2018年高三数学一模试卷及答案(理科)
【全国通用-2018高考推荐】高三数学(理科)高考一模测试题及答案解析

2018年高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数a﹣(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为()A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.42.以下四个命题,正确的是()①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在回归直线方程=0.2x+12中,当变量x每增加一个单位时,变量y一定增加0.2单位;④对于两分类变量X与Y,求出其统计量K2,K2越小,我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④3.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是()A.(4,10] B.(2,+∞)C.(2,4] D.(4,+∞)4.某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图(2),其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为()A.48 B.64 C.96 D.1285.将函数f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1,x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A.B.C.D.6.长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为()A.B.C.D.7.已知函数f(x)=klnx+1(k∈R),函数g(x)=f(x2﹣4x+5),若存在实数k使得关于x的方程g(x)+sin x=0有且只有6个实数根,则这6个根的和为()A.3πB.6 C.12 D.12π8.在菱形ABCD中,A=60°,AB=,将△ABD折起到△PBD的位置,若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为,则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为()A.B.C.D.9.已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为()A.B.C. D.10.已知点A(1,﹣1),B(4,0),C(2,2),平面区域D由所有满足(1<λ≤a,1<μ≤b)的点P(x,y)组成.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为()A.B.2 C.4 D.811.已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n(﹣1),S n是其前n项和,若S2017=﹣1007﹣b,且a1b>0,则+的最小值为()A.3﹣2B.3 C.2 D.312.设函数f(x)=x3+bx+c,η,ξ是方程f(x)=0的根,且f′(ξ)=0,当0<ξ﹣η<1时,关于函数g(x)=x3﹣x2+(b+2)x+(c﹣b+η)lnx+d在区间(η+1,ξ+1)内的零点个数的说法中,正确的是()A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.可能存在2个零点D.可能存在3个零点二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3<0},B={x∈R|﹣1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为.14.在等差数列{a n}中,S n为数列{a n}的前n项和,d为数列{a n}的公差,若对任意n∈N*,都有S n>0,且a2a4=9,则d的取值范围为.15.设椭圆C:+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,若点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是.16.已知kC n k=nC n﹣1k﹣1(1≤k≤n,且k,n∈N*)可以得到几种重要的变式,如:C n k,将n+1赋给n,就得到kC n+1k=(n+1)C n k﹣1,…,进一步能得到:1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n(1+2)n ﹣1=n•3n﹣1.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论,计算:C n0×+C n1×()2+C n2×()3+…+C n n×()n+1= .三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,,求△ABC的面积.18.《环境空气质量指标(AQI)技术规定(试行)》如表1:表1:空气质量指标AQI分组表AQI 0~5051~100101~150151~200201~300>300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录,AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况.表2:AQI指数900 700 300 100空气可见度(千米)0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表.表3:AQI指数[0,200](201,400](401,600](601,800](801,1000]频数 3 6 12 6 3(1)设x=,根据表2的数据,求出y关于x的回归方程;(2)小李在长沙市开了一家小洗车店,经小李统计:AQI指数不高于200时,洗车店平均每天亏损约200元;AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约400元;AQI指数大于400时,洗车店平均每天收入约700元.(ⅰ)计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.(ⅱ)若将频率看成概率,求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.(用最小二乘法求线性回归方程系数公式=,=﹣x)19.如图所示,异面直线AB,CD互相垂直,AB=,BC=,CD=1,BD=2,AC=3,截面EFGH分别与BD,AD,AC,BC相交于点E,F,G,H,且AB∥平面EFGH,CD ∥平面EFGH.(1)求证:BC⊥平面EFGH;(2)求二面角B﹣AD﹣C的正弦值.20.如图,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1,P2,过P1,P2作圆心为Q的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且P1Q⊥P2Q.(1)求抛物线C和圆Q的方程;(2)过点F作倾斜角为θ(≤θ≤)的直线l,且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M,A,B,N,求|MN||AB|的最小值.21.已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22.如图,AB是圆O的直径,弦CE交AB于D,CD=4,DE=2,BD=2.(I)求圆O的半径R;(Ⅱ)求线段BE的长.选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.选修4-5:不等式选讲24.关于x的不等式lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m.(Ⅰ)当m=1时,解此不等式;(Ⅱ)设函数f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|),当m为何值时,f(x)<m恒成立?参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数a﹣(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为()A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【解答】解:复数a﹣=a﹣=a﹣(4+i)=(a﹣4)﹣i是纯虚数,∴a﹣4=0,解得a=4.故选:D.2.以下四个命题,正确的是()①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在回归直线方程=0.2x+12中,当变量x每增加一个单位时,变量y一定增加0.2单位;④对于两分类变量X与Y,求出其统计量K2,K2越小,我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小.A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【考点】两个变量的线性相关;线性回归方程.【分析】①抽样是间隔相同,故①应是系统抽样;②根据相关系数的公式可判断;③由回归方程的定义可判断;④k越小,“X与Y有关系”的把握程度越小.【解答】解:根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;在回归直线方程=0.2x+12中,当变量x每增加一个单位时,预报变量平均增加0.2个单位,故③为假命题相,若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小,则两个分类变量有关系的把握性越小,故④为真命题.∴正确的是②④,故选:D.3.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是()A.(4,10] B.(2,+∞)C.(2,4] D.(4,+∞)【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:设输入x=a,第一次执行循环体后,x=3a﹣2,i=1,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后,x=9a﹣8,i=2,不满足退出循环的条件;第三次执行循环体后,x=27a﹣26,i=3,满足退出循环的条件;故9a﹣8≤82,且27a﹣26>82,解得:a∈(4,10],故选:A4.某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图(2),其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为()A.48 B.64 C.96 D.128【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱,计算出底面的周长和高,进而可得几何体的侧面积.【解答】解:由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱,∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,O1A1=6,O1C1=2,∴它的俯视图的直观图面积为12,∴它的俯视图的面积为:24,∴它的俯视图的俯视图是边长为:6的菱形,棱柱的高为4故该几何体的侧面积为:4×6×4=96,故选:C.5.将函数f(x)的图象向左平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1,x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A.B.C.D.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数g(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数f(x)=sin(2x﹣2φ)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨设:x2=,x1=,即f(x)在x1=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=+kπ,k∈Z,由于0<φ<,不合题意,不妨设:x2=,x1=﹣,即f(x)在x1=﹣,取得最小值,sin[2×(﹣)﹣2φ]=﹣1,此时φ=﹣kπ,k∈Z,当k=0时,φ=满足题意.故选:D.6.长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|40≤x≤60,40≤y≤60}是一个矩形区域,则小张比小王至少早5分钟到校事件A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则求解即可.【解答】解:设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|40≤x≤60,40≤y≤60}是一个矩形区域,对应的面积S=20×20=400,则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域为△ABC,联立得C(55,60),由得B(40,45),则S△ABC=×15×15,由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=,故选:A.7.已知函数f(x)=klnx+1(k∈R),函数g(x)=f(x2﹣4x+5),若存在实数k使得关于x的方程g(x)+sin x=0有且只有6个实数根,则这6个根的和为()A.3πB.6 C.12 D.12π【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】根据条件,先判断g(x)关于x=2对称,然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可.【解答】解:∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2,∴由g(x)=f(x2﹣4x+5),得g(x)关于x=2对称,由g(x)+sin x=0得g(x)=﹣sin x,作出函数y=﹣sin x的图象,若程g(x)+sin x=0只有6个根,则六个根两两关于x=2对称,则关于对称的根分别为x1和x2,x3和x4,x5和x6,则=2,=2,=2则x1+x2=4,x3+x4=4,x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12,故选:C.8.在菱形ABCD中,A=60°,AB=,将△ABD折起到△PBD的位置,若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为,则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为()A.B.C.D.【考点】二面角的平面角及求法.【分析】取BD中点E,连接AE,CE,则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角,由此能求出二面角P﹣BD﹣C的正弦值.【解答】解:取BD中点E,连接AE,CE,则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角,PE=CE=,三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R,则,解得R=,设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h,则CF==1,则R2=1+h2,即,解得h=,过P作PG⊥平面BCD,交CE延长线于G,过O作OH∥CG,交PG于H,则四边形HGFO是矩形,且HG=OF=h=,PO=R=,∴,解得GE=,PH=,∴PG=,CG=,∴PC==,∴cos∠PEC==﹣,∴sin∠PEC==.∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为.故选:C.9.已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为()A.B.C. D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,可得|BF1|=2a,求出B的坐标,代入双曲线方程,可得a,b的关系,再由a,b,c的关系可得a,c的关系.由离心率公式计算即可得到.【解答】解:∵过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ,且|BC|=|CF 2|, ∴|BF 1|=2a ,设切点为T ,B (x ,y ),则利用三角形的相似可得==∴x=,y=,∴B (,)代入双曲线方程,整理可得b=(+1)a ,则c==a ,即有e==.故选C .10.已知点A (1,﹣1),B (4,0),C (2,2),平面区域D 由所有满足(1<λ≤a ,1<μ≤b )的点P (x ,y )组成.若区域D 的面积为8,则a+b 的最小值为( )A .B .2C .4D .8【考点】简单线性规划.【分析】如图所示,以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABCD .分别作=,=,则由所有满足(1<λ≤a ,1<μ≤b )表示的平面区域D 为平行四边形DEQF.=,=,由于=(3,1),=(1,3),=6.可得==.=.由于S 平行四边形DEQF ==8(λ﹣1)(μ﹣1)=8,化为λμ=λ+μ,利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4.由(1<λ≤a ,1<μ≤b ),可得,于是x+y=4(λ+μ)≤4(a+b ).即可得出.【解答】解:如图所示,以AB ,AC 为邻边作平行四边形ABCD .分别作=, =, 则由所有满足(1<λ≤a ,1<μ≤b )表示的平面区域D 为平行四边形DEQF .=,=,=(3,1),=(1,3),=6.∴=,∴==.∴==.∴S平行四边形DEQF==(λ﹣1)(μ﹣1)×=8(λ﹣1)(μ﹣1)=8,化为(λ﹣1)(μ﹣1)=1,∴λμ=λ+μ≥,可得λμ≥4,∴λ+μ≥4,当且仅当λ=μ=2时取等号.∵(1<λ≤a,1<μ≤b),∴==(1,﹣1)+λ(3,1)+μ(1,3),∴,∵1<λ≤a,1<μ≤b,∴x+y=4(λ+μ)≤4(a+b).∴a+b≥λ+μ≥4,∴a+b的最小值为4.故选:C.11.已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n(﹣1),S n是其前n项和,若S2017=﹣1007﹣b,且a1b>0,则+的最小值为()A.3﹣2B.3 C.2 D.3【考点】基本不等式.【分析】由已知递推式得到:a3+a2=3,a5+a4=﹣5,…a2017+a2016=﹣2017,累加可求S2017﹣a1,结合S2017=﹣1007﹣b,求得a1+b=1,代入+,展开后利用基本不等式求最值.【解答】解:由已知得:a3+a2=3,a5+a4=﹣5,…a2017+a2016=﹣2017,把以上各式相加得:S2017﹣a1=﹣1008,即:a1﹣1008=﹣1007﹣b,∴a1+b=1,∴+=+=3++2≥3+2,故选:D.12.设函数f(x)=x3+bx+c,η,ξ是方程f(x)=0的根,且f′(ξ)=0,当0<ξ﹣η<1时,关于函数g(x)=x3﹣x2+(b+2)x+(c﹣b+η)lnx+d在区间(η+1,ξ+1)内的零点个数的说法中,正确的是()A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.可能存在2个零点D.可能存在3个零点【考点】函数零点的判定定理.【分析】由题意可得f(x)=x3+bx+c=(x﹣η)(x﹣ξ)2,进一步得到η+2ξ=0,2ηξ+ξ2=b,﹣ηξ2=c,且x∈(﹣2ξ,ξ),把函数g(x)求导,用η,ξ表示b,c,二次求导可得在区间(η+1,ξ+1)内h′(x)<0,则答案可求.【解答】解:∵η,ξ是方程f(x)=0的根,且f′(ξ)=0,∴f(x)=x3+bx+c=(x﹣η)(x﹣ξ)2,即得η+2ξ=0,2ηξ+ξ2=b,﹣ηξ2=c,且x∈(﹣2ξ,ξ),由0<ξ﹣η<1,得0<ξ,η<0,则g′(x)=x2﹣3x+(b+2)+=,令h(x)=x3﹣3x2+(b+2)x+c﹣b+η=x3﹣3x2+(2﹣3ξ2)x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=(x﹣1)3﹣(1+3ξ2)(x﹣1)+2ξ2﹣2ξ,则h′(x)=3(x﹣1)2﹣(3ξ2+1),当x∈(﹣2ξ+1,ξ+1)时,h′(x)<h′(﹣2ξ+1)=(3ξ+1)(3ξ﹣1)<0.∴h(x)在(η+1,ξ+1)上为减函数,而h(﹣2ξ+1)=﹣8ξ3+2ξ(3ξ2+1)+(2ξ3﹣2ξ)=0,当x∈(﹣2ξ+1,ξ+1)时,h′(x)<h′(﹣2ξ+1)=0,即当x∈(﹣2ξ+1,ξ+1)时,h′(x)<0,∴g(x)在(η+1,ξ+1)上为减函数,至多有一个零点.故选:B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3<0},B={x∈R|﹣1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为(3,+∞).【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围.【解答】解:A={x∈R|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A⊊B,则m>3,故答案为:(3,+∞)14.在等差数列{a n}中,S n为数列{a n}的前n项和,d为数列{a n}的公差,若对任意n∈N*,都有S n>0,且a2a4=9,则d的取值范围为.【考点】等差数列的通项公式.【分析】对任意n∈N*,都有S n>0,可得:a1>0,d≥0.由于a2a4=9,化为3d2+4a1d+﹣9=0,△>0,而且两根之和=﹣4d<0,而必须至少有一个正实数根.可得3d2﹣9≤0,d≥0,解出即可得出.【解答】解:对任意n∈N*,都有S n>0,∴a1>0,d≥0.∵a2a4=9,∴(a1+d)(a1+3d)=9,化为+4a1d+3d2﹣9=0,△=16d2﹣4(3d2﹣9)=4d2+36>0,∴方程有两个不相等的实数根,并且两根之和为﹣4d<0,而必须至少有一个正实数根.d=时,a1=0,舍去.则d的取值范围为.故答案为:.15.设椭圆C:+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,若点P在椭圆C 上,且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是.【考点】椭圆的简单性质.【分析】椭圆C:+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,可知:A1,A2两点关于原点对称,设A1(x1,y1),A2(﹣x1,﹣y1),P(x0,y0),分别代入椭圆方程可得:=.由于直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2,﹣1],可得﹣2≤≤﹣1,==k2,可得k1k2=.即可得出.【解答】解:∵椭圆C:+=1与函数y=tan的图象相交于A1,A2两点,∴A1,A2两点关于原点对称,设A1(x1,y1),A2(﹣x1,﹣y1),=1,=.设P(x0,y0),则=1,可得:=.∴=.∵直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2,﹣1],∴﹣2≤≤﹣1,==k2,∴k1k2===.∴,∴﹣1,解得.那么直线PA1斜率的取值范围是.故答案为:.16.已知kC n k=nC n﹣1k﹣1(1≤k≤n,且k,n∈N*)可以得到几种重要的变式,如:C n k,将n+1赋给n,就得到kC n+1k=(n+1)C n k﹣1,…,进一步能得到:1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n(1+2)n ﹣1=n•3n﹣1.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论,计算:C n0×+C n1×()2+C n2×()3+…+C n n×()n+1= .【考点】组合及组合数公式;类比推理.【分析】由,可得,即,再利用二项式定理即可得出.【解答】解:由,得,,∴==.故案为:.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,,求△ABC的面积.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;正弦定理.【分析】(Ⅰ)利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得f(x)的单调递增区间.(Ⅱ)由已知,可得sin(2A+)=,求得A=,再利用正弦定理求得b的值,由三角形内角和公式求得C的值,再由S=ab•sinC,运算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=(sin2x+cos2x)=sin(2x+).令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈z,求得kπ﹣≤x≤kπ+,函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈z.(Ⅱ)由已知,可得sin(2A+)=,因为A为△ABC内角,由题意知0<A<π,所以<2A+<,因此,2A+=,解得A=.由正弦定理,得b=,…由A=,由B=,可得sinC=,…∴S=ab•sinC==.18.《环境空气质量指标(AQI)技术规定(试行)》如表1:表1:空气质量指标AQI分组表AQI 0~5051~100101~150151~200201~300>300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录,AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况.表2:AQI指数900 700 300 100空气可见度(千米)0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表.表3:AQI指数[0,200](201,400](401,600](601,800](801,1000]频数 3 6 12 6 3(1)设x=,根据表2的数据,求出y关于x的回归方程;(2)小李在长沙市开了一家小洗车店,经小李统计:AQI指数不高于200时,洗车店平均每天亏损约200元;AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约400元;AQI指数大于400时,洗车店平均每天收入约700元.(ⅰ)计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.(ⅱ)若将频率看成概率,求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.(用最小二乘法求线性回归方程系数公式=,=﹣x)【考点】线性回归方程;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】(1)利用公式计算线性回归方程系数,即可得到y关于x的线性回归方程;(2)(ⅰ)由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1,AQI指数在200至400的频率为0.2,AQI指数大于400的频率为0.7,确定饭馆每天的收入的取值及概率,从而可求分布列及数学期望;(ⅱ)由(ⅰ),“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C,3B,2B1C,1B2C,3C 五种情况”,即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.【解答】解:(1),,,,所以,,所以y关于x的回归方程是.(2)由表3知AQI不高于200的频率为0.1,AQI指数在200至400的频率为0.2,AQI 指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A,“洗车店每天收入约400元”为事件B,“洗车店每天收入约700元”为事件C,则P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.7,(ⅰ)设洗车店每天收入为X元,则X的分布列为X ﹣200 400 700P 0.1 0.2 0.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550(元).(ⅱ)由(ⅰ),“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C,3B,2B1C,1B2C,3C 五种情况”,则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率:.19.如图所示,异面直线AB,CD互相垂直,AB=,BC=,CD=1,BD=2,AC=3,截面EFGH分别与BD,AD,AC,BC相交于点E,F,G,H,且AB∥平面EFGH,CD ∥平面EFGH.(1)求证:BC⊥平面EFGH;(2)求二面角B﹣AD﹣C的正弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.【分析】(1)推导出AB∥EF,CD∥HE,AB⊥BC,BC⊥DC,BC⊥EF,BC⊥EH,由此能证明BC⊥平面EFGH.(2)作,以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,Cz为z轴,建立空间直角坐标系C﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值.【解答】证明:(1)∵AB∥平面EFGH,又∵AB⊂平面ABD,平面ABD∩平面EFGH=EF,∴AB∥EF,同理CD∥HE,∵,∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,同理BC⊥DC,∴BC⊥EF,同理BC⊥EH,又∵EF,EH是平面EFGH内的两相交直线,∴BC⊥平面EFGH.(2)由(1)及异面直线AB,CD互相垂直知,直线AB,BC,CD两两垂直,作,以C 为原点,CD 为x 轴,CB 为y 轴,Cz 为z 轴,建立空间直角坐标系C ﹣xyz ,如图所示,则,∵x 轴⊂平面ACD ,∴平面ACD 的一个法向量可设为,∵,∴,得:,即,又∵z 轴∥平面ABD ,∴平面ABD 的一个法向量可设为,∴,得,即,设二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为θ,那么,∴,∴二面角B ﹣AD ﹣C 的正弦值为.20.如图,抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F (0,1),取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1,P 2,过P 1,P 2作圆心为Q 的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且P 1Q ⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程;(2)过点F 作倾斜角为θ(≤θ≤)的直线l ,且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于M ,A ,B ,N ,求|MN||AB|的最小值.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)由抛物线的焦点坐标求出p值,可得抛物线方程,再由,代入抛物线方程有,抛物线在点P2处切线的斜率为.由,知,求出r,b,可得圆Q的方程;(2)设出直线方程y=kx+1且,和抛物线方程联立,利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|,再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|,从而求得|MN|•|AB|的最小值.【解答】解:(1)因为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),所以,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:x2+(y﹣b)2=r2,∵P1Q⊥P2Q,∴△P1QP2是等腰直角三角形,则,∴,代入抛物线方程有.由题可知在P1,P2处圆和抛物线相切,对抛物线x2=4y求导得,所以抛物线在点P2处切线的斜率为.由,知,所以,代入,解得b=3.所以圆Q的方程为x2+(y﹣3)2=8.(2)设直线l的方程为y=kx+1,且,圆心Q(0,3)到直线l的距离为,∴,由,得y2﹣(2+4k2)y+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,由抛物线定义知,,所以,设t=1+k2,因为,所以,所以,所以当时,即时,|MN||AB|有最小值.21.已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,(I)求证:;(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;利用导数研究函数的极值.【分析】(I)①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h (x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,利用导数得到h(x)的单调性即可证明;②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,利用导数得出h(x)的单调性即可证明.(II)利用(I)的结论得到f(x)≥1﹣x,于是G(x)=f(x)﹣g(x)≥=.再令H(x)=,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.【解答】(I)证明:①当x∈[0,1)时,(1+x)e﹣2x≥1﹣x⇔(1+x)e﹣x≥(1﹣x)e x,令h(x)=(1+x)e﹣x﹣(1﹣x)e x,则h′(x)=x(e x﹣e﹣x).当x∈[0,1)时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,1)上是增函数,∴h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥1﹣x.②当x∈[0,1)时,⇔e x≥1+x,令u(x)=e x﹣1﹣x,则u′(x)=e x﹣1.当x∈[0,1)时,u′(x)≥0,∴u(x)在[0,1)单调递增,∴u(x)≥u(0)=0,∴f(x).综上可知:.(II)解:设G(x)=f(x)﹣g(x)=≥=.令H(x)=,则H′(x)=x﹣2sinx,令K(x)=x﹣2sinx,则K′(x)=1﹣2cosx.当x∈[0,1)时,K′(x)<0,可得H′(x)是[0,1)上的减函数,∴H′(x)≤H′(0)=0,故H(x)在[0,1)单调递减,∴H(x)≤H(0)=2.∴a+1+H(x)≤a+3.∴当a≤﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上恒成立.下面证明当a>﹣3时,f(x)≥g(x)在[0,1)上不恒成立.f(x)﹣g(x)≤==﹣x.令v(x)==,则v′(x)=.当x∈[0,1)时,v′(x)≤0,故v(x)在[0,1)上是减函数,∴v(x)∈(a+1+2cos1,a+3].当a>﹣3时,a+3>0.∴存在x0∈(0,1),使得v(x0)>0,此时,f(x0)<g(x0).即f(x)≥g(x)在[0,1)不恒成立.综上实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3].四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-1:几何证明选讲22.如图,AB是圆O的直径,弦CE交AB于D,CD=4,DE=2,BD=2.(I)求圆O的半径R;(Ⅱ)求线段BE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I)由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB,求出AD,即可求圆O的半径R;(Ⅱ)求出cos∠DOE,即可求线段BE的长.【解答】解:(I)由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB,∵CD=4,DE=2,BD=2,∴4×2=2AD,∴AD=8∴AB=10,∴圆O的半径R=5;(Ⅱ)△ODE中,DE=2,OD=3,OE=5,∴cos∠DOE==,∴BE==.选修4-4:坐标系与参数方程23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标互化的化式,求出曲线C的直角坐标方程;(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.【解答】解:(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x,∴(x﹣2)2+y2=4.(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则,∴|AB|=|t1﹣t2|==,∵|AB|=,∴=.∴cos.∵α∈[0,π),∴或.∴直线的倾斜角或.选修4-5:不等式选讲24.关于x的不等式lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m.(Ⅰ)当m=1时,解此不等式;(Ⅱ)设函数f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|),当m为何值时,f(x)<m恒成立?【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(Ⅰ)当m=1时,原不等式可变为0<|x+3|﹣|x﹣7|<10,通过两边平方和绝对值不等式的性质,即可得到解集;(Ⅱ)设t=|x+3|﹣|x﹣7|,则0<t≤10,f(x)<m恒成立,只需m>f(x)max,求得最大值即可.【解答】解:(Ⅰ)当m=1时,原不等式可变为0<|x+3|﹣|x﹣7|<10,由|x+3|>|x﹣7|,两边平方,解得,x>2,由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|(x+3)﹣(x﹣7)|=10,即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10,且x≥7时,|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣(x﹣7)=10.则有2<x<7.故可得其解集为{x|2<x<7};(Ⅱ)设t=|x+3|﹣|x﹣7|,则由对数定义及绝对值的几何意义知,0<t≤10,因y=lgx在(0,+∞)上为增函数,则lgt≤1,当t=10,即x=7时,lgt=1为最大值,故只需m>1即可,即m>1时,f(x)<m恒成立.2016年9月3日。
2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

2018年济宁市高三模拟考试数学(理工类)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回.注意事项:1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-≤≤,{}2log 1N x x =<,则M N = A.{10}x x -≤<B.{01}x x <≤C.{12}x x ≤<D.{12}x x -≤<2.若复数20182(1i)i z =-(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z =A.1i+B.iC.12i -D.12i 3.设变量x ,y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数2z x y =+的取值范围是A.[6,)+∞B.[5,)+∞C.[0,6]D.[0,5]4.已知命题p :存在实数α,β,sin()sin sin αβαβ+=+;命题q :2log 2log 2a a +≥(2a >且1a ≠).则下列命题为真命题的是A.p q ∨B.p q ∧C.()p q⌝∧D.()p q⌝∨5.执行下列程序框图,若输入的n 等于7,则输出的结果是A.2B.13C.12-D.3-6.将函数()2sin()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,则g()y x =的图象的一个对称中心为A.(,0)3πB.(,0)12π C.(,1)3π-D.(,1)12π-7.如图所示,圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为A.33B.12C.22D.328.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于1x =对称,当[0,1]x ∈时,()21x f x =-,则(2017)(2018)f f +的值为A.2-B.1- C.0D.19.已知O 是ABC ∆的外心,4AB = ,2AC =,则()AO AB AC ⋅+=A.10B.9C.8D.610.圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们可以通过设计下面的实验来估计π的值:从区间[0,1]随机抽取200个实数对(,)x y ,其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 共有56个.则用随机模拟的方法估计π的近似值为A.227B.257C.7225D.782511.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的外接球的表面积为A.8πB.16πC.32πD.64π12.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2cos cos 3a Bb Ac -=,则tan()A B -的最大值为A.5B.5C.3D.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.双曲线2212x y -=的渐近线方程为.14.观察下列各式:3211=332113+=33321236++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律,第n 个等式可为.15.在24(23)x x --的展开式中,含有2x 项的系数为.(用数字作答)16.如图所示,已知Rt ABC ∆中,AB BC ⊥,D 是线段AB 上的一点,满足2AD CD ==,则ABC ∆面积的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等比数列,满足12a =,且2a ,32a +,4a 成等差数列,数列{}n b 满足123111223n b b b b n n+++⋅⋅⋅+=*()n N ∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)设(1)()nn n n c a b =--,求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18.(本小题满分12分)如图,在以A ,B ,C ,D ,E 为顶点的多面体中,90ACB ︒∠=,面ACDE 为直角梯形,//DE AC ,90ACD ︒∠=,23AC DE ==,2BC =,1DC =,二面角B AC E --的大小为60︒.(1)求证:BD ⊥平面ACDE ;(2)求平面ABE 与平面BCD 所成二面角(锐角)的大小;19.(本小题满分12分)为缓解某地区的用电问题,计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去50年的水文数据,得如下表:年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥年数103082将年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)在以上四段的频率作为相应段的概率,并假设各年得年入流量相互独立.(1)求在未来3年中,至多1年的年入流量不低于120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制,并有如下关系:年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥发电机最多可运行台数1234已知某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元;某台发电机未运行,则该台发电机年亏损1500万元,若水电站计划在该水库安装2台或3台发电机,你认为应安装2台还是3台发电机?请说明理由.20.(本小题满分12分)已知抛物线E :22x py =的(2)p >焦点为F ,点M 是直线y x =与抛物线E 在第一象限内的交点,且5MF =.(1)求抛物线E 的方程;(2)不过原点的直线l 与抛物线E 相交于两点A ,B ,与y 轴相交于点Q ,过点A ,B 分别作抛物线E 的切线,与x 轴分别相交于两点C ,D .判断直线QC 与直线BD 是否平行?直线QC 与直线QD 是否垂直?并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()ln 2af x x x x=++()a R ∈.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数2g()()(2)2ax xf x x x =-+-在其定义域内有两个不同的极值点,记作1x ,2x ,且12x x <,证明:2312x x e ⋅>(e 为自然对数的底数).(二)选考题:共10分。
2018年合肥一模数学试卷(理)(含答案)

2018年合肥一模数学试卷(理)(含答案)合肥市2018年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1.A2.C3.B4.C5.C6.D7.D8.A9.C10.B11.B12.D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
21.13.14.3.(4,4)三、解答题:17.Ⅰ)根据正弦定理,由已知得:sinA/sinC=sin(A+C)/sinB 即sinAcosC=sinBcosAcosCsin(A+C)=2sinBcosCcosA,……1分sinCcosA=2sinBcosC。
sin(A+C)/sinB=2cosC。
cosC=(XXX)/2cosA,……5分A+C=180°-B。
sinB=sin(180°-A-C)=sin(A+C),……6分sinB=2cosC。
C(0,a),A(a,0),B(b,0)。
sin(ACB)=sinB。
2cosC=sin(ACB)=b/a。
cosC=b/(2a),∴C(0,b/(2a)),……7分B(b,0),∴XXX√(a²+b²),……8分sinA=2cosCsinB=2b/(a²+b²)。
sinC=2sinBcosC=b/√(a²+b²),……9分Ⅱ)由(Ⅰ)和余弦定理得cosC=[a²+b²-(2ab)/(2ab)]/2ab=1/2。
即a²+b²=2ab,即(a-b)²=0,∴a=b。
sin(ACB)=sinB=b/√(2a²)=1/√2,……11分sin(ACB)的最大值为1/√2,所以cos(ACB)的最小值为1/√2,即cos(ACB)≥1/√2,……12分故选D。
18.Ⅰ)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M,则P(M)=1-C(3,2)/C(6,3)=5/9, (5)分Ⅱ)随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3,……6分因为P(X=0)=C(3,0)C(3,3)/C(6,3)=1/20,P(X=1)=C(3,1)C(3,2)/C(6,3)=3/8,P(X=2)=C(3,2)C(3,1)/C(6,3)=3/8,P(X=3)=C(3,3)C(3,0)/C(6,3)=1/20,……10分所以X的分布列为X 0 1 2 3P 1/20 3/8 3/8 1/20故E(X)=0×1/20+1×3/8+2×3/8+3×1/20=33/20,……12分故选C。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试(全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题,每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i )i -(,所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0},所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是:A 、新农村建设后,种植收入减少。
B 、新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37%*200%=74%>60%,【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x)为奇函数,有f(x)+f(-x)=0整理得:f(x)+f(-x)=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f(x)=x3+x求导f‘(x)=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43)AC 41AB 41(-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开:注意到B 点在41圆周处。
2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)及参考答案

第1页(共24页)页)2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知i 为虚数单位,则=( )A .5B .5iC .D .2.(5分)已知等差数{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项的和等于( ) A .112 B .51C .28D .183.(5分)已知集合M 是函数的定义域,集合N 是函数y =x 2﹣4的值域,则M ∩N =( ) A .B .C .且y ≥﹣4}D .∅4.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为y =﹣2x ,该双曲线的离心率是( ) A .B .C .D .5.(5分)执行如图程序框图,若输入的n 等于10,则输出的结果是()A.2 B.﹣3 C. D.6.(5分)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附:若X服从N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544)A.3413件 B.4772件 C.6826件 D.8185件 7.(5分)将函数y=cos x﹣sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x的图象,则φ,a的可能取值为( )A. B. C. D. 8.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,若3S n=2a n﹣3n,则a2018=( ) A.22018﹣1 B.32018﹣6C.()2018﹣ D.()2018﹣9.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.5π+18 B.6π+18 C.8π+6 D.10π+6 10.(5分)已知直线2x﹣y+1=0与曲线y=ae x+x相切(其中e为自然数的底数),则实数a的值是( )A. B.1 C.2 D.e11.(5分)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工,生产一件甲产品需用A 设备2小时,B 设备6小时;生产一件乙产品需用A 设备3小时,B 设备1小时.A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( ) A .320千元B .360千元C .400千元D .440千元12.(5分)已知函数f (x )=2|x |﹣x 2,g (x )=(其中e 为自然对数的底数),若函数h (x )=f [g (x )]﹣k 有4个零点,则k 的取值范围为 ( ) A .(﹣1,0) B .(0,1) C .(﹣,1)D .(0,﹣)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13.(5分)若平面向量满足,则= .14.(5分)已知m 是常数,(mx ﹣1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=33,则m =. 15.(5分)抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点A ,过抛物线E 上一点P (第一象限内)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16,则点P 的坐标为 .16.(5分)在四面体ABCD 中,AB =AD =2,∠BAD =60°,∠BCD =90°,二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为150°,则四面体ABCD 外接球的半径为 . 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a ﹣2b )cos C +c cos A =0. (1)求角C ; (2)若,求△ABC 的周长的最大值.18.(12分)2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科.每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率;(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8,所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数,求X的分布列和数学期望.19.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,点M为棱AE的中点.(1)求证:平面BMD∥平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.20.(12分)在平面直角坐标系中,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E,恰好经过点. (1)求椭圆E的标准方程;(2)设经过点(﹣2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN面积的最大值.21.(12分)已知.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≤ax恒成立,求a的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ﹣2cosθ=0.(1)求曲线C2的普通方程;(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求|MN|的最小值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣1|.(1)解关于x的不等式f(x)﹣f(x+1)≤1;(2)若关于x的不等式f(x)<m﹣f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知i为虚数单位,则=( )A.5 B.5i C. D.【解答】解:=.故选:A.2.(5分)已知等差数{a n},若a2=10,a5=1,则{a n}的前7项的和等于( ) A.112 B.51 C.28 D.18【解答】解:∵等差数列{a n},a2=10,a5=1,∴,解得a1=13,d=﹣3,∴{a n}的前7项的和为:S7=7a1+=7×13+21×(﹣3)=28.故选:C.3.(5分)已知集合M是函数的定义域,集合N是函数y=x2﹣4的值域,则M∩N=( )A. B.C.且y≥﹣4} D.∅【解答】解:解1﹣2x>0得,x<;∴;y=x2﹣4≥﹣4;∴N={y|y≥﹣4};∴.故选:B.4.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.【解答】解:双曲线的渐近线方程为y=±x,∵双曲线的一条渐近线方程为y=﹣2x,即=2,则b=2a,则双曲线的离心率为e=====.故选:C.5.(5分)执行如图程序框图,若输入的n等于10,则输出的结果是( )A.2 B.﹣3 C. D.【解答】解:若输入的n等于10,则当i=1时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=2;当i=2时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=3;当i=3时,满足进行循环的条件,a=,i=4;当i=4时,满足进行循环的条件,a=2,i=5;当i=5时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=6;当i=6时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=7;当i=7时,满足进行循环的条件,a=,i=8;当i=8时,满足进行循环的条件,a=2,i=9;当i=9时,满足进行循环的条件,a=﹣3,i=10;当i=10时,满足进行循环的条件,a=﹣,i=11;当i=11时,不满足进行循环的条件,故输出的a=﹣,故选:C.6.(5分)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附:若X服从N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544)A.3413件 B.4772件 C.6826件 D.8185件【解答】解:∵X服从正态分布N(100,4),∴P(98≤X<100)=0.6826=0.3413,P(100≤X≤104)=0.9544=0.4772,∴P(98≤X≤104)=0.3413+0.4772=0.8185.∴质量在[98,104]内的产品估计有10000×0.8185=8185.故选:D.7.(5分)将函数y=cos x﹣sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x的图象,则φ,a的可能取值为( )A. B. C. D. 【解答】解:函数y=cos x﹣sin x=的图象先向右平移φ(φ>0)个单位,得到y=的图象,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍,得到y=cos2x+sin2x=的图象,所以:①a=②﹣φ+,解得:(k∈Z),故当k=0时,.故选:D.8.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,若3S n=2a n﹣3n,则a2018=( ) A.22018﹣1 B.32018﹣6C.()2018﹣ D.()2018﹣【解答】解:∵数列{a n}的前n项和为S n,3S n=2a n﹣3n,∴a1=S1=(2a1﹣3),解得a1=﹣3,S n=(2a n﹣3n),①,当n≥2时,S n﹣1=(2a n﹣1﹣3n+3),②,①﹣②,得a n=﹣﹣1,∴a n=﹣2a n﹣1﹣3,∴=﹣2,∵a1+1=﹣2,∴{a n+1}是以﹣2为首项,以﹣2为公比的等比数列,∴,∴,∴a2018=(﹣2)2018﹣1=22018﹣1.故选:A.9.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.5π+18 B.6π+18 C.8π+6 D.10π+6【解答】解:由题意可知,几何体是两端是半球,中间是圆柱的一半,球的半径为:1,圆柱的高为3,半径为1,所以则该几何体的表面积为:4π×12+π×12+π×3+2×3=6+8π.故选:C.10.(5分)已知直线2x﹣y+1=0与曲线y=ae x+x相切(其中e为自然数的底数),则实数a的值是( )A. B.1 C.2 D.e【解答】解:设切点坐标为(m,n)y'|x=m=ae m+1=2,2m﹣n+1=0,n=ae m+m,解得,m=0,n=1,切点(0,1)而切点(0,1)又在曲线y=ae x+x上∴a=1,故选:B.11.(5分)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A设备2小时,B设备6小时;生产一件乙产品需用A设备3小时,B设备1小时.A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为( )A.320千元 B.360千元 C.400千元 D.440千元 【解答】解:设甲、乙两种产品月的产量分别为x,y件,约束条件是,目标函数是z=2x+y;由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分;由z=2x+y,结合图象可知,z=2x+y在A处取得最大值,由,可得A(150,60),此时z=2×150+1×60=360(千元).故选:B.12.(5分)已知函数f(x)=2|x|﹣x2,g(x)=(其中e为自然对数的底数),若函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,则k的取值范围为 ( ) A.(﹣1,0) B.(0,1)C.(﹣,1) D.(0,﹣)【解答】解:函数f(x)=2|x|﹣x2为偶函数,且f(x)的最大值为1,作出f(x)的图象(如右黑线)由g(x)=的导数为g′(x)=,可得x>﹣1时,g(x)递增,x<﹣2或﹣2<x<﹣1时,g(x)递减,x=﹣1取得极小值,作出g(x)的图象(如右红线),函数h(x)=f[g(x)]﹣k有4个零点,即为f[g(x)]=k有四个解,可令t=g(x),k=f(t),若﹣1<k<0,则t1<﹣2,t2>2,则t=g(x)有3解,不符题意;若0<k<1,则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的,则t=g(x)可能有4,6解,不符题意;若k∈(﹣,1),则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的,(一个介于(,1),一个大于1),则t=g(x)有6解,不符题意;若k∈(0,﹣),则k=f(t)有4解,两个负的,两个正的(一个介于(0,),一个大于1),则t=g(x)有4解,符合题意.故选:D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)若平面向量满足,则= ﹣1 .【解答】解:由,得,①由,得,②∴.故答案为:﹣1.14.(5分)已知m 是常数,(mx ﹣1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=33,则m = 3 .【解答】解:在(mx ﹣1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0中, 取x =0,得﹣1=a 0,取x =1,得(m ﹣1)5=a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0, ∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=(m ﹣1)5+1=33, 则(m ﹣1)5=32, 即m =3, 故答案为:3.15.(5分)抛物线E :y 2=4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点A ,过抛物线E 上一点P (第一象限内)作l 的垂线PQ ,垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16,则点P 的坐标为 (4,4) .【解答】解:如图,设P (),(t >0),则四边形AFPQ 的周长为AF +PF +PQ +AQ =16. ∴2+++t =16,解得t =4,∴点P 的坐标为(4,4), 故答案为:(4,4).16.(5分)在四面体ABCD 中,AB =AD =2,∠BAD =60°,∠BCD =90°,二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为150°,则四面体ABCD 外接球的半径为.【解答】解:在四面体ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=60°,∠BCD=90°,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,四面体ABCD外接球,如图:则△BCD在求出一个小圆上,BD的中点为圆心N,△ABD是正三角形,也在球的一个小圆上,圆心为M,作OM⊥平面ABD,ON⊥平面BCD,O为球心,二面角A﹣BD﹣C的大小为150°,作NP⊥BD,则∠ANP=150°,可得∠ONM=60°,MN=,则ON=,BN=1,外接球的半径为:=.故答案为:.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a﹣2b)cos C+c cos A =0.(1)求角C;(2)若,求△ABC的周长的最大值.【解答】解:(1)根据正弦定理,由已知得:(sin A﹣2sin B)cos C+sin C cos A=0, 即sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos C,∴sin(A+C)=2sin B cos C,∵A+C=π﹣B,∴sin(A+C)=sin(π﹣B)=sin B>0,∴sin B=2sin B cos C,从而.∵C∈(0,π),∴.(2)由(1)和余弦定理得,即a2+b2﹣12=ab,∴,即(a+b)2≤48(当且仅当时等号成立).所以,△ABC周长的最大值为.18.(12分)2014年9月,国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区,从当年秋季新入学的高一学生开始实施,高考不再分文理科.每个考生,英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目,政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.(1)求他所选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率;(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目,两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8,所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数,求X的分布列和数学期望.【解答】解:(1)记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M,则,所以该位考生选考的三个科目中,至少有一个自然科学科目的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3.因为,,,,所以X的分布列为:X 0 1 2 3P.19.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,点M为棱AE的中点.(1)求证:平面BMD∥平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.【解答】证明:(1)连结AC,交BD于点N,∴N为AC的中点,∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC,EC⊂平面EFC,∴MN∥平面EFC.∵BF,DE都垂直底面ABCD,∴BF∥DE.∵BF=DE,∴BDEF为平行四边形,∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC,EF⊂平面EFC,∴BD∥平面EFC.又∵MN∩BD=N,∴平面BDM∥平面EFC.解:(2)由已知,DE⊥平面ABCD,ABCD是正方形.∴DA,DC,DE两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D﹣xyz.设AB=2,则DE=4,从而B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),∴,设平面BDM的一个法向量为,由得.令x=2,则y=﹣2,z=﹣1,从而.∵,设AE与平面BDM所成的角为θ,则,所以,直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.(12分)在平面直角坐标系中,圆O交x轴于点F1,F2,交y轴于点B1,B2.以B1,B2为顶点,F1,F2分别为左、右焦点的椭圆E,恰好经过点. (1)求椭圆E的标准方程;(2)设经过点(﹣2,0)的直线l与椭圆E交于M,N两点,求△F2MN面积的最大值.【解答】解:(1)由已知可得,椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为,焦距为2c,则b=c,∴a2=b2+c2=2b2,∴椭圆E的标准方程为.又椭圆E过点,∴,解得b2=1.∴椭圆E的标准方程为.(2)由于点(﹣2,0)在椭圆E外,所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则直线l:y=k(x+2),设M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y得,(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣2=0.由△>0得,从而,∴.∵点F2(1,0)到直线l的距离,∴△F2MN的面积为.令1+2k2=t,则t∈[1,2),∴=,当即时,S有最大值,,此时.所以,当直线l的斜率为时,可使△F2MN的面积最大,其最大值.21.(12分)已知.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≤ax恒成立,求a的值.【解答】解:(1)f(x)的定义域为,. ∵2x﹣1>0,x2>0.令g(x)=2x2﹣2ax+a,则(1)若△≤0,即当0≤a≤2时,对任意,g(x)≥0恒成立, 即当时,f'(x)≥0恒成立(仅在孤立点处等号成立).∴f(x)在上单调递增.(2)若△>0,即当a>2或a<0时,g(x)的对称轴为.①当a<0时,,且.如图,任意,g(x)>0恒成立,即任意时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在上单调递增.②当a>2时,,且.如图,记g(x)=0的两根为∴当时,g(x)>0;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0.∴当时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0.∴f(x)在和(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.综上,当a≤2时,f(x)在上单调递增;当a>2时,f(x)在和上单调递增, 在上单调递减.(Ⅱ)f(x)≤ax恒成立等价于,f(x)﹣ax≤0恒成立.令,则f(x)≤ax恒成立等价于,h(x)≤0=h(1)(*).要满足(*)式,即h(x)在x=1时取得最大值.∵.由h'(1)=0解得a=1.当a=1时,,∴当时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.∴当a=1时,h(x)在上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h (x)≤h(1)=0,符合题意.所以,a=1.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ﹣2cosθ=0. (1)求曲线C2的普通方程;(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求|MN|的最小值. 【解答】(1)由曲线C2:ρ﹣2cosθ=0,得:ρ2﹣2ρcosθ=0.因为ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,所以x2+y2﹣2x=0,即:曲线C2的普通方程为(x﹣1)2+y2=1.(2)由(1)可知,圆C2的圆心为C2(1,0),半径为1.设曲线C1上的动点M(3cosθ,2sinθ),由动点N在圆C2上可得:|MN|min=|MC2|min﹣1.∵当时,,∴.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x﹣1|.(1)解关于x的不等式f(x)﹣f(x+1)≤1;(2)若关于x的不等式f(x)<m﹣f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.【解答】解:(1)f(x)﹣f(x+1)≤1⇔|2x﹣1|﹣|2x+1|≤1或或或,所以,原不等式的解集为.(2)由条件知,不等式|2x﹣1|+|2x+1|<m有解,则m>(|2x﹣1|+|2x+1|)min即可.由于|2x﹣1|+|2x+1|=|1﹣2x|+|2x+1|≥|1﹣2x+2x+1|=2,当且仅当(1﹣2x)(2x+1)≥0,即当时等号成立,故m>2,所以,m的取值范围是(2,+∞).赠送—高中数学 必修1知识点 【1.1.1】集合的含义与表示)集合的概念(1)集合的概念.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性)常用数集及其记法(2)常用数集及其记法N表示自然数集,N*或N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表+示实数集示实数集..(3)集合与元素间的关系)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M Î,或者a M Ï,两者必居其一,两者必居其一. . (4)集合的表示法)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. .②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. . ③描述法:③描述法:{{x |x 具有的性质具有的性质}},其中x 为集合的代表元素为集合的代表元素. . ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.. (5)集合的分类)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集①含有有限个元素的集合叫做有限集..②含有无限个元素的集合叫做无限集②含有无限个元素的集合叫做无限集..③不含有任何元素的集合叫做空集任何元素的集合叫做空集((Æ).【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等名称名称记号记号意义意义性质性质示意图示意图子集子集B A Í(或)A B ÊA 中的任一元素都属于B(1)A ÍA(2)A ÆÍ(3)若B A Í且B C Í,则A C Í(4)若B A Í且B A Í,则A B =A(B)或B A真子集A ¹ÌB(或B ¹ÉA )B A Í,且B 中至少有一元素不属于A(1)A ¹ÆÌ(A 为非空子集)为非空子集)(2)若A B ¹Ì且B C ¹Ì,则A C ¹Ì B A集合集合相等相等A B =A 中的任一元素都属于B ,B 中的任一元素都属于A(1)A ÍB (2)B ÍAA(B)(7)已知集合A 有(1)n n ³个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集非空真子集. .【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集)交集、并集、补集 名称 记号意义意义性质性质 示意图示意图交集AB{|,x x A Î且}x B Î(1)AA A =(2)A Æ=Æ (3)AB A ÍA B B Í BA并集 A B{|,x x A Î或}x B Î(1)AA A =(2)A A Æ= (3)AB A ÊA B B Ê BA补集U A ð {|,}x x U x A ÎÏ且1()UA A =Æð2()U A A U=ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法)含绝对值的不等式的解法不等式不等式解集解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法)一元二次不等式的解法判别式判别式24b ac D =-0D > 0D = 0D <二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122bx x a ==-无实根无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a¹-R()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B=痧?20(0)ax bx c a ++<>的解集的解集12{|}x x x x << Æ Æ。
2018高考全国1卷理科数学试卷及答案

2018高考全国1卷理科数学试卷及答案2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学一、选择题,本题共12小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设 $z=\frac{1-i+2i}{1+i}$,则 $z=$A.0B.1C.1/2D.22.已知集合 $A=\{x|x-x-2>0\}$,则 $C_R A=$A。
$\{x|-1<x<2\}$B。
$\{x|-1\leq x\leq 2\}$C。
$\{x|x2\}$D。
$\{x|x\leq -1\}\cup\{x|x\geq 2\}$3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和,若$3S_3=S_2+S_4$,$a_1=2$,则 $a_5=$A。
$-12$B。
$-10$C。
10D。
125.设函数 $f(x)=x+(a-1)x+ax$,若 $f(-x)$ 为奇函数,则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3,32)$ 处的切线方程为A。
$y=-2x$B。
$y=-x$XXXD。
$y=x$6.在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 为 $BC$ 边上的中线,$E$ 为 $AD$ 的中点,则 $EB=\frac{1}{3}AB-\frac{1}{4}AC$A。
$\frac{3}{11}AB-\frac{8}{11}AC$B。
$\frac{4}{11}AB-\frac{7}{11}AC$C。
$\frac{7}{11}AB-\frac{4}{11}AC$D。
【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)

∵平面,平面,平面;---4分
(其它证法,请参照给分)
(2)依题意知且
∴平面
∵平面,∴,------------------5分
∵为中点,∴
结合,知四边形是平行四边形
∴,----------------------------------------------------7分
∵,
∴--------------------------------11分
2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)
5绝密★启用前
揭阳市--2分
从而,,-----------------------------------------------4分
∵,∴;--------------------------------------------------------------6分
把代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
则,解得;----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时,其方程为和,---------------------------13分
而,∴∴,即-----8分
又∴平面,
∵平面,∴------------------------------------------------9分
(3)解法一如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设,则
易知平面的一个法向量为,-----------10分
设平面的一个法向量为,则
河南省六市2018届高三第一次联考(一模)数学(理)试题及答案解析

河南省六市2018届高三第一次联考(一模)数学(理)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】,,所以,选C.2. 已知为虚数单位,若,则()A. 0B. 1C.D. 2【答案】B3. 现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法,若获恰好在第四次抽奖结束,则前三次共抽到张中奖票,第四次抽的最后一张奖票,共有种取法,所以概率为,故选C.考点:古典概型及其概率的计算.4. 汽车以作变速运动时,在第1s至2s之间的1s内经过的路程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.5. 为考察两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到如下等高条形图:根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是()A. 药物的预防效果优于药物的预防效果B. 药物的预防效果优于药物的预防效果C. 药物、对该疾病均有显著的预防效果D. 药物、对该疾病均没有预防效果【答案】B【解析】由A、B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到的等高条形图,知:药物A的预防效果优于药物B的预防效果.故选B.6. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的各个表面中,最大面的面积为()A. B. C. 2 D. 4【答案】B【解析】几何体如图,,所以最大面SAB的面积为,选B.7. 已知数列满足:,则其前100项和为()A. 250B. 200C. 150D. 100【答案】D【解析】因为 ,所以选D.8. 已知锐角中,角所对的边分别为,若,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为锐角三角形,所以,选D.9. 设是数列的一个排列,观察如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018【答案】D【解析】试题分析:此题的程序框图的功能就是先求这个数的最大值,然后进行计算,,因为,所以,故选D.考点:程序框图.【方法点睛】本题考查的是程序框图.对于算法与流程图的考查,一般会侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.10. 在三棱锥中,,,,,,且三棱锥的体积为,则该三棱锥的外接球半径是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】取SC中点O,则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心,设半径为r,则选C.点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.11. 椭圆与函数的图象交于点,若函数的图象在处的切线过椭圆的左焦点,则椭圆的离心率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】设因此,所以,,,选B.点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 若关于的方程有3个不相等的实数解,且,其中,,则的值为()A. 1B.C.D.【答案】A【解析】令,则方程化为有两个不等的实根,所以,选A.点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知,,则______.【答案】5【解析】14. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含项的系数是_______(用数字作答).【答案】10【解析】试题分析:由题意可得:,所以,令,所以展开式中含项的系数是10.考点:二项式定理.15. 已知是双曲线:右支上一点,直线是双曲线的一条渐近线,在上的射影为,是双曲线的左焦点,则的最小值是_______.【答案】【解析】16. 已知动点满足,则的最小值是_______.【答案】【解析】因此可行域为一个三角形ABC及其内部,其中,所以点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.三、解答题(本大题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知数列中,,其前项的和为,且满足.(1)求证:数列是等差数列;(2)证明:当时,.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】试题分析:(1)根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列是等差数列;(2)求出的通项公式,利用放缩法进行证明不等式.试题解析:(1)当时,,,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列. -------6分(2)由(1)可知,,当时,从而.考点:1.裂项求和;2.放缩法;3.推理能力.【方法点睛】本题主要考查的是裂项求和,放缩法,等差数列的通项公式,考查了变形能力,推理能力与计算能力,属于中档题,首先根据可求出数列的通项公式,(2)问中根据(1)中条件进行裂项求和,可发现中间部分项被消掉,因此可适当利用放缩的方法对前项和进行放大或缩小,即可证明结论,因此根据数列的递推关系结合等差数列的定义是解决问题的关键.18. 我们国家正处于老龄化社会中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人(年龄60岁及以上)人数约有66万,为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,样本分布制作成如下图表:(1)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人?(2)估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比;(3)据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,政府计划为这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元;②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体,试估计政府执行此计划的年度预算.(单位:亿元,结果保留两位小数)【答案】(1)3,5(2)(3)2.22【解析】试题分析:(Ⅰ)从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比,由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为.(Ⅱ)求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比,用样本估计总体,能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比.(Ⅲ)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元,则Xr可能取值为0,120,200,220,300,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列、EX,从而能估计政府执行此计划的年度预算.试题解析:(1)数据整理如下表:从图表中知不能自理的岁及以上长者比为:故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为岁以下长者人数为人(2)在人中岁及以上长者在老人中占比为:用样本估计总体,岁及以上长者共有万,岁及以上长者占户籍人口的百分比为%=%,(3)用样本估计总体,设任一户籍老人每月享受的生活补助为元,则随机变量的分布列为:全市老人的总预算为元,政府执行此计划的年度预算约为亿元.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式(常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布,则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.19. 如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,,为与的交点,为上任意一点.(1)证明:平面平面;(2)若平面,并且二面角的大小为,求的值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧知识的迁移融合也很重要,在平面几何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,有时很方便;(2)证明两个平面垂直,首先考虑直线与平面垂直,也可以简单记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似,掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键;(3)空间向量将空间位置关系转化为向量运算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析:(1)因为,,又是菱形,,故平面平面平面4分(2)连结,因为平面,所以,所以平面又是的中点,故此时为的中点,以为坐标原点,射线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系..6分设则,向量为平面的一个法向量.8分设平面的一个法向量,则且,即,取,则,则12分解得故14分考点:1、平面与平面垂直的判定;2、平面与平面所成角余弦值的应用.20. 已知抛物线:的焦点为,过的直线交抛物线于点,当直线的倾斜角是时,的中垂线交轴于点.(1)求的值;(2)以为直径的圆交轴于点,记劣弧的长度为,当直线绕点旋转时,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)设出直线的方程为,设,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理求出中点坐标,推出中垂线方程,结合的中垂线交轴于点,求出即可;(2)设方程为,代入,求出的距离以及中点为,令,求出的表达式,推出关系式,利用到轴的距离,求出,分离常数即可求得的最大值.试题解析:(1)当的倾斜角为时,的方程为设得得中点为中垂线为代入得(2)设的方程为,代入得中点为令到轴的距离当时取最小值的最大值为故的最大值为.21. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点,且,证明:. 【答案】(1)见解析(2)见解析.....................试题解析:(1),所以(1)当时,,所以在上单调递增(2)当时,令,当即时,恒成立,即恒成立所以在上单调递增当,即时,,两根所以,,,故当时,在上单调递增当时,在和上单调递增在上单调递减.(2)由(1)知时,上单调递增,此时无极值当时,由得,设两根,则,其中在上递增,在上递减,在上递增令,所以在上单调递减,且故.点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23二题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线的参数方程为(为参数),圆的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与圆的执直角坐标方程;(2)设曲线与直线交于两点,若点的直角坐标为,求的值.【答案】(1),(2)【解析】试题分析:(1)根据加减消元法将直线的参数方程化为普通方程,根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程,(2)先化直线参数方程标准形式,代入圆的直角坐标方程,根据参数几何意义得,再根据韦达定理求值.试题解析:解:(1)直线的普通方程为,,所以所以曲线的直角坐标方程为.(2)点在直线上,且在圆内,由已知直线的参数方程是(为参数)代入,得,设两个实根为,则,即异号所以.点睛:直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数,t可正、可负、可为0)若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α).(2)|M1M2|=|t1-t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=.(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.23. 选修4-5:不等式选讲已知关于的不等式有解.(1)求实数的取值范围;(2)已知,证明:.【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(Ⅰ)原问题等价于,结合绝对值三角不等式的性质可得;(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得,由柯西不等式可得,即.试题解析:(Ⅰ),故;(Ⅱ)由题知,故,.。
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2018年高三数学一模试卷(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012A =--,,,,,()(){}130B x x x =-+<,则A B = ( ) A .{}21,0--, B .{}0,1 C .{}1,01-, D .{}0,1,2 2.已知复数21iz i=+(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A .1i -+ B .1i -- C .1i + D .1i - 3.下列说法正确的是( )A .若命题0:p x R ∃∈,20010x x -+<,则:p x R ⌝∀∉,210x x -+≥B .已知相关变量(),x y 满足回归方程 24y x =-,若变量x 增加一个单位,则y 平均增加4个单位C .命题“若圆()()22:11C x m y m -++-=与两坐标轴都有公共点,则实数[]0,1m ∈”为真命题D .已知随机变量()22X N σ ,,若()0.32P X a <=,则()40.68P X a >-=4.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,过C ,M ,D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )A .16 B .13 C.12 D .235.已知某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积是( )A .33cmB .35cm C. 34cm D .36cm6.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若48102a a a =,则3S 的最小值为( ) A .2 B .3 C.4 D.67.20世纪70年代,流行一种游戏——角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数n ,按照以下的规律进行变换:如果n 是个奇数,则下一步变成31n +;如果n 是个偶数,则下一步变成2n,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确地说是落入底部的4-2-1循环,而永远也跳不出这个圈子,下列程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的i 值为6,则输入的n 值为( )A .5B .16C.5或32 D .4或5或32 8.在)12nx -的二项展开式中,若第四项的系数为7-,则n =( )A .9B .8 C.7 D .69.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且8430S S =-≠,则412S S 的值为( ) A .13-B .112- C.112 D .1310.将函数()22sin cos f x x x x =-()0t t >个单位长度,所得图象对应的函数为奇函数,则t 的最小值为( ) A .23π B .3π C. 2π D .6π 11.如图,过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,交其准线l 于点C ,若2BC BF =,且3AF =,则此抛物线方程为( )A .29y x =B .26y x = C.23y x = D.2y =12.已知函数()()23xf x x e =-,设关于x 的方程()()()22120f x mf x m R e--=∈有n 个不同的实数解,则n 的所有可能的值为( )A .3B .1或3 C.4或6 D .3或4或6第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量()1,1a =- ,(),1b t =,若()()//a b a b +- ,则实数t =.14.设实数x ,y 满足不等式组70,310,350,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为.15.已知双曲线经过点(1,,其一条渐近线方程为2y x =,则该双曲线的标准方程为. 16.已知等腰直角ABC △的斜边2BC =,沿斜边的高线AD 将ADC △折起,使二面角B ADC --的大小为3π,则四面体ABCD 的外接球的表面积为. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,且有cos cos cos 0a B b A C +=.(1)求角C 的大小;(2)当2c =时,求ABC S △的最大值.18. 某调查机构随机调查了20岁到70岁之间的600位网上购物者的年龄分布情况,并将所得数据按照[)20,30,[)30,40,[)40,50,[)50,60,[]60,70分成5组,绘制成频率分布直方图(如图).(1)求频率分布直方图中实数m 的值及这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数; (2)现采用分层抽样的方法从参与调查的600位网上购物者中随机抽取10人,再从这10人中任选2人,设这2人中年龄在[)30,40内的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.19. 如图,菱形ABCD 与四边形BDEF 相交于BD ,120ABC ∠=,BF ⊥平面ABCD ,//DE BF ,2BF DE =,AF FC ⊥,M 为CF 的中点,AC BD G = .(1)求证://GM 平面CDE ;(2)求直线AM 与平面ACE 成角的正弦值.20. 已知椭圆E 的两个焦点为()110F -,,()210F ,,离心率2e =(1)求椭圆E 的方程;(2)设直线():0l y x m m =+≠与椭圆E 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ,当m 变化时,求TAB △面积的最大值. 21. 已知函数()21axf x x e-=-(a 是常数).(1)求函数()y f x =的单调区间;(2)当()0,16x ∈时,函数()f x 有零点,求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程;(2)设P 是曲线C 上的任意一点,求点P 到直线l 的距离的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()21f x x =-.(1)求不等式()1f x ≤的解集A ;(2)当,m n A ∈时,证明:1m n mn +≤+.试卷答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCBBD 11、12:CA 二、填空题13.1- 14.8 15.2214y x -= 16.73π三、解答题17.解:(1)因为cos cos cos 0a B b A C +=,由正弦定理,得sin cos sin cos cos 0A B B A C C +=,即()sin cos 0A B C C +=,即sin cos 0C C C =. 因为在ABC △中,0C π<<,所以sin 0C ≠,所以cos 2C =,解得4C π=.(2)由余弦定理,得222222cos c a b ab C a b =+-=+,即(224=2a b ab +≥,故(22ab ≤=,当且仅当a b ==.所以(11sin 221222ABC S ab C =≤⨯⨯=+△即ABC S △的最大值为118.解:(1)由频率分布直方图,可得()0.0300.0260.0140.012101m ++++⨯=,得0.018m =.则这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的频率为()0.0180.01410=0.32+⨯, 故这600位网上购物者中年龄在[)40,60内的人数为6000.32=192⨯.(2)由频率分布直方图可知,年龄在[)30,40内的人数与其他年龄段的总人数比为0.03010310.030107⨯=-⨯,由分层抽样的知识知,抽出的10人中年龄在[)30,40内的人数为3,其他年龄段的总人数为7.所以X 的可能取值为0,1,2.()023********C C P X C ===,()11372107115C C P X C ===,()20372101215C C P X C ===所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 19.(1)证明:取BC 的中点N ,连接GN ,MN . 因为G 为菱形对角线的交点,所以G 为AC 中点.又N 为BC 中点,所以//GN CD ,又GN ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//GN 平面CDE .又因为M ,N 分别为FC ,BC 的中点.所以//MN FB ,又因为//DE BF ,所以//DE MN ,MN ⊄平面CDE ,DE ⊂平面CDE ,所以//MN 平面CDE ,又MN ,GN ⊂平面MNG ,MN GN N = ,所以平面//GMN 平面CDE .又GM ⊂平面GMN ,所以//GM平面CDE . (2)解:连接GF .设菱形的边长2AB =,则由120ABC ∠=,得1GB GD ==,GA GC ==又因为AF FC ⊥,所以FG GA ==则在直角GBF △中,BFDE =.由BF ⊥平面ABCD ,//DE BF ,得DE ⊥平面ABCD .以G 为坐标原点,分别以GA ,GD 所在直线为x 轴,y 轴,过点G 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系G xyz -,则()0,0,0G,)0A,,01E ⎛ ⎝⎭,(0F -,,1,222M ⎛-- ⎝⎭,则)0GA =,,01GE ⎛= ⎝⎭ . 设(),,m x y z =为平面ACE 的一个法向量,则0,0,m GA m GE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即00y z =⎨+=⎪⎩.令z =1y =-,所以(0,m =-.又1,22AM ⎛=- ⎝⎭,所以11cos ,10AM mAM m AM m+=== . 设直线AM 与平面ACE 所成角为θ,则sin θ=. 所以直线AM 与平面ACE20.解:(1)由离心率2e =1c =,解得a =所以1b =.所以椭圆E 的方程是2212x y +=. (2)解:设()11,A x y ,()22,B x y ,据221,2x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234220x mx m ++-= ∵直线l 与椭圆E 有两个不同的交点,∴()()22412220m m ∆=-->,又0m ≠,所以m <0m ≠.由根与系数的关系得1243mx x -+=,212223m x x -=设线段AB 中点为C ,点C 横坐标12223C x x m x +==-,3C C my x m =+=,∴2,33m m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴线段AB 垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,∴点T 坐标为,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点T 到直线AB的距离d =,又AB ==,所以123TABS =△=232m =时,三角形TAB 面积最大,且()max TAB S =△.21.解:(1)当0a =时,()21f x x =-,函数在()0+∞,上单调递增,在()0-∞,上单调递减.当0a ≠时,()()()'2222ax ax axf x xe x a e eax x ---=+-=-+,因为0ax e ->, 令()220g x ax x =-+=,解得0x =或2x a=. ①当0a >时,函数()22g x ax x =-+在20,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≥,即()'0f x ≥,函数()y f x =单调递增;函数()22g x ax x =-+在(),0-∞,2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有()0g x <,即()'0f x <,函数()y f x =单调递减;②当0a <时,函数()22g x ax x =-+在2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,,()0,+∞上有()0g x >,即()'0f x >,函数()y f x =单调递增;函数()22g x ax x =-+在2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有()0g x ≤,即()'0f x ≤,函数()y f x =单调递减.综上所述,当0a =时,函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞,递减区间为(),0-∞;当0a >时,函数()y f x =的单调递增区间为20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,递减区间为(),0-∞,2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; 当0a <时,函数()y f x =的单调递增区间为2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,()0,+∞,递减区间为2,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)①当0a =时,由()210f x x =-=,可得1x =±,()10,16∈,故0a =满足题意. ②当0a >时,函数()y f x =在20,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,(i )若()20,16a ∈,解得18a >. 可知20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()f x 是增函数,2,16x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()f x 是减函数,由()010f =-<,∴在()0,16上()2max 22410f x f e a a-⎛⎫==-≥⎪⎝⎭, 解得22a e e -≤≤,所以128a e <≤; (ii )若[)216,a ∈+∞,解得108a <≤.函数()y f x =在()0,16上递增, 由()010f =-<,则()161625610af e-=->,解得1ln 22a <.由11ln 228>,所以10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.③当0a <时,函数()y f x =在()0,16上递增,()01f =-,()161625610af e -=->,解得1ln 22a <, ∴0a <,综上所述,实数a 的取值范围是2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22.解:(1)因为2222cos sin 1y θθ+=+=, 所以曲线C 的普通方程为2213x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,展开得sin cos 3ρθρθ-=,即3y x -=, 因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=. (2)设),sin Pθθ,则点P 到直线l的距离为d ==≤ 等号成立当且仅当sin 13πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即()1126k k Z πθπ=+∈时等号成立,即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因此点P 到直线l的距离的最大值为223.(1)解:由211x -≤,得1211x -≤-≤,即1x ≤, 解得11x -≤≤,所以[]11A =-,.(2)证明:(证法一)()()()222222221111m n mn m n m n m n +-+=+--=---因为,m n A ∈,所以11m -≤≤,11n -≤≤,210m -≤,210n -≤, 所以()()22110m n ---≤,()221m n mn +≤+,又10mn +≥,故1m n mn +≤+.(证法二)因为,m n A ∈,故11m -≤≤,11n -≤≤, 而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦,即()11mn m n mn -+≤+≤+,故1m n mn +≤+.。