选修4-4直线的参数方程优秀课件
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选修4-4数学直线的参数方程【优质PPT】
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演
练
参数方程为__________.
课 时
(2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈__________,所以
作 业
课
sinα≥0,当 α∈(0,π)时,sinα>0.
内
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
课
(3)直线的参数方程中参数 t 的几何意义是:_____ 内
时 作 业
课 内
y=3+2
5 5 t.
讲
练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
经验证易知点
A(3,7)恰好在直线上,所以有
1+
5 5
课 内
巩
t=3,即 t=2 5,即点 M 到点 A 的距离是 2 5.
固
自
而点 B(8,6)不在直线上,所以不能使用参数 t 的几
B.(-3,4)
练
课
C.(-3,4)或(-1,2)
D.(-4,5)或(0,1)
时 作
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] d= -2- 2t-22+3+ 2t-32= 2, 课
内
∴t=±
2 2.
巩 固
自 主 演
当 t= 22时,对应点为(-3,4),
业
课 内 讲 练
第二讲 学案3 直线的参数方程
数学
人教A版·选修4-4 数学
课
前 预 习
[解析] (1)因为倾斜角 α=π6,所以 sinα=12,
高中数学课件-人教A版4-4直线的参数方程 (共26张PPT)
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x=-4+
23t,
y=12t,
得 A 点坐标(12,323),B 点坐标(-52, 23).
4.求经过点(1,1),倾斜角为 120°的直线截椭圆x42+y2=1 所 得的弦长.
解:由直线经过点(1,1),倾斜角为 120°,可得直线的
参数方程为x=1-12t,
y=1+
3 2t
(t 为参数),代入椭圆的方
[解] (1)∵直线 l 过点 P(1,1),倾斜角为π6,
∴直线的参数方程为x=1+tcosπ6, y=1+tsinπ6,
x=1+ 即
23t,
y=1+12t
为所求.
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参
数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为
A(1+ 23t1,1+12t1),B(1+ 23t2,1+12t2),
以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2=4 整理得到 t2
+( 3+1)t-2=0,
①
因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2.
1.一直线过 P0(3,4),倾斜角 α=π4,求此直线与直线 3x+
2y=6 的交点 M 与 P0 之间的距离.
解:设直线的参数方程为x=3+ 22t, y=4+ 22t,
将它代入已知直线 3x+2y-6=0,
得 3(3+ 22t)+2(4+ 22t)=6.
解得 t=-115 2,
∴|MP0|=|t|=115
2 .
2.已知直线 l 的参数方程为xy==2--1t+, 3t, 求直线 l 的倾 斜角.
x=-1+ 解:若化成另一种形式
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
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三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解:由 y x2 得:2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为( , ) 17 17
练习: 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
()如何写出直线的参数方程? 1 l
①
()如何求出交点 ,B所对应的参数1,t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得:1 x2 1,x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ,y2 由(*)解得:x1 ,x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , ),B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos (t为参数) y y0 t sin
2.3直线的参数方程课件新人教A版选修4_4(优秀经典公开课比赛课件)
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三 直线的参数方程
学习目标
思维脉络
1.掌握直线参数方程的标准式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
意义.
直线的参数方程
2.能利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用
解决简单的实际问题.
探究
直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥
曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦
4 5 3 5
������,
(t ������
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,
所以点 M 在直线 l 上. 由 1+45t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
直线参数方程的应用
【例2】
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)和方程
������ ������
= =
1+ 3+
������, 3������(t
为参数)是否为直线
l
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������,
所以两个参数方程都是直线 l 的参数方程.
因为
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)可化为
������ ������
= =
1 3
+ +
������cos ������sin
学习目标
思维脉络
1.掌握直线参数方程的标准式,理解参数 t 的几何 直线的参数方程
意义.
直线的参数方程
2.能利用直线的参数方程 直线的参数方程的应用
解决简单的实际问题.
探究
直线参数方程的标准形式主要用来解决过定点的直线与圆锥
曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦
4 5 3 5
������,
(t ������
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,
所以点 M 在直线 l 上. 由 1+45t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
直线参数方程的应用
【例2】
已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)和方程
������ ������
= =
1+ 3+
������, 3������(t
为参数)是否为直线
l
的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t
是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������,
所以两个参数方程都是直线 l 的参数方程.
因为
������ ������
= =
1 3
+ +
1223������,������(t
为参数)可化为
������ ������
= =
1 3
+ +
������cos ������sin
2014年人教A版选修4-4课件 3.直线的参数方程
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例 1. 已知直线 l: xy10 与抛物线 yx2 交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长和点 M(1, 2) 到 A, B 两点的距离之积. 解: ∵M(1, 2) 在直线 l 上, 其倾斜角为 135. ∴直线 l 的参数方程为 x 1 t cos135, y 2 t sin135. (t 为参数) 将其代入抛物线的方程并整理得 t 2 2t 2 0. t1 t2 2 , t1t2 2. (1) |AB||t1t2| (t1 t2 )2 4t1t2
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. 解: (1) t10 时, x1, y0. 得点 M0 的坐标为 M0(1, 0). 2. (2) t21 时, x 1 2 , y 2 2 点 A 的坐标为 (1 2 , 2 ). 2 2 2 2 2 | AM0 | (1 1) ( 0)2 2 2 1 t2.
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; y (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. M0 A O 1 x 解: (1) t10 时, x1, y0. B 得点 M 的坐标为 M (1, 0). 0 , x 1 2, 0 y 2. (3) t32 时 2. (2) 点 t2B 1时 , x 1 (12 y 的坐标为 , 2 , 2 2 ). 2 2 2 | t3 |. 2 2 2 |点 BM | ( 1 2 1 ) ( 2 0 ) 0 A 的坐标为 (1 , ). 2 2 2 2 )2 | AB | (1 2 2 1 2 2 )2 ( 2 2 | AM0 | (1 1) ( 2 0)2 2 2 3 | t3 t2 |. 1 t2.
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
![2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)](https://img.taocdn.com/s3/m/17cb84f5c8d376eeafaa3103.png)
(1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、 B 两点的距离之积. [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程;(2)充分利用参数几何意义求解.
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1),倾斜角为 , 6
π x=1+tcos6 , ∴直线的参数方程为 y=1+tsinπ, 6 3 x=1+ 2 t, 即 y=1+1t 2
为所求.
返回
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1+ t1,1+ t1),B(1+ t2,1+ t2), 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2=4 整理得到 t2 +( 3+1)t-2=0, 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|· |PB|=|t1t2|=|-2|=2. ①
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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π 解:∵直线 l 通过 P0(-4,0),倾斜角 α= , 6 3 x=-4+ 2 t, ∴可设直线 l 的参数方程为 y= t . 2 3 2 1 2 代入圆方程,得(-4+ t)t+9=0. 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2, 由韦达定理得 t1+t2=4 3,t1t2=9 ∴|AB|=|t2-t1|= t1+t22-4t1t2=2 3. 解得 t1=3 3,t2= 3,代入直线参数方程 3 x=-4+ 2 t, y=1t, 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( , ),B 点坐标(- , ). 2 2 2 2
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人教A版高中数学选修4-4课件科第二讲参数方程·三、直线的参数方程(一)
![人教A版高中数学选修4-4课件科第二讲参数方程·三、直线的参数方程(一)](https://img.taocdn.com/s3/m/bb71a0030912a21614792957.png)
y
y0
t sin
(t为参数)
y
O
e
l
M
M0
x
例2.经过点M(2,1)作直线l,交椭圆 x2 y2 1 于A,B两点.如果点M 16 4 恰好为线段AB的中点,求直线l的方 程.
思考 这种解法对一般圆锥曲线适用吗?
把“中点”改为“三等分点”,直线l 的方程怎样求?
课后作业
1.过点P(1, -2),倾斜角为45o的直线l 与椭圆x2+2y2=8交于A、B两点,求 |AB|及|PA|·|PB|.
2.设AB为椭圆 x2 y2 1 的一条弦, 16 9
点M(2, -1)为AB的中点,求AB所在 直线的方程.
探究
直线与曲线y=f(x)交于M1,M2两点, 对应的参数分别为t1,t2.
(1)曲线的弦M1M2的长是多少? (2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值 是多少? (3)你还能提出和解决哪些问题?
课堂小结
经过点M0(x0, y0),倾斜角为
的直线l的参数方程为
x x0 t cos
( x x0 , y y0 ) t(cos ,sin ),
于是 x x0 t cos , y y0 t sin .
即 x x0 t cos , y0 y t sin .
y
e
l
M
M0
O
x
因此,经过点M0(x0, y0),倾斜角为
的直线l的参数方程为
高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
第二讲 参数方程
三 经过点M0(x0,y0),倾斜角为 的直线l的 普通方程是组卷网
2
高中数学课件-选修4-4直线的参数方程(第二课时)
![高中数学课件-选修4-4直线的参数方程(第二课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/352f0f3289eb172ded63b7fe.png)
例题选讲
已知直线l过点P (1, 2),
且它的倾斜角 135.
(1)写出直线l的参数方程; (2)求直线l与直线y x 的交点坐标.
变式训练
已知直线l:x y 1 0于 抛物线y x2交于A、B两 点.求:求线段AB的长和点 M(-1, 2)到AB两点的距 离之积.
【思路分析】
(1)因为直线l 过定点M , 且 l 的倾斜角为 3 , 4
解 设直线AB上动点P(x, y), 选取参数 AP ,
PB 则直线AB的参数方程为
x
2+4
,
1+ (为参数).
3+5
y
1+
①
把①代入2x-3y+1=0,得= 2
再把= 2代入①得到
x 10,
y
7,
即交点P的坐标为(10, 7)
题后反思
解析几何中一类相交弦端点至定点的距离和、积、弦长, 用直线参数方程可以简化运算,精准作答.
所以它的参数方程是
x
1
t
cos
3 4
,
(t为参数),
y
2 t sin
3
4
2
即x 1
2
t,
(t为参数).
y
2
2 t
2
(2)把它代入抛物线方程,得t 2 2t 2 0,
①
设方程的两个根为t1、t2 , 则由韦达定理得,
t t 2 ,
1
2
t t 2 12
所以由参数t的几何意义
| AB || t1 t2 | t1 t2 2 4t1t2 2 8
即
x
2
t
cos 30, (t为参数).
人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)
![人教A版高中数学选修4-4直线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(24张)](https://img.taocdn.com/s3/m/6f84616afe4733687e21aac4.png)
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2 x=3- 2 t, (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 y= 5+ 2t 2 同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ .
预习导学 课堂讲义 当堂检测
[预习导引] 直线的参数方程
经过点 M0(x0,y0),倾斜角为
α α
π ≠ 2 的直线 l 的参数方程为
(t 为参数),其中参数 t 的几何意义是:|t|是直线 → l 上任一点 M(x,y)到点 M (x ,y )的距离,即|t|=|M M|.
1 x=1+2t, 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 (t 为参数), y=5+ 3t 2 1 3 代入直线方程 x-y-2=0,得 1+ t-5+ t-2=0,解得 2 2 t=-6( 3+1).根据 t 的几何意义可知|MM0|=6( 3+1).
答案 6( 3+1)
直线参数方程的形式不同,参数 t 的几何意义也不同,过定点
x=x0+at, b M0(x0,y0),斜率为a的直线的参数方程是 (a、b 为 y = y + bt 0
常数,t 为参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
π 跟踪演练 1 直线 l 经过点 M0(1,5),倾斜角为 3 ,且交直线 x -y-2=0 于 M 点,则|MM0|=________.
同一条直线,则 λ 与 t 的关系是(
)
A.λ=5t C.t=5λ
B.λ=-5t D.t=-5λ
解析 由x-x0,得-3λ=tcos α,由y-y0,得4λ=tsin α,消
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
![2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)](https://img.taocdn.com/s3/m/c5269101581b6bd97f19ead0.png)
x=x0 t cos y y0 t sin
探究:直线的 参数方程形 (t是参数) 式是不是唯 一的
3.注意向量工具的使用.
x x0 at |t|=|M t 才具有此几何意义 (t为参数) 0M| y y0 bt 其它情况不能用。
P41习题2.3 1、 3
2 t x 1 2 (t为参数) y 2t (2 )直线x y 1 0的一个参数方程是 。 2
思考: 由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方
解: M M te M 0 M te 0
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解:由 y x2 得:2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
二、新课讲授
问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角, 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理,得: 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理,得到 (t是参数) y y0 t sin
数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程
![数学(选修4-4)课件2.2直线的参数方程](https://img.taocdn.com/s3/m/fb17f479657d27284b73f242336c1eb91a3733bc.png)
∴cos
α=21,sin
α=
3 2.
x=1+21t,
∴直线
l
的参数方程为 y=
3 2t
(t 为参数).①
∵直线 l 和椭圆相交,将直线的参数方程代入椭圆方程并
整理,得 5t2+2t-4=0.
∴Δ=4+4×5×4>0.
设这个二次方程的两个实根为 t1,t2. 由根与系数的关系,得 t1+t2=-25,t1t2=-54.
直线的参数方程
已知直线l过(3,4),且它的倾斜
角θ=120°.
(1)写出直线l的参数方程.
(解2):求(直1)线直l线与直l 的线参x-数y方+程1=为0的xy==交34++点tt.csions
120°, 120°,
x=3-21t,
即
y=4+
3 2 t.
x=3-12t,
(2)把 y=4+
3 2t
由 M 为 AB 的中点,根据参数 t 的几何意义,
得|PM|=t1+2 t2=51.
(2)|AB|=|t2-t1|= t1+t22-4t1t2=
8245=2
21 5.
1.过定点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x=x0+tcos α, y=y0+tsin α
(t 为参数),|t|的几何意义是有向线段P→M的长
代入 x-y+1=0,得
3-21t-4- 23t+1=0.解得 t=0.
x=3-21t,
把
t=0
代入 y=4+
23t,
得两直线的交点为(3,4).
【点评】 (1)已知直线经过的定点及直线的倾斜角,求参
数方程可利用xy= =xy00+ +ttcsions
α, α,
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设直线 l的倾斜角为 ,定点 M 0、动点 M的坐标 分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y )
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ?
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标?
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
( 1 )如何写出直线 l的参数方程?
①
( 2 )如何求出交点 A,B所对应的参数 t1,t 2 ?
①
( 3 ) AB 、 MA MB 与t1,t 2有什么关系?
( 1 ) M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 ( 2 )t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
三、例题讲解
x y 1 0 2 解:由 得: x x 1 0 (*) 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 2 y x 求解本题呢? 由韦达定理得: x1 x2 1 ,x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
x2 y2 1有一内接矩形ABCD, 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
由(*)解 得 : x1 1 5 1 5 2 2
记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐 点标A(
1 5 3 5 1 5 3 5 , ),B( , ) 2 2 2 2
则 MA MB ( 1
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
2
2
小结:
x a cos 椭圆的参数方程: y b sin
( 为参数) a b 0
表明
2a, 2b
分别是椭圆的长轴长与短轴长, 且焦点在 轴上,参数是椭圆 的离心角,不是旋转角,由例1 可以可看出,利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单.
x
小结:
x r cos 圆的参数方程: ( 为参数) y r sin
一、课题引入 在平面直角坐标系中,确定一条直线 的几何条件是什么? 根据直线的几何条件,你认为用哪个 几何条件来建立参数方程比较好? 一个定点和倾斜角可惟一确定一条 直线
根据直线的这个几何条件,你认为应 当怎样选择参数?
二、新课讲授
设 e是与直线l平行且方向向上( l的倾斜角不为 0 ) 或向右(l的倾斜角为0 )的单位方向向量(单 位长度 与坐标轴的单位长度相 同)
四、课堂练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
2 x 1 t 2 (t为参数) y 2t 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 2
(2 )直线 x y 1
直线的参数方程中参数t的几何意义是: t 表示参数t 对应的点M到定点M 0的距离。当M 0 M 与e同向时,t取正 数;当M 0 M 与e异向时,t取负数;当点M与M 0重合时, t 0.
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2:已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为
( 2 ),焦点坐标是(( 3 , 0)),离心率是 (
3 2
)。
练习3: 已知圆的方程为x y 4 x cos 2 y sin
练习4
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
x y 1 8 18
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 及其简单应用, 学习后要把握以下几个 知识点:
( 1 )直线的参数方程与普 通方程 y y0 tan ( x x0 )的联系;
( 2 )直线的参数方程与向 量知识的联系;
( 3 )参数t的几何意义;
( 4 )应用:用参数 t表示点的坐标、直线上 两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的 长,与中点对应的参数 t.
l:x-y+4=0的距离最小.
y
分析1: 设P( 8 8y 2 , y),
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
| 2 2 cos sin 4 | 2
O x
分析2:设P(2 2 cos, sin ),
则d
P
l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 分析 3:平移直线 小结: 借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。
又 M 0 M // e
存在惟一实数 t R,使得 M 0 M t e
注:( 1 )直线的参数方程中哪 些是变量?哪些是常量 ? ( 2 )参数t的取值范围是什么? ( 3 )该参数方程形式上有 什么特点?
x 3 t sin200 B) ( 1 ) 直 线 ( t为 参 数 ) 的 倾 斜 角 是 ( 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
2 2
3cos 0, ( 为参数),那么圆心的轨迹的普通
2
方程为 ____________________
x y 1 上求一点M, 例1 在椭圆 9 4
使点M到直线x+2y-10=0的距离最小, 并求出最小距离.
2
2
9 8 M( , ) 5 5
最小值为 5
y
M
O x
例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线
(以原点为圆心,r为半径, 为旋 转角)
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ?
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标?
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
( 1 )如何写出直线 l的参数方程?
①
( 2 )如何求出交点 A,B所对应的参数 t1,t 2 ?
①
( 3 ) AB 、 MA MB 与t1,t 2有什么关系?
( 1 ) M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 ( 2 )t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
三、例题讲解
x y 1 0 2 解:由 得: x x 1 0 (*) 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 2 y x 求解本题呢? 由韦达定理得: x1 x2 1 ,x1 x2 1
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
x2 y2 1有一内接矩形ABCD, 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
由(*)解 得 : x1 1 5 1 5 2 2
记 直 线 与 抛 物 线 的 交坐 点标A(
1 5 3 5 1 5 3 5 , ),B( , ) 2 2 2 2
则 MA MB ( 1
1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
2
2
小结:
x a cos 椭圆的参数方程: y b sin
( 为参数) a b 0
表明
2a, 2b
分别是椭圆的长轴长与短轴长, 且焦点在 轴上,参数是椭圆 的离心角,不是旋转角,由例1 可以可看出,利用椭圆的参数方 程解最值问题会比较简单.
x
小结:
x r cos 圆的参数方程: ( 为参数) y r sin
一、课题引入 在平面直角坐标系中,确定一条直线 的几何条件是什么? 根据直线的几何条件,你认为用哪个 几何条件来建立参数方程比较好? 一个定点和倾斜角可惟一确定一条 直线
根据直线的这个几何条件,你认为应 当怎样选择参数?
二、新课讲授
设 e是与直线l平行且方向向上( l的倾斜角不为 0 ) 或向右(l的倾斜角为0 )的单位方向向量(单 位长度 与坐标轴的单位长度相 同)
四、课堂练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 x 1 (2) (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
2 x 1 t 2 (t为参数) y 2t 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 2
(2 )直线 x y 1
直线的参数方程中参数t的几何意义是: t 表示参数t 对应的点M到定点M 0的距离。当M 0 M 与e同向时,t取正 数;当M 0 M 与e异向时,t取负数;当点M与M 0重合时, t 0.
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2:已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ),短轴长为
( 2 ),焦点坐标是(( 3 , 0)),离心率是 (
3 2
)。
练习3: 已知圆的方程为x y 4 x cos 2 y sin
练习4
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
x y 1 8 18
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推导 及其简单应用, 学习后要把握以下几个 知识点:
( 1 )直线的参数方程与普 通方程 y y0 tan ( x x0 )的联系;
( 2 )直线的参数方程与向 量知识的联系;
( 3 )参数t的几何意义;
( 4 )应用:用参数 t表示点的坐标、直线上 两点间的距离、直 线被曲线所截得的弦的 长,与中点对应的参数 t.
l:x-y+4=0的距离最小.
y
分析1: 设P( 8 8y 2 , y),
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
| 2 2 cos sin 4 | 2
O x
分析2:设P(2 2 cos, sin ),
则d
P
l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 分析 3:平移直线 小结: 借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。
又 M 0 M // e
存在惟一实数 t R,使得 M 0 M t e
注:( 1 )直线的参数方程中哪 些是变量?哪些是常量 ? ( 2 )参数t的取值范围是什么? ( 3 )该参数方程形式上有 什么特点?
x 3 t sin200 B) ( 1 ) 直 线 ( t为 参 数 ) 的 倾 斜 角 是 ( 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
2 2
3cos 0, ( 为参数),那么圆心的轨迹的普通
2
方程为 ____________________
x y 1 上求一点M, 例1 在椭圆 9 4
使点M到直线x+2y-10=0的距离最小, 并求出最小距离.
2
2
9 8 M( , ) 5 5
最小值为 5
y
M
O x
例2、如图,在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线
(以原点为圆心,r为半径, 为旋 转角)