概率论习题课05

E ( X ) 7000, D( X ) 2100,
P {| X E ( X ) | } 1 D( X )

2
,
故
P 6800 X 7200 P{| X 7000 | 200}
1 2100 200
2
0.9475
为所求
三、解答题
概率论
1） 设 供 电 网 有 10000 盏 电 灯 ， 夜 晚 每 盏 电 灯 开 灯 的 概 率 均 为 0 .7 ， 并 且 彼 此 开 闭 与 否 相 互 独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理 分 别 估 算 夜 晚 同 时 开 灯 数 在 6800 到 7200 之 间的概率
2
2
2
( i 1,2,)
且X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立
故 1 n X i
2 P 2 i 1 n 2
2
2
2
概率论
一．填空题：
3） 设 当C

X 1, X 2, X 3, X
4
是 来 自 正 态 总 体 N 0 , 2
2 2 2
的样本，令
1 8
因
( 1.960 ) 0.975
0.1n 0.3 n 1.960
所以
解得
即
n 34.5744
n 35
概率论
三、解答题
3） 甲 乙 两 电 影 院 在 竞 争 1000 名 观 众 ， 假 设每位观众在选择时随机的，且彼此相互 独立，问甲至少应设多少个座位，才能使 观 众 因 无 座 位 而 离 去 的 概 率 小 于 1％
概率论
概率论与数理统计习题课五
概率论
一．填空题：
1． 设
X 1 , X 2 , X n
是独立同分布的随机变

量 序 列 ,且 均 值 为
X
,方 差
X ~
为
2
,那 么 当

2
n
充 或
分 大 时 , 近 似 有
/
~
N ( ,
)
n
N ( 0,1)
。特别的，当同为正态分
X
n
布 时 ， 对 于 任 意 的 n， 都 精 确 有
解： (1)设X表示来甲电影院的人数 至少设个N座位
则X ~ B(1000,0.5) 由中心极限定理
E ( X ) 500,
D( X ) 250,
故
P{ X N } X 500 N 500 N 500 P 1 250 250 250
a a2 2 X i 近似服从正态分布 N a2 , 4 n i 1 n
1
D( X i ) D( X ) E ( X ) E ( X ) a4 a2 ( i 1,2, n)
2
2
4 2 2
2
于是
2 1 n a4 a 2 2 D Xi n n i 1
且X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立同分布
由独立同分布中心极 限定理
X ~
N ( ,

2
)
n
或
/
~
N ( 0,1)
n
概率论
一．填空题：
2． 设
X 1 , X 2 , X n
i
是独立同分布的随机
2 i
变 量 序 列 ,且 E X , D X ， 那 么
n
1
n
Xi
2
依概率收敛于
2

2
2
i1
解： E ( X i ) D( X i ) E ( X i )
于是
P{ n X 0.8n }
概率论
n 0.9n X 0.9n 0.8n 0.9n P 0.09n 0.09n 0.09n 0.1n 2 1 0.95 0.3 n 0.1n 即 0.975 0.3 n
( 解：1)设X表示夜晚同时开灯的盏 数 则X ~ B(10000,0.7 ) 由中心极限定理
E ( X ) 7000, D( X ) 2100,
X np np(1 p )
近似
~ N ( 0,1)
概率论
故
P 6800 X 7200

6800 7000 X 7000 7200 7000 P 2100 2100 2100 200 200 2100 2100 200 2 1 2100
概率论
1） 设 供 电 网 有 10000 盏 电 灯 ， 夜 晚 每 盏 电 灯 开 灯 的 概 率 均 为 0 .7 ， 并 且 彼 此 开 闭 与 否 相 互 独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理 分 别 估 算 夜 晚 同 时 开 灯 数 在 6800 到 7200 之 间的概率
( 解：2)设X表示夜晚同时开灯的盏 数 则X ~ B(10000,0.7 ) 由切比雪夫不等式
于是
即
X X n 1 X n1 X
n 1 n
( n 1 )s ( n 1 )
~ t n 1
n n 1
S
~ t n 1
四、证明题 设 本，
X 1 , X 2 , X n , 是
i
概率论
来 自 总 体X 的 简 单 样 在
2 i
, k 0 ,1 , 2 , n
k k k n k P X C n p (1 p ) , k 0 ,1 , 2 , n n
i
D ） P X
k C 1 p (1 p )
k k
1 k
, 1 i n,
k 0 ,1 ,
概率论
Y
X 1 X 2 X 3 X 4
~
2
则
时 CY
2 .
X 3 X 4 ~ N ( 0,8)
~ N ( 0,1)
解： 因
X 1 X 2 ~ N ( 0 ,8 )
~ N ( 0,1)
2
X1 X 2 8
X3 X4 8
2
所以
X1 X 2 X3 X4 2 ~ (2) 8 8
即
Y 8
~ ( 2)
2
故
C
1 8
概率论
二、选择题
1） 设
X ~ N ,
3
2
, 其 中 已 知 ，
C
2
未知，
X 1, X 2, X
为样本，则下列选项中不是
X
统计量的是 A）
X1 X
3 2 3
B ） max X D）
X1
1
, X 2, X
3

C）
X
2 i 2
因
( 2.327 ) 0.99
N 500 250 2.327 ,
所以
解得 即
N 536.79
N 537
三、解答题
4） 总 体
X
概率论
2
X ~ N ,
i
, X
n i1
1
, X 2 , X n , X
i
n1
为 样 本 ，
n
X
1
n
X
,
S
2
n
1 n
i1
二、选择题
3） 已 知 A）
X ~ t n 那
么X
2
~
A
F (1 , n )
B ） F ( n ,1 )
C）
U V /n
2
(n)
D ） t n
解：
X ~ t( n )， 则 X
V ~ (n)
2
其中
故
U ~ N ( 0 ,1 ) ,
X
2
U /1 V /n
2
~ F (1, n)
三、解答题
2
2
2
概率论
n很大时 n 1 n 1 2 2 Xi E n Xi n i 1 i 1
1 2 D Xi n i 1 n
n
2
近似服从标准正态分布
1 即 n
X i a2
i 1 2 4
a
a2 / nn源自近似服从标准正态分布2
因而
解： 1)设X表示正常工作的部件个数 (
则X ~ B( n,0.9) 由中心极限定理
E ( X ) 0.9n,
X 0.9n 0.09n
D( X ) 0.09n,
近似
~ N ( 0,1)
故
P{ n X 0.8n } n 0.9n X 0.9n 0.8n 0.9n P 0.09n 0.09n 0.09n
X 500 近似 ~ N ( 0,1) 2500
概率论
于是
P{ X N }
X 500 N 500 N 500 P 1% 1 250 250 250 N 500 即 99% 250
24.3644 1
1
三、解答题
概率论
2） 一 系 统 是 由 n个 相 互 独 立 起 作 用 的 部 件 组 成 ， 每 个 部 件 正 常 工 作 的 概 率 为 0 .9 ， 且 必 须 至 少 由 80％ 的 部 件 正 常 工 作 ， 系 统 才 能 正 常 工 作 ， 问 n至 少 为 多 大 时 ， 才 能 使 系 统 正 常 工 作 的 概 率 不 低 于 0 .9 5 ？