非线性分析作业

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Maple 大作业

一、Maple 程序编写实例1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m ，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变形为40mm 。

求此弹簧质量系统的振动规律。

解：●建模图1 系统受力：mg,回复力kx 。

物体作上下的自由振动运动。

● Maple 程序> restart: #清零> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #∑=F x m x ..(delta[st]+x):> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换delta[st]=m*g/k,eq):> eq:=expand(eq/m): #展开> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解> k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率> x[0]:=-delta[st]: #初位移> v[0]:=0: #初速度> A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅> beta:=-Pi/2: #初相角> delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件> omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件> A:=eval(A): #振幅数值> X:=evalf(X,4); #系统振动规律 := X -.04000()cos 15.65t答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。

2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。

若此物体在梁未变形的位置无初速度释放，求系统自由振动的频率。

192-习题作业-第六章非线性方程求根典型习题解答

第六章非线性方程的数值解法习题解答
填空题：
1. 求方程 x = f (x) 根的牛顿迭代格式是__________________。
Ans:
xn+1
=
xn
-
xn - f (xn ) 1 - f ﾢ(xn )
2.求解方程
在(1, 2)内根的下列迭代法中，
(1)
(2)
(3)
(4)
收敛的迭代法是（A）.
A．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)
3、试分别用 Newton 法和割线法求以下方程的根
x - cos x = 0
取初值
x0
=
0.5, x1
=
p 4
，比较计算结果。
解： Newton 法： x1 = 0.75522242,x2 =0.73914166,x3 =0.73908513 ；割线法： x2 = 0.73638414,x3 =0.73905814,x4 =0.73908515,x5 =0.73908513 ；
由 j (x) = 4 - 2x , j '(x) = -2x ln 2 > 2 ln 2 ﾻ 1.36829 > 1, 故不能用 xk+1 = 4 - 2xk 来迭
代。
将原方程改写为 x = ln(4 - x) / ln 2, 此时， j (x) = ln(4 - x) / ln 2,
j '(x)
对 x = tgx � x = p + arctgx � xk +1 = p + arctgxk 用搜索法知在[4.45, 4.50]内有根，取x0 = 4.45迭代，x(5) = 4.49341。

基于ABAQUS的钢管轴心受压非线性屈曲分析

一.问题描述在钢结构中，受压杆件一般在其达到极限承载力前就会丧失稳定性，所以失稳是钢结构最为突出的问题。

压杆整体失稳形式可以是弯曲、扭转和弯扭。

钢构件在轴心压力作用下，弯曲失稳是常见的失稳形式。

而影响轴心受压构件整体稳定性的主要因素为纵向残余应力、初始弯曲、荷载初偏心及端部约束条件等。

实际的轴心受压构件往往会存在上述的一种或多种缺陷，导致构件的稳定承载力降低。

本文主要针对任意轴对称的圆形钢管截面，利用ABAQUS有限元非线性分析软件，对其在轴心受压情况下进行特征值屈曲分析和静态及动态的非线性屈曲分析（考虑材料弹塑性和初始缺陷的影响）。

通过考虑材料非线性、几何非线性并引入初弯曲，得出构件发生弯曲失稳的极限荷载,并且由弯曲失稳的临界荷载得出的构件荷载位移曲线。

同时再进行非线性分析时，需要施加初始扰动，以帮助非线性分析时失稳，可以通过特征值屈曲分析得到的初始弯曲模态来定义初始缺陷；最后由可以将特征值屈曲分析得到的临界荷载作为非线性屈曲分析时所施加荷载的参考。

二.结构模型用ABAQUS中的壳单元建立轴心受压模型，采用SI国际单位制（m）。

1.构件的材料特性： E=2.0×1011N m2,μ=0.3, f y=2.35×108N m2，ρ=7800kg m3，钢管半径：60mm，厚度：3mm，长度：2.5m。

2.钢管的截面尺寸及钢管受到的约束和荷载施加的模型图如图2-1及图2-2所示。

图2-1 图2-2三.建模步骤（Buckle分析）（1）创建部件在创建part模块中命名构件的名字为gang guan，创建的模型为三维可变形壳体单元，如图3-1所示。

截面参数见图2-1，构件长度2.5m。

图3-1（2）创建材料特性及截面属性并将其赋予单元。

材料定义为弹塑性，弹性模量E=2.0×1011N m2，泊松比0.3，屈服强度2.35×108N m2，ρ=7800kg m3，材料定义如下图3-2所示。

非线性规划作业

非线性规划作业非线性规划是数学领域中的一个重要分支，它在实际应用中具有广泛的意义。

本文将从非线性规划的基本概念、应用领域、解决方法、优化算法和实例分析等五个方面进行详细介绍。

一、基本概念1.1 非线性规划的定义：非线性规划是在目标函数或约束条件中至少包含一个非线性函数的优化问题。

1.2 非线性规划的特点：与线性规划相比，非线性规划具有更为复杂的数学结构和求解困难度。

1.3 非线性规划的分类：根据目标函数和约束条件的性质，非线性规划可分为凸优化和非凸优化两类。

二、应用领域2.1 工程优化：非线性规划在工程领域中广泛应用，如结构设计、电力系统优化、交通规划等。

2.2 金融领域：在金融领域中，非线性规划被用于投资组合优化、风险管理等方面。

2.3 生产调度：生产调度中的资源分配、作业排序等问题也可以通过非线性规划进行求解。

三、解决方法3.1 数值方法：常用的非线性规划求解方法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。

3.2 优化算法：遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等优化算法也可以用于非线性规划问题的求解。

3.3 全局优化：针对非凸优化问题，全局优化方法可以帮助找到全局最优解而不是局部最优解。

四、优化算法4.1 遗传算法：通过模拟生物进化过程，遗传算法能够在解空间中搜索最优解。

4.2 粒子群算法：模拟鸟群觅食的行为，粒子群算法通过个体之间的信息交流来寻找最优解。

4.3 模拟退火算法：模拟金属退火过程，模拟退火算法通过控制温度来逐步接近最优解。

五、实例分析5.1 生产调度问题：假设一家工厂需要安排不同作业的生产顺序和资源分配，可以通过非线性规划来优化生产效率。

5.2 投资组合优化：一位投资者需要在不同资产中分配资金以达到最大收益，非线性规划可以帮助优化投资组合。

5.3 电力系统优化：电力系统中存在多个发电机和负荷之间的优化问题，非线性规划可以帮助实现电力系统的最优调度。

综上所述，非线性规划在现代科学技术和实际生产中具有重要意义，通过合理选择求解方法和优化算法，可以有效解决复杂的优化问题，提高系统效率和资源利用率。

非线性大作业—直流电动机调速系统的建模与控制系统的设计

其中，n为矩阵A的维数，称为系统的能控性判别矩阵。
3、PBH秩判据
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值均成立，（）或等价地表示为，也即（SI-A）和B是左互质的。
4、PBH特征向量判据
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足，的特征向量。
所谓最优控制，就是根据建立的系统的数学模型，选择一个容许的控制规律，在一定的条件下，使得控制系统在完成所要求的控制任务时，使某一指定的性能指标达到最优值、极小值或极大值。本文利用线性二次型最优调节器(LQR）方法对移动高架吊车进行最优控制。控制目的是使移动高架吊车能在不平衡点达到平衡，并且能够经受一定的外加干扰[8]。
能控性的直观讨论：
从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。
3.1.2能控性判据
我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：
（1）
1、格拉姆矩阵判据
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵为非奇异。
其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2、秩判据
线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是，
2 直流电动机调速系统数学模型的建立

传感器作业——非线性误差分析

学生：XXX 学号：XXXXXXXXXXX传感器的非线性误差仪器仪表等测量工具的输入、输出（测量、结果）分别作为直角坐标系的纵轴、横轴，选择适合的坐标轴，并将理想的输入输出对应点标入坐标，可以得到一条理想输入输出关系曲线。

将实际的输入输出对应点标入坐标，可以得到一条实际输入输出关系曲线。

最理想的情况下这两条曲线应该重合，实际上是不可能做到的，这时两条曲线之间的距离就是非线性误差。

一、输入输出曲线的拟合方式：1）直线拟合：直线拟合大致想到以下几种方式：1.以最大△y值判断最佳拟合直线：由于只需要在传感器工作范围内拟合，故只在其工作范围内进行输入输出直线的拟合。

用直线段在其范围内对其拟合，每段拟合直线段都将对应得到一个最大△y值，拟合直线不同，各自最大△y值也不同。

其中最大△y值最小的直线，即为此种拟合方式下对应的最佳拟合直线。

2.以最小二乘法的方式得到最佳拟合直线：以最小二乘方式拟合即为用其误差的平方和判断。

在传感器工作范围内，用直线段对其进行拟合，每段拟合直线段都将对应得到一个误差的平方和值，拟合直线不同，各自误差的平方和也不同。

其中误差的平方和最小的直线，即为此种拟合方式下对应的最佳拟合直线。

2）离散的方式拟合：用阶梯型的曲线在工作范围内对其进行拟合。

每两个阶梯之间的距离即为所用硬件计算的最小时间（或最小时间的2N倍），则最大误差△y由硬件的运算速度决定。

二、常用的非线性传感器的误差补偿方法：非线性传感器的误差补偿方法从硬件方面讲，有补偿电路；从软件方面讲，有神经网络法、数据融合法等；此外也有将软件硬件技术结合起来的方法。

1）硬件补偿：采用传感器电桥电路非线性误差的反馈补偿法。

对于大多数应用电桥电路的传感器，如电阻式温度计、压力传感器等，必须测出电桥中一个或两个桥臂电阻的变化量，即传感器电阻的变化量，作为衡量被测物理量的大小，使传感器具有线性特性。

由于电桥输出电压与桥臂电阻之间存在非线性关系，如图1所示，电桥输出电压与传感器变化量成非线性关系。

第五章相关分析作业试题及答案

第五章相关分析一、判断题二、1.若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，说明X与Y之间存在正相关关系；若变量X的值减少时，Y变量的值也减少，说明X与Y之间存在负相关关系。

（）三、2.回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度（）四、3.回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。

（）五、4.计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。

（）六、5.完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。

（）1、×2、×3、×4、×5、√.七、单项选择题1.当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。

2. A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系3.现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。

4. A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系 C.相关关系和随机关系 D.函数关系和因果关系5.在相关分析中，要求相关的两变量（）。

6. A.都是随机的 B.都不是随机变量 C.因变量是随机变量 D.自变量是随机变量7.现象之间线性依存关系的程度越低,则相关系数( ) 。

8. A.越接近于-1 B. 越接近于1 C. 越接近于0 D. 在0.5和0.8之间9.若物价上涨,商品的需求量相应减少,则物价与商品需求量之间的关系为( )。

10. A.不相关 B. 负相关 C. 正相关 D. 复相关11.能够测定变量之间相关关系密切程度的主要方法是( ) 。

12. A.相关表 B.相关图 C.相关系数 D.定性分析13.下列哪两个变量之间的相关程度高（）。

14. A.商品销售额和商品销售量的相关系数是0.915. B.商品销售额与商业利润率的相关系数是0.8416. C.平均流通费用率与商业利润率的相关系数是-0.9417. D.商品销售价格与销售量的相关系数是-0.9118.回归分析中的两个变量（）。

第五章相关分析作业(试题及答案)

（）五、4.计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。

（）六、5.完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。

（）1七、1.2.3.4.5.6.7.8.9.22. A.r=0 B.|r|=1C.-1<r<1 D.0<r<123.每一吨铸铁成本(元)倚铸件废品率(%)变动的回归方程为:y c=56+8x,这意味着()24. A.废品率每增加1%,成本每吨增加64元 B.废品率每增加1%,成本每吨增加8%25. C.废品率每增加1%,成本每吨增加8元 D.废品率每增加1%,则每吨成本为561、B2、A3、A4、C5、B6、C7、C8、D9、B10、C.八、多项选择题1.测定现象之间有无相关关系的方法有（）2.A、对现象做定性分析B、编制相关表C、绘制相关图D.计算相关系数E、计算估计标准3.下列属于负相关的现象有()4.A、商品流转的规模愈大，流通费用水平越低B、流通费用率随商品销售额的增加而减少5.C、国内生产总值随投资额的增加而增长D、生产单位产品所耗工时随劳动生产率的提高而减少E、产品产量随工人劳动生产率的提高而增加6.变量x值按一定数量增加时,变量y也按一定数量随之增加，反之亦然，则x和y之间存在()7.A、正相关关系B、直线相关关系C、负相关关系D、曲线相关关系8.E、非线性相关关系9.直线回归方程y c＝a＋bx中的b称为回归系数，回归系数的作用是()10.A、确定两变量之间因果的数量关系B、确定两变量的相关方向C、确定两变量相关的密切程度D、确定因变量的实际值与估计值的变异程度11.E确定当自变量增加一个单位时，因变量的平均增加量12.设产品的单位成本(元)对产量(百件)的直线回归方程为y c＝76-1.85x，这表示()1九、1.2.3.4.5.6.7.8.1、1≤r<06、十、1.一种不完全的依存关系。

高空作业半挂车状态非线性有限元分析的线性化处理

支腿既要承受各部件自重
，
工
作时支撑面较大
。
，
车架及
大
，
因此提出
一
种线性处理方法来解决这个问题
又要承受复杂的风载
，
由于车架
的弹性变形以及风载的变化
车架支腿的着地状态会发生变
，
化
，
有的支腿会出现离地的趋势
，
此时拉索处于松弛状态
。
。
加载对车架
态会发生变化
滑移
，
为了防止支腿离开地面或者与地面产生相对
，
计算各支腿的垂直反力
，
然后查看各个支
在支腿附近设有拉索
以保证各支腿在工作中不离开
腿垂直方向的反力
，
可采用接触非线性有限元方法对车架进行计
，
但受到地面
拉力
”
未能离地
≥ 0
。
算
。
但由于车架的结构比较复杂
采用三维板壳有限元模型
，
腿的垂直反力F 是否满足条件 F
一
。
≥
进行的车架接触非线性有限元分析
武汉理工大学汽车工程学院
空作业半挂车作业时要求支腿不离地
，
在这种前提下计算车架强度属于典型的状态非线性问题

作业井架结构非线性力学行为分析

２１年第３卷００９第 Байду номын сангаас期第６Ｏ页
０ＩＬＦＩＥＬＤ
石油矿场机械ＥＱＵＩＭＥＮＴＰ
文章编号：Ｏ１３８（０００ — ０００１０ —４２２１）９０６—４
作业井架结构非线性力学行为分析
ｔｉｈｕｎｔｏｎｂｔｅｎｍａｔｉｔａｅｄｉｇａｔｕｔｅｕｔｏｔｌａａａｉｙａｎｔｅｆｃｉｅｗｅｓｎｉｉ１ｂｎｎｎｄｓｒｃｕｒｍｓｏｄｃｐｃｔ．Ｋｅｒ：ｐｅａｉｎｍａｔｓｒｔｒｎａｙｉｎｌｎｅｒ；ａｒｉａａｉｙｙｗｏｄｓｏｒｔｏｓ；ｔｕｃｕｅａｌｓｓ；ｏｎｉａｃｒｙｎｇｃｐｃｔ
ｔｒ．ｓｕａｒｎｇｃｐｂｉｉｙｗａａｅａｅｌｆｈｅｉｔａｎｎｎｓｍｅｅｔｎｏｏｕｅＡｔｄｙｏｆｃｒｙｉａａｌｔｓｍｄｓｗｌｏｒｔｎｉｉｌｂｅｄｉｇｉｏｘｅｔｔｂ—
吴强，朱玄，雪霏尹
（河石油装备制造总公司，宁盘锦１４１）辽辽２００
摘要：析了作业井架结构的极限承载力问题，井架的失稳形式进行了分析，定了井架结构的分对确失稳形式属于极值点失稳，通过结构几何非线性与材料非线性的双重非线性稳定性分析计算井并

数值计算大作业

课程设计课程名称：设计题目：学号：姓名：完成时间：题目一：非线性方程求根一摘要非线性方程的解析解通常很难给出，因此非线性方程的数值解就尤为重要。

本实验通过使用常用的求解方法二分法和Newton 法及改进的Newton 法处理几个题目，分析并总结不同方法处理问题的优缺点。

观察迭代次数，收敛速度及初值选取对迭代的影响。

用Newton 法计算下列方程（1） 310x x --= ，初值分别为01x =，00.45x =，00.65x =；（2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。

当选择初值02x =时给出结果并分析现象,当6510ε-=⨯，迭代停止。

解：1)采用MATLAB 进行计算；首先定义了Newton 法：function kk=newton(f,df,x0,tol,N)% Newton Method （牛顿法）% The first parameter f is a external function with respect to viable x.（第一个参数也就是本题所用的函数f ）% The second parameter df is the first order diffential function of fx.（第二个参数也就是本体所用函数f 的导数方程df ） % x0 is initial iteration point(初值). % tol is the tolerance of the loop （精度）.% N is the maximum number of iterations （循环上限）. x=x0;f0=eval(f);df0=eval(df); n=0;disp(' [ n xn xn+1 fn+1 ]'); while n<=N x1=x0-f0/df0; x=x1; f1=eval(f); X=[n,x0,x1,f1]; disp(X);if abs(x0-x1)<tolfprintf('The procedure was successful.') kk=X; return else n=n+1; x0=x1;f0=f1;endendif n==N+1fprintf('the method failed after N iterations. '),kk=0;End我们把Newton法存为.m格式的文件；之后我们运行程序：clear;clc;syms xf=x^3-x-1;df=diff(f,x);x=newton(f,df,1,0.0001,50);x会得到一下结果[ n xn xn+1 fn+1 ]0 1.0000 1.5000 0.87501.0000 1.5000 1.0625 -0.86302.0000 1.0625 1.4940 0.8408到第50次迭代时候会出现该问题：47.0000 1.4898 1.0814 -0.816748.0000 1.0814 1.4898 0.816749.0000 1.4898 1.0814 -0.816750.0000 1.0814 1.4898 0.8167the method failed after N iterations.x =0；同样测试x0=0.45、0.65得不出结果，判断出初值离真值太远，所以我们采用牛顿下山法进行计算迭代：我们定义了其中的f函数和df函数，并且分别存为.m格式的文件，其代码如下：f:function y=f(x)y=x^3-x-1;df:function y=df(x)y=3*x^2-1;之后我们定义newton下山法同时也存为.m的程序：function [x,i]=downnewton(f,df,x0,tol)k=0;i=1;disp(' [ n xn xn+1 fn+1 ]'); while(k==0)fx=feval('f',x0);dfx=feval('df',x0);t=0;u=1;while(t==0)dx=-fx/dfx;x1=x0+u*dx;fx1=feval('f',x1);fx0=feval('f',x0);if(abs(fx1)>abs(fx0));u=u/2;elset=1;endendX=[i,x0,x1,fx1];disp(X);if(abs(fx1)<tol)k=1;elsex0=x1;i=i+1;endendx=x1;i=i;end之后带入x0=0.45;downnewton('f','df',0.45,10^(-6))[ n xn xn+1 fn+1 ]1.0000 0.4500 -0.4155 -0.65622.0000 -0.4155 -0.5857 -0.61523.0000 -0.5857 -0.5754 -0.61514.0000 -0.5754 -0.5782 -0.61515.0000 -0.5782 -0.5773 -0.61516.0000 -0.5773 -0.5774 -0.61517.0000 -0.5774 -0.5773 -0.61518.0000 -0.5773 -0.5774 -0.61519.0000 -0.5774 -0.5774 -0.615110.0000 -0.5774 -0.5774 -0.615111.0000 -0.5774 1.3131 -0.049012.0000 1.3131 1.3248 0.000513.0000 1.3248 1.3247 0.0000ans =1.3247带入x0=0.6;downnewton('f','df',0.6,10^(-6))[ n xn xn+1 fn+1 ]1.0000 0.6000 1.1406 -0.65662.0000 1.1406 1.3668 0.18663.0000 1.3668 1.3263 0.00674.0000 1.3263 1.3247 0.00005.0000 1.3247 1.3247 0.0000ans =1.3247带入x0=1;downnewton('f','df',1,10^(-6))[ n xn xn+1 fn+1 ]1.0000 1.0000 1.5000 0.87502.0000 1.5000 1.3478 0.10073.0000 1.3478 1.3252 0.00214.0000 1.3252 1.3247 0.0000ans =1.32472)同样采用Newton下山法：重新定义f、df:f:function y=f(x)y=x^3+94*x^2-389*x+294;df:function y=df(x)y=3*x^2+188*x-389;再带入初值x0=2;downnewton('f','df',2,5*10^(-6))[ n xn xn+1 fn+1 ]1 2 -98 0ans =-98得出x=-98；分析：先画出该函数的图像；x=(-100:.1:100);ezplot('x^3+94*x^2-389*x+294',[-100 100]) 得出该图像如图：-100-80-60-40-20020406080024681012141618x 105xx 3+94 x 2-389 x+294根据牛顿法的几何解释，在x0=2的点做切线，与y 相交，交点的横坐标值为x=-98则结束了该现象。

机械系统非线性振动及其控制课后作业

第一章在图示多级齿轮传动中，齿轮和轴的编号如图所示。

电动机、齿轮和负载的转动惯量如图所示，不计轴的转动惯量。

建立该齿轮传动系统纯扭振动方程。

（设各轴扭转刚度为Ksi ，齿轮副啮合刚度为Kii+1，各齿轮基圆半径为rb i。

）解：设电动机的输出转矩为,扭转角度为;负载的输出转矩为，扭转角度为。

建立系统的纯扭振动方程……（）其矩阵形式如下：112233212122 m m N N NN l l J JJ J J J J θθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦112111211212212122122222234334342(21)2(21)(21)2(21)22(21)2(21)2(1)(21)22(1)(1)(1s s s s b b b b b s b s s s b b b sN sN N N b N N N b N b NN N b N b N s N N N b N s N s N s N k k k k k r k r r k r r k k r k k k k r k r r k k k r k r r k r r k k r k k k ------+-+++--+--+⋅--+--+--+--)1232120 m N N l θθθθθθθ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第二章1.用加速度计测得一弹簧质量系统在简谐振动时某点最大加速度为5g （）。

已知系统的固有频率为25Hz 。

试求此系统的振幅和最大速度是多少?解：由简谐振动的性质可知，。

频率振幅m最大速度2.一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。

试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。

解：已知振动物体的质量为m，弹簧常数为k，取图中x方向为正方向，其静平衡位置为原点。

非线性光学作业matlab作图

>>Y3=L.*L.*(sinc(L*k3/2)).^2; >>Y4=L.*L.*(sinc(L*k4/2)).^2; >>Y5=L.*L.*(sinc(L*k5/2)).^2; >>plot(L,Y2); >>hold on >>plot(L,Y3); >>hold on >>plot(L,Y4); >>hold on >>plot(L,Y5); >>hold on 图为：
2，基波光高消耗情况 3111()(0)tanh(/)()(0)sech(/)z z E z E z L E z E z L ==
分析：可见随倍频晶体长度的增大a η=即22213202(0)8w w P d L c n n S ωηε= 所以当0k ?=时，2sin ()12 kL c ?=，倍频光功率与倍频效率最大，符合相位匹配条件。（2）当0k ?≠ 而1,2,3,4,k k k k ?=?=?=?=时，用matlab 画出a η与L 的关系图：程序为： >>L=linspace(0,1,4); >>k2=1,k3=2,k4=3,k5=4; >>Y2=L.*L.*(sinc(L*k2/2)).^2;
可见随倍频晶体长度的增大基频光不断地转化为倍频光
非线性光学作业 matlab作图
1,小信号近似情况 222213202(0)8sin ()2 w w P d L kL c c n n S ωηε?= 令2213202(0) 8w w P d a c n n S ωε=a 为常系数则22sin ()2kL L c a η ?= （1）当0k ?=时，用matlab 画出a η与L 的关系图：程序为： >>L=linspace(0,1,4); >>k1=0; >>Y1=L.*L.*(sinc(L*k1/2)).^2; >>plot(L,Y1) 图为：

非线性分析作业

学院：控制理论与工程专业：控制理论与控制工程姓名：刘慧巍学号：11409037非线性分析作业11.最优控制--防天拦截问题所谓防天拦截系指发射火箭及敌方洲际导弹或其他航天武器。

设x(t)、v(t)分别表示拦截器L 与目标M 的相对位置向最和相对速度向最。

a(t)是相对加速度向星，包括空气动力与地心引力所产生的加速度在内，它是 x 、v 的函数。

既然位置向量和速度向最是有运动微分方程所确定的时间函数，因此，相对加速度也可以看成时间的函数。

设m(t)是拦截器的质量，F(t)是其推力的大小。

u 是拦截器推力方向的单位向量，C 是有效喷气速度，可以视为常数。

于是，拦截器与目标的相对运动方程能写成初始条件为x(t 0) = x 0,v(t 0) = v 0,m(t 0) = m 0 对拦截器既要控制其推力F(t)的大小，乂耍控制推力的方向m 火箭的最大推力F 喚是一有限值，瞬时推力F(t)应满足0<F(t)<F_至于单位向S ：u ,它可表示为其中同表示向最U 的长度M =+诚+诚也就是说，u 的幅度为1,其方向不受限制。

要求控制拦截器从相对于目标的初始状态(2)出发，在某末状态时刻S 与目标相遇(实现拦截)，即v= a(t)- m(t) (1)F(t) c(2)x(tf) = 0木态时刻的质量m© )应满足m(tf) > m e这里叫是所有燃料耗尽后火箭的质星。

一般地说，达到上述控制目标的F⑴、u(t)和“并非唯一。

为了实现快速拦截，并尽可能地节省燃料，可将性能指标取为丿= ］；?©+F(切必(3)问题归结为选择F(T)> u(t)和"，除达到拦截的目的外，还要使规定的性能指标为最小。

此即在(3)性能指标意义下的最有拦截问题。

研究现状：最优控制是现代控制理论的核心，渗透到生产、生活、国防乃至规划、管理等一切领域。

最优控制在目前的很多工业控制的应用领域都起着举足轻重的作用，特别是在随机最优控制、跟踪问题、二次型指标最优控制等方面也起着举足轻重的作用。

数学专业的非线性分析

数学专业的非线性分析为了更好地理解和研究数学中的非线性问题，数学专业中有一门重要的学科——非线性分析。

非线性分析是对非线性系统和过程进行深入研究的数学方法和工具集合。

本文将介绍非线性分析的基本概念、方法和应用领域。

一、非线性分析的基本概念非线性分析是研究非线性系统的数学方法，非线性系统指的是输入和输出之间不满足线性关系的系统。

与线性系统不同，非线性系统的性质更加复杂，常常包含了许多非线性现象，如混沌现象、周期解、稳定性等。

非线性分析研究的对象包括非线性微分方程、非线性递推关系、非线性差分方程等。

通过建立相应的数学模型，可以揭示非线性系统的行为规律，并进行定性和定量的分析。

二、非线性分析的方法非线性分析的方法主要包括解析解法和数值解法。

解析解法是通过求解非线性方程或方程组的精确解来研究非线性系统的性质。

常见的方法有变量分离法、积分因子法、积分曲线法等。

这些方法在一些简单的非线性问题中往往可以得到清晰的结论和解析解，但对于复杂的问题往往难以求解。

数值解法是利用计算机进行数值模拟和计算，通过数值实验来研究非线性系统的行为。

常用的数值方法有Euler方法、Runge-Kutta方法、有限差分法等。

通过数值模拟可以获得非线性系统的定性和定量的信息，并绘制相图、吸引子等图像，有助于揭示非线性系统的内在规律。

三、非线性分析的应用领域非线性分析在数学和工程领域有着广泛的应用。

在数学领域，非线性分析是建立数学模型、研究数学问题的重要方法。

例如，在动力系统中，非线性分析可以揭示系统的稳定性、周期解、混沌现象等。

在工程领域，非线性分析对于设计和优化复杂系统具有重要意义。

例如，在电力系统中，非线性分析可以研究系统的稳定性和可靠性，提高系统的抗干扰能力。

在控制系统中，非线性分析可以帮助设计控制器，实现系统的自适应和鲁棒控制。

四、非线性分析所面临的挑战和发展趋势尽管非线性分析在许多领域都取得了令人瞩目的成果，但仍然存在一些挑战和问题。

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学院：材料科学与工程学院专业：材料工程姓名：飞学号：1125作业：找出几个所在专业研究领域的重要而且有研究价值的非线性问题及其模型，要求写出相应的模型方程及其所涉及的变量参数涵义，并列举出研究该模型的主要研究现状。

（不少于3种）举例1：材料力学领域的非线性问题非线性本构和非线性本构复合材料1.1 研究非线性本构模型的意义从力学的角度来看，C/SiC复合材料属于准脆性的各向异性材料。

以碳纤维、热解碳界面和SiC基体三种典型组分构成的C/SiC复合材料为例，相对于脆性的单质陶瓷，该材料具有较好的韧性。

主要原因是在机械载荷作用下，材料内部存在如前所述的基体开裂、界面脱粘和滑移、纤维断裂和拔出等多种能量耗散机制。

虽然这些细观损伤模式有别于金属的屈服机理，但是材料表现出类似的弹塑性-损伤力学行为。

图1-1为C/SiC复合材料在沿轴向拉伸加卸载条件下的典型应力-应变曲线，从图中可看出：材料的线弹性极限较低，通常为20MPa左右；当应力水平超过弹性极限之后，材料的弹性模量（E0）开始减小，同时产生类似于不可回复的残余应变，卸载-重加载过程中应力-应变曲线形成迟滞环，且迟滞环的宽度随卸载点应力的增大而不断增大。

该材料的剪切应力-应变关系也有类似的特征。

由此易知，在对C/SiC复合材料的应力-应变关系进行分析描述时，传统的线弹性本构模型已经不再胜任；而如果仅在线弹性范围内使用该材料，则不能充分发挥出材料的力学性能，安全裕度过大，与航空航天器追求减重的目标不符。

因此需要充分了解该材料的非线性力学行为，特别是其内部的损伤机理与特性，并为其建立合适的非线性本构模型。

图1-1 C/SiC复合材料的典型拉伸加/卸载应力-应变曲线建立非线性本构模型的一个重要作用是辅助C/SiC复合材料的结构优化设计。

如前所述，目前C/SiC复合材料已经开始逐步在航空航天器结构上使用，轻质、可重复使用等特性有助于提高飞行器的性能，并降低寿命周期内的使用和维护成本，但是这类材料仍然存在造价高的缺点。

例如，德国DLR为X-38 V201飞行器提供的全C/SiC复合材料襟翼的尺寸约为1.4m×1.6m，重68公斤，造价高达2千万美元。

这是由材料制备工艺的特点决定的。

以较为成熟的等温CVI 工艺为例，该工艺具有能够制备出高纯度的基体、可用于一定厚度构件的近尺寸成型等诸多优点，但是为防止沉积的基体太快地封堵预制体孔隙通道，需要在相对缓慢的沉积速率下进行，因此材料的制备周期长，通常需要几周或数百小时的时间，而且化学反应过程中生成的HCl等副产物对设备有腐蚀作用，导致制备成本偏高，限制了材料的推广应用。

因此，为C/SiC复合材料建立合适的本构模型，在结构设计阶段将本构模型与商业有限元软件结合，准确计算和结构在不同受载条件下的应力状态并预测其承载能力，有助于结构的优化设计，同时省去或减少大量的试件制备和测试过程，从而降低热结构的研发成本。

国内已经对C/SiC 的损伤机理和本构模型开展了一些研究工作。

潘文革等人对二维和三维编织C/SiC复合材料在单轴拉伸载荷下的损伤演化进行了试验研究，通过分析声发射事件数和相对能量等参数，发现两种材料的拉伸损伤过程大致分为初始损伤阶段、过渡阶段、损伤加速和快速断裂阶段；杨成鹏等人对二维编织C/SiC复合材料单轴拉伸非线性力学行为进行了试验研究，通过循环加卸载试验方法，获得了材料的残余应变和卸载模量随拉伸应力的变化关系，并建立了基于剪滞理论的细观损伤力学模型；陶永强等人将二维编织结构简化成正交铺层和纤维束波动部分的组合，采用了Curtin和Ahn提出的基体随机开裂、纤维随机断裂的统计分布理论以及体积平均方法，预测了二维编织C/SiC复合材料的应力-应变关系。

此外，宋迎东和李龙彪等人采用细观力学方法，对单向C/SiC复合材料的拉伸应力-应变关系，包括卸载-重加载过程中的迟滞行为进行了系统的理论研究。

细观模型的主要缺点在于，当考虑剪切、拉剪或压剪等复杂应力状态对细观损伤发展的影响时，模型将变得非常复杂，目前大部分的相关文献中均只针对简单应力状态下材料的力学行为进行了试验分析或理论建模。

此外，刘明爽等人研究了二维C/SiC复合材料在动态压缩载荷下的力学性质，发现材料的动态压缩应力-应变关系是非线性的，动态压缩强度和弹性模量随应变率增大而升高，压缩强度服从韦布尔分布，并依此建立了一个一维的考虑损伤和应变率的宏观本构模型。

尽管如此，国内在C/SiC复合材料的本构模型研究领域的文献仍然较少，目前尚无完善的宏观损伤（或非线性）本构模型。

国外在此领域的研究现状将在下节中详细介绍。

Kumar在文献中指出：CMCs在工业领域的广泛使用仍然面临许多挑战，一方面目前仍然缺乏对多轴应力状态、构件几何形状、环境、温度及温度梯度和加工缺陷等因素对CMCs的损伤和失效机理的影响的认识；另一方面在复杂CMCs 结构设计中，仍然缺少强健、有效的分析预测工具。

本文将以CVI 工艺制备的二维平纹编织（以下简称二维）C/SiC 复合材料为研究对象，首先将对该材料在简单和复杂应力状态下的力学行为进行试验分析，以进一步了解并掌握材料的非线性应变-应变关系和损伤特性；然后为该材料建立非线性的宏观本构模型，并力求将理论模型与有限元软件结合，以实现其工程应用。

1.2 非线性本构模型应力-应变的研究进展参考Lynch 等人的试验方法，在标距段的沿试件轴向和编织物方向粘贴两个[0°/90°]应变花SG1 和SG2，以同时测量轴向应力σx作用下x-y整体坐标系下的正应变（εx和εy）和材料局部坐标系下的正应变（ε1和ε2）。

平面应力状态下，应变分量之间满足以下坐标转换公式：式中：m =cosθ ，n =sinθ ，θ为偏轴角度；γxy和γ12为两个不同坐标系下的工程剪应变。

从上式可求解出γ12和γxy的表达式：在两组应变花测得正应变εx、εy、ε1和ε2后，工程剪应变可由以上两式计算得到。

类似地，整体和材料坐标系下的应力分量σx, σy, τxy和σ1, σ2, τ12之间有如下关系：在轴向拉伸或压缩状态下（σx≠ 0，σy = 0，τxy = 0），如不考虑试验机夹持端的横向约束引起的局部应力非均匀分布，可从上式求得材料局部坐标系下的面内应力状态：从上式可知，除0°正轴向试件外，三组偏轴试件在轴向拉伸和压缩应力作用下均处于比例加载的平面应力状态，如图1-2所示。

其中，15°偏轴试件中材料主方向上应力分量的比值|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 3.73: 0.27: 1，30°偏轴试件的比值为|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 1.73: 0.58: 1，45°偏轴试件的比值为|σ1| : |σ2|: |τ12| ≈ 1: 1: 1。

可以看出：随偏轴角度θ（θ∈[0°, 45°]）增大，剪应力分量与法向应力分量之和的比值（|τ12|/|σ1+σ2|）增大，且σ2/σ1也增大。

(a) 偏轴拉伸 (b) 偏轴压缩图1-2偏轴拉伸和压缩加载条件下材料主方向上的应力状态示意图为获取材料的应力-应变关系曲线，以及不同应力水平下的非弹性应变和损伤信息，采用了载荷幅值逐渐增大的加载-卸载-重加载试验方法（以下简称加卸载试验方法）。

除0°正轴向试件的压缩试验外（该试验条件下应力-应变曲线通常近似为线弹性），对正轴向和三组偏轴向直条形试件进行了拉伸和压缩加卸载试验；另外，还对0°、30°和45°试件进行了拉伸-压缩循环加卸载试验，以了解材料在压缩应力作用下可能存在的损伤钝化力学行为。

上述拉伸和压缩试验均在液压伺服试验机上完成。

0°正轴向试件的压缩试验选择量程为50k N的液压伺服试验机（Model 8801, Instron Ltd., England），其余试验均选择量程为10k N的液压伺服试验机（Model 8871, Instron Ltd., England），以提高载荷测量精度。

试验中，轴向拉、压载荷通过试验机的载荷传感器实时测得，同时采用静态应变采集系统（DH3815N，东华公司，中国江苏）以2Hz频率同步采集试件的应变。

最后处理数据得到在不同加载状态下试件轴向以及材料主方向上的宏观应力-应变曲线（σx-εx/εy，σ1-ε1，σ2-ε2，τ12-γ12）。

通过简单加载试验，依次获得了0°正轴向试件的拉伸、压缩和剪切应力-应变曲线，典型曲线如图1-3所示。

从图1-3a中拉伸应力-应变曲线的形态分析可知，材料表现出显著的非线性和韧性断裂力学行为。

材料在初始承载阶段保持线弹性，超过约为20MPa的拉伸应力（该应力值通常称之为基体开裂应力或比例极限）后，加卸载曲线显示材料的切线模量和卸载模量不断减小，卸载后可观测到类似于金属塑性应变的非弹性应变，且卸载-重加载过程中形成迟滞环；随拉伸或剪切应力增大，迟滞环的宽度和卸载后的非弹性应变数值逐渐增大。

由此可知，刚度退化和非弹性应变累积是材料的拉伸应力-应变曲线产生非线性的直接原因。

另外，从图中对比可知，单调加载曲线对加卸载曲线近似形成包络，表明卸载、重加载至原卸载点应力的过程中并未产生明显的新的损伤。

图中两组曲线的强度差异主要与试验数据的分散性较大有关。

(a) 拉伸(b) 压缩(c) 剪切图1-3 三种简单加载状态下的典型单调加载和加卸载应力-应变曲线在简单压缩加载条件下，二维C/SiC复合材料表现出准脆性材料的力学行为。

与非线性拉伸应力-应变关系曲线截然不同，图1-3b显示材料的压缩应力-应变关系在失效前近似保持为线弹性，且一般情况下压缩强度要高于拉伸强度，反映出材料的力学行为具有显著的单边特征。

从图1-3c中可以看出，面内剪切应力-应变曲线表现出与图1-3a中曲线类似的非线性特征。

不同剪应力水平下的加卸载曲线显示，随加载峰值应力增大，材料的剪切卸载模量逐渐减小，非弹性应变则逐渐增大，这是单调剪切加载时应力-应变曲线表现出非线性的原因。

材料的剪切断裂应变数值较大，表现出良好的韧性断裂特征。

为表征材料的损伤状态，根据图1-3中拉伸和剪切加卸载应力-应变曲线的形态，并忽略卸载和重加载过程中迟滞效应的影响，以卸载模量相对初始模量的折减程度作为材料损伤状态的度量（如图1-4所示），其中卸载模量取卸载点和迟滞环曲线与坐标轴交点连线的斜率。

在材料的局部坐标系下，定义一组标量型损伤变量d i (i = 1, 2, 6)：式中：E1、E2和G12均为工程弹性模量，上标0和d分别表示初始和损伤状态。

同时，将应变分量ε1,2和γ12分解为弹性应变和非弹性应变之和：式中：上标e和p分别代表应变的弹性和非弹性部分。

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