平方差公式及其应用培优版
新北师大版平方差公式从基础到升华8种应用和培优习题精讲
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新北师大版平方差公式从基础到升华八种应用和习题精编+答案解析在这里,a,b既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式。
抓住公式的几个变形形式利于理解公式。
但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有“相同项”,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型:(1)位置变化:如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型(2)系数变化:如(3x+5y)(3x-5y)(3)指数变化:如(m3+n2)(m3-n2)(4)符号变化:如(-a-b)(a-b)(5)增项变化:如(m+n+p)(m-n+p)(6)增因式变化:如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)图形表示:做题步骤:1)先判断能否使用平方差公式。
判断依据:一对相等项,一对相反项。
2)如果可以使用,则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算(第一个数的平方减去第二个数的平方);3)不管能否使用平方差公式,多项式乘以多项式是基本方法。
表达式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式注意事项:(1)有公因式(包括负号)则先提取公因式;(2)整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系;(3)平方差公式中的a与b既可以是单项式,又可以是多项式;平方差公式1.平方差公式:22))((b a b a b a -=-+(1) 36-x 2 (2)a 2-91b 2 (3) x 2-16y 2 (4) x 2y 2-z 2(5) (x+2)2-9 (6)(x+a)2-(y+b)2 (7) 25(a+b)2-4(a -b)23.填空:(1)、(2x-1)( )=4x 2-1 (2)、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2公式应用第一种情况:直接运用公式(1)(3a+2b )(3a -2b )-b (a -b ) (2)(a -1)(a -2)(a+1)(a+2)【答案】:(1)9a 2-ab -3b 2 (2)a 4-5a 2+4 第二种情况:运用公式使计算简便(1)102×98 (2)234×314 (3)-2.7×3.3(4)1007×993 (5)1213×1123 (6)-1945×2015【答案】:(1)9996 (2)81516(3)-8.91 (4)999 951 (5)14389(6)-399.96 第三种情况:两次或者两次以上运用平方差公式1、(a+b )(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况:需要先变形再用平方差公式1、(-2x-y )(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况:每个多项式含三项或者三个以上1. (a+2b+c )(a+2b-c)2. (a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4. (m-n+p)(m-n-p)第六种情况:变化指数幂后进行应用1248-能被60和70之间的两个数整除,这两个数各是多少?解析:因为48=2×24,所以22424248)2()2(2==,6365)12)(12(79)12)(12)(12()12)(12)(12)(12)(12()12)(12)(12)(12()12)(12)(12(]1)2)[(12()12)(12()12)(12(1)2(121224612243361224661224121224212242424242422448⨯⨯++=⨯⨯+++=-++++=+-++=-++=-+=-+=-+=-=-由60<65,63<70,所以这两个是63,65,第七种情况,在排列组合中的应用已知)10,...,1(9==+i y x i i ,求值∑∑===10110122i i i i y x解析:由9,...9,9x 10102211=+=+=+y x y x y ,得10211021......x y y y x x +++=+++,()0)]...()...[(9)...(9))((...))(())((...)()()...()...x 102110211010221110101010222211112102102222212121022212102221=+++++++=-++-+-=-+++-++-+=-++-+-=+++-+++y y y x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x (故原命题成立第八种情况,在根式中的应用平方差公式练习题精选培优篇一、基础训练1.下列运算中,正确的是()A.(a+3)(a-3)=a2-3 B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4 C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2 D.(x+2)(x-3)=x2-6 2.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x)B.(12a+b)(b-12a)C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)3.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是()A.3 B.6 C.10 D.94.若(x-5)2=x2+kx+25,则k=()A.5 B.-5 C.10 D.-105.9.8×10.2=________;6.a2+b2=(a+b)2+______=(a-b)2+________.7.(x-y+z)(x+y+z)=________; 8.(a+b+c)2=_______.9.(12x+3)2-(12x-3)2=________.10.化简(1)(2a-3b)(2a+3b);(2)(-p2+q)(-p2-q);(3)(x-2y)2;(4)(-2x-12y)2.(7)(3a+2b)(3a-2b)-b(a-b)(8)(a-1)(a-2)(a+1)(a+2)(9)(a+b)(a-b)+(a+2b)(a-2b)(10)(x+2y)(x-2y)-(2x+5y)(2x-5y)(11)(2m-5)(5+2m)+(-4m-3)(4m-3)(12)(a+b)(a-b)-(a-3b)(a+3b)+(-2a+3b)(-2a-3b)11.化简(1)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2);(2)(x+y-z)(x-y+z)-(x+y+z)(x-y-z).12.运用平方差公式计算:220051200520042006-⨯()(2)99×101×10 001.13.解方程:(1)2(x+3)(x-3)=x2+(x-1)(x+1)+2x(2)(2x-1)(2x+1)+3(x+2)(x-2)=(7x-1)(x+1)(3)计算:(4x-3y-2a+b)2-(4x+3y+2a-b)214.有一块边长为m的正方形空地,想在中间位置修一条“十”字型小路,•小路的宽为n,试求剩余的空地面积;用两种方法表示出来,比较这两种表示方法,•验证了什么公式?二、能力训练15.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方,那么常数k的值为()A.4 B.2 C.-2 D.±216.已知a+1a=3,则a2+21a,则a+的值是()A.1 B.7 C.9 D.1117.若a-b=2,a-c=1,则(2a-b-c)2+(c-a)2的值为()A.10 B.9 C.2 D.118.│5x-2y│·│2y-5x│的结果是()A.25x2-4y2B.25x2-20xy+4y2C.25x2+20xy+4y2D.-25x2+20xy-4y2 19.若a2+2a=1,则(a+1)2=_________.三、综合训练20.(1)已知a+b=3,ab=2,求a2+b2;(2)若已知a+b=10,a2+b2=4,ab的值呢?(3)先化简,再求值:(3a+1)(3a-1)-(2a-3)(3a+2),其中a=-13.21.解不等式(3x-4)2>(-4+3x)(3x+4).22.观察下列各式的规律.12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;…(1)写出第2007行的式子;(2)写出第n行的式子,并说明你的结论是正确的.参考答案1.C 点拨:在运用平方差公式写结果时,要注意平方后作差,尤其当出现数与字母乘积的项,系数不要忘记平方;D项不具有平方差公式的结构,不能用平方差公式,•而应是多项式乘多项式.2.B 点拨:(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2.3.C 点拨:利用平方差公式化简得10(n2-1),故能被10整除.4.D 点拨:(x-5)2=x2-2x×5+25=x2-10x+25.5.99.96 点拨:9.8×10.2=(10-0.2)(10+0.2)=10-0.2=100-0.04=99.96.6.(-2ab);2ab7.x2+z2-y2+2xz点拨:把(x+z)作为整体,先利用平方差公式,•然后运用完全平方公式.8.a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨:把三项中的某两项看做一个整体,•运用完全平方公式展开.9.6x 点拨:把(12x+3)和(12x-3)分别看做两个整体,运用平方差公式(12x+3)2-(12x-3)2=(12x+3+12x-3)[12x+3-(12x-3)]=x·6=6x.10.(1)4a2-9b2;(2)原式=(-p2)2-q2=p4-q2.点拨:在运用平方差公式时,要注意找准公式中的a,b.(3)x4-4xy+4y2;(4)解法一:(-2x-12y)2=(-2x)2+2·(-2x)·(-12y)+(-12y)2=4x2+2xy+14y2.解法二:(-2x-12y)2=(2x+12y)2=4x2+2xy+14y2.点拨:运用完全平方公式时,要注意中间项的符号.(5)9a2-ab-3b2(6)a4-5a2+4(7)2a2-5b2(8)21y2-3x2(9)-12m2-16(10) 4a2-b212.(1)利用平方差公式把2004×2006=(2005-1)(2005+1)=2005²-1,化简即可得到2005(2)利用99×101=99×(100+1)=9999,代入得到99 999 99913.(1)原式=(4a2-b2)(4a2+b2)=(4a2)2-(b2)2=16a4-b4.点拨:当出现三个或三个以上多项式相乘时,根据多项式的结构特征,•先进行恰当的组合.(2)原式=[x+(y-z)][x-(y-z)]-[x+(y+z)][x-(y+z)]=x2-(y-z)2-[x2-(y+z)2]=x2-(y-z)2-x2+(y+z)2=(y+z)2-(y-z)2=(y+z+y-z)[y+z-(y-z)]=2y·2z=4yz.点拨:此题若用多项式乘多项式法则,会出现18项,书写会非常繁琐,认真观察此式子的特点,恰当选择公式,会使计算过程简化.(3).先化简3a2+5a+5,代入得到结论11 314.解法一:如图(1),剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2.解法二:如图(2),剩余部分面积=(m-n)2.∴(m-n)2=m2-2mn+n2,此即完全平方公式.点拨:解法一:是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积,注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形.解法二:运用运动的方法把两条小路分别移到边缘,剩余面积即为边长为(m-n)•的正方形面积.做此类题要注意数形结合.15.D 点拨:x 2+4x+k 2=(x+2)2=x 2+4x+4,所以k 2=4,k 取±2.16.B 点拨:a 2+21a =(a+1a)2-2=32-2=7. 17.A 点拨:(2a-b-c )2+(c-a )2=(a+a-b-c )2+(c -a )2=[(a-b )+(a-c )] 2+(c-a )2=(2+1)2+(-1)2=9+1=10.18.B 点拨:(5x-2y )与(2y-5x )互为相反数;│5x-2y │·│2y-5x │=(5x-•2y )2•=25x 2-20xy+4y 2.19.2 点拨:(a+1)2=a 2+2a+1,然后把a 2+2a=1整体代入上式.20(1)a 2+b 2=(a+b )2-2ab .∵a+b=3,ab=2,∴a 2+b 2=32-2×2=5.(2)∵a+b=10,∴(a+b )2=102,a 2+2ab+b 2=100,∴2ab=100-(a 2+b 2).又∵a 2+b 2=4,∴2ab=100-4,ab=48.点拨:上述两个小题都是利用完全平方公式(a+b )2=a 2+2ab+b 2中(a+)、ab 、(a 2+b 2)•三者之间的关系,只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者.21.(3x -4)2>(-4+3x )(3x+4),(3x )2+2×3x ·(-4)+(-4)2>(3x )2-42,9x 2-24x+16>9x 2-16,-24x>-32.x<43. 点拨:先利用完全平方公式,平方差公式分别把不等式两边展开,然后移项,合并同类项,解一元一次不等式.22.(1)(2007)2+(2007×2008)2+(2008)2=(2007×2008+1)2(2)n 2+[n (n+1)] 2+(n+1)2=[n (n+1)+1] 2.证明:∵n 2+[n (n+1)] 2+(n+1)2=n 2+n 2(n+1)2+n 2+2n+1=n 2+n 2(n 2+2n+1)+n 2+2n+1=n 2+n 4+2n 3+n 2+n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1.而[n (n+1)+1] 2=[n (n+1)] 2+2n (n+1)+1=n 2(n 2+2n+1)+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+n 2+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1,所以n 2+[n (n+1)] 2+(n+1)2=[n (n+1)+1]²。
平方差完全平方公式(培优)
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平方差完全平方公式•选择题(共1小题)二.填空题(共3小题)2. (2011?湛江)多项式 2x 2- 3X +5是 _____________________ 次3. (2010?毕节地区)写出含有字母 x , y 的四次单项式 ____________________ .(答案不唯一,只要写出一个)4. ( 2004?南平)把多项式 2x 2- 3X +X 3按x 的降幕排列是 _ _5. (1999?内江)配方:X 2+4X +=(X + ) 2 配方:x 2-x+ =(x-1) 22三.解答题(共小题) 5.计算:(1)(x - y ) (x+y ) (x 2+y 2) (2) (a - 2b+c ) ( a+2b - c )6 .计算:1232 - 124 X 122 .7 .计算:2004 2tfi)4 2- 2005X20038. (x - 2y+z ) (- x+2y+z ).9 .运用乘法公式计算.(1) (x+y ) 2-(x -y ) 2;(2) (x+y - 2) (x - y+2);(3) X ;(4) .10 .化简:(m+n - 2) ( m+n+2).11 . (x - 2y - m ) (x - 2y+m )12 .计算(1) (a - b+c - d ) (c- a - d - b );(2) (x+2y ) (x - 2y ) (x 4- 8x 2/+16y 4).13 .计算:20082- 20072+20062- 20052+…+22- 12.14 .利用乘法公式计算:◎ ( a - 3b+2c ) (a+3b - 2c )② 472 - 94 X 27+272.1. (1999?烟台) F 列代数式I ,比逹,普,其中整式有( A . 1个B . 2个 C. 3个 D. 4个项式.15 .已知:x 2 - y 2=20, x+y=4,求 x - y 的值. ______________________16 .观察下列各式:(x - 1) (x+1) =x 2 - 1; (x - 1) (x 2+x+1) =x 3- 1 ; (x - 1) (x 3+x 2+x+1) =x 4- 1 …(1) _______________________________________________________________________________ 根据上面各式的规律得:(x - 1) (x m -1+x m -2+x m -3+…+x+1) = ______________________________________________________ ;(其中n 为正整数);(2) 根据这一规律,计算 1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:题目:化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解:(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题:化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19 . (2012?黄冈)已知实数 x 满足x 丄=3,则x 2丄的值为 ___________________________20 . (2007?天水)若a 2 - 2a+仁0.求代数式 /+~丄^的值.21 . (2009?佛山)阅读材料:把形如 ax 2+bx+c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 a 2±2ab+b 2= (a ± b ) 2.例如:(x - 1) 2+3、(x - 2) 2+2X 、(*X -2) 2疔x 2是x 2 - 2x+4的三种不同形式的配方(即"余项”分别是常数项、 一次项、二次项--见横线上的部分)请根据阅读材料解决下列问题:(1) 比照上面的例子,写出 x 2- 4x+2三种不同形式的配方;(2) 将a 2+ab+b 2配方(至少两种形式);(3) 已知 a 2+b 2+c 2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22 . (2004?太原)已知实数 a 、b 满足(a+b ) 2=1, (a - b ) 2=25,求 a 2+b 2+ab 的值.2 +,223 . (2001?宁夏)设 a - b=- 2,求 一的值.24 .已知(x+y ) 2=49, (x - y ) 2=1,求下列各式的值:(1) x 2+y 2; (2) xy .25 .已知x+丄=4,求x --------- 的值.26 .已知:x+y=3, xy=2,求 x 2+y 2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a 2+b 2, (a - b ) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x 2+xy+y 2 的值.18.门讨)⑴肖〔吟)(吟)(1+盘)29 -宀11x+1=0,求x2+;的值•求下列各式的值: (1)(2)平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1 . (1999?烟台)下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩,其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点:整式.分析:解决本题关键是搞清整式的概念,紧扣概念作出判断.解答:解:整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评:主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积,只有乘法,没有加减法.多项式是若干个单项式的和,有加减法.二.填空题(共3小题)2. (2011?湛江)多项式2x2- 3X+5是二次三项式.考点:多项式.专题:计算题.分析:根据单项式的系数和次数的定义,多项式的定义求解.解答:解:由题意可知,多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为:二,点评:本题主要考查多项式的定义,解答此次题的关键是熟知以下概念:多项式中的每个单项式叫做多项式的项;多项式中不含字母的项叫常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.3. (2010?毕节地区)写出含有字母x, y的四次单项式科•(答案不唯一,只要写出一个)考点:单项式.专题:开放型.分析:单项式的次数是指单项式屮所有字母因数的指数和••• x3y, x2y2, xy3等都是四次单项式. 解答:解:根据四次单项式的定义,x2y2,x3y, xy3 等都符合题意(答案不唯—A).点评:考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4. (2004?南平)把多项式2x2-3X+X3按x的降幕排列是x^Zx2—3x考点:多项式.分析:按照x 的次数从大到小排列即可.解答:解:按x的降幕排列是x3+2x2—3x.点评:主要考查降幂排列的定义,就是按照x的次数从大到小的顺序排列,操作时注意带着每一项前面的符号.三.解答题(共26 小题)5.计算:(1)(x—y) (x+y) (x2+y2)(2)(a—2b+c) ( a+2b- c)考点:平方差公式;完全平方公式.分析:(1) (x—y)与(x+y)结合,可运用平方差公式,其结果再与(x2+y2)相结合,再次利用平方差公式计算;( 2 )先运用平方差公式,再应用完全平方公式.解答:解:( 1 )( x—y)( x+y)( x2+y2),=( x2—y2)( x2+y2),=x4—y4;( 2)( a—2b+c) ( a+2b—c),2—( 2b—c)2,=a=a2—4b2+4bc—点评:本题主要考查了平方差公式与完全平方公式,熟记公式是解题的关键.平方差公式:(a+b) (a- b) =a2- b2.完全平方公式:(a± b)2=a2± 2ab+b2.6 •计算:1232- 124 X 122 .考点:平方差公式.分析:先把124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公式计算,去掉括号后再合并即可.解答:解:1232- 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评:本题考查平方差公式的实际运用,构造成平方差公式的结构形式是解题的关键.7 •计算:2004 20042- 2005X2003考点:平方差公式.分析:观察可得:2005=2004+1 ,2003=2004 - 1, 将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答:解:2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评:本题考查平方差公式的实际运用,注意要构造成公式的结构形式,利用公式达到简化运算的目的.8. (x- 2y+z) (-x+2y+z).考点:平方差公式.专题:计算题.分析:把原式化为[Z+(x- 2y) ][z -(x-2y)],再运用平方差公式计算.解答:解:(x- 2y+z) (-x+2y+z), =[Z+ (x-2y) ][z -(x- 2y)], =£- ( x-2y )2, =£-( x2- 4xy+4y ),=z2- Y+4xy - 4y2.点评:本题考查了平方差公式,整体思想的利用是利用公式的关键,注意运用公式计算会减少运算量.9 •运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x;(4).考点:平方差公式.专题:计算题.分析:(1) (x+y) 2-(x-y) 2可以利用平方差公式进行计算;( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化成[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ]的形式,利用平方差公式以及完全平方公式进行计算;(3 )x可以转化成( 80-)( 80+)的形式,利用平方差公式计算;(4)可以转化为( 20-) 2进行简便计算.解答:解:(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y),=4xy;(2)( x+y- 2)(x- y+2),=[x+( y- 2) ][x -( y- 2) ],=x2-y2+4y- 4;(3 )x,=(80-)(80+),=;( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评:本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用,利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10 .化简:(m+n- 2)(m+n+2).考点:平方差公式.分析:把(m+n)看作整体,m+n是相同的项,互为相反项是- 2 与2,然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答:解:( m+n- 2)( m+n+2 ),=( m+n) 2- 22,22=m +n +2mn- 4. 点评:本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式( a+b)( a - b) =a2- b2计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11. (x - 2y - m) (x—2y+m)考点:平方差公式.专题:计算题.分析:把x- 2y 当成一个整体,利用两数的和乘以这两数的差,等于它们的平方差计算即可.解答:解:( x- 2y- m )(x- 2y+m),=( x- 2y) 2- m2,2- 4xy+4y2-=x2.m点评:本题主要考查了平方差公式,整体思想的利用比较关键.12.计算(1)(a—b+c—d) (c—a - d - b);(2) (x+2y) (x—2y) (x4—8x2/+l6y4) •考点:平方差公式.专题:计算题.分析:根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题.解答:解:( 1 )原式=([ c—b—d) +a][( c—b—d)—a] =( c—b—d) 2—a2 =c2+b2+d2+2bd—2bc—2cd—a2,(2 )T x4—8x2y2+16y4=( x2—4y2) 2•••原式=(x2—4y2)( x2—4y2)2=( x2—4y2) 3=( x2) 3—3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2—( 4y2)3=x6—12x4y2+48x2y4—64y6.点评:本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用,难度适中.13 .计算:20082—20072+20062—20052+ (22)12.考点:平方差公式.分析:分组使用平方差公式,再利用自然数求和公式解题.解答:解:原式=( 20082—20072)+(20062-20052) + …+(22- 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007) +( 2006+2005)( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1),=2008+2007+20 06+2005+… +2+1,=2017036.本题考查了平方差公式的运用,注意分组后两数的差都为1 ,所有两数的和组成自然数求和.14 .利用乘法公式计算:◎ ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c)②472- 94 X 27+272.点评:考点:平方差公式;完全平方公式.分析:①可用平方差公式计算:找出符号相同的项和不同的项,结合再按公式解答,②把94 写成2X 47 后,可用完全平方公式计算.解答:解:①原式=[a -( 3b- 2c)][a+( 3b - 2c) ]=a2 -( 3b- 2c)2=9b2+12bc-4c2;②原式=472- 2X 47X 27+272=(47- 27)2=400.点评:本题考查了平方差公式,完全平方公式,熟记公式是解题的关键.①把(3b - 2c) 看作一个整体是运用平方差公式的关键;②把94写成2X 47是利用完全平方公式的关键.15 .已知:x2- y2=20, x+y=4,求x - y 的值. _5考点:平方差公式.分析:本题是平方差公式的应用.解答:解:a2- b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求得x- y=5.点评:运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.把x+y=4代入求得x- y的值,为5.16 .观察下列各式:(x- 1) (x+1) =x2- 1;(x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ; (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 …(1)根据上面各式的规律得:(x- 1) (x m-1+x m-2+x m-3+…+x+1) = x m- 1 ;(其中n为正整数);(2)根据这一规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点:平方差公式.分析:(1 )认真观察各式,等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空;(2 )先根据上面的式子可得:1+x+x2+x3+ …+x°= (x n+1- 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+…+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即可.解答:解:(1) ( x- 1 )(x m-1+x m-2+x m- 3+…+x2+x+1) =x m-1;(2 )根据上面的式子可得:2 31+x+x +x + …+宀(x n+1- 1 ) 十(X- 1 ),••• 1+2+22+…+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评:本题考查了平方差公式,认真观察各式,根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解:(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22- 1) ( 22+1) (24+1) = (24- 1) (24+1) =28- 1 . 问题:化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)・・・(364+1).考点:平方差公式.分析:根据题意,整式的第一个因式可以根据平方差公式进行化简,然后再和后面的因式进行运算.解答:解:原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34- 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38- 1)1(38+1)(364+1),二(364- 1 )(364+1), (8分)=1(3128-=(31). ( 10 分) 本题主要考查了平方差公式,关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)的形式,点评:考点:专题:分析:平方差公式.计算题.由平方差公式,(1+2)(1 -丄)2 =1 —2寺(1-解答: 丄22--,依此类推,从而得出结果.解:原式=(1 - 丄22(1 +18.)(1=1(1 + ;)考点: 完全平方公式.专题: 计算题.分析: 将x+ —=3两边平方, 然后移项即可得出答案.解答: 解:由题意得,1 o x+—=3,两边平方得:«+2+ :=9,故 x 2+ ° =7.X 故答案为:7.点评: 此题考查了完 全平方公式的知识,掌握完全点评: (1+二)24-■).1210-■)210=1-本题考查了平 方差公式的反 复应用,是基础 知识要熟练掌 握.(1+(1+(1+(1+19 . (2012?黄冈)已知实数 x 满足二=3,则x 2+ °的值为 7平方公式的展开式的形式是解答此题的关键,属于基础题.20 . (2007?天水)若a2- 2a+仁0.求代数式/+~岂的值•考点:完全平方公式.分析:根据完全平方公式先求出a的值,再代入求出代数式的值.解答:解:由a2-2a+1=0 得(a -1)2=0,••• a=1;把a=1代入a4+—^=1+1=2故答案为:2.点评:本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式先求出a 的值,是解决本题的关键.21. (2009?佛山)阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a± b)2.例如:(x- 1)2+3、(x-2)2+2X、(丄x-2)2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、2 4一次项、二次项--见横线上的部分)请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出x2- 4x+2三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.考点:完全平方公式.专题:阅读型.分析:(1)(2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力,由题中所给的已知材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式;(3 )通过配方后,求得a,b,c的值,再代入代数式求值. 解答:解:(1)X2- 4x+2的三种配方分别为:2- 4x+2= (x -x2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . ':) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:':)2-x2;(2)a2+ab+b2=(a+b) 2- ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2- ab+丄b2)(4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2〒(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评:本题考查了根据完全平方公式:a2± 2ab+b2=(a ± b) 2进行配方的能力.22 . (2004?太原)已知实数a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求a2+b2+ab 的值.考点:完全平方公式.分析:先由已知条件展开完全平方式求出ab的值,再将a2+b2+ab 转化为完全平方式(a+b) 2和ab的形式,即可求值.解答:解:•••( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2-2ab=25..4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2- ab=1 -(-6) =7.点评:本题考查了完全平方公式,利用完全平方公式展开后建立方程组,再整体代入求解.23 . (2001?宁夏)设a- b=- 2,求* 严-命的值.考点:完全平方公式.分析:对所求式子通分,然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式,把a -b= - 2代入计算即可.解答:解:原式/ + b2- 2ab =2G-b):1 2•/ a - b_- 2 ,•••原式_(-2〉2_ 2=2 .本题考查了完全平方公式,利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键,注意整体思想的利用.24 .已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1,求下列各式的值: (1) x2+y2; (2) xy.考点:完全平方公式.分析:根据完全平方公式把(x+y) 2 和(x- y)2展开,然后相加即可求出x2+y2的值,相减即可求出xy的值.解答:解:由题意知:(x+y)2_x2+y2+2xy_49①,(x- y) 2_x2+y2 -2xy_1 ②,①+②得:(x+y)2+ (x-y) 2,_x2+y2+2xy+x2+y2-2xy,_2 (x2+y2),_49+1,_50,•-x2+y2_25;①-②得:4xy_(x+y) 2-( x-y) 2=49 -1_48,• xy_12.点评:点评:25 .已知考点:分析:本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式,熟记公式是解题的关键.x+-^4,求X-丄的值.解答:完全平方公式. 把已知条件两边平方求出x2+ ;的值,再X根据完全平方公式整理成(X -丄)2的形式并代入数据计算,然后进行开方运算.解:•••二4,X••• x2+ - =142 ,(x-—)X2=12,点评:26 .已知考点:--x -二= .\本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式,利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.x+y=3, xy=2,求x2+y2的值.完全平方公式.分析:利用完全平方公式巧妙转化即可.解答:解:••• x+y=3,••• x2+y2+2xy=9,••• xy=2,• - x2+y2=9 -2xy=9 - 4=5.点评:本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.27.已知a+b=3, ab=2,求a2+b2, (a- b) 2的值.考点:完全平方公式.分析:先把a+b=3两边平方, 然后代入数据计算即可求出a2+b2的值,根据完全平方公式把( a- b) 2展开, 再代入数据求解即可.解答:解:T a+b=3,• a2+2ab+b2=9,T ab=2,•-a2+b2=9 - 2 x 2=5;•(a-b) 2=a2- 2ab+b2=5- 2 x 2=1.点评:本题主要考查完全平方公式, 熟记公式结构是解题的关键, 整体代入思想的利用使计算更加简便.28 .若x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求x2+xy+y2的值.考点:完全平方公式.专题:整体思想.分析:先根据多项式乘多项式的法则把( x+2)(y+2)展开并解答:点评:29. x2考点:分析:代入数据求出xy的值,再根据完全平方公式把x+y=2两边平方,整理并代入数据即可求出x2+xy+y2的值.解:•••( x+2)(y+2) =5,••• xy+2 (x+y)+4=5,••• x+y=2,• xy=- 3, 二x2+xy+y2=(x+y) 2- xy=22 -(-3) =7. 本题考查了完全平方公式,运用整体代入思想,熟练对代数式进行变形是解题的关键.—11x+1=0, 求x2解答: 完全平方公式. 先把x2-11x+1=0两边同除x (由题意可知X M 0),得到x+二=11,然后把该式子两边平方即可得到/+ ;的值.X 解:••• X M 0 ,• X+ 二亠,X(x+—) 2=121,本题考查了完全平方公式,关点评:键是知道隐含 条件 X M 0, x 2- 11X + 1=0两边同 除X 得到 X+二=11,利用 X 和丄互为倒数乘 积是1,利用完 全平方公式来 进行解题.完全平方公式. 本题是完全平 方公式的应用, 两数的平方和, 再加上或减去 它们积的2倍, 就构成了一个 完全平方式.使 分式中含有 x 十!的形式,代 入求值. 解:( 1) /宀 X =(X -丄)2 - 2, X =42 - 2, =14;2 30 .已+, (1)y H ;X(2)2 X I + x求下列各式的值: 14+1' 考点:分析:解答:一15'本题主要考查完全点评:平方公式,解题的关键是灵活运用完全平方公式,并利用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.。
(完整版)平方差完全平方公式(培优1)52940
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实用标准文案平方差完全平方公式一.选择题(共1小题)2+x﹣,),,其中整式有(1.(1999?烟台)下列代数式,x 3个个4个C.D.A.1个B.2二.填空题(共3小题)2 _________ 项式.是_________ 次﹣2.(2011?湛江)多项式2x3x+5 .(答案不唯一,只要写出一个),y的四次单项式_________ 3.(2010?毕节地区)写出含有字母x12222)内江)配方:32 _________ .按x的降幂排列是.(42004?南平)把多项式2x﹣3x+xx+4x+___=(x+___)配方:x-x+ ___=(x-19995.(?226小题)三.解答题(共5.计算:22)x+y(1)(x﹣y)(x+y)(c)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣2 6.计算:123﹣124×122.7.计算:.x+2y+z)..(x﹣2y+z)(﹣89.运用乘法公式计算.22﹣();x﹣y(1)(x+y)y+2);﹣)(2(x+y﹣2)(x 80.2;79.8(3)×2 19.9(4).10.化简:(.m+n+2)m+n﹣2)(x﹣2y+m)(2y11.(x﹣﹣m).计算12 ﹣d﹣);ba)﹣1()(ab+c﹣d(c﹣4224(2)(+16y8xx(﹣y).﹣(x+2y)x2y)222222 1+2+﹣2007200813.计算:﹣+20062005…﹣..利用乘法公式计算:14 ﹣a+3b(2c))3b+2c﹣①(a22 94﹣47②27+27×.文档.22的值._________ x﹣y =2015.已知:x﹣y,x+y=4,求433222 1﹣…+x+x+1)=x)(x+x+1)=x﹣1;(x﹣1)(x(16.观察下列各式:(x﹣1)x+1)=x﹣1;(x﹣13m﹣1m﹣2m﹣;;_________ (其中n为正整数))根据上面各式的规律得:(x﹣1)(x+x+x+…+x+1)= (16968234的值.…+2+2 (2)根据这一规律,计算1+2+2+2+2+ .先观察下面的解题过程,然后解答问题:1742).(题目:化简(2+1)2+1)(2+18442424224﹣1)(2+1)=2﹣1.=)(2+1)(2+1=(2﹣1)(2+1)(2+1)(2)=(解:(2+1)2+1)(2+1)(2﹣1)(2+164248 +1).3+1)(3+1)…(问题:化简(3+1)(3+1)(3.18.2的值为+ _________ ..19(2012?黄冈)已知实数x满足x+=3,则x2的值..求代数式?天水)若a﹣2a+1=0(20.20072配(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.阅读材料:.(2009?佛山)把形如ax+bx+c 的二次三项式21222.(a±2ab+b=a±b)方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即22222的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、2x+4﹣x(例如:x﹣1)+3、(﹣2)+2x、(x2)+x是x﹣一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:2三种不同形式的配方;x﹣4x+21()比照上面的例子,写出22 +ab+b配方(至少两种形式);(2)将a222 3b﹣2c+4=0a+b+c的值.,求﹣+b(3)已知a+c﹣ab2222的值.+b)b=25,求a+ab(a+ba(22.2004?太原)已知实数、b满足()=1,a﹣的值.,求2a(23.2001?宁夏)设﹣b=﹣22 =1,求下列各式的值:)﹣=4924.已知(x+y),(xy22.);(2xy+y)(1x﹣,求x+25.已知=4x的值.22,求,.已知:26x+y=3xy=2x+y的值.222 27的值.)b﹣(+b,求ab=2,.已知a+b=3a,a22(),且(x+y=2.若28x+2,求=5)+xy+yx的值.y+2 菁优网?2010-201322的值.+11x+1=0,求x ﹣29.x,求下列各式的值:30.已;(1)).2(菁优网?2010-2013平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)2),?,其中整式有(烟台)下列代数式,x+x ﹣,(1.1999 个.3D.B. A 1个.2个4个C整式.考点:解决本题关键分析:是搞清整式的紧扣概念概念,作出判断.2解答:+x解:整式有x2,﹣共个.故选B.主要考查了整点评:式的有关概要能准确的念.分清什么是整整式是有理式.在式的一部分,有理式中可以乘,包含加,减,但除四种运算,在整式中除式不能含有字单项式和多母.项式统称为整单项式是字式.母和数的乘积,没有只有乘法,多项式加减法.是若干个单项有加减式的和,法.二.填空题(共3小题)2三项式.次是湛江)多项式(2011?2x﹣3x+5 二.2多项式.:考点计算题.专题:根据单项式的分析:菁优网?2010-2013系数和次数的定义,多项式的定义求解.解:由题意可解答:22x知,多项式二次﹣3x+5是三项式.故答案为:二,三.点评:本题主要考查多项式的定义,解答此次题的关键是熟知以下概念:多项式中的每个单项式叫做多项式的项;多项式中不含字母的项叫常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.223.(2010?毕节地区)写出含有字母x,y的四次单项式xy .(答案不唯一,只要写出一个)考点:单项式.专题:开放型.分析:单项式的次数是指单项式中所有字母因数3,y的指数和∴x322等都是xyy,x 四次单项式.根据四次单解:解答:项式的定义,3322xy,yxy,x等都符合题意(答案不唯.一)点评:考查了单项式的次数的概只要两个字念.母的指数的和的单项式等于4 都符合要求.22334.(2004?南平)把多项式2x﹣3x+x按x的降幂排列是x+2x﹣3x .菁优网?2010-2013考点:多项式.分析:按照x的次数从大到小排列即可.解答:解:按x的降幂32﹣+2x排列是x3x.点评:主要考查降幂排列的定义,就是按照x的次数从大到小的顺序排列,操作时注意带着每一项前面的符号.三.解答题(共26小题)5.计算:22)+y))(x+y(x(1)(x﹣y(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c)考点:平方差公式;完全平方公式.分析:(1)(x﹣y)与(x+y)结合,可运用平方差公式,其结果再22)相结+y与(x合,再次利用平方差公式计算;(2)先运用平方差公式,再应用完全平方公式.解答:解:(1)(x﹣y)22),+y (x+y)(x22)y﹣=(x22),(x+y44;y=x ﹣(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c),22,)2b﹣(﹣=ac22+4bc﹣=a﹣4b2.c点评:本题主要考查了平方差公式与完全平方公式,熟记公式是解题的关键.菁优网?2010-2013平方差公式:(a+b)(a﹣b)22.完全平﹣=ab方公式:(a±b)222.±=a2ab+b2﹣124×123122.6.计算:考点:平方差公式.分析:先把124×122写成(123+1)×(123﹣1),利用平方差公式计算,去掉括号后再合并即可.2解答:﹣124解:123×122,2﹣(123+1)=123(123﹣1),22123﹣(=1232),﹣1=1.点评:本题考查平方差公式的实际运用,构造成平方差公式的结构形式是解题的关键..计算:.7考点:平方差公式.分析:观察可得:2005=2004+1,2003=2004﹣1,将其写成平方差公式代入原式计算可得答案.解答:解:,=菁优网?2010-2013,=,.=2004本题考查平方点评:差公式的实际注意要构运用,造成公式的结利用公构形式,式达到简化运算的目的..x+2y+z))(x﹣2y+z(﹣8.平方差公式.:考点计算题.:专题[z+把原式化为分析:﹣][z2y)(x﹣,再)2y](x﹣运用平方差公式计算.)﹣2y+z 解:(x解答:),(﹣x+2y+z ﹣(x=[z+﹣﹣(x2y)][z ],2y)22 2y)=z,﹣(x﹣22﹣﹣(=zx2)4xy+4y,22﹣=z+4xy ﹣x2.4y本题考查了平点评:整体方差公式,思想的利用是利用公式的关注意运用公键,式计算会减少运算量.9.运用乘法公式计算.22;﹣(x﹣y)1()(x+y));﹣2(x+y﹣)(xy+2)(2 ×80.2;79.83()菁优网?2010-20132.19.9 (4)考点:平方差公式.专题:计算题.2分析:﹣x+y)1)((2可以y)(x﹣利用平方差公式进行计算;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2)转化成[x+(y﹣2)][x﹣(y﹣2)]的形式,利用平方差公式以及完(3)79.8×80.2可以转化成(80﹣0.2)(80+0.2)的形式,利用平方差公式计算;2可以19.94)(转化为(20﹣2进行简便)0.1计算.解答:解:(1)(x+y)22=y)﹣(x﹣(x+y+x﹣y)(x+y﹣x+y),=4xy;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2),=[x+(y﹣2)][x﹣(y﹣2)],22+4y﹣4﹣y;=x(3)79.8×80.2,=(80﹣0.2)(80+0.2),=6399.96;2=(20(4)19.92=400﹣)20.1﹣×20×0.1+0.01,=396.01.菁优网?2010-2013点评:本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用,利用完全平方公式以及平方差公式可以使计算更加简便.10.化简:(m+n﹣2)(m+n+2).分析:把(m+n)看作整体,m+n是相同的项,互为相反项是﹣2与2,然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可.解答:解:(m+n﹣2)(m+n+2),22,2m+n)﹣=(22+2mn﹣4+n.=m点评:本题主要考查了平方差公式的应用.运用平方差公式(a+b)22b)=a﹣(a﹣b计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.11.(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m)考点:平方差公式.专题:计算题.分析:把x﹣2y当成一个整体,利用两数的和乘以这两数的差,等于它们的平方差计算即可.解答:解:(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m),22,﹣m)﹣(=x2y菁优网?2010-201322﹣﹣4xy+4y=x2 m.点评:本题主要考查了平方差公式,整体思想的利用比较关键.12.计算(1)(a﹣b+c﹣d)(c﹣a﹣d﹣b);4224).+16y2y)(x﹣8xy(2)(x+2y)(x﹣平方差公式.考点:计算题.专题:根据平方差公分析:式以及完全平方公式即可解答本题.)原式(1解答:解:)db=[(c﹣﹣)d+a][(c﹣b﹣a]﹣2)d﹣b﹣=(c2 a﹣222﹣+2bd+b+d=c2,﹣a2bc﹣2cd4﹣x2)∵(2422x(+16y=8xy22 4y)﹣2﹣(x∴原式=222)﹣4y4y)(x3222 4y)(x﹣=232)x﹣3(=(x)?222+3x4y)(222)4y﹣((4y)36﹣=x4224﹣+48xy12xy6 64y.本题考查了平点评:方差公式以及完全平方公式难度适的运用,中.22222213.计算:2008﹣2007+2006﹣2005+…+2﹣1.考点:平方差公式.分析:分组使用平方差公式,再利用菁优网?2010-2013自然数求和公式解题.2解答:2008(解:原式=2)+﹣20072﹣2006(222(+…2005+)2),1 ﹣=(2008+2007)(2008﹣2007)+(2006+2005)(2006﹣2005)+(2+1)(2﹣1),=2008+2007+2006+2005+…+2+1,=2017036.点评:本题考查了平方差公式的运用,注意分组后两数的差都为1,所有两数的和组成自然数求和.14.利用乘法公式计算:①(a﹣3b+2c)(a+3b﹣2c)22.94×②4727+27﹣考点:平方差公式;完全平方公式.分析:①可用平方差公式计算:找出符号相同的项和不同的项,结合再按公式解答,②把94写成2×47后,可用完全平方公式计算.解答:解:①原式=[a﹣(3b﹣2c)][a+(3b﹣2﹣(]=a)3b2c﹣2c)22+12bc﹣=9b2;4c2﹣=472②原式2=27+27×47×菁优网?2010-2013(47﹣27)2=400.本题考查了平点评:方差公式,完全平方公式,熟记公式是解题的关键.①把(3b﹣2c)看作一个整体是运用平方差公式的关键;②把94写成2×47是利用完全平方公式的关键.2215.已知:x﹣y=20,x+y=4,求x﹣y的值.5考点:平方差公式.分析:本题是平方差公式的应用.22解答:解:a﹣b=(a+b)(a﹣b),22xx+y)(x﹣y=(=20﹣y)代入求把x+y=4 y=5.得x﹣运用平方差公点评:关键式计算时,要找相同项和其结果相反项,是相同项的平方减去相反项的平方.把代入求得x+y=4 5.﹣y的值,为x42332216.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)=x﹣1;(x﹣1)(x+x+1)=x﹣1;(x﹣1)(x+x+x+1)=x﹣1…m﹣1m﹣2m﹣3m(1)根据上面各式的规律得:(x﹣1)(x+x+x+…+x+1)= x﹣1 ;(其中n为正整数);2346869(2)根据这一规律,计算1+2+2+2+2+…+2+2 的值.考点:平方差公式.分析:(1)认真观察各式,等式右边x的指数比左边x的最高指数大1,利用此规律求解填空;菁优网?2010-2013(2)先根据上面的式子可得:23…+x+1+x+x n+1n)﹣1+x=(x,从1)÷(x﹣而得出2…+1+2+269+169682(+2+2=,)(2﹣1﹣1)÷再进行计算即可.解答:x﹣1)解:(1)(﹣﹣1m﹣2mm+x+x (x m23=x+x+1)+…+x 1;﹣)根据上面(2的式子可得:32…1+x+x+x+n+1n)﹣1+x=(x ,)÷(x﹣12…∴1+2+2+69+168692+2=(+2)﹣11﹣)÷(270.=2﹣1本题考查了平点评:认真方差公式,根据观察各式,指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:24).+1)(2+12题目:化简(2+1)(8442422424﹣1.)(2+1)=22+1﹣1)(2)(2+1)=(﹣1=(()(22(解:2+1)(+1)(+1)=2﹣1(2+1)2+1)2+1)(264248.3+1)…(+1)()(3+1)3+1)(3问题:化简(3+1平方差公式.考点:整式根据题意,分析:的第一个因式可以根据平方差公式进行化然后再和后简,面的因式进行运算.解答:3=解:原式(﹣1)(3+1)42)(3+1+1(3)648,3+1))+1(3(菁优网?2010-2013(4分)=(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)64+1)3,(4﹣1(3)=48+1)(3(3+1)64+1),(3 8﹣13)=(864+1),+1()(3364﹣1)=(364+1),(8分)(3128﹣(3=1).(10分)点评:本题主要考查了平方差公式,关键在于把(3+1)化简为(3﹣1)(3+1)的形式,..18平方差公式.考点:计算题.专题:由平方差公式,分析:)(1﹣(1+)﹣,(1=1﹣=11+()),依此类﹣从而得出结推,果.﹣(解:原式=1解答:)1+)()(1+)(1+菁优网?2010-20131+())﹣=(1)(1+)1+(()1+)1﹣=()(1+1+())1=(﹣1+)(=1﹣.本题考查了平点评:方差公式的反是基础复应用,知识要熟练掌握.2的值为7 x+.(19.2012?黄冈)已知实数x满足=3x+,则完全平方公式.:考点计算题.专题:分析:将x+=3两边平方,然后移项即可得出答案.解:由题意得,解答:=3,x+两边平方得:2=9x+2+,2=7.故x+故答案为:7.此题考查了完点评:全平方公式的知识,掌握完全菁优网?2010-2013平方公式的展开式的形式是解答此题的关键,属于基础题.2的值..求代数式﹣2a+1=0 20.(2007?天水)若a完全平方公式.:考点根据完全平方分析:公式先求出a的值,再代入求出代数式的值.2解答:﹣a解:由﹣a2a+1=0得(2)=0,1 ∴a=1;代入把a=1=1+1=2.故答案为:2.点评:本题考查了完灵全平方公式,活运用完全平a方公式先求出是解决本的值,题的关键.221.(2009?佛山)阅读材料:把形如ax+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配222方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a±2ab+b=(a±b).22222的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、﹣2x+4x是x+2x+3、(x﹣2)、+(x ﹣2))(例如:x﹣1 一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:2 4x+2三种不同形式的配方;﹣(1)比照上面的例子,写出x22;)将(2a+ab+b配方(至少两种形式)222 a+b+c的值.3b﹣2c+4=0,求aba(3)已知+b+c﹣﹣考点:完全平方公式.阅读型.:专题)本题)分析:(1(2考查对完全平方公式的灵活由题应用能力,中所给的已知2﹣材料可得x22+ab+ba4x+2和的配方也可分菁优网?2010-2013别常数项、一次项、二次项三种不同形式;(3)通过配方后,求得a,b,c的值,再代入代数式求值.2解答:﹣x4x+2解:(1)的三种配方分别为:2﹣4x+2=(xx﹣2﹣2,2)2﹣x4x+2=2﹣x+()2+4)x,(2(x﹣4x+2=x22;﹣x﹣)22=)a+ab+b(22﹣ab,(a+b)22=a+ab+b22;b)+b(a+222﹣+c3)a+b(ab﹣3b﹣2c+4,22)aab+﹣b=(2﹣3b+3)(b+2﹣2c+1),c+(22)﹣b=(aab+2﹣4b+4b)+(2﹣2c+1),+(c2+(﹣b)=(ab2+(c﹣1)﹣2)2=0,从而有a﹣b=0,b﹣2=0,c﹣1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4.点评:本题考查了根据完全平方公菁优网?2010-201322=2ab+b式:a±2进行)a±b(配方的能力.2222的值.a+b+ab(满足(a+b)=1,a﹣b)=25,求a22.(2004?太原)已知实数、b 完全平方公式.考点:先由已知条件分析:展开完全平方的值,式求出ab22转+b+ab再将a化为完全平方2ab和式(a+b)即可求的形式,值.2解答:,=1a+b)解:∵(2,)=25(a﹣b22,+b+2ab=1∴a22 2ab=25.a+b﹣,24∴4ab=﹣,ab=﹣622+ab=+b∴a2ab=1a+b()﹣)=7.﹣(﹣6点评:本题考查了完利全平方公式,用完全平方公式展开后建立再整体方程组,代入求解.,求的值.﹣2 2001(?宁夏)设a﹣b=23.完全平方公式.考点:对所求式子通分析:分,然后根据完全平方公式把分子整理成平方的形式,把a﹣b=﹣2代入计算即可.解:原式解答:==,菁优网?2010-2013∵a﹣b=﹣2,∴原式==2.本题考查了完点评:全平方公式,利用公式整理成已知条件的形式是解题的关键,注意整体思想的利用.2224.已知(x+y)=49,(x﹣y)=1,求下列各式的值:22(1)x+y;(2)xy.考点:完全平方公式.分析:根据完全平方2)x+y公式把(2展)﹣y和(x然后相加即开,22的x可求出+y相减即可求值,出xy的值.解答:解:由题意知:)(x+y222+2xy=49+y=x ①,222+y=x(x﹣y)2xy=1﹣②,)①+②得:(x+y22,y)(+x﹣222+y+2xy+x=x+y2 2xy﹣,22),=2(x+y =49+1,=50,22 =25;∴x+y4xy=①﹣②得:2x (x+y)﹣(2﹣=49y)﹣1=48,.∴xy=12点评:本题考查了完灵全平方公式,活运用完全平熟记公方公式,式是解题的关键.菁优网?2010-2013﹣的值.x x+=4,求25.已知考点:完全平方公式.分析:把已知条件两边平方求出2+的值,再x根据完全平方公式整理成(x2的形式并﹣)代入数据计算,然后进行开方运算.解答:解:∵,∴,2+=14,∴x﹣)∵(x22+=x﹣2=12,∴x﹣=.点评:本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式,利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键.22的值.x +y26.已知:x+y=3,xy=2,求考点:完全平方公式.分析:利用完全平方公式巧妙转化即可.解答:解:∵x+y=3,22+2xy=9,x∴+y∵xy=2,菁优网?2010-201322﹣x+y=9∴﹣4=5.2xy=9点评:本题考查了利用完全平方公式恒等变形的能力.22227.已知a+b=3,ab=2,求a+b,(a﹣b)的值.考点:完全平方公式.分析:先把a+b=3两边平方,然后代入数据计算即可22的值,a+b求出根据完全平方)﹣b 公式把(a2展开,再代入数据求解即可.解:∵a+b=3,解答:22,∴a+2ab+b=9 ,∵ab=222×﹣2∴a+b=9 2=5;22=ab)∴(a﹣22﹣﹣2ab+b=5 .×2=1点评:本题主要考查完全平方公式,熟记公式结构是解题的关键,整体代入思想的利用使计算更加简便.2228.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x+xy+y的值.考点:完全平方公式.专题:整体思想.分析:先根据多项式乘多项式的法则把(x+2)(y+2)展开并代入数据求出xy的值,再根据完全平方公式把x+y=2两边平方,整理并代入数据即可求出22 x+xy+y的值.菁优网?2010-2013解答:解:∵(x+2)(y+2)=5,∴xy+2(x+y)+4=5,∵x+y=2,∴xy=﹣3,22=x+xy+y∴22xy=2)﹣(x+y﹣(﹣3)=7.点评:本题考查了完全平方公式,运用整体代入思想,熟练对代数式进行变形是解题的关键.22+的值.,求x.29x ﹣11x+1=0完全平方公式.考点:2分析:﹣先把x两边同11x+1=0(由题意可x除,得到)x≠0知然后把,x+=11该式子两边平方即可得到2的值.x+ 0,解答:解:∵x≠x+∴,2,x+)(=121∴2,+2+x2.∴x+本题考查了完点评:关全平方公式,键是知道隐含2x≠0,条件x两边11x+1=0﹣得到同除x x,利用x+=11菁优网?2010-2013互为倒数乘和,利用完积是1全平方公式来进行解.已30,求下列各式的值:;(1)2.)(完全平方公式.考点:本题是完全平分析:方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去倍,2它们积的就构成了一个使完全平方式.分式中含有代的形式,入求值.解答:)解:(1,2,﹣2=(x)﹣2,﹣2=4 ;=14)(2,,=.=本题主要考查点评:完全平方公式,解题的关键是灵活运用完全并利平方公式,菁优网?2010-2013 用好乘积二倍项不含字母是常数的特点.菁优网?2010-2013菁优网?2010-2013。
第16讲 平方差公式(培优课程讲义例题练习含答案)
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平方差公式(提高) 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式; 3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:()()22a b a b a b -=+-要点诠释:(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.(2)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.(3)套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义,a 、b 可以是字母,也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式; (2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到). 要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式; (2)最终把多项式化成乘积形式;(3)结果要彻底,即分解到不能再分解为止. 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、分解因式:(1)2()4x y +-; (2)2216()25()a b a b --+; (3)22(2)(21)x x +--.【思路点拨】(1)把x y +看做整体,变形为22()2x y +-后分解.(2)216()a b -可写成2[4()]a b -,225()a b +可写成2[5()]a b +,4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和b .(3)把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解. 【答案与解析】解:(1)222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-. (2)222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+ (9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++.(3)22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-.【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义,可以是字母,也可以是单项式或多项式. 举一反三:【变式】将下列各式分解因式:(1)()()22259a b a b +--; (2)()22234x y x --(3)33x y xy -+; (4)32436x xy -;【答案】解:(1)原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++(2)原式=()()232232x y x x y x -+-- =()343y x y --(3)原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- (4)原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2、分解因式: (1)2128x -+; (2)33a b ab -; (3)516x x -; (4)2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】 解:(1)221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-. (2)3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-.(3)5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-.(4)222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-. 【总结升华】(1)如果多项式的各项中含有公因式,那么先提取公因式,再运用平方差公式分解.(2)因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止. 举一反三:【变式】(•杭州模拟)先化简,再求值:(2a+3b )2﹣(2a ﹣3b )2,其中a=.【答案】解:原式=(2a+3b+2a ﹣3b )(2a+3b ﹣2a+3b )=4a×6b=24ab ,当a=,即ab=时,原式=24ab=4. 类型二、平方差公式的应用3、(春•新化县期末)在日常生活中,如取款、上网需要密码,有一种因式分解法产生密码,例如x 4﹣y 4=(x ﹣y )(x +y )(x 2+y 2),当x=9,y=9时,x ﹣y=0,x +y=18,x 2+y 2=162,则密码018162.对于多项式4x 3﹣xy 2,取x=10,y=10,用上述方法产生密码是什么? 【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解,得到4x 3﹣xy 2=x (2x +y )(2x ﹣y ),然后把x=10,y=10代入,分别计算出2x +y=及2x ﹣y 的值,从而得出密码. 【答案与解析】解:原式=x (4x 2﹣y 2)=x (2x +y )(2x ﹣y ), 当x=10,y=10时,x=10,2x +y=30,2x ﹣y=10,故密码为103010或101030或301010.【总结升华】本题是中考中的新题型,考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力,读懂密码产生的方法是关键.4、(春•成武县期末)阅读下面的计算过程: (2+1)(22+1)(24+1) =(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1) =(22﹣1)(22+1)(24+1) =(24﹣1)(24+1) =(28﹣1).根据上式的计算方法,请计算: (1)(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣.【思路点拨】(1)原式变形后,利用平方差公式化简,计算即可得到结果;(2)原式变形后,利用平方差公式化简,计算即可得到结果.【答案与解析】解:(1)原式=2(1﹣)(1+)(1+)(1+)…(1+)=2(1﹣)(1+)(1+) (1))=2(1﹣)(1+) (1))=2(1﹣)=;(2)原式=(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣=(32﹣1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣=(364﹣1)﹣=﹣.【总结升华】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.【巩固练习】 一.选择题1.(•百色)分解因式:16﹣x 2=( )A .(4﹣x )(4+x )B .(x ﹣4)(x +4)C .(8+x )(8﹣x )D .(4﹣x )2 2. (春•东平县校级期末)下列多项式相乘,不能用平方差公式的是( ) A.(﹣2y ﹣x )(x+2y )B.(x ﹣2y )(﹣x ﹣2y )C.(x ﹣2y )(2y+x )D.(2y ﹣x )(﹣x ﹣2y ) 3. 下列因式分解正确的是( ).A.()()2292323a b a b a b -+=+- B.()()5422228199a ab a a bab -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+- 4. 下列各式,其中因式分解正确的是( ) ①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;②()()2933x x x -=-+ ③()()()()2212121m n m n m n +--+=+- ④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若4821-能被60或70之间的两个整数所整除,这两个数应当是( ) A .61,63 B .61,65 C .63,65 D .63,676. 乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于( ) A .512 B .12 C .1120 D .23二.填空题 7. 11_________m m aa +--=;()2211x x x --+= .8. 若()2|4|50m n -+-=,将22mx ny -分解因式为__________.9. 分解因式:2121()()=m m p q q p +--+-_________.10. 若()()()216422n x x x x -=++-,则n 是_________.11. (春•深圳期末)若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,则A 的末位数字是 . 12.(•烟台)已知|x ﹣y +2|+=0,则x 2﹣y 2的值为 .三.解答题13. 用简便方法计算下列各式:(1) 21999-1998×2000 (2)2253566465⨯-⨯ (3) 222222221009998979695......21-+-+-++- 14.(秋•蓟县期末)已知(2a+2b+3)(2a+2b ﹣3)=72,求a+b 的值.15.设22131a =-,22253a =-,……,()()222121n a n n =+--(n 为大于0的自然数)(1)探究n a 是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ,2a ,……,n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n 满足什么条件时,n a 为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ;【解析】16﹣x 2=(4﹣x )(4+x ).2. 【答案】A ;【解析】解:A 、两项都是互为相反数,不符合平方差公式.B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同,另一项互为相反数,符合平方差公式. 故选:A .3. 【答案】C ;【解析】()()22933a b b a b a -+=+-;()()()()()542222228199933a ab a a b ab a a b a b a b -=+-=++-;()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--. 4. 【答案】C ;【解析】①②③正确. ()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++-- ()()53232a b c a b c =+++-. 5. 【答案】C ;【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯6. 【答案】C ; 【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题 7. 【答案】()()111m aa a -+-;()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8. 【答案】()()2525x y x y +-;【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-. 9. 【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--;【解析】原式=()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦. 10.【答案】4; 【解析】()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-.11.【答案】6;【解析】解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1, =(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1, =(24﹣1)(24+1)(28+1)+1, =(28﹣1)(28+1)+1, =216﹣1+1, =216因为216的末位数字是6, 所以原式末位数字是6. 12. 【答案】-4;【解析】∵|x ﹣y +2|+=0,∴x ﹣y +2=0,x +y ﹣2=0,∴x ﹣y=﹣2,x +y=2,∴x 2﹣y 2=(x ﹣y )(x +y )=﹣4. 三.解答题 13.【解析】解:(1)21999-1998×2000 =()()222199919991199911999199911--+=-+=(2)()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯= (3)222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解:已知等式变形得:[2(a+b )+3][2(a+b )﹣3]=72,即4(a+b )2﹣9=72,整理得:(a+b )2=,开方得:a+b=±. 15.【解析】解:(1)()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+= 又n 为非零的自然数, ∴n a 是8的倍数.这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数. (2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.n 为一个完全平方数的2倍时,n a 为完全平方数.。
初中数学平方差公式自主学习培优提升训练题(附答案)
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初中数学平方差公式自主学习培优提升训练题(附答案)1.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”如(8=32﹣12,16=52﹣32,即8,16均为“和谐数”),在不超过2017的正整数中,所有的“和谐数”之和为()A.255054B.255064C.250554D.2550242.已知a﹣b=3,a2﹣b2=9,则a=,b=.3.一个个位不为零的四位自然数n,如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和,则称n为“隐等数”,将这个“隐等数“反序排列(即千位与个位对调,百位与十位对调)得到一个新数m,记D(n)=.(1)请任意写出一个“隐等数”n,并计算D(n)的值;(2)若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6,D(n)为正数,且D(n)能表示为两个连续偶数的平方差,求满足条件的所有“隐等数”n.4.能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数.引入负数后,如1,﹣3等是奇数,0,﹣2等是偶数.任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗?写出你的判断并证明.5.探索题:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1(1)根据以上规律,求(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)(2)判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几?6.通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、探究,会使你大开眼界,并获得成功的喜悦.例:用简便方法计算195×205.解:195×205=(200﹣5)(200+5)①=2002﹣52②=39975(1)例题求解过程中,第②步变形是利用(填乘法公式的名称).(2)用简便方法计算:9×11×101×10001.7.应用乘法公式进行计算:2006×2008﹣20072.8.已知,(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2,求(1)(2﹣1)(2+1)=;(2)(2+1)(22+1)=;(3)求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)的值;(4)求(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)…(230+1)+7的个位数字.9.如图,我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1﹣4班的卫生区,学校把它分成大小不同的四块,采用抽签的方式安排卫生区,下图是四个班级所抽到的卫生区情况,其中1班的卫生区是一块边长为(x﹣2y)米的正方形,其中0<2y<x.(1)分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积;(2)求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米?10.如图,将左图中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如右图的长方形.(1)根据两个图中阴影部分的面积相等,可以得到一个数学公式,这个公式的名称叫.(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式:(1﹣)(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣)(1﹣).11.乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式);(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,面积是(写成多项式乘法的形式);(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式;(4)运用你所得到的公式,计算:(a+b﹣2c)(a﹣b+2c).12.如图,边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形.(1)阴影部分面积是.(2)小欣把阴影部分的两个四边形拼成如图6所示的长方形,则这个长方形的宽是面积是.(3)由此可验证出的结论是.13.计算的值.14.阅读材料后解决问题:小明遇到下面一个问题:计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而可以应用平方差公式解决问题,具体解法如下:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2+1)(2﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24﹣1)(24+1)(28+1)=(28﹣1)(28+1)=216﹣1请你根据小明解决问题的方法,试着解决以下的问题:(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=.(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=.(3)化简:(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).15.探索题:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1根据前面的规律,回答下列问题:(1)(x﹣1)(x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x3+x2+x+1)=.(2)当x=3时,(3﹣1)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)=.(3)求:22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值.(请写出解题过程)(4)求22016+22015+22014+…+23+22+2+1的值的个位数字.(只写出答案)16.计算:(2x﹣3)(x+4)﹣(x﹣1)(x+1)17.利用整式乘法公式进行计算:(1)899×901+1(2)1232﹣124×122.18.已知4m+n=90,2m﹣3n=10,求(m+2n)2﹣(3m﹣n)2的值.19.乘法公式的探究与应用:(1)如图甲,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,请你写出阴影部分面积是(写成两数平方差的形式)(2)小颖将阴影部分裁下来,重新拼成一个长方形,如图乙,则长方形的长是,宽是,面积是(写成多项式乘法的形式).(3)比较甲乙两图阴影部分的面积,可以得到公式(用式子表达)(4)运用你所得到的公式计算:10.3×9.7.20.(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为a,正方形FGCH的边长为b,长方形ABGE和EFHD为阴影部分,则阴影部分的面积是(写成平方差的形式)(2)将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来,拼成图2所示的长方形,则长方形AHDE 的面积是(写成多项式相乘的形式)(3)比较图1与图2的阴影部分的面积,可得乘法公式.(4)利用所得公式计算:2(1+)(1+)(1+)(1+)+.21.乘法公式的探究与应用:(1)如图甲,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,请你写出阴影部分面积是(写成两数平方差的形式)(2)小颖将阴影部分裁下来,重新拼成一个长方形,如图乙,则长方形的长是,宽是,面积是(写成多项式乘法的形式).(3)比较甲乙两图阴影部分的面积,可以得到公式(两个)公式1:公式2:(4)运用你所得到的公式计算:10.3×9.7.22.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是;(请选择正确的一个)A、a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2B、a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)C、a2+ab=a(a+b)(2)应用你从(1)选出的等式,完成下列各题:①已知x2﹣4y2=12,x+2y=4,求x﹣2y的值.②计算:(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣)(1﹣).23.用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料(如图1)拼成一个大矩形(如图2)或大正方形(如图3),中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B.(1)求(如图1)矩形材料的面积;(用含a,b的代数式表示)(2)通过计算说明A、B的面积哪一个比较大;(3)根据(如图4),利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式.24.根据以下10个乘积,回答问题:11×29;12×28;13×27;14×26;15×25;16×24;17×23;18×22;19×21;20×20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”(两数平方差)的形式,并写出其中一个的思考过程;(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来;(3)若用a1b1,a2b2,…,a n b n表示n个乘积,其中a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n为正数.试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)25.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4,12,20都是“神秘数”(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗?为什么?26.某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成4﹣1后,发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算:3(4+1)(42+1)=(4﹣1)(4+1)(42+1)=(42﹣1)(42+1)=162﹣1=255.请借鉴该同学的经验,计算:.27.请先观察下列算式,再填空:32﹣12=8×1,52﹣32=8×2.①72﹣52=8×;②92﹣()2=8×4;③()2﹣92=8×5;④132﹣()2=8×;…(1)通过观察归纳,你知道上述规律的一般形式吗?请把你的猜想写出来.(2)你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗?28.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1,(1)根据前面各式的规律可得:(x﹣1)(x n+x n﹣1+…+x2+x+1)=(其中n为正整数).(2)根据(1)求1+2+22+23+…+262+263的值,并求出它的个位数字.29.乘法公式的探究及应用.(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是(写成两数平方差的形式);(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是,长是,面积是(写成多项式乘法的形式);(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式;(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:①10.2×9.8,②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p).参考答案:1.解:由(2n+1)2﹣(2n﹣1)2=8n≤2017,解得n≤252,则在不超过2017的正整数中,所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032=5052﹣12=255024.故选:D.2.解:∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=9,∴a+b=3,联立方程组,解得:a=3,b=0.3.解:(1)n=1243,则m=3421,D(1243)=;(2)设“隐等数“n的千位、百位分别为a、b,则十位数为(6﹣a),个位数为(6﹣b),D(n)==,∵D(n)为正数,且D(n)能表示两个连续偶数的平方差,可设D(n)=(2k+2)2﹣(2k)2(k为自然数),∴D(n)=8k+4=4(2k+1)=a+b﹣6,即a+b﹣6为4的奇数倍,∵n的千位与十位上的数字之和为6,∴1≤a≤6,1≤b≤5,∴a+b﹣6=4,∴a+b=10,∴a=5,b=5或a=6,b=4,∴n=5511或6402.4.解:设较小数为n,较大数则为n+1,这两个数的平方差是(n+1)2﹣n2=(n+1+n)(n+1﹣n)=2n+1.所以任意两个连续整数的平方差能确定是奇数.5.解:(1)由题意可知:(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7﹣1(2)22013+22012+…+22+2+1=(2﹣1)(22013+22012+…+22+2+1)=22014﹣1,21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64…2014÷4=503…2.∴22014的尾数是4.4﹣1=3.∴22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是3.6.解:(1)平方差公式;(2)9×11×101×10001=(10﹣1)(10+1)(100+1)(10000+1)=(100﹣1)(100+1)(10000+1)=(10000﹣1)(10000+1)=108﹣1.7.解:原式=(2007﹣1)(2007+1)﹣20072=20072﹣1﹣20072=﹣1.8.(1)解:(2﹣1)(2+1)=22﹣12=3.故答案为:3;(2)解:原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)=(22﹣1)(22+1)=24﹣12=16﹣1=15.故答案为:15;(3)解:原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)=(24﹣1)(24+1)(28+1)…(232+1)=(28﹣1)(28+1)…(232+1)=(216﹣1)(216+1)(232+1)=(232﹣1)(232+1)=264﹣1.故答案为:264﹣1;(4)解:∵(2+1)(22+1)=15,(2+1)(22+1)(23+1)=135,(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)=2295,…,∴(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)…(230+1)的结果的个位数字是5,∵5+7=12,∴(2+1)(22+1)(23+1)(24+1)…(230+1)+7的个位数字是2.9.解:(1)八年3班的卫生区的面积=(x﹣2y)[2x﹣(x﹣2y)]=x2﹣4y2;八年4班的卫生区的面积=(x﹣2y)[2x﹣(x﹣2y)]=x2﹣4y2;(2)[2x﹣(x﹣2y)]2﹣(x﹣2y)2=8xy.答:2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8xy平方米.10.解:(1)图1的面积为a2﹣b2,图2的面积为(a+b)(a﹣b);比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).(2)原式=…=…=11.解:(1)阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2;故答案为:a2﹣b2;(2)长方形的宽为(a﹣b),长为(a+b),面积=长×宽=(a+b)(a﹣b),故答案为:(a+b)(a﹣b);(3)由(1)、(2)得到,(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 ,故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(4)(a+b﹣2c)(a﹣b+2c)=[a+(b﹣2c)][a﹣(b﹣2c)]=a2﹣(b﹣2c)2=a2﹣b2+4bc ﹣4c2.12.解:(1)图中阴影部分的面积是:a2﹣b2,故答案为:a2﹣b2.(2)由图象可知:这个长方形的宽是:a﹣b,长方形的面积是:(a+b)(a﹣b),故答案为:a﹣b,(a+b)(a﹣b).(3)根据阴影部分的面积相等,∴(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.13.解:===.14.解:(1)原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=232﹣1;故答案为:232﹣1(2)原式=(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)=;故答案为:;(3)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16).当m≠n时,原式=(m﹣n)(m+n)(m2+n2)(m4+n4)(m8+n8)(m16+n16)=;当m=n时,原式=2m•2m2•…•2m16=32m31.15.解:(1)(x﹣1)(x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x3+x2+x+1)=x n+1﹣1,故答案为:x n+1﹣1;(2)当x=3时,(3﹣1)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)=32016﹣1,故答案为:32016﹣1(3)解:原式=(2﹣1)(22014+22013+22012+…+23+22+2+1)=22015﹣1(4)22016+22015+22014+…+23+22+2+1=(2﹣1)(22016+22015+22014+…+23+22+2+1)=22017﹣1,21的末位数字是2,22的末位数字是4,23的末位数字是8,24的末位数字是6,25的末位数字是2…,所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环.2017÷4=504…1,所以22017的末尾数字是2,22017﹣1的末尾数字是1.16.解:原式=2x2+8x﹣3x﹣12﹣(x2﹣1),=2x2+8x﹣3x﹣12﹣x2+1,=x2+5x﹣11.17.解:(1)899×901+1=(900+1)(900﹣1)+1=810 000;(2)1232﹣124×122=1232﹣(123+1)×(123﹣1)=1.18.解:∵4m+n=90,2m﹣3n=10,∴(m+2n)2﹣(3m﹣n)2=[(m+2n)+(3m﹣n)][(m+2n)﹣(3m﹣n)]=(4m+n)(3n﹣2m)=﹣900.19.解:(1)阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2;(2)长方形的宽为a﹣b,长为a+b,面积=长×宽=(a+b)(a﹣b);(3)由(1)、(2)得到,(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;故答案为:a2﹣b2,a﹣b,a+b,(a+b)(a﹣b),a2﹣b2;(4)10.3×9.7=(10+0.3)(10﹣0.3)=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91.20.解:(1)根据题意得:阴影部分面积为a2﹣b2;(2)根据题意得:阴影部分面积为(a+b)(a﹣b);(3)可得(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(4)原式=4(1﹣)(1+)(1+)(1+)(1+)+=4(1﹣))(1+)(1+)(1+)+=4(1﹣)(1+)(1+)+=4(1﹣)(1+)+=4(1﹣)+=4﹣+=4.故答案为:(1)a2﹣b2;(2)(a+b)(a﹣b);(3)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b221.解:(1)阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2;(2)长方形的宽为a﹣b,长为a+b,面积=长×宽=(a+b)(a﹣b);故答案为:a+b,a﹣b,(a+b)(a﹣b);(3)由(1)、(2)得到,公式1:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;公式2:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)故答案为:(a+b)(a﹣b),a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);(4)10.3×9.7=(10+0.3)(10﹣0.3)=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91.22.【解答】解:(1)第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2,第二个图形的面积是(a+b)(a﹣b),则a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).故答案是B;(2)①∵x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y),∴12=4(x﹣2y)得:x﹣2y=3;②原式=(1﹣)(1+)(1﹣)(1+)(1﹣)(1+)…(1﹣)(1+)(1﹣)(1+)=××××××…××××=×=.23.解:(1)S=长×宽=ab;(2)根据图形可得:矩形的长=(2b+a),宽=a;正方形的边长=a+b,矩形的面积=2ab+a2,正方形的面积=a2+2ab+b2,正方形面积﹣矩形的面积=b2,∴正方形的面积大;(3)根据图形可得:a2﹣b2=(a﹣b)(a+b).24.解:(1)11×29=202﹣92;12×28=202﹣82;13×27=202﹣72;14×26=202﹣62;15×25=202﹣52;16×24=202﹣42;17×23=202﹣32;18×22=202﹣22;19×21=202﹣12;20×20=202﹣02.(4分)例如,11×29;假设11×29=□2﹣○2,因为□2﹣○2=(□+○)(□﹣○);所以,可以令□﹣○=11,□+○=29.解得,□=20,○=9.故11×29=202﹣92.(5分)(或11×29=(20﹣9)(20+9)=202﹣92.5分)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是:11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.(7分)(3)①若a+b=40,a、b是自然数,则ab≤202=400.(8分)②若a+b=40,则ab≤202=400.(8分)③若a+b=m,a、b是自然数,则ab≤.(9分)④若a+b=m,则ab≤.(9分)⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=40.且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|a n﹣b n|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤a n b n.(10分)⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=m.且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n.(10分)说明:给出结论①或②之一的得(1分);给出结论③或④之一的得(2分);给出结论⑤或⑥之一的得(3分).25.解:(1)设28和2012都是“神秘数”,设28是x和x﹣2两数的平方差得到,则x2﹣(x﹣2)2=28,解得:x=8,∴x﹣2=6,即28=82﹣62,设2012是y和y﹣2两数的平方差得到,则y2﹣(y﹣2)2=2012,解得:y=504,y﹣2=502,即2012=5042﹣5022,所以28,2012都是神秘数.(2)(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2﹣2k)(2k+2+2k)=4(2k+1),∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数,且是奇数倍.(3)设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1,则(2k+1)2﹣(2k﹣1)2=8k=4×2k,即:两个连续奇数的平方差是4的倍数,是偶数倍,不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件.∴两个连续奇数的平方差不是神秘数.26.解:原式=2(1﹣)(1+)(1+)(1+)(1+)+=2(1﹣)+=2.27.解:①3;②7;③11;④11,6.(1)(2n+1)2﹣(2n﹣1)2=8n;(2)原式可变为(2n+1+2n﹣1)(2n+1﹣2n+1)=8n.28.解:(1)根据各式的规律可得:(x﹣1)(x n+x n﹣1+…+x2+x+1)=x n+1﹣1;(2)根据各式的规律得:1+2+22+23+…+262+263=(2﹣1)(263+262+…+23+22+2+1)=264﹣1,∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,且64÷4=16,∴264个位上数字为6,则1+2+22+23+…+262+263的个位数字为5.故答案为:(1)x n+1﹣1.29.解:(1)利用正方形的面积公式可知:阴影部分的面积=a2﹣b2;故答案为:a2﹣b2;(2)由图可知矩形的宽是a﹣b,长是a+b,所以面积是(a+b)(a﹣b);故答案为:a﹣b,a+b,(a+b)(a﹣b);(3)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2(等式两边交换位置也可);故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(4)①解:原式=(10+0.2)×(10﹣0.2),=102﹣0.22,=100﹣0.04,=99.96;②解:原式=[2m+(n﹣p)]•[2m﹣(n﹣p)],=(2m)2﹣(n﹣p)2,=4m2﹣n2+2np﹣p2。
七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿
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七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语:. 服装是裁缝制作的,仅仅是货币的标志。
而人的知识,品德和气质,却是一个人真正的人生价值,对于庸俗的人,你可以反【知识精要】:1.乘法公式:平方差公式(a+b)(a-b)=a2+b2,完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b22.运用平方差公式应注意的问题:(1)公式中的a和b可以表示单项式,也可以是多项式;(2)有些多项式相乘,表面上不能用公式,但通过适当变形后可以用公式.如(a+b-c)(b-a+c)=[(b+a)-c)][b-(a-c)]=b2-(a-c)3.运用完全平方公式应注意的问题:(1)公式中的字母具有一般性,它可以表示单项式、多项式,只要符合公式的结构特征,就可以用公式计算;(2)在利用此公式进行计算时,不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.【典例评析】:例1、计算:(1)(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2; (2)(a+b-c)(a-b+c)例2、计算:(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算: (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算:(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1-221)(1-231)(1-241)(1-251)(1-261)例5..已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少?【课堂精练(一)】:1、计算:(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ,则A= ;(5) 计算:12-22+32-42+…+992-1002;【培优拓展】:1、如果x-y=6,x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式:1×3=22-1;3×5=42-1,5×7=62-1,…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律:-----------------。
八年级上册数学同步培优:第9讲 乘法公式 平方差公式--尖子班
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第9讲乘法公式一平方差公式知识点1 平方差公式22+-=-a b a b a b()()平方差公式的特点:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.在利用平方差公式进行计算时,先判断式子能否利用平方差公式计算,如果可以,再根据22a b a b a b+-=-进行乘法计算.()()【典例】1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()A. (﹣a+b)(a﹣b)B. (x+2)(2+x)C. (+y)(y﹣)D. (x﹣2)(x+1)【方法总结】平方差公式的特点:即两数和与它们差的积等于这两数的平方差.也就是说,左边是两个二项式相乘,这两项中有一项完全相同,另一项互为相反数.2.计算(x﹣2y+1)(x+2y﹣1)时,下列变形中正确的是()A. [x﹣(2y+1)][x+(2y+1)]B. [x﹣(2y﹣1)][x+(2y﹣1)]C. [(x﹣2y)+1][(x﹣2y)﹣1]D. [(x+1)﹣2y][(x+1)+2y]【方法总结】平方差公式一般是两数的和与它们的差的积等于这两数的平方差,但这里边的a和b也可以用式子来表示,对于(a-b+c)(a+b-c)这类题而言,我们可以对两个括号内的式子进行变形,目的是拼凑出两个数(或式子)的和与差的乘积形式,观察易得出(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)],这样就变成了a与(b-c)的和与差的乘积,所以可得出(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2然后再进行下一步计算.【随堂练习】1.(2017秋•禄劝县期末)计算:(2a+b)(b﹣2a)﹣(a﹣3b)22.(2018春•顺义区期末)计算:(2x﹣1)(2x+1)﹣(3﹣2x)2.3.(2017秋•利川市期末)计算(a﹣3b)(a+3b)﹣(﹣a﹣2b)(a﹣2b)知识点2 利用平方差公式进行数的运算在一些计算中,有时利用平方差公式,会使计算量大大减少;例如98×102,可以利用平方差公式化成98×102=(100-2)×(100+2)=100²-2²=9996.【典例】1.20132﹣2011×2015的计算结果是()A. 2B. ﹣2C. 4D. ﹣4【方法总结】此题主要考查了平方差公式,关键是掌握22a b a b a b+-=-()()本题直接计算,计算量很大,观察式子可以发现,题目中给出了20132,所以在对后面的式子进行变形时,尽量凑出2013,那么很容易得出2011=2013-2,2015=2013+2,再利用平方差公式2011×2015=(2013-2)×(2013+2),然后再计算即可.【随堂练习】1.(2018•河北模拟)请你参考黑板中老师的讲解,用乘法公式简便计算;(1)6992(2)20192﹣2017×20212.(2018•邯郸一模)张老师在黑板上写了三个算式,希望同学们认真观察,发现规律.请你结合这些算式,解答下列问题:请观察以下算式:①32﹣12=8×1②52﹣32=8×2③72﹣52=8×3(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式;(2)验证规律:设两个连续奇数为2n+1,2n﹣1(其中n为正整数),则它们的平方差是8的倍数;(3)拓展延伸:“两个连续偶数的平方差是8的倍数”,这个结论正确吗?3.(2018春•抚州期末)阅读下面的材料并填空:①(1﹣)(1+)=1﹣,反过来,得1﹣=(1﹣)(1+)=②(1﹣)(1+)=1﹣,反过来,得1﹣=(1﹣)(1+)=×③(1﹣)(1+)=1﹣,反过来,得1﹣=(1﹣)(1+)=利用上面的材料中的方法和结论计算下题:(1﹣)(1﹣)(1﹣)……(1﹣)(1﹣)(1﹣)知识点3 利用平方差公式进行整式的运算【典例】1.如果(m+1+n)(m-1+n)=8,那么m+n的值为()A. ±9B. ±3C. 3D. 9【方法总结】通过上边的学习我们知道,对于这种两个三项式相乘,我们可以对两个三项式变形,使他们分别变成两个数(或式子)的和与差相乘的形式,然后再利用平方差公式进行下一步计算,除此之外需要注意,结果是两个数,二者互为相反数.【随堂练习】1.(2017春•泰兴市校级期中)计算:(1)(x﹣2)(x+3)﹣(x+3)2(2)(x﹣2y+4)(x﹣2y﹣4)2.(2017秋•普陀区校级期中)计算:(3x+y+1)(3x+y﹣1).知识点4 平方差公式—几何背景平方差公式的证明方法有很多种,其中几何法证明是最常见的一种,也是初中阶段最容易理解的一种.【典例】1.如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积,可以验证的公式是()A. (a+b)(a﹣b)=a2+b2B. (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2【方法总结】本题考查了平方差公式的几何背景,认识不同表示方法之间的关系,解题的重要点是利用面积的不变性.【随堂练习】1.(2017春•高台县校级期末)乘法公式的探究及应用.(1)如图1可以求出阴影部分的面积是_____(写成两数平方差的形式);(2)如图2若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是____,长是____,面积是________(写成多项式乘法的形式);(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式_____ (用式子表达);(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:①(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)②10.3×9.7.2.(2017春•栾城区期末)(1)如图1,在边长为a的正方形中,画出两个长方形阴影,则阴影部分的面积是____(写成两数平方差的形式);(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的长是____,宽是______,面积是_________(写成多项式乘法的形式);(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式_______(用式子表达);(4)运用你所得到的公式计算:①10.3×9.7②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)3.(2017秋•荔湾区校级期中)图1、图2分别由两个长方形拼成.(1)图1中图形的面积为a2﹣b2,图2中图形的面积为(a﹣b)×_____.(用含有a、b的代数式表示)(2)由(1)可以得到等式:__________.(3)根据你得到的等式解决下列问题:①计算:68.52﹣31.52.②若m+4n=2,求(m+1)2﹣m2+(2n+1)2﹣(2n﹣1)2的值.综合运用1.(x+2)(x﹣2)(x2+4)的计算结果是__________2.若(x﹣ay)(x+ay)=x2﹣16y2,则a=.3.(m+3)(m﹣3)=.4.计算:(﹣m+n)(﹣m﹣n)=.5.化简(a﹣1)(a+1)(a2+1)﹣(a4﹣1)的结果为___________6.计算20072﹣2006×2008得_______7.已知A=99×100×101,B=98×100×102,则A﹣B的值是___________8.计算(2x﹣3y+1)(2x+3y﹣1)的结果是_________9.如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成为一个矩形,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,可以验证的等式是___________。
平方差完全平方公式(培优1)
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平⽅差完全平⽅公式(培优1)平⽅差完全平⽅公式三.解答题(共26⼩题)5.计算:(1)(x﹣y)(x+y)(x2+y2)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c)6.计算:1232﹣124×122.7.计算:.8.(x﹣2y+z)(﹣x+2y+z).9.运⽤乘法公式计算.(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2);(3)79.8×80.2;(4)19.92.10.化简:(m+n﹣2)(m+n+2).11.(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m)12.计算(1)(a﹣b+c﹣d)(c﹣a﹣d﹣b);(2)(x+2y)(x﹣2y)(x4﹣8x2y2+16y4).13.计算:20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12.14.利⽤乘法公式计算:①(a﹣3b+2c)(a+3b﹣2c)②472﹣94×27+272.15.已知:x2﹣y2=20,x+y=4,求x﹣y的值._________16.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1…(1)根据上⾯各式的规律得:(x﹣1)(x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1)=_________;(其中n为正整数);(2)根据这⼀规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下⾯的解题过程,然后解答问题:题⽬:化简(2+1)(22+1)(24+1).解:(2+1)(22+1)(24+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)=(24﹣1)(24+1)=28﹣1.问题:化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1).18..19.(2012?黄冈)已知实数x满⾜x+=3,则x2+的值为_________.基本形式是完全平⽅公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(x﹣2)2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配⽅(即“余项”分别是常数项、⼀次项、⼆次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:(1)⽐照上⾯的例⼦,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配⽅;(2)将a2+ab+b2配⽅(⾄少两种形式);(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.22.(2004?太原)已知实数a、b满⾜(a+b)2=1,(a﹣b)2=25,求a2+b2+ab的值.23.(2001?宁夏)设a﹣b=﹣2,求的值.24.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:(1)x2+y2;(2)xy.25.已知x+=4,求x﹣的值.26.已知:x+y=3,xy=2,求x2+y2的值.27.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2,(a﹣b)2的值.28.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x2+xy+y2的值.29.x2﹣11x+1=0,求x2+的值.30.已,求下列各式的值:(1);(2).平⽅差完全平⽅公式参考答案与试题解析⼀.选择题(共1⼩题)1.(1999?烟台)下列代数式,x2+x﹣,,,其中整式有()A .1个B.2个C.3个D.4个考点:整式.分析:解决本题关键是搞清整共2个.故选B.点评:主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的⼀部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积,只有乘法,没有加减法.多项式是若⼲个单项式的和,⼆.填空题(共3⼩题)2.(2011?湛江)多项式2x2﹣3x+5是⼆次三项式.考点:多项式.专题:计算题.分析:根据单项式的系数和次2x2﹣3x+5是⼆次三项式.故答案为:⼆,三.点评:本题主要考查多项式的定义,解答此次题的关键是熟知以下概念:多项式中的每个单项式叫做多项式的项;多项式中不含字母的项叫常数项;多项式⾥次数最⾼项的次数,叫做这个多项式的次数.3.(2010?毕节地区)写出含有字母x,y的四次单项式x2y2.(答案不唯⼀,只要写出⼀个)考点:单项式.专题:开放型.分析:单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指都是四次单义,x2y2,x3y,xy3等都符合题意(答案不唯⼀).点评:考查了单项式的次数的概念.只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求.4.(2004?南平)把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x.考点:多项式.分析:按照x的次数从⼤到⼩排列即可.解答:解:按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x.点评:主要考查降幂排列的定义,就是按照x的次数从⼤到⼩的顺序排列,操作时注意带着每⼀项前⾯的符号.三.解答题(共26⼩题)5.计算:(1)(x﹣y)(x+y)(x2+y2)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c)式.分析:(1)(x﹣y)与(x+y)结合,可运⽤平⽅差公式,其结果再与(x2+y2)相结合,再次利⽤平⽅差公式,再应⽤完全平⽅公式.解答:解:(1)(x﹣y)(x+y)(x2+y2),=(x2﹣y2)(x2+y2),=x4﹣y4;(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c),=a2﹣(2b﹣c)2,=a2﹣4b2+4bc﹣c2.点评:本题主要考查了平⽅差公式与完全平⽅公式,熟记公式是解题的关键.平⽅差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.完2=a2±2ab+b2.6.计算:1232﹣124×122.考点:平⽅差公式.分析:先把124×122写成(123+1)×(123﹣1),利⽤平⽅差公式计算,去掉括号后再合并即可.解答:解:1232﹣124×122,=1232﹣(123+1)(123﹣1),=1232﹣(1232﹣12),实际运⽤,构造成平⽅差公式的结构形式是解题的关键.7.计算:.考点:平⽅差公式.分析:观察可得:2005=2004+1,2003=2004﹣1,将其写成平⽅差公式代⼊原式计算可得答案.解答:解:,,=,=2004.点评:本题考查平⽅差公式的实际运⽤,注意要构造成公式的结构形式,利⽤公式达到简化运算的⽬的.8.(x﹣2y+z)(﹣x+2y+z).分析:把原式化为[z+(x﹣2y)][z﹣(x﹣2y)],再运⽤平⽅差公式计算.解答:解:(x﹣2y+z)(﹣x+2y+z),=[z+(x﹣2y)][z﹣(x﹣2y)],=z2﹣(x﹣2y)2,=z2﹣(x2﹣4xy+4y2),=z2﹣x2+4xy﹣4y2.点评:本题考查了平⽅差公式,整体思想的式计算会减少运算量.9.运⽤乘法公式计算.(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2);(3)79.8×80.2;(4)19.92.考点:平⽅差公式.专题:计算题.分析:(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2可以利⽤平⽅差公式进⾏计算;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2)转化成[x+(y﹣2)][x﹣(y﹣2)]的形式,利⽤平⽅差公式以及(3)79.8×80.2可以转化成(80﹣0.2)(80+0.2)的形式,利⽤平⽅差公式计算;(4)19.92可以转化为(20﹣0.1)2进⾏简便计算.解答:解:(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2==4xy;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2),=[x+(y﹣2)][x﹣(y﹣2)],=x2﹣y2+4y﹣4;(3)79.8×80.2,=(80﹣0.2)(80+0.2),=6399.96;(4)19.92=(20﹣0.1)2=400﹣2×20×0.1+0.01,=396.01.点评:本题主要考查平⽅差公式和完全平⽅公式的运⽤,利⽤完全平⽅公式以及平⽅差公式可以使计10.化简:(m+n﹣2)(m+n+2).考点:平⽅差公式.分析:把(m+n)看作整体,m+n是相同的项,完全平⽅公式计算即可.解答:解:(m+n﹣2)(m+n+2),=(m+n)2﹣22,=m2+n2+2mn﹣4.点评:本题主要考查了平⽅差公式的应⽤.运⽤平⽅差公式(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平⽅减去相反项的平⽅.11.(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m)考点:平⽅差公式.专题:计算题.分析:把x﹣2y当成⼀个整体,利⽤两数的和乘以这两数的差,等于它们的平⽅差计算即可.解答:解:(x﹣2y﹣m2.点评:本题主要考查了平⽅差公式,整体思想的利⽤⽐较关键.12.计算(1)(a﹣b+c﹣d)(c﹣a﹣d﹣b);(2)(x+2y)(x﹣2y)(x4﹣8x2y2+16y4).考点:平⽅差公式.专题:计算题.分析:根据平⽅差公式以及完全平⽅公式即可解答本题.解答:解:(1)原式=[(c﹣b﹣d)+a][(c﹣b﹣d)﹣a]=(c﹣b﹣d)2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2,(2)∵x4﹣8x2y2+16y4=(x2﹣4y2)2∴原式=(x2﹣4y2)(x2﹣4y2)2=(x2(x2)2(4y2)+3x2?(4y2)2﹣(4y2)3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6.点评:本题考查了平⽅差公式以及完全平⽅公式的运⽤,难度适13.计算:20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12.考点:平⽅差公式.分析:分组使⽤平⽅差公式,再利⽤⾃然数求和公式解题.解答:解:原式=(20082﹣20072)+(20062﹣20052)+…+(22﹣12),=(2008+2007)(2008﹣2007)+(2006+2005)(2006﹣2005)+(2+1)(2﹣1),=2008+2007+点评:本题考查了平⽅差公式的运⽤,注意分组后两数的差都为1,所有两数的和组成⾃然数求和.14.利⽤乘法公式计算:①(a﹣3b+2c)(a+3b﹣2c)②472﹣94×27+272.考点:平⽅差公式;完全平⽅公式.分析:①可⽤平⽅差公式计算:找出符号相同的项和不同的项,结合再2×47后,可⽤完全平⽅公式计算.解答:解:①原式=[a﹣(3b﹣2c)][a+(3b﹣2c)]=a2﹣(3b﹣2c)2=9b2+12bc﹣4c2;②原式=472﹣2×47×27+272=(47﹣27)完全平⽅公式,熟记公式是解题的关键.①把(3b﹣2c)看作⼀个整体是运⽤平⽅差公式的关键;②把94写成2×47是利⽤完全平⽅公式的关键.15.已知:x2﹣y2=20,x+y=4,求x﹣y的值.5考点:平⽅差公式.分析:本题是平⽅差公式的应⽤.解答:解:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=20把x+y=4代⼊求得x﹣y=5.点评:运⽤平⽅差公式计算时,项,其结果是相同项的平⽅减去相反为5.16.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1…(1)根据上⾯各式的规律得:(x﹣1)(x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1)=x m﹣1;(其中n为正整数);(2)根据这⼀规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.考点:平⽅差公式.分析:(1)认真观察各式,等式右边x的指数⽐左边x的最⾼指数⼤1,利⽤此规律求解填空;(2)先根据上⾯的式⼦可得:1+x+x2+x3+…+x n=(x n+1﹣1)÷(x﹣1),从⽽得出1+2+22+…+268+269=(269+1﹣1)÷(2﹣1),再进⾏计算即可.解答:解:(1)(x﹣1)(x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1)=x m﹣1;(2)根据上⾯的式⼦可得:1+x+x2+x3+…(269+1﹣1)÷点评:本题考查了平⽅差公式,认真观察各式,根据指数的变化情况总结规律是解题的关键.17.先观察下⾯的解题过程,然后解答问题:题⽬:化简(2+1)(22+1)(24+1).解:(2+1)(22+1)(24+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)=(24﹣1)(24+1)=28﹣1.问题:化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1).考点:平⽅差公式.分析:根据题意,整式的第⼀个因式可以根据平⽅差公式进⾏化简,然后再和后⾯的因式进⾏运算.解答:解:原式=(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),(4分)=(32﹣1)(32+1)(34+1)(364+1),=(38﹣1)(38+1)(364+1),=(364﹣1)1).(10分)点评:本题主要考查了平⽅差公式,关键在于把(3+1)化简为(3﹣1)(3+1)的形式,18..考点:平⽅差公式.专题:计算题.分析:由平⽅差公式,(1+)(1﹣)=1﹣,(1﹣)(1+)=1﹣,依此类推,从⽽得出结果.解答:解:原式=(1﹣)(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)=(1﹣)(1+)=1﹣.点评:本题考查了平⽅差公式的反复应⽤,是基础知识要熟练掌握.19.(2012?黄冈)已知实数x满⾜x+=3,则x2+的值为7.考点:完全平⽅公式.专题:计算题.分析:将x+=3两边平⽅,然后移项即可得出答案.解答:解:由题意得,x+=3,两边平⽅得:x2+2+=9,故x2+=7.故答案为:7.点评:此题考查了完全平⽅公式的知识,掌握完全平⽅公式的展开式的形式是20.(2007?天⽔)若a2﹣2a+1=0.求代数式的值.考点:完全平⽅公式.分析:根据完全平⽅公式先求出a的值,再代⼊求出代数式的值.解答:解:由a2﹣2a+1=0得(a﹣1)2=0,∴a=1;把a=1代⼊=1+1=2.故答案为:2.点评:本题考查了完全平⽅公式,灵活运⽤完全平⽅公式先求出a的值,是解决本题的关键.21.(2009?佛⼭)阅读材料:把形如ax2+bx+c的⼆次三项式(或其⼀部分)配成完全平⽅式的⽅法叫做配⽅法.配⽅法的基本形式是完全平⽅公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(x﹣2)2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配⽅(即“余项”分别是常数项、⼀次项、⼆次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:(1)⽐照上⾯的例⼦,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配⽅;(2)将a2+ab+b2配⽅(⾄少两种形式);(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.考点:完全平⽅公式.全平⽅公式的灵活应⽤能⼒,由题中所给的已知材料可得x2配⽅也可分别常数项、⼀次项、⼆次项三种不同形式;(3)通过配⽅后,求得a,b,c的值,再代⼊代数式求值.解答:解:(1)x2﹣4x+2的三种配⽅分别为:x2﹣4x+2=(x﹣2)2﹣2,x2﹣4x+2=(x+)2﹣(2+4)x,x2﹣4x+2=(x﹣)2﹣x2;(2)a2+ab+b2=(a+b)2﹣ab,a2+ab+b2=(a+b)2+b2;(3)a2+b2+c22c+4,=(a2﹣ab+b2)+(b2﹣3b+3)+(c2﹣2c+1),=(a2﹣ab+b2)+(b2﹣4b+4)+(c2﹣。
数学七年级下期培优学案-平方差公式和完全平方公式
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数学七年级下期培优学案(3)----平方差公式和完全平方公式一、平方差公式1. 公式:22)()a b a b a b +-=-(2. 公式的特征:(1)左边是两个二项式的乘积,存在一组相同的量和一组相反的量(2)右边是相同量的平方与相反量平方的差;3. 公式的顺用例1. 用平方差公式计算22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()a a y x y x y x y x -+--+-++练习1计算(1)(1)(1)(1)x x x x +-+- (2)(23)(23)x y x y --- (3)()()x y z x z y +-+-4. 公式逆用例2计算2211(5)(5)22x x +--练习2填空(1)(1)ab -+( )=221a b - (2)()()a b a b -+()=44a b - 2(3)6,3,b a b -=-=2若a 且则a+b= ;5. 利用平方差公式计算例3.利用平方差公式计算2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005⨯⨯-⨯练习3计算22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21-⨯----⨯++++-+-++-二、完全平方公式1. 公式及其变形 22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2a b a ab b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab x x x x±=±+++-+=±=+-++--==+=-+-=+-±=±+ (( 2. 口诀:(1)展开式:首平方,尾平方,首尾二倍在中央(2)中间项口诀:同正异负3.公式的识别与求完全平方的展开式例4.计算2(1)(25)x -+ 2(2)(38)x --2(3)(2)(2)x y x x y --+ 22(4)()()()2m n m n m n m +-++-(5)(21)(21)a b a b +++- 22(6)(21)(21)x x -+2(7)498 2(8)199202198-⨯(9)(-21ab 2-32c )2 210()a b c -+()4.结合完全平方公式特征,完善公式例5.(1)(5x+2y)2-(5x-2y)2= (2)( -2)2= 1-2x+ (3)( )-24a 2c 2+( )=( -4c 2)2练习4. (1) a 2+b 2=(a +b )2-______=(a -b )2-__________.(2) 如果4a 2-m ·ab +81b 2是一个完全平方式,则m = .(3) x 2-xy +________=(x -______)2.22222(4)4___,412 ____.(5)()2,____.x ax a x xy m m x y M x xy y M ++=++=-+=++=是完全平方公式,则是一个完全平方式,则则 5.利用完全平方公式求值例6.(1) 已知a +b =7,ab =10,求a 2+b 2,(a -b )2的值(2) 已知(a +b )2=9,(a -b )2=5,求a 2+b 2,ab 的值(3) 若x+y=a,xy=b,求x 2+y 2,x 4+y 4的值.练习5.(1) 已知2a -b =5,ab =23,求4a 2+b 2-1的值 (2) 已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值 (3) 已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
平方差完全平方公式(培优1)
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平方差完全平方公式一.选择题(共1小题)2二.填空题(共3小题)2.(2011•)多项式2x2﹣3x+5是_________次_________项式.3.(2010•地区)写出含有字母x,y的四次单项式_________.(答案不唯一,只要写出一个)4.(2004•)把多项式2x2﹣3x+x3按x5.(1999•江)配方:x2+4x+___=(x+___)2三.解答题(共26小题)5.计算:(1)(x﹣y)(x+y)(x2+y2)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c)6.计算:1232﹣124×122.7.计算:.8.(x﹣2y+z)(﹣x+2y+z).9.运用乘法公式计算.(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2);(3)79.8×80.2;(4)19.92.10.化简:(m+n﹣2)(m+n+2).11.(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m)12.计算(1)(a﹣b+c﹣d)(c﹣a﹣d﹣b);(2)(x+2y)(x﹣2y)(x4﹣8x2y2+16y4).13.计算:20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12.14.利用乘法公式计算:①(a﹣3b+2c)(a+3b﹣2c)②472﹣94×27+272.15.已知:x2﹣y2=20,x+y=4,求x﹣y的值._________(1)根据上面各式的规律得:(x﹣1)(x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1)=_________;(其中n为正整数);(2)根据这一规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:题目:化简(2+1)(22+1)(24+1).解:(2+1)(22+1)(24+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)=(24﹣1)(24+1)=28﹣1.问题:化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1).18..19.(2012•黄冈)已知实数x满足x+=3,则x2+的值为_________.20.(2007•)若a2﹣2a+1=0.求代数式的值.21.(2009•)阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(x﹣2)2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.22.(2004•)已知实数a、b满足(a+b)2=1,(a﹣b)2=25,求a2+b2+ab的值.23.(2001•)设a﹣b=﹣2,求的值.24.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:(1)x2+y2;(2)xy.25.已知x+=4,求x﹣的值.26.已知:x+y=3,xy=2,求x2+y2的值.27.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2,(a﹣b)2的值.28.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x2+xy+y2的值.29.x2﹣11x+1=0,求x2+的值.30.已,求下列各式的值:(1);(2).平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)2二.填空题(共3小题)2.(2011•)多项式2x2﹣3x+5是二次三项式.3.(2010•地区)写出含有字母x,y的四次单项式x2y2.(答案不唯一,只要写出一个)4.(2004•)把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x.三.解答题(共26小题)5.计算:(1)(x﹣y)(x+y)(x2+y2)(2)(a﹣2b+c)(a+2b﹣c)6.计算:1232﹣124×122.7.计算:.8.(x﹣2y+z)(﹣x+2y+z).9.运用乘法公式计算.(1)(x+y)2﹣(x﹣y)2;(2)(x+y﹣2)(x﹣y+2);(3)79.8×80.2;(4)19.92.10.化简:(m+n﹣2)(m+n+2).11.(x﹣2y﹣m)(x﹣2y+m)12.计算(1)(a﹣b+c﹣d)(c﹣a﹣d﹣b);(2)(x+2y)(x﹣2y)(x4﹣8x2y2+16y4).13.计算:20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12.14.利用乘法公式计算:①(a﹣3b+2c)(a+3b﹣2c)②472﹣94×27+272.15.已知:x2﹣y2=20,x+y=4,求x﹣y的值.516.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1…(1)根据上面各式的规律得:(x﹣1)(x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1)=x m﹣1;(其中n为正整数);(2)根据这一规律,计算1+2+22+23+24+…+268+269的值.17.先观察下面的解题过程,然后解答问题:题目:化简(2+1)(22+1)(24+1).解:(2+1)(22+1)(24+1)=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22﹣1)(22+1)(24+1)=(24﹣1)(24+1)=28﹣1.问题:化简(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(364+1).(3+1)化简为(3﹣1)(3+1)的形式,18..考点:平方差公式.专题:计算题.分析:由平方差公式,(1+)(1﹣)=1﹣,(1﹣)(1+)=1﹣,依此类推,从而得出结果.解答:解:原式=(1﹣)(1+)(1+)(1+)(1+)=(1﹣)(1+)(1+)(1+)=(1﹣)(1+)(1+)=(1﹣)(1+)=1﹣.点评:本题考查了平方差公式的反复应用,是基础知识要熟练掌握.19.(2012•黄冈)已知实数x满足x+=3,则x2+的值为7.考点:完全平方公式.专题:计算题.分析:将x+=3两边平方,然后移项即可得出答案.解答:解:由题意得,x+=3,两边平方得:x2+2+=9,故x2+=7.故答案为:7.点评:此题考查了完全平方公式的知识,掌握完全平方公式的展开式的形式是20.(2007•)若a2﹣2a+1=0.求代数式的值.21.(2009•)阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.例如:(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(x﹣2)2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题:(1)比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方;(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.22.(2004•)已知实数a、b满足(a+b)2=1,(a﹣b)2=25,求a2+b2+ab的值.23.(2001•)设a﹣b=﹣2,求的值.24.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:(1)x2+y2;(2)xy.25.已知x+=4,求x﹣的值.26.已知:x+y=3,xy=2,求x2+y2的值.27.已知a+b=3,ab=2,求a2+b2,(a﹣b)2的值.28.若x+y=2,且(x+2)(y+2)=5,求x2+xy+y2的值.29.x2﹣11x+1=0,求x2+的值.30.已,求下列各式的值:(1);(2).。
(完整版)七年级平方差公式和完全平方公式-培优
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变形公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-+=+2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 个性化教学辅导教案知识点一、多项式乘多项式法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。
由多项式乘多项式法则可以得到:bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())((知识点二、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。
1、即:=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用,即:))((22b a b a b a +-=-。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(a+b )(a-b)或(a+b )(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积 即:(-a-b )(a-b)或(a+b )(b-a)③有两数的平方差 即:a 2-b 2 或-b 2+a 2知识点三、完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
知识点四、变形公式例题讲解1、计算(22)(22)a b c a b c +++-10199⨯2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 2982、公式的逆用(1) 如果x 2-y 2=12,x +y=3,则x -y 的值是(2)已知a+b=3,ab=1,则a 2+b 2的值为(3)若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=(4)已知a+b=5,ab=6,则(a-b)2的值为( )(A)1 (B)4 (C)9 (D)16(5)已知3)(,7)(22=-=+b a b a ,求=+22b a ________,=ab ________ (6)已知x 2+16x +k 是完全平方式,则常数k 等于( )(A)64 (B)48 (C)32 (D)16(7)已知4x 2+4mx+36是完全平方式,则m 的值为( )(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6基础巩固一、选择题1、下列等式能够成立的是( )A .222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xB .222121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC .412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x D .41)21(22+=-x x 2、下列等式能够成立的是( )A .222)(y xy x y x +-=-B .2229)3(y x y x +=+C .2224121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- D .9)9)(9(2-=+-m m m 3、如果9x 2+kx+25是一个完全平方式,那么k 的值是( )A .15B .±5C .30D .±30 4、若a ﹣b=,且a 2﹣b 2=,则a+b 的值为( )A .﹣B .C .1D .2 5、已知x y = 9,x -y=-3,则x 2+3xy+y 2的值为( )A 、27B 、9C 、54D 、186、将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是( )A .(a+b )2=a 2+2ab+b 2B .(a ﹣b )2=a 2﹣2ab+b 2C .a 2﹣b 2=(a+b )(a ﹣b )D .(a+2b )(a ﹣b )=a 2+ab ﹣2b2 7、若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1),则A ﹣2003的末位数字是( )A .0B .2C .4D .6 8、(x+2)(x ﹣2)(x 2+4)的计算结果是( )A .x 4+16B .﹣x 4﹣16C .x 4﹣16D .16﹣x 4 9、(﹣x+y )( )=x 2﹣y 2,其中括号内的是( )A .﹣x ﹣yB .﹣x+yC .x ﹣yD .x+y10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a >b ).把余下的部分剪成两个直角梯形后,再拼成一个等腰梯形(如图),通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,这个等式是( )A .a 2﹣b 2=(a+b )(a ﹣b )B .(a+b )2=a 2+2ab+b 2C .(a ﹣b )2=a 2﹣2ab ﹣b 2D .a 2﹣ab=a (a ﹣b ) 11、如图,从边长为(a+4)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm 的正方形.(a >0)剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)则矩形的面积为( )A. (2a 2+5a )cm 2 B .(3a+15)cm 2 C .(6a+9)cm 2 D .(6a+15)cm 212、如图,在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a >2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为( )A .a 2+4B .2a 2+4aC .3a 2﹣4a ﹣4D .4a 2﹣a ﹣2 13、若4x 2﹣2(k ﹣1)x+9是完全平方式,则k 的值为( )A .±2B .±5C .7或﹣5D .﹣7或5 14、已知a ﹣b=3,则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为( )A .3B .6C .9D .12 15、若a ﹣=2,则a 2+的值为( ) A .0B .2C .4D .6 16、设(2a+3b )2=(2a ﹣3b )2+A ,则A=( )A .6abB .12abC .0D .24ab 17、已知x 2﹣3x+1=0,那么的值是( ) A .3B .7C .9D .1118、当n 是整数时,(2n+1)2﹣(2n ﹣1)2是( )A .2的倍数B .4的倍数C .6的倍数D .8的倍数 19、已知x+y=7,xy=﹣8,下列各式计算结果正确的是( )A .(x ﹣y )2=91B .x 2+y 2=65C .x 2+y 2=511D .x 2﹣y 2=567二、填空题 1、若2210a a --=,则221a a+=____________. 2、=⨯123457123455-1234562______ =⨯4394110______ 3、=++⋅⋅⋅++⋅1)12()12)(12(36442______4、已知121=+x x ,则22-+x x = ,已知101=-x x ,则22-+x x =5、已知0162=+-x x ,则22-+x x =6、已知100)(2=+b a ,4)(2=-b a ,则22b a += ,ab =7、已知8=+b a ,12=ab ,则22b a += ,2)(b a -=8、(a+b ﹣1)(a ﹣b+1)=( )2﹣( )2 9、若a+b=8,a ﹣b=5,则a 2﹣b 2= .10、已知a+b=8,a 2b 2=4,则﹣ab=11、已知实数a 、b 满足a+b=5,ab=3,则a ﹣b=12、已知x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0,那么x y =13、已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0,则m+n=14、已知m 2﹣5m ﹣1=0,则= 15、若m=2n+1,则m 2﹣4mn+4n 2的值是16、若|x+y ﹣5|+(xy ﹣6)2=0,则x 2+y 2的值为三、计算题 )53(2322ab ab a --)23)(25(y x y x -+ ()()2()x y x y x y --+-)4)(1()3)(3(+---+a a a a22)1()1(--+xy xy)4)(12(3)32(2+--+a a a (1)(2)(2)(21)2(2)x x x x x x -+----+四、解答题1、先化简,再求值: (x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.52、已知0132=+-x x ,求221x x +和441xx +的值3、已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式,求m 的值。
平方差公式课时培优练 2022—2023学年北师大版数学七年级下册
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1.5平方差公式课时培优练七年级数学下册北师大版一、单选题1.下列式子中,可以用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(a-b)B.(2a-3b)(3b+2a)C.(3a-2b)(2b-3a)D.(2a-b)(2b+a)2.在下列各式中,不能用平方差公式计算的是()A.B.C.D.3.若,,则的值是()A.-3B.-2C.-1D.04.运用乘法公式计算的结果是()A.B.C.D.5.下列运算错误的是()A.b2·b3=b5B.(a-b)(b+a)=a2-b2C.a5+a5=a10D.(-a2b)2=b2a46.记则x+1=()A.一个奇数B.一个质数C.一个整数的平方D.一个整数的立方7.如图,在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形( a > b ),把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是()A.a2 - b2 = (a + b)(a - b)B.(a + b)2= a2 + 2ab + b2C.(a - b)2 = a2 - 2ab + b2D.a2 - ab = a(a - b)8.如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分剪后拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是()A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.a2+ab=a(a+b)9.如图所示,阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形,佳佳将阴影部分通过割拼,拼成了图①和图②两种新的图形,其中能够验证平方差公式的是()A.①B.②C.①②都能D.①②都不能二、填空题10..11.在括号内填入适当的整式:(2a+b)()=b2-4a2.12.计算:(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣)=.13.的结果是.14.如图1,在边长为a的大正方形中,剪去一个边长为3的小正方形,将余下的部分按图中的虚线剪开后,拼成如图2所示的长方形.根据两个图形阴影部分面积相等的关系,可以列出的等式为.三、解答题15.原有长方形绿地一块,现进行如下改造,将长减少2m,将宽增加2m,改造后得到一块正方形绿地,它的面积是原绿地面积的2倍,求改造后正方形绿地的面积. 16.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数.引入负数后,如1,-3等是奇数,0,-2等是偶数.任意两个连续整数的平方差能确定是奇数还是偶数吗?写出你的判断并证明.17.如图所示,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上,冲去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8dm,r=1.6dm,他想知道剩余阴影部分的面积,你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗?请写出求解过程(结果保留π).18.已知圆环的面积为,其中大圆与小圆周长的和为,求圆环的宽度(大圆半径与小圆半径的差).19.已知x=+ ,y=﹣,求x2﹣y2的值.20.(1)填空:;;.(2)猜想:.(其中n为正整数,且).(3)利用(2)猜想的结论计算:①②四、计算题21.计算:(1)(2)22.计算.(1)(m-)(m+);(2)(-2y2-3x)(3x-2y2);(3)(x+3)(x2+9)(x-3).答案解析部分1.【答案】B【解析】【解答】解:,符合平方差公式.故答案为:B.【分析】相乘的两个二项式中,如果有一项完全相同,剩下的一项只有符号不同,那么这两个二项式相乘即可使用平方差公式进行计算,从而即可一一判断得出答案. 2.【答案】C【解析】【解答】A、能用平方差公式计算;B、能用平方差公式计算;C、不能用平方差公式计算;D、能用平方差公式计算;故答案为:C.【分析】利用平方差公式判断各选项即可。
七年级完全平方公式培优
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乘法公式1.乘法公式:平方差公式(a+b )(a -b )=a 2+b 2,完全平方公式:(a±b )2=a 2±2ab+b 22.运用平方差公式应注意的问题:(1)公式中的a 和b 可以表示单项式,也可以是多项式;(2)有些多项式相乘,表面上不能用公式,但通过适当变形后可以用公式. 如(a +b -c )(b -a+c )=[(b +a )-c )][b -(a -c )] =b 2 -(a -c )3.运用完全平方公式应注意的问题:(1)公式中的字母具有一般性,它可以表示单项式、多项式,只要符合公式的结构特征,就可以用公式计算;(2)在利用此公式进行计算时,不要丢掉中间项“2ab ”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍;(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.【典例评析】:例1、计算:(1)(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2; (2)(a+b-c)(a-b+c)例2、计算:(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算: (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算:(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1-221)(1-231)(1-241)(1-251)(1-261)例 5..已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少?【课堂精练(一)】:1、计算:(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ,则A= ;(5) 计算:12-22+32-42+…+992-1002;【培优拓展】:1、如果x-y=6,x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式:1×3=22-1;3×5=42-1,5×7=62-1,…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律:-----------------。
2019-2020学年人教版八年级数学上册14.2平方差与完全平方公式培优专题( 解析版 )
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2019-2020平方差与完全平方公式培优专题(含答案)一、单选题1.()()()()248323212121211+++⋯++的个位数是 ( ) A.4B.5C.6D.82.若229x kxy y -+是一个完全平方式,则常数k 的值为 ( ) A.6B.6-C.6±D.无法确定3.()()()()242212121 (2)1n++++=( )A.421n -B.421n +C.441n -D.441n +4.已知n 16221++是一个有理数的平方,则n 不能取以下各数中的哪一个 ( ) A.30B.32C.18-D.95.已知实数a 、b 满足a+b=2,ab=34,则a ﹣b=( ) A .1 B .﹣52C .±1D .±526.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案,已知该图案的面积为,小正方形的面积为4,若用表示小矩形的两边长,请观察图案,指出以下关系式中不正确的是( )A .B .C .D .二、填空题7.若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式,则m =__________.8.若m+1m =3,则m 2+21m=_____. 9.若x ﹣1x=2,则x 2+21x 的值是______.10.已知3a b +=,2ab =-, (1)则22a b +=____;(2)则a b -=___.11.已知1<x <2,,则的值是_____.12.先阅读后计算:为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成5﹣1后,连续运用平方差公式得:4×(5+1)×(52+1)=(5﹣1)×(5+1)×(52+1)=(52﹣1)×(52+1)=252﹣1=624.请借鉴小黄的方法计算:(1+12)×(1+212)×(1+412)×(1+812)×(1+1612)×(1+3212)×(1+6412),结果是_____. 13.如果实数a ,b 满足a+b =6,ab =8,那么a 2+b 2=_____.14.在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >,再沿虚线剪开,如图①,然后拼成一个梯形,如图②.根据这两个图形的面积关系,用等式表示是____________.15.若214x x x++=,则2211x x ++= ________________.16.已知(a ﹣2016)2+(2018﹣a )2=20,则(a ﹣2017)2的值是 .17.计算:(a+1)2﹣a 2=_____.三、解答题18.阅读材料:若2222440m mn n n -+-+=,求m ,n 的值.解:∵2222440m mn n n -+-+=,∴()()2222440m mn nnn -++-+=,∴()()2220m n n -+-=,∴()20m n -=,()220n -=,∴2n =,2m =. 根据你的观察,探究下面的问题:(1)2262100a b a b ++-+=,则a =__________,b =__________. (2)已知22228160x y xy y +-++=,求xy 的值.(3)已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足22248180a b a b +--+=,求ABC △的周长. 19.如图,将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.(1)用含m 或n 的代数式表示拼成矩形的周长;(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.20.已知7a b -=,12ab =-. (1)求22a b ab -的值;(2)求22a b +的值; (3)求+a b 的值; 21.已知120153a m =+,120163b m =+,120173c m =+,求222a b c ab bc ac ++---的值. 22.先化简,再求值:(a ﹣2b )(a+2b )﹣(a ﹣2b )2+8b 2,其中a=﹣2,b=12. 23.先化简,再求值:已知代数式 化简后,不含有x 2项和常数项. (1)求a 、b 的值;(2)求 的值.24.先化简,再求值:(a+b )2+b (a ﹣b )﹣4ab ,其中a=2,b=﹣12. 25.先化简,再求值:(x+y )(x ﹣y )+y (x+2y )﹣(x ﹣y )2,其中x=2+3,y=2﹣3.26.计算:211-2⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-3⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-4⎛⎫ ⎪⎝⎭×…×211-9⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-10⎛⎫⎪⎝⎭. 27.阅读题.材料一:若一个整数m 能表示成a 2-b 2(a,b 为整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,3=22-12,9=32-02,12=42-22,则3,9,12都是“完美数”;再如,M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.材料二:任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p、q是正整数,且p≤q).如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并且规定F(n)=pq.例如18=1×18=2×9=3×6,这三种分解中3和6的差的绝对值最小,所以就有F(18)=3162.请解答下列问题:(1)8______(填写“是”或“不是”)一个完美数,F(8)= ______.(2)如果m和n都是”完美数”,试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除,求F(n)的最大值. 28.如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.29.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0,c=3cm,求△ABC的周长.30.有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程. 方案二: 方案三:31.请认真观察图形,解答下列问题:如图①,1号卡片是边长为a 的正方形,2号卡片是边长为b 的正方形,3号卡片是一个长和宽分别为a ,b 的长方形.(1)若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张,可拼成一个正方形,如图②,能用此图解释的乘法公式是______________;(请用字母a ,b 表示)(2)若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张,可拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则能用此图解释的整式乘法运算是____________________;(请画出图形,并用字母a ,b 表示)(3)如果图中的a ,b (a >b )满足a 2+b 2=57,ab=12,求a+b 的值;(4)已知(5+2x )2+(3+2x )2=60,求(5+2x )(2x+3)的值.32.已知:x 2+xy +y =14,y 2+xy +x =28,求x +y 的值.33.已知a b 、是等腰△ABC 的边且满足2284200a b a b +--+=,求等腰△ABC 的周长。
平方差公式与完全平方公式培优
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平方差公式和完全平方公式复习题一、1.在以下多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是〔 〕A .〔x+1〕〔1+x 〕B .〔12a+b 〕〔b -12a 〕 C .〔-a+b 〕〔a-b 〕 D .〔x 2-y 〕〔x+y 2〕2.以下计算中,错误的有〔 〕①〔3a+4〕〔3a -4〕=9a 2-4;②〔2a 2-b 〕〔2a 2+b 〕=4a 2-b 2;③〔3-x 〕〔x+3〕=x 2-9;④〔-x+y 〕·〔x+y 〕=-〔x -y 〕〔x+y 〕=-x 2-y 2.A .1个B .2个C .3个D .4个3.假设x 2-y 2=30,且x -y=-5,那么x+y 的值是〔 〕A .5B .6C .-6D .-54.│5x-2y │·│2y-5x │的结果是〔 〕A .25x 2-4y 2B .25x 2-20xy+4y 2C .25x 2+20xy+4y 2D .-25x 2+20xy -4y 2二、计算:1.〔-2x-y 〕(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.〔-p 2+q 〕〔-p 2-q 〕;6.〔-x+2y 〕2;7.〔-2x-12y 〕2.8.(a+b)2-(a -b)2 9.〔12x+3〕2-〔12x -3〕2 10.〔-3x 2+2y 2〕〔______〕=9x 4-4y 4.11、〔a+b 〕(a-b)(a 2+b 2) 12、(a+2)(a-2)(a 2+4) 13、(x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)三、1.假设22)2(4+=++x k x x ,求k 值。
2.假设k x x ++22是完全平方式,求k 值3.假设〔x-5〕2=x 2+kx+25,那么k=〔 〕A .5B .-5C .10D .-104.如果x 2+4x+k 2恰好是另一个整式的平方,那么常数k 的值为〔 〕A .4B .2C .-2D .±25、如果x 2+kx+9恰好是另一个整式的平方,那么常数k 的值为〔 〕A .6B .-4C .3D .±6四.a-b=2,a-c=1,那么〔2a-b-c 〕2+〔c-a 〕2的值为〔 〕A .10B .9C .2D .12.假设a 2+2a=1,那么〔a+1〕2=_________.五.2+b 2=〔a+b 〕2+______=〔a -b 〕2+________.2.a+1a =3,那么a 2+21a 的值是 .3.〔1〕a+b=3,ab=2,求a 2+b 2; 〔2〕假设a+b=10,a 2+b 2=4,求ab 的值.六.1、解不等式〔3x-4〕2>〔-4+3x 〕〔3x+4〕. 2、(a+2b)(a-2b)- 2)3(b a -5.将以下各式转化成完全平方式形式(1)a 2-4a +4 = (2)a 2-12ab +36b 2= (3)25x 2+10xy +y 2=(4)16a 4+8a 2+1= (5) 16a 4-8a 2+1 = 〔6〕249114x x --= 七.1、观察以下各式的规律.12+〔1×2〕2+22=〔1×2+1〕2; 22+〔2×3〕2+32=〔2×3+1〕2;32+〔3×4〕2+42=〔3×4+1〕2; …〔1〕写出第2007行的式子;〔2〕写出第n 行的式子,并说明你的结论是正确的.八、计算:1、〔2+1〕〔22+1〕〔24+1〕〔28+1〕…〔264+1〕2、〔5+1〕〔52+1〕〔54+1〕〔58+1〕…〔5128+1〕。
平方差公式的应用 优质课件
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项相同,另两项相反.(平方差公式的运用条件)
2.右边结果是相同项整体的平方减去相反项整体
的平方.(公式的正确运用)
自主学习
利用平方差公式计算:
(1) (b+2a)(b-2a)
(2)(-x+2)(-x-2)
解:原式= b2 (2a)2 解:原式= ( x)2 22
b2 4a2
x2 4
自主学习
9x2
B. (3x 1)(3x 1) 3x2 1
C. (1 x)(1 x) x2 1 1-x2
D. (5ab 1)(5ab 1) 25a2b2 1
3.运用平方差公式进行计算
(1) (5m n)(5m n) (2) 2 3a2 3a2 2
解:原式=(n)2 (5m)2 解:原式= (3a2 )2 22
1、下列各式能否用平方差公式进行计算?
⑴ (7ab 3b)(7ab 3b) (能) ⑵ (8 a)(a 8) (不能) (3) ( x 3)( x 3) (不能) (4) (3 m)(m 3) (能)
2.下列各式计算正确的是 ( D )
36
A. (x 6)(x 6) x2 6
n2 25m2
9a4 4
1.5 平方差公式
学好数学的秘诀 多思考 多讨论 多解题
整式乘法中多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式中的每一项,再把所得的 积相加.
(a+b)(m+n) =am+an +bm +bn
计算下列各式,你能发现什么规律? ( x + 1 )( x – 1) = __x_2_-_1__ (x)2-12 ( m + 2)( m – 2 ) = __m__2 -__4_ (m)2-22 ( 2x + 1 )( 2x – 1 ) = _4_x_2_-_1_ (2x)2-12
平方差公式 课后培优 人教版数学八年级上册
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14.2.1 平方差公式一、单选题1.如图,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >,把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个阴影部分的面积,这个过程验证了公式( )A .()()22a b a b a b -=+- B .()()22a b a b a b +-=-C .()2222a b a ab b +=++D .()2222a b a ab b -=-+2.下列多项式相乘,能用平方差公式计算的是( ) A .()()22x x ++ B .()()x y x y -+- C .()()22x y x y -+D .()()x y x y --+3.如图,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形(0a b >>),将余下部分对称剪开,拼成一个平行四边形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a ,b 的恒等式是( )A .()2222a b a ab b -=-+B .()222a b a b -=-C .()()22a b a b a b -=+-D .()2a ab a ab -=-4.已知23x y x y +=⎧⎨-=-⎩,则代数式22x y -的值为( )5.()2(3)9(3)++-a a a 的计算结果是( )A .481+aB .481--aC .481a -D .481-a6.下列各式中能使用平方差公式的是( )A .()()2222-+x y y xB .232311112525⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭m n m nC .(23)(23)--+x y x yD .(43)(34)--+x y y x7.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( ) A .(4x ﹣3y )(﹣3y ﹣4x ) B .(2x 2﹣y 2)(2x 2+y 2) C .(a +b ﹣c )(﹣c ﹣b +a )D .(﹣x +y )(x ﹣y )8.下列多项式乘法,能用平方差公式进行计算的是( ) A .()()a b a b --+B .(2x 3y)(2x 3)zC .()()x y x y ---D .()()m n n m9.下列不能用平方差公式运算的是( ) A .(1)(1)x x +-B .(1)(1)x x -+--C .(1)(1)x x +-+D .(1)(1)x x ++10.已知a +b +3=0,且a ﹣b ﹣4=0,则a 2﹣b 2=( ) A .12B .﹣12C .24D .±1211.()()3232y y +-=( ) A .294y +B .294y -C .292y +D .292y -12.下列运算正确的是( )A .()211a a a +=+B .22(2)(2)2a b a b a b +-=-C .222()a b a b -=-D .22232a a a -=13.如图,在边长为 a 的正方形中减去一个边长为 b 的小正方形(a >b ),把余下的部分剪拼成一个长方形(如图),通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )A .()2222a ab b a b +++=B .2222a ab b a bC .()()22a b a b a b -=+-D .222a b a ab -=-14.计算(x ﹣y )(x +y )的结果是( ) A .x 2+y 2B .﹣x 2﹣y 2C .x 2﹣y 2D .y 2﹣x 215.下列各式中能用平方差公式计算的是( ) A .(2a +b )(a -2b ) B .(a -2b )(a -2b ) C .(a +2b )(-2b +a ) D .(2a -b )(-2a +b )二、填空题 16.填空(1)(2)(2)x x +-=________;(2)(25)(25)+-=x y x y ________;(3)()()-+=x ab x ab ________;(4)()()221212+-=b b ________.17.已知2a b -=,则224a b b --=______. 18.计算:()()2323x y x y -++-______. 19.已知221a b -=-,则()()20212021+-=a b b a ___________.20.计算:()()()248(21)212121++++=________.21.计算:3(22+1)(24+1)…(232+1)﹣1,它的结果的个位数字是 ___. 22.对于形如(a +b )的多项式和形如(a -b )的多项式相乘,我们可以直接写出运算结果,即乘法的完全平方差公式:(a +b )(a -b ) =_______________ 两个数的___与这两个数的___的积,等于这两数的平方差.三、解答题23.运用平方差公式计算:(1)2233x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2)(1)(1)xy xy +-;(3)(23)(32)a b b a -+ (4)(25)(25)b b ---;(5)20011999⨯;(6)9981002⨯. 24.计算:(1)5); (2).25.从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是______(请选择正确的一个). A .()2222a ab b a b -+=-B .()()22a b a b a b -=+-C .()2a ab a a b +=+(2)若22912x y -=,34x y +=,求3x y -的值;(3)计算:22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.26.从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是 ; (2)运用你从(1)写出的等式,完成下列各题: ①已知:3a b -=,2221a b -=,求a b +的值; ①计算:22222111111111123420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 27.(1)如图1所示,若大正方形的边长为a ,小正方形的边长为b ,则阴影部分的面积是______;若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成如图2所示的一个长方形,则它的面积是_________;(2)由(1)可以得到一个乘法公式是________;(3)利用你得到的公式计算:2202120222020-⨯.参考答案1.A解:①左图中阴影部分的面积是a 2−b 2,右图中梯形的面积是12(2a +2b )(a −b )=(a +b )(a −b ),①a 2−b 2=(a +b )(a −b ). 故选:A . 2.C解:A 、(x +2)(x +2)=()2+2x ,不符合平方差公式的特点,故选项A 错误; B 、(−x +y )(x −y )=()2x y --,不符合平方差公式的特点,故选项B 错误; C 、(2x −y )(2x +y )=224x y ,符合平方差公式的特点,故选项C 正确;D 、(−x −y )(x +y )=()2+x y - 不符合平方差公式的特点,故选项D 错误. 故选:C . 3.A解:根据正方形的图形可知,阴影部分的面积为22a b -, 平行四边形的底边长为a b +,高为-a b , 故平行四边形的面积为()()a b a b +-,由此可以得到一个关于a ,b 的恒等式是()()22a b a b a b -=+-,故选:C . 4.C解:①23x y x y +=⎧⎨-=-⎩,①x 2-y 2=(x +y )(x -y )=2×(-3)=-6. 故选:C . 5.C()2(3)9(3)++-a a a ()()2249981a a a =-+=-.故选C6.AA. ()()()()2222222244x y y x =x y x y =x y -+-+-,能使用平方差公式,符合题意;B. 232311112525⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭m n m n =232311112525m n m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2231125m n ⎛⎫-- =⎪⎝⎭,不能使用平方差公式,不符合题意;C. (23)(23)--+x y x y 2(23)(23)(23)x y x y x y -++=-+= ,不能使用平方差公式,不符合题意;D. 2(43)(34)(43)(43)(43)x y y x x y x y x y --+=---=--,不能使用平方差公式,不符合题意 故选A 7.D解:A 、原式=(−3y +4x )(−3y −4x ),可以运用平方差公式,故本选项错误; B 、符合两个数的和与这两个数差的积的形式,可以运用平方差公式,故本选项错误; C 、可以把−c +a 看做一个整体,故原式=(−c +a +b )(−c +a −b ),可以运用平方差公式,故本选项错误;D 、不能整理为两个数的和与这两个数差的积的形式,所以不可以运用平方差公式,故本选项正确. 故选:D . 8.C解:A. ()()a b a b --+ 不能用平方差进行计算,故不符合题意 B. (2x 3y)(2x 3)z 不能用平方差进行计算,故不符合题意C. ()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-,D. ()()m n n m 不能用平方差进行计算,故不符合题意 故选:C . 9.D解:A 、(x +1)(x -1)能用平方差公式计算,故此选项不符合题意;B 、(-x +1)(-x -1)能用平方差公式计算,故此选项不符合题意;C 、(x +1)(-x +1)能用平方差公式计算,故此选项不符合题意;D 、(x +1)(1+x )不能用平方差公式计算,故此选项符合题意; 故选:D . 10.B解:①a +b +3=0,a ﹣b ﹣4=0 ①a +b =-3,a ﹣b =4,①a 2﹣b 2=(a +b )(a -b )=-3×4=-12. 故选B . 11.B解:(3+2y )(3-2y ) =32-(2y )2 =9-4y 2. 故选:B . 12.D解:A 、()21a a a a +=+原计算错误,不符合题意;B 、22(2)(2)4a b a b a b +-=-原计算错误,不符合题意;C 、222()2a b a ab b -=-+原计算错误,不符合题意;D 、22232a a a -=正确,符合题意; 故选:D . 13.C解:左图的阴影部分的面积为a 2-b 2, 右图的阴影部分的面积为(a +b )(a -b ), 因此有a 2-b 2=(a +b )(a -b ), 故选:C . 14.C解:()()x y x y -+22x y =-,故选:C . 15.C解:A 、不是两数之和与两数差的积,所以选项不符合; B 、不是两数之和与两数差的积,所以选项不符合;C 、是两数之和与两数差的积,能使用平方差公式,所以选项符合;D 、不是两数之和与两数差的积,所以选项不符合; 故选:C .16.24x - 22425x y - 222-x a b 4144-b (1)(2)(2)x x +-=24x -;(2)(25)(25)+-=x y x y 22425x y -; (3)()()-+=x ab x ab 222-x a b ;(4)()()221212+-=b b 4144-b .故答案为:24x -;22425x y -;222-x a b ;4144-b 17.4 解:①2a b -=, ①224a b b --()()4a b a b b =+--2()4a b b =+-224a b b =+- 22a b =-2()a b =-4=,故答案为:4. 18.224129x y y -+-解:原式=[(x -(2y -3))][x +(2y -3)] =x 2-(2y -3)2 =x 2-4y 2+12y -919.1解:20212021()()a b b a +-,20212021()[()]a b a b =+--, 20212021()()a b a b =-+-, 2021[()()]a b a b =-+-, 22()()1a b a b a b -=+-=-,∴原式1(1)1=-⨯-=.故答案为:1. 20.1621-()()()248(21)212121++++=(2-1)()()()248(21)212121++++ =()()()()224821212121-+++ =()()()448212121-++ =()()882121-+=1621-.故答案为:1621-. 21.4解:3(22+1)(24+1)…(232+1)-1 =(22-1)(22+1)(24+1)…(232+1)-1 =264-1-1 =264-2, ①2的尾数是2, 22=4的尾数是4, 23=8的尾数是8, 24=16的尾数是6, 25=32的尾数是2, …其尾数为:2,4,8,6不断的循环,①264的尾数为6,①264-2的个位数字为:6-2=4.故答案为:4.22.a 2- b 2 和 差23.(1)2249x y -;(2)221x y -;(3)2249a b -;(4)2254b -;(5)3999999;(6)999996. 解:(1)2233x y x y ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =2223x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ =2249x y -;(2)(1)(1)xy xy +-()221xy =-=221x y -(3)(23)(32)a b b a -+()()2223a b =-=2249a b -(4)(25)(25)b b ---()()2252b =--2254b =-(5)2001×1999=(2000+1)×(2000−1)=2220001-=4000000−1=3999999(6)998×1002=(1000−2)×(1000+2)=2210002-=999996.(a −b )=22a b -.24.(1)13--(2)2.解:(1)5)215=+215=-13=--(2)22=-53=-2=.25.(1)B ;(2)33x y -=;(3)10112021解:(1)根据阴影部分面积相等可得:()()22a b a b a b -=+-,上述操作能验证的等式是B ,故答案为:B ;(2)①()()2293312x y x y x y -=+-=,①34x y +=①33x y -=(3)22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111223320212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3142532022202022334420212021=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯ 1202222021=⨯ 10112021= 26.(1)22()()a b a b a b -=+-;(2)①7;①20214040解:(1)图1阴影部分的面积为22a b -,图2阴影部分的面积为()()a b a b +-,二者相等,从而能验证的等式为:22()()a b a b a b -=+-,故答案为:22()()a b a b a b -=+-;(2)①3a b -=,2221a b -=,22()()a b a b a b -=+-, 21()3a b ∴=+⨯,7a b ∴+=; ①2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420192020-⨯-⨯-⨯⋯⨯-⨯- 1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233442019201920202020=-+-+-+⋯-+-+ 13243520182020201920212233442019201920202020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 1202122020=⨯ 20214040=. 27.(1)a 2-b 2,(a +b )(a -b );(2)(a +b )(a -b )=a 2-b 2;(3)1解:(1)图①阴影部分的面积为:a 2-b 2,图①长方形的长为a +b ,宽为a -b ,所以面积为:(a +b )(a -b ),故答案为:a 2-b 2,(a +b )(a -b );(2)由(1)可得:(a +b )(a -b )=a 2-b 2,故答案为:(a +b )(a -b )=a 2-b 2;(3)20212-2022×2020=20212-(2021+1)(2021-1)=20212-20212+1=1.。
七年级下平方差公式和完全平方公式基础培优专练.doc
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七年级下平方差公式和完全平方公式基础
培优专练
我们要掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程,公式的变形,以及公式的辨识,公式的逆用等。
我们在利用平方差公式计算的时候,要找准公式里面的a 和b。
刚开始学习这两个公式的时候,同学们也不要死记硬背,一定要在理解的基础上,进行记忆,自己多推倒几次,使用的多了自然而然的就记住了。
在第21题中,a²-4b²,就可以看作a²-(2b)².这也是许多同学容易出错的一个地方。
对于例如36题这样的题目。
大家需要熟练掌握x+y,xy,x方加y方。
x方减y方之间的关系,在很多题目当中,需要经常应用。
平时的学习当中一定要养成良好的学习习惯,对于错题最好整理一个错题本,把他们归纳到一起,以便以后复习的时候使用。
这样才能很快的提升自己的学习成绩。
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平方差公式及其应用培优版
一、单选题
1.下列乘法中,能应用平方差公式的是( )
A .()()x y y x --
B .(23)(23)x y y x -+
C .()()x y y x --+
D .(23)(32)x y y x ---
4.利用平方差公式计算(25)(25)x x ---的结果是
A .245x -
B .2425x -
C .2254x -
D .2425x + 7.248(21)(21)(21)(21)++++…32(21)++1 的个位数字为( )
A .2
B .4
C .6
D .8
8.计算24(1)(1)(1)(1)a a a a +-++的结果是
A .81a -
B .841a a -+
C .8421a a -+
D .以上答案都不对 10.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b ),如图(1),把余下的部分拼成一个矩形如图(2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )
A .222()2a b a ab b +=++
B .222()2a b a ab b -=-+
C .22()()a b a b a b -=+-
D .22(2)()2a b a b a ab b +-=+- 11.如图,在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形(a >b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是( )
A .a 2﹣b 2=(a+b)(a ﹣b)
B .(a+b)2=a 2+2ab+b 2
C .(a ﹣b)2=a 2﹣2ab+b 2
D .a 2﹣ab =a(a ﹣b)
13.计算20122﹣2011×2013的结果是( )
A .1
B .﹣1
C .2
D .﹣2
14.计算()()()()2244b a a b a b a b -+++的结果是( )
A .88a b -
B .66a b -
C .88b a -
D .66b a - 15.已知m 2-n 2=4,那么(m +n)2(m -n)2的值是( )
A .4
B .8
C .16
D .32
16.当3x =,1y =时,代数式()()2
x y x y y +-+的值是( ) A .6 B .8 C .9 D .12
17.已知2a b -=,则224a b b --的值是:( )
A .-8
B .2
C .4
D .6 二、填空题
21.计算:若4a b +=,1a b -=,则22(1)(1)a b +--的值为________.
23.1111()()2332
a b b a ---= _________
25.如果(2x+2y+1)(2x+2y-1)=15,那么x+y 的值是______.
三、解答题
26.运用平方差公式计算:
(1)(4)(4)ab ab +-; (2)(41)(41)a a ---;
(3)224(2)(2)(4)n n n y y y -++; (4)24(21)(21)(21)(21)n L ++++.
27.先化简,再求值:(x +2y )(x ﹣2y )+(20xy 3﹣8x 2y 2)÷
4xy ,其中x =2018,y =2019.
28.化简.
(1)( x- y)( x+ y) ( x 2+ y 2) ( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16); (2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1).
29.已知x 与y 是互为相反数,且( x +2)2- ( y +1)2= 4 ,求x、y 的值.
30.运用乘法公式计算:(a-b-3)(a-b+3);
33.如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形.
(1)设如图1中阴影部分面积为S1,如图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
34.如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.
35.乘法公式的探究及应用.
探究问题
图1是一张长方形纸条,将其剪成长短两条后刚好能拼成图2.
(1)(2)
(1)图1中长方形纸条的面积可表示为_______(写成多项式乘法的形式). (2)拼成的图2阴影部分的面积可表示为________(写成两数平方差的形式). (3)比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式:____.
结论运用
(4)运用所得的公式计算:
()()
2x y2x y
+-=________;
2121
m
3232
m
⎛⎫⎛⎫
---
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
=________.。