意义是解题的关键．【详解】解：∵OAC 的面积为6，C 为OB 的中点，∴22612AOB OAC S S ==⨯=△△，∵AB x ⊥轴，∴224AOB k S ==△，∵反比例函数图像在第二象限，∴24k =-．故答案为：24-．17．1【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，求特殊角三角函数中，先计算特殊角三角函数值，算术平方根和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可．【详解】解：()1202411tan452-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭1231=+-+1=．18．3x，1-．【分析】本题主要考查了分式化简求值．先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．【详解】解：222424436x x x x x x -+÷-+-()()()()()2222322x x x x x x +-+=÷--()()()()()2223222x x x x x x +--=⋅+-3x =，当3x =-时，原式313==--．19．44x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．先化简①式，再运用加减消元法即可求解．【详解】解：213424x y x y +⎧+=⎪⎨⎪+=⎩①②①式化简去分母得，()42312x y ++=，整理得，434x y +=③，∴2-⨯③②得，()4322424x y x y +-+=-⨯，∴4y =-，∴244x -=，解得，4x =，∴原方程组的解为44x y =⎧⎨=-⎩．20．(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元．(2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．（1）设篮球的单价是x 元，足球的单价是y 元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；（2）设该校购买m 个篮球，则购买(100)m -个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设篮球的单价是x 元，足球的单价是y 元，依题意得：3249023460x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：11080x y =⎧⎨=⎩．答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．（2）解：设该校购买m 个篮球，则购买(100)m -个足球，购买篮球和足球的总费用()11080100308000y m m x =+-=+依题意得：()()11080100920011002m m m m ⎧+-≤⎪⎨≥-⎪⎩①②，解不等式①得：40m ≤．解不等式①得：13m ≥33．∴m 的取值范围为：1403m 33≤≤，∵购买篮球和足球的总费用308000y x =+，300k =>，∴y 随m 的增大而增大，∴当34m =时，最省钱，∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．21．(1)75，54；(2)图见详解(3)900人【分析】本题考查了频数（率)分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．（1）先由A 组人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以B 、C 组对应百分比求出人数，再用360︒乘以E 组人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果可得答案；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】（1）解：被调查的总人数为3010%300÷=（人），30025%75a ∴=⨯=，B 组人数为30020%60⨯=（人），则E 组人数为300(30607590)45-+++=（人），4536054300n ∴=⨯=，故答案为：75，54；（2）解：补全直方图如下：（3）解：()300010%20%900⨯+=（人），答：该校安全意识不强的学生约有900名．22．(1)见解析；(2)见解析；(3)12．【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，结合角的平分线的定义证明即可；（2）连接BC ，设OC 交BD 于点G ，证明CBG FBC ∽，利用等量代换，垂径定理，证明即可；（3）设DF x =，3DC DF=3DC BC ==，结合()22CD BD BD DF =-，勾股定理，三角函数计算即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图．∵EC 为O 的切线，∴90ECO ∠=︒．∵AE EC ⊥，∴90E ECO ∠=∠=︒，∴OC AE ∥，∴EAC ACO ∠=∠．又∵OA OC=∴OAC ACO ∠=∠，∴CAO EAC ∠=∠，即EAC CAB ∠=∠，∴AC 平分EAB ∠．（2）证明：如图，连接BC ，设OC 交BD 于点G ，由（1）得DAC BAC ∠=∠，∴C 为劣弧 BD的中点，∴CO BD ⊥，DG GB =．∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵CBF CBG ∠=∠，∴CBG FBC ∽，∴CB BG FB BC=，即2BC BG FB =⋅．∵12BG DB =，FB DB DF =-，DC BC =，∴()212DC DB DB DF =⋅-，即()22CD BD BD DF =-．（3）解：设DF x =，DC DF =，则DC BC ==，代入()22CD BD BD DF =-中，得)()22BD BD x =-，解得3BD x =，∴32BG GD x ==．在Rt DGC △中，2232GC DC DG =-，∵DAC GCF ∠=∠，DFA CFG ∠=∠，∴CGF ADF △∽△，∴FG GC FD DA=，又12FG DG DF x =-=，∴3AD =．在Rt ADB 中，2223AB AD DB =+=，∴1sin sin 2AD ACD ABD AB ∠=∠==．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，角的平分线的定义，熟练掌握切线的性质，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质是解题的关键．23．(1)AB 的高度为2.24米(2)篮框D 到地面的距离约为3.1米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．（1）直接根据tan AB BC ACB =⋅∠即可求解；（2）延长EF 交射线CB 于点M ，过点A 作AN FM ⊥于点N ，则四边形ABMN 是矩形，解Rt FAN △，求得FN ，进而根据EM FN NM FD =+-，即可求解．【详解】（1）解：由题意得：在Rt ABC △中，tan ∠=AB ACB BC，tan 0.60 3.73 2.238 2.24AB BC ACB =⋅∠≈⨯=≈（米），∴AB 的高度为2.24米；（2）如图，延长FE 交射线CB 于点M ，过点A 作AN FM ⊥于点N ．∵AB CB ⊥，NM CB ⊥，AN NM ⊥，∴四边形ABMN 是矩形，∴ 2.24NM AB ==（米）．∵HE FM ⊥，则HE AN ∥，∴60FAN FHE ∠=∠=︒．在Rt FAN △中，sin 2.50 2.501.732 2.1632FN AF FAN =⋅∠=⨯=⨯÷≈（米），∴ 2.163 2.24 1.35 3.05 3.1EM FN NM FD =+-=+-=≈（米），∴篮框D 到地面的距离约为3.1米24．(1)y x=(2)()或()-或()2,0或()6,0(3)(4,0)--或(4,0)【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BG x ⊥轴于G ．由点A 的坐标可求出2OA =．再根据菱形的性质可知2AO AB OC ===，AB x 轴,即得出2EG AB ==，3OG OE EG =+=，即(3B ，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；（2））根据勾股定理得到OB =O 为顶点时，根据等腰三角形的性质得到OD OB ==D 为顶点时，OD DB =，根据菱形的性质得到()2,0D ；③当B 为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）反向延长OB ，与反比例函数在第三象限交于点F ，即得出(3F -，248BF =．设(0)Q t ，，则22(3)3BQ t =-+，22(3)3FQ t =++．分类讨论：①以BF 为斜边时，②以BQ 为斜边时和③以FQ 为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t 的等式，解出t 即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BG x ⊥轴于G ，如图，∵A ，∴1OE AE ==，∴2OA ==．∵四边形OABC 是菱形，∴2AO AB OC ===，AB x 轴,∴2EG AB ==，∴123OG OE EG =+=+=，∴(3B ．∵过B 点的反比例函数解析式为k y x =，3k =，解得：k =，∴反比例函数解析式为y =（2）解：∵(B ，∴OB =①当O 为顶点时，OD OB ==∴()D 或()-；②当D 为顶点时，OD DB =，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 是OB 的垂直平分线，∴点D 与C 重合，∴()2,0D ；③当B 为顶点时，BO BD =，则3OG DG ==，∴6OD =，∴()6,0D ；综上所述：D 的坐标为()或()-或()2,0或()6,0；（3）解：如图，反向延长OB ，与反比例函数在第三象限交于点F ，∵(3B ，∴(3F -，，∴248BF =．设(0)Q t ，，则22(3)3BQ t =-+，22(3)3FQ t =++，①以BF 为斜边时，222BQ FQ BF +=，∴22(3)3(3)348t t -++++=，解得12t t ==-∴Q或(-；②以BQ 为斜边时，222BF FQ BQ +=，∴2248(3)3(3)3t t +++=-+，解得4t =-，∴()40Q -，；③以FQ 为斜边时，222BF BQ FQ +=，∴2248(3)3(3)3t t +-+=++，解得4t =，∴(40)Q ，．综上所述，Q的坐标为：0)或(-或(40)-，或(40)，．【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．25．(1)(11)，，(11)--，；(2)①24y x x =-+；②存在，m 的最大值为94．【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线表达式与二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，（1）根据不动点的定义求解即可；（2）①根据抛物线经过点()0,0、()3,3，利用待定系数法求解即可；②延长PN 交x 轴于点A ，求出PA ,OP 的解析式，联立求出点N 的坐标，设点()(),202M x x x <<，利用相似三角形的性质得出()299144m x =--+，根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：把0x x =，函数值0y x =代入1y x =，001x x =，解得01x =±，故答案为：(11)，，(11)--，．（2）①∵二次函数2y ax bx =+有两个不动点0与3，∴点()0,0、()3,3在二次函数2y ax bx =+的图象上．将()3,3，()2,4P 代入得393442a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得14a b =-⎧⎨=⎩．∴二次函数的表达式为24y x x =-+．②延长PN 交x 轴于点A ，设(),0A n ，∵MOQ MPN ∠=∠，∴OA PA =，则n =解得5n =，()5,0A ．设直线PA 的表达式为y kx t =+，将()5,0A ，()2,4P 代入得0542k t k t =+⎧⎨=+⎩，解得43203k t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线PA 的表达式为42033=-+y x ，同理直线OP 的表达式为2y x =．联立2442033y x x y x ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1124x y =⎧⎨=⎩，22103209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1020,39N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设点()(),202M x x x <<，由()0,0O ，()2,4P ，1020,39N ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得OM ==，)22PM x ==-=-．209PN =．∵PMQ MOQ MQO NMQ PMN ∠=∠+∠=∠+∠，MOQ MPN NMQ ∠=∠=∠，∴MQO PMN ∠=∠．∴MOQ NPM △∽△，则OQ OM PM PN=，整理得OQ PN OM PM ⋅=⋅．∴2029m x =-，整理得()22999914244m x x x =-+=--+．∵904-<，∴当1x =时，max 94m =．∴在x 轴正半轴上存在点(),0Q m ，且m 的最大值为94．26．（1）22290,CE BD DE ︒+=；（2）①222BM DN MN +=，②BE DF EF +=，理由见解析；（3）()0,2【分析】（1）根据小红组的研究方法写出求解过程即可；（2）猜想①可由（1）得到结论，仿照（1）过程证明；选择猜想②证明：根据正方形的性质和旋转性质可将ABE 绕点B 逆时针旋转90︒，得到ADG △，证明G 、D 、F 、C 共线，和()SAS GAF EAF ≌得到DG BE =，GF EF =，进而可得结论；（3）在y 轴正半轴上截取OD OE OA ==，连接AD ，AE ，利用（1）中结论知222CD BE BC +=，根据坐标与图形性质得到6OA =，3OB =，进而得到3BE =，9BC CD =-，由()22239CD CD +=-求得4CD =，则2OC =，即可求解．【详解】解：（1）如图2，∵在Rt ABC △中，90,BAC AB AC ∠=︒=，∴45ACB ABC ∠=∠=︒，由旋转性质得45ACF ABD ∠=∠=︒，CAF BAD ∠=∠，=CF BD ，AF AD =，∴90FCE ACF ACB ∠=∠+∠=︒，∵45DAE =︒∠，∴45CAE BAD +∠=︒∠，则45FAE CAF CAE BAD CAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴FAE DAE ∠=∠，又AF AD =，AE AE =，∴()SAS FAE DAE ≌，则EF DE =，在Rt CEF △中，222CE CF EF +=，∴222CE BD DE +=，故答案为：90︒，222CE BD DE +=；（2）猜想：①222BM DN MN +=；②BE DF EF +=；选择猜想②，证明过程如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ADC ABC ∠=∠=∠=︒，AB AD =，如图③，将ABE 绕点B 逆时针旋转90︒，得到ADG △，则DG BE =，AG AE =，90ADG ABE ∠=∠=︒，DAG BAE ∠∠=，∴180ADG ADC ∠+∠=︒，则G 、D 、F 、C 共线，∵45EAF ∠=︒，∴45DAF DAG DAF BAE ∠+∠=∠+∠=︒，∴GAF EAF ∠=∠，又AG AE =，AF AF =，∴()SAS GAF EAF ≌，∴GF EF =，∵DG DF GF +=，∴BE DF EF +=；故答案为：①222BM DN MN +=；②BE DF EF +=；（3）如图，在y 轴正半轴上截取OD OE OA ==，连接AD ，AE ，则45ADO AEO BAC ∠=∠=∠=︒，由（1）得222CD BE BC +=，∵点()6,0A -，点()0,3B -，∴6OA =，3OB =，∴633BE OE OB =-=-=，1239BC CD CD =--=-，∴()22239CD CD +=-，解得4CD =，∴2OC OD CD =-=，则点C 坐标为()0,2．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握利用旋转的性质构造全等三角形探究线段之间的关系是解答的关键．。

2024年江苏省扬州市中考真题数学试卷含答案解析

2024年江苏省扬州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数2的倒数是（）A ．2-B ．2C ．12-D ．122．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．【详解】解：A ，B ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：C ．3．下列运算中正确的是（）A ．222()a b a b -=-B ．523a a a -=C ．()235a a =D ．236326a a a ⋅=【答案】B【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【详解】解：A 、()2222a b a ab b -=-+，原选项错误，不符合题意；B 、523a a a -=，正确，符合题意；C 、()236a a =，原选项错误，不符合题意；D 、2353·26a a a =，原选项错误，不符合题意；故选：B ．4．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：视力4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.95.0人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A ．4.6B ．4.7C ．4.8D ．4.9【答案】B【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可．【详解】解：这45名同学视力检查数据中，4.7出现的次数最多，因此众数是4.7．故选：B ．5．在平面直角坐标系中，点()1,2P 关于原点的对称点P'的坐标是( )A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--【答案】D【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案.【详解】∵点()1,2P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（-1，-2），故选D ．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数．6．如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（）A．三棱锥B．圆锥C．三棱柱D．长方体【答案】C【分析】本题考查了几何图形展开的识别，理解并掌握几何展开图的特点与立体图形的关系是解题的关键．根据平面图形的特点，结合立体图形的特点即可求解．【详解】解：根据图示，上下是两个三角形，中间是长方形，∴三棱柱，故选：C ．7．在平面直角坐标系中，函数42=+yx的图像与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．48．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（）A ．676B ．674C ．1348D ．1350【答案】D【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．由于202436742÷= ，即前2024个数共有674组，且余2个数，∴奇数有674221350⨯+=个．故选：D 二、填空题9．近年来扬州经济稳步发展：2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为．【答案】71.8710⨯【分析】根据科学记数法的要求，将18700000变为10(110)n a a ⨯<≤，分别确定a 和n 的值即可．本题考查了科学记数法，其表示形式为10(110)n a a ⨯<≤，正确确定a 和n 的值是解答本题的关键．n 是整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】718700000 1.8710=⨯，故答案为：71.8710⨯．10．分解因式：2242a a -+= ．【答案】()221a -【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：原式()()2222121a a a =-+=-，故答案为：()221a -．11．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于（精确到0.01）．【答案】0.53【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.5312有意义，则x 的取值范围是．13．若用半径为10cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm ．【答案】5【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．根据题意得圆锥的母线长为10cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为210210(cm)ππ⨯÷=，∴圆锥的底面半径为1025(cm)ππ÷=，故答案为：5．14．如图，已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若2OA =，1OB =，则关于x 的方程0kx b +=的解为．【答案】2x =-【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可．根据一次函数与x 轴交点坐标可得出答案．【详解】解：∵2OA =，∴(2,0)A -，∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点(2,0)A -，∴当0y =时，2x =-，即0kx b +=时，2x =-，∴关于x 的方程0kx b +=的解是2x =-．故答案为：2x =-．15．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要分钟．【答案】2.5【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，掌握方程解决实际问题是解题的关键．根据题意，设需要t 分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可．【详解】解：根据题意，设t 分钟追上，∴10060100t t +=，解得， 2.5t =，∴速度快的人追上速度慢的人需要2.5分钟，故答案为：2.5 ．16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为 cm ．【答案】20【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB A B ''∥，AOB A OB ''∽△△，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，利用已知得出''AOB A OB △∽△，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =∴A B OC AB OC'''=，即243630OC =∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm 2017．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为．18．如图，已知两条平行线1l 、2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C 、D 分别是1l 、2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为．则点H 在O 上运动，∴当AH 与O 相切时BAH ∠最大，∴OH AH ⊥，∵2AE OB OE ==，∴3AO AE OE OE =+=，三、解答题19．（1）计算：0|3|2sin 302)π-+︒--；（2）化简：2(2)1x x x -÷-+．20．解不等式组260412x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪，并求出它的所有整数解的和．21．2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：成绩统计表组别成绩x （分）百分比A 组60x <5%B 组6070x ≤<15%C 组7080x ≤<a D 组8090x ≤<35%E 组90100x ≤≤25%成绩条形统计图根据所给信息，解答下列问题：(1)本次调查的成绩统计表中=a ________%，并补全条形统计图；(2)这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A 、B 、C 、D 或E ）；(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．【答案】(1)20，条形统计图见详解(2)D(3)300人【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a 的值，进而可求出C 组人数，补全条形统计图即可．（2）按照中位数的定义解答即可．（3）用总人数乘以D 组人数所占百分比即可．【详解】（1）5153522105%%%%%a -=---=，C 组人数为：20020%40⨯=，补全条形统计图如图所示：故答案为：20（2）055124005%%%%%+=<+，51532075505%%%%%%++=>+，∴200名学生成绩的中位数会落在D 组．（3）120025%300⨯=（人）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．【点睛】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键．22．2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A 、B 、C 、D 、E ）参加公益讲解活动．(1)若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；(2)小明和小亮在C 、D 、E 三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．23．为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A 、B 两种机器，A 型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A 型机器处理500吨垃圾所用天数与B 型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？【答案】B 型机器每天处理60吨【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设B 型机器每天处理x 吨垃圾，则A 型机器每天处理(40)x +吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设B 型机器每天处理x 吨垃圾，则A 型机器每天处理(40)x +吨垃圾，24．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD ．(1)试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；(2)已知矩形纸条宽度为2cm ，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD 的面积为28cm ，求此时直线AD CD 、所夹锐角1∠的度数．【答案】(1)四边形ABCD 是菱形，理由见详解(2)130∠=︒【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30︒的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．（1）根据矩形的性质可得四边形ABCD 是平行四边形，作AT NP CU EH ⊥⊥，，可证ATB CUB ≌，可得AB CB =，由此可证平行四边形ABCD 是菱形；（2）作AR CD ⊥，根据面积的计算方法可得42CD AR ==，，结合菱形的性质可得4AD =，根据含30︒的直角三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：四边形ABCD 是菱形，理由如下，如图所示，过点A 作AT NP ⊥于点T ，过点C 作CU EH ⊥于点U ，根据题意，四边形EFGH ，四边形∴EH FG MQ NP ，，∴AB DC AD BC ，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵宽度相等，即AT CU =，且根据题意，2AR cm =，∵·8ABCD S CD AR ==四边形，∴4CD =，25．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于(2,0)A -，(1,0)B 两点．、的值；(1)求b c(2)若点P在该二次函数的图像上，且PAB的面积为6，求点P的坐标．当224x x --+=-时，13x =-，22x =；∴122434()()P P ---，，，．26．如图，已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ，使得2COQ CAQ ∠=∠；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O 为圆心，以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ，用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ，使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若3sin 5A =，12CM =，求BM 的长．∴2COQ CAQ ∠=∠；点O 即为所求连接BC ，以点B 为圆心，以径画弧交AQ 于点11C D ，，分别以点连接11B F 并延长交AP 于点M ∵根据作图可得，2COQ CAQ ∠=∠，∴在Rt AMW 中，3sin 5WM A AM ==27．如图，点A B M E F 、、、、依次在直线l 上，点A B 、固定不动，且2AB =，分别以AB EF、为边在直线l 同侧作正方形ABCD 、正方形EFGH ，90PMN ∠=︒，直角边MP 恒过点C ，直角边MN 恒过点H ．(1)如图1，若10BE =，12EF =，求点M 与点B 之间的距离；(2)如图1，若10BE =，当点M 在点B E 、之间运动时，求HE 的最大值；(3)如图2，若22BF =，当点E 在点B F 、之间运动时，点M 随之运动，连接CH ，点O 是CH 的中点，连接HB MO 、，则2OM HB +的最小值为_______．∵90CMH∠= ，点O是CH的中点，∴12OM CH=，∴2OM HB CH HB+=+，∴当C H B'、、三点共线时，CHRt'CB Q28．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =， O 是ABC 的外接圆，点D 在 O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD -与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）在Rt BDE △中，∴cos30BE BD =︒⋅=∴3BC =，∵AD 是直径，则ABD Ð∵ AB AB=∴60ADB ACB ∠=∠=∴DBF 是等边三角形，∴BF BD =，则60BFD ∠=︒∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴120CDB ∠=︒∴AFB CDB ∠=∠；∵CA CB =，60ACB ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，则60CAB ∠=︒∴AB BC =，又∵ BDBD =∴BCD BAF=∠∠在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCDAB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AFB CDB ≌∴AF CD =，∴AD BD AD DF AF CD-=-==即AD BD CD -=；（3）解：①如图所示，当D 在 BC上时，在AD 上截取DE BD =，∵ AB AB=∴ACB ADBÐ=Ð又∵,CA CB DE DB==∴CAB DEB ∽，则ABC EBD∠=∠∴2sin2AB BC α=⋅∴2sin 2AD BD CD α-=，即②当D 在 AB 上时，如图所示，延长∵四边形ACDB 是圆内接四边形，∴180GAD ACB ∠=∠=又∵,CA CB DG DA==∴CAB DAG ∽，则。

宁波中考数学竞赛试题及答案

宁波中考数学竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：已知a、b、c为实数，且满足a+b+c=6，a^2+b^2+c^2=14，求a^3+b^3+c^3的值。

解题思路：1. 利用已知条件，将a^3+b^3+c^3转化为已知条件的形式。

2. 应用立方和公式：a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) + 3abc。

答案：由题目条件，我们有：a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) + 3abc= 6(14 - ab - bc - ca) + 3abc由于(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)，我们可以得到：36 = 14 + 2(ab+bc+ca)ab+bc+ca = 11将ab+bc+ca的值代入上面的公式：a^3+b^3+c^3 = 6(14 - 11) + 3abc = 36 + 3abc由于我们没有abc的值，我们无法直接求出a^3+b^3+c^3的确切值。

但是，我们可以利用题目条件进一步分析。

由于a、b、c是实数，且a+b+c=6，我们可以假设a、b、c的值，然后根据a^2+b^2+c^2=14来验证这些值是否满足条件。

例如，如果a=1, b=2, c=3，那么a^2+b^2+c^2=1+4+9=14，满足条件。

此时，a^3+b^3+c^3=1+8+27=36。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求AB的长度。

解题思路：1. 应用勾股定理求解直角三角形的斜边长度。

答案：根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC^2AB^2 = 6^2 + 8^2AB^2 = 36 + 64AB^2 = 100AB = √100 = 10试题三：函数与方程题目：若f(x) = 2x - 5，求f(3)的值。

解题思路：1. 将x=3代入函数f(x)中求解。

2022年浙江省绍兴市中考数学竞赛试卷附解析

2022年浙江省绍兴市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D= 90°，BC= 2，CD=3，则 AB=（）A ．4B ．5C ．23D ．832．当锐角∠A>300 时，cosA 的值（）A ．小于12B ．大于12C ． 3D ． 33．设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是反比例函数y=x 2 图象上的任意两点，且y 1<y 2 ，则x 1 ，x 2可能满足的关系是（）A ．x 1>x 2>0B ．x 1<0<x 2C ．x 2<0<x 1D ．x 2<x 1<0 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 5．下列命题中，属于假命题的是（）①如果两个三角形的面积不相等，那么这两个三角形不可能全等；②如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等；③如果两个三角形的三个角对应相等，并且其中一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边分别相等，那么这两个三角形全等；④有一条边和一个角分别相等的两个直角三角形全等．A ．①B ．①②④C ．②③④D ．②④ 6．化简:255的结果正确是（） A ．1105B ．2510C 2D 107．班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔（）A ．20支B ．14支C ．13支D ．10支8．下列各点在函数y=1-2x 的图象上的是（）A ．（2．5，-l ）B ．（0，34）C ．（0，12）D ．（1，-l ）9．下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（）A ．2y x =-B ．12y x =-C ．21y x =-D ．121y x =- 10．如图所示，已知直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，CE 、BD 相交于点F ，∠EFB=65°，则∠A=（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°11．下列图形中，∠l 与∠2不是同位角的是（）A ．B ．C ．D ． 12．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A ．5cm,3cm,1cm B ．6cm,4cm,2cm C ． 8cm, 5cm, 3cm D ． 9cm,6cm,4cm13．小明通常上学时走上坡路，途中的速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（）A ．2n m +千米/时B ．n m mn +千米/时 C ．n m mn +2千米/时 D ．mnn m +千米/时 14．下列说法中正确的个数有（）①全等i 角形对应角所对的边是对应边，对应边所夹的角是对应角②全等三角形对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角③全等三角形中的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角④两个全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角是对应角A ．1个B 2个C ．3个D ．4个15．下列整式中，属于单项式的有（） ①32-；②23x y π；③21x -；④a ；⑤3265x y -；⑥2x y +；⑦22x xy y ++；⑧3x A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个二、填空题16．如果一个几何体的主视图是等腰三角形，那么这个几何体可以是．（填上满足条件的一个几何体即可）17．若 A 是锐角，且2cos 30A -=，则3tanA= ． 18．如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡB ＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡB ＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 .19．如图，△ABC 是等边三角形，P 是三角形内任一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 周长为12，PD+PE+PF= .20．已知221y x x =-+-+，则y x= ． 21．某市居民用水的价格是2．2元／m 3，设小煜家用水量为卫(m 3)，所付的水费为y 元，则y 关于x 的函数解析式为；当x=15时，函数值y 是，它的实际意义是．22．A 表示一个多项式，若()23A a b a b ÷-=+，则A= ．23．小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在B 点他观察到仓库A 在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C 点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为________千米．（参考数据：3≈1.732，结果保留两位有效数字）．三、解答题24．如图，张斌家居太阳光住的甲楼 AB 面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼 CD ，楼高约为 l8m ，两楼之间的距离为 21m ，已知冬天的太阳高度最低时，光线与水平线的夹角为 30°.(1)试求乙楼 CD 的影子落在甲楼 AB 上的高 BE 的长；(2)若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间的距离至少应是多少？25．如图，是一学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离 x(m)的函数的图象．(1)求此函数解析式；(2)此次推铅球成绩是多远？26．某人骑自行车以每时10km 的速度由A 地到达B 地，路上用了6小时．(1）写出时间t 与速度v 之间的关系式．(2）如果返程时以每时12km 的速度行进，利用上述关系式求路上要用多少时间？（1）t=60v； (2)5h ．27． 2x y x y -试确定 x ，y 的取值范围.28．人们发现某种蟋蟀在1min 时间内所叫次数 x(次)与当地温度 T(℃)之间的关系可近似地表示成T= ax+b ，下面是该种蟋蟀1min 所叫次数与温度变化情况对照表：蟓蟀叫的次数x …84 98 119 … 温度T(℃) … 15 17 20 …(2)如果蟋蟀1min 时间内叫了 63 次，那么估计该地当时的温度大约是多少？29．观察如图的统计图，回答下列问题：(1)我国地形分为几类?哪种地形面积最大?(2)面积最大的两种地形的面积之和占全国总面积的多少?(3)哪两种地形的面积最小?分别占多少?(4)若已知我国国土总面积是960万平方千米，你能知道各种地形的面积吗?30．小林用七巧板拼一只飞翔的鸽子，现在还剩一块有一个锐角是45°的直角三角形ABC(左下角)应该放在黑色的三角形这个位置上．你能帮助小林通过变换将直角三角形ABC放到黑色的三角形这个位置上吗?请说明你是通过怎样的变换实现的．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．C4．C5．D6．D7．Ｄ8．D9．B10．D11．CD13．C14．D15．B二、填空题16．圆锥或正三棱锥或正四棱锥17．．142n - 19．4 20．21 21． y=2．2x ，33，用水量为15吨时所付水费为33元22．2223a ab b +-23．1.8三、解答题24．(1)tan30o CG GE =，21CG ==(18BE DG ==-m(2)tan 30o CD DF =18DF=，∴18DF ⋅=答：(1)乙搂落在甲楼上的影子长(18-m ；(2)两楼之间的距离至少是18 m ． 25．（1）21(4)312y x =--+；（2）10m 26．0x ≤，0y ≥28． (1)17a =，3b =；(2) 12℃ 29．(1)我国地形分五类，其中平原地形面积最大 (2)59％ (3)丘陵和山地，丘陵占12％，山地占10％ (4)丘陵960×12％=ll5．2万千米2；山地960×10％=96万千米2；盆地960×19％=l82．4万千米2；平地960×33％=316．8万千米2；高原960×26％=249．6万千米2 30．把△ABC 先向右平移6个单位，再向上平移7个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到。

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2013年中考数学模拟试卷
一、选择题（每小题2分，共24分） 1、－2的倒数的是（）
A. 2
B.
21 C. －2
1
D. －0.2 2、在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为
A ．9.63×10－
5 B ．96.3×10－
6 C ．0.963×10－
5 D ．963×10－
4
3、某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（）
分数（分） 89 92 95 96 97 评委（位）
1
2
2
1
1
A ．92分
B ．93分
C ．94分
D ．95分 4、下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. 5．下列计算错误的是（）
A ．－（－2）=2
B ．822=
C ．22x +32x =52
x D ．235()a a =
6. 在函数1
31y x =-中，自变量x 的取值范围是（）
A ．13x <
B ．13x ≠-
C ．13x ≠
D ．1
3
x >
7、右图是一个台阶形的零件，两个台阶的高度和宽度都相等，则它的三视图是
A. B. C. D.
8．如果关于x 的一元二次方程22
(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ A.k ＞14-
B.k ＞14-且0k ≠
C.k ＜14
- D.1
4k ≥-且0k ≠
9．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=70o ，∠C=50o ，那么 sin ∠AEB 的值为( )
A. 2
1 B. 33 C.2
2 D. 23
10．如果关于x 的一元二次方程2
2
(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取 A.k ＞14-
B.k ＞14-且0k ≠
C.k ＜14
- D.1
4k ≥-且0k ≠
11.如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900到△A 1B 1C 则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（
）
A ．π
B ．3
C ．2343+π
D ．4
31211+π 12.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，∠A =60º，AC =2，D 是AB 边上一个动点
（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上的一点，且∠CDE =30º.设AD =x ，BE =y ,则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是
二填空题（每小题4分，共16分）
13.分解因式：=-3
39ab b a ______ ________。

分数
80 85 90 95 1
2 3 4 5
人数
(第12题图)
第11题图
第12题图
14.在某市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中,某班10名学生成绩统计如图所示,则这10名学生成绩的中
位数是分,众数是分。

15.已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角
平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是。

16.如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一
步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为
n ，则电子跳蚤连续跳（2-3n ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标
有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为。

三解答题（本题有3个小题，共18分） 17、（7分）计算: +++16tan452cos30o
o
1
4
1)
(--
18、（7分）先化简，再求值：211
(1)(2)11
x x x -÷+-+-，其中6x =
19.如图，在△AEC 和△DFB 中，∠A=∠D ，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下三个关系式：①CE ∥BF ，②AB=CD ，③CE=BF 。

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命
题书写形式：“如果，，那么”）；
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。

四．（本题共两个小题，每小题7分，共14分）
20. 今年3月5日，某中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动。

九年级一班高伟同学统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图。

请根据高伟同学所作的两个图形，解答：（1）九年级一班有多少名学生？（2）补全直方图的空缺部分。

（3）若九年级有800名学生，估计该年级去敬老院的人数。

21.泸州市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
五（本题2个小题，每小题8分共16分） 22. 如图，一次函数1
22
y x =-
-的图象分别交x 轴、y 轴于A B 、两点，P 为AB 的中点，PC x ⊥轴
于点C ，延长PC 交反比例函数(0)k y x x =<的图象于点Q ，且1
tan 2
AOQ ∠=．
（1）求k 的值；
（2）连结OP AQ 、，求证：四边形APOQ 是菱形．
11
1210
9
8
76543
21第16题图
第15题图
y Q
A C P
B
O x
23. 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图⑴，虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹
角为θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图⑵，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角减至，这样楼梯占用地板的长度增加到，已知＝4米，∠＝400，∠＝360楼梯占用地板的长度增加了多少米？
（计算结果精确到0.01米，参考数据：tan400＝0.839，tan360＝0.727）
六（本题两个小题，其中24题10分，25题12分，共22分）
24.如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若AD=8cm，求BE的长．
（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．25、（10分）已知抛物线F：y=ax2+bx+c的顶点为P..
（Ⅰ）当a=1，b=﹣2，c=﹣3，求该抛物线与x轴公共点的坐标：
（Ⅱ）设抛物线F：y=ax2+bx+c与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D.平移该抛物线使其经过点A、D，得到抛物线F：y=a′x2+b′x+c′（如图所示）.若a、b、c满足了b²=2ac，求b：b′的值：
（Ⅲ）若a=3，b=2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线F与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围.
第23题图
第25题图。