三视图体积面积计算教师版
三视图——求几何体的表面积和体积优质课件PPT
视图确定每顶帐篷的表面积(图中尺寸单位：cm).
解：S锥侧＝π·150·240＝36 000π(cm2),
S柱侧＝2π·150·200＝60 000π(cm2)，
∴S表＝S锥侧＋S柱侧＝36 000π＋60 000π
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＝96 000π(cm2)＝9.6π m2.
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知2－练
2 【中考·随州】如图是某工件的三视图，则此工件 的表面积为( D ) A．15π cm2 B．51π cm2 C．66π cm2 D．24π cm2
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知2－练
3 某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所 示，则该几何体的体积为( A ) A．3π B．2π C．π D．12
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知2－练
4 【中考·湖州】如图是按1：10的比例画出的一个几 何体的三视图，则该几何体的侧面积是( D ) A．200 cm2 B．600 cm2 C．100π cm2 D．200π cm2
物体形状
3
知识点 1 几何体的展开图
知1－讲
一个物体根据三视图描述几何体还原实物，然 后再由实物来想象该几何体的展开图.
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4
知1－讲
例1 〈广州〉如图是一个几何体的三视图，则这个几 何体的展开图可以是图中的( A )
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5
知1－讲
导引：由三视图可知该几何体是圆柱，它的侧面展开 图是矩形，两个底面的展开图是圆，故选择A.
2 如图是一个几何体的展开图，下面哪个平面图形 不是它的三视图中 D 的一个视图( )
9.2空间几何体的表面积与体积(教师版)
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 9.2空间几何体的表面积与体积考纲定位 了解求、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式；培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算；注意提高认识图、理解图、应用图的能力.一、考点梳理1．柱、锥、台、球的侧面积和体积（1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积是指： ；（2）棱柱的体积公式： ；棱锥的体积公式： ；球的体积： .2. 旋转体的面积和体积公式名称 圆柱圆锥 圆台 球 S 侧S 表V二、典型例题例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).42.22.32.6A B C D +++例2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12例3、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是____．三、高考真题 1．（2012·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.922．（2012·江西）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）D(A)112 (B)5 (C)92(D)43．（2012·新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）B(A)6 (B)9 (C)12 (D)184．（2012·全国）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）A 2.6A (B) 36 (C)23 (D)225．（2012·全国）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） B（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π6．（2012·广东）某几何的三视图如图所示，它的体积为( )C(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π【课后反思】。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。
解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
人教版九年级数学下册29.3： 由三视图确定几何体的面积或体积 课件
01 利用三视图计算实物面积
某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确 定制作每个密封罐所需钢板的面积 (图中尺寸单位：mm).
【解题关键】：利用三视图想象出实物形状，再进一 步画出展开图，然后计算面积。
100mm
50mm
50mm
01 利用三视图计算实物面积
某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确 定制作每个密封罐所需钢板的面积 (图中尺寸单位：mm).
02 练一练
3．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）
A．长方形 B．圆柱 C．球
D．正三棱柱
4．（2017·鸡西市第十九中学初三期末）由若干个相同的小正方
体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几
何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C 【解析】 由主视知这个几何体共有2层，由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可 得二层最多有2个小正方体，第那么搭成这个几何体的小正方体最多为4+2=6个。 故选C。
02 练一练
2．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如图 所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？（ ） A．5，6 B．6，7 C．7，8 D．8，10
【答案】D 【详解】 解：第一层有1＋2＋3=6个正方体，第二层最少有2个正方体， 所以这个几何体最少有8个正方体组成； 第一层有1＋2＋3=6个正方体，第二层最多有4个正方体， 所以这个几何体最多有10个正方体组成．故答案为8，10．
02 练一练
【答案】D 【详解】 解：根据勾股定理得，a2+b2=c2． 故选D．
利用三视图求空间几何体的表面积与体积第一课时
1
11
1
例6、多面体的三视图如图所示， 则该多面体中最长的棱长为______
4
P
13
2
C
A
B
1、三视图：
正视图、侧视图、俯视图
正俯同长 正侧同高 侧俯同宽
2、旋转体的表面积公式：
(1)圆柱
S表=S侧+2S底=2πrl+2πr2
(2)圆锥:
S表= S侧+S底 =πr2+πrl
(3)圆台:
S表= S侧+S底=π（ r′2+r2+r′l+rl ） （4）球： S表=4πr2
3、空间几何体的体积公式：
（1）柱体的体积公式 V Sh
（2）锥体的体积公式 V 1 Sh 3
（3）台体的体积公式
V1 3 (S上源自S下S上S下） h
（4）球体的体积公式 V 4 r 3
3
例1：下图是一个几何体的三视图, 可得该几
何体的表面积_1_2__,体积为___13__
3
例2、一空间几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积 C
A.2 2 3 C.2 2 3
3
B.4 2 3 D.4 2 3
3
例3、一空间几何体的三视图如图所示， 则其体积为_____,表面积为__________
2
2
1
例4：一几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为_1_3__8_
4
4
3
3
3
3
例5、三棱锥的三视图如图所示， 则其体积为______
2015专题四：立体几何(教师版)理科(含11-14年高考试题)
2015专题四：立体几何（教师版）题型分析考点一三视图、直观图与表面积、体积1.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2.三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3例1.等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22例2．(2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 由三视图可知，此几何体是一个横放的直四棱柱，底面梯形的面积为(2＋8)×42＝20，侧面面积为2×10＋2×5×10＋8×10＝200，故四棱柱的表面积为2×20＋200＝240.例3.(1)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1 -ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612D.64(2)(2013·新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π[解析] (1)三棱锥B 1 -ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.[答案] (1)A (2)A考点二 球与空间几何体的“切”“接”问题1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心” 方法一：直接法例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 14π练习：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 方法二：构造法（构造正方体或长方体）例2（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .练习 （2010年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. 3π B. 4π C. 33π D. 6π 三、确定球心位置法例3、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，AC 沿将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )π12125.A π9125.B π6125.C π3125.D四、构造直角三角形例4、正四面体的棱长为a ，则其内切球和外接球的半径是多少,体积是多少？练习： 角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. 角度二 正方体的外接球2．(2013·合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3， ∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.答案：43π角度三 正四面体的内切球3．(2014·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π角度四 四棱锥的外接球4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A．9π B．3πC．22π D．12π解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得a＝2，在△P AC中PC＝22＋(22)2＝23，球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π.考点三利用空间向量求角和距离1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e| |n||e|.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α -l -β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．4．点到平面的距离的求法设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==易错点：1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cosθ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．一、线线角问题1．(2013·沈阳调研)在直三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )A.3010 B.12 C.3015D.1510解析：选A 建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝⎛⎭⎫－12，0，1， B (0，－1,0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，则1AF ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， 1BD ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD | 1AF ||1BD |＝3010.2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，1， C (0,1,0)， N ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， CN ＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. 设直线AM 与CN 所成的角为θ，则 cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝二、线面角的问题3、(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．[解]法一：(1)证明：如图1，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.图1又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D .而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)． 如图1，连接A 1D .因为棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1.故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D .由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB .从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BCAB.即AB ＝DA ·BC ＝ 3. 连接AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 法二：(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则有A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．图2从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是1B D ＝(－3，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D . (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ＝0，n ·1AD ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·11B C |n |·|11B C |＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. [针对训练](2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.三、二面角问题4、(2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．[解] (1)证明：连接AC1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC ′的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63. [针对训练](2014·杭州模拟)如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt △ABC 所在平面，且P A ＝AB ＝AC . (1)求证：P A ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求二面角Q -PB -A 的余弦值．解：(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC . 又P A ⊥平面ABC ，∴QD ∥P A .又QD ⊂平面QBC ，P A ⊄平面QBC ∴P A ∥平面QBC . (2)∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB ＝∠PQC ＝90°，又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ， ∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ ＝CQ .∴点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ， 又AD ⊄平面QBC ，BC ⊂平面QBC ， ∴AD ⊥平面QBC .∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ， ∴四边形P ADQ 是矩形．分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，设P A ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )，设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵PQ ＝(a ，a,0)，PB ＝(0,2a ，－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，n ＝(1，－1，－1)． 又平面P AB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设二面角Q -PB -A 为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝33， 又二面角Q -PB -A 是钝角， ∴cos θ＝－33，即二面角Q -PB -A 的余弦值为－33.四、 利用空间向量解决探索性问题．(2013·江西模拟)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． 解：(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE . (2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°. ∴EDBD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝ 6. 如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，∴BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4,2，6)． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA ＝(3，－3,0)为平面BDE 的一个法向量，∴cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA |n ||CA |＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313. (3)依题意，设M (t ，t,0)(t ＞0)，则AM ＝(t －3，t,0)， ∵AM ∥平面BEF ，∴AM ·n ＝0， 即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时DM ＝23DB ，∴点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．[针对训练]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间 直角坐标系(如图)，设BP ＝λ1BD ，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP ·CP | AP ||CP |可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.五、近三年新课标高考试题十、立体几何（三视图1小+1小1大：（1）三视图（2）线面关系（3）与球有关的组合体（4）证明、求体积与表面积（注意规范性），作辅助线的思路（5）探索性问题的思考方法）(11)（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
由三视图求面积、体积-高中数学知识点讲解
由三视图求面积、体积1．由三视图求面积、体积【知识点的认识】1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．2．三视图的画图规则：（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．3．常见空间几何体表面积、体积公式圆柱：푆圆柱=2휋푟(푟+푙)（1）表面积公式：{圆锥：푆圆锥=휋푟(푟+푙)圆台：푆圆台=휋(푟2+푟′2+푟푙+푟′푙) 球：푆球=4휋푟2柱体：푉柱=푆ℎ1锥体：푉锥=푆ℎ（2）体积公式：{台体：푉台=(푆+푆푆′+푆′)ℎ33球：푉球=4휋푟31/ 3【解题思路点拨】1．解题步骤：（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）（2）选对应公式（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）（4）代公式计算2．求面积、体积常用思想方法：（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8﹣2πB.8﹣πC.8 ―휋2D.8 ―휋41分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入4正方体与圆柱的体积公式计算．1解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，4正方体的棱长为 2，切去的圆柱的底面半径为 1，高为 2，∴几何体的体积V＝23﹣2 ×14×π×12×2＝8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．。
利用三视图求几何体的表面积和体积
解：由三视图可得该几何体的直观图。 ∴该几何体是一个底面为直角三角形且两直角边分别为1 cm，2 cm ，高为2 cm的三棱柱。 ∴该几何体的体积为 ×1×2×2＝2(cm3)。
圆柱
2 2 圆台
温故知新
2
球
柱
锥
台
球的体积：
4R V 3
球
3
例1.已知一几何体的三视图如下图，试求其表面积与体 积.
1 1 1
主视图
侧视图
2
俯视图
2
直观图
2 3 6 cm , 3 cm
2
3
2 3 3 7 2 cm , cm 2
直观图
练习
如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何 体的表面积为 A. 6+
温故知新
1、三视图
（1）正视图方向的选取 （2）三视图的位置分布
俯视图安排在正视图的正下方， 侧视图安排在正视图的正右方.
（3）画三视图的三大原则
长对正 高平齐 宽相等
温故知新
俯
左
圆台
长对正 高平齐 宽相等
面积
体积
圆柱的表面积：S 2r (r l ) 圆锥的表面积：S圆锥 r (r l ) S 圆台的表面积： (r r' rl r' l ) 球的表面积： S 4R 柱体的体积： V Sh 1 锥体的体积： V 3 Sh 1 台体的体积：V 3 (S SS ' S' )h
3+
（不考虑接触点）
2 1
3
2 2
C
2 2
B. 18+
3 + 4 3+
第一章1.1.5三视图教案教师版
1.1.5三视图【学习要求】1．了解三视图的概念，理解三视图的画法特征．2．能画出简单空间图形的三视图，能识别空间图形的三视图所表示的立体模型．【学法指导】通过直观感知，操作确认，提高空间想象能力、几何直观能力，培养应用意识；感受数学就在身边，提高学习立体几何的兴趣，培养大胆创新、勇于探索、互相合作的精神.填一填：知识要点、记下疑难点1．正投影：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．2．正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：(1)垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；(2)垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3．三视图：(1)为了使空间图形的直观图更准确地反映空间图形的大小和形状，往往需要把图形向几个不同的平面分别作正投影．通常，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面．投射到水平投射面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到直立投射面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到侧立投射面内的图形叫做左视图．(2)将空间图形向这三个平面作正投影，然后把俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右面，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．(3)三视图中，三种视图的关系是：长对正，高平齐，宽相等，或说主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽．4．三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图把几何体画在纸上．探究点一三视图问题1在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影，那么正投影有哪些特殊的性质呢？答：(1)垂直于投射面的直线和线段的正投影是点；(2)垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．问题2把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形．从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择怎样的平面作为投影面呢；？答：通常，总是选取三个两两垂直的平面作为投影面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面．投射到水平投射面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到直立投射面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到侧立投射面内的图形叫做左视图．探究点二几何体的三视图问题1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c ，那么其三视图分别是什么？答：问题2长方体的主视图是什么图形？表示了长方体的什么量？答：主视图是一个矩形，它表示长方体的高度和长度．问题3长方体的俯视图是什么图形？表示了长方体的什么量？答：俯视图是一个矩形，它表示长方体的长度和宽度．问题4长方体的左视图是什么图形？表示了长方体的什么量？答：左视图是一个矩形，它表示长方体的宽度和高度．问题5三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？答：三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”．问题6圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？答：圆柱的为：圆锥的为：圆台的为：例1如图所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图．解：这个几何体的三视图如图所示．在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计．小结：在画三视图时，务必做到主(视图)左(视图)高平齐，主(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)左(视图)宽相等．跟踪训练1观察下列两个实物体，它们的结构特征如何？你能画出它们的三视图吗？解：例2如图所示的是一个奖杯的三视图，画出它的直观图．解：从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台，它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm.底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高为72 mm的正四棱柱．它的底面的对角线分别与棱台底面的边平行，它的底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上．奖杯的最上部，在正四棱柱上底面的中心放着一个直径为28 mm的球．根据以上分析，画出奖杯的直观图．如图所示．小结：三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方．跟踪训练2下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．解：例3说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．解：小结：画组合体的三视图时，应看清组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是交线位置．跟踪训练3画出图(1)中实物图的主视图和俯视图如图(2)，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的左视图．解：显然，这个组合体是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，应该画出不可见的轮廓线(用虚线表示)．左视图的轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)．正确画法如图．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．球的三视图都是圆；圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆和圆心；圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆．2．如图所示的是一些立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．解：(1)该立体图形为长方体，如图(1)所示．(2)该立体图为圆锥，如图(2)所示．3．球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？解：球的三视图都是半径相等的圆；表示的几何体为课堂小结：1．三视图是指主视图、俯视图和左视图，画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”的原则，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线要用虚线画出．2．三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出；d表示直径，R表示半径；单位不注明，则按“mm”计．(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图右面，高度和主视图一样，宽度与俯视图一样．(3)对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后画它的三视图．。
08三视图【教师版】
三视图这节课我们学什么1.三视图的概念及其画法；2.根据三视图求几何体的体积；3.根据三视图求几何体的表面积．知识框图知识点梳理1、物体的视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．由前向后观察物体的视图，叫做主视图；由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；由左向右观察物体的视图，叫做左视图．说明：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2、画三视图的要求：(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．(3)画法的规定：看得见的用实线，看不见的用虚线．说明：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．典型例题分析1、三视图的概念及其画法；例1、画出图中各几何体的三视图：【答案：主视图是通过正面观察物体的形状，左视图是从左面去观察物体的形状，俯视图是从上往下观察物体的形状．(1)是三棱柱，从正面和左面看是矩形，从上面看是三角形；(2)是圆锥，从正面和左面看都是三角形，从上面看都是圆和圆心；(3)是圆台，从正面和左面看都是梯形，从上面看是两个同心圆；(4)是一个圆柱和一个长方体组合而成的图形，从正面看是两个矩形，从左面看是两个矩形(但大小不同)，从上面看是一个圆和一个矩形．如图说明：画三视图时要注意(1)位置的规定和长度的规定；(2)分别用点和线段来描述几何体的尖端和交界处．】例2、图中几何体的主视图是( )．【答案：C．】例3、由一些大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的左视图是( )．【答案：根据几何体的俯视图及相关数据，还原它的原貌，再找它的左视图．选A．说明：正确理解俯视图与左视图的位置关系是解题的关键．】例4、如图是一个立体图形的三视图，这个立体图形的名称是．【答案：由三视图可以知道该立体图形是一个圆柱体】例5、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案：本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断，特别要注意虚线的标注．根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D ． 】例6、小明和小龙观察同一个物体，俯视图都是一个等腰梯形，但小明所看到的主视图如图 (1)所示，小龙看到的主视图如图 (2)所示．你知道这是一个什么样的物体吗?小明和小龙分别是从哪个方向观察它的呢?可以画图说明．【答案：两人看到分别如答图所示：画法的规定：看得见的用实线，看不见的用虚线】2、利用三视图求表面积和体积；例7、如图是一个立体图形的三视图，请计算这个立体图形的体积．【答案：由三视图可以知道该立体图形是一个圆柱体，且母线和地面的直径都是10，所以这个圆柱的体积是.π25010)210(π2=⋅=V 】 例8、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是 ．【答案：由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=侧S 】 例9、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．【答案：本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状．由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2， 则111=112=323V ⨯⨯⨯⨯．】 例10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积为 ．【答案：直接根据三视图还原成原来的几何体,然后再根据体积公式求解．由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为()2048221=⨯+⨯．高为10．故体积为.2001020=⨯ 由三视图知,梯形的腰为54322=+,梯形的周长为205528=+++,所以四棱柱的侧面积为2001020=⨯．表面积为240．】例11、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ．【答案：根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积．由三视图可知原几何体如图所示,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V −−=−1166334410032=⨯⨯−⨯⨯⨯⨯=．】 例12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ．【答案：由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为21242241682⨯π⨯⨯+⨯⨯=+π．】课后练习练1． 在下列几何体中，俯视图是圆的有______．(填序号)．【答案：（2）（4）】练2． 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为 ．【答案：4】练3． 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 ．【答案：πππ342122=+⋅r r 】 练4． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______．【答案：1616π−】练5． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的取值区间是 ．【答案：1,2⎡⎤⎣⎦】 练6． 一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，求能得到的最大球的半径．【答案：由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，18,6,12AB BC BB ===．若要得到半径最大的球，则此球与平面111111,,A B BA BCC B ACC A 相切，故此时球的半径与ABC ∆内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－102＝2．】练7． 如图是一个奖杯的三视图，请你根据图中的数据，求出这个奖杯的底面边长．【答案：奖杯由上至下依次是球、长方体和长方体三个几何体构成，由主视图知球的直径为10cm ；由俯视图知两个长方体的底面都是正方形，而下面的正方形边长等于中间正方形的对角线长，中间正方形边长等于球的直径10cm ．所以所求底面边长为cm.210．】练8． 一个多面体的三视图如图所示，求该多面体的表面积．．【答案：由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝()2132423112221324−⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+．】练9． 下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图．(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)．(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．【答案：(1)作出俯视图如图所示．(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD －A 1B 1C 1D 1)截去一个三棱锥(E －A 1B 1D 1)得到的，所以截去的三棱锥体积VE －A 1B 1D 1＝13·S △A 1B 1D 1·A 1E ＝112221323⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 正方体体积V 正方体AC 1＝23＝8，所以所求多面体的体积V ＝8－23＝223．】练10． 如图,在四棱柱P ABCD −中, PD ABCD ⊥,//AB DC ,AB AD ⊥,5,3,4,60BC DC AD PAD ===∠=．当正视方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD −的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程)．【答案：(1)在梯形ABCD 中,过点C 作CE ⊥AB ,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD ==,在Rt BEC ∆中,由5,4BC CE ==,依勾股定理得:3BE =,从而6AB =．又由PD ⊥平面ABCD 得,PD ⊥AD ,从而在Rt PDA ∆中,由4,60AD PAD =∠=，得43PD =:】。
常见几何体三视图及表面积体积公式ppt课件
出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为
（） A
4B
D
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
【2017
浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单
位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（2016 年全国 III 高考）如图，网格纸上小正方形的边 长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面 体的表面积为
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
【2014 课标Ⅰ，理 12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画
圆柱体
4
构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积
为.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
【2012 全国，理 7】如图，网 格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
一个球被切掉左上角的 1 ,即该几何体是 7 个球，设球的半径为 R ，
8
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则V 7 4 πR3 28π ，解得 R 2 ，所以它的表面积是 7 的球
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三视图体积面积计算教师版
..高一直观图三视图及体积面积计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D【解析】试题分析：左视图是指从几何体的左边看几何体的投影，如图A的投影为D,E的投影为G,B的投影为C,线段AF的投影为DF,故选D．考点：三视图2．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台【答案】C【解析】试题分析：该几何体的主视图和俯视图都为矩形，左视图为三角形，可以得到该几何体是一个横着放的三棱柱。
考点：三视图的还原图3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【答案】D【解析】试题分析：由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C，如果俯图是D，正视图和侧视图不可能相同．故选D．考点：三视图．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2＋．2＋【答案】B【解析】试题分析：根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．考点：平面图形的直观图5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）试卷第2页，总20页..【答案】A 【解析】试题分析：根据斜二测画法知， 平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的12，∵O ′C ′=1，O ′A ′，∴OC=O ′C ′=1，OA=2O ′A ′= 由此得出原来的图形是A ． 考点：斜二测画法6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．1+．2+．1+．【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面PAC ⊥平面ABC，PA PC PD AC ==⊥,且1PD =，BA BA ==，所以112AB CAP S S ∆∆===，PAB ∆与PBC ∆，所以1sin 6022PAB PBC S S ∆∆==︒=，故该三棱锥的表面各为12222⨯+⨯=+B ．试卷第4页，总20页AC考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】试题分析：设正方体棱长为1，由题意得，剩余几何体为一个正方体被一个平面截去一个角，其截去体积为211111326⨯⨯⨯=，因此剩余部分体积为15166-=，比值为15，选D ．考点：三视图，三棱锥体积8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112 【答案】C 【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V =+⨯⨯⨯=，故选C ．..考点：1．三视图；2．空间几何体的体积计算．9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8π D． 【答案】C 【解析】何体的外接球的表面积248S r ππ== ，故答案为：C ．考点：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 【答案】D试卷第6页，总20页【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为21111236ππ⨯⨯⨯⨯=，故选D ． 考点：空间几何体的三视图．11． 三棱锥S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，在三棱锥S ABC 中，SC平面ABC ，AB=BC=4，SC=4，所以．故选A ．考点：三视图的应用． 12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 （ ）ABD【答案】A 【解析】试题分析：：∵边长为1=∴侧视图的底边长为故所求的面积为：12S ==考点：三视图13．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）..A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥．所以()112422432V ⎡⎤=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．故B 正确．考点：三视图． 14．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是（ ）A 、13BD【答案】D【解析】试题分析：由三视图可得四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为h =，且底面积111S =⨯=，所以11133V Sh ==⨯=，故选D ． 考点：三视图．15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 【答案】A试卷第8页，总20页【解析】试题分析：该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为21241822s ππ=⨯-⨯=-，所以体积为3242V sh π==-考点：三视图与棱柱体积16．一个体积为A ．36B ．8C ．38D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：设棱柱的高为h，由左视图可知，底面的正三角形高为角形的边长为4，所以底面积为142⨯⨯=以有13h ⨯=3h =，可得左视图的面积为3=，故选择A考点：三视图17．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．31cm B ．32cm C ．33cm D ．36cm 【答案】A 【解析】试题分析：该三棱锥的体积是313212131cm V =⨯⨯⨯⨯=． 考点：三视图18．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （ ）..A ．34B ．4C ．324D ．334【答案】C【解析】=2的正方形，故体积为21233⨯=选C ． 考点：三视图19．如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）（A ）403 （B ）323 （C ）163 （D ）283【答案】A【解析】试题分析：由三视图得到其直观图（上图所示），则体积为1140[(14)4]4323⨯+⨯⨯=，故选A .考点：三视图.试卷第10页，总20页20．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积1004)3421(31636=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，答案选B ． 考点：空间几何体的三视图与体积21．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h =( )AC．．【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为5和6的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有1563V h =⋅⋅⋅=，解得h =选B ．考点：根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量． 22．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是.A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π 【答案】A【解析】试题分析：此几何体是正方体挖了一个圆锥，所以体积ππ32821312222-=⨯⨯-⨯⨯=V ．考点：1．三视图；2．几何体的体积．23．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中N MFE DCB A①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．①③④ 【答案】C 【解析】试题分析：把展开图还原为正方体，由图可知：①BM 与ED 是异面直线，所以错误；②CN 与BE 是平行直线，所以错误； ③连接图中AN ，AC 知三角形ANC 是等边三角形，所以AN 与CN 夹角为︒60，所以CN 与BM 所成角也为︒60，正确；④因为CN 与AF 垂直，所以DM 与BN 是异面直线．考点：线面位置关系、空间想象能力、异面直线所成的角． 24．（2014•未央区二模）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．二、填空题25．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是．【答案】【解析】试题分析：根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．解：∵三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，直角边分别为2，4，∴面积为=4，故答案为：．.点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则，灵活应用其中的数量关系．．26．三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于．【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于12133创?．2考点：三视图27．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．1【答案】6【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面三角形是等腰三角形，底边为1，高为1，棱锥的高为1，因此体积为61 考点：三视图及棱锥体积28．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m【答案】4 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面积63421=⨯⨯=S ，高2=h ，因此体积431==Sh V ，故答案为4. 考点：几何体的体积.29．如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是__ ___cm 2，体积为_ __ cm 3．【答案】14+ 【解析】试题分析：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，2354AB BC DB CD ====，，，，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，∴几何体的表面积是.34325124141112222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+其体积：1113424332S CBD AB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故答案为：14+． 考点：空间几何体的三视图．30．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．【解析】试题分析：该多面体为一个三棱锥ABCD,如图，其中12AB BC CD BD AD ===，，考点：三视图31．某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.【答案】2 【解析】试题分析：三棱锥左视图为三角形，由三棱锥的主视图可知：三棱锥的高为2，所以左视图的高为2，三棱锥的俯视图宽为为2，所以左视图三角形的底面边长为2 所以左视图的面积22221=⨯⨯=s ，所以选A 考点： 三视图32．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．【答案】34【解析】由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中，底面是边长为3与4的矩形，且⊥1VC 平面1111D C B A ，31=VC ，由图形，可知1VA 最长，在11C VA Rt ∆中，344332221=++=VA .11B 1考点：三视图.33．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .正(主)视图俯视图侧(左)视图.【答案】()21533+ 【解析】试题分析：由条件知原几何体是正六棱锥，底面是边长为1的正六边形，侧棱长为2，h ==，一个侧面面积为1112S =⨯=，∴表面积01(11sin 60)662S =⨯⨯⨯⨯+=.考点：三视图.34．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；【答案】251π【解析】试题分析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，<br />其表面为S=25142322)23()23(422ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯ 故答案为：251π.考点：由三视图求面积、体积.三、解答题35．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ，N 分别是 AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积．【解析】试题分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，90CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．36．如图，某多面体的直观图及三视图如图所示： E,F 分别为PC,BD 的中点.（1）求证：PAD EF 平面// （2）求证：PAD PDC 平面平面⊥ （3）求此多面体的体积【答案】（1）四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ,且ABCD PAD 平面平面⊥.连结AC ，则F 是AC 的中点。
教师版三垂线定理及二面角、平行、垂直、面积、体积
一．立体几何中侧面积（表面积）及体积公式：A BA C 1B棱柱 棱锥 棱台 圆圆柱 圆锥 圆台 球2222322111()222()411331143331133S clS clS c c lS r S rl S rl S r r lS r V S hV S hV h S S V S h r h V S h r h V r V h S S h r r rr πππππππππ===+='===+='=⋅=⋅⋅=⋅++=⋅==⋅⋅===⋅++=++''圆面积棱柱侧棱锥侧棱台圆柱侧圆锥侧圆台侧球表棱柱底棱锥底棱台上底圆柱底圆锥底球圆台上底（（（）二．三视图问题及综合面积、体积问题三．基本知识点【建立必要的空间试图能力】：符号书写立体几何语言： 平面的4个特征： 1个（判定异面直线的）结论： 2类重点题型（线共面问题；点共线、线共点问题） 2种常用方法：反证法；同一法3个推论： 4个公理：异面直线所成角（平移）及距离问题： 等角定理：四．四个手势12个定理：【看已知用性质定理，看问题用判定定理】【手势一】：线面平行的判定定理与性质定理：【手势二】：面面平行的判定定理与性质定理★平行问题的总结：线线平行的常用证明方法：①公理三；②平行四边形；③三角形中位线；④四边形与三角形中：成比例线平行；⑤线//面⇒线//线；⑥面//面⇒线//线；⑦线⊥面⇒线//线；⑧辅助线法：如见中点找中点。
【手势三】：线面垂直的判定定理与性质定理【★（性质定理）面面垂直看交线，一个面内垂直于交线的垂线垂直于另一个平面】★垂直问题的总结：线线垂直的常用证明方法： ①矩形； ②等腰三角形中线垂直于底边； ③勾股定理凑垂直；④三垂线定理； ⑤线⊥面⇒线⊥线； ⑥面⊥面⇒线//线； ⑦线⊥面⇒线⊥面⇒线⊥线；⑧反过来说思想。
五．三垂线定理及逆定理：【一面四线、如影随形】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
人教版九年级数学 下册 第二十九章 29.2 三视图 第2课时 教案(表格式)
教学设计二、自主预习梳理新知阅读教材，梳理本节课的知识点，并标注在教材中。
三、合作探究生成能力目标导学一：由三视图判定几何体的形状和组成例1、按要求解答：(1)请你画出符合如图所示的几何体的两种左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．解析：(1)由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列．由主视图可得共有3层，那么其中一列必有3个正方体，另一列最少是1个，最多是3个；(2)由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第2列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能值．解：(1)如图所示：(2)∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体．由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；或第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体，∴该组合几何体最少有5＋2＋1＝8个正方体，最多有5＋4＋2＝11个正方体，∴n 可能为8或9或10或11.方法总结：解决本题要明确俯视图中正方形的个数是几何体最底层正方体的个数．例2：画出符合下列三视图的小立方块构成的几何体。
分析：首先应由三种视图从三个方向确定分别有几层，每层有几个，每个小正方体的具体位置在哪儿？画出之后再看一是否和所给三视图保持一致目标导学二：由三视图确定几何体的表面积或体积及应用例3：杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8g/cm3，1kg防锈漆可以涂4m2的铁器面，三视图单位为cm)?解析：从主视图和左视图可以看出这个几何体是由前后两部分组成的，呈一个T字形状．故可以把该几何体看成两个长方体来计算．解：∵工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000cm3，∴重量为8000×7.8＝62400(g)＝62.4(kg)，∴铸造5000件工件需生铁5000×62.4＝312000(kg)＝312(t)．∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800cm2＝0.28m2.∴涂完全部工件需防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．方法总结：本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的面积；关键是得到几何体的形状，得到所求的等量关系的相对应的值．四、课堂总结本节课我们探究了如何利用三视图确定几何体的组成、形状、表面积以及体积，时间关系，只选取了典型例题，课下大家一定要多多练习，熟能生巧。
高中数学(人教B版必修2)教师用书：第1章 1.1.5 三视图 Word版含答案
1.1.5 三视图1.能画出简单空间图形的三视图.(重点)2.能识别三视图所表示的立体模型.(重点)3.利用三视图的画法及其特征作组合体的三视图.(难点)4.三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转化.(难点)教材整理三视图阅读教材P21～P23“例1”以上内容，完成下列问题.1.正投影的定义和性质(1)定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影.(2)性质①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.2.三视图的分类及画法(1)分类图1164(2)三视图的画法规则①主、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；②主、左视图都反映物体的高度——“高平齐”；③俯、左视图都反映物体的宽度——“宽相等”.(3)三视图的排列顺序：先画主视图，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边.如果一个几何体的主视图和左视图都是长方形，那么这个几何体不可能是( )A.长方体B.圆柱C.三棱柱D.正三棱锥【解析】长方体和圆柱的主视图和左视图可能是长方形，当三棱柱为直棱柱时，其主视图和左视图可能都是长方形.【答案】 D(1) (2) (3)图1165【精彩点拨】确定正前方→画主视图→画左视图→画俯视图【自主解答】三视图如图①②③所示.1.务必做到长对正，宽相等，高平齐.2.三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方.3.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.1.画出如图1166所示几何体的三视图.图1166【解】图为正六棱柱，主视图和左视图都是矩形，主视图中有两条竖线，左视图中有一条竖线，俯视图是正六边形..【导学号：45722021】图1167【精彩点拨】欲画出该几何体的三视图，先弄清它是由什么简单几何体按什么方式构成的，然后确定主视、左视、俯视的方向，最后按三视图的画法规则画出它的三视图.【自主解答】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱的侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱的侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)，故它的三视图如图.画组合体的三视图的“四个步骤”1.析：分析组合体的组成形式.2.分：把组合体分解成简单几何体.3.画：画分解后的简单几何体的三视图.4.拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图.2.画出如图1168所示的几何体的三视图.图1168【解】探究1该几何体是什么吗？并试着画出图形.图1169【提示】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示.探究2 如何结合三视图还原几何体？【提示】根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后结合三视图的形状，从不同的角度去还原.看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形状分析的看图方法是解决此类问题的常用方法.根据三视图(如图1170所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图.图1170【精彩点拨】由主视图、左视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合主视图、左视图所给信息画直观图.【自主解答】由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由主视图和左视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示.由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由主视图与左视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.3.如图1171是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )图1171【解析】由俯视图可知该几何体为旋转体，由主视图、左视图可知该几何体由圆锥、圆柱组合而成.【答案】 D1.下列哪个几何体的三视图可能全是一样的平面图形( )A.长方体B.圆柱C.正四棱锥D.正方体【答案】 D2.已知某物体的三视图如图1172所示，那么这个物体的形状是( )图1172A.长方体B.圆柱C.正方体D.圆锥【解析】俯视图是圆，所以为旋转体，可排除A、C，又主、左视图为矩形，所以不是圆锥，排除D.故选B.【答案】 B3.水平放置的下列几何体，主视图是长方形的是______(填序号).①②③④图1173【解析】①③④的主视图为长方形，②的主视图为等腰三角形.【答案】①③④4.一物体及其主视图如图1174：①②③④图1174则它的左视图与俯视图分别是图形中的________.【解析】左视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②.【答案】③②5.如图1175所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状.【导学号：45722022】图1175【解】该三视图表示的是一个四棱台，如图.。
高二第1讲 空间几何体及表面积与体积(教师)
2.画几何体的高：在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍_平行于_z′轴且长度_不变_.
五、柱体、锥体、台体的表面积
1．多面体的表面积
(1)我们可以把多面体展成_平面图形_，利用_平面图形_求面积的方法，求多面体的表面积；
(2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_側面面积____之和，表面积是_各个面的面积_之和，即_側面积_与_底面积__之和．
2．旋转体的面积与体积
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl_
S＝_ 2πr2＋2πrl
或S＝_ 2πr(r＋l)
V=Sh
圆锥
S侧＝πrl
S＝πr2＋πrl
(2)（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
（3）已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
思考流程(1)分析：将直观图还原为平面图形；推理：将斜二测画法画直观图的要求逆用；结论：根据规则画出原来图形．(2)分析：观察俯视图，用淘汰法。
(2)如图7－37－8所示，已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝，则△ABC的面积是()
A.B．2C．4D．1
[答案](1)2a2(2)B
[解析](1)一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，而直观图面积S′＝a2，所以原平面四边形的面积为＝2a2.
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
2019-2020学年北师大版高中数学必修二教师用书：1-3 三视图 Word版含答案
姓名，年级：时间：§3三视图1．由基本几何体形成的组合体有两种基本的组成形式：(1)将基本几何体拼接成组合体；(2)从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体．2．绘制三视图时的注意点（1）主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)在三视图中，需要画出所有的轮廓线,其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．(3)同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同．（4）清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1）任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关．( )(2）任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关．（)(3)有的几何体的三视图与其摆放的位置无关．（）（4)正方体的三视图一定是三个全等的正方形．( )[答案] （1）×(2）×(3)√（4)×题型一简单几何体的三视图【典例1】画出如图所示几何体的三视图．[思路导引］图①为正六棱柱,可按棱柱的画法画出，图②为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．[解] 按正六棱柱、圆锥、圆台的三视图画法如图所示．(1)画三视图时，首先确定主视、左视、俯视的方向,同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．一般主视方向确定了，则左视与俯视的方向也就确定了，在有的问题里，直接给出主视图，也是确定主视方向的一个方法．(2)一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放在主视图的下面，左视图放在主视图的右面．［针对训练1］如下图所示，图（1)是底面边长和侧棱长都是2 cm 的四棱锥，图（2）是上、下底面半径分别为1 cm,2 cm，高为2 cm的圆台，分别画出它们的三视图．［解］(1)四棱锥的三视图如下图所示:(2)圆台的三视图如下图所示：题型二简单组合体的三视图【典例2】画出如图所示的几何体的三视图．[思路导引］画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚，图为两个圆柱的组合体．［解] 如图所示．画简单组合体的三视图时要注意的问题（1)分清简单组合体是由哪些简单几何体组成的,是组合型还是切挖型．（2)先画主体部分，后画次要部分．（3)几个视图要配合着画．一般是先画主视图再确定左视图和俯视图．（4）组合体的各部分之间要画出分界线．［针对训练2］画出如图所示几何体的三视图．[解] 如图所示(1)(2）题型三由三视图还原成实物图【典例3】如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体( )[思路导引］（1）通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形,则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．（2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆,则原几何体为旋转体．[解析] 由俯视图可知该几何体为旋转体,由主视图、左视图、俯视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．［答案] D由三视图还原成实物图时，一般先由俯视图确定底面，由主视图与左视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．［针对训练3］根据三视图（如图所示）想象物体原形，指出其结构特征,并画出物体的实物草图．[解］由俯视图知,该几何体的底面是一直角梯形；再由主视图和左视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示．1．如图，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲、乙、丙相对应的标号是（）①长方体;②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．③①② B．①②③ C．③②④ D．④②③［答案] D2．已知三棱柱ABC—A1B1C1如右图所示，以BCC1B1的前面为正前方，画出的三视图正确的是( )[解析］主视图是矩形，左视图是三角形，俯视图是矩形,中间有一条线．[答案] A3．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于（）A．1 B. 2 C。
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高一直观图三视图及体积面积计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D【解析】试题分析：左视图是指从几何体的左边看几何体的投影，如图A的投影为D,E的投影为G,B的投影为C,线段AF的投影为DF,故选D．考点：三视图2．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥 B．三棱锥C．三棱柱 D．三棱台【答案】C【解析】试题分析：该几何体的主视图和俯视图都为矩形，左视图为三角形，可以得到该几何体是一个横着放的三棱柱。
考点：三视图的还原图3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）【答案】D【解析】试题分析：由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C，如果俯图是D，正视图和侧视图不可能相同．故选D．考点：三视图．4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8 C．2＋32 D．2＋23【答案】B【解析】试题分析：根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2OB ，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选B．倍，则22考点：平面图形的直观图5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）【答案】A 【解析】试题分析：根据斜二测画法知， 平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段变为原来的12，∵O ′C ′=1，O ′A ′=2，∴OC=O ′C ′=1，OA=2O ′A ′=22； 由此得出原来的图形是A ． 考点：斜二测画法6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A ．13+．23+．122+．2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面PAC ⊥平面ABC ，2,PA PC PD AC ==⊥,且1PD =，2BA BA ==，所以12212ABC APC S S ∆∆===，PAB ∆与PBC ∆2，所以1322sin 6022PAB PBC S S ∆∆==︒=，故该三棱锥的表面各为312223⨯+⨯=+B ．DA CBP考点：1．三视图；2．多面体的表面积与体积．7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．18B．17C．16D．15【答案】D【解析】试题分析：设正方体棱长为1，由题意得，剩余几何体为一个正方体被一个平面截去一个角，其截去体积为211111326⨯⨯⨯=，因此剩余部分体积为15166-=，比值为15，选D．考点：三视图，三棱锥体积8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【答案】C【解析】试题分析：根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积314443803V=+⨯⨯⨯=，故选C．考点：1．三视图；2．空间几何体的体积计算．9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．83πB ．32πC ．8πD ．82π 【答案】C 【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个底面为直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥，故外接圆直径为4422+=，故外接圆半径2r =，故该几何体的外接球的表面积248S r ππ== ，故答案为：C ．考点：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案．10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为21111236ππ⨯⨯⨯⨯=，故选D ． 考点：空间几何体的三视图．11． 三棱锥S ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，在三棱锥S ABC 中，SC平面ABC ，AB=BC=4，SC=4，所以．故选A ．考点：三视图的应用． 12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为 （ ）A 6B 62D 2【答案】A 【解析】试题分析：：∵边长为12213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴侧视图的底边长为322 故所求的面积为：1362224S =⨯=考点：三视图13．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥．所以()112422432V ⎡⎤=⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．故B 正确．考点：三视图． 14．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是（ ）A 、13B 、3C 、3D 、3【答案】D【解析】试题分析：由三视图可得四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为3h =，且底面积111S =⨯=，所以1133133V Sh ==⨯⨯=，故选D ． 考点：三视图．15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为21241822s ππ=⨯-⨯=-，所以体积为3242V sh π==-考点：三视图与棱柱体积16．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A ．36B ．8C ．38D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：设棱柱的高为h ，由左视图可知，底面的正三角形高为23，所有可得正三角形的边长为4，所以底面积为1423432⨯⨯=，又因为棱柱的体积为123，所以有1431233h ⨯⨯=，解得3h =，可得左视图的面积为23363⨯=，故选择A考点：三视图17．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．31cm B ．32cm C ．33cm D ．36cm 【答案】A 【解析】试题分析：该三棱锥的体积是313212131cm V =⨯⨯⨯⨯=． 考点：三视图18．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （ ）A ．34B ．4C ．324D ．334【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个正四棱锥，高为312-=，底为边长为2的正方形，故体积为214222,33⨯⨯=选C ． 考点：三视图19．如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）（A ）403 （B ）323 （C ）163 （D ）283【答案】A【解析】试题分析：由三视图得到其直观图（上图所示），则体积为1140[(14)4]4323⨯+⨯⨯=，故选A .考点：三视图.20．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积1004)3421(31636=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ，答案选B ． 考点：空间几何体的三视图与体积21．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h =( )A 33 C ．33．53【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为5和6的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有1561033V h =⋅⋅⋅=，解得3h =选B ．考点：根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量． 22．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．2 83π-B．83π- C．82π- D．23π【答案】A【解析】试题分析：此几何体是正方体挖了一个圆锥，所以体积ππ32821312222-=⨯⨯-⨯⨯=V．考点：1．三视图；2．几何体的体积．23．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中NMFED CBA①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成︒60角④DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④【答案】C【解析】试题分析：把展开图还原为正方体，由图可知：①BM与ED是异面直线，所以错误；②CN与BE是平行直线，所以错误；③连接图中AN，AC知三角形ANC是等边三角形，所以AN与CN夹角为︒60，所以CN与BM所成角也为︒60，正确；④因为CN与AF垂直，所以DM与BN是异面直线．考点：线面位置关系、空间想象能力、异面直线所成的角．24．（2014•未央区二模）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：利用俯视图与正视图，由三视图的画法可判断三棱锥的侧视图．解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选B．点评：本题主要考查空间几何体的直观图，以及学生的空间想象能力，是个基础题．二、填空题25．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是．【答案】【解析】试题分析：根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积．解：∵三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，∴根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，直角边分别为2，4，∴面积为=4，故答案为：．点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则，灵活应用其中的数量关系．．26．三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于．【答案】3【解析】试题分析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上．的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于121332考点：三视图27．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．1【答案】6【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是三棱锥，底面三角形是等腰三角形，底边为1，高为1，棱锥的高为1，因此体积为61 考点：三视图及棱锥体积28．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为________3m【答案】4 【解析】试题分析：由三视图可知几何体为三棱锥，底面积63421=⨯⨯=S ，高2=h ，因此体积431==Sh V ，故答案为4. 考点：几何体的体积.29．如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是__ ___cm 2，体积为_ __ cm 3．【答案】142134+；【解析】试题分析：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，2354AB BC DB CD ====，，，，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，∴几何体的表面积是34325124141112222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+其体积：1113424332S CBD AB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，故答案为：14+． 考点：空间几何体的三视图．30．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 ．【解析】试题分析：该多面体为一个三棱锥ABCD,如图，其中12AB BC CD BD AD ===，，考点：三视图31．某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.【答案】2 【解析】试题分析：三棱锥左视图为三角形，由三棱锥的主视图可知：三棱锥的高为2，所以左视图的高为2，三棱锥的俯视图宽为为2，所以左视图三角形的底面边长为2 所以左视图的面积22221=⨯⨯=s ，所以选A 考点： 三视图32．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．【答案】34【解析】由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中，底面是边长为3与4的矩形，且⊥1VC 平面1111D C B A ，31=VC ，由图形，可知1VA 最长，在11C VA Rt ∆中，344332221=++=VA .11C 1B 1考点：三视图.33．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .正(主)视图俯视图侧(左)视图344333【答案】()21533+ 【解析】试题分析：由条件知原几何体是正六棱锥，底面是边长为1的正六边形，侧棱长为2，11544h =-=， 一个侧面面积为11151512S =⨯⨯=，∴表面积01153(315)(11sin 60)662S +=⨯⨯⨯⨯+⨯=.考点：三视图.34．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；【答案】251π【解析】试题分析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，<br />其表面为S=25142322)23()23(422ππππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯ 故答案为：251π.考点：由三视图求面积、体积.三、解答题35．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ，N 分别是 AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）83． 【解析】试题分析：由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=2，90CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH=2． S 矩形CDEF=DE•EF=42， ∴棱锥A-CDEF 的体积为118422333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯⨯=矩形． 考点：1．简单空间图形的三视图；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面平行的判定．36．如图，某多面体的直观图及三视图如图所示： E,F 分别为PC,BD 的中点（1）求证：PAD EF 平面// （2）求证：PAD PDC 平面平面⊥ （3）求此多面体的体积【答案】（1）四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰三角形，2==PD PA ,且ABCD PAD 平面平面⊥.连结AC ，则F 是AC 的中点。