第5章 控制算法的直接数字设计

m1z1 m2 z2 ms zs
g z(l2) l2
)(1
m1 z 1
m2 z2
)
m1zl m2 zl1 ml z ml1 ml2 z1 (gl1 gl2 z1 )(1 m1z1 m2 z2 )
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显然要使D(z)可实现 必须使: m1 m2 ml 0 则，M(z)应具有以下形式：
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5.2 参数最优化的低阶控制算法 5.2.1 与对象结构无关的控制器设计 5.2.2 与对象结构有关的控制器设计
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5.2.1 与对象结构无关的控制器设计
设系统广义开环z传递函数为
G(z)
Q(z) P(z)
q0 q1z1 qs zs p0 p1z1 pn zn
zd
假定：（1）G(z)不含积分环节，即: P(z) z1 0
D(z)
A(z) B(z)
a0
a1z1 1 z1
am z m
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分析：
①当m=1时 控制算法为:
D(z)
a0 1
a1z 1 z 1
u(k) u(k 1) a0e(k) a1e(k 1)
u(k) (K p Ki ) e(k) K p e(k 1)
a0
a1
②当m=2时
D(z)
a0
a1z1 a2z2 1 z1
M (z)W (z) G(z)
3.774(1 z1)(1 0.286z1) (1 2.78z1)(1 0.2z1)
3.774 16.1z1 46.96z2 130.985z3
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●输出序列y(k)：0,1,1,…，一拍达到稳态。 ●控制序列u(k)：3.774,-16.1,49.96,
-130.985,…，振荡发散。 ●即输出量y(k)在采样点之间是振荡发散的，
W (z)
E(z) D(z)
它们具有+ 共_ 同的
z变换形式:
u(z) G(z)
y(z)
W
(z)
(1
A( z ) z1)m
其中m为正整数，A(z)为不含以z=1为零点的z-1 多项式,由零静差要求有:
lim e(iT ) lim(z 1)E(z) lim(z 1)[1 M (z)]W (z)
i
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设对象有l个周期的纯滞后，传递函数为：
G(z) gl1z(l1) gl2z(l2) ， (l 0)
期望闭环传递函数： M (z) M1z1 M 2z2 M s zs 求得D(z)为：D(z) U (z) 1 M (z)
E(z) G(z) 1 M (z)
D(z)
( gl 1 z (l 1)
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e() lim(z 1)E(z) z 1
lim( z 1
z
1)
P(
P(z)B(z) z)B(z) Q(z)
A( z)
(
z
z 1)
lim z 1
P(z)B(z)z P(z)B(z) Q(z)
A( z )
0
等效于B（1） 0
即D(z)中至少包含一个z=1极点，因此在零静 差条件下， D(z)的最简结构形式为：
第5章 控制算法的直接数字设计
5.1 基本概念 5.2 参数最优化的低阶控制算法 5.3 最少拍随动控制系统设计 5.4 最少拍无波纹控制系统设计 5.5 惯性因子法 5.6 非最少的有限拍控制 5.7 达林算法 5.8 达林算法与PID算法的关系
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5.1 基本概念
一、模拟化设计方法
在对象特性不确定情况下，充分利用连续域 中成熟的控制规律，并将其移植到计算机上予以 实现，但该方法要求较小的采样周期T，只能实 现较简单的控制规律，控制器参数一般要通过现 场试验确定。 二、直接数字设计方法
●对于一般对象设计最少拍控制器时，应 考虑如何选择合适的期望闭环M(z)，以保证 D(z)的可实现性和稳定性。 2、最少拍控制器D(z)可实现性
▲所谓可实现性：
是指在控制算法中，不允许出现未来时刻 偏差项。除了在某些预测算法中可近似使用偏 差预测外，一般未来时刻偏差是未知的，因此 要求D(z)分子中不能有z的正幂次项。
结论：该例表明，在最少拍设计中，不仅要保证y(k) 在采样点上稳定，还要保证u(k)收敛，才能使
闭环系统在物理上真实稳定。
计算D(Z)参数。由于D(z)阶次为任意，与对象 结构无关，所以可考虑设计较低阶控制器。
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（2）与对象结构有关设法计 即依据系统某一期望的闭环响应M(z)或 期望的误差响应等指标设计控制器D(z)，因 此D(z)的结构将依赖于对象G(z)。 2、最少拍设计法 3、惯性因子设计法 4、达林算法设计法
（1）单位阶跃输入 对于该系统，如按照表5-1设计M(z)有:
M (z) z1
最少拍控制器为:
D(z)
1 G(z)
M (z) 1 M (z)
3.774(1 z1)(1 0.286z1) (1 2.78z1)(1 0.2z1)
Y (z) M (z)W (z) z1 z2 z3
U (z)
M (z) Ml1z(l1) Ml2z(l2)
由此可知：最少拍控制器设计中，期望 M(z)要在考虑对象纯滞后之上加以确定，即：
M (z) zl M1(z) M1(z) m1*z1 m2*z2 m*p z p
由此得到的D(z)即为可实现最少拍控制器。
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3、最少拍控制器稳定性
情况1：开环对象自身稳定，但离散广义对 象存在单位园外的零点，造成控制输出不稳定。
G(
z)
(1
z
1
)Z
[
1 s
G0
(s)]
指导思想： 考虑G(z)已知，作为讨论出发点，再
根据有关约束条件最后确定控制器
D(z)。
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离散系统中控制器D(z)的确定方法
M (z)
W (z)
E(z) D(z) u(z) G(z)
y(z)
+_
闭环离散控制系统
1、参数最优化设计法 （1）与对象结构无关设计法 首先确定D(Z)结构，再通过某一优化指标
z1
z1
lim( z
z 1
1)
[1 M (z)]A(z) (1 z1)m
0
即必须有 1 M (z) (1 z1)m F(z)
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设F(z)为z-1多项式:
F(z) f0 f1z1 f2z2 fn zn
由此求出M(z):
M (z) 1 (1 z1)m F(z)
1 (1 z1)m ( f0 f1z1 fn zn ) 显然为使M(z)可实现，应使f0=1
最少拍控制定义： 离散控制系统对于某种特定输入信号的响
应，能够在最少个采样周期内达到无静差的稳 定状态。给定期望闭环传递函数M(z)为：
M (z) m1z 1 m2 z 2 m p z p
式中p是可能情况下的最小正整数，表明闭 环系统的单位脉冲响应在p个周期后为零，即闭 环系统在p拍之后达到稳态，准确跟踪输入。
（为下面分析e()时，保证p(1)0，使B(1)=）
(2)控制器D(z)一般形式为
D(z)
A( z ) B(z)
a0 a1z1 am zm b0 b1z1 bl zl
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为保证D(z)可实现，则应满足以下条件：
① b00（一般b0=1避免出现未来时刻偏差）； ② a00（为使D(z)不含纯迟延）
●根据Jmin来确定ai，当ai确定之后，控制算法便 可在线实现。
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5.2.2 与对象结构有关的控制器设计
设离散系统闭环z传递函数为：
M (z) Y (z) G(z)D(z) W (z) 1 G(z)D(z)
如果给定了期望闭环M(z)的特性，就可 求出相应的控制器：
D(z) U (z) 1 M (z) E(z) G(z) 1 M (z)
1、最少拍闭环传递函数M(z)的确定
一般情况，常用典型输入信号为：
单位阶跃输入 单位速度输入 单位加速度输入
W (t) 1(t),
W
(
z)
1
1 z
1
W (t) t ,
W
(z)
Tz 1 (1 z1)2
W (t) 1 t 2 , 2
W
(z)
T
2 z1(1 z1) 2(1 z1)3
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M (z)
在离散域（Z域）中，根据采样理论，直接 从对象特性出发设计控制器。较模拟化方法更具 一般性，在离散域中直接导出相应控制算式，并 由软件实现，可实现由简单到复杂的控制规律。
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设离散系统广义被控对象为
G(z)
u
T
1 eTs s
y G0 (s)
离散系统广义对象z传递函数
经采样保持后得广义对象传递函数为：
◆一般期望D(z)有较低的阶次，其最简形式为：
m=l=0，则D(z)＝a0（比例控制）。 ◆对于有自平衡对象，当给定值W发生变化时， 会产生静差，即:
E(z)
1
W (z)
P(z)B(z)
W (z)
1 D(z)G(z)
P(z)B(z) Q(z) A(z)
◆当W(z)产生阶跃变化，即W(z)＝1/(1-z-1)时， 若要消除静差，则应满足条件：
a0＋a1＋a2 Kp
Ki
Kp
T Ti
、Kd
Kp
Td T
a0
K
p
(1
T Ti
Td T
)、a1
K
p
(1
2
Td T
)、a2
Kd
Kp
Td T
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控制器参数确定:
◆当选定D(z)结构后，即可按照某一优化目标函 数确定控制器参数。例如，在离散控制系统中常 把采样时刻误差的平方和最小化作为优化目标。