广州市中考数学试卷及答案
2020年广东省广州市中考数学试卷(含解析)打印版
2020年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（）A．152.33×105 B．15.233×106C．1.5233×107D．0.15233×1082．（3分）某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A．套餐一B．套餐二C．套餐三D．套餐四3．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．2×3＝6C．x5•x6＝x30D．（x2）5＝x104．（3分）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°5．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A．该圆锥的主视图是轴对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定8．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于°．12．（3分）化简：﹣＝．13．（3分）方程＝的解是．14．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为．15．（3分）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．16．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm 时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（9分）解不等式组：．18．（9分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°．求∠BCA的度数．19．（10分）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．20．（10分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社区676873757678808283848585909295乙社区666972747578808185858889919698根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．22．（12分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．23．（12分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．24．（14分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．25．（14分）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．2020年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（）A．152.33×105B．15.233×106C．1.5233×107D．0.15233×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：15233000＝1.5233×107，故选：C．2．（3分）某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A．套餐一B．套餐二C．套餐三D．套餐四【分析】根据条形统计图得出即可．【解答】解：根据条形统计图可知：学生最喜欢的套餐种类是套餐一，故选：A．3．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．2×3＝6C．x5•x6＝x30D．（x2）5＝x10【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式为最简结果，不符合题意；B、原式＝6a，不符合题意；C、原式＝x11，不符合题意；D、原式＝x10，符合题意．故选：D．4．（3分）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．5．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A．该圆锥的主视图是轴对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出答案．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选：A．6．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x2+2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，∴y随着x的增大而减小．∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x2+2，∴y3＜y2＜y1，故选：B．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．8．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48，∴BD＝AB＝×48＝24，∵⊙O的直径为52，∴OB＝OC＝26，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，∵△＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF 的值．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于80°．【分析】根据补角的概念求解可得．【解答】解：∵∠A＝100°，∴∠A的补角＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．12．（3分）化简：﹣＝．【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．【解答】解：﹣＝2＝．故填：．13．（3分）方程＝的解是x＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程＝，去分母得：2x＝3，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．14．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（4，3）．【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），∴3AC＝9，∴AC＝3，∴C（4，3），故答案为（4，3）．15．（3分）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为16．【分析】根据正方形的性质得到∠BAC＝∠ADB＝45°，根据旋转的性质得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ADB＝45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF＝∠BAC＝45°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴EF•ED＝AE2，∵AE＝4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．16．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x ＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x ＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（9分）解不等式组：．【分析】根据不等式的性质求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x＞2，所以不等式组的解集为：x≥318．（9分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°．求∠BCA的度数．【分析】运用SAS公理，证明△ABC≌△ADC，得到∠D＝∠B＝80°，再根据三角形内角和为180°即可解决问题．【解答】解：在△ABC与△ADC 中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠D＝∠B＝80°，∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．19．（10分）已知反比例函数y ＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．【分析】由反比例函数图象的性质可得k＜0，化简分式和二次根式，可求解．【解答】解：∵反比例函数y ＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k﹣1＜0，∴﹣+＝+＝k +4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．20．（10分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社676873757678808283848585909295区乙社666972747578808185858889919698区根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出两人来自同一社区的概率．【解答】解：（1）甲社区：这15位老人年龄出现次数最多的是85岁，因此众数是85岁，从小到大排列处在中间位置的一个数是82岁，因此中位数是82岁；（2）年龄小于79岁甲社区2人，乙社区的有2人，从4人中任取2人，所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种，∴P（来自同一个社区）＝＝．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y ＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为2，∵点M在y＝上，∴M（6，2）．（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）∴C（9，0），∴OC＝9，OA＝＝5，∴平行四边形ABCD的周长为2（5+9）＝28．22．（12分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出算式即可求解；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可．【解答】解：（1）50×（1﹣50%）＝25（万元）．故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260﹣x）辆，依题意有50（260﹣x）+25x＝9000，解得x＝160．故明年改装的无人驾驶出租车是160辆．23．（12分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；（2）①根据菱形的判定即可求解；②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵C是点A关于BD的对称点，∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；②过B点作BF⊥AD于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，∵E是BC的中点，∴BC＝2OE＝13，∴OC＝＝12，∴OA＝12，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝13，∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，故点E到AD的距离是．24．（14分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，圆周角定理可得∠ADC＝∠BDC ＝60°，可得结论；（2）将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，可证△DCH是等边三角形，可得四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，即可求解；（3）作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，由轴对称的性质可得EM＝DM，DN＝NF，可得△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，即最小值为EF＝t，由轴对称的性质可求CD＝CE＝CF，∠ECF＝120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF＝2PE＝EC＝CD＝t，则当CD为直径时，t有最大值为4．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，理由如下：如图1，将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴S＝x2；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM＝DM，同理DN＝NF，∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，∴△DMN的周长最小值为EF＝t，∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，∴EP＝PF，∠CEP＝30°，∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，∴EF＝2PE＝EC＝CD＝t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4，∴t的最大值为4．25．（14分）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；（2）由三角形面积关系，可得BE＝CE+1，由对称轴为x＝3，可求BC中点M的坐标（3，3），由线段的数量关系，可求EM＝，可求解；（3）先求出点F坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得c＝9a，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），∴c﹣5a＝a+b+c，∴b＝﹣6a；（2）如图，设BC的中点为M，∵B（x1，3），C（x2，3），线段BC上有一点E，∴S1＝×BE×3＝BE，S2＝×CE×3＝CE，∵S1＝S2+．∴CE+＝BE，∴BE＝CE+1，∵b＝﹣6a，∴抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c，∴对称轴为x＝＝3，∴BC的中点M坐标为（3，3），∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BM＝CM，BE＝CE+1，∴EM＝，∴点E（，3）或（，3）；（3）∵直线DE与抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c的另一个交点F的横坐标为+3，∴y＝a（）2﹣6a×（+3）+c＝﹣9a+c，∴点F（+3，﹣9a+c），∵点D是抛物线的顶点，∴点D（3，﹣9a+c），∴直线DF的解析式为：y＝6x﹣18+c﹣9a，∴点E坐标为（，3），又∵点D（3，﹣9a+c），∴直线DE解析式为：y＝（6﹣18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，∵直线DE与直线DF是同一直线，∴6＝6﹣18a﹣2c，∴c＝9a，∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣6ax+9a，∵1＜x＜6，∴当x＝3时，y min＝0，当x＝6时，y max＝9a，∴0≤y＜9a．。
2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析
2024届初三毕业班综合测试数学本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）A. 3−B. 3C. 13−D. 13【答案】A【解析】【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）A. 41.08710×B. 410.8710×C. 310.8710×D. 31.08710× 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，∴410870 1.08710=×，故答案选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D ．4. 下列运算正确的是（ ）A. ()2211m m −=−B. ()3326m m =C. 734m m m ÷=D. 257m m m +=【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A. ()22121m m m −=−+，原运算错误，本选项不合题意；B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为3444545x ++++==，原方差为()()()()()2222223444444454255S −+−+−+−+− =； 去掉一个数据4后的中位数为4442+=，众数为4，平均数为344544x +++==，方差为()()()()2222234444454142S −+−+−+− =；∴统计量发生变化的是方差；故选D ．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505x x =+ 【答案】B【解析】【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x 吨，则小货车每辆运输()5x −吨，则75505x x =−． 故选B【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．.的7. 下列四个函数图象中，当x <0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A. B. C. D.A. 55.5mB. 【答案】D【解析】【详解】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项不符合题意；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项符合题意．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( )54m C. 19.5m D. 18m【答案】C【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，得到DE ，在Rt ADE △中，tan 30AE DE=o ，求出AE ，从而求出AB 【详解】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，DE BC ==Rt ADE △中，tan 30AE DE =o18m AE ∴= 18 1.519.5m AB ∴=+=在故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9. 如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=°，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）A. 60°B. 105°C. 75°D. 72°【答案】C【解析】 【分析】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠，结合AB AC =，30BAC ∠=°，得到180752−=°∠∠=°BAC ACB ，计算BAD ABD ∠+∠即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，30BAC ∠=°， ∴180752−=°∠∠=°BAC ACB ， ∴75BAD ABD BCD ACD ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°,故选C ．．10. 如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、E 两点，设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根的情况是（ ）A. 一定有两个相等的实数根B. 一定有两个不相等的实数根C. 有两个实数根，但无法确定是否相等D. 没有实数根【答案】B【解析】 【分析】M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，则得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠，即可得出DBM MBC ∽，再求出BMC MEC ∽，DBM EMC ∽，即可得出：214ac b =，即可求解． 【详解】AM 平分BAC ∠，DE AM ⊥， ADM AEM ∴∠=∠，1122MDME DE b ===， 1902BDM MEC BAC ∴∠=∠=°+∠， 1902BMC BAC ∴∠=°+∠， BDM MEC BMC ∴∠=∠=∠，M 是ABC 的内角平分线的交点，∴DBM MBC ∽，同理可得出：BMC MEC ∽，∴DBM EMC ∽， ∴BD MD ME CE=， BD EC MD ME ∴⋅=⋅，即：214ac b =， ∴222(1)421210b ac b b b b ∆=+−=++−=+>，∴关于x 的方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 方程420x +=的解为______．【答案】2x =−【解析】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】420x +=，24x =−，解得2x =−，故答案为：2x =−．12. 因式分解：x 2﹣3x=_____．【答案】x （x ﹣3）【解析】【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）． 考点：因式分解.13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.【答案】15【解析】【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．故答案为15.14. 已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =−+上，那么12x x +=________．【答案】3【解析】【分析】根据题意可得点P 和点Q 关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：33222b x a −=−=−=， ∵()1,1P x ，()2,1Q x ， ∴12322x x +=， ∴123x x +=． 故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解． 15. 如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200yx x=>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k 的几何意义可得20OB BC ⋅=，由切线的性质可得BC x ⊥轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C 在函数()200y x x=>的图象上， ∴20OB BC ⋅=，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x ⊥轴，∴BC y ∥轴， ∴111205244ACD S AC OB BC OB =???， 故答案为：5．16. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且90AFE ∠=°．（1）当5BF =时，tan FEC ∠=______； （2）当AED ∠最大时，DE 的长为_______．【答案】 ①.65 ②. 103##133 【解析】【分析】（1）证明90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，利用tan tan AFB FEC ∠=∠计算即可； （2）当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，利用三角形相似计算即可．【详解】（1）∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴6tan tan 5AB AFB FEC BF ∠=∠==， 故答案为：65． （2）如图，取AE 的中点O ，连接,,OD OF DF ．∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ∠=°，∵90AFE ∠=°，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴AED AFD ∠=，∴当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，∴OF BC ⊥，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ABF ∠=∠=°，∴OF AB EC ， ∴EO CF OA BF =， ∴142BF CF BC ===， ∵90AFE ∠=°，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴AFB FEC ∽△△， ∴BF AB EC FC =， ∴464EC =， ∴83EC =， ∴810633DE CD EC =−=−=， 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17. 解不等式：6327x x −>−．【答案】1x −＞【解析】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】6327x x −−＞，移项，得6237x x −−＞合并同类项，得44x −＞，系数化为1，得1x −＞．18. 如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．【详解】∵AB DC ，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中AB DC BAE DCF AE CF = ∠=∠ =∴ABE CDF △≌△．19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；（2）甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】（1）50 （2）29【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】∵4?8%50÷=(人)，故答案为：50．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，∴相同的概率为：29． 20. 已知关于x 的函数()31111m m y x m m m +=+≠−++图象经过点()1,A m n −． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）当m =k y x=的图象也经过点A ，求k 的值． 【答案】（1）1nm =+ （2）4【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；（2）当m =)1A +，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【小问1详解】 解：根据题意，得()()213111111m m m n m m m m m ++=×−+==++++． 【小问2详解】解：当m =时，此时点)1A −+，故)11514k =+=−=． 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，60A ∠=°，3AB =．（1）尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）1sin 2CBQ ∠= 【解析】【分析】（1）结合切线的判定与性质，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆即可．（2）由题意可得Rt Rt ABP AQP △≌△，则AB AQ =，可得ABQ 为等边三角形，即60ABQ ∠=°，则30CBQ ∠=°，进而可得答案．【小问1详解】解：如图，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆，交AC 于点Q ， 则P 即为所求．；【小问2详解】解：由（1）可得，BP PQ =，PQ AC ⊥，90AQP ∴∠=°，AP AP = ，()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，AB AQ ∴=，60BAC ∠=° ，ABQ ∴ 为等边三角形，60ABQ ∴∠=°，30CBQ ∴∠=°，1sin sin 302CBQ ∴∠=°=． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =−+−．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；（2）求一次函数y kx b =+解析式； （3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否的需要采取防霜措施，并说明理由．【答案】（1）5−℃（2）835y x =−+ （3）需要采取防霜措施，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当5x =时，函数最小值，代入解析式21660y x x =−+−计算即可．（2）把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中，计算即可； （3）令0y kx b =+=，216600y x x =−+−=，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x 轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【小问1详解】根据题意，当5x =时，函数有最小值，代入解析式21660y x x =−+−得，2580605y =−+−=−，故答案为：5−℃．【小问2详解】把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中， 得553k b b +=− = ， 解得853k b =− = ， ∴835y x =−+． 【小问3详解】 令0835y x =−+=， 解得158x =； 令216600y x x =−+−=，解得126,10x x ==（舍去）， 故()156 4.125h 8−=， ∵4.1254＞∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．（1）若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；（2）设OB x OF =，AB y CD=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．【答案】（1）2米 （2）1y x =−，说明见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平行四边形，可得2CD OE ==米；（2）由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE ==，则AB OB OF CD OF −=，据此可得1y x =−，当2OB OF>，即2x >时，11y x =−>，据此可得结论． 【小问1详解】解：由题意得，AB OE ∥，∴ABF EOF ∽， ∴AB BF OE OF =，即1644OE −=， ∴2OE =，∵OE CD CE OD ∥，∥，的∴四边形OECD 是平行四边形，∴2CD OE ==米，∴蜡烛的像CD 的长度为2米；【小问2详解】解：由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE == ∴AB BF OE OF =，即AB OB OF CD OF−=， ∴1y x =−， 当2OB OF >，即2x >时，11y x =−>， ∴1AB CD>，即AB CD >， ∴物高大于像高，即呈缩小的像．24. 矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．（1）如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．（2）如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对称，连接GD ，HD ，求GDH 面积的最小值．【答案】（1）①见解析；②485（2）8【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质，得到90ABC ∠=°，得到点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，根据矩形的性质，得OA OB OC OD ===，判定点D 在以O 为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；②过点E 作在EG AD ⊥于点D ，根据AE AB =，得到ADE ADB ∠=∠，结合4AE AB ==，8BC =，得到1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===，设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−，利用勾股定理计算x ，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°，根据CH CD DH ≤+，得到4DH CH CD −=≥，当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小． 【小问1详解】①∵矩形ABCD ，∴90ABC ∠=°，OA OB OC OD ===，∴点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，∵OA OB OC OD ===，∴点D 在以O 为圆心的同一个圆上，故A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②如图，过点E 作在EG AD ⊥于点D ，∵AE AB =，∴ADE ADB ∠=∠，∵4AE AB ==，8BC =， ∴1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===， 设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−， ∴()228216x x −+=， 解得12,45x x ==（舍去）， ∴AED △的面积112488255××=． 【小问2详解】根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°， ∵CH CD DH ≤+，∴4DH CH CD −=≥，∴当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．25. 已知抛物线()21:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >． （1）求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；（2）若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；（3）若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析 （2）()()1,1,2,1−−（3）4k ＞【解析】【分析】（1）联立()()211y a x h y k x h =−− =−− ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；（2）根据1a =时，()21:1C y x h =−−，结合抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，结合12x x <，则12,11x h x h ==+−，且121033x x <+<，求得11124h <<，确定h 的整数解有1,2两个，得证．（3）根据题意，得当2x h =+时，21y y ＞恒成立．建立不等式解答即可．本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【小问1详解】联立()()211y a x h y k x h =−− =−−， 解方程，得,ah k x h x a+==， 当x h =时，1y =−，即直线与抛物线恒过点(),1h −，故直线l 与抛物线C 至少有一个交点．【小问2详解】当1a =时，()21:1C y x h =−−，∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±，∵12x x <， ∴12,11x hx h ==+−， ∵121033x x <+<， ∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数，∴1,2h h ==， 故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−．【小问3详解】．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．故()()22121k h h a h h +−−+−−＞，整理得：2k a ＞．又∵2k a ＞，∴024a ＜＜，∴4k ＞．。
2024年广东省广州市中考真题数学试卷含答案解析
2024年广东省广州市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．四个数10-，1-，0，10中，最小的数是（ ）A ．10-B ．1-C ．0D ．10【答案】A【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【详解】解：101010-<-<< ，∴最小的数是10-，故选：A ．2．下列图案中，点O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点O 判断即可．【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是C ，故选：C ．3．若0a ≠，则下列运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．235a a a⋅=D ．321a a ÷=4．若a b <，则（ ）A ．33a b +>+B ．22a b ->-C ．a b -<-D ．22a b<【答案】D【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．【详解】解：A ．∵a b <，∴33a b +<+，则此项错误，不符题意；B ．∵a b <，∴22a b -<-，则此项错误，不符题意；C ．∵a b <，∴a b ->-，则此项错误，不符合题意；D ．∵a b <，∴22a b <，则此项正确，符合题意；故选：D ．5．为了解公园用地面积x （单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照04x <≤，48x <≤，812x <≤，1216x <≤，1620x <≤的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）A ．a 的值为20B ．用地面积在812x <≤这一组的公园个数最多C ．用地面积在48x <≤这一组的公园个数最少D ．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷【答案】B【分析】本题考查的是从频数分布直方图获取信息，根基图形信息直接可得答案．【详解】解：由题意可得：5041612810a =----=，故A 不符合题意；用地面积在812x <≤这一组的公园个数有16个，数量最多，故B 符合题意；用地面积在04x <≤这一组的公园个数最少，故C 不符合题意；这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D 不符合题意；故选B6．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x 辆，根据题意，可列方程为（ ）A ．1.2110035060x +=B ．1.2110035060x -=C ．1.2(1100)35060x +=D ．110035060 1.2x -=⨯【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车x 辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．【详解】解：设该车企去年5月交付新车x 辆，根据题意得：1.2110035060x +=，故选：A ．7．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB AC ==，D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，AE CF =，则四边形AEDF 的面积为（ ）A ．18B ．C ．9D ．∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴45BAD B C ∠=∠=∠=︒∴ADE CDF V V ≌，S S S =+8．函数21y ax bx c =++与2k y x=的图象如图所示，当（ ）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <-B ．10x -<<C ．02x <<D ．1x >【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．9．如图，O 中，弦AB 的长为C 在O 上，OC AB ⊥，30ABC ∠=︒．O 所在的平面内有一点P ，若5OP =，则点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 上B ．点P 在O 内C ．点P 在O 外D ．无法确定10．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72︒的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是（）A B C．D【答案】D【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2rπ，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出1r=，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2rπ，二、填空题11．如图，直线l 分别与直线a ，b 相交，a b ，若171∠=︒，则2∠的度数为 ．【答案】109︒【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明1371∠=∠=︒，再利用邻补角的含义可得答案．【详解】解：如图，∵a b ，171∠=︒，∴1371∠=∠=︒，∴21803109∠=︒-∠=︒；故答案为：109︒12．如图，把1R ，2R ，3R 三个电阻串联起来，线路AB 上的电流为I ，电压为U ，则123U IR IR IR =++．当120.3R =，231.9R =，347.8R =， 2.2I =时，U 的值为 ．【答案】220【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据123U IR IR IR =++，将数值代入计算即可．【详解】解：123U IR IR IR =++ ，当120.3R =，231.9R =，347.8R =， 2.2I =时，()20.3 2.231.9 2.247.8 2.220.331.947.8 2.2220U =⨯+⨯+⨯=++⨯=，故答案为：220．13．如图，ABCD Y 中，2BC =，点E 在DA 的延长线上，3BE =，若BA 平分EBC ∠，则DE = ．【答案】5【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，2AD BC ==，BC AD ∥，进而得出BAE EBA ∠=∠，再由等角对等边的性质，得到3BE AE ==，即可求出DE 的长．【详解】解：在ABCD Y 中，2BC =，2AD BC ∴==，BC AD ∥，CBA BAE ∴∠=∠，BA 平分EBC ∠，CBA EBA ∴∠=∠，BAE EBA∴∠=∠，3BE AE∴==，235DE AD AE∴=+=+=，故答案为：5．14．若2250a a--=，则2241a a-+=．【答案】11【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．由2250a a--=，得225a a-=，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．【详解】解：2250a a--=，225a a∴-=，()2224122125111a a a a∴-+=-+=⨯+=，故答案为：11．15．定义新运算：()()20a b aa ba b a⎧-≤⎪⊗=⎨-+>⎪⎩例如：224(2)40-⊗=--=，23231⊗=-+=．若314x⊗=-，则x的值为．16．如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数(0)k y x x =>的图象上，(1,0)A ，(0,2)C ．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B ''（点A 平移后的对应点为A '），A B ''交函数(0)k y x x =>的图象于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ，则下列结论：①2k =；②OBD 的面积等于四边形ABDA '的面积；③A E '；④B BD BB O ''∠=∠．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）∵1212AOB A OD S S '==⨯= ，∴BOK AKDA S S '= 四边形，∴BOK BKD AKDA S S S S '+=+ 四边形∴OBD 的面积等于四边形ABDA 如图，连接A E '，∵DE y ⊥轴，DA O EOA '∠=∠∴四边形A DEO '为矩形，∴A E OD '=，∴当OD 最小，则A E '最小，设()2,0D x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴B BD A OB ''' ∽，∴B BD B OA '''∠=∠，∵B C A O ''∥，∴CB O A OB '''∠=∠，∴B BD BB O ''∠=∠，故④符合题意；三、解答题17．解方程：1325x x =-．解得：3x =，经检验，3x =是原方程的解，∴该分式方程的解为3x =．18．如图，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，3BE =，6EC =，2CF =．求证：ABE ECF △△∽．19．如图，Rt ABC △中，90B Ð=°．(1)尺规作图：作AC 边上的中线BO （保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO 绕点O 逆时针旋转180︒得到DO ，连接AD ，CD ．求证：四边形ABCD 是矩形．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；（1）作出线段AC 的垂直平分线EF ，交AC 于点O ，连接BO ，则线段BO 即为所求；（2）先证明四边形ABCD 为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．【详解】（1）解：如图，线段BO 即为所求；（2）证明：如图，∵由作图可得：AO CO =，由旋转可得：BO DO =，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 为矩形．20．关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．【答案】(1)3m >(2)2-【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．21．善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：A组75788282848687889395B组75778083858688889296(1)求A组同学得分的中位数和众数；(2)现从A、B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有∴这2名同学恰好来自同一组的概率41123=．22．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点，再垂直下降到着陆点C ，从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒，17AD =米，10BD =米．(1)求CD 的长；(2)若模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点，求模拟装置从A 点下降到B 点的时间．（参考数据：sin 36.870.60︒≈，cos36.870.80︒≈，tan 36.870.75︒≈）【答案】(1)CD 的长约为8米；(2)模拟装置从A 点下降到B 点的时间为4.5秒．【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．（2）解：17AD =Q 22AC AD CD ∴=-=在BCD △中，C ∠=sin BC BDC BD∠= ，sin 36.87BC BD ∴=⋅︒15AB AC BC ∴=-=-23．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y 和脚长x 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长(cm)x ...232425262728...身高(cm)y (156163)170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(,)x y ；(2)根据表中数据，从(0)y ax b a =+≠和(0)k y k x=≠中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）；(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm ，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．【答案】(1)见解析(2)75y x =-(3)175.6cm【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．（1）根据表格数据即可描点；（2）选择函数(0)y ax b a =+≠近似地反映身高和脚长的函数关系，将点()()23,156,24,163代入即可求解；（3）将25.8cm 代入75y x =-代入即可求解；【详解】（1）解：如图所示：（2）解：由图可知：y 随着x 的增大而增大，因此选择函数(0)y ax b a =+≠近似地反映身高和脚长的函数关系，将点()()23,156,24,163代入得：1562316324a b a b=+⎧⎨=+⎩，解得：75a b =⎧⎨=-⎩∴75y x =-（3）解：将25.8cm 代入75y x =-得：725.85175.6cmy =⨯-=∴估计这个人身高175.6cm24．如图，在菱形ABCD 中，120C ∠=︒．点E 在射线BC 上运动（不与点B ，点C 重合），AEB △关于AE 的轴对称图形为AEF △．(1)当30BAF ∠=︒时，试判断线段AF 和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由；(2)若6AB =+O 为AEF △的外接圆，设O 的半径为r ．①求r 的取值范围；②连接FD ，直线FD 能否与O 相切？如果能，求BE 的长度；如果不能，请说明理由．【分析】（1）由菱形的性质可得120BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，再结合轴对称的性质可得结论；（2）①如图，设AEF △的外接圆为O ，连接AC 交BD 于H ．连接OA ，OE ，OF ，OC ，证明ABC 为等边三角形，,,,A E F C 共圆，2120AOE AFE ∠=∠=︒，O 在BD 上，30AEO EAO ∠=∠=︒，过O 作OJ AE ⊥于J ，当AE BC ⊥时，AE 最小，则AO 最小，再进一步可得答案；②如图，以A 为圆心，AC 为半径画圆，可得,,,B C F D 在A 上，延长CA 与A 交于L ，连接DL ，证明18030150CFD ∠=︒-︒=︒，可得60OFC ∠=︒，OCF △为等边三角形，证明1203090BAF ∠=︒-︒=︒，可得：45BAE FAE ∠=∠=︒，BE EF =，过E 作EM AF ⊥于M ，再进一步可得答案．【详解】（1）解：AF AD =，AF AD ⊥；理由如下：∵在菱形ABCD 中，120C ∠=︒，∴120BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，∵30BAF ∠=︒，∴1203090FAD ∠=︒-︒=︒，∴AF AD ⊥，由对折可得：AB AF =，∴AF AD =；（2）解：①如图，设AEF △的外接圆为O ，连接AC 交BD 于H ．连接OA ，OE ，OF ，OC ，∵四边形ABCD 为菱形，120BCD ∠=︒，∴AC BD ⊥， 60BCA ∠=︒，BA BC =，∴ABC 为等边三角形，∴60ABC AFE ACB ∠=∠=︒=∠，∴,,,A E F C 共圆，2120AOE AFE ∠=∠=︒，O 在BD 上，同理可得ACD 为等边三角形，∴60CAD ∠=︒，∴30CLD ∠=︒，∴18030150CFD ∠=︒-︒=︒，∵DF 为O 的切线，∴90OFD ∠=︒，∴60OFC ∠=︒，∵OC OF =，∴OCF △为等边三角形，∴60COF ∠=︒，∴1302CAF COF ∠=∠=︒，25．已知抛物线232:621(0)G y ax ax a a a =--++>过点()1,2A x 和点()2,2B x ，直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ，交线段AB 于点D ，记CDA 的周长为1C ，CDB △的周长为2C ，且122C C =+．(1)求抛物线G 的对称轴；(2)求m 的值；(3)直线l 绕点C 以每秒3︒的速度顺时针旋转t 秒后(045)t ≤<得到直线l '，当l AB '∥时，直线l '交抛物线G 于E ，F 两点．①求t 的值；②设AEF △的面积为S ，若对于任意的0a >，均有S k ≥成立，求k 的最大值及此时抛物线G 的解析式．∵直线2:l y m x n =+过点(3,1)C ，2C ，且122C C =+，∴A 在B 的左边，AD AC CD ++=∵C 在抛物线的对称轴上，∴CA CB =，∴345t =，解得：15t =，②∵()1122AEF A E S EF y y EF =⋅-= 当1y =时，232621ax ax a a --++∴22620x x a a --+=，。
2024年广州市中考数学函数题答案解析
2024年广州市中考数学函数题答案解析在 2024 年广州市中考数学试卷中，函数题依然是重点考查内容之一。
这类题目旨在考察同学们对函数概念、性质、图像以及应用的理解和掌握程度。
下面我们就来详细解析一下其中几道具有代表性的函数题。
首先来看第一题：已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图像经过点 A(0, 2)和点 B( 1, 0)，求这个一次函数的解析式。
我们知道，一次函数的解析式一般式为 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
因为函数图像经过点 A(0, 2)和点 B( 1, 0)，所以把这两个点的坐标分别代入解析式中，可以得到两个方程：当 x ＝ 0，y ＝ 2 时，2 ＝ k×0 ＋ b，即 b ＝ 2 。
当 x ＝ 1，y ＝ 0 时，0 ＝ k ＋ 2，解得 k ＝ 2 。
所以，这个一次函数的解析式为 y ＝ 2x ＋ 2 。
接下来看第二题：已知二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的图像经过点( 1, 4)，（0, 1)，（1, 2)，求这个二次函数的解析式。
同样，把这三个点的坐标分别代入二次函数的解析式中，得到：a b ＋ c ＝ 4 ①c ＝ 1 ②a ＋b ＋c ＝ 2 ③将②式 c ＝ 1 分别代入①式和③式，得到：a b ＋ 1 ＝ 4 ，即 a b ＝ 3 ④a ＋b ＋ 1 ＝ 2 ，即 a ＋ b ＝ 1 ⑤④式加上⑤式，可得 2a ＝ 4 ，解得 a ＝ 2 。
把 a ＝ 2 代入⑤式，可得 2 ＋ b ＝ 1 ，解得 b ＝ 1 。
所以，这个二次函数的解析式为 y ＝ 2x² x ＋ 1 。
再看第三题：在平面直角坐标系中，反比例函数 y ＝ k/x 的图像经过点 A(2, 3)，求 k 的值。
因为函数图像经过点 A(2, 3)，所以把 x ＝ 2 ，y ＝ 3 代入 y ＝ k/x 中，得到 3 ＝ k/2 ，解得 k ＝ 6 。
2023年广州市中考数学真题试卷解析版
2023年广州市中考数学真题试卷（解析版）一、选择题（每题3分，共30分）1、（2023•广州）四个数﹣5，﹣0.1，，中为无理数旳是（）A、﹣5B、﹣0.1C、D、考点：无理数。
分析：本题需先把四个数﹣5，﹣0.1，，判断出谁是有理数，谁是无理数即可求出成果．解答：解：∵﹣5、﹣0.1、是有理数，∵无限不循环旳小数是无理数∴是无理数．故选D．点评：本题重要考察了什么是无理数，在判断旳时候懂得什么是无理数，什么是有理数这是解题旳关键．2、（2023•广州）已知▱ABCD旳周长为32，AB=4，则BC=（）A、4B、12C、24D、28考点：平行四边形旳性质。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形旳性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=32，即可求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD旳周长是32，∴2（AB+BC）=32，∴BC=12．故选B．点评：本题重要考察对平行四边形旳性质旳理解和掌握，能运用平行四边形旳性质进行计算是解此题旳关键．3、（2023•广州）某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据旳中位数是（）A、4B、5C、6D、10考点：中位数。
专题：应用题。
分析：中位数是一组数据重新排序后之间旳一种数或之间两个数旳平均数，由此即可求解．解答：解：∵某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，∴重新排序为4，4，5，6，10，∴中位数为：5．故选B．点评：此题为记录题，考察中位数旳意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间旳那个数（最中间两个数旳平均数），叫做这组数据旳中位数，假如中位数旳概念掌握得不好，不把数据按规定重新排列，就会出错．4、（2023•广州）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A′，则点A′旳坐标是（）A、（0，1）B、（2，﹣1）C、（4，1）D、（2，3）考点：坐标与图形变化-平移。
广东省广州市2021年中考数学真题(含答案)
A.（1）（2）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（3）（4）
【答案】B
6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖 学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A. B. C. D.
2021年广州市中考数学考试题
本试卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1.下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A.0B. C. D.
【答案】D
2.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且 ，若 ，则点A表示 数为（ ）
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）表格中 ________， ________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设 的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作 的外接圆 ，延长PC交 于点Q，当 的面积最小时，求 的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2） ，-8＜ ＜0；（3）4．
24.已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
22.如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，且
2020年广东广州中考数学试卷(解析版)
2020年广东广州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达人次．将用科学记数法表示应为（ ）．A. B. C. D.2.某校饭堂随机抽取了名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）．人数套餐种类一二三四A.套餐一B.套餐二C.套餐三D.套餐四3.下列运算正确的是（ ）．A.B.C.D.4.中，点，分别是的边，的中点，连接，若，则（ ）．A.B.C.D.5.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）．正面A.该圆锥的主视图是轴对称图形B.该圆锥的主视图是中心对称图形C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形6.一次函数的图象过点，，，则（ ）．A.B.C.D.7.如图，中，，，，以点为圆心，为半径作⊙，当时，⊙与的位置关系是（ ）．A.相离B.相切C.相交D.无法确定8.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）．A.B.C.D.9.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）．A.个B.个C.个D.个或个10.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.已知，那么的补角等于 度．12.计算： ．13.方程的解是 ．14.如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ．15.如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，则的值为 ．16.对某条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，若用作为这条线段长度的近似值，当时， 最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，，若用作为这条线段长度的近似值，当时，最小．三、解答题（本大题共9小题，共102分）17.解不等式组：．18.如图，，，．求的度数．19.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简．（1）（2）20.为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲、乙两个社区共名老人提供居家养老服务，收集得到这名老人的年龄（单位“岁”）如下：甲社区乙社区根据以上信息解答下列问题：求甲社区老人年龄的中位数和众数．现从两个社区年龄在岁以下的名老人中随机抽取名了解居家养老服务情况，求这名老人恰好来自同一个社区的概率．（1）（2）21.如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．求的值和点的坐标．求平行四边形的周长．22.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资万元改装辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．（1）（2）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元．求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．（1）12（2）23.如图，中，．作点关于的对称点．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）在（）所作的图中，连接，，连接，交于点．求证：四边形是菱形．取的中点，连接，若，，求点到的距离．（1）（2）（3）24.如图，⊙为等边的外接圆，半径为，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，．求证：是的平分线．四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．（1）（2）（3）25.平面直角坐标系中，抛物线：过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．用含的式子表示．求点的坐标．【答案】解析:．解析:喜欢套餐一的学生人数最多．故选．解析:∵点，分别是的边，的中点，∴是的中位线，∴，∴．故选．若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．C1.A2.D3.B4.解析:圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选．解析:∵，∴随的增大而减小，∵，∴．故选．解析:∵，，，∴，∴，∵且．∴是⊙的切线．故选．解析:∵圆直径为，∴半径为．过点作，则，A 5.B 6.B 7.C 8.∴，∴最大水深是．故选．解析:∵直线不经过第二象限，∴．当时，方程为一元一次方程，有一个实数解．当时，方程为一元二次方程，，有两个不相等的实数解．解析:由矩形性质可得，∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，则等于点到的距离，∵，，∴，∴点到的距离．故选．解析:，则的补角为，故答案为：．D 9.C 10.11.解析:．解析:两边同时乘以，得，代入分母检验，可得是分式方程的解．解析:∵平行四边形的面积为，高为，∴，∴，∵，∴．解析:∵，，∴，∴．解析:解第一个不等式得：；解第二个不等式得：，由同大取大，可得不等式组的解集为：．解析:在和中，12.13.14.15. ; 16.．17.．18.（1）（2），∴≌（），∴，∵，，∴．解析:∵反比例函数图象位于第二、四象限，∴，∴，原式．解析:中位数为按顺序排好后最中间一个数为；出现的次数最多，即为众数．岁以下的名老人分别为甲社区、，乙社区、．分别标记为、、、，树形图如下：由树形图可得，共有种等可能事件，其中有种情况满足要求，分别为，，，，则这名老人恰好来自同一个社区的概率是：．．19.（1）中位数，众数．（2）．20.（1）（2）（1）（2）（1）解析:把代入，可得即，反比例函数解析式为，∵为平行四边形对角线交点，在轴上，∴点纵坐标为，为中点，∴点纵坐标为，当时，，则点坐标为．∵已知、，为中点，∴点为，∴，，∴平行四边形的周长为．解析:（万元），答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是万元．设明年改装的无人驾驶出租车是辆，由题可得，解得，答：明年改装的无人驾驶出租车是辆．解析:如图所示，点为所求．（1）；．（2）．21.（1）万元．（2）辆．22.（1）画图见解析．12（2）证明见解析．．23.12（2）（1）∵点、点关于对称，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是菱形．由①可知，在菱形中，、互相垂直平分，∵为中点，为中点，∴，，∴，，在中，，∴，∴，过点作于，则，即，，∴点到距离为．解析:∵是等边三角形，∴，菱形菱形（1）证明见解析．（2）．（3）．24.（2）（3）∵、是所对圆周角，∴，同理，，∴，∴是的平分线．四边形的面积是线段的长的函数，理由如下：延长到点使得，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，∵，是等边三角形，∴，，当、、三点共线时，最长，∴，∴，∴．分别作点关于、的对称点、．连接交、于点、，四边形（1）（2）此时的周长有最小值，由对称的性质可知，，，，，∵，∴，在等腰三角形中，即，∵⊙的半径为，∴当为直径时，取最大值，此时有最大值．解析:把点代入，可得，即．由可得抛物线对称轴为直线，设直线与对称轴直线交于点，根据题意，画出对应的函数图象，①当点在点的左边时，如图：（1）．（2）或．（3）．25.（3），，∵即，∴，，∵、关于对称轴对称，∴，∴，点坐标为．②当点在点的右边时，如图：与①同理，可得，此时点坐标为，综上所述：点坐标为或．∵直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，∴，，此时点坐标为，∵，∴，顶点坐标为，设直线的解析式为，过点，有，解得，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于、两点，∴联立解析式，得，由韦达定理，可得，化简得，∴抛物线解析式为，、∵，对称轴为直线且，∴当时，；当时，，∴的取值范围为．。
2024年广东省广州市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年广东省广州市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个数−10，−1，0，10中，最小的数是( )A. −10B. −1C. 0D. 102.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )A. B. C. D.3.若a≠0，则下列运算正确的是( )A. a2+a3=a5B. a3⋅a2=a5C. 2a⋅3a=5aD. a3÷a2=14.若a<b，则( )A. a+3>b+3B. a−2>b−2C. −a<−bD. 2a<2b5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0<x≤4，4<x≤8，8<x≤12，12<x≤16，16<x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是( )A. a的值为20B. 用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多C. 用地面积在4<x≤8这一组的公园个数最少D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( )A. 1.2x+1100=35060B. 1.2x−1100=35060C. 1.2(x+1100)=35060D. x−1100=35060×1.27.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )A. 18B. 9√ 2C. 9D. 6√ 28.函数y1=ax2+bx+c与y2=k的图象如图所示，当()时，y1，y2均随着xx的增大而减小．A. x<−1B. −1<x<0C. 0<x<2D. x>19.如图，⊙O中，弦AB的长为4√ 3，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( )A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O外D. 无法确定10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是( )A. 3√ 11π8πB. √ 118C. 2√ 6ππD. 2√ 63第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2021年广东省广州市数学中考真题含答案解析及答案(word解析版)
解：从几何体的正面看可得图形．点评：从几何体的正面看可得图形．向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D分析：根据题意,结合图形,由平移的概念求解解：观察图形可知：从图1到图可以将图形N向下移动2格．故选点评：本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位是一道基础题：电视,C：网络,D：身边的人,E：其名中学生进行该问卷调查,根据调查的结分析：根据等量关系为：两数x,y之和是得：．故选：点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组）分析：根据二次根式的性质和分式的意义解：根据题意得：,解得：点评：本题考查的知识点为：分式有意义EF=AB=2,∵==1,,AF==4,则AC=2AF=8,tanB===2．故选D=AOD=OA=3,OP=,OD=3,PD===2,BO==3,===x+y=1+2+12=2,∴△BA′E≌△DCE点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用．21.（本小题满分12分）（2021年广州市）在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为m,规定：当m≥10时为A级,当5≤m＜10时为B级,当0≤m＜5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：11 10 6 15 9 16 13 12 0 82 8 10 17 6 13 7 5 7 312 10 7 11 3 6 8 14 15 12（1）求样本数据中为A级的频率。
（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数。
（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人,用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率.分析：（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人,即可求得样本数据中为A级的频率。
2022-2023学年广州市花都区九年级数学上学期中考试卷附答案解析
2022-2023学年广州市花都区九年级数学上学期中考试卷本试卷分选择题和非选择题两部分, 共三大题25小题，共6页，满分120分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写镇(街)、学校、试室号、姓名、学号及准考证号等自己的个人信息，再用2B 铅笔把对应准考证号的标号涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡上交.第一部分 选择题（共30分）一、选择题 (本大题共10小题， 每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.)1．一元二次方程 22370x x +-= 的二次项系数和常数项分别是（ ※ ）.A.2，7-B.2，3C. 2,7D. 3，7- 2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ※ ）.A B C D3．将抛物线23y x =平移，得到抛物线()2312y x =--，下列平移方式中，正确的是（※）. A ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 C ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 4．一元二次方程230x x -=的解是（ ※ ）.A ．0x =B ．3x =C ．3x =-D ．10x =，23x = 5．关于二次函数()2246y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ※ ）. A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 6．如图，在ABC ∆中，以点C 为中心，将ABC ∆顺时针旋转o 35得到DEC ∆，边ED 、AC 相交于点F ，若︒=∠30A ，则EFC ∠的度数为（ ※ ）.A ．o 60B ．o 65C ．o 72.5D ．o 115第6题7．已知二次函数132--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ※ ）. A ．49->k B ．49-≥k C ．49-≥k 且0≠k D ．49->k 且0≠k 8.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x 步，则可列方程为（ ※ ）.A ．()60864x x ⋅+=B ．()602864x x ⋅-=C ．()30864x x ⋅-=D ．()60864x x ⋅-= 9．二次函数)02≠++=a c bx ax y （的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ※ ）. A ．图象开口向下 B ．1-=x 时，函数有最大值 C ．方程02=++c bx ax 的解是1221=-=x x ， D ．1>x 时，函数y 随x 的增大而减小 10．如图，在Rt ABC ∆和Rt AEF ∆中，90BAC EAF ∠=∠=︒，9AB AC ==，3AEAF，点M 、N 、P 分别为EF 、BC 、CE 的中点，若AEF ∆绕点A 在平面内自由旋转，MNP △面积的最大值为（ ※ ）.A ．12B ．18C ．20D ．24第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）11．在平面直角坐标系中，点），（15-关于原点对称的点的坐标是 ※ ． 12. 方程03)x 1)x =+-（（的解是 ※ ．13．设)21y A ，（，)32y B ，（ 是抛物线是常数）（k k x y ++-=2)1(上的两点，则1y ※ 2y （填<,=或>）14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且5=OA ，3=OC ．若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点1A 的坐标为 ※ ．15.若a 是方程0142=+-x x 的一个根，则=+-20251232a a ※ ． 16.已知二次函数)02≠++=a c bx ax y （的图象如图所示，有下列结论：第10题第9题 x= -1①042>-ac b ；②0>abc ；③0>+-c b a ；④039<++c b a ，⑤02<+b a ． 其中，正确结论的有 ※ ．三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分4分）解方程：0342=+-x x 18.（本小题满分4分）四边形ABCD 是正方形，ADF ∆绕旋转中心顺时针旋转一定角度后得到ABE ∆，点E 落在AD 上，如图所示，如果2=AF , 5=AB ，求： （1）旋转中心是_______,旋转角度是_______︒；（2）求DE 的长度.19．（本小题满分6分）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()1,1A 、()4,2B 、()3,4C （1）画出ABC ∆关于坐标原点O 成中心对称的'''A B C △； （2）连接'BC 、'B C ，则四边形''BCB C 的面积是 ．20. （本小题满分6分）已知二次函数22y x x m =-+的顶点在x 轴下方，请完成以下问题：第18题第19题第14题（1）求m 的取值范围；（2）选一个合适的m 值，求：①此二次函数的顶点坐标；②二次函数与y 轴的交点坐标．21．（本题满分8分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt ABC ∆和Rt BED ∆的边长，显然2AE c =，我们把关于x 的一元二次方程022=++b cx ax 称为“弦系一元二次方程”。
2021年广州市中考数学试卷
2021年广州市中考数学考试题含答案解析一、单选题(共 40 分)1.下列四个选项中为负整数的是（）A.0B.−0.5C.−√2D.−2【答案】D【分析】根据整数的概念可以解答本题【详解】解：A、0既不是正数也不是负数故选项A不符合题意B、−0.5是负分数故选项B不符合题意C、−√2不是负整数故选项C不符合题意D、-2是负整数符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了大于0的整数是正整数小于0的整数是负整数本题熟记负整数的概念是解题的关键2.如图在数轴上点A、B分别表示a、b且a+b=0若AB=6则点A表示的数为（）A.−3B.0C.3D.−6【答案】A【分析】由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数即可得出AB表示的数【详解】解：∵a+b=0∴AB两点对应的数互为相反数∴可设A表示的数为a则B表示的数为−a∵AB=6∴−a−a=6解得：a=−3∴点A表示的数为-3故选：A【点睛】本题考查了绝对值相反数的应用关键是能根据题意得出方程−a−a=63.方程1x−3=2x的解为（）A.x=−6B.x=−2C.x=2D.x=6【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程求出整式方程的解即得到x的值经检验即可得到分式方程的解【详解】解：1x−3=2x去分母得：x=2x−6移项合并得：−x=−6化系数为“1”得：x=6检验当x=6时x(x−3)=18≠0∴x=6是原分式方程的解故选：D【点睛】此题考查了解分式方程解分式方程的基本思想是“转化思想”把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根4.下列运算正确的是（）A.|−(−2)|=−2B.3+√3=3√3C.(a2b3)2=a4b6D.（a－2）2＝a2－4【答案】C【分析】利用绝对值符号化简可判断A利用同类项定义与合并同类项法则可判断B利用积的乘方运算法则可判断C利用完全平方公式可判断D【详解】A. |−(−2)|=2≠−2选项A计算不正确B. 3与√3不是同类项不能合并3+√3≠3√3选项B计算不正确C. (a2b3)2=a2×2b3×2=a4b6选项C计算正确D. (a−2)2=a2−4a+4≠a2−4选项D计算不正确故选择C【点睛】本题考查绝对值化简同类项、二次根式、积的乘方与完全平方公式等知识掌握以上知识是解题关键5.下列命题中为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A.（1）（2）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（3）（4）【答案】B【分析】正确的命题叫真命题根据定义解答【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形故（1）是真命题对角线互相垂直的平行四边形是菱形故（2）不是真命题对角线相等的平行四边形是矩形故（3）不是真命题有一个角是直角的平行四边形是矩形故（4）是真命题故选：B【点睛】此题考查真命题的定义熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键6.为了庆祝中国共产党成立100周年某校举办了党史知识竞赛活动在获得一等奖的学生中有3名女学生1名男学生则从这4名学生中随机抽取2名学生恰好抽到2名女学生的概率为（）A.23B.12C.13D.16【答案】B【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况再利用概率公式即可求得答案【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况∴P（2女生）=612=12故选：B【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果列表法适合于两步完成的事件树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比7.一根钢管放在V形架内其横截面如图所示钢管的半径是24cm若∠ACB=60°则劣弧AB的长是（）A.8πcmB.16πcmC.32πcmD.192πcm【答案】B【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°由∠C=60°可求∠AOB=120°由OB=24cm利用弧长公式求即可【详解】解：∵AC与BC是圆的切线∴OA⊥ACOB⊥CB∴∠OAC=∠OBC=90°∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°∵∠C=60°∴∠AOB=180°-60°=120°∵OB=24cm,∴l AB⌢=120×π×24180=16πcm故选择B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式掌握直线与圆的位置关系四边形内角和弧长公式是解题关键8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5)则当x=2时y的值为（）A.−5B.−3C.−1D.5【答案】A【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式再求函数值即可解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等从而得解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)且与y轴交于点(0,−5)∴{c=−5a−b+c=09a+3b+c=0解方程组得{c=−5 a=53 b=−103∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5当x=2时y=53×4−103×2−5=−5故选择A解法二：抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)∴抛物线的对称轴为：x=−1+32=1又∵0+22=1∴x=2和x=0的函数值相等即均为−5故选择A【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式和函数值掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果9.如图在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′使点C′落在AB边上连结BB′则sin∠BB′C′的值为（）A.35B.45C.√55D.2√55【答案】C【分析】由勾股定理求出AB=10并利用旋转性质得出AC′=AC=6B′C=BC=8∠AC′B′=∠C=90°则可求得BC′=4再根据勾股定理求出BB′=4√5最后由三角形函数的定义即可求得结果【详解】解：在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√62+82=10∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′B′C′∴AC′=AC=6B′C=BC=8∠AC′B′=∠C=90°∴BC′=AB−AC′=10−6=4∴在Rt△BB′C′中由勾股定理得BB′=√BC′2+B′C′2=√42+82=4√5∴sin∠BB′C′=BC′BB′=4√5=√55故选：C【点睛】本题考查了求角的三角形函数值掌握三角形函数的概念并利用勾股定理及旋转的性质求解是解题的关键10.在平面直角坐标系xOy中矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上点C在函数y=−4x (x<0)的图象上若点B的横坐标为−72则点A的坐标为（）A.(12,2) B.(√22,√2) C.(2,12) D.(√2,√22)【答案】A【分析】构造K字形相似由面积比得出相似比为2从而得出A点坐标与C点坐标关系而P是矩形对角线交点故P是AC、BO的中点由坐标中点公式列方程即可求解【详解】解：过C点作CE⊥x轴过A点作AF⊥x轴∵点A在函数y=1x (x>0)的图象上点C在函数y=−4x(x<0)的图象上∴S△OCE=2S△OAF=12∵CE⊥x轴∴∠CEO=90°∠OCE+∠COE=90°∵在矩形OABC中∠AOC=90°∴∠AOF+∠COE=90°∴∠OCE=∠AOF∴△OCE∼△AOF∴CEOF =OEAF=√S△OCES△OAF=2∴CE=2OFOE=2AF设点A坐标为(x,1x )则点C坐标为(−2x,2x,)连接AC、BO交于点P则P为AC、BO的中点∴x+(−2x )=−72解得：x1=12x2=−4（不合题意舍去）∴点A坐标为(12,2)故选A【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合关键是构造相似三角形根据反比例函数的系数k的几何意义由面积比得到相似三角形的相似比从而确定点A与点C的坐标关系二、填空题(共 24 分)11.代数式√x−6在实数范围内有意义时x应满足的条件是________【答案】x≥6【分析】根据二次根式有意义的条件解答【详解】解：由题意得：x−6≥0解得x≥6故答案为：x≥6【点睛】此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零12.方程x2=4x的解 __【答案】x=0或x=4【分析】先移项使方程右边为0再提公因式x然后根据“两式相乘值为0这两式中至少有一式值为0”进行求解【详解】解：原方程变为x2﹣4x=0x（x﹣4）=0解得x1=0x2=4故答案为：x=0或x=4【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.13.如图在Rt△ABC中∠C=90°∠A=30°线段AB的垂直平分线分别交AC、AB 于点D、E连结BD若CD=1则AD的长为________【答案】2【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD∠ABD=∠A=30°求得∠CBD=30°即可求出答案【详解】解：∵∠C=90°∴∠A+∠ABC=90°∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E∴AD=BD∴∠ABD=∠A=30°∴∠CBD=30°∵CD=1∴AD=BD=2CD=2故答案为：2【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质直角三角形30度角的性质熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键14.一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反上的两个点若x1<x2<0则y1________y2（填“＜”或“＞”或比例函数y=mx“＝”）【答案】＞【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则Δ=0求出m的取值范围再由反比例函数函数值的变化规律得出结论【详解】解：∵一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根∴Δ=(−4)2−4m=0∴m=4∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=4上的两个点x又∵x1<x2<0∴y1>y2故填：>【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值再由反比例函数的性质求解15.如图在△ABC中AC=BC∠B=38°点D是边AB上一点点B关于直线CD的对称点为B′当B′D//AC时则∠BCD的度数为________【答案】33°【分析】如图连接CB′根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得∠B′=∠B= 38°∠DCB=∠DCB′并由平行线的性质可推出∠ACB′=∠B′=38°最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果【详解】解：如图连接CB′∵点B关于直线CD的对称点为B′∴CB=CB′DB=DB′∵CD=CD∴△DCB≅△DCB′∴∠B′=∠B=38°∠DCB=∠DCB′∵B′D//AC∴∠ACB′=∠B′=38°∵AC=BC∴∠A=∠B=38°∴∠ACB=180°−2∠B=104°∵∠ACB=∠ACB′+∠DCB+∠DCB′=∠ACB′+2∠DCB=104°∴2∠DCB=104°−∠ACB′=66°∴∠DCB=33°故答案为：33°【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键16.如图正方形ABCD的边长为4点E是边BC上一点且BE=3以点A为圆心3为半径的圆分别交AB、AD于点F、GDF与AE交于点H并与⊙A交于点K连结HG、CH给出下列四个结论（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC= 9∶16（4）DK=7其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）5【答案】（1）（3）（4）【分析】由正方形的性质可证明△DAF≌△ABE则可推出∠AHF=90°利用垂径定理即可证明结论（1）正确过点H作MN//AB交BC于N交AD于M由三角形面积计算公式求出AH=125再利用矩形的判定与性质证得MG=NE并根据相似三角形的判定与性质分别求出MH=4825NH=5225则最后利用锐角三角函数证明∠MGH≠∠HEN即可证明结论（2）错误根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得AM=3625即可证明结论（3）正确利用（1）所得结论DK=DF−2FH并由勾股定理求出FH再求得DK即可证明结论（4）正确【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB=4∠DAF=∠ABE=90°又∵AF=BE=3∴△DAF≌△ABE∴∠AFD=∠BEA∵∠BEA+∠BAE=90°∴∠AFD+∠BAE=90°∴∠AHF=90°∴AH⊥FK∴FH=KH即H是FK的中点故结论（1）正确（2）过点H作MN//AB交BC于N交AD于M由（1）得AH⊥FK则12AD⋅AF=12DF⋅AH∵DF=√AF2+AD2=5∴AH=125∵四边形ABCD是正方形MN//AB∴∠DAB=∠ABC=∠AMN=90°∴四边形ABNM是矩形∴MN=AB=4AM=BN∵AG=BE∴AG−AM=BE−BN即MG=NE∵AD//BC∴∠MAH=∠AEB∵∠ABE=∠AMN=90°∴△MAH∼△BEA∴AHAE =MHAB即1255=MH4解得MH=4825则NH=4−MH=5225∵tan∠MGH=MHMG tan∠HEN=NHNE∵MG=NEMH≠NH∴MGMH ≠NENH∴∠MGH≠∠HEN∴∠DGH≠∠CEH∴△HGD与△HEC不全等故结论（2）错误（3）∵△MAH ∼△BEA∴AH AE =AM BE 即1255=AM 3解得AM =3625由（2）得S △AHG =12MH ⋅AGS △DHC =12DC ⋅(AD −AM )∴S △AHGS △DHC =MH⋅AG DC⋅(AD−AM )=4825×34×(4−3625)=916故结论（3）正确（4）由（1）得H 是FK 的中点∴DK =DF −2FH由勾股定理得FH =√AF 2−AH 2=√32−(125)2=95 ∴DK =5−2×95=75故结论（4）正确 故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题考查了正方形的综合问题掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键三、解答题(共 36 分)17.解方程组{y =x −4x +y =6【答案】{x =5y =1【分析】利用代入消元法求解方程即可【详解】解：{y =x −4x +y =6 ①②把①代入②得x+(x−4)=6解得x=5把x=5代入①得y=1所以方程组的解为：{x=5y=1【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法仔细观察二元一次方程组的特点灵活选用代入法或加减法是解题关键18.如图点E、F在线段BC上AB//CD∠A=∠DBE=CF证明：AE=DF【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF即可得到结论【详解】证明：∵AB//CD∴∠B=∠C∵∠A=∠DBE=CF∴△ABE≌△DCF（AAS）∴AE=DF【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质熟记全等三角形的判定定理是解题的关键19.已知A=(mn −nm)⋅√3mnm−n（1）化简A（2）若m+n−2√3=0求A的值【答案】（1）√3(m+n)（2）6【分析】（1）先通分合并后因式分解然后约分化简即可（2）先把式子移项求m+n=2√3然后整体代入进行二次根式乘法运算即可【详解】解：（1）A=(m 2mn −n2nm)⋅√3mnm−n=(m+n)(m−n)mn⋅√3mnm−n=√3(m+n)（2）∵m+n−2√3=0∴m+n=2√3∴A=√3(m+n)=√3×2√3=6【点睛】本题考查分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算掌握分式化简计算会通分因式分解与约分二次根式的乘法运算是解题关键20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数随机调查了该年级20名学生统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：35363445245613554424根据以上数据得到如下不完整的频数分布表：（1）表格中的a=________b=________（2）在这次调查中参加志愿者活动的次数的众数为________中位数为________（3）若该校初三年级共有300名学生根据调查统计结果估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数【答案】（1）45（2）4次4次（3）90人【分析】（1）观察所给数据即可得到ab的值（2）根据众数和中位数的概念求解即可（3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论【详解】解：（1）根据所给数据可知参加3次志愿活动的有4人参加5次志愿活动的有5人所以a=4b=5故答案为：45（2）完成表格如下由表格知参加4次志愿活动的的人数最多为6人∴众数是4次20个数据中最中间的数据是第1011个即44=4（次）∴中位数为4+42故答案为：4次4次×100%=30%（3）20人中参加4次志愿活动的有6人所占百分比为620所以∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为：300×30%=90（人）答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人【点睛】本题考查众数、中位数、用样本估计总体解答本题的关键是明确题意利用数形结合的思想解答21.民生无小事枝叶总关情广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程今年计划新增加培训共100万人次（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次（2）“粤菜师傅”工程开展以来已累计带动33.6万人次创业就业据报道经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升已知李某去年的年工资收入为9.6万元预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可（2）设李某的年工资收入增长率为y根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次根据题意得x+2x+31=100解得x=23答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次（2）设李某的年工资收入增长率为y根据题意得9.6(1+y)≥12.48解得y≥0.3答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%【点睛】此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键22.如图在四边形ABCD中∠ABC=90°点E是AC的中点且AC=AD（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF交CD于点F连结EF、BF（保留作图痕迹不写作法）（2）在（1）所作的图中若∠BAD=45°且∠CAD=2∠BAC证明：△BEF为等边三角形【答案】（1）图见解析（2）证明见解析（1）根据基本作图—角平分线作法作出∠CAD的平分线AF即可解答（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=12AC并求出∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°再根据等腰三角形三线合一性质得出CF=DF从而得到EF为中位线进而可证BE=EF∠BEF=60°从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论【详解】解：（1）如图AF平分∠CAD（2）∵∠BAD=45°且∠CAD=2∠BAC∴∠CAD=30°∠BAC=15°∵AE=EC∠ABC=90°∴BE=AE=12AC∴∠ABE=∠BAC=15°∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=30°又∵AF平分∠CADAC=AD∴CF=DF又∵AE=EC∴EF=12AD=12ACEF//AD∴∠CEF=∠CAD=30°∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=60°∴△BEF为等边三角形【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理23.如图在平面直角坐标系xOy中直线l:y=12x+4分别与x轴y轴相交于A、B两点点P(x,y)为直线l在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标（2）设△PAO的面积为S求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围（3）作△PAO的外接圆⊙C延长PC交⊙C于点Q当△POQ的面积最小时求⊙C的半径【答案】（1）A（-80）B（04）（2）S=2x+16-8＜x＜0（3）4【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果（3）根据圆周角性质可得∠PAO=∠PQO∠POQ=90°由等角的三角函数关系可推出tan∠PAO=OBOA =12=tan∠PQO=OPOQ再根据三角形面积公式得S△POQ=1OP⋅OQ=1⋅m⋅2m=m2由此得结论当m最小时△POQ的面积最小最后利用圆的性质可得m有最小值且OA为⊙C的直径进而求得结果【详解】解：（1）当y=0时0=12x+4解得x=−8∴A（-80）当x=0时y=12×0+4=4∴B（04）（2）∵A（-8,0）∴OA=8点P在直线l:y=12x+4上∴y P=12x+4∴S△PAO=12OA⋅y P=12×8×(12x+4)=2x+16∵点P在第二象限∴12x+4＞0且x＜0解得-8＜x＜0（3）∵B（04）∴OB=4∵⊙C为△PAO的外接圆∴∠PAO=∠PQO∠POQ=90°∴tan∠PAO=OBOA =12=tan∠PQO=OPOQ设OP=m则OQ=2m∴S△POQ=12OP⋅OQ=12⋅m⋅2m=m2∴当m最小时△POQ的面积最小∴当OP⊥AB时m有最小值且OA为⊙C的直径即⊙C的半径为4【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键24.已知抛物线y=x2−(m+1)x+2m+3（1）当m=0时请判断点（24）是否在该抛物线上（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动当顶点移动到最高处时求该抛物线的顶点坐标（3）已知点E(−1,−1)、F(3,7)若该抛物线与线段EF只有一个交点求该抛物线顶点横坐标的取值范围【答案】（1）不在（2）（25）（3）x顶点<−12或x顶点>32或x顶点=1【分析】（1）先求出函数关系式再把（24）代入进行判断即可（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标最大值即为顶点最高点的纵坐标代入求解即可（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式代入二次函数解析式求出交点坐标再根据题意分类讨论求出m的值即可【详解】解：（1）把m=0代入y=x2−(m+1)x+2m+3得y=x2−x+3当x=2时y=22−2+3=5≠4所以点（24）不在该抛物线上（2）y=x2−(m+1)x+2m+3∴抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点坐标为（m+122m +3−(m+1)24）∴纵坐标为2m +3−(m+1)24令y =2m +3−(m+1)24=−14(m −3)2+5∵−14<0∴抛物线有最高点 ∴当m =3时y =2m +3−(m+1)24有最大值将m =3代入顶点坐标得（25） （3）∵E （-1-1）F （37） 设直线EF 的解析式为y =kx +b 把点E 点F 的坐标代入得{−k +b =−13k +b =7解得{k =2b =1∴直线EF 的解析式为y =2x +1将y =2x +1代入y =x 2−(m +1)x +2m +3得x 2−(m +1)x +2m +3=2x +1整理得：x 2−(m +3)x +2m +2=0 解得x 1=2,x 2=m +1 则交点为：（25）和（m +12m +3） 而（25）在线段EF 上∴若该抛物线与线段EF 只有一个交点则（m +12m +3）不在线段EF 上或（25）与（m +12m +3）重合∴m +1＜-1或m +1＞3或m +1=2（此时2m +3=5） ∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=m+12=1【点睛】25.如图在菱形ABCD 中∠DAB =60°AB =2点E 为边AB 上一个动点延长BA 到点F 使AF =AE 且CF 、DE 相交于点G（1）当点E 运动到AB 中点时证明：四边形DFEC 是平行四边形 （2）当CG =2时求AE 的长（3）当点E 从点A 开始向右运动到点B 时求点G 运动路径的长度 【答案】（1）见解析（2）43（3）23√7【分析】（1）根据E 为AB 中点可得EF =AB 再由菱形的性质推出CD ∥AB CD =AB 则EF =CD 即可证明结论（2）过点C 作CH ⊥AB 交FB 的延长线于点H 利用菱形及直角三角形的性质可求出BH =12BC =1并由勾股定理求得CH =√BC 2−BH 2=√3再根据相似三角形的判定及性质可证得EF =FG 设AE =x 则EF =2x 可表示出FH =3+xCF =2+2x 即可由CH 2+FH 2=CF 2建立关于x 的方程求解后可得出AE 的长（3）连接AG 并延长交CD 于点M 连接BD 交AM 于点N 并连接BM 首先由菱形的性质得出△ABD 为等边三角形则BD =AB =BC 再由CD ∥AB 得△AFG ∼△MCG △AEG ∼△MDG 由此可证得AF MC=AE MD再结合AE =AF 得出MC =MD =1则由等腰三角形性质推出BM ⊥CD 并分别求出BM =√3AM =√AM 2+BM 2=√7最后根据题意可得点G 运动路径的长度为线段AN 的长由平行线分线段成比例性质可得出AN =2MN 此题得解（1）证明：∵E为AB中点AB∴AF=AE=12∴EF=AB∵四边形ABCD是菱形∴CD∥AB CD=AB∴EF=CD∴四边形DFEC是平行四边形（2）解：如图过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H∵四边形ABCD是菱形AB=2∴AD∥BC AB=BC=CD=2∴∠CBH=∠DAB=60°∴∠BCH=30°BC=1∴BH=12则由勾股定理得CH=√BC2−BH2=√3∴△CDG∽△FEG∴CDEF =CGFG∵CD=CG=2∴EF=FG设AE=x则EF=2x∴FH=3+xCF=2+2x在Rt△CFH中由勾股定理得：CH2+FH2=CF2∴(√3)2+(3+x)2=(2+2x)2解得x1=43x2=−2（不合题意舍去）∴AE的长为43（3）如图连接AG并延长交CD于点M连接BD交AM于点N并连接BM∵四边形ABCD是菱形∠DAB=60°∴AB=AD∠DCB=∠DAB=60°∴△ABD为等边三角形同理可证：△BCD为等边三角形∴BD=AB=BC∵CD∥AB∴△AFG∼△MCG△AEG∼△MDG∴AFMC =AGMGAGMG=AEMD∴AFMC =AEMD∴MC=MD=12CD=1∴BM⊥CD则由勾股定理得：BM=√BC2−CM2=√3AM=√AM2+BM2=√7当点E从A出发运动到点B时点G始终在直线AM上运动运动轨迹为线段当点E与A重合时点G与点A重合当点E与B重合时点G为BD与AM的交点N∴点G运动路径的长度为线段AN的长∵CD∥AB∴ANMN =ABMD∴AN=2MN∴点G运动路径的长度为AN=23AM=23√7【点睛】此题属于四边形的综合问题考查了菱形的性质、平行四边形及相似三角形的判定与性质等知识点熟练掌握所学知识并灵活运用所学知识是解题的关键。
广东省广州市2024届中考数学试卷(含答案)
广东省广州市2024届中考数学试卷试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 四个数，，，中，最小的数是（）A. B. C. 0 D. 102. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（）A. B. C. D.3. 若，则下列运算正确的是（）A. B.C. D.4. 若，则（）A. B. C. D.5. 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（）A. 的值为20B. 用地面积在这一组的公园个数最多C. 用地面积在这一组的公园个数最少D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷6. 某新能车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（）A. B.C. D.7. 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（）A. 18B.C. 9D.8. 函数与的图象如图所示，当（）时，，均随着的增大而减小．A. B. C. D.9. 如图，中，弦长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（）A. 点在上B. 点在内C. 点在外D. 无法确定10. 如图，圆锥侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（）A B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为______．12. 如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______．13. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______．14. 若，则______．15. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______．16. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③的最小值是；④．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解方程：．18. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．19. 如图，中，．（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．20. 关于的方程有两个不等的实数根．（1）求的取值范围；（2）化简：．21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：组75788282848687889395组75778083858688889296（1）求组同学得分的中位数和众数；（2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．22. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．（1）求的长；（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）23. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长……身高……（1）在图1中描出表中数据对应的点；（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．24. 如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．（1）当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；（2）若，为的外接圆，设的半径为．①求的取值范围；②连接，直线能否与相切？如果能，求长度；如果不能，请说明理由．25. 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．（1）求抛物线的对称轴；（2）求的值；（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．①求的值；②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．参考答案1-5：ACBDB 6-10:ACDCD11.12.22013.514.1115. 或16. ①②④17.解：，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，解得：，经检验，是原方程的解，该分式方程的解为．18. 解：，，，四边形是正方形，，，，，又，．19. （1）解：如图，线段即为所求；（2）证明：如图，∵由作图可得：，由旋转可得：，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形．20. （1）（2）（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．∴，解得：；（2）解：∵，∴；21. （1）组同学得分的中位数为分，众数为分；（2）（1）解：由题意可知，每组学生人数为10人，中位数为第5、6名同学得分的平均数，组同学得分的中位数为分，分出现了两次，次数最多，众数为分；（2）解：由题意可知，、两组得分超过90分的同学各有2名，令组的2名同学为、，组的2名同学为、，画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种，这2名同学恰好来自同一组的概率．22. （1）的长约为8米；（2）模拟装置从点下降到点时间为秒．（1）解：如图，过点作交于点，由题意可知，，，在中，，米，，米，即的长约为8米；（2）解：米，米，米，在中，，米，，米，米，模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，模拟装置从点下降到点的时间为秒，即模拟装置从点下降到点的时间为秒．23. （1）解：如图所示：（2）解：由图可知：随着的增大而增大，因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入得：，解得：∴（3）解：将代入得：∴估计这个人身高24. （1），（2）①且；②能，（1）解：，；理由如下：∵在菱形中，，∴，，∵，∴，∴，由对折可得：，∴；（2）解：①如图，设的外接圆为，连接交于．连接，，，，∵四边形为菱形，，∴，，，∴为等边三角形，∴，∴共圆，，上，∵，∴，过作于，∴，，∴，当时，最小，则最小，∵，，∴，∴；点E不与B、C重合，，且，∴的取值范围为且；②能为的切线，理由如下：如图，以为圆心，为半径画圆，∵，∴在上，延长与交于，连接，同理可得为等边三角形，∴，∴，∴，∵为的切线，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，由对折可得：，，过作于，∴设，∵，∴，∴，解得：，∴，∴．25. （1）对称轴为直线：；（2）（3）①，②的最大值为，抛物线为；（1）解：∵抛物线，∴抛物线对称轴为直线：；（2）解：∵直线过点，∴，如图，∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，∴在的左边，，∵在抛物线的对称轴上，∴，∴，设，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如图，当时，与抛物线交于，∵直线，∴，∴，解得：，②∵，当时，，∴，∴，，∴，∵，∴当时，的最小值为，∴此时，∵对于任意的，均有成立，∴的最大值为，∴抛物线为；。
广东省广州市2020年中考数学试题(解析版)
2020年广州市初中毕业生学业考试数学第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次.将15233000用科学记数法表示应为（）A. 5⨯ D. 80.1523310⨯1.523310152.3310⨯ B. 615.23310⨯ C. 7【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．【详解】15233000=71.523310⨯,故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于熟练掌握科学记数法的表示方法．2.某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A. 套餐一B. 套餐二C. 套餐三D. 套餐四【答案】A【解析】【分析】通过条形统计图可以看出套餐一出现了50人，最多，即可得出答案．【详解】解：通过观察条形统计图可得：套餐一一共出现了50人，出现的人数最多，因此通过利用样本估计总体可以得出学生最喜欢的套餐种类是套餐一；故选：A ．【点睛】本题主要考查了条形统计图，明白条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，从条形统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．3.下列运算正确的是（ ）=B. =C. 5630x x x ⋅=D. ()5210x x = 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案.【详解】A 不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；B 、6a =，故该选项错误；C 、5611x x x ⋅=，故该选项错误；D 、()5210x x =，故该选项正确，故选：D.【点睛】此题考查计算能力，正确掌握二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则是解题的关键.4.ABC ∆中，点,D E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若68C ∠=︒，则AED =∠（ ）A. 22︒B. 68︒C. 96︒D. 112︒【答案】B【解析】【分析】根据点,D E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，得到DE 是ABC ∆的中位线，根据中位线的性质解答.【详解】如图，∵点,D E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，∴DE 是ABC ∆的中位线，∴DE ∥BC ，∴AED =∠68C ∠=︒，故选：B.【点睛】此题考查三角形中位线的判定及性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线的判定定理是解题的关键.5.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）A. 该圆锥的主视图是轴对称图形B. 该圆锥的主视图是中心对称图形C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 正确，该圆锥的主视图是中心对称图形，故B 错误，该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C 错误，该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D 错误，故选A ．【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键．6.一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ） A. 123y y y <<B. 321y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<【答案】B【解析】【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可．【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小．故选B ．【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．7.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4cos 5A =，以点B 为圆心，r 为半径作B ，当3r =时，B 与AC 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定 【答案】B【解析】【分析】 根据Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =，求出AC 的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC 与半径r 的大小，即可得出B 与AC 的位置关系．【详解】解：∵Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， 4cos 5A =， ∴cosA=45AC AB = ∵5AB =，∴AC=4∴BC=223BC AC -=当3r =时，B 与AC 的位置关系是：相切故选：B【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC 是解题的关键．8.往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽48AB cm =，则水的最大深度为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm【答案】C【解析】【分析】 过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ，根据垂径定理即可求得AD 的长，又由⊙O 的直径为52cm ，求得OA 的长，然后根据勾股定理，即可求得OD 的长，进而求得油的最大深度DE 的长．【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ， 由垂径定理得：11482422AD AB cm ==⨯=， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴26OA OE cm ==，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：2222=2624=10O m O A D A D c -=-，∴261016DE OE OD cm =-=-=，∴油的最大深度为16cm ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．9.直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个【答案】D【解析】【分析】根据直线y x a =+不经过第二象限，得到0a ≤，再分两种情况判断方程的解的情况.【详解】∵直线y x a =+不经过第二象限，∴0a ≤，∵方程2210ax x ++=，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆=2444b ac a -=-，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a 的取值范围，再分类讨论.10.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（ ）A. 485B. 325C. 245D. 125【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明AOE ADC 得到OE 的长，再证明DEF DBA 可得到EF 的长，从而可得到结论．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒6AB =，8BC =8AD BC ∴==，6DC AB ==2210AC AB BC ∴+=，10BD =，152OA AC ∴==， OE AC ⊥，90AOE ∴∠=︒AOE ADC ∴∠=∠，又CAD DAC ∠=∠，AOEADC ∴， AO AE EO AD AC CD∴==， 58106AE EO ∴==， 254AE ∴=，154OE =， 74DE ∴=， 同理可证，DEF DBA ，DE EF BD BA∴=，74106FF ∴=， 2120EF ∴=， 1521244205OE EF ∴+=+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.已知100A ∠=︒，则A ∠的补角等于________︒．【答案】80【解析】【分析】根据补角的概念计算即可．【详解】∠A 的补角=180°－100°=80°,故答案为:80．【点睛】本题考查补角的概念,关键在于牢记基础知识．12.=__________．【解析】【分析】先化简二次根式，再进行合并即可求出答案．==，【点睛】本题考查了二次根式的加减，关键是二次根式的化简，再进行合并．13.方程3122x x x =++的解是_______． 【答案】32 【解析】【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可． 【详解】3122x x x =++ 左右同乘2(x +1)得: 2x =3解得x =32． 经检验x =32是方程的跟． 故答案为: 32． 【点睛】本题考查解分式方程,关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．14.如图，点A 的坐标为()1,3，点B 在x 轴上，把OAB ∆沿x 轴向右平移到ECD ∆，若四边形ABDC 的面积为9，则点C 的坐标为_______．【答案】(4，3)【解析】【分析】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC 是平行四边形，得到AC=BD ，根据平行四边形的面积是9得到9BD AH ⋅=，求出BD 即可得到答案.【详解】过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，∵A （1,3），∴AH=3，由平移得AB ∥CD ，AB=CD ，∴四边形ABDC 是平行四边形，∴AC=BD ，∵9BD AH ⋅=，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)故答案为：(4，3).【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.15.如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '，AC '分别交对角线BD 于点,E F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为_______．【答案】16【解析】【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明AEF DEA ~，利用相似的性质即可得出答案．【详解】解：在正方形ABCD 中，BAC=ADB 45∠∠=︒，∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，∴B AC =BAC 45''∠∠=︒，∴EAF=ADE 45∠∠=︒，∵AEF=AED ∠∠，∴AEF DEA ~， ∴AE EF DE AE=， ∴22EF ED AE 416•===．故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．16.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm ）9.9，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近以值，当a =______mn 时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-最小．对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：mm ）12,,,n x x x ，若用x 作为这条线段长度的近似值，当x =_____mm 时，()()()22212n x x x x x x -+-++-最小．【答案】 (1). 10.0； (2). 12nx x x n+++．【解析】 【分析】（1）把222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-整理得：2360.0300.02a a -+，设2360.0300.02y a a =-+，利用二次函数性质求出当10.0a =时有最小值； （2）把()()()22212n x x x x x x -+-++-整理得：()()222212122n n nx x x x x x x x -++++++， 设()()222212122n n y nx x x x x x x x =-++++++，利用二次函数的性质即可求出当y 取最小值时x 的值．【详解】解：（1）整理222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-得：2360.0300.02a a -+， 设2360.0300.02y a a =-+， 由二次函数的性质可知：当60.010.023a -=-=⨯时，函数有最小值， 即：当10.0a =时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-的值最小， 故答案为：10.0；（2）整理()()()22212n x x x x x x -+-++-得：()()222212122n n nx x x x x x x x -++++++，设()()222212122n n y nx x x x x x x x =-++++++，由二次函数性质可知：当()121222n nx x x x x x x nn-++++++=-=⨯时，()()222212122n n y nx x x x x x x x =-++++++有最小值，即：当12n x x x x n+++=时，()()()22212n x x x x x x -+-++-的值最小，故答案为：12nx x x n+++．【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设()()()22212n y x x x x x x =-+-++-，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解不等式组：212541x x x x -+⎧⎨+<-⎩． 【答案】x ≥3 【解析】 【分析】根据解不等式组的解法步骤解出即可． 【详解】212541x x x x -+⎧⎨+<-⎩①②由①可得x ≥3,由②可得x>2,∴不等式的解集为：x ≥3．【点睛】本题考查解不等式组,关键在于熟练掌握解法步骤．18.如图，AB AD =，25BAC DAC ∠=∠=︒，80D ∠=︒．求BCA ∠的度数．【答案】75°. 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理求出∠DCA=75°，再证明△ABC ≌△ADC ，即可得到答案. 【详解】∵25DAC ∠=︒,80D ∠=︒, ∴∠DCA=75°, ∵AB AD =,25BAC DAC ∠=∠=︒,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠BCA=∠DCA=75°. 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定及性质，这是一道比较基础的三角形题.19.已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，化简：2216(1)444k k k k k -+---．【答案】5 【解析】 【分析】由反比例函数图象的性质可得k <0,化简分式时注意去绝对值． 【详解】由题意得k <0．()()22222441616(1)4=214214444k k k k k k k k k k k k k k k +---++-+++-=+-+----()24141415k k k k k k ++-=++-=+-+==【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题．20.为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下： 甲社区 67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95 乙社区 666972747578808185858889919698根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．【答案】（1）中位数是82，众数是85；（2）13. 【解析】 【分析】（1）根据中位数及众数的定义解答； （2）列树状图解答即可.【详解】（1）甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82， 出现次数最多的年龄是85，故众数是85；（2）这4名老人的年龄分别为67,68,66,69岁，分别表示为A 、B 、C 、D ， 列树状图如下：共有12种等可能的情况，其中2名老人恰好来自同一个社区的有4种，分别为AB ，BA ，CD ，DC ， ∴P （这2名老人恰好来自同一个社区）=41123=. 【点睛】此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，熟练掌握解题的方法是解题的关键.21.如图，平面直角坐标系xOy 中，OABC 的边OC 在x 轴上，对角线AC ，OB 交于点M ，函数()0ky x x=>的图象经过点()3,4A 和点M ．（1）求k 的值和点M 的坐标； （2）求OABC 的周长．【答案】（1）k=12，M （6,2）；（2）28 【解析】 【分析】（1）将点A （3,4）代入ky x=中求出k 的值，作AD ⊥x 轴于点D ，ME ⊥x 轴于点E ，证明△MEC ∽△ADC ，得到12ME MC AD CA ==，求出ME=2，代入12y x=即可求出点M 的坐标； （2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A 、M 的坐标求出DE ，即可得到OC 的长度，由此求出答案. 【详解】（1）将点A （3,4）代入ky x=中，得k=3412⨯=， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴MA=MC ，作AD ⊥x 轴于点D ，ME ⊥x 轴于点E ， ∴ME ∥AD ， ∴△MEC ∽△ADC ， ∴12ME MC AD CA ==， ∴ME=2，将y=2代入12yx=中，得x=6，∴点M的坐标为（6,2）；（2）∵A（3,4），∴OD=3，AD=4，∴225OA OD AD=+=,∵A（3,4），M（6,2），∴DE=6-3=3，∴CD=2DE=6，∴OC=3+6=9，∴OABC的周长=2(OA+OC)=28.【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.22.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．【答案】（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆．【解析】【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出式子即可求出答案；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程，求解即可．【详解】解：（1）依题意得：()501-50%=25⨯（万元）（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260-x ）辆,依题意得：()50260x +25x=9000⨯-解得：x=160答：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是160辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找到数量关系，列出方程． 23.如图，ABD ∆中，ABD ADB ∠=∠．（1）作点A 关于BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC ，DC ，连接AC ，交BD 于点O ． ①求证：四边形ABCD 是菱形；②取BC 的中点E ，连接OE ，若132OE =，10BD =，求点E 到AD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②12013．【解析】 【分析】（1）过点A 做BD 的垂线交BD 于点M ，在AM 的延长线上截取AM CM =，即可求出所作的点A 关于BD 的对称点C ；（2）①利用ABD ADB ∠=∠，AC BD ⊥得出BO DO =，利用AO CO =，以及AC BD ⊥得出四边形ABCD 是菱形；②利用OE 为中位线求出AB 的长度，利用菱形对角线垂直平分得出OB 的长度，进而利用Rt AOB ∆求出AO 的长度，得出对角线AC 的长度，然后利用面积法求出点E 到AD 的距离即可．【详解】（1）解：如图：点C 即为所求作的点；（2）①证明：∵ABD ADB ∠=∠，AC BD ⊥， 又∵AO AO =， ∴ABO ADO ∆≅∆； ∴BO DO =，又∵AO CO =，AC BD ⊥ ∴四边形ABCD 是菱形；②解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥ 又∵10BD =， ∴=5BO ， ∵E 为BC 的中点， ∴CE BE =， ∵AO CO =，∴OE 为ABC ∆的中位线， ∵132OE =， ∴13AB =， ∴菱形的边长为13， ∵AC BD ⊥，=5BO在Rt AOB ∆中，由勾股定理得：222AO AB BO =-，即：22135=12AO -， ∴12224AC =⨯=,设点E 到AD 的距离为h ，利用面积相等得：12410132h ⨯⨯=， 解得：12013h =，即E 到AD 的距离为12013．【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键．24.如图，O 为等边ABC ∆的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点,A B 重合），连接DA ，DB ，DC ．（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN ∆的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．【答案】(1)详见解析；(2)是， 23(234)4S x x =<≤；(3)3【解析】 【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA 到E,让AE=DB,证明△EAC ≌△DBC,即可表示出S 的面积；(3)作点D 关于直线BC 、AC 的对称点D 1、D 2，当D 1、M 、N 、D 共线时△DMN 取最小值，可得t =D 1D 2，有对称性推出在等腰△D 1CD 2中,t =3x ，D 与O 、C 共线时t 取最大值即可算出． 【详解】(1)∵△ABC 为等边三角形,BC=AC ， ∴AC BC =,都为13圆， ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC 是∠ADB 的角平分线． (2)是．如图，延长DA 至点E ，使得AE=DB ． 连接EC ，则∠EAC=180°－∠DAC ＝∠DBC ． ∵AE ＝DB ，∠EAC ＝∠DBC,AC ＝BC ， ∴△EAC ≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC 是等边三角形，∵DC=x ，∴根据等边三角形的特殊性可知DC 边上的高为3x ∴2133(234)2DBCADCEACADCCDES SSSSSx x x x =+=+==⋅⋅=<≤．(3)依次作点D 关于直线BC 、AC 的对称点D 1、D 2,根据对称性 C △DMN =DM+MN+ND=D 1M+MN+ND 2．∴D 1、M 、N 、D 共线时△DMN 取最小值t ,此时t =D 1D 2, 由对称有D 1C=DC=D 2C=x ，∠D 1CB=∠DCB ，∠D 2CA=∠DCA, ∴∠D 1CD 2=∠D 1CB+∠BCA+∠D 2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD 1D 2=∠CD 2D 1=60°，在等腰△D 1CD 2中,作CH ⊥D 1D 2，则在Rt △D 1CH 中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D 1H=133CD x =， 同理D 2H=23322CD x = ∴t =D 1D 2=33DC x =．∴x 取最大值时,t 取最大值．即D 与O 、C 共线时t 取最大值,x =4． 所有t 值中的最大值为43．【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量． 25.平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:012G y ax bx c a =++<<过点()1,5A c a -，()1,3B x ，()2,3C x ，顶点D 不在第一象限，线段BC 上有一点E ，设OBE △的面积为1S ，OCE △的面积为2S ，1232S S =+． （1）用含a 的式子表示b ； （2）求点E 的坐标；（3）若直线DE 与抛物线G 的另一个交点F 的横坐标为63a +，求2y ax bx c =++在16x <<时的取值范围（用含a 的式子表示）．【答案】（1）6b a =-；（2）7,32E ⎛⎫⎪⎝⎭或5,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）当16x <<时，有0＜y ＜9.a 【解析】【分析】（1）把()1,5A c a -代入：()2:012G y ax bx c a =++<<，即可得到答案； （2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与BC 的交点为H ，确定顶点的位置，分情况利用1232S S =+，求解OEH S ，从而可得答案；（3）分情况讨论，先求解DE 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解,c 结合二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）把()1,5A c a -代入：()2:012G y ax bx c a =++<<， 5,c a a b c ∴-=++6,b a ∴=-（2）6,b a =-∴ 抛物线：()26012,y ax ax c a =-+<< ∴ 抛物线的对称轴为：63,2a x a-=-= 顶点D 不在第一象限， ∴顶点D 在第四象限，如图，设1x ＜2,x 记对称轴与BC交点为H ，则,BH CH = ,OBH OCH S S ∴=1232S S =+， 3,2OBH OHE OCH OHE SS S S ∴+=-+ 3,4OHE S ∴= 133,24EH ∴⨯= 1,2EH ∴= 7,3,2E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当1x ＞2,x 同理可得：5,3.2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上：7,32E ⎛⎫⎪⎝⎭或5,3.2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）()22639,y ax ax c a x c a =-+=-+-()3,9,D c a ∴-当7,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设DE 为：,y kx b =+ 73239k b k b c a⎧+=⎪∴⎨⎪+=-⎩解得：621876318k c a b c a =-+⎧⎨=--⎩DE ∴为()621876318,y c a x c a =-++--()26621876318y ax ax c y c a x c a ⎧=-+⎪∴⎨=-++--⎪⎩消去y 得：()26224663180,ax c a x c a +-+--++= 由根与系数的关系得：6622433,c a a a-+-++=- 解得：9,c a = ()22693,y ax ax a a x ∴=-+=-当1x =时，4,y a =当6x =时，9,y a =当3x =时，0y =，当16x <<时，有0＜y ＜9.a 当5,32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,9,D c a - 同理可得DE 为：()218654518,y c a x c a =---++()22186545186y c a x c a y ax ax c ⎧=---++∴⎨=-+⎩同理消去y 得：()21226645180,ax a c x c a +-++--= 612266,a c a a-+∴+=- 解得：96,c a =+()2269636,y ax ac a a x ∴=-++=-+此时，顶点在第一象限，舍去，综上：当16x <<时，有0＜y ＜9.a【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键。
2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷及答案解析
2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）＝（）A．﹣2024B．2024C．D．2．（3分）如图所示的几何体由6个小正方体组合而成，其三视图中为轴对称图形的是（）A．主视图B．左视图C．俯视图D．均不是3．（3分）学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（）A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1 4．（3分）下列运算不正确的是（）A．B．C．（a2b）3＝a6b3D．5．（3分）等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．6．（3分）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形7．（3分）如图，为了测量河两岸A，B两点间的距离，在河的一岸与AB垂直的方向上取一点C，测得AC＝200米，∠ACB＝α，则AB＝（）A．200•tanα米B．200•sinα米C．200•cosα米D．米8．（3分）九年级同学去距离学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，剩余同学坐汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的2倍，设骑车的同学速度为x千米/小时，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为（）A．50B．40C．30D．2010．（3分）在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转90°的对应点P1（m，n）落在直线y＝﹣2x+1上，则代数式的值是（）A．B．C．﹣8D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）龙行龘龘，前程朤朤，生活䲜䲜，截止至2024年2月10日晚上8时，中央广播电视总台2024年春节联欢晚会“竖屏看春晚”直播播放量达到4.23亿次，将4.23亿用科学记数法表示为．12．（3分）已知A（﹣2，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2+x+m上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）13．（3分）某中学对九年级共450名学生进行“综合素质”评价，评价的结果分A，B，C，D共4个等级．现随机抽取30名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的条形图，据此估算全级学生中“综合素质”评价等级为“B”学生约有人．若将评价等级按所占比例绘制成扇形统计图，则评价等级为“D”对应扇形的圆心角度数为__________°．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，以EF为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为．16．（3分）如图，在△AOB中，，点O到线段AB的距离为．以点O为圆心，以2为半径作优弧DE，交AO于点D，交BO于点E，点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点E时停止，连接AM，BM，则△ABM面积S 的取值范围是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解不等式：3（2x+7）＞23．18．（4分）如图，AB⊥CF，DF⊥CF，AC∥DF，AB＝DE，求证：BF＝CE．19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，1），△ABC的三个顶点都在格点上．将△ABC在坐标系中平移，使得点A平移至图中点D（1，﹣1）的位置，点B对应点E，点C对应点F．（1）点B的坐标为，点F的坐标为；（2）在图中作出△DEF，并连接AD；（3）求在线段AB平移到线段DE的过程中扫过的面积．20．（6分）已知：．（1）化简A；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根．21．（8分）甲、乙两位同学相约玩纸牌游戏．（1）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别有四个不同的数字，将这四张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．若甲从中随机选择一张牌翻开，求他选中的牌面数字是整数的概率；（2）双方约定：两人各摸出一张牌，放回洗匀后再摸一张，若摸出的两张牌面数字之积为正数，那么甲赢，否则乙赢．这个规定是否公平？为什么？22．（10分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；（2）问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点．（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交半圆AB于点E，交线段直径AB于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）点P是弧AE上一点，连接BP，CP，AC＝6，BF＝2．①求tan∠BPC的值；②若CP为∠ACB的角平分线，求CP的长．24．（12分）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l 平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？25．（12分）如图，等边三角形ABC边长为2，点D是直线BC上一点，连接AD，将AD 绕点A逆时针旋转120°后得到AE．连接DE，AC与DE交于点F．（1）若AD⊥BC，求线段EF的长；（2）连接CE．①记点E的运动路径为l．试判断l与AC的位置关系；②在点D在运动的过程中，CE是否有最小值？如果有，请求出，并求此时的值；如果没有，请说明理由．2024年广东省广州市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【分析】根据二次根式的性质：化简即可．【解答】解：，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．2．【分析】先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义即可求解．【解答】解：如图所示：是轴对称图形的是左视图．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，轴对称图形，关键是得到该几何体的三视图．3．【分析】根据相关定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．【解答】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；B、，故该项描述正确，不符合题意；C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；D、方差为，故该项描述错误；符合题意，故选：D．【点评】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，熟练掌握众数，中位数，方差及平均数的求法是关键．4．【分析】根据立方根、二次根式的加减、积的乘方、分式的加减运算法则计算判断即可．【解答】解：A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、（a2b）3＝a6b3，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了分式的加减，整式的运算，立方根，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．5．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【解答】解：由题意可知：解得：x≥3故选：B．【点评】本题考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．6．【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．7．【分析】已知AC＝200米，∠ACB＝α，根据正切定义可得AB．【解答】解：tan∠ACB＝tanα＝，AB＝200•tanα（米），故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切定义．8．【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系，即可列出方程．【解答】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，则汽车的速度为2x，∵20分钟＝小时，∴，故选：C．【点评】本题考查了分式方程，理解题意建立等量关系是解答本题的关键．9．【分析】由AC＝BC，∠ACB＝100°，求得∠B＝∠A＝40°，由⊙O与AB，BC分别切于点D，C，根据切线长定理得BD＝BC，则∠BCD＝∠BDC，所以2∠BCD+40°＝180°，求得∠BCD＝70°，则∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，∴2∠BCD+40°＝180°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，故选：C．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线长定理等知识，求得∠B＝40°并且证明BD＝BC是解题的关键．10．【分析】过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，由题意可得出OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，2m+n＝1．易证△PQO≌△P1Q1O（AAS），即得出PQ＝OQ1＝n，PQ ＝P1Q1＝﹣m，即可求出P（﹣n，m），进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，∵P1（m，n），且在直线y＝﹣2x+1上，∴OQ1＝n，P1Q1＝﹣m，n＝﹣2m+1，∴2m+n＝1．由旋转的性质可知∠POP1＝90°，PO＝P1O，∴∠POQ+∠P1OQ1＝90°．又∵∠POQ+∠OPQ＝90°，∴∠OPQ＝∠P1OQ1．∵∠PQO＝∠P1Q1O＝90°，∴△PQO≌△P1Q1O（AAS），∴PQ＝OQ1＝n，PQ＝P1Q1＝﹣m，∴P（﹣n，m）．∵P是双曲线上的一点，∴，即．∴．故选：A．【点评】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．【解答】解：4.23亿＝423000000＝4.23×108，故答案为：4.23×108．【点评】本题考查科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法书写格式是关键．12．【分析】根据a＝1＞0，且，进而可求解．【解答】解：∵a＝1＞0，对称轴为，∴当x＝﹣2与x＝1时，函数值都都等于y2，∴当时函数值随自变量的增大而增大；∵，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．13．【分析】先根据抽取学生30名列方程求出a，再根据360°乘以等级为“D”占比求出对应的圆心角度数．【解答】解：由图得：13+3a+5+a＝30，解得a＝4，所以等级为“B”学生约有3a＝12人，等级为“D”对应扇形的圆心角度数为，故答案为：30，36．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．14．【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH＝AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH＝AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝AB＝×2＝，∴GH＝，即GH的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．15．【分析】根据EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，可求出∠BEG＝∠CEH＝60°，所以∠GEH＝60°，再根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，∴EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝1，∴cos∠BEG＝cos∠CEH＝＝，∴∠BEG＝∠CEH＝60°，∴∠GEH＝60°，∴长为＝π．故答案为：π．【点评】此题考查了弧长公式、正方形的性质、解直角三角形，正确求出∠GEH＝60°是解题的关键．16．【分析】由勾股定理可求出AB＝12，再根据面积法可求出点O到线段AB的距离；由图易知△ABM的AB边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于AB的直线上，求出最小高和最大高，进而求出△ABM的面积为S的取值范围．【解答】解：在△AOB中，，∴，，∴∠OAB＝60°，∠ABO＝30°，设点O到线段AB的距离为h，又，∴，∴点O到线段AB的距离为；如图：Ⅰ．由图可知，△ABM的AB边最小高为M在D时，∵OD＝2，AO＝6，∴AD＝4，∴，∴△ABM的面积为S的最小值＝．Ⅱ．在过点O且垂直于AB的直线上时，△ABM的AB边的高最大，∴△ABM的AB边的高最大值为，∴△ABM的面积为S的最大值为＝．∴△ABM的面积为S取值范围为：．故答案为：；．【点评】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，正确作出图形是解决此题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【分析】不等式的两边同时除以一个负数，要改变不等号的方向．先去括号、再移项，然后合并同类项，最后系数化1求得不等式的解集．【解答】解：3（2x+7）＞23，6x+21＞23，6x＞2，．【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是关键．18．【分析】运用AAS证明△ABC≌△DEF，得到EF＝BC，再根据等式的性质即可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC＝∠DEF＝90°．∵AC∥DF，∴∠C＝∠F，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴EF＝BC．∴EF﹣BE＝BC﹣BE．即：BF＝CE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．19．【分析】（1）根据点D的位置，结合平移的性质可得出答案．（2）运用平移的性质作出图形即可；（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，求出面积【解答】解：（1）点B的坐标为（﹣2，4）；∵A（﹣4，1），D（1，﹣1），C（0，3）∴由平移得点F的坐标为：（5，1），故答案为：（﹣2，4）；（5，1）；（2）如图，△DEF和AD即为所作：（3）线段AB沿AD的方向平移到DE的过程中扫过的图形为平行四边形ADEB，．【点评】本题考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移的性质及平行四边形面积求法．20．【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可；（2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论；②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论．【解答】解：（1）＝﹣＝；（2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，∴a2+a＝8﹣a，∴a（a+2）＝8，∴A＝＝；【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一元一次方程的解，分式的运算，把分式化简是解题的关键．21．【分析】（1）直接根据概率公式计算即可．（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出甲赢和乙赢的概率，最后进行比较即可．【解答】解：（1）共有4张牌，正面是整数的情况有2种，所以摸到正面是整数的纸牌的概率是；（2）这个规定否公平，理由如下：画树状图如下：共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌面数字之积为正数的有8种，∴甲赢的概率为，乙赢的概率为，∴甲赢的概率＝乙赢的概率，故这个规定否公平．【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，掌握概率公式使解题的关键．22．【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用y＝2分别得出x的值，进而得出答案．【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，将（4，10）代入得：6＝4k，解得：k＝，故直线解析式为：y＝x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝，将（4，10）代入得：10＝，解得：a＝40，故反比例函数解析式为：y＝；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）．（2）当y＝5，则5＝x，解得：x＝2，当y＝5，则5＝，解得：x＝8，∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．【分析】（1）在半圆AB上取点E，使，根据垂径定理的推论可知AB⊥DE，由此即可完成作图；（2）①连接OD，证明△ACB∽△OFD，设的半径为r，利用相似三角形的性质得r＝5，AB＝2r＝10，由勾股定理求得BC，得到，即可得到；②过点B作BG⊥CP交CP于点G，证明△CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由CP＝CG+GP即可求解．【解答】解：（1）如图，在半圆AB上取点E，使，连接DE交AB于F，∴DE⊥AB，（2）解：①连接OD，∵D是BC的中点∴CD＝BD，∴∠CAB＝∠DOB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴，设⊙O的半径为r，则，解得r＝5，经检验，r＝5是方程的解，∴AB＝2r＝10，∴，∴，∵∠BPC＝∠CAB，∴；②如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，∴∠BGC＝∠BGP＝90°，∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴∠CBG＝45°，∴，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；②得出CN＝EF＝．求出MC＝﹣m，当MC≥，即m≤﹣1时，当MC＜，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．∵抛物线经过点A（1，0），∴0＝1+b﹣3，解得b＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．∴a＝1，b＝﹣m﹣1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，∴AE＝＝﹣m，∵AE＝EF＝2，∴﹣m＝2，解得m＝﹣2．此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF＝＝．∴点F的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝EF＝．根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，∴在Rt△MCO中，MC＝＝﹣m．当MC≥，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．MN的最小值为MC﹣NC＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；当MC＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣．∴当m的值为﹣或﹣时，MN的最小值是．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到点D是BC的中点，，求得，得到，根据旋转的性质得到，∠DAE＝120°，得到∠FAE＝90°，由勾股定理求得EF＝2；（2）①将AB绕点A逆时针旋转120°后得到AM．将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE．证明△ABD≌AME（SAS），证明∠MEA＝∠CAE，得l∥AC；②点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．过A作AH⊥CD于H，根据全等三角形的性质得到AH＝CE，DH＝AC＝2，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴点D是BC的中点，，∵AB＝2，∴，∴∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，∴，∴∠ADE＝∠E＝30°，∴∠FAE＝90°，∵由勾股定理得，AE2+AF2＝EF2，∴解得，EF＝2；（2）①l∥AC，理由如下：如图，将AB绕点A逆时针旋转120°得到AM，连接ME，∴AB＝AM，∠BAM＝120°，∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠EAM，∴△ABD≌AME（SAS）∴∠AME＝∠ABD＝120°，∴∠MEA+∠MAE＝60°，∵∠DAE＝120°，∠BAC＝60°，∴∠DAB+∠CAE＝60°，∴∠MAE+∠CAE＝60°，∴∠MEA＝∠CAE，∴ME∥AC，即l∥AC；②∵点E在定直线上运动，当CE⊥AC时CE最短．过A作AH⊥CD于H，∴∠AHD＝∠ACE＝90°，∵∠CAM＝120°﹣∠BAC＝60°，∴∠CAD＝60°﹣∠EAM，∵，∴∠ADH＝180°﹣∠AHD﹣∠BAH﹣∠DAB＝60°﹣∠DAB，∴∠ADH＝∠CAE，∵AD＝AE，∴△ADH≌△EAC（AAS），∴AH＝CE，DH＝AC＝2，∵，∴BD＝1，∵，∴，∴．所以，CE的最小值为，．【点评】本题考查了三角形综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质勾股定理以及30°角所对直角边等于斜边的一半等知识．正确作出辅助线是解题的关键。
2020年广东省广州市中考数学试卷及答案
A. 152.33 105
B. 15.233 106
C. 1.5233 107
D. 0.15233108
2.某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图 的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）
A.套餐一
B.套餐二
3.下列运算正确的是（ ）
（2）在（1）所作的图中，连接 BC ， DC ，连接 AC ，交 BD 于点 O .
①求证：四边形 ABCD 是菱形； ②取 BC 的中点 E ，连接 OE ，若 OE 13 ， BD 10 ，求点 E 到 AD 的距离.
2 24.如图，O 为等边 ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧 AB 上运动（不与点 A, B 重合），连接 DA ，
B.1 个
C.2 个
D.1 个或 2 个
10.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ， AB 6 ， BC 8，过点 O 作 OE AC ，交 AD 于
点 E ，过点 E 作 EF BD ，垂足为 F ，则 OE EF 的值为（ ）
A. 48 5
B. 32 5
C. 24 5
D.无法确定
8.往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB 48cm ，则水的最大深
度为（ ）
A. 8cm
B.10cm
C.16cm
D. 20cm
9.直线 y x a 不经过第二象限，则关于 x 的方程 ax2 2x 1 0 实数解的个数是（ ）.
A.0 个
D. 12 5
第二部分 非选择题（共 120 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）
2023年广东省广州市中考数学真题及答案解析
2023年广州市初中学业水平考试数学本试卷共7页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3.非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.()2023--=（）A.2023- B.2023 C.12023- D.12023【答案】B【解析】【分析】2023-的相反数是2023．【详解】()20232023--=，故选：B ．【点睛】本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．2.一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合，故选：D ．【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．3.学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（）A.众数为10B.平均数为10C.方差为2D.中位数为9【答案】A【解析】【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案．【详解】解：A 、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确；B 、10119101210.45x ++++==，故该项错误；C 、方差为()()()()2222121010.41110.4910.41210.4 1.045⎡⎤⨯⨯-+-+-+-=⎣⎦，故该项错误；D 、中位数为10，故该项错误；故选：A ．【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A.()325a a = B.824a a a ÷=（0a ≠） C.358a a a ⋅= D.12(2)a a-=（0a ≠）【答案】C【解析】【分析】根据整式的计算法则：幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则分别计算判断．【详解】解：A 、()326a a =，故该项原计算错误；B 、826a a a ÷=（0a ≠），故该项原计算错误；C 、358a a a ⋅=，故该项原计算正确；D 、11(2)2a a-=（0a ≠），故该项原计算错误；故选：C ．【点睛】此题考查了整式的计算法则，熟记幂的乘方法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，负整数指数幂计算法则是解题的关键．5.不等式组21,1223x x x x ≥-⎧⎪+⎨>⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．【详解】解：解不等式21x x ≥-，得1x ≥-，解不等式1223x x +>，得3x <，∴不等式组的解集为13x -≤<，在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点．6.已知正比例函数1y ax =的图象经过点()1,1-，反比例函数2b y x=的图象位于第一、第三象限，则一次函数y ax b =+的图象一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据正比例函数1y ax =的图象经过点()1,1-，()1,1-在第四象限，推出a<0，根据反比例函数2b y x=的图象位于第一、第三象限，推出0b >，则一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，即可解答．【详解】解：∵正比例函数1y ax =的图象经过点()1,1-，()1,1-在第四象限，∴正比例函数1y ax =经过二、四象限，∴a<0，∵反比例函数2b y x=的图象位于第一、第三象限，∴0b >，∴一次函数y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y ax b =+的图象一定不经过第三象限，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．7.如图，海中有一小岛A ，在B 点测得小岛A 在北偏东30°方向上，渔船从B 点出发由西向东航行10n mile 到达C 点，在C 点测得小岛A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A 的距离为（）n mileA.3 B.3 C.20 D.【答案】D【解析】【分析】连接AC ，此题易得30BAC ∠=︒，得220AB BC ==，再利用勾股定理计算AC 即可．【详解】解：连接AC ，由已知得：903060ABC ∠=︒-︒=︒，90ACB ∠=︒，10CB =，∴30BAC ∠=︒，在Rt ABC △中，220AB BC ==，∴AC ===（n mile ），故选：D【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．8.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（）A.36048060x x =+ B.36048060x x =- C.36048060x x =- D.36048060x x=+【答案】B【解析】【分析】根据提速前后所用时间相等列式即可．【详解】解：根据题意，得36048060x x=-．故选：B ．【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．9.如图，ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若I 的半径为r ，A α∠=，则()BF CE BC +-的值和FDE ∠的大小分别为（）A.2r ，90α︒- B.0，90α︒- C.2r ，902α︒- D.0，902α︒-【答案】D【解析】【分析】如图，连接IF IE ，．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接IF IE ，．∵ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，∴BF BD CD CE IF AB IE AC ==⊥⊥，，，，∴0BF CE BC BD CD BC BC BC +-=+-=-=，90AFI AEI ∠=∠=︒，∴180EIF α∠=︒-，∴119022EDF EIF α∠=∠=︒-．故选：D ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．10.已知关于x 的方程()222210x k x k --+-=有两个实数根，则2的化简结果是（）A.1- B.1 C.12k -- D.23k -【答案】A【解析】【分析】首先根据关于x 的方程()222210x k x k --+-=有两个实数根，得判别式()()22224110k k ⎡⎤=---⨯⨯-≥⎣⎦ ，由此可得1k ≤2-进行化简．【详解】解：∵关于x 的方程()222210x k x k --+-=有两个实数根，∴判别式()()22224110k k ⎡⎤=---⨯⨯-≥⎣⎦ ，整理得：880k -+≥，∴1k ≤，∴10k -≤，20k ->，2-()()12k k =----1=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个，将280000用科学记数法表示为____________．【答案】52.810⨯【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，据此判断即可．【详解】解：5280000 2.810=⨯．故答案为：52.810⨯．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，确定a 与n 的值是解题的关键．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．12.已知点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线23y x =-上，且120x x <<，则1y _________2y ．（填“<”或“>”或“=”）【答案】<【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：23y x =-的对称轴为y 轴，∵10a =>，∴开口向上，当0x >时，y 随x 的增大而增大，∵120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．13.2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a 的值为____________．若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为___________．【答案】①.30②.36︒##36度【解析】【分析】用总件数100减去其他奖品的数量即可得到a 的值，利用“一等奖”与作品总数的比乘以360︒即可得到“一等奖”对应扇形的圆心角度数．【详解】解：10010501030a =---=，“一等奖”对应扇形的圆心角度数为1036036100⨯︒=︒，故答案为：30，36︒．【点睛】此题考查了条形统计图，计算圆心角度数，计算条形统计图某项的数量，正确理解条形统计图是解题的关键．14.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上，且1BE =，F 为对角线BD 上一动点，连接CF ，EF ，则CF EF +的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】连接AE 交BD 于一点F ，连接CF ，根据正方形的对称性得到此时CF EF AE +=最小，利用勾股定理求出AE 即可．【详解】解：如图，连接AE 交BD 于一点F ，连接CF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴点A 与点C 关于BD 对称，∴AF CF =，∴CF EF AF EF AE +=+=，此时CF EF +最小，∵正方形ABCD 的边长为4，∴4,90AD ABC =∠=︒，∵点E 在AB 上，且1BE =，∴AE ===，即CF EF +．【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．15.如图，已知AD 是ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是ABD △和ACD 的高，12AE =，5DF =，则点E 到直线AD 的距离为____________．【答案】6013##8413【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D 到AC 的距离等于点D 到AB 的距离DE 的长度，然后根据勾股定理求出AD ，最后根据等面积法求解即可．【详解】解：∵AD 是ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是ABD △和ACD 的高，5DF =，∴5DE DF ==，又12AE =，∴13AD ==，设点E 到直线AD 的距离为x ，∵1122AD x AE DE ⋅=⋅，∴6013AE DE x AD ⋅==．故答案为：6013．【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点M 是边AC 上一动点，点D ，E 分别是AB ，MB 的中点，当 2.4AM =时，DE 的长是___________．若点N 在边BC 上，且CN AM =，点F ，G 分别是MN ，AN 的中点，当 2.4AM >时，四边形DEFG 面积S 的取值范围是____________．【答案】①.1.2②.34S <≤【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得1 1.22DE AM ==，设AM x =，从而1122DE AM x ==，由此得到四边形DEFG 是平行四边形，结合DE 边上的高为142x ⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到函数解析式，进而得到答案．【详解】解：∵点D ，E 分别是AB ，MB 的中点，∴DE 是ABM 的中位线，∴1 1.22DE AM ==；如图，设AM x =，由题意得，DE AM ∥，且12DE AM =，∴1122DE AM x ==，又F 、G 分别是MN AN 、的中点，∴FG AM ∥，12FG AM =，∴DE FG ∥，DE FG =，∴四边形DEFG 是平行四边形，由题意得，GF 与AC 的距离是12x ，∴8BC ==，∴DE 边上的高为142x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴四边形DEFG 面积211142224S x x x x ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭()21444x =--+，∵2.46x <≤，∴34S <≤，故答案为：1.2，34S <≤．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解方程：2650x x -+=．【答案】11x =，25x =【解析】【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2650x x -+=，()()150x x --=，10x -=或50x -=，11x =，25x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．18.如图，B 是AD 的中点，BC DE ∥，BC DE =.求证：C E ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件证得AB BD =，ABC D ∠=∠，然后证明()SAS ABC BDE ≌ ，应用全等三角形的性质得到C E ∠=∠．【详解】证明：∵B 是AD 的中点，∴AB BD =，∵BC DE ∥，∴ABC D ∠=∠，在ABC 和BDE △中，AB BD ABC D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC BDE ≌ ，∴C E ∠=∠．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．19.如图，在平面直角坐标系v 中，点()2,0A -，()0,2B ， AB 所在圆的圆心为O ．将 AB 向右平移5个单位，得到 CD （点A 平移后的对应点为C ）．（1）点D 的坐标是___________， CD所在圆的圆心坐标是___________；（2）在图中画出 CD，并连接AC ，BD ；（3）求由 AB ，BD ，DC ，CA 首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）【答案】（1）()5,2，()5,0（2）见解析（3）10π++【解析】【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；（2）以点()5,0为圆心，2为半径画弧，即可得出 CD；（3）根据弧长公式求出 AB ，根据平移的性质得出5AC BD ==，根据勾股定理求出CD ，最后相加即可．【小问1详解】解：∵()0,2B ， AB 所在圆的圆心为()0,0O ，∴()5,2D ， CD所在圆的圆心坐标是()5,0，故答案为：()5,2，()5,0；【小问2详解】解：如图所示： CD即为所求；【小问3详解】解：连接CD ，∵()2,0A -，()0,2B ，∴ AB 的半径为2，∴ 902180AB ππ⨯==，∵将 AB 向右平移5个单位，得到 CD，∴()()5,3,0,5,2AC BD C D ==，∴CD ==，∴由 AB ，BD ，DC ，CA 首尾依次相接所围成的封闭图形的周长5210ππ=+⨯+=++【点睛】本题主要考查了平移的性质，求弧长，勾股定理，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式180n r l π=，以及勾股定理的内容．20.已知3a >，代数式：228A a =-，236B a a =+，3244C a a a =-+．（1）因式分解A ；（2）在A ，B ，C 中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）()()222a a +-（2）见解析【解析】【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．【小问1详解】解：()()()222824222A a a a a =-=-=+-；【小问2详解】解：①当选择A 、B 时：()()()22323222236248a a B a A a a a a a a +===++---，()()()22222243228363a a A a B a a aa a a ++=+---==；②当选择A 、C 时：()()()2322222222244428a a C a a a a a a A a a a ---===-+-++，()()()2322222228424224a a A a C a a a a a a a a +---+-+===-；③当选择B 、C 时：()()2322224432364436a a C a a a a a B a a a a a --+==-+++=+，()()2222336443236442a B a a a a a a a C a a a a ++===+-++--．【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．21.甲、乙两位同学相约打乒乓球．（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A ，B ，C ，D ），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C 的概率；（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？【答案】（1）14（2）公平．理由见解析【解析】【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C 的结果数除以总的结果数即可；（2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．【小问1详解】解：画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C 有3种可能的结果，∴乙选中球拍C 的概率31124==；【小问2详解】解：公平．理由如下：画树状图如下：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，∴甲先发球的概率2142==，乙先发球的概率42142-==，∵1122=，∴这个约定公平．【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．22.因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用1y （元）与该水果的质量x （千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用2y （元）与该水果的质量x （千克）之间的函数解析式为210y x =（0x ≥）.（1）求1y 与x 之间的函数解析式；（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？【答案】（1）当05x <≤时，115y x =；当5x >时，1930y x =+（2）选甲家商店能购买该水果更多一些【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）分别计算1600y =时2600y =时x 的值，比较即可得到结论【小问1详解】解：当05x <≤时，设1y kx =，将()5,75代入，得575k =，∴15k =，∴115y x =；当5x >时，设1y mx n =+，将点()5,75，()10,120代入，得57510120m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得930m n =⎧⎨=⎩，∴1930y x =+【小问2详解】当1600y =时，930600x +=，解得1903x =；当2600y =时，10600x =，解得60x =，∵190603>，∴选甲家商店能购买该水果更多一些．【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，求自变量的值，正确理解函数图象是解题的关键．23.如图，AC 是菱形ABCD 的对角线．（1）尺规作图：将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，点B 旋转后的对应点为D （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD ，CE ；①求证：ABD ACE ∽；②若1tan 3BAC ∠=，求cos DCE ∠的值．【答案】（1）作法、证明见解答；（2）①证明见解答；②cos DCE ∠的值是35．【解析】【分析】（1）由菱形的性质可知AD AB =，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，也就是以AD 为一边在菱形ABCD 外作一个三角形与ABC 全等，第三个顶点E 的作法是：以点D 为圆心，BC 长为半径作弧，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交前弧于点E ；（2）①由旋转得AB AD =，AC AE =，BAC DAE ∠=∠，则AB AD AC AE=，BAD CAE ∠=∠，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明ABD ACE ∽；②延长AD 交CE 于点F ，可证明ABC ADC ∆≅∆，得BAC DAC ∠=∠，而BAC DAE ∠=∠，所以DAE DAC ∠=∠，由等腰三角形的“三线合一”得AD CE ⊥，则90CFD ∠=︒，设CF m =，CD AD x ==，则1tan tan 3CF DAC BAC AF =∠=∠=，所以3AF m =，3DF m x =-，由勾股定理得222(3)m m x x +-=，求得53CD x m ==，则3cos 5CF DCE CD ∠==．【小问1详解】解：如图1，ADE V 就是所求的图形．．【小问2详解】证明：①如图2，由旋转得AB AD =，AC AE =，BAC DAE ∠=∠，∴AB AD AC AE=，BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠，ABD ACE ∴△∽△．②如图2，延长AD 交CE 于点F ，AB AD = ，BC DC =，AC AC =，()SSS ABC ADC ∴△≌△，BAC DAC ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠ ，DAE DAC ∴∠=∠，AE AC = ，AD CE ∴⊥，90CFD ∴∠=︒，设CF m =，CD AD x ==， 1tan tan 3CF DAC BAC AF =∠=∠=，33AF CF m ∴==，3DF m x ∴=-，222CF DF CD += ，222(3)m m x x ∴+-=，∴解关于x 的方程得53x m =，53CD m ∴=，3cos 553CF m DCE CD m ∴∠===，cos DCE ∴∠的值是35．【点睛】此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．24.已知点(),P m n 在函数()20y x x=-<的图象上．（1）若2m =-，求n 的值；（2）抛物线()()y x m x n =--与x 轴交于两点M ，N （M 在N 的左边），与y 轴交于点G ，记抛物线的顶点为E ．①m 为何值时，点E 到达最高处；②设GMN 的外接圆圆心为C ，C 与y 轴的另一个交点为F ，当0m n +≠时，是否存在四边形FGEC 为平行四边形？若存在，求此时顶点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）n 的值为1；（2）①m =；②假设存在，顶点E的坐标为722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，或722⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）把2m =-代入2(0)y x x =-<得212n =-=-，即可求解；（2）①2m n x +=，得2211()()()2()244y x m x n m n m n =--=--=--+≤-，即可求解；②求出直线TS 的表达式为：11()122y m x m =---，得到点C 的坐标为122m n +⎛⎫- ⎪⎝⎭，；由垂径定理知，点C 在FG 的中垂线上，则12()2(2)32C G FG y y =-=⨯-+=；由四边形FGEC 为平行四边形，则132C E E CE FG y y y ===-=--，求出72E y =-，进而求解．【小问1详解】解：把2m =-代入2(0)y x x =-<得212n =-=-；故n 的值为1；【小问2详解】解：①在()()y x m x n =--中，令0y =，则()()0x m x n --=，解得x m =或x n =，(,0)M m ∴，(,0)N n ，点(,)P m n 在函数2(0)y x x=-<的图象上，2mn ∴=-，令2m n x +=，得2211()()()2)244y x m x n m n m n =--=--=--+≤-，即当0m n +=，且mn 2=-，则22m =，解得：m =（正值已舍去），即m =时，点E 到达最高处；②假设存在，理由：对于()()y x m x n =--，当0x =时，2y mn ==-，即点(0,2)G -，由①得(,0)M m ，(,0)N n ，(0,2)G -，21(())24m n E m n +--，，对称轴为直线2m n x +=，由点(,0)M m 、(0,2)G -的坐标知，2tan OG OMG OM m∠==-，作MG 的中垂线交MG 于点T ，交y 轴于点S ，交x 轴于点K ，则点112T m ⎛⎫⎪⎝-⎭，，则1tan 2MKT m ∠=-，则直线TS 的表达式为：11()122y m x m =---．当2m n x +=时，111()1222y m x m =---=-，则点C 的坐标为122m n +⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由垂径定理知，点C 在FG 的中垂线上，则12()2(2)32C G FG y y =-=⨯-+=． 四边形FGEC 为平行四边形，则132C E E CE FG y y y ===-=--，解得：72E y =-，即217()42m n --=-，且mn 2=-，则m n +=∴顶点E 的坐标为722⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，或722⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．25.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 上一动点（不与点A ，D 重合）．边BC 关于BE 对称的线段为BF ，连接AF ．（1）若15ABE ∠=︒，求证：ABF △是等边三角形；（2）延长FA ，交射线BE 于点G ；①BGF 能否为等腰三角形？如果能，求此时ABE ∠的度数；如果不能，请说明理由；②若AB =+，求BGF 面积的最大值，并求此时AE 的长．【答案】（1）见解析（2）①BGF 能为等腰三角形，22.5ABE =︒∠；②AE =【解析】【分析】（1）由轴对称的性质得到BF BC =，根据正方形的性质得到90ABC ∠=︒，求得75CBE ∠=︒，根据轴对称的性质得到75FBE CBE ∠=∠=︒，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）①根据轴对称的性质得到BC BF =，根据正方形的性质得到BC AB =，得到BA BE BG <<，推出点B 不可能是等腰三角形BGF 的顶点，若点F 是等腰三角形BGF 的顶点，则有FGB FBG CBG ∠=∠=∠，此时E 与D 重合，不合题意，于是得到只剩下GF GB =了，连接CG 交AD 于H ，根据全等三角形的性质得到FG CG =，得到BGF 为等腰三角形，根据平行线的性质得到AHG BCG ∠=∠，求得1452BGF BGC FGH ∠=∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到()118067.52GBC GCB BGC ∠=∠=︒-∠=︒，于是得到9067.522.5ABE ABC GBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②由①知，CBG FBG ≌，要求BGF 面积的最大值，即求BGC 面积的最大值，在BGC 中，底边BC 是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G 作GP BC ⊥于P ，连接AC ，取AC 的中点M ，连接GM ，作MN BC ⊥于N ，设2AB x =，则AC =，根据直角三角形的性质得到11,22GM AC MN AB x ====，推出1)PG GM MN x ≤+=+，当当G ，M ，N 三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设PG 与AD 交于Q ，则四边形ABPQ 是矩形，根据矩形的性质得到2AQ PB x PQ AB x ====，，求得,QM MP x GM ===，于是得到结论．【小问1详解】证明：由轴对称的性质得到BF BC =，∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，∵15ABE ∠=︒，∴75CBE ∠=︒，∵BC 于BE 对称的线段为BF ，∴75FBE CBE ∠=∠=︒，∴60ABF FBE ABE ∠=∠-∠=︒，∴ABF △是等边三角形；【小问2详解】①∵BC 于BE 对称的线段为BF ，∴BF BC=∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB =，∴BF BC BA ==，∵E 是边AD 上一动点，∴BA BE BG <<，∴点B 不可能是等腰三角形BGF 的顶点，若点F 是等腰三角形BGF 的顶点，则有FGB FBG CBG ∠=∠=∠，此时E 与D 重合，不合题意，∴只剩下GF GB =了，连接CG 交AD 于H ，∵BC BF CBG FBG BG BG=∠=∠=，，∴()SAS CBG FBG ≌∴FG CG =，∴BG CG =，∴BGF 为等腰三角形，∵BA BC BF ==，∴BFA BAF ∠=∠，∵CBG FBG ∠ ≌，∴BFG BCG∠=∠∴AD BC∥∴AHG BCG∠=∠∴18090BAF HAG AHG HAG BAD ∠+∠=∠+∠=︒∠=︒－∴18090FGC HAG AHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴1452BGF BGC FGH ∠=∠=∠=︒∵GB GC=∴()118067.52GBC GCB BGC ∠=∠=︒-∠=︒∴9067.522.5ABE ABC GBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②由①知，CBG FBG≌要求BGF 面积的最大值，即求BGC 面积的最大值，在BGC 中，底边BC 是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G 作GP BC ⊥于P ，连接AC ，取AC 的中点M ，连接GM ，作MN BC ⊥于N ，设2AB x =，则AC =，∵=90AGC ∠︒，M 是AC 的中点，∴11,22GM AC MN AB x ====，∴1)PG GM MN x ≤+=+，当G ，M ，N 三点共线时，取等号，∴BGF 面积的最大值，BGF 的面积1·2BC PG =)21x =)2114=+⨯+211524+=如图3，设PG 与AD 交于Q ，则四边形ABPQ 是矩形，∴2AQ PB x PQ AB x ====，，∴,QM MP x GM ===，∴)112GQ =，∵QE AE AQ x +==，∴12AQ AE +=，∴)21AE x =-21)12⨯==．【点睛】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．。
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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）2．如图2，，直线分别与相交，若则（ ） A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°3．实数在数轴上的位置如图3所示，则与的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．无法确定4．二次函数的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．图1A B CD图21 2 0b a图3A．2 B．1 C．D．5．图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4下列说法中错误．．的是（）A．这一天中最高气温是24℃B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低6．下列运算正确的是（）A．B．C．D．7．下列函数中，自变量的取值范围是的是（）A．B．C．D．8．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形9．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图5所示），则的值为（）A．B．C．D．图5A DGB CFE图6温度T(℃时间(时图426242220181614121086422 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24O10．如图6，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．已知函数，当时，的值是．12．在某校举行的“艺术节”的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是．13．绝对值是6的数是．14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：．15．如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，第个“广”字中的棋子个数是．16．如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由块长方体的积木块搭成．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分9分） 如图9，在中，分别为边的中点．证明：四边形是平行四边形．图7-图7-图7-图7-…正 视 左 视俯 视图8AFD18．（本小题满分9分）解方程：．19．（本小题满分10分）先化简，再求值：，其中．20．（本小题满分10分） 如图10，在中，，．（1）求的度数； （2）求的周长．21．（本小题满分12分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．A O D CB图22．（本小题满分12分）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段的两个端点都在格点上，直线经过坐标原点，且点的坐标是（1，2）．（1）写出点的坐标；（2）求直线所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段关于直线的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）．23．（本小题满分12分）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I 型冰箱和II 型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I 型冰箱和II 型冰箱的销售量分别比启动11y AB MO xN图活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．（1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？（2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字）24．（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，与交于点．（1）若，证明：；（2）若，证明：；（3）若的周长为1，求矩形的面积．A E DHG PB F C图25．（本小题满分14分） 如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为．（1）求该二次函数的关系式； （2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2009年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 30 分．图y xBA CO题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10号答A C C A DB DC B A案二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3 分，满分18 分．11．2 12．9.3 13．14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直15．15；16．4三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分102 分．17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分9分．证法1：∵分别是边的中点，∴．同理．∴四边形是平行四边形．证法2：∵分别是边的中点，∴．∵E为的中点，∴．∴．∴四边形是平行四边形．18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分9 分．解：由原方程得，即，即，∴．检验：当时，∴是原方程的根．19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满分10分．解：．将代入，得．20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分10 分．解：（1）∵， ∴．（2）∵，∴．∴是等边三角形．求的半径给出以下四种方法： 方法1：连结并延长交于点（如图1）．∵是等边三角形， ∴圆心既是的外心又是重心，还是垂心． 在中，∴． ∴，即O 的半径为2cm ． 方法 2：连结，作交于点（如图 2）∵，，∴． ∴．∵， ∴中，． 在中，， ∴即．∴，即的半径为2cm ．方法3：连结，作交于点（如图 2）．O A D CBE20题（2）O A D CBE 20题（2）E∵O 是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点，∴．在中，即．∴．∴，即O 的半径为2cm ．方法 4：连结，作交于点（如图2）． ∵O 是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点， ∴．在中，设，则，∵， ∴．解得．∴，即O 的半径为2cm ．∴ O 的周长为，即． 21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12 分． （1）解法1：可画树状图如下：蓝 白白 蓝 红 蓝 红红 蓝 白 白 红红 白 蓝 ①号盒②号盒③号盒共6种情况．解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6 种．（2）解：从（1）可知，红球恰好放入2 号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共2种，所以红球恰好放入2号盒子的概率．22．本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，满分12分．解：（1），；（2）解法1：∵直线经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是，又点的坐标为（1，2），∴．∴直线所对应的函数关系式是．解法2：设所求函数的关系式是则由题意得：解这个方程组，得∴直线所对应的函数关系式是．（3）利用直尺和圆规，作线段关于直线的对称图形，如图所示．23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分．解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为台．根据题意得解得∴启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为560台和400台．（2）I型冰箱政府补贴金额：元，II 型冰箱政府补贴金额：元．∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额：元．答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户元．24．本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分．（1）证明1：在与中，∵，∴．∴．证明2：在中，．在中，∵，∴．（2）证明1：将绕点顺时针旋转到的位置．在与中，∵，∴．∴．∵，∴．证明2：延长至点，使，连结．在与中，E DHC FBM GAP24题（2）∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．（3）设，则，．（）在中，．∵的周长为1，∴．即．即．整理得．（*）求矩形的面积给出以下两种方法：方法1：由（*）得．①∴矩形的面积②将①代入②得．∴矩形的面积是．方法2：由（*）得，∴矩形的面积∴矩形的面积是．25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．解：（1）设点，，其中．∵抛物线过点，∴．∴．∴．∵抛物线与轴交于两点，∴是方程的两个实根．求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：．∵的面积为，∴，即．∴．∴．∵，∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．方法2：由求根公式得，．．∵的面积为，∴，即．∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．（2）令，解得．∴，．在中，， 在中，，∵，∴．∴． ∴是直角三角形． ∴的外接圆的圆心是斜边的中点． ∴的外接圆的半径．∵垂线与的外接圆有公共点， ∴．（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形． ①若，设点的坐标为，，过作轴，垂足为，如图1所示．求点的坐标给出以下两种方法： 方法1：在中，，25题（2）yx B A CO 25题（3）yxB A CO E D在中，，∵，∴． ∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．方法2：在与中，，∴．∴．∴． 以下同方法1． ②若，设点的坐标为，，过作轴，垂足为，如图2所示．25题（3）yxB A CO DF在中，，在中，，∵，∴．∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或．。