行列式的定义、排列
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当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
由方程组的四个系数确定.
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
得
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
11 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式 1.1.2 排列与对换 1.1.3 n阶行列式
1 2018/1/4
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
25 2018/1/4
>>> 定理 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变 化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立
26 2018/1/4
24 2018/1/4
2、对换
对换
在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 举例 在排列21354中 对换1与4 得到的排列是24351 排列21354的逆序数是2 排列24351的逆序数是5 经过对换 排列的奇偶性发生了变化
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 b1 D1 b2 a12 , a22
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a13 a23 , a33
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
1 1
例3 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 解 按对角线法则，有
1 -3 4 -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
23 2018/1/4
逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就 说元素pi的逆序数是ti排列的逆序数为 t1t2 tn 举例 在排列32514中 t 2 t 1 t 2 t 0 t 0 1 3 4 5 2 排列32514的逆序数为 (32514 )5 标准排列12345的逆序数是多少? 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的 排列叫做偶排列 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列
i1i2i3
j1 j2 j3
n阶行列式：
(1) an1 ann j1 jn a11 a1n
( j1 jn )
a1 j1 anjn
i1in
(i1in ) ( 1 ) ai11 ainn
若
b1 b2 b 1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
记
b1 D1 b2 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1 1
பைடு நூலகம்
14, D2
Pn的计算公式
举例
Pnn(n1)(n2) 321n!
由a b c组成的所有排列为abc acb bac bca cab cba abb是排列吗?
22 2018/1/4
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准 排列的次序不同 就说这两个元素构成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 记作 提示 以下我们只讨论n个自然数的全排列
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
例4
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
解
由于方程组的系数行列式
1 D 2 1
1.1.3 n阶行列式
二阶行列式：
a11
a12
a21 a22
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
(1)
j1 j2
( j1 j2 )
a1 j1 a2 j2 (1)
i1i2
( i1i2 )
ai11ai2 2
三阶行列式：
a23 a33
( j1 j2 j3 ) (i1i2i3 ) ( 1 ) a a a ( 1 ) ai11ai2 2ai3 3 1 j1 2 j2 3 j3
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位 数的步骤:
百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3216 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是
123 132 213 231 312 321
21 2018/1/4
1、排列
我们把 n 个不同的对象 1,2,….n( 称为元素 ) 排成一列 叫做一个n元排列(也称n阶排列) n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
1
1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1 1 5, 0
2 2
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
1.1.2 排列及对换
引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a12 a21 a22
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
(2)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
由方程组的四个系数确定.
（3）
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
得
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
11 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式 1.1.2 排列与对换 1.1.3 n阶行列式
1 2018/1/4
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
25 2018/1/4
>>> 定理 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成 标准排列的对换次数为偶数 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变 化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立
26 2018/1/4
24 2018/1/4
2、对换
对换
在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 举例 在排列21354中 对换1与4 得到的排列是24351 排列21354的逆序数是2 排列24351的逆序数是5 经过对换 排列的奇偶性发生了变化
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 b1 D1 b2 a12 , a22
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a13 a23 , a33
1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
1 1
例3 解
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 解 按对角线法则，有
1 -3 4 -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
23 2018/1/4
逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就 说元素pi的逆序数是ti排列的逆序数为 t1t2 tn 举例 在排列32514中 t 2 t 1 t 2 t 0 t 0 1 3 4 5 2 排列32514的逆序数为 (32514 )5 标准排列12345的逆序数是多少? 奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的 排列叫做偶排列 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列
i1i2i3
j1 j2 j3
n阶行列式：
(1) an1 ann j1 jn a11 a1n
( j1 jn )
a1 j1 anjn
i1in
(i1in ) ( 1 ) ai11 ainn
若
b1 b2 b 1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33
记
b1 D1 b2 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a23 , a33
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1 1
பைடு நூலகம்
14, D2
Pn的计算公式
举例
Pnn(n1)(n2) 321n!
由a b c组成的所有排列为abc acb bac bca cab cba abb是排列吗?
22 2018/1/4
标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准 排列的次序不同 就说这两个元素构成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 记作 提示 以下我们只讨论n个自然数的全排列
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
x 2 5 x 6,
由 x 2 5 x 0 解得
x 2 或 x 3.
例4
解线性方程组 x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
解
由于方程组的系数行列式
1 D 2 1
1.1.3 n阶行列式
二阶行列式：
a11
a12
a21 a22
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
(1)
j1 j2
( j1 j2 )
a1 j1 a2 j2 (1)
i1i2
( i1i2 )
ai11ai2 2
三阶行列式：
a23 a33
( j1 j2 j3 ) (i1i2i3 ) ( 1 ) a a a ( 1 ) ai11ai2 2ai3 3 1 j1 2 j2 3 j3
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标 a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算 a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位 数的步骤:
百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3216 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是
123 132 213 231 312 321
21 2018/1/4
1、排列
我们把 n 个不同的对象 1,2,….n( 称为元素 ) 排成一列 叫做一个n元排列(也称n阶排列) n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
2 1 1
3 1 1 1 2 3 1 1
1
1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 5 0,
同理可得
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1 1 1
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22 a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
1
1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1 1 5, 0
2 2
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
1.1.2 排列及对换
引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数 字的三位数？ 解
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a12 a21 a22
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成 3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
(2)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a22 a31 a32
a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．