最小树问题VS最短路问题

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最小支撑树与最短路问题（NO25）

(k) ij
iikj((kk11)),,若若LLiij(j(kk))
L (k1) ij
L (k1) ij
第三步：当k=p时终止计算，否则，返回第二步。
14
例题5: 用Warshall-Floyd方法求下图中各顶点间的最短路，其中弧（边）旁的数字表示弧（边）长。
0 3 4 9
0
4
2
L (0) ij
4
1
0 1 6
3
2
0
1
5 0 3
3 3 0
v6 3 v5
25
0 3 2 4 4 4
0
4
4
1
1
1
0 1 6 9
d2
W
d1
3
2
0
1 * 1
5 0 3 3 3
3 3 0 0 0
0 3 2 4 4 4
L (o) ij
ij
(vi , v j ) A
ij(o)=j (i,j=1,2,…p)
13
第二步：k=r(1rp)时，L(k)中第k行和第k列元素保持不变，其它元素按下式计算，并填入L(k)=(Lij(k))中：
Lij(k)=min{Lij(k-1),Lik(k-1)+Lkj(k-1)}
相应地，(k)的各元素按下式变化：
8
例题2 用Dijkstra标号法求下图由v1到各顶点的最短路。
4
7 2
6 2
1 3 24
547
4 35
1
2
37
6
5
4
7 2
13 4
23 4
35
6 2
5 7 4 7 10

最小树问题

6.3.1 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm, 1959) 计算两节点之间或一个节点到所有节点之间的最短路令 dij 表示 vi vj 的直接距离(两点之间有边)，若两点之间没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边，则 dji = ；令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点 • 对每个节点，用两种标号：T和P，表示从始点到该节点的距离，P是最短距离(权)，为永久标号，T是目前路径的距离，是临时标号。 • 通过不断改进T值，当其最小时，将其改为P标号。 • 开始时，令始点有P=0的P标号，其它节点为T=+ .
•（3）Kruskal 算法：将图中所有边 v1 按权值从小到大排列，依次选 1 所剩最小的边加入边集 T，只 v8 要不和前面加入的边构成回路， 5 直到 T 中有 n1 条边，则 T 是最小生成树
v7
4
v2
1
v3
2
4 5
1
3
4
1
v4 5 v5
v0 2 3 v6 2 4
图的矩阵表示
将图的几何形状转化为代数矩阵形式，可大大方便计算机对图的处理与运算。 1、无权图的矩阵表示：
6.2.3 最小生成树
v5 9 v6 17 10 8 7 11 v4 16 v3 9.5 v2 v1 10

12 7 19.5

10 16 11 10 17 10 9.5 19.5 16 9.5 7 12 7 8 7 11 10 8 9 17 19.5 12 7 9
寻找连通图支撑树的方法有“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e4 e7 e8 e6 v5

运筹学上机试题5-图论

四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。

v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。

试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。

v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。

vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。

教学课件：第五章-最小树问题

最小树问题的实际应用
最小树问题在现实生活中具有广泛的应用，如电路设计、网络路由、物流配送等。通过解决最小树问题，可以优化网络结构、降低成本、提高效率，为实际问题的解决提供重要的理论支持和实践指导。
最小树问题的未来研究方向
算法优化与改进
尽管已经存在许多有效的算法用于解决最小树问题，但随着问题规模的扩大和复杂度的增加，需要进一步优化和改进现有算法，以提高求解速度和精度。
04 最小小生成树问题是在最小生成树问题的基础上，给每条边赋予一个权重值，目标是寻找一棵权值最小的生成树。
详细描述
在带权重的最小生成树问题中，每条边都有一个关联的权重，表示该边的长度或代价。算法需要选择一组边，这些边能够连接所有节点并且总权值最小。常见的带权重的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
理论分析与证明
对于最小树问题的求解算法，需要深入的理论分析和证明，以揭示算法的内在机制和性能。未来可以进一步研究算法的理论基础和数学证明，为算法的设计和分析提供更严格的依据。
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感谢您的观看
05 总结与展望
最小树问题的研究现状与成果
最小树问题的定义和性质
最小树问题是一类组合优化问题，旨在寻找一棵具有最小权值的树，该树连接给定的顶点集。最小树问题在计算机科学、运筹学和图论等领域具有广泛的应用。
最小树问题的研究进展
近年来，最小树问题的研究取得了重要的进展。研究者们提出了许多有效的算法和近似算法，用于解决最小树问题及其变种。这些算法在理论和实践方面都取得了重要的突破，为解决实际问题提供了有效的工具。
教学课件：第五章-最小树问
目录
• 引言 • 最小树问题的算法 • 最小树问题的实例分析 • 最小树问题的扩展问题 • 总结与展望

最小树问题VS最短路问题

2
i 1 j 1 8 8
a67
x12 x13 x24 x34 3; x34 x36 x47 x67 3; x47 x45 x78 x58 3; x x x x x x 5; 12 13 24 47 36 67 st x x x x x x 5; 36 34 45 58 78 67 x12 x13 x36 x67 x78 x58 x45 x24 7; x 7; ij ij xij 8； j=1ٛ 8) 0或1；(i=1ٛ
最小树问题 • 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短
最短路问题（SPP-Shortest Path Problem）
• 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地. 从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ • 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地 6 B D 的最短路. 6 5
A 7 C 4至v7点的最短路问题归结为求解整数规划问题。 1
v2
v5 v4 2 3 3 4 v6 4 v7
最短路问题
• 城市中的管道铺设，线路安排，工厂布局，设备更新，选址问题
min Z aij xij
i 1 j 1 7 7
9
v1
5 v3
2 8
8
1, 最短路径弧(i, j ); 解：设xij 0, 否则
7
x12 x13 1; x12 x 23 x 24 x 25; x13 x 23 x34 x36; x 24 x34 x 45 x 46; st x 25 x 45 x65 x57; x36 x 46 x65 x 67; x57 x67 1; xij 0或1, (i 1…7；j=1

10.3_最短路问题

B）Dijkstra算法和Ford算法都适用于任意边的情况 C）Dijkstra算法仅适用于所有边的权非负的情况，Ford算
法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等各个领域。

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8

最小树问题

i 2在 , X 2 中e 2 选 ,4 边 E 3 E 2 e 2 4e 1,e 2 2,e 3 2,4 3 X X 2 v 4 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,X 3 v 5 ,v 6 ,
i 3在 , X 3 中e 4 选 ,5 边 E 4 E 3 e 4 5e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,5 4 X X 3 v 5 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,X 4 v 6 ,
i 4在 , X 4 中e 5 选 ,6 边 E 5 E 4 e 5 6e 1,e 2 2,e 3 2,e 4 4,e 5 5,6 5 X X 4 v 6 v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 ,v 6 V ,
设v1是T的一个悬挂点，考虑图T-｛v1｝，则图T｛v1｝的顶点数为K，由归纳假设可得：
，因为 m T(v1) nT(v1)1 nT(v1) nT 1 ， nT(v1) nT 1，则 mT(v1) mT1 ，证毕。
定理3：图T是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。
证明：必要性因T是连通的，故任两个点之间至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链的话，那么图T中含有圈，这与树的定义矛盾，从而任两个点之间恰有一条链。
7
4 v6
5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4
v5
4
3
4 v6 v4
v3 5
6
v1 1
7
5
v2 2
v5
v3 5
4
6
3
v1 1
7
4 v6 5
v4
v2 2
v5
4
3
4 v6 v4

最小树与最短路问题

w( p )
aij p
w
ij
求一条从vs到vt的最短路径，即求从vs到vt的一条权和最小的路p0使
w( p0 ) min w( p)
p
称p0为vs到vt的最短路，w(p0)为vs到vt的距离，记d(vs,vt) 注：在有向图中d(vs,vt)与d(vt,vs)不一定相同 3、求最短路的方法 Dijkstra方法当所有道路长wij0时，有以下结论：设G=(V,E)，若S为V的真子集，且vsS，记 S V \ S
2、最小生成树模型
一个无圈的连通图称为树。设图G为具有n顶点的树，则下列6个结论等价 ①、G为无圈的连通图。
②、G为连通的且具有n-1条边。 ③、G为连通的且每条边为一割集。
④、G无圈且具有n-1条边。 ⑤、G任意两个顶点之间恰有一条路。 ⑥、G为最小连通图。
若图T=(V,E')是图G=(V,E)的生成子图，且T是一棵树，则称T是G的一棵生成树。
若p vs vi v j是G中从vs到S的最短路则有： vi S , v j S , vs到vi的最短路为 vs沿p到vi的路。
1 ）vi S , v j S , 为显然的
2）反证：若不是，设Q为 vs到vi的最短路，则可令p 为vs沿Q到vi，再从vi沿p到 vj的路，则p’ 的权就比p的权小，这与p为vs 到¯ S的最短路矛盾.
图的矩阵表示
一个有m条边的n阶无向图G的关联矩阵A = (aij )n×m , 其中 1, 若vi与ej关联;
aij 0, 若vi与ej不关联.
无向图的关联矩阵每列的元素中有且仅有两个1.
1 1 A 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1

树与最短路

例哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城市， Pregei河把该城分成两部分一个城市， Pregei 河把该城分成两部分，河把该城分成两部分，河中有两个小岛，十八世纪时，河中有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥，及小岛之间共有七座桥，当时人们提出这样的问题：有没有办法从某处（这样的问题：有没有办法从某处（如 A ）出发，出发，经过各桥一次且仅一次最后回到原地呢？原地呢？
定义（最小树）定义（最小树）在赋权图G 在赋权图G中，一棵生成树所有树柱上权的和，称为生成树的权。的和，称为生成树的权。具有最小权的生成树，称为最优树（或最小树）。生成树，称为最优树（或最小树）。最小树在优化电力网，电话网，水渠灌最小树在优化电力网，电话网，溉网等方面有很大的实用意义！溉网等方面有很大的实用意义！求最小树的方法有破圈法避圈法。求最小树的方法有破圈法和避圈法。破圈法和
例
23 v6 28 v5
v1 1
v2 20 4 v7 9 25 17 16 v4 15 v3
36
3
破圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25 1
v2 20 4 v7 9 16 17 v4 v3 15
3
v1 23 v6 28 v5 25 1
v2 20 4 v7 9 16 17 v4 v3 15
• 木器厂有六个车间，办事员经常要木器厂有六个车间，到各个车间了解生产进度。到各个车间了解生产进度。从办公室到各车间的路线由图1给出。室到各车间的路线由图1给出。
找出点1(办公室)到其它各点(车间) 找出点1(办公室)到其它各点(车间)的最短路 1(办公室

图论经典问题

图论哥尼斯堡七桥问题：图论发源于18世纪普鲁士的哥尼斯堡。

普雷格河流经这个城市，河中有两个小岛，河上有七座桥，连接两岛及两岸。

如图所示，当时城里居民热衷于讨论这样一个问题：一个人能否走过这七座桥，且每座桥只经过一次，最后仍回到出发点。

将上面问题中的两座小岛以及两岸用点表示，七座桥用线（称为边）表示，得到下图：于是，上述问题也可叙述为：寻找从图中的任意一个点出发，经过所有的边一次且仅一次并回到出发点的路线。

注意：在上面的图中，我们只关心点之间是否有边相连，而不关心点的具体位置，边的形状以及长度。

一、基本概念：图：由若干个点和连接这些点中的某些“点对”的连线所组成的图形。

顶点：上图中的A ，Ｂ，Ｃ，D ．常用表示。

n 21 v , , v , v 边：两点间的连线。

记为（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ｃ）．常用表示。

m 21e , , e , e次：一个点所连的边数。

定点ｖ的次记为d(v)．图的常用记号：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中，}{v V i =，}{e E i =子图：图Ｇ的部分点和部分边构成的图，成为其子图。

路：图Ｇ中的点边交错序列，若每条边都是其前后两点的关联边，则称该点边序列为图Ｇ的一条链。

圈（回路）：一条路中所含边点均不相同，且起点和终点是同一点，则称该路为圈（回路）。

有向图：，其中(,)G N A =12{,,,}k N n n n = 称为的顶点集合，A a 称为G 的弧集合。

G {(,)ij i j }n n ==若，则称为的前驱，为n 的后继。

(,)ij i j a n n =i n j n j n i 赋权图（网络）：设是一个图，若对G 的每一条边（弧）都赋予一个实数，称为边的权，。

记为。

G (,,)G N E W =两个结论：１、图中所有顶点度数之和等于边数的二倍；２、图中奇点个数必为偶数。

二、图的计算机存储：1. 关联矩阵简单图：，对应(,)G N E =N E ×阶矩阵()ik B b =10ik i k b ⎧=⎨⎩点与边关联否则简单有向图：，对应(,)G N A =N A ×阶矩阵()ik B b =110ik ik ik a i b a i ⎧⎪=−⎨⎪⎩弧以点为尾弧以点为头否则2. 邻接矩阵简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i j a ⎧=⎨⎩点与点邻接否则简单有向图：，对应(,)G N A =N N ×阶矩阵()ij A a =10ij i ja ⎧=⎨⎩有弧从连向否则5v 34v01010110100101011110101000110111101065432166654321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×v v v v v v A v v v v v v3. 权矩阵：简单图：，对应(,)G N E =N N ×阶矩阵()ij A a =ij ij i j a ω⎧=⎨∞⎩点与点邻接否则123456781234567802130654.5061002907250473080 v v v v v v v v v v v v v v v v 48∞∞∞∞⎡⎤⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞∞⎢⎥∞∞∞∞∞∞⎢⎥⎣⎦三、图的应用：例：如图，用点代表7个村庄，边上的权代表村庄之间的路长，现在要在这7个村庄中布电话线，如何布线，使材料最省？分析：需要将图中的边进行删减，使得最终留下的图仍然连通，并且使总的权值最小。

最小树最短路以及动态规划思想.

3
v0
10
v1
21
11
5
19
n -3
v5 33 14 6
v2 6
v4
18
v3
100
10 0
5
6
19
1211

5 6
0 6
6 0
18
14
1291
11

18 14
0 33
303
Hu Junfeng
27
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {1,5,11} , {3,4,18}}
18
14
1291
11

18 14
0 33
303
26
mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} } mst[5]={{0,1,10}, {1,2,5}, {1,3,6}, {3,4,18}, {1,5,11} }
v0
10
v1
21
11
5
v5
19 33 14 6
v2
6
v4
18
v3
Hu Junfeng
0 10 19 21
10 0 5 6 11
5 0 6
6 6 0 18 14
19 21
11

18 14
0 33
33 0
24
① n=6，只有顶点v0在最小生成树中。 mst[5]={{0,1,10}, {0,2,∞}, {0,3,∞}, {0,4,19}, {0,5,21} }
图第二讲

3最短路问题

)
T
(v4
)
1,
S1 S0 {v4} {v1, v4}, k 4
v1
v2
62 3 v3
1
v5 2
v9
6
6
10
3
3
v1
2
4 v8
4
v4
10
v6 2 v7
1 v4
i 1 : continued
(2) (v4 , v6 ) A且v6 S1
T (v6 ) T (v6 )
M p(v4 ) w46 110 11,
S0 {v1}, P(v1) 0, (v1) 0;T (vi ) ,
(vi ) M (i 2,3,...,9),k 1.
v2
(2)(v1, v2 ) A且v2 S0 6 2
T (v2 ) p(v1) w12 , v1
3 v3 2
同 T理(v2，) P(v1) w12 6,(v2 ) 1; v4
个顶点是vm; ＊ λ(v) =M表示D中不含从vs到v的路; ＊ λ(v) =0 表示v=vs.
2、最短路算法(Dijkstra算法)
（０）初始化:i=0,令S0={vs},P(vs)=0, λ(vs) =0,对每一个v≠vs,令T(v)=+∞,λ(v) =M;k=s(当前点).
（１）判断：如果Si=V,算法终止。此时,对每个 v∈Si，d(vs,v)=P(v)；否则转入(2)．
1
v5 2
6
6
10 4 3
4
10
v6 2 v7
T (v3 ) p(v1) w13 T (v3 ) p(v1) w13 3,(v3 ) 1;
T(v4) p(v1) w14 T(v4) p(v1) w14 1,(v4) 1;

图与网络分析试题及答案

图与网络分析试题及答案一、填空题1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。

3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。

4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。

5．任一树中的边数必定是它的点数减1。

6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。

7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。

8．求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。

二、单选题1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。

A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。

B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。

C图中任意两点之间必有边。

D图的边数必定等于点数减1。

2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。

A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中，去掉一条边仍为树。

3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。

A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。

4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。

A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。

5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。

A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。

B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。

C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。

D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。

只要不改变点与点的连接关系。

6．关于最小树，以下叙述(B)正确。

A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。

图论第3章-树与最短路

② ③ 先证G中无回路。若G中存在某个结点 v上的自回路， uV ，由条件知 u 到 v 存在一条路 L1 ： u…v ，因为 v 上有自回路，所以 u 到 v 存在另一条路L2：u…vv，这与G中每一对结点之间存在惟一的路矛盾。若G中存在长度大于等于2的一条回路，则回路上两个结点之间存在不同的路。这与条件是矛盾的。所以G中无回路。以下用归纳法证明m=n–1。当 n=1 时， G 为平凡图， m=0=1–1=n–1 。结论成立。设 n≤k 时，结论成立。下证 n=k+1 时，结论也成立。
最小生成树设无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之和称为T的权，记作 W(T)。G的所有生成树中权最小的生成树称为 G的最小生成树。求最小生成树的算法很多，我们只介绍避圈法（克鲁斯克尔Kruskal算法）。
Kruskal算法 — 一种求最小生成树的算法
设n阶无向连通带权图G=<V,E,W>有m条边,不妨设G中无环(否则可先删去)，算法为： (1) 将m条边按权从小到大顺序排列，设为 e1,e2, … ,em。 (2) 取e1在T中，然后依次检查e2, … ,em ，若ej (j=2,3, …,m)与T中的边不能构成回路，则取ej在T 中，否则放弃ej，考虑下一条边，直至j>m。 (3) 算法停止时得到的T为G的最小生成树。
例: 下图(1)为一棵根树。V0为树根, v1,v4, v3, v6, v7为树
叶, v2, v5为内点, v0, v2, v5为均为分支点, 由于在根树中
③④只须证明 G 是连通的。若不然，设 G 有 t(t≥2) 个连通分支 G1 ， G2 ， … ， Gt ， Gi 中均无回路，都是树。由① ② ③可知， mi=ni–1 ， i=1,…,t 。于是 m=m1 ＋ m2 ＋ … ＋ mt =n1-1 ＋ n2-1 ＋ … ＋ nt-1=n1 ＋ n2 ＋ … ＋ nt-t=n–t ，由于 t≥2 ，这与m=n–1矛盾。所以G是连通图。 ④ ⑤只须证明 G 的每一条边均为桥。设 e 是 G 的任意边，删除 e 得子图 G1 ， G1 中的边数 m1=m-1，G1中的结点数n1=n，m1=m–1=n-1-1=n2=n1-2＜n1-1，所以G1不是连通图，所以e是桥。

西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分

《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。

其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。

3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。

—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。

2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。

3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。

4 图的表示不唯一。

如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。

点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。

2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。

在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。

运筹学下(复习题)

1.若用三时估计法计算作业时间，则应先估计出最乐观时间、最悲观时间和(D)A.最短时间B.最优时间C.赶工时间D.正常时间2.某工程的各道工序已确定，为了使其达到“成本最低、工期合理”的要求，进行优化时应采用（C）技术。

A.时间优化B.时间与资源优化C.时间与成本优化D.时间，资源及成本优化3.箭线式网络图中，关键线路是从始点事项到终点事项（A）。

A.占用时间最长的线路B.事项数目最多的线路C.事项数目最少的线路D.工序数目最多的线路4.某一活动的正常时间为，正常费用为，极限时间为 , 极限费用为，则该活动的直接费用增长率为（D ).A.( - )/B.( - )/C.( - )/(- )D.( - )/(- )5.下列几种优化中，不属于网络计划优化的是(C)。

A.时间与成本优化B.时间优化C.工作技术优化D.时间与资源优化6.对于关键线路上的关键活动，下列描述中不正确的是（B）。

A.它的总时差为0B.它的最早完成时间不等于最迟完成时间B.它的最早开始时间等于最迟开始时间 D.关键活动在时间上是连续的7.利用工序的自由时差，其结果是（B）。

A.不会影响紧后工序，但会影响工期B.不会影响紧后工序，也不会影响工期C.会影响紧后工序，但不会影响工期D.会影响紧后工序和工期8.在某工程双代号网络计划中，工序N的最早开始时间为第16天，其持续时间为8天。

该工序有两项紧后工序，它们的最早开始时间分别为第28天和第31天，最迟开始时间分别为第29天和第34天，则工序N的总时差和自由时差为（B）天。

A.均为4B.分别为5和4C.均为5D.分别为13和59.某项工序有两项紧后工序E和F，最迟完成时间E=17天，F=15天，工序持续时间E=7天，F=9天，则本工序的最迟完成时间是（C）。

A.10天B.8天C.6天D.15天10.某工程网络计划在执行过程中，某工序实际进度比计划进度延后9天，影响工期5天，则该工序原有的总时差为（C）。

第五章最小树问题

[举例] 下面的图表示一个5个城市的地图，可以得到它的最小生成树的权和为19.
例2、最优布线问题（wire.???）学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来 . 两台计算机被连接是指它们之间有数据线连接 . 由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的.
• 例3 机器蛇 • 在未来的某次战争中,我军计划了一次军事行动，目的是劫持敌人的航母．由于这个计划高度保密，你只知道你所负责的一部分：机器蛇的通信网络.计划中要将数百条机器蛇投放到航母的各个角落里．由于航母内部舱室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如何保持机器蛇间的联系，成了一大难题. 每条机器蛇的战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你．每条机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器蛇通讯．由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固定的通讯网络．情报部门提供了极其详尽的敌方航母图纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌． • 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络, 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短．
果形成圈，ej就不能加进去，而考虑下一条边ej+1,一直加到得到的支撑子图含有n-1条边时，计算结束. 加边法的计算框图：
开始：对G的边重新编号，使l(e1) ≤l(e2) ≤…≤l(em)
令支撑子图的边集合E′=Ø，令i=1
ei加到E′中去是否形成圈？
是
令i=i+1
否
令i=i+1 把ei加到E′中去 E′中的边数是否等于n-1
v1 这个图的每个顶点的度数都大 e1 e2 于等于2.先任意取一个顶点，例如 v3 v2 取v4，并且令p={v4}.因为 e3 deg(v4)≥2，所以一定有与v4关联的 e4 e5 边，任取一条这样的边，例如取e4， e6 v5 v 把e4及它的另一个端点v2加到p中去， 4 图5.2.1 使p扩大成p={v4,e4,v2}.然后再取一条与v2关联，而不属于p的边.因为deg(v2)≥2，这样的边是一