第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法

第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：

111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，

,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列，

我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当

n>N 时

ε<-||0z z n ,

那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作

0lim z z n n =+∞

→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。由不等式

0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及

容易看出，0lim z z n n =+∞

→等价于下列两极限式：

,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞

→+∞

→

因此，有下面的注解：

注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于

0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个

邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z

在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是

12......n z z z ++++

或记为1

n n z +∞

=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。定义其部分和序列为：

12...n n z z z σ=+++

如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是

σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作

1

n

n z

σ+∞

==∑，

如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。

注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下

121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+

则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数

n

z

∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为：

0,0,,N n N ε∀>∃>>使得当时有

1

||n

k k z σε=-<∑，

注3如果级数n z ∑收敛，那么

1lim lim ()0,n n n n n z σσ+→+∞

→+∞

=-=

注4令

Re ,Re ,Im ,Re ,Im n n n n n n a z a z b z a b σσ

=====，

我们有 1

1

n n

n k k k k a i b σ===+∑∑

因此，级数n z ∑收敛于σ的充分与必要条件是：级数n a ∑收敛于a 以及级数n b ∑收敛于b 。

注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：

定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数n z ∑收敛必要与充分条件是：任给0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，

12|...|n n n p z z z ε++++++<

柯西收敛原理（复数序列）：序列{}n z 收敛必要与充分条件是：任给

0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，

||n m z z ε

-<

对于复数项级数n z ∑，我们也引入绝对收敛的概念： 定义4.2如果级数

12||||...||...n z z z ++++

收敛，我们称级数n z ∑绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛

复级数n z ∑收敛的一个充分条件为级数n z ∑收敛

注1、级数n z ∑绝对收敛必要与充分条件是：级数n a ∑以及n b ∑绝

对收敛：事实上，有

1

1

1

1

1

||||||||||,

n

n n n

k

k nk k k k k n

k k k k a

b z a b ======≤=≤+∑∑∑∑∑及

注2、若级数n z ∑绝对收敛，则n z ∑一定收敛。

例4.1当||1α<时，21......n ααα+++++绝对收敛；并且有

1

2

111...,lim 01n n

n n αααααα++→+∞

-++++==-

我们有，当||1α<时，

211.......1n αααα

+++++=

-

定理4.1如果复数项级数'n z ∑及"n z ∑绝对收敛，并且它们的和分别为',"αα，那么级数

'"'"'"

12111(...)n n n n z z z z z z +∞

-=+++∑ 也绝对收敛，并且它的和为'"αα。 2、复变函数项级数和复变函数序列：

定义4.3 设{()}(1,2,...)n f z n =在复平面点集E 上有定义，那么：

...

)(...)()(21++++z f z f z f n

是定义在点集E 上的复函数项级数，记为1

()n n f z +∞

=∑，或()n f z ∑。设函

数f(z)在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数()n f z ∑都收敛于

()f z ，那么我们说此复函数项级数在E 上收敛于()f z ，或者此级数

在E 上有和函数()f z ，记作