行列式的定义、排列
第二章 行列式
d , 当 l j , a1l A1j a2l A2 j L anl Anj 0 , 当 l j .
4.拉普拉斯定理 设在行列式中任意取定了k( 1 k n 1 ) 个行.由
这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式
的乘积之和等于行列式的值。
5. 范德蒙德行列式
1 1 1 1
从而，它本身表示 n！个行列式的和。
1
1
例15.求n阶行列式 D L 1
1
1 L 1L LL 1L 1L
1 1
L 展开后的正项总数。
1 1
解：易知D=2n1 设D的展开式中有P个正项，N个负项.
由于D的每一项不是1就是-1，故
P N n! P N 2n1
从而 P 1 (2n1 n!) 2n2 1 n!
a11 a12 a1n a11 a21 an1
a21 a22 a2n a12 a22 an2
an1 an2 ann a1n a2n ann
性质2 有公因数，可以提取.
a11 a12
a1n
a11 a12
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
an1 an2 ann
2.逆序（数）
定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大
小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称 为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的 逆序数.
排列 j1 j2 jn 的逆序数记为 ( j1 j2 jn ) 3.奇偶排列
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为 奇数的排列称为奇排列. 4.对换
二、行列式的计算 n级行列式的计算或证明一般比较麻烦，有一
定的难度。但在计算或证明时有一个中心指导思想： 就是化行列式使其元素中出现较多的零，并向下面 两种形式的行列式化简：
第一章 行列式·行列式的定义
当n=4k+2,4k+3时为奇排列. 当n=4k,4k+1时为偶排列；
线 性 代 数
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第一章
行列式
第一节 行列式的定义
二、 对换
定义4 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换, 叫做 相邻对换. 例如
线
性
代
数
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结束
第一章
行列式
第一节 行列式的定义
1 三阶行列式
定义6 行标
a11 D = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记为三阶行列式.
列标
a 13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33 − a13 a 22 a 31, a 33
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( − 2 ) × ( − 2 ) − ( −4 ) × 2 × ( − 3 )
1 1 2 3 4 9 1 x = 0. x2
[例5] 求解方程
解 方程左端
2 D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5 x + 6,
由于方程组的系数行列式
−2 1 = 1 × 1 × (− 1) + (− 2 ) × (− 3 ) × (− 1) + 1 × 2 × 1 1 − 3 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3) × 1 −1 1 −1 = − 5 ≠ 0,
(一)行列式
a11 a12 a 21 a 22
a11a 22 a12 a 21
2．三阶行列式
a11 a12 a13
由 9 个数 aij (i, j 1,2,3) 得到下列式子： a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法， 我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3、行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低， 再求出它的值； （2）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。 注意：结合上述两种方法：利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0” 元素，再按这一行或这一列展开；
对角行列式
ann
a11a22 ann
例1 计算下列行列式的值 1 1 2 （） 0 4 1 3 2 1 1 （2） 1 1 0 2 1 2 1 1 0 0 0 3 0 2 1
1
a b c d e f g h （3） x 0 0 0 y 0 0 0
（三）行列式的性质与计算
解：方程组的系数行列式
1 2 D 1
4
1 3 4 1 0 2 1 1 1 1 1 1 (1 )
2 3 1 2列 1列 2 1 1 3 4
第三行展开 按
1 3
3 5 2 6 ( 2)( 3)
2 1 4 1
例 2 计算行列式 D 4
3 1 2 1 5 2 3 2 7 0 2 5
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 1 ，利用这个元素可以把这一 列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
1.排列,行列式的定义_546406555
11
a 2 2 a1 2 a 2 1 0
时, 得
x1
b1 a 2 2 a 1 2 b 2 a11a 22 a12 a 21
， x2
a 1 1 b 2 b1 a 2 1 a11a 22 a12 a 21
.
由方程组的四个系数确定, 定义
a11 a21 a12 a22 a11a22 a12 a21
故方程组的解为:
x1
D1 D
1, x 2
D2 D
2, x3
D3 D
1.
11
问题 怎样定义 n 阶行列式?
三、排列与排列的逆序数以及行列式的定义 定义1 由 1, 2, …, n 组成的有序数组称为一个 n 阶排列, 一般 记为: j1 j2 jn . 例如 12…n 是一个 n 阶排列, 叫自然排列, 有多少 n 阶排列? 定义2 在一个排列 j1 j2 jn中如果一个大数排在小数前面, 则 这两个数构成一个逆序. 一个排列的逆序总数叫逆序数, 记为:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
(1)
x1 , x 2 ,, xn 表示
st
偶排列 t 个
例如
2112, 132231, 213123, 321312
14
a11 a21
a11 a21 a31
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12a 21 (1) (12 ) a11a22 (1) ( 21) a12 a21 ,
第二章(行列式)ppt课件
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
第二讲 行列式
a1 D2 = c1
n
b1 = a1d1 b1c1 d1
得
D2 n = ∏ (ai di bi ci )
i =1
计算下列行列式: 例3. 计算下列行列式:
x b1 D = b2 M bn a1 c1 0 M 0 a2 L an 0 L 0 0 M c2 L M O 0
L cn
解:该行列式的特点是:非零元素分布在第一行,列 该行列式的特点是:非零元素分布在第一行, 及主对角线上, 形分布.根据这一特点, 及主对角线上,成"爪"形分布.根据这一特点,可借助 主对角线上的元素利用倍加变换将第一行(列)元素化为 主对角线上的元素利用倍加变换将第一行( 即可. 零.即可.
aj cj r j +1 + r1
D
j =1,L, n
=
n a b j j ∏ ci x ∑ c j =1 i =1 j n
1 + x12 x2 x1 L xn x1 2 x1 x2 1 + x2 L xn x2 例4 计算 Dn = M M M 2 x1 xn x2 xn L 1 + xn
bn
0 N
a b c d
1 1
0 O
d n 1 0 0 dn
c c
n
n 1
d
0
n 1
0
都按最后一行展开
an d n D2 n2 bn cn D2 n2
由此得递推公式: 由此得递推公式: D2 n = (an d n bn cn ) D2 n 2 即 而
D2 n = ∏ (ai di bi ci ) D2
(8)计算 (8)计算 D2 n = 0
;
an O
第一章 行列式
第一章 行列式本章主要内容是行列式的定义、性质及其计算方法.此外还介绍了用行列式解线性方程组的克莱姆法则.§1. 全排列的逆序数本节考虑由1,2,3,…, n 这n 个数排成的不重复数字的全排列，不同的全排列共有n ！个.以后对这种全排列简称排列.例如，由1,2,3这三个数有以下3！=6个排列：123, 132, 213, 231, 312, 321定义 设1p 2p …n p 是1,2,…, n 的一个排列，考察其中任意两个数，如果大的数排在小的数之前，就说有一个逆序.所有逆序的总数称为排列1p 2p …n p 的逆序数，记作τ(1p 2p …n p ）.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例1. 计算由1,2,3排成的六个排列的逆序数 [解] 排列123没有逆序，逆序数τ(123)=0. 排列132中，仅有3在2之前一个逆序，τ(132)=1. 排列213中，仅有2在1之前一个逆序，τ(213)=1. 排列231中，2在1之前，3在1前，τ(231)=1+1=2. 排列312中，3在1,2之前，τ(312)=2.排列321中，3在2,1之前，又2在1前，τ(321)=2+1=3. 其中132，213，321为奇排列，123，231，312为偶排列. 例2. 求τ(42315)及τ(54321).[解] τ(42315)=3+1+1=5，τ(54321)=4+3+2+1=10. 性质1. 交换排列中的两个数，排列的奇偶性改变. [证] 先讨论交换相邻两数的情形.设排列为 1p ……S p a b 1+S p …m p （1）交换a 与b ，得排列1p ……S p b a 1+S p …m p（2） 任意一个i p 与a 或b 的大小关系在（1）与（2）两个排列中是一样的.所以当a >b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数减少1，当a <b 时，排列（2）的逆序数比排列（1）的逆序数增加1.因此，当（1）为奇排列时，（2）为偶排列；当（1）为偶排列时，（2）为奇排列.即排列（1）与（2）有不同的奇偶性.再讨论交换不相邻两个数的情形.设排列为1p ……S p a 1c …k c b 1+S p …m p （3）交换a 与b ，得排列1p ……S p b 1c …k c a 1+S p …m p （4）我们也可以对排列（3）中的a 依次与1c ，…，k c 进行k 次相邻的交换，得到排列 1p ……S p 1c …k c a b 1+S p …m p再对这个排列中的b 依次与a ，k c ,…，1c 进行k +1次相邻的交换，就得到排列（4）.因此，经过2k +1（奇数）次相邻的交换可以由（3）得到（4）.由前面已证明的结论可知，进行奇数次相邻的交换，排列的奇偶性要改变，所以排列（3）与排列（4）有不同的奇偶性. （证毕）性质2 由1,2,…,n （n >1）所作的n ！个排列中，奇排列与偶排列各占一半. [证] 设奇排列有s 个，偶排列有t 个.对每一个奇排列都交换1与2，就得到s 个不同的偶排列.因此，s ≤t .同理可证t ≤s ，故s =t .（证毕）§2. 行列式的定义将2n 个数ij a （i ,j =1,2,…,n ）排成n 个横行及n 个竖列的方形表格，两边再用竖线围起, 就得到n 阶行列式的记号：nnn n nn a a a a a a a a a ............ (21)2222111211其中每个数ij a 称为行列式的元素，它有两个下标，第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示所在的列数，ij a 就是i 行j 列的元素.行列式的行数是从上到下依次为第一行，第二行，…，第n 行.列数是从左到右依次为第一列，第二列，…，第n 列.行列式有两条对角线，由左上到右下那条对角钱称为主对角线，在主对角线上的元素为11a ,22a ,…，nn a .由右上到左下的对角线有时称为副对角线.n 阶行列式是由代数和组成的一个数，其定义如下.定义n 阶行列式为nnn n nna a a a a a a a a ............ (21)2222111211=21212121)1(p p P P P ）P P （P a a nn ∑⋯⋯-τ…n np a其中τ(21p p …n p )是列标排列21p p …n p 的逆序数，∑nP P P 21表示对所有n ！个排列求和.上述定义说明n 阶行列式是含有n ！项的代数和，其中每一项是不同行不同列的n 个元素的乘积，当把这n 个元素按行标从小到大的顺序排列时，其列标排列21p p …n p 的逆序数τ(21p p …n p )若为偶数，这项冠以“+”号，若为奇数，这项冠以“－”号.根据行列式的定义，一二三阶行列式可以计算如下： 一阶行列式：11a =110)1(a -=11a 二阶行列式：22211211a a a a =22110)1(a a -+21121)1(a a -=2211a a －2112a a三阶行列式：333231232221131211a a a a a a a a a =3322110)1(a a a -+3123122)1(a a a -+3221132)1(a a a -+3122133)1(a a a -=332211a a a +312312a a a +322113a a a －312213a a a －332112a a a －322311a a a 如果在三阶行列式中，将冠以“+”号的项的三个数用实线加以连接，将冠以“－”号的项的三个数用虚线加以连接，就可以得到如下图形：利用这个图形，很容易写出三阶行列式的六项代数和.例1. 计算以下两个行列式：（1）1D =4321 （2）2D =432501123--[解] （1）1D =3241⨯-⨯=64-=2-（2）2D =)3(1)1(252403-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯412)3(5320)1(⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯--=84503200-+-++=60四阶行列式有4！=24项，要写出并计算这24个乘积的代数和是很麻烦的.对于三阶以上的高阶行列式，一般要利用下节要介绍的行列式的性质进行计算.不过，像下面例2的几个特殊的高阶行列式，却可以用定义直接得到它的值.+3321121)1(a a a -+3223111)1(a a a -例2. 利用行列式的定义计算下列的行列式1D =nn n n a a a a a a21222111000 2D =nn nn a a a a a a 000222112113D =nna a a000002211 4D =nnnn n n n n a a a a a a 112121000--[解] 行列式1D 在主对角线之上的元素全为0，这种行列式称为下三角行列式.根据定义，行列式是由不同行不同列元素的乘积的代数和，因为含0元素的项必为0，只要考察不含0元素的项.设这种项为：n n np p p ）P P （P a a a 212121)1(τ-因为1D 的第一行除了11a 之外为0，所以必有11p a =11a ，1D 的第二行除了21a ,22a 之外都为0，但21a 与11a 位于同一列，与11a 不同列的只有22a ，所以22p a =22a ，依次类推，可知1D 中不含0元素的项只有如下一项：nn n ）a a a 221112()1(⋅⋅⋅-τ=nn a a a 2211因此，1D =nn a a a 22112D 的主对角线之下的元素都是0，这种行列式称为上三角行列式.依次讨论第n 行，第1-n 行，…，第1行，可知2D 中不含0元素的项与1D 相同，所以2D =nn a a a 2211上三角与下三角行列式统称为三角行列式.行列式3D 中除对角线上的元素之外，其它元素都是0，这种行列式称为对角行列式，它是三角行列式的特例，因此3D =nn a a a 2211以上说明三角行列式及对角行列式的值都等于主对角线上元素的乘积.4D 在副对角线上方的元素为0，它不是三角行列式.类似于前面的讨论可知4D 中不含0元素的项只有121121121()1(n n n n ）n n a a a a ---- τ，因为)121( -n n τ=12)1(+++- n =)1(21-n n ，所以 4D =1211212)1()1(n n n n n n a a a a ----即4D 等于副对角线上元素的乘积再乘以2)1()1(--n n .例3. 设)(x f =)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯，其中各元素)(x a ij 都是可导函数.试证)(x f '=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（即对行列式求导，等于对各行求一次导的n 个行列式的和） [证] 根据行列式定义，有)(x f '='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑⋯n n n P P nP P P P P P x a x a x a 12121)()()()1(21)( τ=[]∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a1211)()()()1(21)( τ=∑⋯'-nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ+ +'-∑⋯nn n P P nP P P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)(τ +∑⋯'-nn n P P nPP P P P x a x a x a 1211)()()()1(21)( τ=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'''+…+)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （证毕）下面的定理是对行列式定义的另一种说法. 定理. 对于上述行列式定义中的任意一项n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-若对乘积21P a 22P a …n nP a 的因子顺序进行若干次交换，变为乘积11j i a 22j i a …n n j i a ，则有n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(τ-=n n n n j i j i j i j j j ）i i i a a a 22112121)(()1(ττ+-换句话说，如果行列式各项的乘积21P a 22P a …n nP a 的因子不是按行标从小到大的自然顺序排列，而是任意排列成11j i a 22j i a …n n j i a ，则这项应冠以符号)((2121)1(n n j j j ）i i i ⋯+⋯-ττ[证] 因为21P a 22P a …n nP a =11j i a 22j i a …n n j i a ，所以只要证明）P P P n 21()1(τ-= )((2121)1(n n j j j ）i i i ττ+⋯-设21P a 22P a …n nP a 的因子经过k 次交换，成为11j i a 22j i a …n n j i a ，则行标排列1 2…n 经过k 次交换，成为排列n i i i 21.列标排列n p p p 21经过k 次交换，成为排列n j j j ⋯21，根据§1性质1，若k 为奇数，则行标排列与列标排列都同时改变奇偶性，因而)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ---=)(21)1(n j j j τ--若k 为偶数，则行标排列与列标排列的奇偶性都不变，因而有)12()1(n τ-=)()(2121)1()1(n n P P P i i i ， ττ--=)(21)1(n j j j τ-不论k 是哪一种情况，都有)()12(21)1(n p p p n ττ+-=)()(2121)1(n n j j j i i i ττ+-因为0)12(=n τ，所以要证的等式成立.（证毕）§3. 行列式的性质设n 阶行列式D =nn n n nn a a a a a a a a a ............ (212222111211)将行列式D 的第一行，第二行，…，第n 行，依次改写成第一列，第二列，…，第n 列，得到行列式 TD =nnn nn n a a a a a a a a a ............ (212)221212111T D 称为D 的转置行列式.D 中i 行j 列的元素ij a ，在T D 中位于j 行i 列的位置上.性质1. 行列式与其转置行列式相等. [证] D 中任意一项为n n nP P P ）P P P a a a 212121()1(⋯-τ其中21P a 22P a …n nP a 也是T D 中不同行不同列元素的乘积，但在TD 中，其行标排列为n p p p ⋯21，列标排列则为12…n ，根据上节定理，在T D 中，这个乘积应冠以符号)()12((2121)1()1(n n P P P n ）P P P τττ-=-⋯+这就证明了D 中每一项也是TD 中的一项，D 中不同的项在TD 中也是不同的，并且D 与TD 的项数一样，都是n ！，因此有D=TD .（证毕）由性质1可知，行列式中的行与列具有同等地位，行列式的性质凡是对行成立的，对列也必定成立，反之也一样.因此，以下的行列式性质，我们只对行的情形加以证明，将行列式转置就可得到列的相应性质，以后不再说明.性质2. 交换行列式的两行（列），行列式变号. [证] 设D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121行第行第j i ←← 交换第i 行与第j 行，得1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i jn j j a a a a a a 2121行第行第j i ←← 其中D 与D 1中未写出的行的元素都对应相同. 根据行列式定义，D 中任一项为n j i n j i nP jP iP P P P P P a a a a 111)()1(τ-其中n j i nP jP iP P a a a a 11也是D 1中不同行不同列元素的乘积，其列标排列没有变化，但行标排列为n i j 1它是由自然顺序n j i 1交换i ,j 得到的，由§1性质1，有)1()1(n i j τ-= )1()1(n j i τ--=0)1(--=1-.根据上节定理，乘积n j i nP jP iP P a a a a 11在D 1中应冠以符号)()1(1)1(n j i P P P P n i j ττ+-=)(1)1(n j i P P P P τ--与在D 中的符号相反，这说明将D 中每一项变号，就得到D 1的所有项，故有D=－D 1.（证毕）推论 若行列式有两行（列）相同，则此行列式等于零.[证] 将这两行交换，行列式未改变，由性质2得到D=－D ，所以D=0.性质3. 行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘此行列式，即有 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i ka ka ka 21=k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯in i i a a a 21 两个行列式中除第i 行之外，未写出的元素都对应相同.（这性质也可以叙述成行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面相乘）[证] 根据行列式定义，有 等式左边=npn ip P P P P P P a ka a i n i n)()1(1111)(τ∑⋯-=npn ip P P P P P P a a a ki n i n1111)()1(τ∑-=等式右边. （证毕）性质4. 行列式中如有两行（列）成比例，则此行列式等于零.即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a ka ka ka 2121=0[证] 根据性质3，将D 的第i 行提出公因子k 以后，行列式的第i 行与第j 行相等，由性质2的推论得D=0. （证毕）性质5. 若行列式的某行（列）的元素都是两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和：D =nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211)()()(⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯则D 等于下列两个行列式之和：D =nn n n in i i na a a a a a a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+nnn n in i i n a a a b b b a a a 212111211⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [证] 记等式右边两个行列式为D 1，D 2，则根据行列式的定义，有D=n i i n nnp ip ip P P P P P a b a a )()1(1111)(+-⋯∑τ=n i n nnp ip P P P P P a a a 1111)()1(τ∑⋯-+n i n nnp ip P P P P P a b a 1111)()1(τ∑-=D 1+D 2 （证毕）性质6. 将行列式的某行（列）乘以数k ，再加到另一行（列）上，行列式的值不变，即D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯⋯jn j j jnin j i j i a a a ka a ka a ka a 212211=1D D 与D 1中未写出的元素对应相同.[证] 由性质5及性质4，有1D =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j in i i a a a a a a 2121+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯jn j j jnj i a a a ka ka ka 2121=D+0=D 在举例之前，先引进行列式运算的几个记号： （1）“交换i ,j 两行（列）”记作j i r r ↔)(j i c c ↔. （2）“0≠k 乘i 行（列）”记作i kr )(i kc（3）“k 乘j 行（列）加到i 行（列）上”记作j i kr r +)(j i kc c +要注意：行列式经运算j i kr r +后，第i 行改变，但第j 行不变.同样，运算j i kc c +使行列式的第i 列改变，但第j 列不变.例1. 计算四阶行列式 D=123412121124021231-----[解] 计算数字的高阶行列式，有一种方法是利用行列式性质，尤其是用行列式的性质6，将行列式化为上三角行列式，于是上三角行列式主对角线上元素的乘积就是行列式的值.本题先以2乘第1行，再以2除行列式，使行列式的元素都为整数，方便计算.再用行列式性质（主要是性质6），将其化为上三角行列式.整个计算过程如下：1490134013800132211234121211240132212141312221--------++-r r r r rr r D15001100011001322194149013400110013221242342----+r r r r r r 400110011013--=)4()1(1221-⨯-⨯⨯⨯=4例2．计算行列式D =2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a[解] 这是文字元素的行列式，计算这种行列式，要先分析行列式的特点，采用适当的行列式性质进行化简计算.本行列式的特点是各行的构造相类似，对列作变换可达到化简的目的.具体运算如下.341223c c c c c c D ---2212221222122212523212523212523212523212222223342222++++-++++++++++++d d c c b b a a c c d d d d c c c c b b b b a a a a =0注意：在对行列式连续做两次以上的运算时，第一次运算以后，行列式已变化，第二次再作运算时，是对变化后的行列式作运算，而不是对原来行列式作运算.例如连续作两次运算12c c -,23c c -，当作了运算12c c -后，行列式的第2列已变化，再作23c c -时，应是第三列减去变化后的行列式的第二列，如果还是减去原行列式的第二列，就会产生错误.避免错误的方法之一,就是做了一次运算就将行列式写出来，再做第二次运算.但这样做又太麻烦了.要不麻烦，就像我们在本题中所做的那样，连续对行列式作运算34c c -,23c c -，在作运算34c c -时，第二三列并未改变，因此再做23c c -的运算时，对原行列式作23c c -，与对变化后的行列式作23c c -是一样的结果.例3． 计算n 阶行列式D =ab b b a b b b a ⋯⋯⋯⋯ （主对角线元素都为a ，其它元素都为b ）.[解] 本行列式的特点是各行元素之和相等，若将第2列之后各列都加到第1列，将公因子提出，再对行作运算，就可化为上三角行列式了.具体运算过程如下.D a b b n a b a b n a b b b n a cc c n )1()1()1(21-+⋯⋯⋯⋯-+-++++=])1([b n a -+ab b a b b 111⋯⋯⋯⋯ 11213r r r r r r n --- ])1([b n a -+ba b a b a b b b -⋯⋯⋯⋯⋯-- 0000001=1)]()1([---+n b a b n a例4. 计算行列式D =111222+++z yzxzyz y xyxz xy x [解] 第一二三行依次提公因子x ,y ,z ，得D =zz y xz yy x z y xx xyz111+++再对第一二三列依次乘x ,y ,z ，得D =111222222222+++z y x z y x z y x行列式各行之和相等，可按例3的方法计算，得D11111222222222222222+++++++++++z y z y z y z y z y z y =)1(222+++z y x 11111222222++z y z y z y10101)1(222221312z y z y x r r r r +++--=1222+++z y x§4. 行列式按行（列）展开定义. 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列剩下的1-n 阶行列式记作ij M ，称为元素ij a 的余子式，而ij A =ij j i M +-)1(称为元素ij a 的代数余子式.例如三阶行列式D =321321321c c c b b b a a a则1行1列元素1a 的余子式11M 及代数余子式11A 为11M =3232c c b b ，11A =1111)1(M +-=11M =3232c c b b 2行3列元素3b 的余子式23M 及代数余子式23A 为23M =2121c c a a ，23A =2332)1(M +-=23M -=2121c c a a -由定义可知，当元素所在的（行数+列数）为偶数时，代数余子式和余子式相等，为奇数时，代数余子式和余子式相差一个符号.引理. 在n 阶行列式D 的第i 行所有元素中，除元素ij a 外，其余元素都为零，则D=ij a ij A .[证] 先证i =j =1的情形.设D =nnn n na a a a a a a 21222211100⋯⋯⋯⋯根据行列式定义，有 D=n n nnp p P P P P P P P a a a 21212121)()1(τ∑- (11>P 时，11P a =0) =n n nnp p P P P P a a a 222211)1(1)1(τ∑- (1,2≠n ，P P ) =n n nnp P P P P P a a a 2222)(11)1( τ∑-=1111M a =1111A a再证一般情形.设D =nnnj njnj n ij n j j j a a a a a a a a a a a111111111110000+-+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯将D 中第i 行依次与第1-i 行，2-i 行，…，1行相交换，再将得到的行列式的第j 列依次与第1-j 列，2-j 列，…，1列相交换，设得到的行列式为D 1.则D 1中1行1列的元素为ij a ，D 1中1行1列元素的余子式11M '=D 中i 行j 列的余子式ij M .由前面证过的结论，有 1D =ij a 11M '=ij a ij M 因为D 1是由D 经过)1()1(-+-j i 次行、列的交换得到的，所以有D =ij ij ij j i ij ij ij j i j i A a M a M a D =-=-=-++-+-)1()1()1(1)1()1(. （证毕）定理. 设n 阶行列式D =nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯则有按第 i 行展开式：D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211.(i =1,2,…,n ) 按第j 列展开式：D =nj nj j j j j A a A a A a +++ 2211.(j =1,2,…,n ) [证]D =nnn n in i i na a a a a a a a a212111211000000+⋯+++⋯+++⋯++根据§3行列式性质5，D 等于n 个行列式之和，即D =nn n n i n a a a a a a a2111121100+nn n n i n a a a a a a a2121121100+…+nnn n in n a a a a a a a211121100 根据引理，就得到按第i 行的展开式D =in in i i i i A a A a A a +++ 2211按列的展开式同理可证.（证毕）推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠，和 nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211=0，)(j i ≠[证] 根据定理，将D 按j 行展开，有jn jn j j j j A a A a A a +⋯++2211=nnn jn j in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 在等式两边，将1j a ,2j a ,…, jn a 依次换作1i a ,2i a ,…in a ，（jnj j ，A A A ,,21不含第j 行元素）得jn in j i j i A a A a A a +⋯++2211=nnn in i in i n a a a a a a a a111111行第行第j i ←← 右边行列式有两行相同,等于零.故得jn in j i j i A a A a A a +++ 2211=0 (j i ≠)同理可证列的情况. （证毕）利用行列式的展开式，可以将计算n 阶行列式化为计算n －1阶行列式.对于数字元素的行列式，经常将某行（列）的元素除一个元素外都化为零，再按该行（列）展开，达到降阶的目的.例1 计算行列式D=1234121211240132-----[解] 第4列比较简单，并且还有一个0，所以我们对行作运算，使第4列除一个元素外，其余元素都是0，具体计算如下.022121201120132-按第4列展开02211213243)1(1--+-⨯2204013212----r r 按第3列展开224031)1(--+--=)]2)(4(20[---⨯-=8 例2 设D =2235007022220403-- 求（1）D 中第三行各元素的代数余子式之和34333231A A A A +++ （2）D 中第四行各元素余子式之和44434241M M M M +++[解]（1）将34333231A A A A +++看作D 中第3行元素改为1,1,1,1后，再按第3行展开的展开式，故有34333231A A A A +++=2235111122220403-=0 （2）44434241M M M M +++=44434241A A A A +-+-=1111007022220403---按第3行展开1112224323)1(7--+-∙- =28)4(7-=-⨯例3 证明n 阶)1(>n 范德蒙（Vandermonde ）行列式n V =112112222121111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-1)(j i n j i x x=⋅----)())()((1141312x x x x x x x x n )()())((122423-----⋅n n n x x x x x x x x（其中记号∏表示同类因子的连乘积.）[证] 对阶数n 用数学归纳法.2=n 时，有2V =2111x x =12x x -=∏≥>≥-12)(j i jix x ，结论成立.设结论对1-n 阶范德蒙行列式成立，即设223222232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n n n x x x x x x x x x =∏≥>≥-2)(j i n j i x x 下面要证明对n 阶范德蒙行列式，结论也成立.对n V ，从第n 行开始，直到第2行，将后行减去前行的1x 倍，即对n V 依次作运算11--n n r x r ，211---n n r x r ，…，112r x r -，得n V =)()()(0)()()(011111213231222113312211312x n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n n ------------按第1列展开后，再提出各列的公因子，就得n V =)())((11312x x x x x x n -⋯--2232232111---⋯⋯⋯⋯n nn n nx x x x x x 右端的行列式是1-n 阶的范德蒙行列式，由上面的归纳假设得n V =)())((11312x x x x x x n --- ∏≥>≥-2)(j i n jix x =∏≥>≥-1)(j i n jix x即结论对n 阶范德蒙行列式也成立.由归纳法，该等式对一切2≥n 的自然数都成立.（证毕）n 阶范德蒙行列式等于2nC =2)1(-n n 个形如j i x x -的因子的乘积，例如4V 是24C =6个形如j i x x -的因子的乘积，即4V =343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x =∏≥>≥-24)(j i j i x x =))()()()()((342423141312x x x x x x x x x x x x ------当n x x x ,,21 中有两个数相等时，就有n V =0，只有这n 个数都互不相等时，才有n V ≠0.例4 计算n 阶行列式D=na bbbb b a b bb b a ⋯⋯⋯⋯⋯21，),,2,1,(n i a b i =≠[解] 利用加边法计算.即添加一行一列，将D 表示成n +1阶行列式，再利用行列式性质进行运算得出结果.具体作法如下.将下面右边n +1阶行列式按第1列展开，可知下面的等式成立D=n a bb b b b a b bb b a bb b b00121，(右边为n +1阶)以1-乘第1行加到其它各行，得D=ba b a b a b b bbn --⋯⋯⋯⋯⋯⋯----100010001121因为0≠-b a i ),,2,1(n i ⋯=，依次以b a -11，b a -21，…，ba n -1乘第2,3,…,n +1列再加到第1列，得到D=ba b a b a b b b b b a bn ni i ----+∑= 000000000001211这是上三角行列式，故得D=)())()(1(211b a b a b a ba bn ni i ----+∑=§5. 解线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则本章最后，介绍用行列式解线方程组的克莱姆法则，即下面的定理. 定理（克莱姆法则）设有n 个方程n 个未知量的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 若系数行列式D=nnn n n n a a a a a a a a a 212222111211⋯⋯⋯⋯≠0则线性方程组（1）有唯一解D D x 11=，D D x 22=，…，DDx n n = 其中),,2,1(n j D j ⋯=是用常数项n b b b ,,,21⋯替换D 中第j 列所得的行列式，即j D =nnj n n j n n nj j n j j a a b a a a a b a a a a b a a .......................................1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-[证] 这里只对2=n 的情形证明，一般情况的证明留到第二章给出.设方程组为⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a 系数行列式D =22211211a a a a =012212211≠-a a a a以22a 乘第1方程，12a 乘第2方程，再相减得121122211)(x a a a a -=122221a b a b -以21a 乘第1方程，11a 乘第2方程，再将第2方程减第1方程得221122211)(x a a a a -=211112a b a b -因11a 0211222≠-a a a ，故得1x =12212211122221a a a a a b a b --=22211211222121a a a a a b a b =DD 1, 2x =12212211211112a a a a a b a b --=22211211221111a a a a b a b a =D D 2. 以上证明了如果方程组有解，则它的解只能是 1x =D D 1，2x =D D2 （＊） 其中D=22211211a a a a ，D 1=222121a b a b ，D 2=221111b a b a若将得到的1x ,2x 的表达式（＊）代入方程组中，容易验证（＊）式确是方程组的解.（证毕）例 解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x[解] 系数行列式为D=674121200311512-----674121201277011970------按1列展开21212771197------21c c +21112701192----21112715110231-----r r 列展开按1127152---＝1271511=0271051321571211≠=-=⨯-⨯方程组有唯一解.再计算出1D =816740212560391518=------，2D =1086701215060911582-=-----3D =276041252069311812-=---，4D =270741512090318512=-----根据克莱姆法则得3278111===D D x ，42710822-=-==D D x 1272733-=-==D D x ，1272744===D D x方程组的唯一解为1x =3，2x =－4，3x =-1，4x =1.。
行列式的定义是什么
行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。
对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。
2阶： 3阶：。
但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。
二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。
两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。
并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。
行列式是一个双线性映射。
三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。
三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。
同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。
基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。
这并不是说平行六面体的体积不唯一。
恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。
可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。
也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。
行列式
行列式行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性数，多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间可以成为描述“体积”的函数。
竖直线记法矩阵A的行列式有时也记作|A|。
绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的方法混淆。
不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。
此外，矩阵的绝对值是没有定义的。
因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。
例如，一个矩阵：，行列式也写作，或明确的写作：，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代。
直观定义一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：其中，S n是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；表示对S n全部元素的求和，即对于每个σ∈S n，在加法算式中出现一次；对每一个满足1 ≤i, j≤n的数对(i, j)，a i, j是矩阵A的第i行第j列的元素。
sgn(σ)表示置换σ∈S n的符号差，具体地说，满足1 ≤i < j≤n但σ(i) > σ(j)的有序数对(i, j)称为σ的一个逆序。
如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ) 1，如果共有奇数个，则sgn(σ) -1。
1.1行列式的定义
例1. 求下列排列的逆序数，并判断 奇偶性。
（1）n，n-1， ……， 3，2，1
（2）1，2n，2，2n-1， ……， n+2，n，n+1
例2. 已知τ(i1，i2， ……，in )=k， 问τ(in，……，i2，i1)=？。
定义1.3 将一个n级排列i1， i2， ……，is， ……， it， ……， in中的两个数is，it交换位置，其他 数字不动，得到一个新的排列 i1， i2， ……，it， ……，is， ……，in ， 称这种变换为一次对换，记为（ is， it） 。
定理1.1 一次对换改变排列的 奇偶性。
证明：相邻对换和一般对换
推论：n级排列一共有n！个， 其中奇排列和偶排列各有n!/2 个。
二、二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
对角线法则
注：行列式表示一种运算规则，结 果是一个常数。
a11 a21
a12
a (1) a a 22 ( j1, j2 )
定义1.2 在一个n级排列i1，i2，……， is，……，it，……，in中，如果is>it， 则称is，it构成一个逆序。这个n级排列 的逆序的总数称为它的逆序数，记为 τ(i1，i2，……，in )。
注1. 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
注2. 1，2，……，n称为自然序排列。
作业
52页，习题一，11，12，13
交作业方式（01）
单周周二：学号 2011210573 —— 2011210597
单周周四：学号2011210598 —— 2011210622
双周周四：学号 2011210623 —— 2011210646 ， lx11170**
行列式的定义
定义1 由n 个自然数1,2,,n 组成的一个无重复的有序数组12n i i i ,称为一个n 级排列.例如,1234和2431都是4级排列,而45321是一个5级排列. 显然, n 级排列共有!n 个.排列12n 中元素之间的次序为标准次序,这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序.定义2 在n 个不同元素的任一排列中,当某两个元素的次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.也就是说,在一个n 级排列12t s n i i i i i 中,如果一个较大的数排在一个较小的数之前,即若t s i i >,则称这两个数,t s i i 组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数,称为这个排列的逆序数,记为12()n i i i τ或τ.例如,排列2431中,21,43,41,31是逆序,共有4个逆序.故排列2431的逆序数4τ=. 根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数： 设在一个n 级排列12n i i i 中，比(1,2,,)t i t n =大的且排在t i 前面的数共有i t 个，则t i 的逆序的个数为i t ，而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数．即12121().nn n i i i i i t t t t τ==+++=∑例1 计算排列45321的逆序数.解 因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3；比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数为4．可见所求排列的逆序数为(45321)002349τ=++++=．定义3 如果排列12n i i i 的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列12n i i i 的逆序数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12n 的逆序数是0，因此是偶排列.2.对换定义1 在排列12t s n i i i i i 中,将任意两数t i 和s i 的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换. 例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实. 定理1 对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列.推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.3.n 阶行列式定义1 设有2n 个数，排成n 行n 列的表：111212122212n n n n nna a a a a a a a a作出表中位于不同行列的n 个数的乘积，并冠以符号(1)τ-，得到!n 个形如1212(1)n j j nj a a a τ-的项，其中12n j j j 为自然数1,2,,n 的一个排列，τ为这个排列的逆序数.所有这!n 项的代数和121212(1)n nj j nj j j j a a a τ-∑称为n 阶行列式，记作1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑.其中12nj j j ∑表示对所有的n 级排列12n j j j 求和.行列式有时也简记为det()ij a ，这里数ij a 称为行列式的元素，1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-称为行列式的一般项.定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点： ①由于n 级排列的总数是!n 个，所以展开式共有!n 项； ②每项必须是取自不同行不同列的n 个元素的乘积；③每项前的符号取决于n 个元素列下标所组成排列的奇偶性.要注意的是，当1n =时，一阶行列式a a =，不要与绝对值记号相混淆. 例1 证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).1(1)2,1212,111(1)nn n n n n n n a a a a a a ---=-.证 根据n 阶行列式的定义易得121nnn a a a (1)((1)21)212,1112,11(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=-.上例中行列式，其非副对角线上元素全为0，此类行列式可以直接求出结果，例如0001002003004000(4321)(1)123424τ=-⨯⨯⨯=. 证毕类似地，非主对角线上元素全为0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主对角线上元素的乘积，即有11221122nn nna a a a a a =.主对角线以下（上）的元素全为0的行列式称为上（下）三角行列式，它的值与对角行列式的一样.例2 计算上三角形行列式1112122200n n nna a a a a a .解 一般项为1212()12(1)n n j j j j j nj a a a τ-，现考虑不为零的项.n nj a 取自第n 行，但只有0nn a ≠，故只能取n j n =；11,n n j a --取自第1n -行，只有1,11,0,0n n n n a a ---≠≠，由于nn a 取自第n 列，故11,n n j a --不能取自第n 列,所以11n j n -=-；同理可得，2212,,2,1n j n j j -=-==.所以不为零的项只有(12)11221122(1)n nn nn a a a a a a τ-=.所以11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =.在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，n 阶行列式的项可以写成1122n n i j i j i j a a a其中1212,n n i i i j j j 是两个n 级排列.利用定理1.1.1，可以给出n 阶列式另一种表示法.定理1 n 阶行列式也定义为1212112212121112121222()()12(1).n n n n n nn n i i i j j j i j i j i j i i i j j j n n nna a a a a a a a a a a a ττ+=-∑推论 n 阶行列式也定义为1212121112121222()1212(1).n n nn n i i i i i i n i i i n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑例2 在四阶行列式中，21321443a a a a 应带什么符号？ 解 1）按定义1.1.5计算.因为2132144314213243a a a a a a a a =，而4123的逆序数为(4123)01113τ=+++=，所以21321443a a a a 的前面应带负号.2）按定理1.1.2计算.因为21321443a a a a 行指标排列的逆序数为(2314)00202τ=+++=，列指标排列的逆序数为(1243)00011τ=+++=.所以21321443a a a a 的前面应带负号. 4、行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212.n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =性质2 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号.推论 若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零. 性质3 用一个数乘以行列式的某一行（列），等于用这个数乘以此行列式，即111211112112121212.n n i i in i i in n n nnn n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 第i 行(或列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或i c k ⨯).推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零. 推论3 若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零.性质4 若行列式中第i 行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i 行（列）的元素，而除去第i 行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的.即11121112212n i i i i in in n n nna a a ab a b a b a a a +++ 111211112112121212nn i i in i i in n n nnn n nna a a a a a a a ab b b a a a a a a =+. 若n 阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如a xb y a b yx b yc zd wc d wz d w++++=+++++a b a yx b x yc dc wz dz w=+++性质5 将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变. 例如以数k 乘第j 行加到第i 行上（记作j i kr r +），有111211112112112212121212n n i i ini j i j in jnj j jn j j jn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=.以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.第二讲 行列式的计算教 学 目 的：掌握行列式的计算 教学重点与难点：行列式的计算 教学计划时数：2学时 教 学 过 程：1、化行列式为三角行列式来计算性质2，3，5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即i j r r ↔，k i ⨯γ，j i kr r +和i j c c ↔，i c k ⨯，j i kc c +.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算j i kr r +（或j i kc c +）可以把行列式中许多元素化为0，进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0，然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例1 计算行列式.011212120112110-----=D解 313112211021102011201121212011221100314r r r r r r D+-↔------------==32324331102110201120112002400240222r r r r r r ++-------------==1(1)(2)(2)4=-⨯-⨯-⨯-=.例2 计算n 阶行列式n a b b b b a bb D b b ab b b ba=. 解 注意到此行列式中各行（列）的n 个数之和相等，故可把第二列至第n 列都加到 第一列上去，然后各行都加上第一行的（－1）倍，就有12(1)(1)(1)(1)nc c c na nb bbb a n b a b b D a n b b a b a n b b ba ++++-+-+-+-=21311(1)000000n r r r r r r a n bbbb a b a b a b---+----=1[(1)]().n a n b a b -=+--按本例，特别地有：4131111311[3(41)1](31)4811311113-=+-⨯-=.2、行列式按行（列）展开定理定义1 在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，余下的（1-n ）阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ；再记ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如，对三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 元素12a 的余子式和代数余子式分别为2123123133a a M a a =，2123121212123133(1)a a A M M a a +=-=-=-.有了定义1，三阶行列式可以写成111213212223111112121313313233a a a a a a a M a M a M a a a =-+ 111112121313a A a A a A =++.引理 一个n 阶行列式D ,若其中第i 行（或第j 列）所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即ij ij A a D =.定理1 行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理. 我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.例3 计算行列式12341012.3110125D =--解 因为D 中第二行的数字比较简单，所以选择D 的第二行.应用性质5得314121222100031461217c c c c D -------=222146217=按第二行2＋1展开（－1）－－－－－ 2131111100146135217239c c c c --＝22－－－－＝2(2715)24=-+=-35=2-3-9.例4 计算n 阶行列式000000000000n a b a b D a b b a=.解 将n D 按第1列展开，则有1(1)(1)0000000000(1)0000000000n n n n a b b a a b D aba b b a a b +--=+-1111(1)(1)n n n n n n a a b b a b -+-+=⋅+-⋅=+-.例5 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,)(1111112112222121∏≥>≥----==j i n j i n nn n nnn x x x x x x x x x x x D其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.因为221211211()i j i j D x x x x x x ≥>≥==-=-∏， 所以当2n =时公式成立.现假设公式对于（1n -）阶范德蒙德行列式成立，要证对n 阶范德蒙德行列式也成立.对n D 降阶：从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有2131122133112222213311111100()()(),0()()()n n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------ 按第一列展开，并把每列的公因子1()(2,3,,)i x x i n -=提出，得到232131122223111()()(),nn n n n n nx x x D x x x x x x x x x ---=---上式右端的行列式是（1n -）阶范德蒙德行列式，由归纳假设，它等于所有因子()(2)i j x x n i j -≥>≥乘积.故213112()()()()n n i j n i j D x x x x x x x x ≥>≥=----∏1().i j n i j x x ≥>≥=-∏证毕由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是12,,n x x x 这n 个数中至少有两个相等.另外，我们可用例5的结果直接计算行列式，如2222333311112345(54)(53)(52)(43)(42)(32)1223452345=------=.第三讲 习题课教 学 目 的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点.教学计划时数：2课时 教 学 过 程：1 内容精要排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算.2 知识脉络图12121212n nj j nj n j j j ki kj n D a a a j j j n D a A ττ=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=∑排列,排列的逆序数，奇（偶）排列阶行列式的定义：(-1)，为排列的逆序数（不同行不同列的个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等，性质两行（列）对应位置元素成比例三个可性：可提性，可分性，可加性行列式按行（列）展开:展开式111n n ik jkk k t i i i a A D M A ===⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩∑∑∑拉普拉斯展开：基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题例1用行列式定义计算行列式01000020000100n D n n =-解： n D 仅有位于不同行、不同列的n 个非零元素，即1,12,21,11,2,,1,n n n nn a a a n a n ---===-=.因此n D 的!n 项中仅有一项非零，故((1)(2)21)1,12,21,1(1)n n n n n n n nn D a a a a τ-----=-.因为(2)(1)((1)(2)321)(2)(3)32102n n n n n n n τ----=-+-+++++=，所以(2)(1)2(1)!n n n D n --=-.例2 计算行列式.2111712164112324--=D分析 对于元素是数字的行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算，或将其某一行（列）化成有较多0元素之后，再按该行（列）展开降阶.解法一（化为三角形行列式）05205910354021011232171216412113412134124--------++↔r r r r r r r r D ＝＝102300174100591210105203540591210123243242----------↔r r r r r r ＝＝2300355910210110230025059102101344342-----+-r r r r ＝＝.19 190007100591021012300710059102101344332-=-------+r r r r ＝＝解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）001591235415432131244--++c c c c D ＝591354543)1()1(14--⨯-=+0011741410233121395------c c c c ＝3123101(1)19.4117+--=⨯-=---注 上述两种解法是计算数字行列式常用的方法. 例3计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,2000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nn a b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.计算行列式1n D +=012112200000n nna b b b c a c a c a ，120n a a a ≠其中.分析 因为1n D +主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值.解 111012112,3,,20000000j j jcj ja j nc b n a j c c nj nna b b b a D a a --=-=-∑＝012121()j j jnc b n n a j a a a a a a a ==-∑.注 本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.例4 计算行列式123123123123nn n n n x m x x x x x m x x D x x x mx x x x x m--=--.分析 该行列式具有特点：各行（列）的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解.解法一 从第2列起将各列加到第1列，然后从第2行起各行加上第1行的（－1） 倍，得231231231231ni n i ni n i nn i ni ni n i x mx x x x mx m x x D x mx x mx x mxx x m====---=----∑∑∑∑2310000000ni ni x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.解法二 把行列式的第1行乘以)1(-分别加到第n , ,3 ,2 行上去，然后依次将第n , ,3 ,2 列加到第1列，得1230000n n x mx x x m m D m m mm--=-- 2310000000nin i x mx x x m m m=--=--∑11()()nn i i x m m -==--∑.例5 计算n 阶行列式n x x xy D y yλαβββαβββα= )2(≥n . 分析 这个行列式大部分元素相同，所以问题的关键是想办法变出尽可能多的零. 解 从第二行开始，各行都减去第n 行，然后从第二列开始，各列都加到最后一列，再按第一列展开，得00000000n x x xxD yλαββααββααββαβββα----=--(1)000000000(2)x xx n x yn λαβαβαββββαβ---=-+-(1)0000000(2)n n αβαβλαββββαβ---=-+-1(1)(1)000(1)0000n n x x xn x y αβαβαβ+---+---212)()1()1()1(])2([)(-+-----+-+-=n n n n xy n n βαβαβαλ ].)1()2([)(2xy n n n ---+-=-λβλαβα注 结合行列式的性质，利用行列式的展开定理计算行列式，这是计算n 阶行列式的又一重要方法.例6 证明：0121101110000100000001n n n n n n a a a a a x x a x a x a x a x x-----=++++-.证明 用数学归纳法. 记左边行列式为1n D +，则 当1n =时，012011a a D a x a x==+-，命题成立.假设n k =时，11011k k k k k D a x a x a x a -+-=++++，则当1n k =+时，0121210000100000001k k k a a a a a x x D x x++--=-.对2k D +按第(2)k +列展开，得(2)1211(1)1000010(1)000100001k k k k k x xD xD a x ++++++--=+---1310111()(1)(1)k k k k k k k x a x a x a x a a -++-+=+++++--111k k k k x a x a x a ++=++++.因此由数学归纳法，命题对一切正整数n 成立.例7 利用范德蒙德行列式计算下列行列式(1)111(1)()(1)()1111n n n n n n a a a n a a a n a a a n ---++++++ (2)222333123123123123nnnn n n n 分析 这两个行列式与范德蒙德行列式形式不同，但若把(1)的最后一行依次与前面各行交换到第一行，新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行，这样继续进行下去，共经过交换2)1(+n n 次行后可化为范德蒙德行列式；对(2)只要每列提出公因数1,2,,n ，也可化为范德蒙行列式.。
第一讲：排列逆序数与行列式定义质
主讲人：同济大学靳全勤一、知识要点2、设为一个阶排列，若，则称构成排列的一个“逆序对”，一个排列中所有“逆序对”的个数称为排列的逆序数.n ()k l i i k l ><(,)k l i i 1k l n i i i i 1、把正整数按一定次序排成一列，称为一个阶排列，由于一个排列中的元素不重不漏，阶排列共有个.1,2,,n n n !n 3、逆序数的计算：记为排列中为位于第个位置元素后面，但比小的元素的个数，则排列的逆序数()k i τ1k n i i i k k i k i 112()()()()k n n i i i i i i ττττ=+++5、将排列中第位置元素对调，得到一个新的排列，称为排列的一个对换. 对换改变排列的奇偶性.,k l 1l k n i i i i ,k l i i 1k l n i i i i 4、若一个排列的逆序数为偶（奇）数，则称该排列为偶（奇）排列；在个阶排列中，奇、偶排列各占一半.n !n 6、行列式定义：由个元素排成的正方形数表所确定的数，称为阶行列式，规则如下：111212122212n n n n nna a a a a a a a a n 2n 111212122212n n n n nna a a a a a a a a1212121112121222()1212(1)n nn nn n i i i i i ni i i i P n n nna a a a a a a a a a a a τ∈-=∑注1: 对所有阶排列求和，展开式共有项；n !n 注2: 每一项都是取自不同行不同列的个元素之积；n 注3: 当行指标排成自然顺序时，项的符号由列指标排列的逆序数确定；12n 1212ni ini a a a ((1)i ii τ-12()n ii i τ二、教学要求1、理解排列的定义，会计算排列的逆序数，掌握对换的性质；2、利用行列式定义，正确确定行列式展开式中特定的项；3、利用行列式定义，计算某些特殊行列式；三、例题精讲当时，排列的逆序数为，此时为偶排列；4,5k l ==243156(243156)1+2+1=4τ=4,5k l ==解：是一个阶排列，因为排列中的元素不重不漏，所以必有或.2316k l 65,4k l ==,k l 例1、若阶排列为奇排列，求的值.2316k l 6当时，排列的逆序数为，此时为奇排列；5,4k l ==253146(253146)1+3+1=5τ==5,=4k l 所以，若阶排列为奇排列，则.2316k l 6当求得时，排列为偶排列时，就可断言是奇排列！4,5k l ==243156253146注：理由是是由经一次对换得到！4315253146而对换改变排列的奇偶性.(2)13(21)(2)(22) 2.n n n --例2、求下列排列的逆序数：(1)13(21)24(2);n n -解：(1)(13(21)24(2))n n τ-0123(1)n =++++-(2)(13(21)(2)(22)2)n n n τ--0123(1)+(1)21+0n n +++++--++(1)(1)(1)22n n n n n n --=+=-(1)=2n n -(1357(21)2468(22)(2))n n n τ=--(135(21)(2)(22)642)n n n τ=--ij a 例3、设为阶方阵，指出下面哪个项出现在的展开式中，并指明带什么符号.ij a 511233145522541335412(1);(2).a a a a a a a a a 1解：中的项不出现，因为该项有两个元素，均取自第列；(1)11a 31a 中的项出现，因为该项五个元素都取自不同行、不同列.(2)知，该项带“”号.25413354121225334154a a a a a a a a a a =(25314)5τ=-利用乘法的交换律，目的是把该项元素的乘积顺序按行指标排成自然顺序例4、求行列式展开式中与的系数.212111321111x x x x x-4x 3x 解：因为行列式中的元素或者是常数，或者是.x 含的项只能是，故的系数为.3x 312213344a a a a x =-3x 1-第一行元素只能取，112a x =若要出现，第四行元素必须取，4x 44a x =第三行元素必须取，33a x =第二行元素必须取,22a x =所以行列式展开式中含的项为，的系数为.4112233442a a a a x =4x 4x 2若要出现，第四行元素必须取，3x 44a x =而第四列元素也只能取常数，这样四个乘积因子中有两个取常数，不可能出现）3x 同理，第三行元素必须取，第二行元素必须取，第一行元素取，33a x =12a x =211a =212111321111x x x x x-（否则，第四行元素只能取常数，例5、根据定义，计算上三角形行列式.1112111222121110000n n n nn n n n nna a a a a a a D a a a -----在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.n 11n i n -=-1n -121121n i i n i nn a a a a --111,n n n n a a ---nn a 121211i in n nn a a a a --根据行列式的定义，.121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑依此类推，可知在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；n n i n =nn a 121121n i i n i nn a a a a --例6、根据定义，计算下三角形行列式.11212212000n n nna a a D a a a =在第行中，只有才可能不是零，因中的因子取自第列，只有取时，才可能不是零.122i =22112n ini a a a 2122,a a 11a 1122n ni a a a 解：上三角形行列式的特点是：对角线上方的元素都是零.根据行列式的定义，. 第行元素除外，其余元素都为零，所以只有当时，展开式中的项才可能不是零；111i =11a 121212()12(1)n n ni i i i i ni i i i D a a a τ=-∑2112n ini a a a 依此类推，可得在行列式的展开式中，只有主对角线上的个元素之积才可能不为零，于是.n 1122nn D a a a =注：上（下）三角形行列式的值等于对角线上元素之积.例7、根据定义，计算形行列式1234512345121212000000000a a a a ab b b b b Dc cd de e 行列式的第三、四、五行元素中，只有第一、二列的元素可能不等于零，解：根据行列式的定义，12512345125()12345(1)i i i i i i i i i i i D a a a a a τ=-∑所以行列式.12345125123450i i i i i i i i D aa a a a ==∑在每一项的因子中，至少有一个不取自第一、二列，亦即中至少有一个为零，于是.1234512345=0i i i i i a a a a a 345345,,i i i a a a 345345,,i i i a a a 1234512345i i i i i a a a a a。
行列式的定义、排列
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
1 1
例3 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
11 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式 1.1.2 排列与对换 1.1.3 n阶行列式
1 2018/1/4
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1 1
14, D2
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
大学线性代数行列式的定义
1
c3
3
1
对于行列式来说，最为重要的是它代表一个数，这个 数称为行列式的值，行列式代表数（行列式的值）怎样规定 为此需要引入余子式、代数余子式的概念。
定义2: 把 aij 所在的第i行和第j列划去后，留下的n-1
阶行列式, 称为 aij 的余子式, 记为 M ij . 记
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
一 n 阶行列式
定义1: n n 个数排成n行n列并记为如下形式
a11 a12 L a1n
D
a21 M
a22 L M
a2n M
an1 an2 ann 称其为n阶行列式（determinant)。
通常用大写字母D来表示行列式。
a11 a12 L a1n n阶行列式 D a21 a22 L a2n
问题是什么时候加或减？需要以下概念。
1排列与逆序数
通常把1, 2, …,n组成的一个有序数组称为一个排列， 每一个数在排列中仅出现一次.
在一个排列中，如果有一对数的前后位置是大数排在 小数之前，则称这一对数构成一个逆序,一个排列中逆序的 总数，称为该排列的逆序数， 记为
( j1 j2 jn )
a33
其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号, 每一条虚线上的三个元素的乘积带负号, 所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式.
a11 a12 L 一般的 a21 a22 L
MM an1 an2 L
a1n
a2n M
a11 A11 a12 A12 L
a1n A1n
ann
依次展开其结果是：取自不同行不同列的元素（n个）作 积后，这样的积共n ！个（因有n ！取法）然后作加或减。
行列式的定义(精)
第二章 行列式§1-3 排列，行列式的定义一、知识结构与内容提要 （一）、排列1． 由1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列．注： 1）所有不同n 级排列的共有n ！个．!12(1)n n n n P =⋅⋅-= (n 的阶乘)2）自然序排列：1234…n （它的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序）2.逆序、逆序数定义： 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注 1）排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ注2）12()n j j j τ=1j 后面比1j 小的数的个数++1n j -后面比1n j -小的数的个数．或=n j 前面比n j 大的数的个数+1n j -前面比1n j -大的数的个数++2j 前面比2j 大的数的个数．3. 奇排列、偶排列(1) 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． (2) 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．(3) 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．推论 任有n 级排列中，奇、偶排列各半，均为!2n 个．(4) 任意一个排列与自然序排列123n 都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同． (二) n 级行列式的定义1.定义：n 级行列式111212122212nnn n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （1）的代数和，这里12n j j j 为1、2、…．n 的一个排列．每一项（1）都按下列规则带有符号：当12n j j j 为奇排列时（１）带负号；当12n j j j 为偶排列时（１）带正号．即， 1121211121()212221212(1)n nnn j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有1、2、…．n 的n 级排列求和．注：1）常记 1112121()n nij n nna a a a a aa =∆或det ija ．2）1112121n nn nna a a a a a 中的数ij a 称为行列式处于第i 行第j 列的元素，i 称为行指标，j 称为列指标．3）n 级行列式定义展开式中共有!n 项 特别的,对二级与三级行列式我们有11122112112212122a aD a a a a a a ==-1112133212223112233122331132132132231132133112332313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---2.几个特殊的行列式的值(1)对角形行列式 11221122n nnnn a a D a a a a ==,次对角形行列式 1(1)2(1)212(1)11(1)nn n n n n n n n a a D a a a a ---==-(2)上三角形行列式111212221122000n n n nnnn a a a a a D a a a a ==,次上三角形行列式 11121(1)2122212(1)110(1)00n n n n n n n n a a a a a D a a a a --==-(3)下三角形行列式112122112212000n nnn n nna a a D a a a a a a ==,次下三角形行列式 1(1)212(1)11,21,1200(1)n n n n n n n n n nn n nna D a a a a a a a a ----==- 二、解题方法与典型例题 （一） 关于排列1． 求排列的逆序数; 2． 对换与排列的奇偶性;例1 求,k l ,使5元排列412k l 为奇(偶)排列.解 显然, ,k l 只能取3,5这两个数,若3,5k l ==,容易计算(412)6k l τ=,这时412k l 为偶排列,当 5,3k l == 412k l 为奇排列.例2 求排列21)1( -n n 的逆序数，并讨论排列的奇偶性.解 容易计算排列21)1( -n n 的逆序数为)1(21-n n ，当24,14,4++=k k k n 为偶排列，当14-=k n 是为奇排列.例3 证明 对任意整数)0(2n C k k ≤≤，存在数n ,,2,1 的一个排列，此排列的逆序数为k .证明 对)0(2n C k k ≤≤用归纳法.当0=k 时，命题显然成立.假设对)0(2n C m m ≤≤成立，即存在n ,,2,1 的一个排列，使该排列的逆序数为)0(2n C m m ≤≤，对该排列中的数码1与1右边的数码相对换，则对换后排列的逆序数为1+m .所以命题对任意的)0(2n C k k ≤≤都成立.(二)、关于行列式定义1．利用行列式定义求较简单的行列式的值2．利用行列式定义证明一些行列式的性质例1 选择,i j ，使13245325i j a a a a a 是5级行列式中一个带负号的项.解 由于1324532512532453i j i j a a a a a a a a a a =的符号决定523i j 的奇偶性，而4,1i j ==时，523i j 是奇排列，故4,1i j ==时，13245325i j a a a a a 在5级行列式中带负号.例2 计算4D =4321432100000e e e e d d d d c b a解 4D 中不含零的项为43e acd 与34e acd 而这两项符号分别是正号和负号，所以4D =4321432100000e e e e d d d d c ba =43e acd - 34e acd例3 证明：如果n 级行列式D 在k 个行和h 个列的交叉点出的元素都为零，n h k >+时，0=D .证明：若n 级行列式D 在k 个行和h 个列的交叉点出的元素都为零，设这k 个行分别是k i i i ,,,21 ,那么这些行中不为零的元素至多有h n -个，因此行列式每项中至少含有一个0.事实上，每项中，取自于第1i 中非零数的可能是h n -中，则取自于第2i 行中非零数的可能是1--h n ，……，取自于第k i 行中非零数的可能至多1+--k h n .因为n h k >+，所以011)(1≤<++-=+--k h n k h n .所以每移项中至少含有一个0.故0=D .三、 问题探讨1．假如一个n 级行列式中等于0的元素个数比2n n -多，那么这个行列是等于什么？2．讨论下列关于文字x 的行列式111212122212n n n n nnx a a a a x a a a a x a +++的1,n n x x -系数与常数项.3． 设有以下俩个行列式：11111211111212221121,n nnn nn n n n nn a a b a b a a a b a a b A B a a a b ab a -----==其中0b ≠，试讨论,A B 的关系.4．设D 是一个实(3)n n ≥级行列式，证明：D 的!n 项中若有负项 （元素的符号计算在内），则当3n =时，负项个数为奇数；当3n >时负项的个数为偶数.四、思考题与达标训练（一）、填空题1．全体n 级排列共有 个，奇排列有 ，偶排列有 个（这里2≥n ）. 2．)2(≥n n 级排列中逆序数最大的排列是 ，逆序数是 ；最小的排列是 ，逆序数是 .3．排列经一次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经奇数次对换，奇排列变成 ，偶排列变成 ；经偶数次对换 奇排列变成 ，偶排列变成 . 4．n 级排列n k k i i i i i 11211+-中，数1与余数形成的逆序数是 . 5．n 级排列n k k i ni i i i 1121+-中，数n 与余数形成的逆序数是 . 6.n D 是 项的代数和，每一项取自 元素的乘积，项nnjj j a a a 2121的符号是 .7．42142311a a a a 21431234a a a a 中 是4D 的项.8．330020001= ，=4000030000200001 .9．=003020100 ，=0004003002001000 .10． =4000430043204321 ，=7654054300320001 . 11.若0≠n D ，则n D 中非零元素个数至少有 .（A ）)1(-n n ；（B ）2)1(-n ，（C ）2n ；（D ）n .12.n D 中零的个数多多于 ，n D =0.（A ）)1(-n n ；（B ）2)1(-n ，（C ）2n ；（D ）n .13.（选择填空）设k i i i n =)(21 τ，对排列施行一次对换得到排列的逆序数是 （4） .（A ）1+k ；（B ）1-k ；（C ）q k 2+；（D ）12++q k （二）判断题1． n D 恰有n 个元素等于0，则n D =0.2．n D 中项nnj i j i j i a a a 2211的符号是)(21)1(nj j j τ-.（三）、解答题1．求以下排列的逆序数，并指出排列的奇偶性.（1） 1437265（2）13572468. 2. 选择i 和k ，使（1）8471256k i 成偶排列；（2）8715249k i 成奇排列. 3. 如果n 元排列,,,,i j 的反序数为k ,那么,,,,j i 的反序数是多少?4. 若20n k C ≤≤,证明存在n 元排列,其反序数为k . 5.证明 00000000000121n n a a a a -n n n n a a a a 1212)1()1(---=6.计算00000000a b c d e f g h7.证明：D0000000021211215432154321==e e d d c c b b b b b a a a a a8.利用n 级行列式0111111111111==n D ，证明n 级排列的奇偶排列各占一半.9.设12,,,n a a a 为n 个数码1,2,n的一个排列，求12121212111222{,,}nn n na a a a a a a a a na na na a a a a a a a a a ∑§4-5,7 n 级行列式的性质，Gramer 法则一、 知识结构与内容提要 (一)行列式的性质1．（转置变换）行列式与其转置行列是相等.该性质说明行列式的行列的位置是同等的，因此行所具有的性质列也具有.2． （换法变换）对换行列式中两行（列）位置，行列式反号．3．（倍法变换）行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号之外．即 （1）行列式中某一行（列）为零，则行列式为零．（2）如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．（3）行列式中两行（列）成比例，则行列式为04．（分行变换） 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和.5． （消法变换）把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变.（二）矩阵与矩阵的初等变换 1． 定义 由sn 个数排成s 行n 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛sn s s n n a a a a a a a a a 212222111211 称为一个s ×n 矩阵，常记为n s ij a ⨯)(．这些数ij a 称为矩阵的元素，i 为行指标，j为列指标．若矩阵A=n s ij a ⨯)(，P a ij ∈， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ，则说A 为数域P 上的矩阵．① 当s =n 时，n n ij a ⨯)(称为n 级方阵．② n 级方阵A=n n ij a ⨯)(定义的n 级行列式)(ij a ∆称为矩阵A 的行列式，记作A 或detA ．即111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，A =nn n n nna a a a a a a a a 212222111211③ 矩阵的相等：A=n s ij a ⨯)(，B=q p ij b ⨯)(．定义A=B ⇔s =p ， n=q ， ij a =ij b ， i =1，2，…，s ， j =1，2，…，n ． 2．矩阵的初等行变换定义 数域P 上矩阵的初等行变换是指： 1) 以P 中一个非零数k 乘矩阵的一行；2) 把矩阵的某一行的k 倍加到另一行，P k ∈； 3) 互换矩阵中两行的位置．注：矩阵A 经初等行变换变成B ，一般地A ≠B ． 3．阶梯形矩阵1． 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵．2． 任意一个矩阵经过一系列初等变换总能变成阶梯形矩阵．3．方阵A 经过一系列初等行变换变成阶梯阵D ，则A =.0,≠λλD 3．任何一个方阵都可以通过矩阵的初等变换化为上（下）三角形、对角形矩阵.因此任何一个行列式都可以化为上（下）三角形或者是对角形行列式进行计算.（三）、Gramer 法则 1． n 元线性方程组11112211211222221122()n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪1⎨⎪⎪+++=⎩缩写为 1,1,2,,.ni jj i j ax b i n ===∑当12,,,n b b b 不全为0时，称 （１）为非齐次线性方程组； 当 120n b b b ====时，称 (１) 为齐次线性方程组． 2．Gramer 法则如果线性方程组(１) 的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的行列式 ||0D A =≠，则方程组(１)有唯一解1212,,,n DD D n D x x x ===， 其中(1,2,,)j D j n =是把行列式D 中第j 列的元素用方程组(１)的常数项12,,,n b b b 代换所得的一个n 阶行列式，即 111,111,11212,122,121,1,1j j nj j n j n n j n n j nn a a b a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=11221.n j j n nj s sj s b A b A b A b A ==+++=∑注：① (１)的系数行列0D ≠时，(１)有解且只有唯一解； ② 若(１)无解或有两个不同的解，则(１)的系数行列式 0D =．3. （1）形如111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩称为齐次线性方程组.注： 齐次线性方程组（3）总有解； 120n x x x ====为它的一个解， 称之为零解； 除零解外的解（若还有的话）称为非零解．（2） 若齐次线性方程组（3）的系数行列ij D a ==，则(3)只有零解．二、 解题方法与典型例题1． 行列式的性质性质是本章的重点，它是行列式计算的理论基础与依据.因此不仅要正确理解这几个性质，更要灵活运用它们.行列式的计算，技巧性强，难度大，只有多做题目，总结方法与题型，积累经验，才能较好的解决行列式的计算问题.不过，不论行列式题目么千变万化，利用行列式的性质把行列式化成上（下）三角形或对角形是进行行列式计算的基础.利用行列式性质进行计算主要掌握三种方法：化简法，目标行列式法，归一法.（1） 化简法，就是利用行列式的倍法变换分行变换和消法变换把行列式的元素化的尽可能的简单.（2） 目标行列式法就是利用行列式的性质，不行列式化成上（下）三角形或对角形行列式.（3） 归一法就是 把行列式的煤航（列）元素都加到某一行（列）上，然或再利用行列式的性质进一步化简.例11112121223412n nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++解：将行列式按第一列分解11121112111212122322231223412212n n n nnnn n n n n n n n n n na b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a b a a b a b b a b a b ++++++++++++++==++++++++将等号右边的两个行列式按第二列分解，并继续下去，注意到两列相同，行列式为0，得111111122122411nnnn b a a b a a b a a b a a D b a a b a a =+，当2n =时，22121211221()()()()D b a a b a a a a b b =-+-=--，当2,0n n D >=. 例2 计算22222222422222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b D c c c c d d d d ++++++=++++++解：将第一列乘以-1加到2，3，4列得到2222222222224222222222222(1)(2)(3)2144692126(1)(2)(3)21446921260(1)(2)(3)2144692126(1)(2)(3)2144692126a a a a a a a a a ab b b b b b b b b b Dc c c c c c c c c cd d d d d d c d d d ++++++++++++++====++++++++++++++ 例31112nn x a a a x a D a a x =解 将2，3，…n 列都加到第一列然后将12,,n x a x a x a +++提到行列式的外边，于是得到11211()1n nni i a a x a D x a a x ==+∑让第一列分别乘以12,,n a a a ---后，加到第2，3，…，n+1列得到1111110()()()1nnni i i i i i nx a D x a x a x a x a ===-=+=+--∑∑∏例4 证明：01121201111100100()1nn i i na a a a a a a a a -==-∑解：将行列式的1i +行乘以1i a --加到第一列得到1011112012111000()0000ni i nn i i na a a a a a a a a a -=-=-=-∑∑2． 行列式的计算采用程序化的方法，把它通过消法变换化成三角形行列式.其方法的核心是利用矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵.例1 用初等变换将矩阵化为 阶梯形矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10030116031081402422A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=40000220001403002422040002200014030024221003012030140300242210030116031081402422A 例2.计算行列式①1111210010201352-； ②122222222232222n解 ①171001700131011110100170013101111364022301310111136401310223011112531020*********=-----=----=--=-=- ②)!2(22000001002220000120000010022220001222232222222221-⋅-=--=--=n n n n3． Gramer 有关解题方法与典型例题略三、 问题探讨1．用数学归纳法证明：对任意n 级行列式总可以通过允许的变环化成对角形、上三角形、下三角形.2．不展开行列式，计算23121111,11D ωωωωω==， 2222111a a bcD b b ca c c ab -=--3．不展开行列式求212111()321111x x x f x x x -=的42,x x 的系数.4．若n 级行列式n ijD a =满足ji ij a a =-，,1,2,,i j n =，(反对称行列式)则当n 为奇数时，0n D =5．设111212122212nnn n nn a a a a a a D a a a =，其中（1）max(,),ij a i j =（2）min(,),ij a i j =求行列式的值四、思考题与达标训练 （一）、判断题1．333231232221131211333231232221131211333332323131232322222121131312121111b ab b b b b b b b a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +=+++++++++.2．444433332222121212124444333322221111d c b a d c b a d c b a d d c c b b a a d c b a d c b a d c b a d c b a ----=.3．333222121212333222111333c b a c b a c c b b a a c b a c b a c b a +++=.（二）、填空题1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A 的第一行的-3倍加到第二行得到 .2．交换方阵A 的两行得到矩阵B ，则=A . 3．方阵A 的第二行乘3变为矩阵B ，则=A .4．方阵A 的第二行乘2加到第一行得到矩阵B ，则=A .（三）、解答题1． 计算下列行列式131******** ； ()111111111111n a a a a；13111111n n na a ab a a a b ++2324323631063a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d ++++++++++++++++++2.已知546，273，169都是13的倍数，用行列式性质证明961372645也是13的倍数.3 .计算下列行列式 ①123123123123nn n n x m x x x x x m x x x x x m x x x x xm----；②1111111111111111x x y y+-+-③n n ---1000022000113214.考察下列行列式,212222111211nn n n nna a a a a a a a a D=,2121212221111nnn nnini i i i i i a a a a a a a a a D=其中n i i i 21为n 12的一个排列，这两个行列式之间有什么关系？证明你的结论.D D Ni i i )(121)1( τ-=5.用初等行变换将矩阵化为阶梯形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10030116031081402422A6..计算行列式①1111210010201352- ②122222222232222n§2.6 行列式的展开定理，拉普拉斯定理一、 知识结构与内容提要1．定义：在行列式ij a中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1n -级的行列式111111111111111111111111j j ni i j i j in ii j i j i n n n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+称之为元素ij a 的余子式，记为ij M ．令(1)i jij ij A M +=-，称之为元素ij a 的代数余子式．2．位于行列式ij a的第12,,,k i i i 行及第12,,,k j j j 列（121k i i i n ≤<<<≤， 121k j j j n ≤<<<≤）交叉位置上的2k 元素按照原来的相对位置组成的k 行列式M 称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按原来的相对位置所构成的一个n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.而称1212(1)k k i i i j j j M +++++++'-称为M 的代数余子式.3．行列式的展开定理 （1）设,ij n D a =ijA 表示元素的ij a 代数余子式，则下列公式成立：1111220i i in in k i k i kn in D k i i D a A a A a A a A a A k i ==++⎧+++=⎨≠⎩按行展开,即 11220ij ij ij ijl j l j nl nj D l j j D a A a A a a a a a a l j ==++⎧⎪+++=⎨≠⎪⎩按行展开,即 10n i s i s s D k i a A k i ==⎧=⎨≠⎩∑ ， 10ns l s j s D l ja A l j ==⎧=⎨≠⎩∑．4. 拉普拉斯定理：任取n 级行列式的某k 行（列），由这k （列）元素的一切k 级子式（共k n C 个）与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式的值.5. 行列式的乘法规则 设有两个n 级行列式11121111212122221222121212,n n n n n n nnn n nn a a a b b b a a a b b b D D a a a b b b ==则11121212221212nnn n nn c c c c c c D D c c c =其中1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.6．范德蒙行列式123222212311231111()n n n i j j i nnnnnn a a a a D a a a a a a a a a a ≤<≤==-∏范德蒙行列式120,n n D a a a =⇔中，至少有两个相等．二、 解题方法与典型例题1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 利用7条基本性质3、 按行（列）展开─降级．适用于某行（列）0较多的行列式．4、 其他方法 （一）析因子法例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+- 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0,x =则 112312231223152319D ==-，即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-（二）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nn i nna b b b c a D c c a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n =的ii c a -倍加到第1列，得：11201()ni i n n i i b cD a a a a a +==-∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111n a a a +++ 122)n a x x xa x xx a（第2把第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()12(1)1(1)11)(1)(1)1na b b a n b b b b b b a b a n b a ba b c c c a n b baa nb b aba +-+-+++=+-+-()111(1,2)00()(1)00i n b b r r i n a b a b a n b a b--=-=-+--121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n nnn n c c c n n n n n n n n n n n n --++++---------112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n n n nn n n n n n n n ---------++=----11111(2,31)00(1)200i n rr in n nn n n n--=--+-11211100(1)20n n nn n c c c nn--++++- ()(2)(1)3211(1)1220(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n n n nn n n n n nnτ--+-+----++=--=----(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n nn n-----++=--=-．（四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化箭的可转为箭形行列式）（加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0n n n n n na a a a a ab a D b b b a a a b ++=≠+2）1212121212,0n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：1)121121221211000n n n n n nn a a a a b a a Da ab aaa ab ++=++121121100(2,31)10010n i n a a a b r r i n b b --=+--111211111(1).00(1,21)ni ni ini n i i iina a ab a b b b bc b c i n b b =+=+=++=+∑∑2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n n in nnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++---=+=--++--++1212111111222222122100001011101011120011020(3,42)11002n n i nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++-----=----=+---12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+-=12121111112211122002000002002i n in n a na a a a a a a -------∑∑22112,111122(2)(2)[(2)]1122nnn iin n i j jin a a a a a a a n a n a -=-=-=----∑∑∑（五）三对角型行列式─递推公式法1）95004950049000950049n D = 解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D -----=-按展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=- 于是有2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n -=同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=-==-=-=即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.00001n a b ab a b ab a b D a b ab a b +++=++）解：21211221c ()()()n n n n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD ------+--=-==-1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD aD bD -----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b --∴-=++--=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a ---=++--=由以上两式解得11(1)n n n na b a b D a bn a a b ++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩ （六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n n a x a a a a x aD aaa x ++=+解：11122210000000n n n nna x a a a x a a x a a a x a a a x a x a D x D aaa x aaax a -++++=+=++1211n n n x x x a x D --=+ 1122121232.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得111221231124132.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++（21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i i x x x D x x x a x =≠=+∑当时,1）也可以用加边法做：1111011n nn a aaa a x a x a D aaa x x +-==+-，111101,200ni ii n a a a x x i n x a x =+≠==∑当时,2）n a b b b c a b b D cc a b c c ca = 解：1101()0101n n nc b b b a c b b b b b b c a b b a b b a b bD c a c D cc a b c a b c a b c ccaccacca--=+=+-11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc ba b --=+------11()()n n c a b a c D --=-+-①000n bb b b a b ca b b c a b b D cc a b c c a b cccaccca-=+又11111()n c a bbb a b D cc a b ccca-=+-11()()n n b a c a b D --=-+- ②a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()n nn c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c bc b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法） 1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i i D a a a a ==+∑，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得1122111110*********11101111011111111111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++121110110111011111k k k a a a D a +=+121k k ka a a a D +=+121121211111(1)(1)kkk k k k i i i i a a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++-=+-=-由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+ cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111n n n n n nn n n n n x x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n n n i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----==----∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==- （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x -的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤<≤-+++-∏ 即，,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=-+++-∏121()()n n ijj i nD x x x x x ≤<≤∴=+++-∏2）2221212111n n n n n n x x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n n n n n n n n n n nnx x x x x x x x g x x x x x x x x x ----=121()()()()n ijj i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏即2,123121211()()()n n n n ijj i nA f x x x x x x x x x x x x x +-≤<≤-++++-∏2312121(1)()()n n n n n ijj i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=-+++-∏（三）、问题探讨1．若n 级行列式D 的所有元素为0,1,1-，则3n >时，(1)!(1)D n n ≤--.2．若n 级行列式D 的所有元素为1,1-，则12|n D -. 3．设120n a a a ≠，讨论行列式的不同求法： 12311111111111111111111n a a a a ++++4． 设(,1,2,,)ij a i j n =为整数，讨论111212122212111n nn n nn a a a ma a a D ma a a m --=-等于0 的条件.四、思考题与达标训练（一）、填空题1． 在4D 中，元素23a 的余子式是 ，代数余子式是 .2． 若444342343322312432232114131211441a a a aa a a a a a a a a a a a D =，则元素23a 的余子式是 ，代数余子式是 .3． 设n D 是n 级行列式，则=+++3223221312n n A a A a A a ，=+++3323231313n n A a A a A a .4． ==3232333245551444133312221D . 5.=--7243528800720031.5． 4级行列式中44421412a a a a M =的余子式='M ，M 的代数余子式是（二）、解答题1．计算下列行列式①122222222232222n；②()00000000n n x y x y D x yx= ；③21000121000120000021012n D =④1231131211231n n x n D x n x +=++⑤200000000000000n a b a b a D b a b a=； ⑥2(2)(1)23(1)234(2)(1)(4)(3)(1)(3)(2)aa d a d a n d a n da d a d a d a n da a da da da a d a n d a n da a n d a n da n da a d a n d a n d +++-+-++++-+++++-+-+-+-+-++-+-；⑦ x aa a a a xa a a a a x a a a a a x a a a a a x ----------；⑧n xy y y z x y y D zz x y zzzx =；2.证明αααααααsin )1sin(cos 211cos 20000cos 210001cos 10001cos 2+==n bb a D n3．证明∑∑==+=+++++++++n i n j ijnnn n nnnn n n n n A x a a a a a a a a a xa x a x a x a x a x a x a x a xa 11211222111211211222111211.4．用拉普拉斯定理计算下列行列式①1134200830024475；②05208354724104105．用行列式的乘法定理计算行列式111213212223313233cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ--------- 111212122212()()()()()()()()()n n nn n n n n nnnn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++5.计算a bc db a dc cd a b d c b aD ------=4.6. 计算n n n nn n n n x s s s x s s s x s s s s s s D 12121322111011-++-+=，其中knk k k x x x s +++= 21第二章 总练习题（A ）一、 填空题1． 奇排列经偶数次对换变成 ，经奇数次对换变成 .2． =)24681357(τ . 3．n 级行列式的定义是 .4．44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 中元素22a 的余子式是 ，代数余子式为5．0000000000121nn a a a a -= .6．=----------01098710065496138510274320 .7．n 级行列式D 中，如果将D 中的所有元素变号得到的行列式D是 . 二、 解答题1．用行列式的定义计算000100002000010n n D n -= 2．计算下列行列式①3351110243152113-----； ②1001020100111110-n ； ③x aa a a a xa a a a a x aa a a a x a a a a a x ----------3.证明αααααn cos cos 2100cos 200001cos 21001cos =4. 求多项式)(x f 的根,其中x a a a a x a a a a x a a a a xx f nn n321212121)(=5．设n a a a ,,,21 是互不相等的数，求证方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++---nn n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a bx a x a x a x x x 1212111222221212211211 有唯一解，并求其解.6．计算下列行列式21231322122111232322212111312111111--------++++++++++++n nn n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x；n n n n y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx y kx +++++++++1111111112111111３２２２２３２; 3100002300000023100002310000237．证明（1）由n 级行列式0111111111111==n D ，证明n 级排列的奇偶排列各半.其中1>n .（2）设ij a 是整数，证明05.05.05.021********11≠---nn n n n n a a a a a a a a a.（3）．设)(x g i 是数域P 上的多项式，n i ,,2,1 =，)()()()()()()()()()(222221211n n n n n x g x g x g xn g x g x g x g x g x g x f =证明 0)(=x f 或者)(x f 在P 上可约.（4）若22b a ≠，证明方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+-++-111111211221112221n n n n n n n n ax bx ax bx ax bx bx ax bxax bx ax 有唯一解，并求其解 （5）若n 级行列式n D 的元素都是1±，证明：①22≤D ； ②43≤D ； ③2,)1()!1(>--≤n n n D n .（B ）1．计算下列排列的反序数：)(i 523146879； )(ii ;1,2,,1, -n n)(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +-2．假设n 个数码的排列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么排列121,,,,i i i i n n -的反序数是多少？3．写出4个数码的一切排列． 4．确定六阶行列式D=666261262221161211a a a a a a a a a中以下各乘积的符合：()().;466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i5．写出下列四阶行列式44411411a a a a中一切带有负号且含元素23a 的项.6．证明：n 阶行列式nn n n n a a a a a a a a a a3213332312221110000000nn a a a 2211=7．考察下列行列式：nn n n n n a a a a a a a a a D212222111211=，nn n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 2121212221111=，其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个排列.这两个行列式间有什么关系？8．计算n 阶行列式a x aaaaa x a aa a a x a a aa a x ----9．计算行列式()()()()()()()()()()()()2222222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a10．证明：行列式2221112222221111112c b a c b a c b ab a ac c b b a a c c b ba a c cb =+++++++++11．设在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D212222111211=中，.0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当12．把行列式011111101101------dc b a 依第三行展开，然后加以计算．13．计算以下行列()()()()()()1122311212342341;3412412311111234;1361014102014916491625;916253616253649100001100001100;00001000011000000000000;(2)0000000000001n n n i ii iii a a a a a iv a a a a b ab a b v n b a ba b a a a vi --------+阶3123123112311;1n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++()0123110122;2101312340n n vii n n n n n -------提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和.14．令 .)(1,11ii i i i i i io i a x a x a x a x f ++++=--计算行列式)()()()()()()()()(121111*********n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f ---. 15．解以下线性方程组：()n n n a a a a a a a a viii ---------1100010000011000110001133221().232,232,232,0,0)(.432,632,423,132543432321543243214321432143214321=++-=++=++=+++=+++-=-++-=--+-=---=+++x x x x x x x x x x x x x x x x x ii x x x x x x x x x x x x x x x x i16．设121,,,+n a a a 是1+n 个不同的数, 121,,,+n b b b 是任意1+n 个数,而多项式n n x c x c c x f +++= 10)(有以下性质: i i b a f =)(,1,,2,1+=n i .用线性方程组的理论证明, )(x f 的系数n c c c ,,,10 是唯一确定的,并且对2=n 的情形导出拉格朗日插值公式.17．设n n x c x c c x f +++= 10)(.用线性方程组的理论证明,若是)(x f 有1+n 个不同的根,那么)(x f 是零多项式.。
行列式的定义
⾏列式的定义n级排列的定义：由1，2，3⋯ ,n1，2，3 \cdots, n1，2，3⋯,n组成的⼀个有序数组，称为⼀个n级排列。
如123412341234是⼀个4级排列，432143214321是另⼀个4级排列。
可知4级排列⼀共有4!4!4!个。
逆序数的定义n级排列i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_ni1i2⋯in中，如果有较⼤的数isi_sis排在较⼩的数iti_tit前，则称isi_sis与iti_tit构成⼀个逆序。
排列i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_ni1i2⋯in中逆序的总数称为它的逆序数，记作N(i1i2⋯in)N(i_1i_2\cdots i_n)N(i1i2⋯in)。
如N(1234)=0，N(4321)=3+2+1=6N(1234)=0，N(4321)=3+2+1=6N(1234)=0，N(4321)=3+2+1=6n阶⾏列式定义为：∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann∣=∑j1,j2⋯jn(−1)N(j1,j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1,j_2\cdots j_n} (-1)^{N(j_1,j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1n a2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=j1,j2⋯jn∑(−1)N(j1,j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn上式左边通常称为⾏列式的记号，简记为∣aij∣|a_{ij}|∣aij∣或(aij)(a_{ij})(aij)；右边为⾏列式的展开式，其值为⾏列式的值。
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j1 j2 j3
n阶行列式：
(1) an1 ann j1 jn a11 a1n
( j1 jn )
a1 j1 anjn
i1in
(i1in ) ( 1 ) ai11 ainn
(2)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
x 2 Байду номын сангаас x 6,
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
例4
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
解
由于方程组的系数行列式
1 D 2 1
24 2018/1/4
2、对换
对换
在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 举例 在排列21354中 对换1与4 得到的排列是24351 排列21354的逆序数是2 排列24351的逆序数是5 经过对换 排列的奇偶性发生了变化
25 2018/1/4
>>> 定理 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变 化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立
26 2018/1/4
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
由方程组的四个系数确定.
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
23 2018/1/4
逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就 说元素pi的逆序数是ti排列的逆序数为 t1t2 tn 举例 在排列32514中 t 2 t 1 t 2 t 0 t 0 1 3 4 5 2 排列32514的逆序数为 (32514 )5 标准排列12345的逆序数是多少? 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的 排列叫做偶排列 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列
若
b1 b2 b 1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
记
b1 D1 b2 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1 1
14, D2
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
11 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式 1.1.2 排列与对换 1.1.3 n阶行列式
1 2018/1/4
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
得
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 b1 D1 b2 a12 , a22
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a13 a23 , a33
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 解 按对角线法则，有
1 -3 4 -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
1 1
例3 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a12 a21 a22
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
Pn的计算公式
举例
Pnn(n1)(n2) 321n!
由a b c组成的所有排列为abc acb bac bca cab cba abb是排列吗?
22 2018/1/4
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准 排列的次序不同 就说这两个元素构成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 记作 提示 以下我们只讨论n个自然数的全排列
采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位 数的步骤:
百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3216 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是
123 132 213 231 312 321
21 2018/1/4
1、排列
我们把 n 个不同的对象 1,2,….n( 称为元素 ) 排成一列 叫做一个n元排列(也称n阶排列) n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示