绵阳数学全等三角形单元培优测试卷

绵阳数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．

【答案】5(0,5),(0,4),0,

4⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】

【分析】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．

【详解】

有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；

∴D （0，5）；

②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，

∴P （0，4）；

③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，

由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，

∴OC ＝54

， ∴C （0，54

）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,

4⎛

⎫ ⎪⎝⎭．

【点睛】

本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．

2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为

___________．

【答案】4

【解析】

【分析】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，

∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．

【详解】

延长AC至E，使CE=BM，连接DE．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠DBC=∠DCB=20°，

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，

同理可得∠NCD=90°，

∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，

在△BDM和△CDE中，

BM CE MBD ECD BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，

＝

∴△BDM ≌△CDE （SAS ），

∴MD=ED ，∠MDB=∠EDC ，

∴∠MDE=∠BDC=140°，

∵∠MDN=70°，

∴∠EDN=70°=∠MDN ，

在△MDN 和△EDN 中，MD ED MDN EDN DN DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝，＝

∴△MDN ≌△EDN （SAS ），

∴MN=EN=CN+CE ，

∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．

3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ，

12），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____．

【答案】-83．

【解析】

【分析】

先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值，再由勾股定理求出AB 的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积；连接OP ，过点P 作PE ⊥x 轴，由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，可知S △ABP ＝S △POA +S △AOB ﹣S △BOP ＝

132

，故可得出a 的值． 【详解】

∵A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），

∴OA ＝3，OB ＝2，

∴AB

∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，

∴

1113

•1313

222 ABC

S AB AC⨯⨯

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

•••

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113

3322

22222

a

⨯⨯+⨯⨯⨯⨯

＝（﹣）﹣＝，

解得a＝﹣8

3

．

故答案为﹣8

3

．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．

4．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长

_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明

CAI≅BAJ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求

出x，即可求出AF的长.【详解】