数学在经济生活中的应用

数学在经济生活中的应用

例1

设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）

例2

某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q

2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。

例3

设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大，L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。

例4

X银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？

解两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A为

一年后：A=100（1.08），两年后：A=100（1.08）2，…，t年后：A=100（1.08）t.

而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4元，所以余额B为

一年后：B=100（1.02）4，二年后：B=（1.02）4×2，…，t年后：B=（1.02）4t。

注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，计算一年后的总余额显示

一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）.

例5

你买的彩票中奖1百万，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支

付250000元的支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额920000元的

一次付清方式，也就是现在支付，假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？

解：我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250000元的支付方式的现总值为P,

则

P=250000=250000e 06

.0

+250000e

2

06

.0x

+250000e

3

06

.0x

=250000+235411+221730+

208818=915989＜920000

因此，最好是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式例6:

设银行存款现值P 和将来值B ，年利率为r ．则t 年后的本利和即将来值 B=（1+r ）t

若一年分n 次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 B=P(1+n

r )n 而t 年后的本利和即将来值为 B=P(1+n

r )tn 当∞→n 时，则t 年后的本利和即将来值为 B=lim(x->∞）P(1+

n r )tn =pe t 从而现值p 和将来值B 之间的关系为 B= pe t

现值P 为1，利息r 为100%，t=1，则得 B= e

例7：某种产品的总成本C （万元）与产量q （万件）之间的函数关系式（即总成本函数）

为

C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3

求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产

量是否合适？

解： 当q=10时的总成本为

C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（万元）

所以平均成本（单位成本）为C(10)÷10=130÷10=13（元/件）

边际成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2

MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3（元/件）

因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，

从降低成本角度看，应该继续提高产量。

例8：

某公司总利润L （万元）与日产量q （吨）之间的函数关系式（即利润函数）为

1500.005q-2qL(q)L2−==。试求每天生产150吨，200吨，350吨时的边际利润，并说明经济

含义。

解：边际利润 ML=L(q)=2-0.01q

q

ML =2-0.01×150=0.5 q

ML =2-0.01 ×200=0

q ML =2-0.01×350=-1.5 从上面的结果表明，当日产量在150吨时，每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元；当日

产量在200吨时，再增加产量，总利润已经不会增加；而当日产量在350吨时，每天产量再